Teil 1

Quantenmechanik 2-Seminar
Universität Göttingen
Wintersemester 2005/2006
Ingo Wagner und Eduard Guerras
Pfadintegrale
Inhalt
1. Einleitung
2. Doppelspaltexperiment:
2.1 Ein altbekanntes Experiment
2.2 Konzept der Wahrscheinlichkeitsamplitude
2.3 Übergang zur Summe über Pfade am Beispiel des Doppelspaltes
3. Erinnerung an die klassische Mechanik
4. Definition des Kernes
5. Klassischer Grenzfall
6. Kern:
6.1 Summe über alle Pfade als Analogon zum Riemannintegral
6.2 Kerneigenschaften
6.3 Berechnung eines Pfadintegrals in 5 Schritten
7. Herleitung der eindimensionalen Schrödingergleichung
8. Literatur
1. Einleitung
Die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik wurde 1948 von Robert Feynman
eingeführt. Das Pfadintegral stellt einen eleganten Einstieg in die Quantenmechanik dar, da
man mit ihm einen Bogen zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik schlagen
kann. Dies soll sogleich eine der zentralen Zielsetzungen des vorliegenden Vortrages bilden.
Weiterhin sollen Rechenregeln zum Umgang mit Pfadintegralen abgeleitet und mit der
Behandlung einiger Anwendungen im zweiten Teil gefestigt werden.
2. Doppelspaltexperiment
2.1Ein altbekanntes Experiment
Beginnen wollen wir mit dem bereits ausführlich behandelten Experiment des Doppelspaltes.
Man betrachte dazu die folgende Situation.
1
In S sollen Elektronen aus einem Draht emittiert werden und durchfliegen einen Spalt bei A,
sodass Spalt und Draht sich wie eine punktförmige Elektronenquelle verhalten. Die
Elektronen sollen alle die gleiche Energie besitzen in allen Richtungen den Spalt verlassen.
Im Schirm B befinden sich zwei Löcher, 1 und 2, durch welche die Elektronen treten können,
um dann im Punkt x auf dem Schirm C aufzutreffen bzw. dort von einem Detektor der Breite
dx nachgewiesen zu werden. Man misst dann für verschiedene Positionen x auf dem Schirm
die Zählrate des Detektors. Diese ist ein relatives Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Elektron am Ort x auf den Schirm auftrifft.
Man führt nun die folgenden Messungen durch:
1. Man schließt den Spalt 2, und erhält als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung auf dem
Schirm die in (b) dargestellte Kurve und analog bei geschlossenem Spalt 1 und
geöffnetem Spalt 2 die in (c) dargestellte Kurve.
2. Man öffnet nun beide Spalte und würde die Summe der Kurven (b) und (c)
multipliziert mit dem Normierungsfaktor 0,5 als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung
annehmen, wie sie in (d) dargestellt ist. Tatsächlich betrachtet man jedoch die in (a)
dargestellte Verteilung, die einem Interferenzmuster ähnelt. Diese Verteilung wird
auch von einzelnen zeitlich hintereinender durch die Spalte tretenden Elektronen
erzeugt und stellt somit keine Wechselwirkung der durch 1 tretenden mit den durch 2
tretenden Elektronen dar.
Die Ergebnisse dieser Messungen sind in der linken obigen Graphik dargestellt. Die
fälschliche Annahme stützt sich auf die Anschauung aus der klassischen Mechanik, dass jedes
Elektron entweder Spalt 1 oder Spalt 2 (gemeint ist das ausschließliche oder) passiert haben
muss um auf dem Schirm auftreffen zu können. Als Konsequenz dessen ergäbe sich die
Zählrate bei zwei geöffneten Spalten am Ort x als Summe der beiden Zählraten, (b) und (c),
mit nur einem geöffneten Spalt.
2.2 Konzept der Wahrscheinlichkeitsamplitude
Wie bereits erwähnt erinnert die in (a) dargestellte Verteilung P sehr an die Interferenzmuster,
die bei der Beugung von Licht am Doppelspalt auftreten. Dabei ist die Intensität bestimmt
r
durch I ∝ E 2 (t ) . Man führt deshalb das folgende Konzept zur Berechnung der Zählrate am
Ort x ein:
1. Es gibt komplexe Zahlen φ1 (x ) und φ 2 ( x ) , sodass bei geöffnetem Spalt i gilt:
P (x ) = φ ( x )
2. Für die Verteilung bei zwei geöffneten Spalten gilt:
2
i
i
P ( x ) = φ ( x ) und φ (x ) = (φ1 + φ 2 )(x )
2
Die auf diese Weise definierten komplexen Zahlen besitzen also die gewünschte Additivität.
Man nennt φ1 (x ) und φ 2 ( x ) auch Wahrscheinlichkeitsamplituden, die wir im Weiteren nur als
Amplituden bezeichnen wollen. (diese stellen praktisch die aus der Quantenmechanik
bekannten Wellenfunktionen dar)
2.3 Übergang zur Summe über Pfade am Beispiel des Doppelspaltes
Wie bereits gesehen ist die Amplitude eines Ereignisses (z.B. Elektron trifft zur Zeit t in x
auf) die Summe der Amplituden der verschiedenen Wege, die das System nehmen kann damit
das Ereignis eintritt (im Fall des Doppelspaltes also: Elektron passiert Spalt 1 und trifft in x
auf oder Elektron passiert Spalt 2 und trifft in x auf ).
2
Wir gestalten nun das Spaltexperiment etwas komplizierter wie es in der linken der beiden
obigen Graphiken zu sehen ist. Wir fügen in das Experiment zwei zusätzliche Platten D und
E ein und lassen in jede der beiden Platten einen kleinen Holzfäller mit seiner Axt
verschiedene Spalte, die wir mit D1 , D2 ... bzw. E1 , E 2 ... bezeichnen wollen, schlagen. Nun
gibt es verschiedene alternative Wege, die das Elektron nehmen kann um von der Quelle zum
Punkt x c auf dem Schirm C zu gelangen. So könnte es von der Quelle durch Spalt D2 dann
durch Spalt E 4 und schließlich durch Spalt B1 laufen und dann auf dem Schirm C im Punkt
x c auftreffen. Es könnte jedoch auch durch Spalt D3 , dann durch Spalt E1 u.s.w. nach xc
gelangen. Jede dieser Alternativen besitzt seine eigene Amplitude und die Gesamtamplitude
ist die Summe der Amplituden der verschiedenen Wege.
Nun lassen wir den kleinen Holzfäller mehr und mehr Spalte in die Schirme D und E
schlagen, bis diese praktisch komplett durchlöchert sind und nichts mehr von ihnen übrig ist.
Dies ist in der rechten obigen Graphik dargestellt. Die verschiedenen Pfade werden dann
durch die Höhen x d und x e sowie die Abstände der Schirme y d und y e von der Quelle
charakterisiert. Dies ist in der rechten obigen Graphik veranschaulicht.
Die nächste Änderung des Experimentes ist nun natürlich immer mehr Platten zwischen
Quelle A und Schirm D zu bringen und diese komplett mit Spalten zu durchsetzen. Man
erhält dann die Gesamtamplitude als Summe über alle Amplituden der Pfade x( y ) von der
Quelle zum Punkt x c auf dem Schirm C.
Dies stellt auch schon das eigentliche Konzept des Pfadintegrales dar, wobei jedoch mit Pfad
nicht wie hier die Funktion x( y ) bezeichnet werden wird sondern die zeitliche Abhängigkeit
r
des Ortes des Teilchens r = (x, y ) : t a (x(t ), y (t )) .
3. Erinnerung an die klassische Mechanik
Aus der Klassischen Mechanik ist das Hamiltonsche Prinzip bekannt. Dieses besagt, dass die
v
Bahn eines klassisch beschriebenen Teilchens x cl (t ) dadurch bestimmt ist, dass das
Wirkungsfunktional S für sie extremal wird bzw. die erste Variation des Funktionals 0 wird.
Da man nur stückweise zweimal stetig differenzierbare Bahnen betrachtet lässt sich daraus die
Euler-Lagrange Gleichung herleiten.
b
r
r r
r
r
r
r
S [xcl (t )] = ∫ L x cl , x& cl , t dt = extremal ⇔ δS [x cl (t )] = S [xcl (t ) + δx (t )] − S [xcl (t )] = 0
t
ta
(
)
3
(1)
r
Die rechte Gleichung gilt dabei nur bis zur linearen Ordnung in δxcl (t ) . Dabei muss die
r
r
r
r
r
Bedingung δx (t a ) = δx (t b ) erfüllt sein. Es sei also x (t ) = x cl (t ) + δx (t ) . Da man nur stückweise
zweimal stetig differenzierbare Bahnen betrachtet, lässt sich daraus die Euler-Lagrange
Gleichung ableiten.
d  ∂L
dt  ∂x&
cl ,i

 = ∂L
 ∂x

(2)
cl ,i
Ganz ähnlich werden wir später aus der Pfadintegralformulierung die Schrödingergleichung
gewinnen können.
4. Definition des Kernes
Es soll im Folgenden eine zum Hamiltonschen Prinzip analoge quantenmechanische
Formulierung hergeleitet werden. Wie bereits im Abschnitt 2 angedeutet ergibt sich die
Gesamtamplitude eines Systems, die wir mit K (b, a ) bezeichnen wollen, für das Ereignis
r
r
r
vom Punkt x a zur Zeit t a nach xb zur Zeit t b zu gelangen als Summe der Amplituden φ [x (t )]
r
aller einzelnen Pfade x (t ) die diese Bedingung erfüllen. Die Menge dieser Pfade sei Γ .
r
K (b, a ) = ∑ φ [x (t )]
Γ
(3)
Für die entsprechende Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gilt dann:
P (b, a ) = K (b, a )
2
Noch offen bleibt dabei jedoch, wie die einzelnen Pfade zu der Summe beitragen. Nach einer
Bemerkung Diracs hatte Feynman die geniale Idee, dass alle Pfade vom Betrag gleiche
Amplituden besitzen sollen, die sich jedoch in ihrer Phase unterscheiden. Die Phase ist dabei
bestimmt durch das Wirkungsintegral des Pfades. Mit einer Konstanten c gilt also:
r
r 
i
φ [x (t )] = c ⋅ exp ⋅ S [x (t )]
h

5. Klassischer Grenzwert
Es soll nun die klassische Mechanik als Grenzwert
der quantenmechanischen Formulierung abgeleitet
werden. Anhand der Gleichung (3) ist, da ja alle
Pfade vom Betrag gleich zum Kern beitragen noch
nicht ersichtlich, dass für den klassischen Pfad und
die Pfade in der nahen Umgebung die Beiträge zur
Gesamtamplitude am wichtigsten sind. Dies muss
aber erfüllt sein, um im klassischen Fall von einer
Trajektorie sprechen zu können. Man betrachte
r
dazu nun wieder den klassischen Pfad xcl (t ) und
fasse alle anderen Pfade als Summe des klassischen
r
Pfades und einer Abweichung δx (t ) auf, sodass
r
r
r
also x (t ) = x cl (t ) + δx (t ) gilt.
4
(4)
1. Ist diese Abweichung nur klein im klassischen Sinn, so wird die Differenz der
Wirkungen der Pfade trotzdem noch erheblich sein gegenüber der Größe von
h ≈ 10 −34 Js . Nun ist jedoch nach der Eulerschen Formel exp(i ⋅ x ) = cos( x ) + i ⋅ sin ( x )
und somit ist die Phase der Amplituden im klassischen Sinn sehr schnell oszillierend
r
r
r
r
in S [x (t )] . Liefert ein Pfad x1 (t ) ≠ xcl (t ) eine Phase von exp i ⋅ h −1 ⋅ S [x1 (t )] so hebt
r
ein im klassischen Sinn gering davon abweichender Pfad x 2 (t ) diesen durch eine
r
r
Phase exp i ⋅ h −1 ⋅ S [x 2 (t )] = exp − i ⋅ h −1 ⋅ S [x1 (t )] weg.
(
(
)
(
)
)
Die letzte Argumentation ließe jedoch auch den Schluss zu, dass sich alle Pfade
gegenseitig aufheben . Man hat jedoch noch nicht die Bedingung verarbeitet, dass S
stationär wird für den klassischen Pfad. Dies bedeutet aber gerade, dass eine kleine
r
Abweichung vom klassischen Pfad xcl (t ) zumindest in linearer Ordnung keine Änderung
r
in S liefert. Somit heben sich die Pfade um xcl (t ) nicht gegenseitig auf. Es gilt:
2. Ist der Betrag der Abweichung vom klassischen Pfad stets klein im
r
quantenmechanischen Sinn, so weist natürlich auch der Wert S [x (t )] nur eine geringe
r
Abweichung von S [x cl (t )] auf. Dies bedeutet jedoch auch ähnliche Phasen
r
exp i ⋅ h −1 ⋅ S [x (t )] . Somit ist es plausibel, dass im quantenmechanischen Sinn geringe
Abweichungen von der klassischen Trajektorie auch noch wesentliche Beiträge zum
Kern liefern, da sie sich nicht gegenseitig aufheben.
(
)
Im Fall großer Massen, Abstände und Zeiten ist damit die Gültigkeit der klassischen
Mechanik gezeigt worden. Eine scharfe Trajektorie existiert zwar nicht, jedoch gibt es in der
Quantenmechanik eine „verschmierte Bahn“
eines Systems, die in klassischen
Größenordnungen als scharf angenommen werden darf.
6. Kern
6.1 Summe über alle Pfade als Analogon zum Riemannintegral
5
Im Folgenden soll das Pfadintegral analog zum Riemannintegral hergeleitet werden. Man
betrachte eine Funktion f mit dem obigen Verlauf.
Man kann dann das Integral µ ( f ) der Funktion f als Summe über alle Ordinaten begreifen.
Dies wird anschaulich an der Approximation von f mit immer feiner werdenden
Treppenfunktionen klar. Die Feinheit der Teilintervalle sei h . Dann gilt:
µ( f ) ≈
∑ h ⋅ f ( xi )
N h

µ ( f ) = lim ∑ h ⋅ f ( xi )
h→0
 i =1

bzw.
N (h )
i =1
( )
Ganz analog lässt sich nun das Pfadintegral definieren. Im Gegensatz zu Abschnitt 2 unterteilt
man nicht den Weg sondern die Zeit in immer feinere Intervalle.
(t − t ) t ≡ t
r
r
Man definiert:
ε ≡ b a
tk ≡ t0 + k ⋅ ε
k ∈ {1,...., N } x k ≡ x (t k )
0
a
N
Innerhalb der Teilintervalle der Länge ε nimmt man die Bewegung des Systems z.B. als
gradlinig gleichförmig an. Dies ist in der obigen Graphik veranschaulicht Nun integriert man
r
wie schon im zweiten Abschnitt über alle x k im zulässigen Bereich des Phasenraumes bis auf
r
r
x a und xb , die ja als fester Anfangs- bzw. Endpunkt des Systems vorgegeben sind. Daraus
folgt die Beziehung:
K (b, a ) ∝ ∫
... φ [x (t )] ⋅dx ...dx N − dx N −
N − ∫N − ∫
r
1
2
r
r
1
1
r
2
1
Da sich mit der Zahl der Zeitintervalle auch die Anzahl der zulässigen Pfade vergrößert
erscheint es logisch, dass ein Normierungsfaktor A(ε ) entsprechend dem h beim
Riemannintegral eingeführt wird. Man könnte auch wie folgt argumentieren: Sind mehr Pfade
für das Teilchen realisierbar so verändert sich natürlich auch der Beitrag eines Pfades zur
Gesamtamplitude. Für sehr feine Unterteilungen ergibt sich also:
 i tb r r
 dxr1 dxr2 dxr N −1
1
&
K (b, a ) ≈
.. exp ⋅ ∫ L x , x , t dt 
...
A(ε ) N∫−1 ∫2 ∫1
 h ta
 A(ε ) A(ε ) A(ε )
(
6
)
Dies wird im Limes ε
→ 0 exakt und man erhält:
 1
 i tb r r
 dxr1 dxr2 dxr N −1 


&
K (b, a ) ≡ lim
..∫ ∫ exp ⋅ ∫ L x , x , t dt 
...
ε → 0  A(ε ) ∫

(
)
(
)
(
)
A
A
A
h
ε
ε
ε
 ta

N −1 2 1


(
)
(5)
Man findet in der Literatur auch die folgenden Schreibweisen:
xb
 i tb r r
 v
i
 v
K ( xb , t b ; x a , t a ) = ∫ exp ⋅ S ab  Dx (t ) = ∫ exp ⋅ ∫ L x , x& , t dt  Dx (t ) = K (b, a )
h

 h ta

xa
xa
(
xb
)
6.2 Kerneigenschaften
r
r
Es gelte nun x c = x (t c ) und t a p t c p t b . Dann hat der Kern die folgende Eigenschaft:
r
K (b, a ) = ∫ K (c, a ) ⋅ K (b, c ) ⋅ dxc
(6)
Beweis:
Nach Definition des Kernes gilt zunächst:
t
 1
 i  t r r
 dxr1 dxrc dxr N −1 
r r&

&

K (b, a ) = lim
.. .. exp ⋅ ∫ L x , x , t dt + ∫ L x , x , t dt + 
..
..
ε → 0  A(ε ) ∫ ∫ ∫
 A(ε ) A(ε ) A(ε ) 
h  t

t




r
r
r
r

dx  r
1
1
i
 dx dx  
i
 dx
..∫ exp ⋅ S ac  1 .. c −1  ⋅ lim
..∫ exp ⋅ S cb  c +1 .. N −1  dx c
= ∫ lim
∫
∫
h
 A(ε ) A(ε )   ε →0 A(ε )
h
 A(ε ) A(ε ) 
 ε →0 A(ε )
r
= ∫ K (c, a ) ⋅ K (b, c )dx c
c
(
)
(
b
a
)
c
r
Man kann dies auch wie folgt interpretieren: Die Wahrscheinlichkeitsamplitude von x a zur
r
Zeit t a nach xb zur Zeit t b zu gelangen entspricht dem Integral des Produktes der
r
Wahrscheinlichkeitsamplituden, dass das System zwischendurch den Ort xc zur Zeit t c
r
erreicht integriert über alle Punkte xc , die das System zur Zeit t c erreichen kann.
Diese Eigenschaft kann man nun wiederum ausnutzen um den Kern zweier infinitesimal
benachbarter Phasenraumpunkte zu bestimmen. Sei dazu t 0 ,...., t N eine sehr feine
r r
Unterteilung des Zeitintervalls mit xi = x (t i ) . Dann lässt sich durch wiederholte Anwendung
der obigen Eigenschaft der Kern schreiben als:
K (b, a ) = K (N ,0 ) = ∫
∫
N −1 N − 2
r
r
r
...∫ K (N , N − 1) ⋅ K (N − 1, N − 2 ) ⋅ ...K (1,0 )dx1 ⋅ ... ⋅ dx N − 2 ⋅ dx N −1
1
Daraus ergibt sich durch Vergleich mit der Definition des Kernes, dass für zwei infinitesimal
r
r
r r
benachbarte Zeitpunkte t +1 mit x +1 = x (t +1 ) und t mit xi = x (t i ) sowie ε ≡ t i +1 − t i gilt:
i
i
i
i
r
r r
r
 i   x +1 + x x +1 − x t +1 + t   
1
K (i + 1, i ) =
⋅ exp ⋅  L
,
,
 ⋅ ε 
A(ε )
2
ε
2   
h  
i
7
i
i
i
i
i
(7)
Dabei wurde der Intergrand im Exponenten als konstant angenommen. Die Amplitude eines
bestimmten Pfades ergibt sich somit zu:
r
 N −1

φ [x (t )] = lim ∏ K (i + 1, i )
ε →0
 i =o

6.3 Berechnung eines Pfadintegrals in fünf Schritten
1. Unterteilung des Zeitintervalls [t a , t b ] in N äquidistante Teilintervalle der Länge
r r
ε (N ) ≡ (t b − t a ) ⋅ N −1 . Für den Pfad sei x ≡ x (t ) .
i
i
2. Man drücke den das Wirkungsintegral näherungsweise aus durch das Integral über
eine Treppenfunktion. Dabei geht man davon aus, dass sich das Teilchen zwischen
t und t +1 mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und dass sein Potential V konstant
r
r
bleibt. Der Pfad ist dann durch die x1 ,..., x N −1 eindeutig bestimmt, da Anfangs und
Endpunkt fest vorgegeben sind. Es gilt:
i
i
r
r r
r
−1
r r&
 x +1 + x x +1 − x t +1 + t
L
x
,
x
,
t
dt
→
L
,
,
∑=0  2
∫
ε
2
a
tb
t
(
)
N
i
i
i
i
i
i
i
3. Man berechne nun das Integral ∫
N −1
r
r
r

 ⋅ ε ⇒ S [x (t )] → S [x1 ,...., x

N
−1
]
r
r
r
r
...∫ exp i ⋅ h −1 S [x1 ,...., x N −1 ] ⋅dx1 ...dx N −1 . Dabei wird
{
}
es bei den zu rechnenden Beispielen wahrscheinlich vorkommen, dass sich der
Integrand als Produkt schreiben lässt und somit die Integration wesentlich vereinfacht
wird. Beispiel: eindimensionales freies Teilchen:
1
r
i N −1
2
S [x1 ,..., x N −1 ] =
⋅ ∑ ( x i +1 − x i )
h ⋅ ε i =0
N −1
r
r
 i
2
⇒ exp i ⋅ h −1 S [x1 ,...., x N −1 ] = ∏ exp
⋅ ( x i +1 − x i ) 
h ⋅ε

i =0
{
}
4. Der Normierungsfaktor A(ε ) stellt nun eine sehr schwierig zu bestimmende Größe
dar. Für ihn gilt die „Regel“: Wähle A(ε ) so, dass etwas Vernünftiges bei der
2 r
Rechnung entsteht. Vernünftig bedeutet im Idealfall, dass ∫ K (b, a ) dxb = 1 gilt. Es sei
hier nur angemerkt, dass für ein freies Teilchen A(ε ) = (2 ⋅ π ⋅ i ⋅ h ⋅ ε ⋅ m −1 )2 gilt.
1
5. Man bilde den folgenden Grenzwert und erfreue sich am Ergebnis.
N


r
r  r r
r 
1
i

 ∫ ..∫ ∫ exp ⋅ S [x1 ,...., x N −1 ] ⋅ dx1 dx 2 ...dx N −1 
K (b, a ) = lim 
N →0 A(ε ( N ))

h

 N −1 2 1


8
7. Herleitung der Schrödingergleichung
Nachdem wir im 5. Abschnitt die Gültigkeit der klassischen Mechanik in der
Pfadintegralformulierung gezeigt haben ist es nun noch notwendig die uns bekannte
Quantenmechanik, welche sich durch die Schrödingergleichung ergibt, aus dem Pfadintegal
für den Kern abzuleiten. Wir wollen uns hier auf den eindimensionalen Fall beschränken und
nehmen an, dass gilt:
m
1. Das betrachtete Teilchen hat eine Lagrangefunktion mit L(x, x& , t ) = ⋅ x& 2 − V (x, t )
2
2. Das Teilchen befinde sich zur Zeit t = 0 am Ort x = 0
3. Man definiert eine Wellenfunktion ϕ mit ϕ ( x, t ) ≡ K ( x, t ;0,0)
Es gilt für 0 p t1 p t 2 somit ϕ (x 2 , t 2 ) = ∫ K (x 2 , t1 ; x1 , t1 ) ⋅ ϕ (x1 , t1 )dx1 . Insbesondere ergibt sich
für kleine Zeiten ε mit x 2 ≡ x ∧ x1 ≡ y nach Definition des Kernes für infinitesimale
Zeitintervalle:
ϕ ( x, t + ε ) = ∫
 i  m  x − y  2
1
 x+ y t +t +ε
⋅ exp ⋅  ⋅ 
,
 +V

A(ε )
2
 2
 h  2  ε 
  
  ⋅ ε  ⋅ ϕ ( y , t ) ⋅ dy
  
Es taucht der Wert
x− y
auf, welcher natürlich groß ist im Verhältnis zu h , wenn y und x
ε
stark unterschiedliche Werte annehmen. Aufgrund dessen oszilliert der Kern für große Werte
von x − y sehr stark und aufgrund der glatten Eigenschaft von ϕ ( y, t ) liefern große Werte
von x − y keinen Beitrag zum Integral. Dieses Argument gleicht dem aus Abschnitt 5. zur
Ableitung der klassischen Mechanik. Es reicht also kleine Abweichungen zu betrachten. Sei
deshalb y = x + η ⇒ dy = dη
ϕ ( x, t + ε ) = ∫
≈
∫
 i m  η  2 
 i  x + x +η t + t + ε  
1
⋅ exp ⋅ ⋅   ⋅ ε  ⋅ exp− ⋅ V 
,
 ⋅ ε  ⋅ ϕ ( y, t ) ⋅ dy
A(ε )
2
2  
 h 2  ε 

 h 
 i m  η  2 
1
 i

⋅ exp ⋅ ⋅   ⋅ ε  ⋅ exp− ⋅ V (x, t ) ⋅ ε  ⋅ ϕ ( y , t ) ⋅ dy
A(ε )
 h 2  ε 

 h

Eine Entwicklung in ε und in η ergibt dann:
ϕ ( x, t ) +
∞
 i ⋅ m ⋅η 2   ih
∂ϕ
1
∂ϕ
∂ 2ϕ 2 
 

(
)
(
)
⋅ε = ∫
⋅ exp
⋅
1
−
⋅
V
x
,
t
⋅
ϕ
x
,
t
+
⋅
η
+
⋅η  ⋅ dη (*)
 
 
2
(
)
∂t
A
ε
2
⋅
h
⋅
ε
ε
∂
x
∂
x






−∞
 2 ⋅ x +η t + t + ε 
Dabei ist der in der letzten Näherung V 
,
ε ≈ V ( x, t ) ⋅ ε gemachte Fehler
2 
 2
höher als von der linearen Ordnung in ε . Die Schrödingergleichung wird jedoch schon aus
der linearen Ordnung von ε folgen. Unter Benuzung des Gaußintegrals folgt:
∞
 i ⋅ m ⋅η 2 
1  2 ⋅ π ⋅ hε  2
1
⋅ ∫ exp

dη = ⋅ 
A(ε ) −∞  2 ⋅ h ⋅ ε 
A 
m 
1
9
Damit die Gleichung (*) in nullter Ordnung korrekt bleibt muss also gelten:
 2 ⋅π ⋅ h ⋅ε  2
A(ε ) = 

m


1
(8)
Weiterhin werden die folgenden Integrale benutzt
∞
 i ⋅ m ⋅η 2 
 i ⋅ m ⋅η 2 
1
1
i ⋅h ⋅ε
2
exp
⋅
η
⋅
exp
d
η
=
0
und
⋅
η
⋅



dη =
∫−∞ A(ε )
∫
m
 2⋅h ⋅ε 
 2⋅ h ⋅ε 
−∞ A(ε )
∞
Insgesamt ergibt sich daraus durch Wegfallen der Terme mit höherer Ordnung als ε :
ϕ+
i
∂ϕ
h2
∂ 2ϕ 
⋅ ε = ϕ (x, t ) − ε ⋅  ⋅ V (x, t ) ⋅ ϕ −
⋅ 2 
∂t
2 ⋅ i ⋅ m ∂x 
h
Dies ist jedoch nur korrekt in erster Ordnung von ε , wenn die Wellenfunktion
eindimensionale Schrödingergleichung erfüllt.
i⋅h⋅
2
2
∂ϕ
(x, t ) = − h ⋅ ∂ ϕ2 (x, t ) + V (x, t ) ⋅ ϕ (x, t )
∂t
2 ⋅ m ∂x
ϕ die
(10)
8. Literatur
[1] R. Feynman und C.Hibbs: „Path Integrals and Quantum Mechanics“
[2] Claude Garrod: „Hamiltonian Path Integral Methods”, Reviews of modern Physics, Volume 38,
Nr.3 , 1966
10