Phononen: Quantisierte Gitterschwingungen in harmonischer N

Kapitel 7
Phononen: Quantisierte
Gitterschwingungen in harmonischer
Näherung
7.1
Die Born-Oppenheimer Näherung (adiabatische Näherung) für
die Kernbewegung
Der Gesamthamiltonoperator eines Festkörpers ist gegeben durch
H = T K + T e + Ve−K + Ve−e + VK−K .
(7.1)
Hierbei ist die kinetische Energie der N Elektronen
Te =
N
X
~p2i
,
2m
i=1
(7.2)
und die kinetische Energie der K als gleich angenommenen Atomkerne ist
TK =
K ~2
X
Pi
.
2M
i=1
(7.3)
Die Kernmasse ist sehr viel größer als die Elektronenmasse, M >> m. Weiterhin ist die Coulombwechselwirkungsenergie zwischen den Elektronen bei r = (~r1 , .......,~rN ) (3N-dimensionaler Ortsvektor) gegeben
durch
X e2
Ve−e (r) =
.
(7.4)
|~ri − ~r j |
i< j
~ 1 , ......., R
~ K ) (3KDie Wechselwirkungsenergie zwischen den Elektronen und den Atomkernen bei R = (R
dimensionaler Ortsvektor) ist
X −Ze2
Ve−K (r, R) =
(7.5)
~ j|
ri − R
i j |~
und diejenige zwischen den Kernen ist
VK−K (R) =
X
i< j
Z 2 e2
.
~i − R
~ j|
|R
(7.6)
Die Festkörper-Schrödingergleichung hat die Form
(H − E)Ψ = T K + T e + Ve−K (r, R) + Ve−e (r) + VK−K (R) − E Ψ(r, R) = 0.
1
(7.7)
2KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
In Gl. (7.7) koppelt der Potentialterm Ve−K die Elektronenbewegung und die Kernbewegung. Die Gesamtwellenfunktion ist darstellbar durch
X
Ψ(r, R) =
ψm (r; R)φm (R).
(7.8)
m
Hier seien die ψm (r; R) Lösung des hermiteschen Eigenwertproblems
T e + Ve−K (r, R) + Ve−e (r) + VK−K (R) − m (R) ψm (r; R) = 0.
(7.9)
Auf der linken Seite dieser Gleichung tritt R nur in multiplikativer Form auf und kann als fester Parameter
angesehen werden. Die ψm (r; R) können somit als adiabatische Elektronen-Vielteilchenwellenfunktionen
interpretiert werden, die sich als Lösung der Schrödingergleichung ergeben, wenn die Kernpostionen bei R
’eingefroren’ werden. Die ψm (r; R) werden auch als adiabatische Elektronenzstände im m-ten Anregungzustand bezeichnet. Die adiabatischen Elektronenzustände bilden im Index r ein vollständiges, orthonormiertes Funktionensystem (VONS),
Z
d3N rψm0 (r; R)∗ ψm (r; R) = δm0 m ,
(7.10)
in das wir in Abhängigkeit vom festgehaltenen Parameter R in Gl. (7.8) die Elektronenwellenfunktion entwickelt haben. Die Funktionen φm (R) sind die Entwicklungskoeffizienten
Z
φm (R) =
d3N rψm (r; R)∗ Ψ(r, R).
(7.11)
Sie können als Gewichtsfunktion der Kernkonfigurationen R gedeutet werden.
Zur Behandlung der Kerndynamik setzen wir die Darstellung der Gesamtwellenfunktion (7.8) in die Schrödingergleichung (7.7) ein und erhalten
X
X
E
ψm (r; R)φm (R) = HΨ =
T K + m (R) ψm (r; R)φm (R)
m
m
h
i
i
h
io
h
~2 X n
=
m (R)ψm (r; R)φm (R) −
ψm (r; R) ∆R φm (R) + 2 ∇R ψm (r; R) ∇R φm (R) + φm (R) ∆R ψm (r; R)
2M m
m
X
~2 X
(7.12)
∼
m (R)ψm (r; R)φm (R) −
ψm (r; R)∆R φm (R).
2M m
m
X
Im letzten Schritt haben wir verwendet, dass die Ableitungen ∇R von φm (R) sehr viel größer sind als diejenigen von ψm (r; R). Wegen der sehr großen Masse der Kerne, vollführen nämlich die Kerne im Festkörpergitter gemessen an ihren Abständen nur extrem kleine Bewegungen, d. h. φn (R) ist nur in einem kleinen
Bereich um die Ruhepositionen herum von Null wesentlich verschieden. In diesem kleinen Bereich gilt
ψm (r; R) ∼ ψm (r; R0 ) ≡ ψm (r)
und ∇R ψm (r; R) ist vernachlässigbar.
Aus (7.12) folgt
#
X"
~2
−Eφm (R) + m (R)φm (R) −
∆R φm (R) ψm (r; R)
2M
m
(7.13)
(7.14)
was bedeutet, dass
~2
∆R φm (R) + m (R)φm (R) − Eφm (R) = 0.
(7.15)
2M
Es wird nun in der adiabatischen Näherung angenommen, dass die Elektronen ständig im Grundzustand mit
m = 0 sind, da sich die Kerne auf der Skala der Elektronenrelaxationszeit langsam bewegen. Es gilt dann in
Born-Oppenheimer Näherung für die Kernbewegung φ(R) = φ0 (R)
"
#
~2
−
∆R + V(R) − E φ(R) = 0.
(7.16)
2M
−
Diese Gleichung hat die Form einer Schrödinger Gleichung und 0 (R) ≡ V(R) kann daher als Potenzial
gedeutet werden, in dem sich die Kerne bewegen. Die Kernbewegung wird im Folgenden in harmonischer
Nährung klassisch behandelt.
7.2. HARMONISCHE NÄHERUNG DES KERNPOTENTIALS
7.2
3
Harmonische Näherung des Kernpotentials
Auf Grund des Kernpotentials sind die Kerne um die Gleichgewichtspositionen
~0 = R
~ 0 + ~rκ ,
R
lκ
l
mit
~0 = R
~0
R
l
l1 ,l2 ,l3 =
3
X
li~ai
(7.17)
i=1
~0 = R
~0
herum lokalisiert. Hier sind die ~ai die primitiven Gittervektoren des Festkörperitters, R
l
l1 ,l2 ,l3 ist der
Gittervektor zur l-ten Elementarzelle und ~rκ , κ = 1 . . . d ist der Verschiebungsvektor zum Kern κ der d Kerne
einer Einheitszelle. Der durch l und κ indizierte Atomkern sei von der Gleichgewichtsposition ausgelenkt
um
~ lκ (t) − R
~0 ,
~ulκ (t) = R
(7.18)
lκ
~ lκ (t) der zeitabhängige Aufenthaltsort des Kerns ist. Wir schreiben für die Koordinaten aller Kerne
wobei R
~ 0 )α = R0
(R0 )lκα = (R
lκ
lκα
und
~ lκ )α = R0 + ulκα ,
(R)lκα = (R
lκα
(7.19)
mit den kartesischen Richtungen α = (x, y, z).
Die klassische Behandlung der Kernbewegung basiert auf folgender Überlegung:
~ 0 ist bestimmt durch die quantenmechanische Null• Der Lokalisierungsbereich des lκ-Kerns um R
lκ
punktsbewegung und die thermische Anregung. Wegen der großen Kernmasse bei Raumtemperatur
ist dieser Bereich viel kleiner als Abstand zum nächsten Nachbarn,
1/3
|ulκα | VEZ
.
(7.20)
(⇒ erst bei höheren Temperaturen schmilzt der Kristall)
• ⇒ Kleiner Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen Kerne ⇒ Austausch-Ww ist klein ⇒ Statistik der Teilchen (Fermion oder Boson, je nach Spin) ist nicht so wichtig ⇒ spinlose Teilchen, Kern
ist zunächst klassisch behandelbar.
• Wegen kleiner Masse für Elektronen bei Raumtemperatur und Festkörperdichten nicht gegeben ⇒
Elektronen quantenmechanisch zu behandeln
Wir führen wegen (7.20) eine harmonische Näherung des Potenzials ein
!
X ∂V !
1 X
∂2 V
V(R) = V(R0 ) +
ulκα +
ulκα ul0 κ0 α0
∂Rlκα R=R0
2 lκαl0 κ0 α0 ∂Rlκα ∂Rl0 κ0 α0 R=R0
lκα
1 X
Φlκα,l0 κ0 α0 ulκα ul0 κ0 α0 .
=
2 lκαl0 κ0 α0
(7.21)
Hier ist V(R0 ) die Grundzustandsenergie, wenn alle Kerne ihre Position im Gitter einnehmen, R = R0 . Die
Grundzustandsenergie wird als Energienullpunkt gewählt, sodass V(R0 ) ≡ 0. Weiterhin ist im Grundzustand
die potenzielle Energie im Minimum, sodass
!
∂V
= 0.
(7.22)
∂Rlκα R=R0
Schließlich ist der Kraftkonstantentensor gegeben durch
!
!
∂2 V
∂2 V
Φlκα,l0 κ0 α0 =
=
.
∂Rlκα ∂Rl0 κ0 α0 R=R0
∂ulκα ∂ul0 κ0 α0 u=0
(7.23)
Für die Kraft auf den lκ-Kern resultiert (7.21)
∂V
∂V
1 X
∂
(ul00 κ00 α00 ul0 κ0 α0 )
=−
=−
Φl00 κ00 α00 ,l0 κ0 α0
∂Rlκα
∂ulκα
2 l00 κ00 α00 l0 κ0 α0
∂ulκα
X
X
Φl00 κ00 α00 ,l0 κ0 α0 δlκα,l00 κ00 α00 ul0 κ0 α0 + δlκα,l0 κ0 α0 ul0 κ0 α0 = −
Φlκα,l0 κ0 α0 ul0 κ0 α0 .
Flκα = −
=
−
1
2 l00 κ00 α00 l0 κ0 α0
l0 κ0 α0
(7.24)
4KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
Die Kraftkonstantentensor Φlκα,l0 κ0 α0 bestimmt also die Kraft, die auf das Atom lκ bei Auslenkung des Atoms
l0 κ0 wirkt. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass diese Kraft in der Ruheposition ul0 κ0 α0 = 0 wegen der stabilen
Gleichgewichtslage verschwindet. Die symmetrischen Kraftkonstanten Φlκα,l0 κ0 α0 = Φl0 κ0 α0 ,lκα können im
Prinzip im Dichtefunktionalformalismus in adiabatischer Näherung berechnet werden. Wir werden jedoch
weiten Teilen der Literatur folgen und die Kraftkonstanten als Fitparameter betrachten.
Eine wichtige allgemeine Eigenschaft von Φ folgt aus der in Abb. 7.1 dargestellten Überlegung: Es wird
die Paarwechselwirkungsenergie der Teilchen lκ und l0 κ0 betrachtet. Allgemein könnte die Veränderung
~ S = (R
~0 + R
~ 00 )/2: Der Atomkern
Abbildung 7.1: (a) Zur Unabhängigkeit des Kraftkonstantentensors von R
l
l
0 0
l κ wird aus der Gleichgewichtsposition ausgelenkt. Die nach Gl. (7.24) hierdurch verursachte Kraft auf
~ S der Gleichgewichtspositionen von lκ und l0 κ0
den Kern lκ hängt nicht von der Position des Schwerpunkts R
ab, sondern nur von ihrem Abstandsvektor. (b) Paarwechselwirkungsdarstellung: Die komplizierte Kraftwirkung Gl. (7.24) im Vielteilchensystem auf das Atom lκ bei Auslenkung des Atoms l0 κ0 wird durch die
verallgemeinerte Federkraft-Paarwechselwirkung nach Gl. (7.40) ersetzt. Hier wird der Fall einer einfachen
Hookeschen Federkraft nach Gl. (7.39) illustriert.
~S =
der elektrostatischen Energie bei Verschiebung dieser Teilchen von der absoluten Gitterruheposition R
~ =R
~0 + R
~ 00 )/2, der relativen Gitterruheposition ∆
~0 − R
~ 00 sowie den Auslenkungen ~ulκ und ~ul0 κ0 abhängig
(R
l
l
l
l
~ S . Wir finden daher
sein. Auf Grund der Translationsinvarianz im Gitter gibt es keine Abhängigkeit von R
~0 − R
~ 00 ).
Φlκα,l0 κ0 α0 = Φκα,κ0 α0 (R
l
l
(7.25)
7.3. KLASSISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNGEN UND PHONONENMODEN
7.3
5
Klassische Bewegungsgleichungen und Phononenmoden
Aus den Newtonschen Gesetzen folgt mit Gl. (7.24)
Mκ ülκα = Flκα = −
X
Φlκα,l0 κ0 α0 ul0 κ0 α0 .
(7.26)
l0 κ0 α0
Mit dem Ansatz
1
ulκα (t) = ulκα e−iωt = √ vlκα e−iωt
Mκ
(7.27)
resultiert dann die Eigenwertgleichung
ω2 vlκα =
X
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 vl0 κ0 α0 .
(7.28)
1
Φlκα,l0 κ0 α0
Mκ Mκ 0
(7.29)
l0 κ0 α0
Da die Matrix
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 = √
reell und symmetrisch ist, gibt es N3d reelle Eigenwerte ω2 mit reellen Eigenvektoren vlκα . Hier besteht der
Festkörper aus N = N1 N2 N3 primitiven Gitterzellen, wobei periodische Randbedingungen nach Ni -Zellen
in ~ai -Richtung gefordert werden. Mit Gl. (7.21) folgt, dass die Φ̂ positiv definit ist,
0 < V(R) =
1 X
1 X
Φlκα,l0 κ0 α0 ulκα ul0 κ0 α0 =
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 vlκα vl0 κ0 α0
2 lκαl0 κ0 α0
2 lκαl0 κ0 α0
∀~v,
(7.30)
sodass alle ihre Eigenwerte für ω2 größer Null sind, d. h. ω ist reell und kann positiv oder negativ sein.
Aufgrund der Symmetrie (7.25) ist auch
~0 − R
~ 00 ),
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 = Φ̂κα,κ0 α0 (R
l
l
(7.31)
sodass für die Eigenvektoren der Lösungsansatz
~ 0 ) = eκα exp (i~qR
~0)
vlκα = ~e(~q) κα exp (i~qR
l
l
(7.32)
angemessen ist. Dieser Ansatz bedeutet Ebene-Wellen Lösungen im Einheitszellenindex l. Die Abhängigkeit innerhalb einer Einheitszelle, von den Indizes κ = 1 . . . d und α = x, y, z, wird durch die 3d Komponenten des Polarisationsvektors ~e(~q) festgelegt. Die Verifikation des Ansatzes erfolgt durch Einführung in Gl.
(7.28):
X
X
~0 − R
~ 00 )eκ0 α0 exp [i~q(R
~ 00 − R
~ 0 )] =
ω2 eκα =
Φ̂κα,κ0 α0 (R
Dκα,κ0 α0 (~q)eκ0 α0 .
(7.33)
l
l
l
l
κ0 α0
l0 κ0 α0
Hier ist die dynamische Matrix D die Fouriertransformierte von Φ̂,
X
~ 0m ) exp (−i~qR
~ 0m ).
Dκα,κ0 α0 (~q) =
Φ̂κα,κ0 α0 (R
(7.34)
m
In den Übungen wird gezeigt, dass die die dynamische matrix eine hermitesche 3d × 3d- Matrix ist. Die
Gleichung
X
ω2 eκα =
Dκα,κ0 α0 (~q)eκ0 α0 .
(7.35)
κ0 α0
ist daher ein 3d × 3d-Matrixeigenwertproblem mit einer hermiteschen Matrix D(~q) und hat daher 3d reelle
Lösungen ~en , n = 1 . . . 3d und ω2n für N Werte von ~q, welche aus den periodischen Bedingungen folgen. Die
dazugehörigen Lösungen (7.32) sind die Phononen-Normalmoden.
6KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
7.4
Paarwechselwirkungsmodell mit Federkräften
In (7.23) befindet sich der allgemeine Ausdruck für den Kraftkonstantentensor. Dieser kann fundamental nur
in sehr komplizierten mikroskopischen Modellen ausgerechnet werden. In weiten Teilen der Literatur versucht man deshalb, den Kraftkonstantentensor in einem vereinfachten Modell an Experimente anzupassen.
Ein solches empirisches Modell basiert auf der Vorstellung von Paarkräften zwischen zwei Atomkernen.
7.4.1
Einfache Federkraft
Wir betrachten eine einfache Feder zwischen den Kernen lκ und l0 κ0 . Dann ist die Energie in dieser Feder
V
i2
h
i2
kh~
~ lκ (t)| − |R
~ 00 0 − R
~ 0 | = k |R
~ l0 κ 0 − R
~ lκ (t)| − a~ek
|Rl0 κ0 − R
lκ
lκ
2
2
i2 k
k X h
a~ek + (~ul+1 − ~ul ) − a~ek ∼ [(~ul0 κ0 )k − (~ulκ )k )]2
2 l
2
=
=
(7.36)
~ 00 0 − R
~ 0 für |~ul | a
Im letzten Schritt entwickeln wir hier mit ~u = ~ul0 κ0 − ~ulκ und ~a = a~ek = R
lκ
lκ
~u~a
= a + uk ,
a
|~a + ~u| = |~a| + ~u∇|~r|~r=~a = |~a| +
mit
∇|~r| = ∇
q
x2 + y2 + z2 = p
1
x2
+ y2 + z2
(7.37)
(x, y, z).
(7.38)
Die Kraft auf den lκ-Kern in α-Richtung ist
Flκα
∂V
k ∂
=−
[(~ul0 κ0 )k − (~ulκ )k ]2
∂ulκα
2 ∂ulκα
∂
(−~ulκ )k = −k[(~ul0 κ0 )k − (~ulκ )k ]~ek .
−k[(~ul0 κ0 )k − (~ulκ )k )]
∂ulκα
= −
=
(7.39)
~0 − R
~ 00 0 /|R
~0 − R
~ 00 0 |
Eine einfache Federkraft ist daher longitudinal in Richtung der Federachse ~ek = R
lκ
lκ
lκ
lκ
gerichtet.
7.4.2
Verallgemeinerte Federkraft
Wie bei der einfachen Federkraft sind die verallgemeinerten Federkräfte proportional zu den Differenzen
der Auslenkungen der Kerne,
Flκα =
l0X
κ0 ,lκ
lX
κ ,lκ h
i
~0 − R
~ 00 ~ul0 κ0 α0 − ~ulκα0 ⇔ F~lκ =
~0 − R
~ 00
Cκα,κ0 α0 R
Cκκ0 R
l
l
l
l
0 0
α
l 0 κ 0 α0
mit
l0 κ0 α0
~ 00 − R
~ 0 > 0.
~0 − R
~ 00 = Cκ0 α0 κα R
Cκακα0 R
l
l
l
l
αα0
~ul0 κ0 − ~ulκ
α0
,
(7.40)
(7.41)
Im Gegensatz zur einfachen Federkraft (7.39) ist die Richtung der Federkraft nicht auf die Federachse
beschränkt. Dies ist wichtig für die Beschreibung von Scherkräften und Transversalmoden (s. Gl. (7.59)).
Ein Vergleich zwischen dem Paarwechselwirkungsmodell mit verallgemeinerten Federkräften (7.40) und
der allgemeinen Definition des Kraftkonstantentensors (7.24)
X
Flκα = −
Φlκα,l0 κ0 α0 ul0 κ0 α0
(7.42)
l 0 κ 0 α0
liefert zwei wesentliche Unterschiede: Zum Einen wird in (7.40) der Term lκ = l0 κ0 ausgenommen. Zum
Anderen treten in (7.40) die Differenzen der Auslenkungen auf, wohingegen in (7.24) die einfachen Auslenkungen erscheinen. Zur Klärung der Beziehung zwischen (7.40) und (7.42) formen wir (7.40) um,
l0 κ0 ,lκ

l0X
κ0 ,lκ
X
 X

0
κκ0 ~ 0
0
κκ
0
0

~
~
~
Flκα =
Cαα0 Rl − Rl0 ul0 κ0 α0 − 
Cαα0 Rl − Rl0  ulκα ≡ −
Φlκα,l0 κ0 α0 ul0 κ0 α0 .
(7.43)
l 0 κ 0 α0
l 0 κ 0 α0
l0 κ0 α0
7.4. PAARWECHSELWIRKUNGSMODELL MIT FEDERKRÄFTEN
Es folgt
Φlκα,l0 κ0 α0

κκ0 ~ 0

~ 0 für lκ , l0 κ0

−Cαα
0 Rl − Rl0

=
P0 0

κκ0 ~ 0
~ 0 für lκ = l0 κ0 .
 ll0 κκ0 ,lκ
α0 C αα0 Rl − Rl0
7
(7.44)
Die Rückführung auf den Fall der einfachen Feder wird erbracht durch die Setzung
h
i
~0 − R
~ 00
Cκκ0 R
= k ~ek ⊗ ~ek αα0 = k ~ek α ~ek α0 .
l
l
0
(7.45)
Dann finden wir nämlich für die Kraftwirkung von l0 κ0 auf lκ
Xh
i
X ~0 − R
~ 00
0 κ0 − ~
~
~
~ek α0 ~ul0 κ0 − ~ulκ α0 = k ~ek α ~ul0 κ0 − ~ulκ k .
F~α =
u
u
=
k
e
Cκκ0 R
0
l
lκ
k
α
l
l
α
0
(7.46)
αα
α0
αα
α0
8KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
7.5
7.5.1
Eindimensionale Oszillatorketten
Einatomiger Basis: Longitudinale und transversale akustische Phononen
Abbildung 7.2: Eindimensionale Oszillatorkette mit einatomiger Basis im Federmodell.
Wir betrachten die in Abb. 7.2 dargestellte einfache, einatomige Oszillatorkette. Es liegt ein eindimensionales Gitter mit nur einem Basisatom vor, sodass wir den Index κ fortlassen können. Die Positionen der Kerne
sind
~ l (t) = la~e x + ~ul (t).
R
(7.47)
Es gilt also ~ek = ~e x und Gl. (7.45) erbringt für die Paarkraftkonstanten
C l − l0 αα0 k ~e x α ~e x α0 = k δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,x δα0 ,x .
(7.48)
Weiterhin ergibt sich mit (7.44) der Kraftkonstantentensor
Φlα,l0 ,lα0 = −k δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,x δα0 ,x
sowie
Φlα,lα0 = k
X
(7.49)
δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,x δα0 ,x = 2kδα,x δα0 ,x .
(7.50)
l0
Es folgt die Anwendung von Gl. (7.29)
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 =
k
k
2δl,l0 − δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,x δα0 ,x =
2δm,0 − δm,−1 + δm,1 δα,x δα0 ,x
M
M
(7.51)
~ 0m = ma~e x und ~q = q~e x
mit der Oszillatorenmasse M und m = l − l0 . Aus (7.34) folgt mit R
Dα,α0 (~q) =
X
~ 0m ) exp (−i~qR
~ 0m ) =
Φ̂κα,κ0 α0 (R
m
k 2 − eiqa − e−iqa δα,x δα0 ,x .
M
Mit
2 − eiqa − e−iqa = 2[1 − cos (qa)] = 4 sin2
qa a
(7.52)
(7.53)
ergibt sich die dynamische Matrix

1
k
2 qa 
0
D(q) = 4 sin
M
2 0
0
0
0

0

0 .

0
(7.54)
Nach Gl. (7.55) sind die Phononenmoden durch die Eigenwektoren von d(q) gegeben. Hier existiert nur
eine nichtverschwindende Mode mit dem longitudinalen Polarisationsvektor ~e = ~e x und der Eigenfrequenz
r
qa k
sin
.
(7.55)
ω=2
m
a
Die Transversalmoden haben in dieser Näherung die Frequenz Null. Um dieses zu vermeiden, wird in der
Literatur häufig der Ansatz (??) für die verallgemeinerte Paarkraftkonstanten erweitert in der Form
X
X
kα00 δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,α00 δα0 ,α00 .
C l − l0 αα0
kα00 ~eα00 α ~eα00 α0 =
(7.56)
α00
α00
7.5. EINDIMENSIONALE OSZILLATORKETTEN
9
Hier werden transversale Rückstellkräfte ’per Hand’ eingeführt. Dann wird (7.51) zu
Φ̂lκα,l0 κ0 α0 =
X k00
α
2δl,l0 − δl,l0 −1 + δl,l0 +1 δα,α00 δα0 ,α00 =
2δm,0 − δm,−1 + δm,1 δα,α00 δα0 ,α00
M
M
α00
X kα00
α00
(7.57)
und die dynamische Matrix (7.52)
Dα,α0 (~q) =
X
~ 0m ) exp (−i~qR
~ 0m ) =
Φ̂κα,κ0 α0 (R
α00
m
sodass
X kα00 
qa k x
1

D(q) = 4 sin2
0
M
2  0
M
2 − eiqa − e−iqa δα,α00 δα0 ,α00 ,
0
ky
0

0 

0  .

kz
(7.58)
(7.59)
Über die longitudinale Mode hinaus gibt es nun zwei transversale Moden mit den Polarisationsvektoren
~e = ~ey und ~e = ~ez und den Frequenzen
r
ωy/z = 2
7.5.2
qa ky/z
.
sin
m
a
(7.60)
Zweiatomige Basis: Optische Phononen
Gegeben sei die folgende nächste Nachbarkette mit fester Federkonstante k und unterschiedlichen Massen
(s. Abb. ??).
Abbildung 7.3: Kette mit 1d-Auslenkung und zweiatomiger Basis, d = 2. Eingezeichnet ist eine mögliche
Einheitszelle der Länge 2a mit der Basis bestehend aus A-Atomen der Masse M und B-Atomen der Masse
m.
mit κ = 1, 2 und den Basisvektoren
~ lκ (t) = l2a~e x + ~rκ + ~ulκ (t)
R
(7.61)
~r1 = 0
(7.62)
und
~r1 = a~e x
Es gilt also wieder ~ek = ~e x . Die Federn zwischen den kernen seien alle gleich und die Paarkraftkonstanten
sind
10KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
Abbildung 7.4: Zweidimensionales kubisches Gitter mit nächste-Nachbar Wechselwirkung (grüe Federn) und übernächste-Nachbar Wechselwirkung (braune Federn) und einatomiger Basis. Die Gleichgewichtspo~ 0 = 0 liegen bei den Gittervektoren R
~ 0 = a~e x , R
~ 0 = a~ey ,
sitionen der vier nächsten Nachbarn des Atoms bei R
1
2
~ 0 = −a~e x und R
~ 0 = −a~ey .
R
3
4
7.6
7.6.1
Mehrdimensionale Gitter
Allgemeine Gleichungen bei Kristallsymmetrie
Wir folgen dem Zugang für mehrdimensionale Gitter von [?], der dort für Graphen entwickelt wird. Die Abbildung 7.4 zeigt als Beispiel ein zweidimensionales einatomiges kubisches Gitter mit nächster-Nachbarund übernächster-Nachbar Wechselwirkung. Der Einfachheit halber wird eine einatomige Basis angenommen, sodass der Index κ entfällt. Die Bewegungsgleichung für das l-te Atom lautet mit Gl. (7.40)
X
~ 00 − R
~ 0 (ul0 α0 − ulα )
M ülα = −ω2 ulα = Flα =
C α0 α R
(7.63)
l
l
l0 α0
oder in Vektorschreibweise
− ω2~ul =
X
~ 0 ~ul0 − ~ul .
~ 00 − R
C R
l
l
(7.64)
l0
Hier sind die Auslenkungen in x, y Koordinaten (’Laborkoordinaten’, KS s. Abb. ??). Bei einer Drehung
des Koordinatensystems um einen Winkel φ besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den Koordinaten
~u0l = U(φ)~ul . Für einen Auslenkungsvektor gilt bei einer Drehung des Koordinatensystems um φ (s. Abb.
7.4 (b))
~u = u(cos (α), sin (α)) und ~u0 = u(cos (α − φ), sin (α − φ)).
(7.65)
Es folgt
~u0
=
u (cos (α) cos (φ) + sin (α) sin (φ), sin (α) cos (φ) − cos (α) sin (φ))
cos (φ)u x + sin (φ)uy , cos (φ)uy − sin (φ)u x ≡ U(φ)~u
=
mit
"
U=
cos (φ)
− sin (φ)
#
sin (φ)
cos (φ)
"
mit
U −1 =
#
cos (φ) − sin (φ)
.
sin (φ) cos (φ)
(7.66)
(7.67)
Es ist dann im gestrichenen System
− ω2~u0l =
X
0 ~ 00 − R
~ 0 ~u0l0 − ~u0l
C R
l
l
(7.68)
l0
mit
0
~ 00 − R
~ 0 = U −1C R
~ 00 − R
~ 0 U.
C R
l
l
l
l
(7.69)
Wir können Gl. (7.64) schreiben als
− ω2~ul =
X
l0
0
0
~ 00 − R
~ 0 U l0 ~ul0 − ~ul .
(U l )−1C R
l
l
(7.70)
7.6. MEHRDIMENSIONALE GITTER
11
~ 00 − R
~ 0 überführt.
Hier erfolgt in jedem der Summanden eine Drehung, die die x-Achse in die Richtung von R
l
l
Es wird im verallgemeinerten Federmodell gewählt
"ki 0 #
0
0 0
~
~
C Rl0 − Rl = r
= Ci
(7.71)
0 kti
wobei i(l, l0 ) der Nachbarhierachieindex ist, welcher für nächste Nachbarn i = 1, für zweitnächste Nachbarn
~ 0 = 0 und beschränken uns auf die M nächsten Nachbarn
i = 2 beträgt usw. Wir wählen l = 0, definieren R
0
l0 = 1 . . . M. Es resultiert
M
M
X
X
0
0
− ω2~u0 =
(U l )−1C 1 U l ~ul0 − ~u0 ≡
Cl0 ~ul0 − ~u0 ,
(7.72)
l0 =1
l0 =1
wobei
Cl = (U l )−1C 1 U l
Mit dem üblichen Modenansatz
(7.73)
~0
~ul = ~eei~qRl
(7.74)
folgt die Eigenwertgleichung
ω2~e =
M
X
~0
Cl0 1 − ei~qRl0 ~e = D(~q)~e
(7.75)
l0 =1
mit der dynamischen Matrix
D(~q) =
M
X
~0
Cl0 1 − ei~qRl0 .
(7.76)
l0 =1
Die Phononendispersion ω(~q ergibt sich wie gehabt durch die Wurzel der Eigenwerte der dynamischen
Matrix.
7.6.2
Anwendung: 2d-kubischer Kristall in nächste-Nachbarwechselwirkung
~ 0 = (a, 0) (Drehung um
Für das 2d-kubische Gitter in Abb. (7.4)(a) lauten die nächsten Nachbarvektoren R
1
0
0
~ 0 = (0, −a)(Drehung
~
~
φ = 0), R2 = (0, a) (Drehung um φ = π/2) , R3 = (−a, 0)(Drehung um φ = π) und R
4
um φ = 3π/2. Daraus folgt
!
!
!
!
1 0
0 1
−1 0
0 −1
1
2
3
4
U =
U =
U =
U =
(7.77)
0 1
−1 0
0 −1
1 0
Wir berechnen nach Gl. (7.34) mit ~q = (q x , qy )
Dαα0 (~q) =
4
X
~ 0 ) exp (−i~qR
~0)
Φαα0 (R
l
l
l=0
=
=
=
h
i
2k1 δα,x δα0 ,x + 2k1 δα,y δα0 ,y − k1 δα,x δα0 ,x exp (−iq x a) + exp (iq x a) − k1 δα,y δα0 ,y exp (−iqy a) + exp (iqy a)
2k1 δα,x δα0 ,x + δα,y kδα0 ,y − 2k1 cos (q x a)δα,x δα0 ,x − 2k1 cos (qy a)δα,y δα0 ,y
2k1 (1 − cos (q x a)) δα,x δα0 ,x + 2k1 1 − cos (qy a) δα,y δα0 ,y .
(7.78)
Die dynamische Matrix hat daher die diagonale Form
 q a 2
sin x
2
D(~q) = 4k1 
0
sin


0
qy a 2 
(7.79)
2
und hat daher zwei Eigenwerte
q a 2
q a 2
y
x
und
κ2 (~q) = 4k1 sin
(7.80)
2
2
mit den dazugehörigen Phononenfrequenzen
√
√
q a
q a
k1
k1
y
x
ω(1, ~q) = 2
sin
und
ω(2, ~q) = 2
sin
(7.81)
M
2
M
2
Dieses entspricht einer einfachen Überlagerung zweier Oszillatorketten jeweils in x-Richtung und in yRichtung. Dieses Resultat hat die unphysikalische Eigenschaft, dass für qy = 0 gilt ω(2, q~e x ) = 0.
κ1 (~q) = 4k1 sin
12KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
Abbildung 7.5: Phononenspektrum von Aluminium.
7.7
Quantentheorie des harmonischen Kristalls
7.7.1
Zur Erinnerung: Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im einfachen harmonischen Oszillator
Im eindimensionalen harmonischen Oszillator is der Hamiltonoperator gegeben durch
Ĥ =
p̂2 1
+ mω2 x̂2 .
2m 2
(7.82)
Beim Übergang zur Quantenmechanik wurden Ort und Impuls zu zwei hermiteschen Operatoren p̂ und x̂
mit der kanonischen Komutatorrelation
[ x̂, p̂] = i~.
(7.83)
Definiere Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (Leiteroperatoren)
r
â =
†
mω
p̂
x̂ − i √
2~
2~mω
(7.84)
mω
p̂
x̂ + i √
.
2~
2~mω
(7.85)
und
r
â =
Dann lässt sich schreiben
!
1
Ĥ = ~ω â â +
,
2
(7.86)
[â, ↠] = 1.
(7.87)
†
und es folgt die Kommutatorralation
Die Eigenzustände |n > des Hamiltonoperators lassen sich dann direkt konstruieren:
1
|n >= √ (↠)n |0 > .
n!
(7.88)
7.7. QUANTENTHEORIE DES HARMONISCHEN KRISTALLS
13
Es ist
↠â|n >
=
h
i
1
1
↠â √ (↠)n |0 >= √ ↠{↠â + â, ↠}(↠)n−1 |0 >
|{z}
n!
n!
=
↠↠â(↠)n−1 |0 > +|n >= ↠↠↠â(↠)n−2 |0 > +2|n > .
1
(7.89)
Wir können also den Vernichtungsoperator n-mal mit einen Erzeugungsoperator vertauschen. Danach wirkt
der Vernichtungsoperator auf das Vakuum mit einem Nullresultat und wir erhalten
↠â|n >= n|n > .
(7.90)
!
1
1
Ĥ|n >= ~ω â â +
|n >= ~ω(n + )|n >= En |n >,
2
2
(7.91)
Es folgt
†
wobei die Energieeigenwerte durch En = ~ω(n + 1/2) gegeben sind.
7.7.2
Quantisierung der Gitterschwingungen
Wir gehen nach demselben Schema wie bei der Quantisierung des eindimensionalen harmonischen Oszillators vor:
1. Quantisierung der klassische Hamiltonfunktion durch Einführung der quantenmechanischen Orts- und
Impulsoperatoren
Die klassische Hamiltonfunktion für einen einbasigen Kristall lautet
H=
X P
~2
1 X
l
~0 − R
~ 00 )slα sl0 α0 ,
+
Φαα0 (R
l
l
2M
2
lα,l0 α0
l
(7.92)
~l − R
~ 0 und P
~ l = MR
~˙ l = M ~s˙l . Beim Übergang zur Quantenmechanik definieren wir die
wobei ~sl = R
l
~l → P
~ˆ l mit den drei Komponenten P̂lα und ~sl → ~sˆl mit den drei Komponenten ŝlα . Die
Vektoroperatoren P
kanonischen Vertauschungsrelationen lauten dann
h
i
ŝl0 α0 , P̂lα = i~δl,l0 δα,α0
(7.93)
und
[R̂lα , R̂l0 α0 ] = [ ŝlα , ŝl0 α0 ] = 0.
(7.94)
Es ergibt sich beim Übergang zur ersten Quantisierung, dass
H=
X P
~ˆ 2
l
l
2M
+
1 X
~ 00 ) ŝlα ŝl0 α0 ,
~0 − R
Φαα0 (R
l
l
2 lα,l0 α0
(7.95)
2. Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Wir setzen für jede Normalmode λ = ~q, n jeweils einen Erzeugungs- und einen Vernichtungsoperator in
Analogie zu Gl. (7.84) und (7.85)an:
r

N
 Mω(~q, n)
1 X
1
ˆ 
0 n
ˆ
~
~

~sl + i p
â~q,n = √
exp (−i~qRl )~e (~q) 
Pl 
(7.96)
2~
N l=1
2~Mω(~q, n)
und
â~†q,n

r
N
 Mω(~q, n)
1
1 X
ˆ 
0 n
ˆ
~
~

~sl − i p
= √
exp (i~qRl )~e (~q) 
Pl  .
2~
N l=1
2~Mω(~q, n)
(7.97)
14KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
P
~ˆ l = Pα enα (~q)P̂lα
Hierbei entstehen durch die Skalarproduktbildungen ~en (~q)~sˆl = α enα (~q) ŝlα sowie ~en (~q)P
~ˆ l können durch die Rücktransformationen
skalare Operatoren. Die Operatoren ~sˆl und P
s
1 X
~sˆl = √
N ~qn
und
−i X
~ˆ l = √
P
N ~qn
h
i
~
~0)
â~q,n + â†−~q,n ~en (~q) exp (i~qR
l
2Mω(~q, n)
r
i
~Mω(~q, n) h
~0)
â~q,n − â†−~q,n ~en (~q) exp (i~qR
l
2
zurückgewonnen werden. Wir können z. B. Gl. (7.98) zeigen, indem wir dort einsetzen
r
N
1 X
Mω(~q, n) ˆ
†
0 n
~
~sl0 .
â~q,n + â−~q,n = √
exp (−i~qRl0 )~e (~q)2
2~
N l0 =1
(7.98)
(7.99)
(7.100)
Hier nehmen wir die Inversionssymmetrie des Gitters an, sodass ~en (~q) = ~en (−~q) und ω(−~q, n) = ω(~q, n) (s.
TL). Es resultiert dann aus Gl. (7.98)
~sˆl
=
=
h
i
1 X
~0 − R
~ 00 ) ~en (~q) ⊗ ~en (~q) ~sˆl0
exp i~q(R
l
l
N 0
~qn,l
X 1 X
X
h
iX
~0 − R
~ 00 )
~en (~q) ⊗ ~en (~q) ~sˆl0 =
exp i~q(R
δl,l0 ŝl0 = ŝl .
l
l
N
n
l0
l0
~q
{z
}
|
{z
}|
(7.101)
1
δll0
Hier ist ~en (~q) ⊗ ~en (~q) das dyadische Produkt des Vektors ~en (~q) mit sich selbst, d.h. eine Matrix mit den
Elementen
[~en (~q) ⊗ ~en (~q)]α,α0 = enα (~q)enα0 (~q).
(7.102)
Da die drei ~en (~q) ein Polarisationsvektoren ein Orthonormalsystem bilden gilt
3
X
X
[~en (~q) ⊗ ~en (~q)]α,α0 =
enα (~q)enα0 (~q) = δα,α0 ,
n
d. h.
P
en (~q)
n [~
(7.103)
n
⊗ ~en (~q)] = 1.
3. Kommutatorrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Wir berechnen analog zu Gl. (7.87)
h
i 1 X
~ 0 )enα (~q) exp (i~q0 R
~ 00 )enα00 (~q0 )
exp (−i~qR
â~qn , â~†q0 n0 =
l
l
N lαl0 α0
r

r
0 , n0 )

 Mω(~q, n)
1
Mω(~
q
1
ˆ
~ l0 α0 

ŝlα + i p
P̂lα ,
ŝl0 α0 − i p
P
2~
2~
2~Mω(~q, n)
2~Mω(~q0 , n0 )
|
{z
}
δl,l0 δα,α0
1 X
0
~ 0 ] = δnn0 δ~q0 ~q
exp [i(~q0 − ~q)R
=
enα (~q)enα (~q0 )
l
N l
α
|
{z
}|
{z
}
X
δnn0
(7.104)
δ~q0 ~q
Der in der zweiten Zeile verwendete Kommutator berechnet sich analog zum Kommutator von Erzeugungsund Vernichtungsoperator im einfachen harmonischen Oszillator.
7.7. QUANTENTHEORIE DES HARMONISCHEN KRISTALLS
15
4. Entwicklung des Hamiltonoperators in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Wir beginnen mit der kinetischen Energie
r
r
0 0
1 X ~ˆ 2
1 −1 X
~Mω(~q, n) n
0
~ ) ~Mω(~q , n ) ~en0 (~q0 ) exp (i~q0 R
~0)
~e (~q) exp (i~qR
T=
Pl =
l
l
2M l
2M N
2
2
l~qn~q0 n0
h
ih
i
× â~q,n − â†−~q,n â~q0 ,n0 − â†−~q0 ,n0
r
r
1 X
1 X
~Mω(~q, n) ~Mω(~q0 , n0 ) n
0
~0)
~e (~q)~en (~q0 )
exp [i(~q + ~q0 )R
= −
l
2M 0 0
2
2
N l
~qn~q n
|
{z
}
δ~q,−~q0
=
h
ih
i
× â~q,n − â†−~q,n â~q0 ,n0 − â†−~q0 ,n0
q
q
h
ih
i
1X
0
~ ω(~q, n) ω(~q, n0 ) ~en (~q)~en (~q) â~q,n − â†−~q,n â−~q,n0 − â~†q,n0
−
| {z }
4 0
~qnn
=
1X
4
~qn
δnn0
i
ih
h
~ω(~q, n) â~q,n − â†−~q,n â~†q,n − â−~q,n
(7.105)
Dann folgt der Anteil V der potentiellen Energie am Hamiltonoperator. Zunächst ist
X
~0 − R
~ 00 ) ŝl0 α0
Φαα0 (R
l
l
l 0 α0
=
=
s
h
i
~
1 X
~0 − R
~ 00 )
~ 00 ) â~q,n + â†
Φαα0 (R
enα0 (~q) exp (i~qR
√
l
l
l
−~
q
,n
2Mω(~q, n)
N l0 α0 ,~qn
s
h
i
1 X n
~
~ 0 ) â~q,n + â†
κ (~q)
enα (~q) exp (i~qR
.
√
l
−~
q
,n
2Mω(~q, n)
N
(7.106)
~qn
Wir finden dann mit κn (~q) = Mω2 (~q, n)
=
1 X
~0 − R
~ 00 ) ŝlα ŝl0 α0
Φαα0 (R
l
l
2 lα,l0 α0
s
h
i
~
1 1 X
2
~ 0 ) â~q,n + â†
ŝlα Mω (~q, n)
enα (~q) exp (i~qR
.
√
l
−~
q
,n
2 N
2Mω(~q, n)
lα,~qn
=
1
2N
X
lα,~qn,~q0 n0
h
ih
i
~Mω2 (~q, n)
†
~ 0 )enα0 (~q0 ) exp (i~q0 R
~ 0 ) â~q,n + â†
0 ,n0 + â
enα (~q) exp (i~qR
â
p
p
~
q
0
0
l
l
−~q,n
−~q ,n
2M ω(~q, n) ω(~q0 , n0 )
=
h
ih
i
~ω2 (~q, n)
1 X
0
enα (~q)enα (~q) â~q,n0 + â†−~q,n0 â−~q,n + â~†q,n
p
p
4
ω(~q, n) ω(~q, n0 )
α,~qn,n0
=
h
ih
i
1X
~ω(~q, n) â~q,n + â†−~q,n â−~q,n + â~†q,n
4
(7.107)
~qn
Wir finden dann
X
1X
1
H =T +U =
~ω(~q, n) â~†q,n â~q,n + â~q,n â~†q,n =
~ω(~q, n) â~†q,n â~q,n +
2
2
~qn
~qn
!
(7.108)
16KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
7.7.3
Quantenzustände des harmonischen Quantenkristalls
1.) Fock-Raum der Eigenzustände des harmonischen Quantenkristalls
Jeder Normalmode λ = {~q, n} wird ein Oszillator zugeordnet. Der Hamiltonoperator in Gl. (7.108) bedeutet, dass diese Oszillatoren unabhängig voneinander sind. ⇒ Zustand |r > wird durch einen Satz von
Besetzungszahlen {n~q,n } charakterisiert mit n~q,n ∈ N 0 :
Y 1
r
(a† )n~q,n |0 >
n~rq,n ! ~q,n
|r >= |{n~rq,n } >=
(7.109)
~q,n
Wegen der Kommutatorrelation [a~†q,n , a~†q0 ,n0 ] = 0 spielt die Reihenfolge der Operatoren keine Rolle.
2.) Besetzung eines Normalmodenoszillators im TD-Gleichgewicht
Die Normalmodenoszillatoren haben keine wechselwirkung untereinende und es gibt wie bei Photonen
keine Teilchenzahlerhaltung ⇒ Jeder Normalmodenoszillator isd unabhängig von den anderen Oszillatoren
im Gleichgewicht mit dem Wärmebad. Wir haben für eine gegebene Mode mit der Frequenz ω die mittlere
Besetzungszahl
hni =
=
=
−(n+ 21 ) k~ωT
P
− kn~ωT
n ne B
=
P −(n+ 21 ) k~ωT
P − kn~ωT
B
ne
ne B
X
kB T ∂
kB T ∂
1
kB T ∂
− n~ω
− ~ω
−
ln
e kB T = −
ln
=
ln 1 − e kB T
~ω
~ ∂ω
~ ∂ω 1 − e− kB T
~ ∂ω
n
P
ne
n
B
− k~ωT
e
B
− k~ωT
1−e
1
=
B
e
~ω
kB T
.
(7.110)
−1
Wir erhalten die Bose-Verteilung
1
hni =
e
7.7.4
~ω
kB T
.
(7.111)
−1
Spezifische Wärme des Gitters in Debeye-(Kontinuums)-Näherung
Zustandsdichte
Für das Verschiebungsfeld einer Phononenmode haben wir hergeleitet, dass
q
~ 0 ).
sλlα (t) = exp [−iω(n, ~q)t]wn,~
q)t]enα (~q) exp (i~qR
l
lα = exp [−iω(n, ~
(7.112)
Genau wie bei elektronischen Blochzusänden lassen sich die erlaubten Wellenvektoren, hier ~q, durch periodische Randbedingungen festlegen. Wir erhalten eine Zustandsdichte im ~q-Raum von
V
dN
=
,
dΩ (2π)3
(7.113)
wobei Ω das Volumenelement im ~q-Raum ist und V das Volumen des Festkörpers im Ortsraum.
In Kontinuums- oder Debye Näherung ist die Schallgeschwindigkeit v konstant, sodass
ω = vq.
(7.114)
Die Gesamtzahl von Zuständen mit Wellenvektorbeträgen kleiner als q gegeben durch
N=
V 4π ω 3
.
(2π)3 3 v
(7.115)
Daraus folgt die Zustandsdichte für einen Zweig
D(ω) =
dN
vω2
= 2 3.
dω 2π v
(7.116)
7.7. QUANTENTHEORIE DES HARMONISCHEN KRISTALLS
17
Bei N primitiven Elementarzellen in der Probe ist N die Gesamtzahl der akustischen Phononenzustände pro
Zweig. Durch (7.115) wird daher eine Abschneidefrequenz ωD festgelegt zu
ω3D = 6π2 v3
N
.
V
(7.117)
Dieser Frequenz entspricht im ~q-Raum ein Abschneide-Wellenvektor
!1/3
6π2 N
ωD
.
=
kD =
v
V
(7.118)
Innere Energie und spezifische Wärme
Die thermische Energie ist für bei drei akustischen Zweigen gegeben durch
!
!
Z ∞
Z ωD
3vω2
~ω
U=3
dωD(ω)n(ω)~ω =
dω
.
2π2 v3 e k~ω
0
0
BT − 1
(7.119)
Hier nehmen wir an, dass die Phononenphasengeschwindigkeit von der Polarisation unabhängig ist. Dann
ist
~ω
Z ωD
T 3 Z xD
∂U
ω4 e kB T
3v~2
x4 e x
CV =
= 2 3
dω
=
9Nk
dx
(7.120)
B
2
~ω
∂T
Θ
2π v kB T 2 0
(e x − 1)2
0
e kB T − 1
mit x = ~ω/kB T und
xD =
~ωD Θ
≡ ,
kB T
T
mit der Debyetemperatur Θ
~Θ
6π2 N
=
kB
V
(7.121)
!1/3
.
(7.122)
Aus dem Vorlesungsskript ’Festkörperphysik’ von Prof. R. Gross und Dr. A. Marx, Walther Meissner Institut:
Wir betrachten zwei Grenzfälle
1. Für große T/Θ ist die obere Integrationsgrenze klein und der Integrand kann entwickelt werden,
!3
Z xD
Z xD
x4 e x
x4 1 Θ
→
dx 2 =
.
(7.123)
dx
3 T
x
(e x − 1)2
0
0
18KAPITEL 7. PHONONEN: QUANTISIERTE GITTERSCHWINGUNGEN IN HARMONISCHER NÄHERUNG
Man erhält in diesem Fall die Dulong-Petit-Regel
CV = 3NkB .
(7.124)
2. Bei tiefen Temperaturen kann dann die Integration für alle praktischen Zwecke gegen unendlich
ausgedehnt werden. Das Integral strebt dann gegen die Konstante 4π4 /15, woraus mit
CV ∼
T 3
12π4
Nk
5
Θ
das bekannte T 3 -gesetz der spezifischen Wärme folgt.
(7.125)
7.7. QUANTENTHEORIE DES HARMONISCHEN KRISTALLS
19