7 Zufallsvariable

Zufallsvariable
Poisson-Verteilung
Stetige Zufallsvariable
Mathematik II für Biologen
Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen
Stefan Keppeler
12. Juni 2015
Stefan Keppeler
Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen
Zufallsvariable
Poisson-Verteilung
Stetige Zufallsvariable
Zufallsvariable
Definition
Kennzahlen: Erwartungswert
Kennzahlen: Varianz
Kennzahlen: Erwartungstreue
Verteilungsfunktion
Poisson-Verteilung
Stetige Zufallsvariable
Definition
Beispiel: Exponentialverteilung
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Stetige Zufallsvariable
Definition
Kennzahlen: Erwartungswert
Kennzahlen: Varianz
Kennzahlen: Erwartungstreue
Verteilungsfunktion
Definition: Eine Funktion X : Ω → R heißt Zufallsvariable
(Zufallsgröße). Sie heißt diskret, falls sie nur endlich viele oder
abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
Bemerkung: Jede Teststatistik ist eine Zufallsvariable,
z.B. Spermasexing: Ω = {♂, ♀}12 , X = #♀,
d.h. z.B. X(♀, ♀, ♀, ♀, ♂, ♀, ♀, ♀, ♀, ♂, ♀, ♀) = 10
Kennzahlen: Erwartungswert E[X], Varianz Var(X),
Standardabweichung, Median...
Vorsicht: Nicht verwechseln mit den Begriffen für Stichproben!
(siehe auch später...)
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Stetige Zufallsvariable
Definition
Kennzahlen: Erwartungswert
Kennzahlen: Varianz
Kennzahlen: Erwartungstreue
Verteilungsfunktion
Definition: Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X
ist
X
E[X] :=
k · P [X = k]
k
Beispiele:
◮ X: Ergebnis eines fairen Würfelwurfs
E[X] =
6
X
k=1
◮
X ∼ Bin(n, p):
k·
1
1 + 2 + ... + 6
=
= 3,5
6
6
E[X] = np
Beweis:
Linearität (X, Y : Zufallsvariablen, a, b ∈ R)
E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ] ,
insbesondere E[a + bX] = a + bE[X].
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Beweis:
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Definition
Kennzahlen: Erwartungswert
Kennzahlen: Varianz
Kennzahlen: Erwartungstreue
Verteilungsfunktion
Definition: Die (theoretische) Varianz einer diskreten
Zufallsvariablen X ist
Var(X) := E[(X − E[X])2 ]
p
und ihre Standardabweichung ist σ(X) := Var(X).
Es gilt: Var(X) = E[X 2 ] − (E[X])2
Beweis:
Beispiele:
◮ Wurf eines fairen Würfels
Var(X) =
6
X
(− 25 )2 + (− 32 )2 + . . . + ( 25 )2
1
=
6
6
(k − 72 )2 ·
k=1
=
◮
35
≈ 2,9
12
X ∼ Bin(n, p):
⇒
σ(X) ≈ 1,7
Var(X) = np(1 − p)
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Definition
Kennzahlen: Erwartungswert
Kennzahlen: Varianz
Kennzahlen: Erwartungstreue
Verteilungsfunktion
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Poisson-Verteilung
Stetige Zufallsvariable
◮
◮
Stichprobe: {x1 , . . . xn }
Betrachte die xi als unabhängige Zufallsvariablen Xi , die alle
gleich verteilt sind, insbesondere
E[Xi ] = E[X]
und
Var(Xi ) = Var(X)
∀ i = 1, . . . , n .
n
◮
1X
xi und
n
i=1
n
1 X
die empirische Varianz s2x =
(xi − x)2
n−1
i=1
erwartungstreu, d.h.
Dann sind der Mittelwert x =
E[x] = E[X]
und
E[s2x ] = Var(X) .
Beweis:
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Stetige Zufallsvariable
Definition: Die (theoretische kumulative) Verteilungsfunktion
F : R → [0, 1] einer Zufallsvariable X ist gegeben durch
F (t) := P [X ≤ t]
Beispiele:
◮
◮
Wurf eines fairen Würfels
X ∼ B(10; 0,7)
0.35
1
n=10, p=0.7
n=10, p=0.7
0.9
0.3
0.8
0.7
0.6
0.2
F(t)
P[X=k]
0.25
0.15
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
0
1
2
3
4
5
k
6
7
8
9
10
0
−2
0
2
4
6
8
10
12
t
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Poisson-Verteilung
Stetige Zufallsvariable
Definition: Eine Zufallsvariable X : Ω → N0 heißt Poisson-verteilt
mit Parameter λ > 0 falls
P [X = k] = e−λ
λk
.
k!
Man schreibt X ∼ Pois(λ)
Eigenschaften: E[X] = λ, Var(X) = λ
Beispiele:
◮
X = # radioaktive Zerfälle pro Sekunde (für 1kg Plutonium)
◮
X = # Mutationen in festem Zeitraum
◮
X = # Erdbeben in festem Zeitraum
Grund:
Bin(n, p = nλ ) −→ Pois(λ)
n→∞
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Stetige Zufallsvariable
Beispiel:
◮
In Schüttelhausen gibt es im Schnitt 8 Erdbeben pro Jahr.
◮
Annahme: Beben zu jeder Zeit gleich wahrscheinlich
◮
Wie ist X, die Anzahl der Erdbeben pro Jahr, verteilt?
◮
Wir benötigen: E[X] = 8
Teile Jahr in gleich große Zeitabschnitte:
Wahrscheinlichkeit für Beben
8
8
8
12 , im Februar: 12 ... ; X ∼ Bin(12, 12 )
◮ in Woche 1: 8 , in Woche 2: 8 ... ; X ∼ Bin(52, 8 )
52
52
52
◮ am 1. Januar: 8 , am 2. Januar: 8 ... ; X ∼ Bin(365, 8 )
365
365
365
◮
im Januar:
...stündlich, minütlich... immer feiner ; X ∼ Pois(8)
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Stetige Zufallsvariable
0.25
0.16
X ~ Bin(12,8/12)
X ~ Bin(52,8/52)
0.14
0.2
0.12
0.1
P(X=k)
P(X=k)
0.15
0.1
0.08
0.06
0.04
0.05
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
20
0
2
4
6
8
k
0.16
14
16
18
20
10
12
14
16
18
20
X ~ Pois(8)
0.14
0.12
0.12
0.1
P(X=k)
0.1
P(X=k)
12
0.16
X ~ Bin(365,8/365)
0.14
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0
10
k
0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
k
0
0
2
4
6
8
k
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Stetige Zufallsvariable
Definition
Beispiel: Exponentialverteilung
Nicht alle Zufallsvariablen sind diskret (“zählen” etwas), manche
können beliebige reelle Werte annehmen.
Beispiel: “Wartezeit” in Schüttelhausen
Definition: Eine Zufallsvariable X heißt stetig verteilt, falls eine
stetige und diffbare Funktion FX : R → R+
0 , die
Verteilungsfunktion, existiert mit
P [a ≤ X ≤ b] = FX (b) − FX (a) .
Die Ableitung fX := FX′ heißt Dichte von X
Zusammenhang:
FX (t) =
P [a ≤ X ≤ b] =
Z
t
fX (s) ds ,
−∞
Z b
Skizze
fX (s) ds = FX (b) − FX (a) .
a
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Definition
Beispiel: Exponentialverteilung
Beispiel: ...zurück nach Schüttelhausen:
◮
X = # Erdbeben in einem Jahr, E[X] = 8 =: λ,
k
also X ∼ Pois(λ), d.h. P [X = k] = λk! e−λ
gilt auch für andere Zeiträume:
◮
X1 = # Beben in einem halben Jahr, E[X] =
also X1 ∼
Pois( λ2 ),
d.h. P [X1 = k] =
k
(λ
2)
k!
e
λ
2
=4
−λ
2
◮
X2 = # Beben in fünf Jahren, E[X] = 5λ
k
−5λ
also P [X2 = k] = (5λ)
k! e
◮
Y = # Beben in Zeitintervall der Länge t (in Jahren)
k
−λt
E[Y ] = λt, also P [Y = k] = (λt)
k! e
P [Y ≥ 1]= 1 − P [Y = 0] = 1 − e−λt
= Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Beben im Zeitraum der Länge t
= Wahrscheinlichkeit dafür, dass Wartezeit T höchtens t
= P [T ≤ t] = FT (t) und damit auch fT (t) = λe−λt
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