Aufgaben zur Elektrodynamik/Optik

Aufgaben zur Elektrodynamik/Optik
(Wintersemester 2008/2009)
1. Die Dirac’sche Deltafunktion y = δ(x) lässt sich als Grenzwert einer gewöhnlichen
Funktion g(x) darstellen:
δ(x) = lim g(x), mit g(x) =
α→0
α
1
, α > 0.
2
π α + x2
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion der Funktion g(x) für den Fall α > 0 durch.
Bestimmen Sie dabei die Nullstellen, Grenzwerte, Pole, Extremwerte und Wendepunkte. Skizzieren Sie damit die Funktion.
b) Welchen Einfluss hat der Parameter α ? Wie sieht die Funktion im Grenzfall
α → 0 aus ?
c) Berechnen Sie die Integrale I1 und I2 :
I1 =
+∞
Z
−∞
dx g(x) , I2 =
+∞
Z
−∞
dx x · g(x − x0 ), x0 = const.
Hinweis: für I1 siehe bestimmte Integrale in Bronstein... o.a. Integraltafeln
Was ergibt sich für I1 im Grenzfall α → 0 ?
~ r ) = (x2 , xy, yz), ~r = (x, y, z).
2. Gegeben sei das Feld A(~
a) Berechnen Sie die Quellstärke dieses Feldes
R
O
des Einheitswürfels 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
~ r ) durch die Oberfläche O
df~ · A(~
b) Die Quellstärke läßt sich über den Gauß’schen Integralsatz durch ein Volumenintegral ausdrücken. Berechnen Sie dieses und vergleichen Sie das Resultat mit
dem aus a).
R
~ r) des Feldes auf einem Quadrat Q mit
c) Berechnen Sie die Wirbelstärke d~r · A(~
Q
den Eckpunkten P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 1, 0), P3 = (1, 1, 1) und P4 = (1, 0, 1).
d) Die Wirbelstärke läßt sich über den Stoke’schen Integralsatz durch ein Flächenintegral ausdrücken. Berechnen Sie dieses und vergleichen Sie das Resultat mit
dem aus c).
3. Berechnen Sie die Quellstärke und die Wirbelstärke der beiden Felder:
~r
~ × ~r , A
~ = A ~ex , A = const. .
F~1 (~r) = A · n , A = const, F~2 (~r) = A
r
r
H
a) Berechnen Sie die Quellstärke F~ (~r) df~ der Felder durch die Oberfläche einer
Kugel mit dem Radius R, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt.
H
b) Berechnen Sie die Wirbelstärke F~ (~r) d~r der Felder auf dem Umfang eines
Kreises mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt im Ursprung und der senkrecht
~ liegt. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn A
~ im Kreis liegt ?
zu A
4. Energiestrom eines Elektronenstrahls
Untersuchen Sie das elektromagnetische Feld eines Elektronenstrahls (kreisförmiger
Querschnitt, Radius RS << Länge des Strahls LS ). Zur Vereinfachung soll dabei von einer zylinderförmigen, homogenen und stationären Ladungsverteilung und
Stromdichte (in z-Richtung) ausgegangen werden.
a) Berechnen Sie das elektrische Feld außerhalb des Strahls, indem Sie die Quellengleichung des elektrischen Feldes über einen Zylinder mit dem Radius r > RS
integrieren und dabei die Zylindersymmetrie des Feldes ausnutzen !
QS
~r
~ r) =
(Resultat: E(~
, QS - Gesamtladung des Strahls)
2πε0 LS r r
b) Berechnen Sie das magnetische Feld außerhalb des Strahls, indem Sie die Wirbelgleichung des Magnetfeldes über einen Kreis (Radius r > RS , Kreisebene
senkrecht und symmetrisch zum Strahl) integrieren ! Nutzen Sie dabei die Zylindersymmetrie des Feldes !
~ r) = µ0 IS ~ez × ~r , ~ez - Einheitsvektor in Richtung des Strahls,
(Resultat: B(~
2πr
r
IS - Stromstärke des Strahls)
c) Bestimmen Sie den Energiestromdichtevektor und die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes außerhalb des Strahls!
5. ∆-Operator für zylindersymmetrische Probleme
Zeigen Sie, daß für zylindersymmetrische
Probleme der Laplace-Operator ∆ in der
!
q
∂Φ(ρ)
1 ∂
ρ
verwendet werden kann (ρ = x2 + y 2).
Form ∆ Φ(ρ) =
ρ ∂ρ
∂ρ
Transformieren Sie dazu den Laplace-Operator unter Beachtung der Symmetrie von
kartesischen in Zylinder-Koordinaten.
6. Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
Berechnen Sie das elektrostatische Potential einer homogen geladenen Kugel (Radius
R, Gesamtladung Q) innerhalb und außerhalb der Kugel durch Lösung der Potentialgleichung ∆Φ = −ρ/ε0 ! Berechnen Sie aus dem Potential jeweils das elektrische
Feld !
Hinweise:
1. Die Ladungsdichte lässt sich wie folgt darstellen:
̺ (r) =



̺0 r < R
0
r>R
̺0 =
Q
R3
4π
3
2. Beachten Sie, dass wegen der Kugelsymmetrie
(Φ = Φ(r)) folgendes gilt:
!
q
1 ∂
2 ∂Φ(r)
∆ Φ(r) = 2
r
, r = x2 + y 2 + z 2
r ∂r
∂r
3. Beachten Sie, dass das Potential im Unendlichen verschwinden und bei r = 0
endlich sein muss.
4. Beachten Sie die Stetigkeit des Potential und seiner ersten Ableitung auf der
Kugeloberfläche bei (r = R):
dΦ(r) ′
′
′
und i/a=innen/außen
Φi (R) = Φa (R), und Φi (R) = Φa (R), mit Φ (R) =
dr r=R
7. Fouriertransformation
+∞
˜ = R dx eikx f (x) der Funktion
Berechnen Sie die Fouriertransformierte f(k)
−∞
f (x) = e−α|x| , α > 0, rell.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Rücktransformation f (x) =
+∞
R dk
−∞
2π
˜
e−ikx f(k)
berechnen ! Was ergibt sich für f (x) und f˜(k) im Grenzwert α → 0 ?
Hinweis: Die benötigten bestimmten Integrale finden Sie in allen gängigen Integraltafeln.
8. Multipolentwicklung
Gegeben sei eine Ladungsverteilung, die aus vier Punktladungen besteht: Q1 = +Q
an der Stelle ~r1 = (0, 0, a), Q2 = −Q an der Stelle ~r2 = (0, 0, −a), Q3 = −Q an der
Stelle ~r3 = (0, a, 0), Q4 = +Q an der Stelle ~r4 = (0, −a, 0).
a) Formulieren Sie die Ladungsdichte ρ(~r) und berechnen Sie aus ρ(~r) das Dipolmoment P~ und die Quadrupolmomente Qij der Ladungsverteilung !
b) Formulieren Sie das Potential, das die Ladungsverteilung in großen Entfernungen erzeugt, und berechnen Sie die elektrische Feldstärke !
c) Was erhält man für P~ und Qij , wenn Q1 und Q3 vertauscht werden ?
9. Magnetfeld eines endlich langen, geraden, stromdurchflossenen Leiters
(I=const.)
a) Berechnen Sie das Magnetfeld eines endlich langen geraden Leiters (Länge L
in z-Richtung, −L/2 < z < L/2) mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes
(ausserhalb des Leiters).
~ (~r) = µ0 · I
B
4π
Z
L
d~r′ × (~r − ~r′ )
|~r − ~r′ |3
Gehen sie dabei ähnlich vor, wie es in der Vorlesung für das Vektorpotential
~ r ) gezeigt worden ist. Verwenden Sie das Integral :
A(~
Z
√
dt
23
̺2 + t
=
̺2
√
t
(Probe durch Differenzieren).
̺2 + t2
b) Zeigen Sie, dass man aus dem Ergebnis von a) im Grenzfall L → ∞ das
bekannte Resultat für den unendlich langen geraden Leiter erhält !
c) Um wieviel ist das Magnetfeld
bei z = 0 größer als bei z = ±L/2 (für einen
√ 2
2
festen Abstand ρ = x + y vom Leiter) ?
d) Was erhält man für das Magnetfeld im Fall ρ >> L, bzw. ρ << L ?
10. Das Potential eines elektrischen Dipols ist gegeben durch
1 P~ · ~r
Φ(~r) =
4πǫ0 r 3
Zeigen Sie, dass sich das elektrische Feld des Dipols wie folgt darstellen lässt:
"
#
~
r
1
~ r) = −
P~ − 3 (P~ · ~r) 2
E(~
4πǫ0 r 3
r
11. Das Potential eines magnetischen Dipols ist gegeben durch
~ × ~r
~ r ) = µ0 m
A(~
4π r 3
Zeigen Sie, dass sich das magnetische Feld des Dipols wie folgt darstellen lässt:
"
~r
~ r ) = − µ0 m
~ − 3 (m
~ · ~r) 2
B(~
3
4πr
r
#
12. Das elektrische Feld einer linear polarisierten, monochromatischen, harmonischen
~ t) = ~ex E0 cos(kz − ωt) , k = ω/c.
ebenen Welle sei gegeben durch E(z,
a) Berechnen Sie das Magnetfeld mit Hilfe der Maxwell-Gleichung(en)!
b) Berechnen Sie Energiestromdichte und Energiedichte der Welle !
13. Gauß’sches Wellenpaket
~ r , t), die sich in
Eine in x-Richtung linear polarisierte elektromagnetische Welle E(~
z-Richtung ausbreitet, lässt sich gemäß
~ t) = ~ex
E(z,
+∞
Z
−∞
dk ˜
f (k) ei[kz−ω(k)t] ,
2π
mit ω(k) = kc
als eine Summe (Integral) aus ebenen Wellen darstellen. f˜(k) (die Amplitude, mit
der die Welle mit der Wellenzahl k vorkommt) sei durch eine Gauß-Verteilung gegeben:
˜ = √ 1 e−(k−k0 )2 /2∆2
f(k)
2π∆
a) Zeigen Sie, dass die Gauß-Verteilung normiert ist:
+∞
Z
˜ =1
dk f(k)
−∞
b) Zeigen Sie, dass der Mittelwert der Gauß-Verteilung
< k >=
+∞
Z
dk k f˜(k) = k0 ist !
−∞
c) q
Zeigen Sie, dass die mittlere quadratische Schwankung der Gauß-Verteilung
< (k− < k >)2 > = ∆ ist ! Berechnen Sie dazu:
2
< (k− < k >) > =
+∞
Z
−∞
dk (k − k0 )2 f˜(k)
d) Zeigen Sie, dass man nach Ausführung der Fouriertransformation für den Betrag des Feldes wieder eine Gauß-Verteilung
~ t) = ~ex e−(z−ct)2 /2∆˜ 2 eik0 (z−ct) = ~ex e−(z−ct)2 /2∆˜ 2 ei(k0 z−ω(k0 )t) erhält!
E(z,
2π
2π
˜ = 1 ! Was beschreibt ∆
˜ ?
Überprüfen Sie ∆ · ∆
Hinweis: Benötigte Integrale siehe Bronstein o.a. Integraltafeln unter den bestimmten Integralen !
Integrale, die zur Lösung von Aufgabe 13 benötigt werden
Z∞
−a2 k 2
dk e
=
0
Z∞
2 k2
dk k e−a
2
−a2 k 2
dk k e
0
Z∞
2 k2
dk cos(bk) e−a
0
π
, a>0
2a
mit partieller Integration
0
Z∞
√
√
π
, a>0
4a3
√
π −b2 /4a2
=
e
, a>0
2a
=
14. Dipolstrahlung einer Stabantenne
Eine Ladung Q bewegt sich harmonisch mit der Kreisfrequenz ω0 auf einer Stabantenne der Länge L, die in z-Richtung liegt (~r = L/2 cos ω0 t ~ez ).
a) Bestimmen Sie das Dipolmoment!
b) Bestimmen Sie die Potentiale und die elektrische und magnetische Feldstärke
~ und B
~ an einem bestimmten
! Skizzieren Sie die Richtung der Feldvektoren E
Ort (~r) in der x-z-Ebene ! Kennzeichnen Sie auftretende rechte Winkel !
c) Zeigen Sie, dass der Energiestromdichtevektor sich wie folgt ergibt:
4 2
~ = µ0 ω0 P (t − r/c) sin2 ϑ ~er ,
S
(4π)2 r 2 c
ϑ - Winkel zwischen ~r und Dipolrichtung ~ez
~ r ) = S(R, ϑ) ~r/r auf einem
Skizzieren Sie den Energiestromdichtevektor S(~
Kreis (Radius R, Mittelpunkt im Ursprung) in der x-z-Ebene ! Wählen Sie
dabei ϑ = 0, π/6, π/3, π/2 und die entsprechenden Winkel in den anderen Quadranten! Skizzieren Sie die Kurve, die man erhält, wenn man ϑ kontinuierlich
variiert und die Spitzen der Energiestromdichtevektoren verbindet !
d) Zeigen Sie, dass man für die Sendeleistung der Stabantenne Folgendes erhält:
dE
=
dt
I
4 2
~ df~ = µ0 ω0 P (t − R/c) ,
S
6πc
wenn man über die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R integriert und
dabei beachtet, dass df~ = r 2 sinϑ dϑdϕ ~er .
15. Brechungsgesetz
~ r ) und D(~
~ r ) = ε0 εr E(~
~ r ) an der
Zeigen Sie, daß für die statischen Felder E(~
Grenze zweier homogener und isotroper Dielektrika mit den Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 ein Brechungsgesetz der Form
tan α2
tan α1
=
ε1
ε2
~ bzw.
gilt. α1 , α2 sind dabei die gegen das Einfallslot gemessenen Winkel des E~
D-Feldes.
Was folgt für die Brechung von einem dielektrisch dünnen (ε1 ) zu einem dichteren Medium (ε2 > ε1 ) im Vergleich zum Brechungsgesetz für Licht?
~ und die NorHinweis: Verwenden Sie, dass die Tangentialkomponenten von E
~
malkomponenten von D an der Grenze zwischen den Medien stetig sind !
16. Leitfähigkeit in Metallen
a) Die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einem Leiter und unter dem
Einfluß eines elektrischen Feldes E(t) in x-Richtung lautet m v̇ = −m γ v+
q E, mit v = ẋ.
Lösen Sie die Bewegungsgleichung allgemein für beliebige Felder E(t) !
b) Zeigen Sie, daß sich bei einem homogenen stationären elektrischen Feld
E(t) = E0 das Elektron für große Zeiten (stationäre Lösung) geradlinig
gleichförmig bewegt mit ẋ = q E / m γ. Zeigen Sie, dass man damit für die
Gleichstromleitfähigkeit σ0 = nq 2 /mγ erhält ! (Beachten Sie: j = q · n · v =
σE)
c) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung für ein Feld E(t) =
E0 e−iωt . Es ist günstig, zunächst mit einem komplexen Feld zu rechnen.
Bilden Sie am Ende den Realteil von v(t) und damit die Stromdichte !
Bestimmen Sie damit die frequenzabhängige Leitfähigkeit !
17. Dielektrische Suszeptibilität
Die frequenzabhängige dielektrische Funktion eines Mediums, in dem harmonisch gebundene Dipole der Dichte n vorhanden sind, lautet
χ(ω) =
ne2 /m
.
ω02 − ω 2 − iγω
a) Zerlegen Sie χ(ω) in 2 Anteile, die resonant bei positiven/negativen Frequenzen ω sind (Partialbruchzerlegung):
∆
∆
χ(ω) =
−
′
ω + ω 0 + iΓ
ω − ω ′0 + iΓ
′
Bestimmen Sie ∆, ω 0 , Γ.
b) Zerlegen Sie den Beitrag der Suszeptibilität, der resonant bei positiven
Frequenzen ist, in Real- und Imaginärteil χ(ω) = χ1 (ω) + i χ2 (ω). Diskutieren Sie Real- und Imaginärteil der Suszeptibilität als Funktion von
ω. Bestimmen Sie dazu Nullstellen, Extrema, Verhalten bei ω = 0, ∞ und
skizzieren sie die Funktionen! Was ändert sich, wenn man den bei negativen
Frequenzen resonanten Beitrag untersucht ?
c) Was erhält man für den Imaginärteil der Suszeptibilität im Grenzfall verschwindender Dämpfung: limΓ→0 χ2 (ω) = ?
d) Zeigen Sie, dass man für die zeitabhängige Suszeptibilität χ(t) nach Fouriertransformation von χ(ω) (siehe a)) Folgendes erhält:
dω
χ(ω) e−iωt = 2∆ Θ(t) e−Γt sin ω ′ 0 t , wobei
( 2π
1 für t > 0
Θ(t) =
die Heaviside’sche Stufenfunktion ist.
0 für t < 0
χ(t) =
Z
Interpretieren Sie das Ergebnis !
Hinweise:
· Substituieren Sie zunächst ω ± ω0′ = x !
· Zerlegen Sie χ und die Exponentialfunktion in Real- und Imaginärteile,
beachten Sie die Symmetrie der Intergranden und transformieren Sie
zunächst einen der beiden in a) gegebenen Summanden.
· Folgende Integrale treten auf (siehe z.B. Bronstein):
Z∞
0
x sin tx
t π −|Γt|
=
e
,
2
2
x +Γ
|t| 2
Z∞
0
cos tx
π −|Γt|
=
e
2
2
x +Γ
2Γ