2.2 Beschleunigte Bezugssysteme 2.2.1 Gleichf. beschl

2.2 Beschleunigte Bezugssysteme
2.2.1 Gleichf. beschl. Translationsbew.
r r
r r
System S' gleichf. beschleunigt: V = a ⋅ t (bei t=0 sei V = 0)
s
S
s
gleichförmige beschleunigte Translationsbewegung
System S
System S'
x, y, z
x', y', z'
"ruhend"
beschleunigt
bewegt (im Zug)
r
r
r
r
r
r
2
Ortsvektor
r ′ = r − 1 a ⋅ t2
r = r′ + 1 a ⋅t
2 S
2 S
r r r
r r r
Geschwindigkeit
v = v′ + a t
v′ = v − a t
S
S
r
r
a′
a
Beschleunigung
r r r
r
r r
a′ = a − a
a = a′ + a
S
S
r
r
r
r
System S ist
F
=
ma
=
F
− ma
′
′
r
S
r
Inertialsystem! F = ma !
r
r
res
= F+F
t
r
F : Scheinkraft
t
(Trägheitskraft)
r
• Beobachter in S' wird zusätzliche Beschleunigung −aS als Wirkung einer Kraft
("Scheinkraft" , "Trägheitskraft") interpretieren!
• Um
einen Körper im beschleunigten System S' "in Ruhe zu halten" muß eine (reale) Kraft
r
v
F wirken, die die Scheinkraft Ft kompensiert:
r r r
r r
F + F = 0 ⇔ a′ = 0 !
(d'Alembert)
[Gl.2.1.1.]
t
statisches Gleichgewicht:
Summe der Kräfte=0
einschl. der Trägheitskraft!
Beispiel: Körper Fl. (m = 1 kg) steht auf einer (elektronischen, in "N" geeichten) Waage in
einem Aufzug (g=10 m/s2)
( )
a)
b)
10 N
c)
15 N
5N
(betrachte nur vertikale Komp.von Kraft, Beschl. etc., "+" nach oben)
wg. "actio" = "reactio" gilt:
Anzeige der Waage = FN = |FFl. auf Waage| = |FWaage auf Fl.|!
[Gl.2.1.2.]
Physik_2_2_beschl_Bezugssysteme.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00 S.1/10
a) Aufzug in Ruhe
(oder gleichf. Geschw.!)
a)
Fl. bleibt in Ruhe
10 N
Kräfte auf Fl.:
Gewicht:
Waage auf Fl.:
Summe:
Beschleunigung:
F = − mg
G
F
N
F
res
ªa
-10 N
+10 N
0N
0 m/s2
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b) Aufzug beschleunigt
mit 5
m / s 2 nach oben:
b)
15 N
1) Betrachtung von außen:
Kräfte auf Fl.:
Gewicht:
Waage auf Fl.:
Summe:
Beschleunigung:
F = − mg
G
F
N
F
res
ªa
-10 N
+15 N
+ 5N
+5 m/s2
) Fl. wird mit 5 m / s2 nach oben beschleunigt!
--------------------------------------------------------------------------------------------------2) Betrachtung im beschl. Bezugssystem des Aufzugs:
Kräfte auf Fl.:
Gewicht:
Waage auf Fl.:
"Trägheitskr."
Summe:
Beschleunigung:
F = − mg
G
F
N
F
t
F′
ª a'
-10 N
+15 N
- 5N
0N
0 m/s2
) Im Bezugssystem des Aufzugs bleibt Fl. in
Ruhe!
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c) Aufzug beschleunigt
mit - 5
c)
m / s 2 (nach unten)
5N
1) Betrachtung von außen:
Kräfte auf Fl.:
Gewicht:
F = − mg
G
Waage auf Fl.:
F
N
Summe:
…
…
F
res
…
Beschleunigung:
ªa
) Fl. wird mit - 5
…
m / s 2 (nach unten) beschleunigt!
---------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Betrachtung im beschl. Bezugssystem des Aufzugs:
Kräfte auf Fl.:
Gewicht:
F = − mg
G
Waage auf Fl.:
F
N
"Trägheitskr."
F
t
Summe:
…
…
…
F′
…
Beschleunigung:
ª a'
)
…
Im Bezugssystem des Aufzugs bleibt Fl. in Ruhe!
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2.2.2 Rotierende Bezugssysteme,
Zentrifugal - und Corioliskraft
Spez.: gleichförmig rotierende Bezugssysteme, Bsp.: Erde
a)
Betrachtung
von außen
gleichmäßige Kreisbewegung
Betrachtung
im rotierenden Bezugssystem
Körper ruht im rotierenden Bezugssystem
FZ
m
Durch Zentripetalkraft (z.B. Feder)
r
F = mω 2 R (nach innen!) beschleunigte
z
Bewegung!
FZ m Ft=FZf
Beobachter im beschl. System: Körper ruht
⇒ Summe aller Kräfte = 0
⇒ außer der Feder muß eine weitere Kraft
(gleich groß aber entgegengesetzt, d.h. nach
außen!) wirken:
r
⇒ Trägheitskraft (Scheinkraft) Fzf :
"Zentrifugalkraft" / "Fliehkraft"
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Zentrifugalbeschl. auf der Erde:
r
addiert sich (vektoriell!) zur Erdbeschleunigung g
0
r
r
r
( g zeigt zum Erdmittelpunkt: g ↑↓ r )
0
0
___________________________________________________________________________
r
r r
v
Bem.: ZF-Beschl. als Vektor a = −ω × (ω × r )
[Gl.2.1.3.]
zf
r
mit: ω = Vektor der Winkelgeschwindigkeit
r
2π
(Winkelgeschw. [rad./s])
−
Betrag: ω = ω =
T
−
Richtung der Drehachse,
"rechte-Hand-"/ "Rechtsschrauben"Regel
__________________________________________________________________________________________
r
r r
g = g +a
0
zf
r
r r
r
= g − ω × (ω × r )
0
F||
[Gl.2.1.4.]
mg
r
a = ω 2 R ⋅ cos λ
E
zf
FZf
λ
r
r
a << g (⇒ nachrechnen!)
zf
0
r
g = g ≈ g − a ⋅ cos λ
0
zf
[Gl.2.1.4.]
= g − ω 2 R cos2 λ (*)
E
0
g / ms-2
( g ≈ 9.832 m / s2 )
0
9.84
9.83
9.82
9.81
9.8
9.79
9.78
9.77
Abh. der Erdbeschl. vom Breitengrad
th.
H HN
exp.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Breitengrad
⇒ Effekt ca. 50% größer als nach (*) !
Warum ?
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b.) Körper bewegt sich im rotierenden System
ª im rot. System tritt eine zusätzliche Scheinkraft auf:
CORIOLIS-Kraft
r r
einfaches Beispiel - radiale Bew. mit Geschw v, ( v⊥ω ) :
•
•
•
Körper bewegt sich (im Inertialsystem) kräftefrei
⇒ geradlinig
_______________________________________________
im rot. System würde er geradl. in Zeit ∆t von A nach B
kommen
wegen der Rotation bleibt er aber um Winkel α = ω ⋅ ∆t zurück
A ⇒ B' !
s = α ⋅ (v∆t )
B
s
B’
v∆t
α
= (ω ∆t ) ⋅ (v∆t ) = ω v∆t 2
Beobachter im rot. System interpretiert dies als
Normalbeschleunigung :
Coriolis-Beschl. a
c
A
s = 1 a ∆ t 2 ⇒ a = 2ω v
c
2 c
r r r r
F ⊥ω F ⊥v ⎫ r
r r
⎪
c
c
Coriolis-Kraft: r
r
r r ⎬Fc = 2m (v × ω)
F = 0 für v ω !⎪
c
⎭
c.)
•
•
[Gl.2.1.5.]
Beschleunigung eines Körpers im rotierenden Bezugssystem:
r
Auf Körper wirkt im Inertialsystem („ I “) Kraft F ,
r
r
⇒ Beschl. a = F m
I
r
r
im rotierenden System („ R “) hat Körper Geschw. v , Ortsvektor r
R
R
Beschl. im rot. System:
r
r
r r r r r
aR = a{I + 2 ⋅ vR × ω −ω × (ω × rR ) (*)
1
4
24
3 14
4244
3
r
Fm
[Gl.2.1.6.]
Coriolisbeschl . Zentrifugalbeschl .
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0 1 kleine Rechenübung:
Ergänzung:
… wir berechnen die Beschleunigung
r
a im rot. System!
R
(und zeigen , daß (*) vernünftig ist !)
(Annahme: System "R" rotiert gegenüber "I" um z-Achse)
Schritt 1:
wie werden Vektoren von R → I transformiert ?
Schritt 2:
Darstellung des Ortsvektors r
r
I
(als Spaltenvektor im System I – aber in Abh. von den Koordinaten
x , y , z im System R)
R
R R
r
I
Schritt 3:
2-mal differenzieren ⇒ Beschleunigung a
Schritt 4:
zeigen, daß Ergebnis Gl. (*) entspricht!
Schritt 1:
wie werden Vektoren von R → I transformiert ?
zI
Umrechnung (Transformation) der
Koordinaten R → I
zR
(1)
P
⎛ x ⎞ ⎛ x cos ωt − y sin ωt⎞
R
⎜ I⎟ ⎜ R
⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ x sin ωt + y cos ωt⎟
R
⎜ I⎟ ⎜ R
⎟
z
z
⎝ I⎠ ⎝
⎠
R
yR
yI
xI
xR
ωt
Übung: zeigen Sie, daß
x 2 + y2 + z 2 =
I
I
I
x 2 + y 2 + z 2 und daß in der x-y-Ebene die Vektoren
R
R
R
⎛ xI ⎞
⎛x ⎞
⎜ ⎟ u. ⎜ R ⎟ den Winkel ωt einschließen!
⎝ yI ⎠
⎝ yR ⎠
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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analoge Transf. gilt für Geschwindigkeit und Bechleunigung:
⎛ x& cos ωt − y& sin ωt⎞
R
⎟
⎜ R
r
(2) v = ⎜ x& sin ωt + y& cos ωt⎟
R ⎜ R
R
⎟
&
z
⎠
⎝
R
⎛ x&& cos ωt − &&
y sin ωt⎞
R
R
⎟
⎜
r
a = ⎜ &&
x sin ωt + &&
y cos ωt⎟
(3)
R ⎜ R
R
⎟
&&
z
⎠
⎝
R
r
Bem.: Gl 2 ist die Darstellung eines Geschwindigkeitsvektors v im Koordinatensystem I (Drehung des K.R
Systems), die durch die Rotation bedingte zusätzliche Geschw. ist hier (noch) nicht enthalten!
Entsprechendes gilt für Gl. 3!
r
Darstellung des Ortsvektors rI
Schritt 2:
(als Spaltenvektor im System I – aber in Abh. von den Koordinaten x R , y R , z R
im System R)
⎛ x ⎞ ⎛ x cos ωt − y sin ωt⎞
R
⎟
r ⎜ I⎟ ⎜ R
r = ⎜ y ⎟ = ⎜ x sin ωt + y cos ωt⎟
R
I ⎜ I⎟ ⎜ R
⎟
z
z
⎠
⎝ I⎠ ⎝
R
siehe Schritt 1!
(1)
Schritt 3:
2 mal differenzieren ⇒ Beschleunigung aI
r
r r
Berechnung der Geschw. vI = r&I : ableiten!
⎛ x& ⎞ ⎛ x& cos ωt − ωx sin ωt − y& sin ωt − ωy cos ωt⎞
R
R
R
⎟
⎜ I⎟ ⎜ R
r
(4) v = ⎜ y& ⎟ = ⎜ x& sin ωt + ωx cos ωt + y& cos ωt − ωy sin ωt⎟
I ⎜ I⎟ ⎜ R
R
R
R
⎟
&
&
z
z
⎠
⎝ I⎠ ⎝
R
r
r r
Berechnung der Beschl. a = v& = r&& : nochmals ableiten!
I
I I
Abk. : s = sin ωt , c = cos ωt
⎛ x&& c − ωx& s − ωx& s − ω2 x c − &&
y s − ωy& c − ωy& c + ω 2 y s⎞
⎜ R
R
R
R
R
R
R
R⎟
r ⎜
2
2
(5)
y c − ωy& s − ωy& s − ω y c⎟
a = x&& s + ωx& c + ωx& c − ω x s + &&
R
R
R
R
R
R
R ⎟
I ⎜ R
&&
z
⎜
⎟
R
⎝
⎠
(6)
Schritt 4:
bzw:
⎛ x&& c − 2ωx& s − ω 2 x c − &&
y s − 2ωy& c + ω 2 y s⎞
⎜ R
R
R
R
R
R⎟
r ⎜
2
2
a = x&& s + 2ωx& c − ω x s + &&
y c − 2ωy& s − ω y c⎟
I ⎜ R
R
R
R
R
R ⎟
&&
z
⎜
⎟
R
⎝
⎠
zeigen, daß Ergebnis Gl. (*) entspricht!
r r
r
r
r
a = a + 2⋅v × ω − ω ×
R
I
R
r r
r
r
r
a = a − 2⋅v × ω + ω ×
I
R
R
(ωr × rrR)
(ωr × rrR)
(*)
(**)
… alle Vektoren als Spaltenvekt. im K.-System I darstellen:
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⎛ x& c − y& s⎞
R⎟
⎜ R
r
v = ⎜ x& s + y& c⎟
R ⎟
R ⎜ R
&
z
⎝
R ⎠
⎛ &&
x c − &&
y s⎞
R⎟
⎜ R
r
y c⎟
a = ⎜ x&& s + &&
R ⎟
R ⎜ R
&&
z
⎝
R ⎠
⎛ 0⎞
r ⎜ ⎟
ω = ⎜ 0⎟
⎜ ⎟
⎝ ω⎠
⎛ x c − y s⎞
R⎟
⎜ R
r
r = ⎜ x s + y c⎟
R ⎟
R ⎜ R
z
⎝
R ⎠
Kreuzprodukte aus-X-en:
(
)
⎛ x& s + y& c ω − 0⎞
⎟
⎜ R
⎛ − x& Rs − y& Rc⎞
R
r
r
⎜
⎟
⎟
⎜
a.) −2v × ω = −2 0 − x& c − y& s ω = 2ω⎜ + x& c − y& s⎟
⎜
R
R
R ⎟
R
R
⎜
⎟
0
⎟
0
⎜
⎝
⎠
⎠
⎝
(
(
)
)
⎛ −ω x s + y c ⎞
⎜
⎛ − x Rs − yRc⎞
R
R ⎟
r r
⎜
⎟
⎜
⎟
= ω⎜ x c − y s ⎟
b.) ω × r = ω x c − y s
R ⎜
R
R ⎟
R
R
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
(
)
⎛ − x c−y s ⎞
⎜
⎛ − x Rc + yRs⎞
R
R ⎟
r r r
⎜
⎟
2
2
⎜
⎟
ω × ω × r = ω + − x s − y c = ω ⎜ − x s − y c⎟
⎜
R
R
R ⎟
R
R
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
(
)
schließlich … alles in (**) einsetzen:
⎛ x&& c − &&
y s⎞
⎛ − x& Rs − y& Rc⎞
⎛ − x Rc + yRs⎞
R⎟
r ⎜ R
⎜
⎟
⎜
⎟
2
a = ⎜ x&& s + &&
y c⎟ + 2ω⎜ + x& c − y& s⎟ + ω ⎜ − x s − y c⎟
R
R
R
R
I ⎜ R
R ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
&&
z
0
0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
R ⎠
dies ist identisch Gl. 6 (Ber. der 2. Ableitung) :
⎛ x&& c − 2ωx& s − ω 2 x c − &&
y s − 2ωy& c + ω 2 y s⎞⎟
⎜ R
R
R
R
R
R
r
⎜
⎟
2
2
a = ⎜ x&& s + 2ωx& c − ω x s + &&
y c − 2ωy& s − ω y c⎟ q.e.d.!
I
R
R
R
R
R
R
⎜
⎟
&&
z
R
⎝
⎠
Physik_2_2_beschl_Bezugssysteme.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00S.10/10