Aufgaben zu »Zufallsvariable« und »Erwartungswert« - Lo-net2

Aufgaben zum Thema »Zufallsvariable«
Aufgaben zu »Zufallsvariable« und »Erwartungswert«
1.Aufgabe
Einer Sendung von Gläsern werden nacheinander 3 Stück entnommen. Man notiert, wie
viele schadhaft sind. Man weiß, dass 90% der Gläser in einer Sendung einwandfrei sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsvariablen X: Anzahl der schadhaften Gläser unter 3 entnommenen.
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
2.Aufgabe
Petersburger Spiel
Eine Laplace-Münze mit den Ergebnissen 0 und 1 wird so lange geworfen, bis die 1 oder
bis 9 Nullen vorgekommen sind.
Man gewinnt bei Würfen
.
Welchen Gewinn kann man erwarten?
3.Aufgabe
Eine Firma stellt Teile her, die zu 95 % einwandfrei sind. Die Herstellungskosten betragen
1 pro Teil.
Ist ein Teil nicht einwandfrei, so darf der Kunde es behalten und er bekommt kostenlos
ein einwandfreies Teil.
Zu welchem Preis muss die Firma ihre Teile anbieten, wenn sie pro Teil einen Gewinn
von 0,1 erzielen will?
4.Aufgabe - Zuverlässigkeitstheorie
In einer Reihenschaltung von 6 Bauteilen gleicher Zuverlässigkeit sei eines ausgefallen.
Zu seiner Ermittlung werden folgende Verfahren vorgeschlagen:
a) Die Bauteile werden nacheinander einzeln getestet.
b) Zunächst werden 3 Bauteile als Ganzes getestet, danach die 3, unter denen sich das
defekte befindet, einzeln.
5.Aufgabe
Beim Würfelspiel »Die böse Drei« ist der Einsatz 3 . Dann werden zwei ideale Würfel
geworfen. Fällt keine 3, erhält der Spieler die Augensumme in ausbezahlt, fällt minde
stens einmal die 3, so muss er zu dem Einsatz noch die Augensumme in bezahlen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
Ist das Spiel fair?
Aufgaben zum Thema »Zufallsvariable«
Lösung zu Aufg. 1
s = schadhaft, e = einwandfrei, ( Ergebnis Nr. i des Zufallsversuchs)
Ergebnisse , und welche Zahl die Zufallsvariable X ihnen zuordnet:
(s,s,s) 3 (s,s,e) 2 (s,e,s) 2 (e,s,s) 2 (s,e,e) 1 (e,s,e) (e,e,e) 0
Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsversuchs:
(s,s,s) (s,s,e)
(s,e,s)
(e,s,s)
(e,s,e)
1
(e,e,s) (e,e,s)
(s,e,e)
(s,s,s)
!
1
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen:
3
2
1
0
"$#
)*+"
#
%
& ' & -,
& & ' ' ,
( . & '' /,
0( #
1%23 232 ,
1%23465232 ,
1% 235 23 2
232 #
1% 23232
#
Lösung zu Aufg. 2
Schreibe z.B. das Ergebnis (0,0,0,1) als 0001.
#E"$#
)*+"
#
'
1
8
< 1 =
+
. < 1 =
,
8.
7
9
< 1 =
< 1 =
''
77(
':
1
> 5@?
#
( &
000000001 oder
7!7
&
< 1 =
4
7777(
8
:
< 1 ='A
7!777
9
< 1 =B
77!777
7; :
< 1 ='C
77!7777!
; < 1 ='D
< 1 =D
,
, weil ja jeder Summand 1 ist !!
- Für den Mathematiklehrer: Diese Fragestellung beinhaltet ein Paradoxon: Vergrößere
die Zahl 9, die die Anzahl der Gesamtwürfe begrenzt. Der Erwartungswert geht dann
gegen F , obwohl es sehr unwahrscheinlich ist, dass man z.B. 1024 gewinnt.
'
Lösung zu Aufg. 3
"
: tatsächliche Herstellungskosten
)G"
#
1
2
"$#
%
;
;
Wenn nun noch ein Gewinn von ;J
für 7
verkauft werden.
ALTERNATIVE:
"
: Gewinn in .
(z-1)
"$#
%
H(I
;
,
'
;
Finde nun K so, dass der Gewinn ; #
;J
!
.
dazukommen soll, dann muss ein einzelnes Teil
Der Verkaufspreis sei K .
)G"
#L
(z-2)
;
H(
; #
H
#
;J
7
betragen kann - also K
.
KNMO'
;
I
,
KPM
KPMQ7
;.
.
Lösung zu Aufg. 4
X bzw. Y seien die Zufallsvariablen, die die Anzahl der Tests beschreiben.
defekt ist das ...
P(. . . ist defekt)
%
11
A
zweite
dritte
1
1
vierte
1
fünfte
1
sechste
1
1
2
2
3
4
2
5
3
5
3
A
R "$#
erste
1
21
A
31
A
A
41
A
A
3
3
5
A
R TSU#
A
R Auf lange Sicht ist das Verfahren b) vorzuziehen.
A
2
3
A
5A
A
)*+"
#P#
2
A ,
)GTS
#
1A
A
Aufgaben zum Thema »Zufallsvariable«
Lösung zu Aufg. 5
X: Gewinn, also Auszahlung - Einzahlung
8
Die Ergebnisse sind !@ 7 V 7 & @ 7 WIII ::X .
! ergibt den »Gewinn« 1+1 - 3 = -1
! ergibt den »Gewinn« 1+2 - 3 = 0
! & ergibt den »Gewinn« -(1+3) - 3 = -7
...
& ergibt den »Gewinn« -(3+1) - 3 = -7
& ergibt den »Gewinn« -(3+2) - 3 = -8
& & ergibt den »Gewinn« -(3+3) - 3 = -9
...
:(:X ergibt den Gewinn 6+6 - 3 = 11
)*+"
[ 1 Y BY CY D
# 1TYZ2\[ B Y Y Y YZ2]Y^13[ C Y Y Y [ B [ C [ D [_1%2\[_1313[_1 Y Y [_1%2]Y Y A Y B Y Y [_131TY A Y B Y C Y Y _
5
5 4
A 5
4
5 4 #
Das Spiel ist fair.