Textskript 11 - Fakult at f ur Physik

Kapitel 11
WELLEN im VAKUUM
Die Ladungsdichte ⇢ in der ersten Maxwell Gleichung und die Stromdichte ~j
in der Vierten führen zu einer Asymmetrie der Maxwell-Gleichungen. Wenn die
~
~
Quellen des E-Feldes
und des B-Feldes
ausserhalb des beobachteten Raumes
liegen sind wir sozusagen im Vakuum. Frei von Quellen, also ⇢ = 0 und ~j = 0.
~ und B
~ symmetrisch:
In diesem Fall sind die Maxwell Gleichungen für E
~ ·E
~ =0
r
~ ⇥E
~ =
r
~
@B
@t
(1)
~ ·B
~ =0
r
(3)
(2)
~
~ ⇥B
~ = 1 @E
r
c2 @t
(4)
Als Maxwell 1860 seine Gleichungen aufstellte, entdeckte er einen bis dahin nicht
vermuteten Zusammenhang zwischen dem Verhalten des elektromagnetischen
Feldes mit dem Verhalten von Licht. Diesen erkennen wir wenn wir die zweite
Gleichung nach der Zeit di↵erenzieren,
⌘
~
@ ⇣~
~ =r
~ ⇥ @E =
r⇥E
@t
@t
~
@2B
,
2
@t
(11.1)
~
und für die Ableitung @ E/@t
aus der vierten Gleichung einsetzen,
~
@2B
2
@t
~
1 @2B
2
2
c @t
=
=
=
~
~ ⇥ @ E = c2 r
~ ⇥r
~ ⇥B
~
r
@t
⇣
⌘ ⇣
⌘
~ r
~ ·B
~
~ ·r
~ B
~
r
r
⇣ ⌘
~ 0
~ 2B
~ =
~.
r
r
B
In (11.2) verwenden wir die Produktregel, ~a ⇥ (~b ⇥ ~c) = ~b(~a · ~c)
~ und analog für E,
~
So erhalten wir Wellengleichungen für B
2~
~ = 1@ B
B
c2 @t2
2~
~ = 1@ E
E
c2 @t2
(11.2)
(~a · ~b)~c.
(11.3)
Die Lösungen dieser linearen, partiellen Di↵erentialgleichungen zweiter Ordnung
beschreiben Ausbreitung und Interferenzfähigkeit, wie man sie für Licht kennt.
103
104
KAPITEL 11. WELLEN IM VAKUUM
11.1
Ebene Wellen
Ebene Wellen sind die einfachsten Lösungen zu den Wellengleichungen (11.3).
~ In einer ebenen Welle hängt E
~ nur von
Wir betrachten solche Lösungen für E.
~
~
~
~
einer Ortskoordinate ab, z.B. E = E(z). Dann gilt @ E/@x = @ E/@y = 0 und
die Wellengleichung vereinfacht sich zu:
~
@2 ~
1 @2E
E
=
.
@z 2
c2 @t2
(11.4)
Auf Grund der ersten Maxwell Gleichung für Vakuum,
~
~
~
~ ·E
~ = @ Ex + @ Ey + @ E z = 0 ,
r
@x
@y
@z
(11.5)
~ z /@z = 0, also Ez = const. Wir wählen Ez = 0. Damit hat das Feld
gilt auch @ E
~ = {Ex , Ey , 0}. Als allgemeine Lösung wählen wir
die Komponenten E
Ei = fi (z c t) + gi (z+c t) ,
(11.6)
mit i = x, y. Um die Wellengleichung zu erfüllen müssen die Funktionen f, g
stetig di↵erenzierbar sein nach dem Argument z ± c t. Weil das Argument für
alle Punkte in einer Ebene z = const zur gleichen Zeit gleich ist (Ebene konstanter Phase), spricht man von ebenen Wellen. Die Funktion fi (z c t) beschreibt
eine Welle (bzw. ihre Phasenflächen), die sich in der positiven z-Richtung ausbreitet, die Funktion gi (z +c t) beschreibt eine Welle, die sich in der negativen
z-Richtung ausbreitet. Zur Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer
Fläche konstanter Phase di↵erenzieren wir das Argument nach der Zeit:
d(z ⌥ ct)/dt = dz/dt ⌥ c = 0 ! dz/dt = ± c
Man nennt c die Phasengeschwindigkeit. Die räumliche und zeitliche Verteilung
von (11.6) wird erst durch die Form der Funktionen f und g festgelegt.
Ebene Wellen müssen nicht periodisch sein.
11.2
Periodische Wellen
Eine spezielle Lösung für eine periodische Welle ergibt sich aus der Bedingung
fi (z
ct) = fi (z +
ct) .
(11.7)
Die Funktion f nimmt nach einer räumlichen Periode von , der Wellenlänge,
denselben Wert an. Wir nennen k die Wellenzahl und T die Periodendauer,
k=
2⇡
c=⌫
=
!
2⇡
! = kc
T =
1
2⇡
=
⌫
!
(11.8)
Damit ist eine harmonische ebene Welle, die in positiver z-Richtung läuft
~
E
=
~ 0 f (z
E
~ 0 sin k(z
ct) = E
~ 0 sin(kz
ct) = E
!t) ,
(11.9)
oder die um 90 dazu phasenverschobene Welle,
~
E
=
~ 0 cos(kz
E
~ 0 sin(kz
!t) = E
!t + ⇡/2) .
(11.10)
11.3. POLARISATION
105
Allgemein schreiben wir eine Welle mit einer Phase an. Die Phase ist durch
~ = 0, t = 0) bestimmt,
Randbedingungen, zum Beispiel den Wert E(z
~
E
~ 0 sin(kz
E
=
!t + ) .
(11.11)
Komplexer Ansatz:
Eine vereinfachte Schreibweise ergibt sich mit dem komplexen Ansatz
~1 = E
~ 0 ei(kz !t) ,
E
~ 0 ei(!t
=E
kz)
±i'
Unter Verwendung der Euler Formel, e
die beiden reellen Lösungen,
~1 + E
~2
~ 0 cos (kz
<e E
= 2E
~1
=m E
~2
E
=
~ 0 sin (kz
2E
~⇤ .
=E
1
= cos ' ± i sin ', ergeben sich daraus
!t) ,
!t) .
Für eine ebene Welle, die sich in eine beliebige
Richtung entlang dem Wellenvektor
~k = {kx , ky , kz } ausbreitet, schreiben wir
~ r, t)
E(~
=
~ 0 ei(!t
E
~
k·~
r)
.
(11.13)
Hier ist |k| = 2⇡/ die Wellenzahl. Das Skalarprodukt misst die Phase der Welle an beliebigen
Punkten P,
~
~k · ~r = |~k| |~r| cos (~k, ~r) = |~r| cos (k, ~r) 2⇡ .
11.3
(11.12)
y
P
”r
l
”
k
sH ”
k,
rL
i(kz !t)
co
~0 e
E
=
»r»”
~2
E
x
Polarisation
~ 0 in (11.11) bzw. (11.13) steckt InformaIm Vektorcharakter der Amplituden E
tion über die Polarisation der Welle. Linear polarisiert ist die Welle, wenn
~
der E-Vektor
in einer Ebene schwingt, z.B.
~ t) = (E0x êx + E0y êy ) ei(!t
E(z,
kz)
.
(11.14)
Die Schwingungsebene in (11.14)
liegt unter dem Winkel
✓ = arctan E0y /E0x zur x-Achse.
Die x, y-Komponenten der Welle
schwingen dabei in Phase.
!
!
"
"
.
# $% & ' () *(+ ) $% , -. % /-) &
~
Bei einer zirkular polarisierten Welle beschreibt die Spitze des E-Vektors
eine Kreisspirale. Dies ist der Fall, wenn E0x = E0y ist und wenn diese beiden
Komponenten in ihrer Phase um 90o versetzt schwingen,
⇣
⌘
~ t) =
E(z,
E0x êx + E0y ei⇡/2 êy ei(!t kz) ,
=
⇣
⌘
E0 êx + i êy ei(!t
kz)
.
(11.15)
106
KAPITEL 11. WELLEN IM VAKUUM
In Komponentendarstellung ist die zirkular polarisierte Welle
⇢
⇢
Ex
1
= E0
ei(!t kz) .
Ey
i
!
!
$ %& ' (
"
#
"
.
!
!
) * +(
"
#
"
Für E0x 6= E0y ist die Welle elliptisch polarisiert.
Jones Vektoren
Eine ebene periodische Welle der Frequenz !, die sich entlang der z-Achse ausbrei~ ei(!t kz) , wird vollständig durch die komplexen x und y-Komponenten einer
tet, A
~ = {Ax , Ay , 0} beschrieben,
Wellenamplitude A
Ax = ax ei'x
und
Ay = ay ei'y .
(11.16)
Zur vereinfachten Schreibweise verwendet man häufig den Jones Vektor,
⇢
Ax
J=
.
Ay
(11.17)
Er beschreibt die Intensität der Welle, I = (a2x + a2y )/2,, das Amplitudenverhältnis,
ay /ax = |Ay |/|Ax |, sowie die Phasendi↵erenz der beiden Komponenten,
' = 'y
.
'x = arg (Ay )
Eine Tabelle von Jones Vektoren für |Ay |2 + |Ax |2 = 1 und 'x = 0.
⇢
linear polarisiert
entlang x
linear polarisiert
entlang y
.
arg (Ax ) .
linear polarisiert
Winkel ✓ mit x
⇢
⇢
1
0
Ex = cos (!t
Ey = 0
0
1
Ex = 0
Ey = cos (!t
kz)
kz)
cos ✓
sin ✓
Ex = cos ✓ cos (!t
Ey = sin ✓ cos (!t
kz)
kz)
rechts zirkular
p1
2
⇢
1
i
p
Ex = (1/p2) cos (!t
Ey = (1/ 2) cos (!t
kz)
kz + ⇡/2)
links zirkular
p1
2
⇢
1
i
p
Ex = (1/p2) cos (!t
Ey = (1/ 2) cos (!t
kz)
kz ⇡/2)
11.4. MAGNETFELD ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN
11.4
107
Magnetfeld elektromagnetischer Wellen
Wir gehen von einer Welle aus, die linear polarisiert in x-Richtung ist
~
E(z,
t) = Ex (z, t) = E0 êx ei(!t
~ ⇥E
~
r
⇣
~ ⇥E
~
r
⇣
~ ⇥E
~
r
⌘
(11.18)
~˙ und
B
~ ⇥E
~ =
Wegen r
⇣
kz)
x
⌘
y
⌘
z
@Bx
@t
=
0
=
@Ex
@z
=
0
@By
@t
@Bz
@t
gilt
=
0
@Ex
@z
=
=
0
~ sind unabhängig von der Zeit. Wir setzen sie gleich
Die x- und z-Komponenten von B
Null. Da aus (11.18)
@By
=
@t
@Ex
= ik Ex
@z
(11.19)
ist, ergibt sich nach Integration von (11.19)
By = ik E0
Z
ei(!t
k
E0 ei(!t
!
kz)
dt =
kz)
= B0 ei(!t
kz)
.
(11.20)
Wir erhalten mit c = !/k
By
=
1
E0 ei(!t
c
kz)
.
(11.21)
Der Magnetfeldvektor steht senkrecht auf den Vektor der elektrischen Feldstärke und
~ = {Ex , 0, 0} , B
~ = {0, By , 0}, ~k = {0, 0, 2⇡/ }.
den Wellenzahlvektor E
Allgemein gelten folgende Bedingungen,
~ =
|B|
~
B
=
1 ~
|E|
c
(11.22)
⌘
1 ⇣~
~
k⇥E
!
(11.23)
!
#
"
Zur Abschätzung der Größenordnungen der Felder untersuchen wir eine 50 Watt Glühbirne, mit 20% Effizienz im sichtbaren Bereich. In 1 m Entfernung ist die Intensität
(die mittlere Energiestromdichte) etwa 1 Watt/m2 . Nach (10.26) entspricht dies einem
~ ⇡ 20 V/m. Im Vergleich dazu ist die Intensität von hellem Tageslicht
Wert von |E|
~ ⇡ 200 V/m und einer Magnetfeldamplitude
etwa 100 W/m2 . Das entspricht |E|
~ =
|B|
1 ~
200
|E| =
c
3 · 108

Vs
= 6 · 10
m2
7
T = 0.006 Gauss .
Im Vergleich dazu ist das Erdmagnetfeld im Bereich von ⇡ 0.2 Gauss.
(11.24)
108
KAPITEL 11. WELLEN IM VAKUUM
11.5
Wellen in Resonatoren
Die Reflektion einer ”elektrischen” Welle an einer leitenden Wand wird von einem
Phasensprung von 180 begleitet und die Tangentialkomponente der elektrischen
Feldstärke an der Grenzfläche geht auf Null. Das Bild unten soll dies verständlich
machen:
~ ein parallel zur
Die einfallende Welle tre↵e senkrecht auf die Wand (damit liegt E
~ ein an der
Grenzfläche). Das Metall sei ein guter Leiter mit Leitfähigkeit el . Wenn E
~ ein periodischer Strom entlang
Wand nicht verschwindet, dann fließt wegen ~j = el E
der Grenzfläche zum Metall. Die Dipolschwingungen dieses Stromes erzeugen eine re~ ref , das Feld der einfallenden Welle an der
flektierte Welle, derart, dass ihr Feld, E
Grenzfläche gerade auf Null kompensiert.
3 , . / / 4
5 # ", ))
Der an der Metallwand induzierte Wechselstrom entspricht einem Dipol für sekundäre Wellen.
Diese sekundären Wellen überlagern sich
mit der einlaufenden Welle. Im Metall heben sich beide Felder gerade auf. Vor der
leitenden Wand hingegen bildet sich eine
stehende Welle aus.
! "# $ # % & # '( # ))#
# *% +, ))# % & # '( # ))#
- # . / % & 0 1 2 # ))#
Dazu untersuchen wir eine linear polarisierte ebene Welle Ex (z) = E0 cos(!t kz). Sie
breitet sich in der positiven z-Richtung aus und wird an einer an einer ideal leitenden
~ an der Wand
Ebene bei z=0 reflektiert. Damit die Tangentialkomponente von E
verschwindet fordern wir
Ex (z = 0) = E0ein + E0ref = 0
)
E0ein =
E0ref .
(11.25)
Damit gilt
Ex (z, t)
=
E0ein cos(!t
kz) + E0ref cos(!t + kz)
=
E0ein [cos(!t
kz)
~ ⇥E
~ =
Wegen r
cos(!t + kz)]
2E0ein sin !t sin kz
=
(11.26)
~˙ und E
~ = {Ex , 0, 0} gilt @By /@t = +@Ex /@z und deshalb
B
@By /@t = 2k E0 sin !t cos kz .
(11.27)
Nach Integration über die Zeit erhalten wir
k
E0 cos !t cos kz = 2B0 cos !t cos kz .
(11.28)
!
Die Situation ist jetzt anders als bei einer laufenden Welle. In einer laufenden Welle
~ und B
~ in Phase. Bei einer stehenden Welle hingegen sind die Maxima
schwingen E
~ und B
~ räumlich um /4 und zeitlich um T /4 verschoben wie ein Vergleich von
von E
(11.26) und (11.28) zeigt.
Der Nachweis der um /4 verschobenen
!
Schwingungsbäuche der beiden Feldgrößen ge#
lingt mit Glimmlampen bzw. Leiterschleifen
mit Glühlampen auf einer terminierten
"
Lecherleitung, die mit einer Hochfrequenz
von 250 MHz ( =1.2 m) gespeist wird.
$
Der Abstand zwischen Strom- und Spannungsbäuchen (B-Feld Maxima und E-Feld
%
Maxima) beträgt dann 30 cm. Die Reflexion
der Welle in der Lecherleitung passiert am
Kurzschlussbügel.
By (z, t) =
2
11.6. HOHLLEITER
11.6
109
Hohlleiter
Im Hohlraumresonator können sich stehende Wellen in 3 Dimensionen ausbilden.
Ein Hohlleiter entspricht einem Hohlraumresonator mit o↵enen Endflächen. Dabei
treten zwei spezielle Typen von Lösungen auf
~ = {Ex , Ey , 0}. E
~ ? zur Ausbreitungsrichtung (z)
• TE -Wellen: E
~ = {Bx , By , 0}. B
~ ? zur Ausbreitungsrichtung (z)
• TM-Wellen: B
Diese transversal elektromagnetischen Wellen werden durch T Enm bzw. T Mnm charakterisiert (n, m gibt die Anzahl der Knotenstellen in x, y-Richtung).
#
Beispiel für Hohlleiter
in der T E00 Mode
"
!
~ = {0, Ey , 0}
E
~ = {Bx , 0, Bz }
B
4
5
" # $ % & ' ( ) ein
* # $ % Dipolantenne
& '( & )
+ , am
- . # % Orte
' ( ) * # $ % maximaler
& '( & )
Einkopplung in den Resonator ! über
elektri*+ $, & - . /& - 0 1 2 3 . ''& */& )
scher Feldstärke, oder über eine kleine Drahtschleife
am Ort maximaler magnetischer
Feldstärke.
Der Abstand zwischen gegenüberliegenden Wänden eines Hohlleiters bestimmt die
niedrigste Frequenz (größte Wellenlänge) einer Welle, die vom Hohlleiter transportiert
werden kann (cuto↵ frequency).
Koaxialkabel
Ein Draht durch den ein hochfrequenter Wechselstrom fließt stellt einen Hertzschen Dipol dar. Der Energieverlust durch Abstrahlung steigt mit / ! 4 an. Zur verlustarmen
Leitung von hochfrequenten Stömen verwendet man entweder eine Lecherleitung
(2 Leitungen mit Abstand d ⌧ , z.B. Antennenkabel), oder ein Koaxialkabel (ein
zylindrischer Wellenleiter, wobei die Außenleitung an einem Punkt geerdet ist). Das
Koaxialkabel hat pro Längeneinheit eine Kapazität C̃ und eine Selbstinduktivität L̃.
Mit den typischen Größen C̃ = 100 pF/m und L̃ = 250 nH/m ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines elektromagnetischen Pulses im Bereich
p
(11.29)
v = 1/ C̃ L̃ = 2 ⇥ 108 m/s .
q
Der Quotient Z0 = L̃/C̃ heisst Wellenwiderstand. Für das obige Kabel ist er 50 ⌦.
Bei geeigneter Dimensionierung und Wahl des Isolationsmaterials ist Z0 über weite
Bereiche unabhängig von der Frequenz und eine dispersionsfreie Leitung kurzer elektromagnetischer Pulse ist möglich.
é
é
Die Überlegungen zum Wellenwiderstand sind
Rdz
‰wLdz
an Hand des Ersatzschaltbildes verständlich. Die
Potentialdi↵erenz zwischen Innen- und Aussenleié
ter am Orte z sei U (z). Über eine Strecke dz ändert
-H‰wCL-1
sich U (z) auf Grund des Spannungsabfalls am Leiz
⌦
tungswiderstand, [R̃] = m
und der Induktivität um
@U
= (R̃ + i! L̃) I .
(11.30)
@z
Auf Grund der Kapazität zwischen Innen- und Aussenleiter wird bei Wechselstrom ein
Teil des Stromes kurzgeschlossen und der Stromabfall pro Längeneinheit ist
@I
= i! C̃ U .
@z
(11.31)
110
KAPITEL 11. WELLEN IM VAKUUM
Di↵erenzieren von (11.30) nach dem Ort gibt uns eine Gleichung für die Ausbreitung
der Potentialdi↵erenz entlang des Koaxialkabels,
@2U
@I
= (R̃ + i! L̃)
= (R̃ + i! L̃)i! C̃ U =
@z 2
@z
2
U,
(11.32)
mit der Lösung U (z) = a1 e+ z + a2 e z , wobei die Ausbreitungskonstante genannt
wird. Die Ortsableitung dieser Lösung, @U (z)/@z = U ⇤ = (a1 e+ z a2 e z ) setzen
wir in (11.30) ein und erhalten
q
s
(R̃ + i! L̃)i! C̃ ⇤
i! C̃
U⇤
⇤
.
(11.33)
I=
U =
U =
U⇤ =
Z0
R̃ + i! L̃
R̃ + i! L̃
R̃ + i! L̃
Für kleine Frequenzen (Gleichstrom) ist Z0 = q
1 denn die Leitung ist ja am Ende
o↵en. Für hohe Frequenzen hingegen ist Z0 = L̃/C̃. Ein o↵enes Ende eines Koax
Kabels sollte deshalb (bei hohen Frequenzen) mit 50 ⌦ abgeschlossen sein und der
Wellenwiderstand soll sich bei Kabelverbindungen nicht ändern um Reflexionen des
Signals zu verhindern. Wenn Innen- und Aussenleiter die Durchmesser d und D haben
60
und die Dielektrizitätskonstante1 der Isolation ✏ ist, dann gilt Z0 = p
ln (D/d) Ohm.
✏
Heaviside Schicht
gekennzeichnet sind. Dabei steht n für die Dichte
der Ladungsträger und m für die Elektronenmasse.
Mit Heaviside Schicht bezeichnet man die Grenzfläche der Erdatmosphäre zur Ionosphäre. An ihr
werden elektromagnetische Wellen mit Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz reflektiert,
höhere Frequenzen durchdringen die Ionosphäre.
Typisch erfolgt Reflexion für ⌫ < 100 MHz.
E! F ?C " G
/ 1% 3 -
/ 0 0 12 3 -
/ 0 1% 3 -
/ 0 10 0 0
! " # $
% &''( )
* + , - . ( ))(
9 : ; 4 5 &4 5 '
/ 0 0 0
# " 4 5 '6
3 D 5 ( 1&# 12 @
In der Ionosphäre führen lokale Abweichungen von
der Quasineutralität zu Plasmaschwingungen, die
durch eine charakteristische Frequenz, die Plasmafrequenz
p
⌫plasma / n/m
'" $ 6 7 8 ( ,
/ 0 0
< : ; 4 5 &4 5 '
= : ; 4 5 &4 5 '
< )( 2 ', > # ( # 1?1@ A
/ 0
/ 0 B
/ 0 / 0
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. *) '
1 Die
+, +' #- , ( '
relative Dielektrizitätskonstante ✏ ist frequenzabhängig !
& " & " ' ()% *