Trigonometrie bekannte Zusammenhänge 4
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Trigonometrie bekannte Zusammenhänge 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck: Summe zweier Seiten größer als dritte Seitenlänge: a + b > c Innenwinkelsumme: Summe der drei Innenwinkel ergibt 180° Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber Im rechtwinkliges Dreieck Katheten, Hypotenuse Hypotenuse längste Seite Satz d. Pythagoras: Die Summe der beiden Katheten zjm Quadrat ist genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse. a2 + b2 = c2 Maßstab in cm: 1:1 (x), 1.00092:1 (y) δ = 0° α = 54° AB' AB AC' AC = B'C' BC 5.86 9.96 8.06 = = =1.95 3 5.1 4.13 umgeformt folgt: AB'=5.86cm AB=3cm B'C'=8.06cm BC=4.13cm AC'=9.96cm AC=5.1cm Bedingung: C' C α A = B B' Bezeichnungen Maßstab in cm: 1:1 (x), 1.00092:1 (y) δ = 0° α = 54° AB' AB = AC' AC = B'C' BC 5.86 9.96 8.06 = = =1.95 3 5.1 4.13 umgeformt folgt: AB'=5.86cm AB=3cm B'C'=8.06cm BC=4.13cm AC'=9.96cm AC=5.1cm Bedingung: C' In allen rechtwinkligen Dreiecken mit gleichem α gilt: BC AC C Bezeichnungen = B'C' Gegenkathete 4.13 8.06 = Hypotenuse = 5.1 = 9.96 =0.81 AC' sin(α) = Gegenkathete =konstant Hypotenuse AB Ankathete AC = AB' AC' = Hypotenuse =0.59 cos(α) = Ankathete =konstant Hypotenuse α A B B' BC AB = B'C' AB' = Gegenkathete =1.38 Ankathete tan(α) = Gegenkathete =konstant Ankathete ∗ # + ∃ − ) / , ∗ ! ∗ ! − ! ∃ ! # ! ∃! + ! / ! ! − ! # ! − ! ∀ #∃% & ∀ +,% ∀ % . +% . ∃#% + / + / + ∃ &&∋ ( &&∋ ( &&∋ . ( &&∋ ( &&∋ ( &&∋ ( &&∋ ∀ ( &&∋ ∀ ( &&∋ . ( &&∋ ( &&∋ ∀ ( &&∋ ∀ ( )!∃∃ ,!, #!,% #! ∗!+, #!, 0 1! ( ∗−!#/% #∃!,% !∗ #−!) % +,!−,% Pyramide - Arbeitsblatt1 - Lösung !∀# ∀ 1. ∗+∃,−. /0 ∗+/ #1/2 #/2 3/2 !445 ! 3∃ 31/666666666 31/66666666 3/666666666 ∗/66666666 +3∗/6666666 B3∗/6666666 A3/6666666 A3/6666666 7&∋(/666666666 8 .∋(/6666666 9+∋∃∋:13;7 ∋∃∋&<1∋/=. >∋(!1∋& 3 . :1∋;?∃− ≅ 97 ∋&<∃ −.>& 3 . 97 ∋&< Α&− ∋Β . ΧΑ%∃ ∆66666666 ) !/6666666 ∋/6666666 1∋/6666666 Pyramide !1∋7&7/6666666 &−Α&77/6666666 )66666666 3∃−−%∃ & 3 . 1. 1. 1. 1. !! ∀ #∀∃% ∃&∀ ∀∋()∗+ ,−∃.. C Fläche allg. Dreieck γ b A α β c hc Berechne A mit b = 7.75cm c = 7.55cm α =34.4° sinus B hb Berechne A mit a = 4.53cm b = 7.75cm γ =70.39° sinus Flächenberechnung: Fläche ABC = 16.54cm² a Flächenberechnung: ha Berechne A mit c = 7.55cm a = 4.53cm β =75.2° sinus Flächenberechnung Zusammenfassung: Berechne den Flächeninhalt des obigen Dreiecks mit der hergeleiteten Formel auf drei verschiedene Arten: C Fläche allg. Dreieck γ b A hc = 4.38 β α c hc Berechne A mit b = 7.75cm c = 7.55cm α =34.4° sinus B hb Berechne A mit a = 4.53cm b = 7.75cm γ =70.39° sinus Flächenberechnung: Fläche ABC = 16.54cm² a ha Berechne A mit c = 7.55cm a = 4.53cm β =75.2° sinus Flächenberechnung: Flächenberechnung A = 0,5 * c * hc hc = b * sin(α) A = 0,5 * c * b * sin(α) A = 0,5 * b * a * sin(γ) Zusammenfassung: A = 0,5 * a * c * sin(β) Für jedes Dreieck gilt: Fläche = 0,5 * seite1 *seite2 * sin(eingeschlossener Winkel) A = 0,5* a * b * sin(γ); A = 0,5 * b *c * sin(α); A = 0,5 * a * c * sin(β) Berechne den Flächeninhalt des obigen Dreiecks mit der hergeleiteten Formel auf drei verschiedene Arten: Maßstab in cm: 1:1 Einfache Berechnungen mit dem Sinussatz (alle Streckenlängen sind in cm angegeben) a) Berechne die Fläche des Dreiecks: Ergebnis: A1 c) Berechne den fehlenden (roten) Winkel: C1 Ergebnis: B3 2.9 4.72 4.05 87.29° C3 A3 2.59 105.78° B1 b) Berechne die fehlende (rote) Größe des Dreiecks: Ergebnis: C2 A2 d) Berechne das Maß des fehlenden (roten) Winkels. C4 Ergebnis: 43.96° 69.71° 50.16° 6.11 3.76 A4 B2 4.9 B4 Maßstab in cm: 1:1 Einfache Berechnungen mit dem Sinussatz (alle Streckenlängen sind in cm angegeben) a) Berechne die Fläche des Dreiecks: Ergebnis: A = 5.88cm² A1 c) Berechne den fehlenden (roten) Winkel: C1 Ergebnis: Winkel = 31.9° 4.72 B3 2.9 4.05 87.29° 31.9° C3 A3 2.59 105.78° B1 b) Berechne die fehlende (rote) Größe des Dreiecks: Ergebnis: Steckenlänge =5.08cm A2 C2 d) Berechne das Maß des fehlenden (roten) Winkels. C4 Ergebnis: Winkel =106.67° 43.96° 69.71° 50.16° 5.08 6.11 106.67° 3.76 A4 B2 4.9 B4 Einführung Kosinussatz Beispiel Berechnung Seitenberechnung (die mit Sinussatz nicht funktioniert) --> Kosinussatz Beispiele zur Seitenberechnung mit Kosinussatz Winkelberechnung mit Kosinussatz --> Umformung Beispiele, bei den Hilfsgrößen im Dreieck berechnet werden muss Maßstab in cm: 1:1 Kosinussatz θ = 77.31° s2 = 5.63 s1 = 4.32 g1 (g1)² = r.s. (g1)² = r.s. (g1)² = r.s. = l.s. und r.s. Kosinussatz für gegenüberliegende Seite: C b = 3.05 γ a = 4.34 Aufgelöst nach cos(γ): A c = 5.47 => B Maßstab in cm: 1:1 Kosinussatz θ = 77.31° s2 = 5.63 s1 = 4.32 g1 (g1)² = (s1)² + (s2)² (g1)² = (4.32)² + (5.63)² - 2 * (4.32) * (5.63) * cos(77.31°) = 39.68cm2 (g1)² = g1 | . r.s. r.s. r.s. 6.3 cm l.s. und r.s. Kosinussatz für gegenüberliegende Seite: C b = 3.05 - 2 * (s1) * (s2) * cos(θ) c² = a² + b² - 2*a*b*cos(γ) γ a = 4.34 Aufgelöst nach cos(γ): A cos( γ )= c = 5.47 c²-a²-b² -2*a*b cos(γ) = -0.07 B => γ = 93.8° Berechnungen in Dreiecken Beispielaufgaben Maßstab in cm: 1:1 Berechne die fehlende Größe in den allgemeinen Dreiecken E B δ f = 3.46 c = 3.08 A I d a = 3.67 α C b = 4.35 h = 3.82 β = 52.54° D F G γ = 45.81° e = 4.85 i = 4.26 L R O j = 4.44 k = 3.02 H η n = 3.53 p = 2.6 J ε = 63.03° K M m = 3.65 ζ = 45.16° l N P U ι κ = 39.79° u = 4.58 λ = 66.88° T V ν = 37.28° z = 5.24 Ergebnisse: C1 b1 µ = 98.63° w Q ξ = 32.79° Z t S θ = 37.66° r = 3.34 W ο = 100.15° A1 c1 = 2.66 B 1 α = 56.08°; d = 3.89 cm ; δ = 74.48°; l = 4.9 cm; η = 91.45°; ι = 90.64° t = 4.4 cm; w = 3.69 cm; b1 = 4.84 cm Mathematik II P3 Q 60° Berechnen Sie die Länge der Strecke [PQ]. Seite – 4 – Aufgabe P 3 P A 0m 60, In einem ebenen, unzugänglichen Sumpfgebiet befinden sich die Messpunkte P und Q. Von einem zugänglichen Punkt A, der auf einer Geraden mit den Punkten P und Q liegt, wurde eine Strecke [AB] abgesteckt. In der nebenstehenden Skizze sind die gemessenen Maße eingetragen. Haupttermin 35° 110° B 5P = °⋅ = ∧ =− ⇔ + = = ∧ = H = × = × = = H H = ° = H = H ° ° = = = = + = 2 P3 PQ = AQ − AP AP AB = sin 35° sin(180° − (35° + 60°)) 60, 0 ⋅ sin 35° AP = m sin 85° AQ AB = sin110° sin(180° − (110° + 60°)) 60, 0 ⋅ sin110° AQ = m sin10° PQ = 324, 7 m − 34,5 m AP = 34,5 m AQ = 324, 7 m PQ = 290, 2 m 5 19 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
