Primer: Wahrscheinlichkeitstheorie 1.0
Werbung
Empirische Methoden Primer Primer: Wahrscheinlichkeitstheorie 1.0 Dr. Malte Persike [email protected] methodenlehre.com twitter.com/methodenlehre methodenlehre.com/g+ iversity.org/schoolinger Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Inhalte der nächsten Minuten Intro Von der Pike an: einige Grundbegriffe, die sein müssen Merkmale & Variablen Wahrscheinlich ist möglich, sagt Laplace Zufallsexperiment Herumgedrückt: Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogorov Mengen & Wahrscheinlichkeiten Wie ermittelt man Wahrscheinlichkeiten: das Gesetz der großen Zahl Bedingte Wahrscheinlichkeiten: Wie wahrscheinlich sind zwei violette Streifen bei Schwangerschaft – und wie wahrscheinlich ist Schwangerschaft bei zwei violetten Streifen? Neues Denken: der Satz von Bayes Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Statistik Warum das Alles? Intro Merkmale & Variablen Was ist eigentlich Statistik? Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Und wozu brauchen wir sie überhaupt? Empirische Methoden Variablen Jetzt & Gleich Intro Skalen Merkmale & Variablen Nominalskala Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Notation Primer Variablen & Skalen Nominaldaten Deskriptive Statistik Warum das Alles? Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Statistik Warum das Alles? Intro Merkmale & Variablen Statistik sind Verfahren zur Beschreibung/Erklärung von Zahlen vielen Daten Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten durch andere Zahlen wenige Werte („Kennwerte“) Die Statistik dient also der Reduktion einer Datenmenge auf einen überschaubaren Satz an zahlenmäßigen Charakterisierungen Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Statistik Warum das Alles? Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Statistik ist ein Grundpfeiler der empirischen Forschung und Wissenschaft Empirie = Erfahrungswissen Empirische Forschung = auf systematischer Beobachtung und Messung beruhende Forschung Empirische Methoden Primer Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Statistik Warum das Alles? Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Statistik ist ein Grundpfeiler der empirischen Forschung und Wissenschaft Empirie = Erfahrungswissen Empirische Forschung = auf systematischer Beobachtung und Messung beruhende Forschung Empirische Forschung produziert immer Daten, zumeist sehr viele davon, in numerischer Form („Zahlen“) Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Merkmale & ihre Träger Grundbegriffe empirischer Forschung Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Merkmal: Isolierte Eigenschaft eines größeren Ganzen, z.B. Intelligenz, Farbe, Alter, Geschlecht Ausprägung: Zustand des Merkmals, z.B. IQ = 115, Farbe = , Alter = jung, Geschlecht = ♀ Ein Merkmal hat mindestens zwei Ausprägungen, die beliebig beschrieben sein können, z.B. verbal (jung/alt), numerisch (0/1), bildlich ( / ) Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Merkmale & ihre Träger Grundbegriffe empirischer Forschung Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Merkmalsträger (statistische Einheiten, Beobachtungseinheiten) sind alle Objekte, bei denen man die Ausprägung von Merkmalen feststellen kann In den Humanwissenschaften sind Merkmalsträger zumeist Menschen, aber auch Tiere oder Aggregate wie z.B. Abteilungen in Firmen Beobachtungen: Feststellung der Ausprägung von Merkmalen bei Merkmalsträgern Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Merkmale & ihre Träger Grundbegriffe empirischer Forschung Intro Merkmale & Variablen Beobachtungen im engeren Sinn sind z.B. echte Verhaltensbeobachtung oder bildgebende Verfahren Zufallsexperiment Zu den Beobachtungen im weiteren Sinn zählen z.B. Ergebnisse in einem Leistungstest oder Selbst- und Fremdauskünfte in Fragebögen Mengen & Wahrscheinlichkeiten Daten sind die Gesamtheit der Beobachtungen Statistik sind Methoden zur Sammlung und Analyse von Daten Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Merkmale & ihre Träger Grundbegriffe empirischer Forschung Intro Merkmale & Variablen (z.B. Geschlecht, Parteizughörigkeit, Kinderzahl) Dichtome Merkmale haben genau 2 Ausprägungen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Ein diskretes Merkmal besitzt zumeist endlich viele und feste Ausprägungen Polytome Merkmale haben mehr als 2 Ausprägungen Ein stetiges (kontinuierliches) Merkmal kann (unendlich viele) beliebige Ausprägungen annehmen (z. B. Temperatur, Größe, Gewicht) Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Vom Merkmal zur Variablen Statistik braucht Zahlen Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Die Ausprägungen eines Merkmals können beliebiger Art sein (z.B. Worte, Formen, Farben) Problem: Die Statistik als mathematische Disziplin arbeitet nur mit Zahlen Deshalb werden Variablen definiert, indem den Ausprägungen feste Zahlen zugeordnet werden. Diese Zahlen heißen Realisationen oder Werte. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Vom Merkmal zur Variablen Statistik braucht Zahlen Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Merkmal Variable Punkte auf Fläche Zahlen „2“ „5“ Merke: Eine Variable ist die Festlegung einer Regel, wie den Ausprägungen eines Merkmals Werte zuzuweisen sind. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Notation Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Variablen werden mit Großbuchstaben symbolisiert, häufig verwendet man X und Y Die Realisationen einer Variablen werden dann mit den entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet, also x und y Die Menge aller möglichen Realisationen ist der Wertebereich einer Variablen Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Definition Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert Merkmal Variable 1, wenn x1: 0, x : 1, 2 2, wenn X x 6 : 5, 6, wenn Die extensionale Definition zählt alle Realisationen der Variablen auf. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Definition Intro Merkmale & Variablen Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert Merkmal Variable Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Y 0 Die intensionale Definition gibt die Regel der Bildung der Variablen an. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Beobachtung und Messung Intro Merkmale & Variablen Die empirische Feststellung der Realisation einer Variablen wird als Messung bezeichnet Zufallsexperiment Erinnerung: Dabei ist zu unterscheiden zwischen der Beobachtung der Ausprägung des Merkmals und der Messung der Realisation der Variablen Mengen & Wahrscheinlichkeiten Die beobachtete Ausprägung des Merkmals heißt Ergebnis, die gemessene Zahl der Variable heißt Messwert „0.28“ Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Unterscheidung nach Art der Daten Intro Merkmale & Variablen Dichtome Variablen haben genau 2 Werte Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Eine diskrete Variable besitzt zumeist endlich viele und feste Werte, die man über Ganzzahlen beschreiben kann Polytome Variablen haben mehr als 2 Werte Eine stetige (kontinuierliche) Variable kann (unendlich viele) beliebige Werte annehmen, die man über reelle Zahlen beschreibt Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Variablen Unterscheidung nach Art der Daten Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Achtung: Es sind streng Typen von Merkmalen und Typen von Variablen zu unterscheiden. Alter ist ein stetiges Merkmal. „Alter“ kann nun aber als Variable diskret definiert werden als x1: -1, wenn <18 Alter X x2 : 0, wenn <67 x : 1, wenn 67 3 Gleiches gilt z.B. für Intelligenz, Schulleistung, Sehvermögen, Fahreignung Empirische Methoden Primer Bortz, S. 49 Jetzt & Gleich Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre Realisation in einem Zufallsexperiment festgestellt wird. (Zufalls-)Experiment = Satz von Regeln, unter denen eine Beobachtung stattfindet (Bedingungskomplex Ξ, „Xi“), die „Spielregeln“ Trial = Eine Durchführung des Experimentes Ergebnis = beobachtete Ausprägung am Ende des Trials (in beliebiger Form, z.B. als Zahl, Bild, Symbol, Farbe etc.) Ereignis = Jede beliebige Menge von Ergebnissen ungeachtet ihrer Reihenfolge Achtung: Ergebnisse & Ereignisse sind nicht zwangsläufig Realisationen Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die Augenzahl der oben liegenden Seite. Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Ergebnisse: Die möglichen Augenzahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6) Ereignisse: „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade Zahl“, „irgendeine Zahl“ Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Intro Merkmale & Variablen Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf Zufallsexperiment (Ξ): Eine Münze ist zweimal zu werfen. Sie kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis sind die oben liegenden Seiten. Zufallsexperiment Trial: Der einmalige gemeinsame Wurf beider Münzen Mengen & Wahrscheinlichkeiten Ergebnisse: Jede mögliche Kombination der zwei Münzen (K+K, K+Z, Z+K, Z+Z) Ereignisse: „zweimal dieselbe Seite“, „mindestens einmal Zahl“ Achtung: Die Durchführung von 2 Trials des Zufallsexperimentes „Eine Münze wird einmal geworfen“ ist ein anderes Experiment. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Intro Merkmale & Variablen Beispiel III: Zulassung zum Studium Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden per Los 44 verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen. Zufallsexperiment Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen Mengen & Wahrscheinlichkeiten Ergebnisse: Jede Menge von 44 Personen Ereignisse: „die 44 Besten“, „mindestens 22 aus der besseren Hälfte“, „die 22 Besten und jede Auswahl von weiteren 22 Personen aus den besten 100“ Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des Zufallsexperimentes „Aus 782 Bewerbern wird 1 Person ausgewählt“ ist ein anderes Experiment. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Das Zufallsexperiment ist in weiten Teilen ein sehr deterministisches Konzept: der Ablauf eines Trials ist a-priori vollständig bestimmt die möglichen Ergebnisse sind a-priori vollständig bestimmt nur das konkrete Ergebnis (die Beobachtung) ist a-priori unbestimmt Der Zufall liegt also allein in der Zufallsauswahl einer konkreten Messung, der Stichprobe, aus einer Population möglicher Messungen. Daher kann sich die Statistik dem Verständnis des Zufallsexperimentes über mathematische Hilfsmittel nähern, nämlich der Mengenlehre Empirische Methoden Primer Bortz, S. 49 – 50 Jetzt & Gleich Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Definition: Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind Mengen. Diese Mengen können auch nur aus einem Element bestehen. Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf {K, K}, {K, Z}, {Z, K}, {Z, Z} Beispiel III: Zulassung zum Studium {Andi, Eva, …, Lena}, {Jana, Nike, …, Horst}, … Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Es galt: Ereignis = Jede beliebige Menge bzw. Kombination möglicher Ergebnisse eines Trials ohne Beachtung der Reihenfolge („Menge von Mengen“) Elementarereignisse = die kleinste Einheit disjunkter Ereignisse, in die sich die möglichen Ergebnisse eines Trials zerlegen lassen („mögliche Ergebnisse“) Zwei Ereignisse E1 und E2 heißen disjunkt, wenn gilt (disjunkt = paarweise unvereinbar) E1 E 2 Schnittmenge Unmögliches Ereignis Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Beispiel I: Beim Wurf eines Würfels lauten die Elementarereignisse Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, nicht aber {{2}, {4}, {6}} oder {{3},{ 5}} (obwohl diese disjunkt sind) Beispiel II: Beim Wurf 2er unterscheidbarer Münzen sind die Elementarereignisse {K, K} , {K, Z} , {Z, K}, {Z, Z} nicht aber {{K, K}, {Z, Z}} oder {{K, Z}, {Z, K}, {Z, Z}} (und vor allem nicht das Ereignis {K}, das überhaupt nicht vorkommen kann) Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Die vollständige Menge aller Elementarereignisse eines Zufallsexperimentes heißt Stichprobenraum Ω. Der Stichprobenraum ist eine Menge Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen Würfelwurf ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) Mengen & Wahrscheinlichkeiten Ein Ereignis ist irgendeine Wette, die man auf das Ergebnis eingehen könnte Ω Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) Mengen & Wahrscheinlichkeiten „Alle geraden Augenzahlen“ Ω E = {2, 4, 6} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) Mengen & Wahrscheinlichkeiten „Eins oder Sechs“ Ω E = {1, 6} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) Mengen & Wahrscheinlichkeiten „Drei“ Ω E = {3} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) „sicheres Ereignis“ Mengen & Wahrscheinlichkeiten „Irgendeine Zahl“ Ω E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum in 2 Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“) Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „unmögliches Ereignis“ Mengen & Wahrscheinlichkeiten „Nicht gerade & keine Primzahl & keine 1“ Ω E = {} Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Die Menge aller Kombinationen von Ereignissen aus dem Stichprobenraum heißt Sigma-Algebra σ Zufallsexperiment Merksatz: Die Sigma-Algebra enthält alle Kombinationen von Ergebnissen eines Zufallsexperimentes, auf die man wetten könnte Mengen & Wahrscheinlichkeiten Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Therapieerfolg Elementarereignisse: G, K, U Stichprobenraum: Ω = {G, K, U} , G , K , U , G , K , G , U , K , U , G , K , U „Anzahl“ Die Anzahl der Elemente in der Sigma-Algebra heißt Mächtigkeit (|σ| = 2|Ω|) Für die Mächtigkeit ist die Reihenfolge der Elementarereignisse egal. Frage: Was ist hier die Zufallsvariable? Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Zufallsvariablen Definition Intro Merkmale & Variablen Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung („bijektiv“) der Elemente des Stichprobenraums auf eine Menge von Zahlen. Es gelten alle Regeln, die bereits für Variablen eingeführt wurden. Beispiel: G, K ,U 0, wenn "G" xy1: 1, X yx22::-1, 1, wenn Y wenn"K" "K" xy : 0, 3 2, wenn "U" Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Zufallsvariablen Prinzip Intro Merkmale & Variablen Beispiel: Experiment = Therapieerfolg Definition eines Zufallsexperimentes: Definition des Stichprobenraums Mögliche Ergebnisse eines Trials: Gesund, Krank, Unverändert Definition einer Zufallsvariablen Y(ω) Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: Gesund Messung: Y =1 und damit auch von Zufallsexperiment Mengen & Wahrscheinlichkeiten Frage: Was bedeutet „zufällig“? Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Geschichte der WT In aller Kürze Laplace Kolmogorov Anfänge Mitte des 17. Jh. (Cardano, Bernoulli, Huygens, Pascal, Fermat). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik. Bedingte Wahrscheinlichkeit Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Populationsstatistik. Bayes Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WT, Fundament im axiomatischen Aufbau (Kolmogorov). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markov, Khintchin). Heute zentraler Bestandteil empirischer Forschung: Informationstheorie, Physik, Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung, Stichprobentheorie. Empirische Methoden Primer Bortz, S. 50 – 51 Jetzt & Gleich Wahrscheinlichkeit nach Laplace Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit und Stichprobenräume Laplace Kolmogorov Grundannahme: Alle Elementarereignisse („klein-omega“) im Stichprobenraum Ω sind gleichmöglich Bedingte Wahrscheinlichkeit Wenn der Stichprobenraum die |Ω| Elementarereignisse i enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes von diesen einfach Bayes 1 p i mit i 1 p() ist demnach eine auf dem Stichprobenraum definierte mathematische Funktion (hier eine Konstante), die so genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra Laplace Kolmogorov Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Jedem Ereignis E, welches der σ-Algebra angehört, kann nun ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. m p(E ) | | m= Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis von E sind. |Ω|= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Elementarereignisse aus Ω) p(E) ist wieder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, diesmal definiert auf der -Algebra. „Günstige durch Mögliche“ Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra Laplace Kolmogorov Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist damit | | p ( ) 1 .0 | | Und des unmöglichen Ereignisses 0 p ( ) 0 .0 | | Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Wahrscheinlichkeiten schwanken also zwischen 0 und 1. Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra Laplace Kolmogorov Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Damit ist auch die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ~E sehr einfach zu berechnen. m= | | m p ~ E | | Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis von E sind. |Ω|= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Also gilt folgerichtig („Komplementarität“) Elementarereignisse aus Ω) „Ungünstige durch Mögliche“ p ~ E 1 p E Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra Laplace Kolmogorov Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(E) beruht auf dem Prinzip der Partitionierung Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in ● m Elementarereignisse, die Teil von E sind. ● |Ω|–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind 1 1 1 m p(E ) m-mal Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra Laplace Kolmogorov Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(E) beruht auf dem Prinzip der Partitionierung Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in ● m Elementarereignisse, die Teil von E sind. ● |Ω|–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind 1 1 1 m p(E ) Die Wahrscheinlichkeit p(E) ist also einfach die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner m Elementarereignisse Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Vererbung Laplace Kolmogorov Frage: Der Stichprobenraum ist noch nicht die Zufallsvariable X – wie erhält man deren Wahrscheinlichkeiten? Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: Die Zufallsvariable „erbt“ die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Stichprobenraums, auf dem sie beruht. Bayes Stichprobenraum: Zufallsvariable: Bube, Dame, König , As p 1 , 4 Y X -1, 1, 8, 2, 1 , 4 1 , 4 1 9, 3, 100 4 p xy 11 ,, 11 ,, 11 ,, 11 44 44 44 44 4 Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Vererbung Laplace Kolmogorov Bedingte Wahrscheinlichkeit Vollständige Schreibweise für Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsfunktion Bube, Dame, König , As Bayes p 1 , 1 , 1 , 1 4 4 4 4 x1: 0, wenn Bube x : 1, wenn Dame X 2 x3 : 2, wenn König x3 : 4, wenn As p x1 : 1 4 p x : 1 2 4 p x p x3 : 1 4 p x4 : 1 4 Empirische Methoden Jetzt & Gleich Primer Wahrscheinlichkeit nach Laplace Beispiele Laplace Kolmogorov Summe von 2 Würfelwürfen Bedingte Wahrscheinlichkeit Bayes Gewinnchance für „Rot“ beim Roulette Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim einfachen Münzwurf
