Komplexe Zahlen

Teil II
Komplexe Zahlen
Inhaltsangabe
2
Komplexe Zahlen
4
2.1
Definitionen & Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Polarkoordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3
Multiplikation und Division in Polarkoordinaten . . . . . 13
2.4
Moivresche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5
Wurzeln aus komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6
Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7
Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
2
Komplexe Zahlen
2.1
Slide 3
Definitionen & Rechenregeln
Imaginäre Einheit
Es gibt einfache Gleichungen, die keine reellen Lösungen haben, z.B.
x2 + 4 = 0
Formal kann man diese Gleichung formal so lösen:
x2 =
4
p
x = ±
4
p
x = ±2
1
p
Jedoch ist
1 für die reelle Zahl 1 nicht definiert. =) Einführung eines
neuen Symbols i ( imaginäre Einheit):
p
i2 = 1 oder i :=
1
Slide 4
Zahlengerade
Aber: die reellen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade:
•
natürliche Zahlen
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
5
3
1
2
3
4
•
0
1 2 3
p
2 e⇡
4
-0.5
-4 -3 -2 -1
•
0
1
4
ganze Zahlen
5
2
-0.5
-4 -3 -2 -1
5
3
•
0
2
3
=) Übergang zur Gaußschen Zahlenebene
Slide 5
4
rationale Zahlen
reelle Zahlen
Gaußsche Zahlenebene
Im
z=a+ib
b
a
Slide 6
Re
Definition komplexer Zahlen
Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Zahlenpaar
z := (x, y) mit x, y 2 R,
für das (definitionsgemäß) gilt:
1. Gleichheit: Zwei komplexe Zahlen z1 = (x1 , y1 ) und z2 = (x2 , y2 ) heißen
gleich
z1 = z2
wenn gilt: x1 = x2 und y1 = y2 .
2. Summe bzw. Di↵erenz: Summe oder Di↵erenz von z1 und z2 ist:
z1 ± z2
= (x1 , y1 ) ± (x2 , y2 )
:= (x1 ± x2 , y1 ± y2 )
3. Multiplikation: Multiplikation von z1 mit z2 : Summe oder Di↵erenz von
z1 und z2 ist:
z1 · z2
= (x1 , y1 ) · (x2 , y2 )
:= (x1 x2 y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
5
4. Real- und Imaginärteil: z = (x, y) hat den Realteil Re(z) = x und den
Imaginärteil Im(z) = y.
5. Komplex Konjugierte: Für z = (x, y) nennt nennt man z̄ oder z ⇤ das
Komplex Konjugierte zu z z ⇤ = z̄ = (x, y).
Slide 7
Bemerkung
Wenn y1 = 0 und y2 = 0, dann folgen aus 2. und 3. wieder die Rechenregeln für reelle Zahlen:
(x1 , 0) ± (x2 , 0) = (x1 ± x2 , 0)
(x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0)
Wir können also reelle Zahlen als die Spezialfälle komplexer Zahlen mit verschwindenden Imaginärteil betrachten:
(x, 0) =: x
Slide 8
Definition
Definition: reelle und imaginäre Zahlen
Eine komplexe Zahl ist (rein) reell, wenn Im(z) = 0.
Sie ist imaginär, wenn Re(z) = 0 ^ Im(z) 6= 0.
Slide 9
Imaginäre Einheit
Die Zahl i := (0, 1) erfüllt die Bedingung i2 =
(0, 1) · (0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0)
1, denn i2 = i · i =
Definition: Imaginäre Einheit
i := (0, 1) heißt imaginäre Einheit.
Bemerkung: mit y 2 R gilt: iy = (0, 1) · (y, 0) = (0 · y 1 · 0, 0 · 0 + 1 · y) =
(0, y) Für eine beliebige komplexe Zahl z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) gilt also
Definition: Übliche Schreibweise:
Die übliche Schreibweise einer komplexen Zahl ist damit
z = x + iy
Slide 10
mit x, y 2 R,
und i imaginäre Einheit
6
Bemerkung
Addition (Subtraktion) kann in der Form
(z1 ± z2 ) = (x1 + iy1 ) ± (y1 + iy2 )
= (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 )
geschrieben werden.
Real- und Imaginärteile werden also jeweils einzeln addiert bzw. subtrahiert.
Slide 11
Beispiel für Subtraktion
z1 = 3
z1
i
z2 =
z2 = [3
2
3i
( 2)] + i[ 1
( 3)]
= 5 + 2i
Slide 12
Bemerkung zur Multiplikation
Definitionsgemäß gilt:
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2
= x1 x2
y 1 y 2 , x1 y 2 + x 2 y 1 )
y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
Direktes Ausmultiplizieren von (x1 + iy1 ) mit (x2 + iy2 ) ergibt:
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + x1 · (iy2 ) + (iy1 ) · (iy2 )
= x1 x2 + i(y1 x2 + x1 y2 ) + i2 y1 y2
= x1 x2
y1 y2 + i(y1 x2 + x1 y2 )
Man kann also mit i rechnen ’wie mit einer (reellen) Zahl’.
Slide 13
7
Beispiel für Multiplikation
z1 = 3
i
z2 =
z1 · z2 = (3
2
3i
i) · ( 2
3i)
=
6
9i + 2i + 3i2
=
9
7i
= ( 9, 7)
Slide 14
Absolutbetrag
Definition: Absolutbetrag
Der Absolutbetrag |z| einer komplexen Zahl z := x + iy
ist definiert als
p
|z| = |x + iy| = x2 + y 2 0
Bemerkung über konjugiert komplexe Zahlen (oder “komplex konjugierte
Zahlen”):
• z⇤ = x
iy wenn z = x + iy
• Es gilt: Re(z) = Re(z ⇤ ) und Im(z) =
• |z| = |z ⇤ |
• z · z ⇤ ist immer reell.
Slide 15
8
Im(z ⇤ )
Beispiel
z=3
i =) z ⇤ = 3
z · z ⇤ = (3
( i) = 3 + i
i2 = 10 ist reell
p
allgemein: |z| = |x + iy| = x2 + y 2
p
|z ⇤ | = |x iy| = x2 + ( y)2 =) |z| = |z ⇤ |
p
p
|z · z ⇤ | = x2 + y 2 · x2 + y 2 = x2 + y 2 ist immer reell und positiv.
Slide 16
i)(3 + i) = 32
Rechenregeln
Addition und Multiplikation sind
• kommutativ
z1 + z2 = z2 + z1
z1 · z2 = z2 · z1
• assoziativ
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
• Es gilt ein Distributivgesetz:
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
Slide 17
Division zweier komplexer Zahlen
Gegeben: z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .[0.5cm]
Gesucht: z mit z1 · z = z2 .[0.5cm]
Man schreibt
z2
x2 + iy2
z :=
=
z1
x1 + iy1
Frage: Ist z wieder eine komplexe Zahl?[0.2cm] maW: kann ich also schreiben z = x + iy mit x, y 2 R?
Slide 18
9
Division zweier komplexer Zahlen
z ist in der Tat komplex. Durch Erweitern des Bruchs mit dem Konjugiert
Komplexen des Nenners erhält man das gewünschte Ergebnis.
z=
Slide 19
z2
(x2 + iy2 )(x1 iy1 )
=
z1
(x1 + iy1 )(x1 iy1 )
(x2 x1 + iy2 x1 ix2 y1 i2 x1 y1
=
x21 i2 y12
(x2 x1 + y1 y2 ) + i(y2 x1 x2 y1 )
=
x21 + y12
x2 x1 + y1 y2
y2 x1 x2 y1
=
+i·
2
2
x1 + y1
x21 + y12
= x + iy
Beispiel für Division
z1 = 1
z=
also
Slide 20
i
z2 = 1 + i
1+i
(1 + i)(1 + i)
=
1 i
(1 i)(1 + i)
=
1 + i + i + i2
1 i2
=
1 + 2i 1
2i
=
1+1
2
1+i
= i
1 i
Rechenregeln für konjugiert Komplexe Zahlen
10
Slide 21
(z1 ± z2 )⇤ = z1⇤ ± z2⇤
2.
(z1 · z2 )⇤
3.
⇣ z ⌘⇤
1
z2
= z1⇤ · z2⇤
=
z1⇤
z2⇤
Rechenregeln für Beträge
1.
|z ⇤ |
2.
|z1 + z2 |
3.
Slide 22
1.
||z1 |
= |z|
 |z1 | + |z2 | (Dreiecksungleichung)
|z2 ||  |z1 + z2 |  |z1 | + |z2 |
4.
|z1 · z2 |
5.
z1
z2
= |z1 | · |z2 |
=
|z1 |
|z2 |
Dreiecksungleichung
11
|z1 |
• z1 + z2
z1
•
|z2 |
• z2
|z1 + z2 |
komplexe Zahlen verhalten sich bzgl. Addition und Subtraktion wie Vektoren in der Ebene.
2.2
Slide 23
Polarkoordinatendarstellung
Polarkoordinaten
Eine komplexe Zahl kann statt durch die zwei Zahlen x, y 2 R auch durch
durch Polarkoordinaten, also einen Betrag
r = |z|
und einem Winkel ,
0
2 [0; 2⇡[ dargestellt werden.
y
Im
z=x+iy
r
x
Slide 24
Re
Polarkoordinaten: Gaußsche Zahlenebene
12
o↵enbar gilt dann:
x = r cos
y = r sin
z = r(cos + i sin )
|z| = |r|
r,
Slide 25
q
cos2
+ sin2
= |r| = r
kann aus x, y wieder berechnet werden durch
p
y
y
r = x2 + y 2 tan =
) = arctan
x
x
Beispiel Polarkoordinaten
Im
z
r
p
p
z = q1 + i 3 () x = 1, y = 3
p 2 p
r = ( 1)2 + 3 = 4 = 2 [0.3cm]
= 180 p
[0.3cm]
p
3
tan = 1 =
3 = tan(180
) = tan( ) =
p
) tan = 3 =) = 60
=) = 120
2.3
Slide 26
Re
tan
[0.4cm]
[0.3cm]
Multiplikation und Division in Polarkoordinaten
Multiplikation in Polarkoordinaten
z1 · z2 = r1 (cos
1
+ i sin
= r1 · r2 ([cos 1 cos
i[sin 1 cos
13
1)
· r2 (cos
sin
2 + cos
2
2
+ i sin
sin 2 ] +
1 sin 2 ])
1
2)
Nach den Additionstheoremen gilt:
[cos
[sin
1
1
cos
cos
sin
1
sin
= cos(
1
+
2)
+ cos
1
sin 2 ] = sin(
1
+
2)
2
2
2]
Andererseits gilt natürlich:
z1 · z2 = z = r · (cos + i sin )
Slide 27
Multiplikation
=) 2 Komplexe Zahlen werden in Polarkoordinaten multipliziert, indem[0.2cm] die Beträge multipliziert werden: r = r1 · r2 [0.2cm] und die
Winkel addiert werden: = 1 + 2
Slide 28
Division in Polarkoordinaten
z1
z1 · z2⇤
=
z2
|z2 |2
=
=
=
r1 (cos
1
+ i sin
1)
r1 (cos
1
+ i sin
1)
cos(
2)
r1
([cos
r2
1
i[sin
=
r1
[cos(
r2
1
1
· r2 (cos
r22
cos(
2)
· r2 (cos(
r22
sin
2)
Slide 29
14
1
1
+ i sin(
i sin
2
+ cos
+ i sin(
2)
sin(
1
sin(
2 )]
2 )]
2)
+
2 )])
2 ))
Division
=) 2 Komplexe Zahlen werden in Polarkoordinaten dividiert, indem
die Beträge dividiert werden: r = rr12 und die Winkel subtrahiert werden:
=
1
2
Multiplikation und Division ist in Polarkoordinaten ’einfacher’.
Slide 30
Beispiel
z1 = 1 + i
Im
z2 = 1
1+i
i
r1 = r 2 =
p
2
45
45
Re
1
i
p
2
z = p · (cos(
2
2)
1
+ i sin(
1
2 ))
= 1 · (cos(90 ) + i sin(90 ))
= +i
2.4
Slide 31
(r = 1,
= 90 )
Moivresche Formel
Sei z1 = z2 = z. Dann ist 2
z = (r(cos + i sin ))2
= r2 (cos(2 ) + i sin(2 ))
Dies ist ein Spezialfall der Moivreschen Formel[0.2cm]
Moivresche Formel
[cos + i sin ]n = cos(n ) + i sin(n ) n 2 Z
=) Die Moivresche Formel erleichtert die Berechnung von Potenzen komplexer Zahlen.
Slide 32
15
Beispiel
z=
p
1+i 3
z 5 =?
Lösung mit dem Binomialsatz:
⇣
p ⌘5
z5 =
1+i 3
✓ ◆
p
5
5
= ( 1) +
( 1)4 (i 3) +
1
✓ ◆
✓ ◆
p 2
p
5
5
3
( 1) (i 3) +
( 1)2 (i 3)3 +
2
3
✓ ◆
p
p
5
( 1)(i 3)4 + (i 3)5
4
p
p
=
1 + 5i 3 10 · 3 · ( 1) + 10 · ( i) · 3 3
p
=
16 16 3
Slide 33
Beispiel
Lösung mit der Moivreschen Formel:
p
p
r = x2 + y 2 = 1 + 3 = 2
p
x
1
y
3
cos = =
sin = =
=)
r
2
r
2
also
p
5 · 9 + 9 3i
= 120
z 5 = r5 [cos(5 · 120 ) + i sin(5 · 120 )]
= 32 · [cos(600 ) + i sin(600 ]
= 32 · [cos(240 ) + i sin(240 ]
"
p #
1
3
= 32 ·
i
2
2
p
=
16 16 3i
16
2.5
Slide 34
Wurzeln aus komplexen Zahlen
n-te Wurzeln
n-te Wurzeln beliebiger komplexer Zahlen lassen sich mit dem Moivreschen Satz bestimmen. Sei n 2 N:
n-te Wurzel
Wenn die n-te Wurzel aus z = x + iy gezogen werden soll
p
n
z = z 1/n =: ⇣ = ⇠ + i⌘
so ist das gleichbedeutend mit
⇣n = z
Slide 35
n-te Wurzel
In Polarkoordinaten gilt
⇣ = ⇢ [cos
+ i sin ]
⇢ = |⇣|
z = r [cos + i sin ]
Aus der Moivreschen Formel folgt
⇢n [cos + i sin ]n =
⇢n [cos(n ) + i sin(n )] = r [cos + i sin ]
Vergleich der Beträge links/rechts:
Vergleich der Winkel links/rechts:
n =
()
Slide 36
17
⇢n = r () ⇢ = r1/n
=
n
n-te Wurzel
Es gibt aber noch weitere Lösungen. Es gilt nämlich
n =
+ k · 360 ,
k2Z
denn cos(n ) = cos( + 360 · k) = cos . Es gilt also allgemeiner:
n-te Wurzeln aus komplexen Zahlen
k
=
+ 360 · k
n
=
+ 2⇡k
n
k = 0, 1, 2, . . . , n
k = n nicht möglich, denn für ( + 2⇡n)/n ist wieder
Slide 37
1
n
=
0.
Beispiel
p
5
1 + i =?
also
p
p
z = 1 + i r = 1 + 1 = 2, n = 5,
p
p
p
5
⇢=
2 = 10 2 = 21/10 [0.2cm]
0 = 5 = 9 [0.2cm]
360
1 = 5 + 5 · 1 = 9 + 72 = 81 [0.2cm]
360
2 = 5 + 5 · 2 = . . . = 153 [0.2cm]
3 = . . . = 225 [0.2cm]
4 = 297
2.6
Slide 38
Fundamentalsatz der Algebra
Fundamentalsatz der Algebra
18
= 45
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom n-ten Grades
f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n ,
an 6= 0, n
1
mit komplexen ak und z lässt sich in der Form
fn = an · (z
z1 ) · (z
z2 ) . . . (z
zn )
schreiben. Die zn sind die n Nullstellen des Polynoms.
(Zerlegung in Faktoren / “Faktorisierung”)
f hat mindestens eine, höchstens n verschiedene komplexe Nullstellen. Ist
z.B. z1 = z2 so spricht man auch von “mehrfachen Nullstellen” (zweifache im
Beispiel).
2.7
Slide 39
Eulersche Formel
Eulersche Formel
Statt mit cos und sin kann man wesentlich eleganter mit der komplexen Exponentialfunktion (Exponentialfunktion mit imaginärem Argument)
rechnen.
Eulersche Formel
ei := cos + i sin
Aufgrund der Additionstheoreme gilt dann
e i · ei
ei
= ei(
n
+ )
= ein
Der Ausdruck ei “verhält sich wie die Exponentialfunktion”.
Slide 40
Taylorentwicklung
19
Man kann durch Taylorentwicklung zeigen, dass
ei
= 1+
(i ) (i )2 (i )3
+
+
...
1!
2!
3!
= cos + i sin
2
cos
= 1
sin
=
2!
4
+
3
Slide 41
3!
denn
4!
...
5
+
5!
...
Cosinus und Sinus
ei
e
i
= cos + i sin
= cos(
) + i sin(
= cos
i sin
=) ei + e
i
= 2 cos
i
i
= 2i sin
e
e
cos
sin
ei + e
2
i
e
e
=
2i
i
=
i
Die rechten Seiten sind nur scheinbar komplex.
20
)