Montag 22.6.2015

Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
$Id: quadratisch.tex,v 1.11 2015/06/22 12:08:41 hk Exp $
§4
Kegelschnitte
4.1
Quadratische Gleichungen
In der letzten Sitzung hatten wir die Normalform
(1 − 2 )x2 + y 2 − 2px − p2 = 0
der Kegelschnittgleichung hergeleitet. Dabei waren ≥ 0 die sogenannte numerische
Exzentrität des Kegelschnitts und p > 0 der Parameter des Kegelschnitts. Bezeichnet
β den halben Öffnungswinkel unseres Kegels, γ den Komplementärwinkel zum Winkel
zwischen der Achse des Kegels und der schneidenden Ebene sowie d den Abstand der
Ebene zur Kegelspitze so sind = cos γ/ cos β und p = d tan β. Umgekehrt hatten wir
uns überlegt das sich eine quadratische Gleichung
ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0
durch Koordinatentransformation in die Form
a0 x2 + b0 y 2 + d0 x + e0 y + f 0 = 0
mit a0 d0 = b0 e0 = 0 transformieren ließ, konkret sind
a0 = a cos2 φ + b sin2 φ + c sin φ cos φ,
b0 = a sin2 φ + b cos2 φ − c sin φ cos φ,
wobei φ der Winkel ist um den das Koordinatensystem gedreht wurde. Wir wollen
dieses Ergebnis in einem Satz formulieren und in diesem Satz benötigen wir noch die
sogenannte Diskriminante ∆ einer quadratischen Gleichung, in der hier verwendeten
Vorzeichenkonvention meint dies die Zahl ∆ := c2 − 4ab. Wir wollen uns überlegen das
diese bei den obigen Koordinatentransformationen erhalten bleibt. Für die abschließenden beiden quadratischen Ergänzungen ist dies klar da diese die quadratischen Terme
unserer Gleichung nicht verändern. Unter unserer Drehung wird ebenfalls
−4a0 b0 = −4(a2 + b2 − c2 ) sin2 φ cos2 φ − 4ab(sin4 φ + cos4 φ)
+4ac sin φ cos φ(cos2 φ − sin2 φ) − 4bc sin φ cos φ(cos2 φ − sin2 φ)
= −(a2 + b2 − c2 ) sin2 (2φ) − 4ab(sin4 φ + cos4 φ) + 2(a − b)c sin(2φ) cos(2φ),
und verwenden wir noch
1 = (sin2 φ + cos2 φ)2 = sin4 φ + cos4 φ +
18-1
1 2
sin (2φ),
2
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
also
sin4 φ + cos4 φ = 1 −
1 2
sin (2φ),
2
so wird
− 4a0 b0 = (c2 − a2 − b2 ) sin2 (2φ) − 4ab + 2ab sin2 (2φ) + c2 cos2 (2φ) + (a − b)2 sin2 (2φ)
= c2 − 4ab,
die transformierte Gleichung hat also dieselbe Diskriminante.
Satz 4.1 (Lösungsmengen quadratischer Gleichungen)
Seien a, b, c, d, e, f ∈ R mit (a, b, c) 6= (0, 0, 0) und schreibe ∆ := c2 − 4ab. Sei
L := {(x, y) ∈ R2 |ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0}
die Lösungsmenge unserer quadratischen Gleichung. Dann gelten:
(a) Ist ∆ < 0, so ist entweder |L| ≤ 1 oder L ist eine Ellipse.
(b) Ist ∆ > 0, so ist L entweder die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden
oder eine Hyperbel.
(c) Ist ∆ = 0, so ist entweder L = ∅ oder L ist eine Gerade oder L ist die Vereingung
zweier paralleler Geraden oder L ist eine Parabel.
Beweis: Wie gesehen können wir durch eine Drehung c = 0 annehmen und dabei bleibt
∆ = −4ab unverändert. Weiter konnten wir durch Verschiebung des Koordinatenursprungs auch ad = 0 und be = 0 erreichen. Wir unterscheiden jetzt die drei möglichen
Fälle.
(a) Sei ∆ < 0, also ab > 0. Dann hat unsere Gleichung nach der Transformation die
Form ax2 + by 2 + f = 0 mit sign(a) = sign(b). Die Lösungsmenge L ist also eine Ellipse
wenn sign(f ) = − sign(a) ist, oder L = ∅ wenn sign(f ) = sign(a) ist oder L = {(0, 0)}
wenn f = 0 ist.
(b) Nun sei ∆ > 0, also ab < 0. Nach Transformation hat unsere Gleichung wieder die
Form ax2 + by 2 + f = 0. Ist f 6= 0, so ist L eine Hyperbel und ist f = 0, so ist
r
a
2
L = (x, y) ∈ R y = ± − · x
b
die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden.
(c) Im letzten Fall ist ∆ = 0, also ab = 0. Nach eventuellen Vertauschen von x und y
hat die Gleichung die Form ax2 + ey + f = 0 mit a 6= 0. Ist e 6= 0, so ist L damit eine
Parabel. Ist dagegen e = 0, so wird L = {(x, y) ∈ R2 |x2 = −f /a}, also L = ∅ wenn
f /a > 0, L ist eine Gerade wenn f = 0 und L ist die Vereinigung zweier paralleler
Geraden wenn f /a < 0.
18-2
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
Als Umkehrung dieses Satzes erhalten wir eine Beschreibung der Kegelschnitte in
Koordinaten.
Korollar 4.2 (Koordinatenbeschreibung der Kegelschnitte)
Eine Teilmenge K ⊆ R2 ist genau dann ein Kegelschnitt wenn K nicht in der Vereinigung zweier Geraden enthalten ist und es Konstanten a, b, c, d, e, f ∈ R mit (a, b, c) 6=
(0, 0, 0) und
K = {(x, y) ∈ R2 |ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0}
gibt.
Beweis: Wir haben bereits gesehen das sich jeder Kegelschnitt in geeigneten Koordinaten durch eine quadratische Gleichung beschreiben läßt und nach Satz 1 ist umgekehrt
die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung entweder ein Kegelschnitt oder in der
Vereinigunng zweier Geraden enthalten.
Wir wollen uns ein Beispiel zur Hauptachsentransformation anschauen und betrachten
die folgende quadratische Gleichung
4x2 + y 2 − xy − x − y +
1
= 0,
5
also a = 4, b = 1, c = d = e = −1 und f = 2 in der Notation der letzten Sitzung. Die
Diskriminante ∆ = c2 − 4ab ergibt sich als
∆ = 1 − 4 · 4 = −15,
also ist die Lösungsmenge unserer Gleichung nach Satz 1 eine Ellipse oder eventuell eine
höchstens einelementige Menge. Folgen wir unserem Verfahren, so müssen wir zunächst
das Koordinatensystem drehen um den gemischten Term zu eliminieren, wir müssen
also neue Koordinaten x0 , y 0 mit
x = cos(φ)x0 − sin(φ)y 0 , y = sin(φ)x0 + cos(φ)y 0
einführen, wobei der Winkel φ durch die Bedingung
tan(2φ) =
c
1
=−
a−b
3
bestimmt ist. Also ist
1
1
φ = − arctan ≈ −18, 4349◦ ,
2
3
es ist allerdings nicht praktisch mit diesem krummen Winkel“ weiterzurechnen. Die
”
transformierte Gleichung ist
a0 x2 + b0 y 2 + d0 x + e0 y + f = 0
18-3
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
mit
c
sin(2φ),
2
c
= a sin2 φ + b cos2 φ − c sin φ cos φ = a sin2 φ + b cos2 φ − sin(2φ),
2
= d cos φ + e sin φ,
= e cos φ − d sin φ,
a0 = a cos2 φ + b sin2 φ + c sin φ cos φ = a cos2 φ + b sin2 φ +
b0
d0
e0
wir müssen also die hier auftretenden trigonometrischen Werte sin φ, cos φ und so weiter
in Termen von tan(2φ) ausrechnen. Benutzen wir die Formel
1 + tan2 ψ = 1 +
so wird
cos2 (2φ) =
sin2 ψ
sin2 ψ + cos2 ψ
1
=
=
,
2
2
cos ψ
cos ψ
cos2 ψ
1
1
=
2
1 + tan (2φ)
1+
und
sin2 (2φ) = 1 − cos2 (2φ) = 1 −
1
9
=
9
10
9
1
= .
10
10
Wegen −π/2 < 2φ < 0 sind weiter
3
1
sin(2φ) = − √ und cos(2φ) = √ .
10
10
Benutzen wir jetzt die Verdopplungsformel des Cosinus aus §2.2, so wird
√
√
3 + 10
10 + 3 10
3
2
2
=
2 cos φ − 1 = cos(2φ) = √ also cos φ = √
20
10
2 10
und ebenso
√
√
3
10 − 3
10 − 3 10
2
2
.
1 − 2 sin φ = cos(2φ) = √ , also sin φ = √
=
20
10
2 10
Wegen −π/4 < φ < 0 ergeben sich letztlich
s
s
√
√
10 − 3 10
10 + 3 10
sin φ = −
und cos φ =
.
20
20
Setzen wir diese Werte jetzt in die Formeln für a0 , b0 , d0 , e0 ein, so ergeben sich
√
√
√
√
10
5 + 10
10 + 3 10 10 − 3 10
0
a = 4·
+
+
=
,
20√
20√
2√
√20
10 − 3 10 10 + 3 10
10
5 − 10
b0 = 4 ·
+
−
=
,
20
2
s 20 √
s 20
√
10 + 3 10
10 − 3 10
0
d = −
+
,
20
20
s
s
√
√
10 + 3 10
10 − 3 10
0
e = −
−
,
20
20
18-4
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
im gedrehten Koodinatensystem ist die Gleichung damit
5+
√
10
2
x2 +
5−
√
2
s
10
y2 − 

s
√
√
10 + 3 10
10 − 3 10 
−
x
20
20

s
s
√
√
10 + 3 10
10 − 3 10 
1
y + = 0,
−
+
20
20
5
wobei wir wieder x, y statt x0 , y 0 schreiben. Im zweiten Schritt wird jetzt Ursprung des
Koordinatensystems verschoben, wir schreiben
x = x0 −
d
e
und y = y 0 − ,
2a
2b
wobei auch a, b, d, e jetzt für die aktualisierten Koeffizienten stehen, und haben
2
ax2 + dx = ax0 −
e2
d2
2
sowie by 2 + ey = y 0 − ,
4a
4b
nach Verschiebung des Koordinatenursprungs nach (−d/(2a), −e/(2b)) wird unsere
Gleichung also zu
ax2 + by 2 + f 0 = 0
mit
f0 = f −
d2
e2
− .
4a 4b
In unserer Situation sind
s
d2 = 
2
s
√
√
10 − 3 10 
10 + 3 10
−
20
20
s
√
√
√
√
10 + 3 10 10 − 3 10
10 + 3 10 10 − 3 10
=
+
−2
·
20
20
20
20
√
√
1√
10
10 − 10
=1−
100 − 90 = 1 −
=
10
10
10
und die Rechnung für e2 unterscheidet sich in einem Vorzeichen und ergibt
√
10
+
10
e2 =
.
10
Damit werden
√
√
√
√
d2
10 − 10
(10 − 10)(10 − 2 10)
4 − 10
√
=
=
=
4a
600
20
10(10 + 2 10)
18-5
Mathematische Probleme, SS 2015
und
Montag 22.6
√
√
√
√
(10 + 10)(10 + 2 10)
10 + 10
4 + 10
e2
√
=
=
=
4b
600
20
10(10 − 2 10)
also wird
1 2
1
− =−
5 5
5
in den Koordinaten zum neuen Ursprung ist die Gleichung also
√
√
5 + 10 2 5 − 10 2 1
x +
y = ,
2
2
5
f0 =
es handelt sich also um eine Ellipse mit Hauptachsen der Längen
s
s
√
√
10 + 2 10
10 − 2 10
, b=
.
a=
75
75
4.2
Die Parabel
Die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts der numerischen Exzentrität > 0 mit
Parameter p > 0 war gegeben als
(1 − 2 )x2 + y 2 − 2px − p2 = 0.
Wie nennen den Kegelschnitt eine Parabel wenn seine numerische Exzentrität = 1
ist, dies bedeutete das die Schnittebene parallel zu einer Mantellinie unseres Kegels ist.
Die Gleichung einer Parabel mit Parameter p > 0 ist damit
y 2 − 2px − p2 = 0.
Schreiben wir
p
2px + p2 = 2p x +
2
so wird die Gleichung zu
p
y − 2p x +
= 0.
2
Legen wir also den Koordinatenursprung in den Punkt (−p/2, 0), so nimmt unsere
Gleichung die übliche Gestalt
y 2 = 2px
2
an. Einige Geraden spielen für die Parabel eine besondere Rolle. Die erste dieser Geraden ist die sogenannte Achse der Parabel, in der Parametrisierung y 2 = 2px meint
dies die x-Achse. In koordinatenfreier Beschreibung ist die Achse die eindeutige Gerade
deren zugehörige Geradenspiegelung die Parabel in sich selbst überführt. Haben wir
einen Punkt A der Parabel P , so gibt es eine eindeutige Tangente t an die Parabel
im Punkt A, dies ist diejenige Gerade mit t ∩ P = {A} bei der P \{A} ganz auf einer
Seite von t liegt. Die erste Bedingung reicht dabei nicht aus, die zur Achse parallele
18-6
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
Gerade durch A schneidet P ebenfalls nur im Punkt A. Weitere solche Geraden gibt
es nicht, die Tangente t ist also auch die eindeutige nicht zur Achse parallele Gerade
mit t ∩ P = {A}.
Wir wollen jetzt eine alternative geometrische Beschreibung der Parabeln herleiten, eine Parabel ist die Menge der Punkte die von einer gegebenen Geraden denselben
Abstand wie zu einem gegebenen Punkt haben. Die Gerade nennt man dann die Leitgerade der Parabel und der Punkt ist der Brennpunkt der Parabel. Da ein ähnliches
Phänomen auch bei Ellipsen und Hyperbeln auftritt, geben wir gleich eine allgemeine
Definition für diese Leitgeraden und Brennpunkte an.
Definition 4.1 (Leitgeraden und Brennpunkte)
Sei M ⊆ R2 eine Menge von Punkten der Ebene. Ein Leitpaar von M ist ein Paar
(l, F ) bestehend aus einer Geraden l, genannt die Leitgerade, mit l ∩ M = ∅ und einem
Punkt F ∈
/ l, genannt der Brennpunkt, für das eine Konstante κ > 0 mit
|AF |
=κ
d(A, l)
für alle A ∈ M existiert.
Das Verhältnis des Abstands der Punkte von M zum Brennpunkt zum Abstand der
Punkte von M zur Leitgeraden soll also ein konstanter Wert κ sein. Zur rechnerischen
Auswertung dieser Bedingung wollen wir uns erst einmal klarmachen wie der Abstand
eines Punktes zu einer Geraden berechnet wird. Seien also l eine Gerade und A ein
Punkt. Schon in §1.5 hatten wir gesehen das
d(A, l) = |AA0 |
ist wobei A0 der Lotfußpunkt von A auf l ist. Nehme nun an die Gerade l ist in
Hessescher Normalform
l = {x ∈ R2 |hn|xi = c}
mit einem Normalenvektor n, normiert auf ||n|| = 1, gegeben. Dann ist
A = A0 + d · n
wobei |d| = |AA0 | = d(A, l) ist. Der Betrag ist hier nötig da der Normalenvektor in die
zu A entgegengesetzte Richtung zeigen kann. Wegen A0 ∈ l ist hn|A0 i = c, also folgt
hn|Ai = hn|A0 i + dhn|ni = c + d,
d.h. d = hn|Ai − c und der gesuchte Abstand berechnet sich als
d(A, l) = |hn|Ai − c|.
Wir behaupten jetzt das eine Parabel ein eindeutiges Leitpaar hat. Zu diesem Zweck
setzen wir ein Leitpaar (l, F ) der als y 2 = 2px gegebenen Parabel mit Brennpunkt
F = (x0 , y0 ) und Leitgerade
l = {(x, y) ∈ R2 |ax + by = c}
18-7
Mathematische Probleme, SS 2015
Montag 22.6
in Hessescher Normalform mit a2 + b2 = 1 an. Dabei können wir den Normalenvektor
auf a ≥ 0 normieren. Dass (l, F ) ein Leitpaar der Parabel ist, bedeutet das es eine
Konstante κ > 0 mit
|AF | = κ · d(A, l)
für jeden Punkt A der Parabel gibt. Die Punkte der Parabel schreiben wir als A =
(y 2 /(2p), y) mit y ∈ R und erhalten
2
|AF | =
y2
− x0
2p
2
y4
x0
+ (y − y0 ) = 2 + 1 −
y 2 − 2y0 y + x20 + y02
4p
p
2
sowie
2
d(A, l) =
ay 2
+ by − c
2p
2
a2 4 ab 3
ac
2
= 2y + y + b −
y 2 − 2bcy + c2 .
4p
p
p
Dass (l, F ) ein Brennpaar der Parabel ist, bedeutet das für alle y ∈ R stets |AF |2 =
κ2 d(A, l)2 ist, und dies führt uns auf ausreichend viele Gleichungen zur Bestimmung
von l und F . Dies werden wir dann in der nächsten Sitzung durchführen.
18-8