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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Univariates Datenmaterial
• Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen
o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y1, Y2, . . . , Yn}
o Realisationen/Daten: x = {y1, y2, . . . , yn}
o Ausprägungen: a1 < a2 < . . . < ak , k ≤ n
• Deskriptive Statistik: Aufarbeitung der Daten
o Tabellarisch (Werte, relative und kumulative Häufigkeiten)
o Graphisch: Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Lageparameter
• Abhängig vom Skalierungsniveau der Variable
• Nominale Daten
o Modalwert: häufigster Wert
• Ordinale Daten
o Median: teilt n gegebene Werte in die 50% kleineren bzw. größeren
Beobachtungen
o Quantil: z ist p-Quantil, falls p-fache der Beobachtungen kleiner gleich z
sind
• Kardinale Daten
1 Pn
o Mittelwert (arithmetisches Mittel): ȳ =
i=1 yi
n
2
Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Streuungsparameter
• Spannweite: max(yi) - min(yi)
• Interquartilsspanne: Differenz zwischen 0.75-Quantil (3. Quartil) und
0.25-Quantil (1. Quartil)
• Kardinale Daten
o
o
o
o
1 Pn
2
Empirische Varianz: s =
i=1 (yi − ȳ)
n−1
1 Pn
2
2
(y
−
ȳ)
Mittlere quadratische Abweichung: smqa =
i
i=1
n
√
Standardabweichung: s = s2
s
Variationskoeffizient:
ȳ
2
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Mehrdimensionales Datenmaterial
µ ¶
µ ¶ µ ¶
Xn
X1
X2
,
, ···,
• Beispiel: zwei Merkmale/ Zufallsvariablen:
Yn
Y2
Y1
µ ¶ µ ¶
µ ¶
x1
x2
xn
• Daten:
,
, ···,
y1
y2
yn
• Datenaufbereitung
o nominale oder ordinale/kardinale Daten mit wenigen Ausprägungen:
Kontingenztabelle
o kardinale/ordinale Daten mit wenigen Ausprägungen (stetige Daten):
Streudiagramm/Scatterplot
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Streudiagramm
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Korrelation
• Ordinale Daten
o Rangkorrelationkoeffizient (Spearman): rSP
Pn
rSP
¯ x)(rg(yi) − rg
¯ y)
− rk
qP
= pP
n
n
2
¯
¯ 2
(rg(x
)
−
rg
)
i
x
i=1
i=1 (rg(yi ) − rgy )
i=1 (rg(xi )
• Kardinale Daten
o Korrelationkoeffizient (Pearson): −1 ≤ rxy ≤ 1
Pn
rxy
i=1 (xi
− x̄)(yi − ȳ)
Cov(x, y)
pPn
=
= pPn
2
2
sxsy
i=1 (xi − x̄)
i=1 (yi − ȳ)
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Kovarianz und Korrelation
• Kardinale Daten
o Kovarianz von x und y: Cov(x, y) = sxy
n
Cov(x, y) = sxy
1 X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
=
n − 1 i=1
• Kovarianz und Korrelation beschreiben die lineare Abhängigkeit/
Beziehung von zwei Variablen bzw. den relevanten Daten
• Korrelation ist im Gegensatz zur Kovarianz ein normiertes Maß:
−1 ≤ rxy ≤ 1
o rxy = 1: perfekter positiver linearer Zusammenhang
o rxy = −1: perfekter negativer linearer Zusammenhang
o rxy = 0: kein linearer Zusammenhang
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.6.1 Deskriptive Statistik
Varianz-Kovarianz Matrix
• Varianz-Kovarianz Matrix von x und y
µ
s2x
sx,y
sx,y
s2y
¶
• Merke: Cov(x, y) = Cov(y, x) bzw. sx,y = sy,x
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitstheorie/ Stochastik
• Modellieren ökonomische Phänomene als Ergebnis von
Zufallsexperimenten
• Ökonomischen Variablen werden entsprechend als Zufallsvariablen
interpretiert
o Zufallsvariablen werden durch Verteilungen (z.B. Normalverteilung) und
deren Charakteristika beschrieben (z.B. Erwartungswert und Varianz)
o Verteilung repräsentiert Eigenschaften der interessierenden
Grundgesamtheit
(z.B. Grundgesamtheit aller Arbeitnehmer im Rahmen einer
Arbeitsmarktstudie)
• Kollektion von ökonomischen Variablen (z.B. Lohn von 10 Arbeitnehmern)
wird als Kollektion von Zufallsvariablen interpretiert (Stichprobe)
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitstheorie/ Stochastik
• Wieso?
o Wollen etwas über die Eigenschaften der Grundgesamtheit
(z.B. Streuung der Löhne) lernen ⇒ Anwendung von Schätzern
o Stochastische Modellierung erlaubt uns die sinnvolle Evaluation von
Schätzern und Interpretation von Schätzergebnissen
o Durch Verteilungssannahmen werden Eigenschaften der
Grundgesamtheit ,,parametrisiert”
o Schätzer schätzen die Parameter
o Wir können die Eigenschaften der Schätzer ableiten
o Wir können Aussagen darüber machen, ob Schätzergebnisse relevant
(signifikant) verschieden von einer Referenz sind (Statistische Tests)
• Referenz: Stock & Watson: Kap. 2.1-2.4
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsexperiment
• Annahme: beobachtete Ereignisse sind Ergebnis eines
Zufallsexperiment/ Zufallsprozess
,,Computerabstürze während des Schreibens einer Seminararbeit”
o Ergebnisse: sich gegenseitig ausschließende Resultate eines
Zufallsexperimentes
kein, 1, 2, 3, . . ., Computerabstürze
o Jedem Ergebnis kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden
o Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ergebnise
o Ereignis: Untermenge der Ergebnismenge
Ereignis: ,,Der Computer stürzt nicht mehr als einmal ab”
= Menge bestehend aus den Ergebnissen ,,kein” und ,,1” Absturz
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen
• Zufallsvariable: numerische Zusammenfassung eines zufälligen
Ergebnisses
ZV: ,,Anzahl der Computerabstürze”
o diskrete ZVen: ZV nimmt nur eine diskrete Menge an Werten an
z.B. 0, 1, . . . Computerabstürze
o stetige ZVen: ZV kann unendliche viele Werte (in einem Interval)
annehmen
z.B. Haushaltseinkommen, Aktienkurse, ...
o Hinweis: Die meisten ,,stetigen” ökonomischen Variablen, wie
z.B. Einkommen, werden nur als stetig modelliert, sind es im strengen
Sinne aber nicht. Grund: die Einheiten, z.B. Währung, sind nicht
beliebig teilbar.
• Zufallsvariablen können durch Verteilungen beschrieben werden:
Unterscheidung in diskrete und stetige Variablen ist wichtig
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Diskrete Zufallsvariablen
• Wahrscheinlichkeitsfunktion
o Liste aller möglichen Werte yi einer ZVen und deren
Wahrscheinlichkeiten P (Y = yi)
o Summe der W.keiten = 1
• (Kumulative) Verteilungsfunktion
o Wahrscheinlichkeit, dass ZVe kleiner oder gleich einem Wert c ist
P
P (Y ≤ c) = i:yi≤c P (Y = yi) = F (c)
• Beispiele: fiktive Verteilung für Computerabstürze, Bernoulli-Verteilung
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Stetige Zufallsvariablen
• (Kumulative) Verteilungsfunktion
o Definiert wie für diskrete Variablen
o Beispiel: fiktive Verteilung für Fahrzeit zwischen Wohnung und Uni,
Normalverteilung
• Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte)
o Formal: Ableitung der Verteilungsfunktion f (c) = F 0(c)
o Fläche unter der Dichtefunktion zwischen zwei Punkten a und b
(Integral) gibt Wahrscheinlichkeit an, dass Wert der ZVe zwischen a
und b liegt: P (a ≤ Y ≤ b)
o Merke: P (Y = a) = P (a) = 0 für stetige Zufallsvariablen!
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsannahmen
• Die wahren Verteilungen von Zufallsvariablen sind unbekannt
• Häufig nehmen wir eine spezifische Verteilung an, z.B. Normalverteilung
o Problem: Daten widersprechen oft der Verteilungsannahme
o Lösung: Keine spezifischen Verteilungsannahme, sondern nur
Annahmen über Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable
(Existenz, manchmal auch konkrete Werte)
o Merke: Erwartungswert und Varianz sind Eigenschaften, die aus der
Verteilung der Zufallsvariable abgeleitet werden bzw. Verteilung näher
charakterisieren!
• Konzentrieren uns bei Erläuterungen zu Erwartungswert und Varianz auf
diskrete ZVen
o stetige ZVen: Summen werden durch Integrale ersetzt
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Erwartungswert
• Erwartungswert: mittlerer (durchschnittlicher) Wert, den eine Zufallsvariable nach unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsexperimentes annimmt
• Lageparameter der Verteilung der Zufallsvariable
o Notation: E(Y ) = µY , der Wert µY ist üblicherweise unbekannt
Pk
o E(Y ) = y1p1 + y2p2 + · · · + yk pk = i=1 yipi
o Beispiele: erwartete Anzahl von Computerabstürzen, Erwartungswert
einer Bernoulli-ZVe
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Varianz und Standardabweichung
• Maße für Streuung der Verteilung
o Notation
Varianz: Var(Y ) = σY2
Standardabweichung: σY
2
o Var(Y ) = E[(Y − µY ) ] =
Pk
2
(y
−
µ
)
pi
i
Y
i=1
o Beispiele: Varianz der Anzahl von Computerabstürzen, Varianz einer
Bernoulli-ZVe
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Lineare Funktion einer Zufallsvariable
• Lineare Funktion der Zufallsvariablen X: Y = a + bX
a, b sind Konstanten
• Y ist folglich auch eine Zufallsvariable
• Erwartungswert und Varianz von Y ?
o E(Y ) = µY = a + bE(X) = a + bµX
2
o Var(Y ) = σY2 = b2Var(X) = b2σX
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Zwei Zufallsvariablen
• Die meisten ökonomisch interessanten Fragen betreffen zwei oder
mehrere Variablen
o Finden Uniabsolventen leichter einen Arbeitsplatz als als Bewerber
ohne Uniabschluß?
o Ist die Einkommensverteilung für Männer und Frauen unterschiedlich?
• Wir müssen Verteilung mehrerer Zufallsvariablen (z.B. Ausbildung/
Einkommen und Einkommen/Geschlecht) gleichzeitig berücksichtigen.
• Konzepte: gemeinsame, marginale und bedingte
Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Gemeinsame und marginale Verteilung
• Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt Wahrscheinlichkeit an,
dass die ZVen X und Y gleichzeitig die Werte x und y annehmen
P (X = x, Y = y)
o Beispiel: Gemeinsame Verteilung von Wetterbedingungen und Fahrzeit
• Marginale Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZVe Y ist ein anderer
Name für die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y
o Marginale Verteilung ergibt sich aus gemeinsamer Verteilung durch
Addition der W.keiten aller Ereignisse für die Y einen bestimmten Wert
annimmt
Pl
P (Y = y) = i=1 P (X = xi, Y = y)
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Bedingte Verteilung, Erwartungswert und Varianz
• Bedingte Verteilung von Y gegeben X
Verteilung von Y gegeben, dass eine andere Zufallsvariable X einen
spezifischen Wert annimmt
P (X = x, Y = y)
o P (Y = y|X = x) =
P (X = x)
o Beispiel: Bedingte Verteilung der Fahrzeit gegeben, dass es regnet
• Bedingter Erwartungswert von Y gegeben X
o Wird unter Verwendung bedingter Verteilung bestimmt
Pk
o E(Y |X = x) = i=1 yiP (Y = yi|X = x)
• Bedingte Varianz von Y gegeben X ist die Varianz der bedingten
Verteilung von Y gegeben X
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
o Var(Y |X = x) =
Pk
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
2
[y
−
E(Y
|X
=
x)]
P (Y = yi|X = x)
i
i=1
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Gesetz der iterierten Erwartungen
• Herleitung des unbedingten Erwartungswertes über den bedingten
Erwartungswert
• E(Y ) = E[E(Y |X)]
o Implikation: E(Y |X) = 0 ⇒ E(Y ) = E[E(Y |X)] = E[0] = 0
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
• X und Y sind unabhängig verteilt bzw. unabhängig, falls Informationen
über eine Variable keine Information über die andere Variable liefert
o Bedingte Verteilung von Y gegeben X entspricht marginaler Verteilung
von Y
o P (Y = y|X = x) = P (Y = y)
o Implikation: P (Y = y, X = x) = P (X = x)P (Y = y)
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Kovarianz und Korrelation
• Kovarianz ist lineares Abhängigkeitsmaß der Zufallsvariablen X und Y
Cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )]
l
k X
X
(xi − µX )(yj − µY )P (X = xi, Y = yj )
=
i=1 j=1
• Korrelation ist normiertes lineares Abhängigkeitsmaß
ρX,Y
σXY
Cov(X, Y )
p
=
=
,
σ
σ
Var(X)Var(Y )
X Y
−1 ≤ ρX,Y ≤ 1
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Unabhängigkeit, Korrelation und bedingter Erwartungswert
• Unabhängigkeit von X und Y ⇒ Cov(X, Y ) = ρX,Y = 0
o Umkehrung gilt nicht!
• E(Y |X) = E(Y ) ⇒ Cov(X, Y ) = ρX,Y = 0
o Umkehrung gilt nicht!
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Summen von Zufallsvariablen
• E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = µX + µY
2
• Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ) = σX
+ σY2 + σXY
o Falls X und Y unabhängig oder unkorrelliert sind:
2
Var(X + Y ) = σX
+ σY2
• Weitere Eigenschaften von Summen von Zufallsvariablen:
siehe Key Concept 2.3 in Stock & Watson
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Empirischen Volkswirtschaftslehre
1.2.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungen von Zufallsvariablen
• Normalverteilung: charakterisiert durch Erwartungswert und Varianz:
Y ∼ N (µ, σ 2)
• Standardnormalverteilung: µ = 0 und σ 2 = 1
Z = (Y − µ)/σ ⇒ Z ∼ N (0, 1)
o Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Normalverteilung:
siehe Key Concept 2.4 und Figure 2.6 in Stock & Watson
• Weitere Verteilungen
o Chi2-Verteilung mit m Freiheitsgraden
Pm
Z1, . . . Zm sind unabhängig ∼ N (0, 1) ⇒ i=1 Zi2 ∼ χ2m
o t-Verteilung mit m Freiheitsgraden
p
2
Z ∼ N (0, 1) und W ∼ χm sind unabhängig ⇒ Z/ W/m ∼ tm
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