Übung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungserie 1

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Übung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Ch. Cuchiero, H. Koivusalo, S. Mousset und J. Černý
SS2017
Übungserie 1
Besprechung: 6., 8. bzw. 10. März
1. Kombinatorik
(a) Auf einem Schachbrett sollen 8 Türme so positioniert werden, dass keiner im Wirkungsbereich eines anderen liegt. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
(b) Ein Güterzug besteht aus 5 Tankwagen, 7 Holzwagen und 10 Kieswagen (Wagen gleichen
Typs sind jeweils nicht unterscheidbar). Auf wieviele Arten kann die Zugkomposition
zusammengestellt werden?
(c) Aus den Ziffern 1 bis 9 sollen 3-stellige Zahlen gebildet werden, dabei darf jede Ziffer nur
einmal vorkommen. Wieviele Zahlen sind möglich?
(d) Wieviele dreistellige Zahlen mit lauter geraden Ziffern gibt es?
(e) Wieviele Dreiecke sind durch 6 Punkte höchstens bestimmt?
(f) Dominosteine haben jeweils 2 Zahlen von 0 bis 6 aufgedruckt. Dabei darf auch zweimal
dieselbe Zahl stehen. Wieviele verschiedene Dominosteine gibt es?
2. Ein Marktforschungsinstitut hat für Sie folgende Daten erhoben: 80% ihrer potentiellen Kunden besitzen einen Computer, 70% haben einen DVD-Player und 40% besitzen beides. Bezahlen Sie die Rechnung des Marktforschungsinstituts?
3. Drücke die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise mit Hilfe der Ereignisse A, B und C
aus:
D1
D2
D3
D4
D5
=
=
=
=
=
„Mindestens eines der Ereignisse A, B oder C tritt ein.“
„Höchstens eines der Ereignisse A, B oder C tritt ein.“
„Weder A noch B noch C tritt ein.“
„Mindestens eines der Ereignisse A, B oder C tritt nicht ein.“
„Genau eines der drei Ereignisse A, B oder C tritt ein.“
4. Bestimme (unter vernünftigen Annahmen) die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und begründe das Ergebnis.
(a) Beim dreimaligen Werfen einer Münze erscheint nicht dreimal die gleiche Seite.
(b) Beim einmaligen Wurf von zwei Würfeln entsteht: (i) zweimal 5, (ii) wenigstens einmal 1,
(iii) ein ungerades Total.
5. Sie ziehen Karten aus einem gut gemischten Kartenspiels (36 Karten, bestehend aus 4 Farben
zu je 9 Bildern). Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse.
(a) Die zweitoberste Karte ist ein As.
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
2
(b) Die oberste Karte ist das Herz As, die unterste das Kreuz As.
(c) Die 9 obersten Karten sind alle Herz.
6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 90 Studierenden (mindestens) zwei am selben
Tag Geburtstag haben?
7. Es wird eine gefälschte Münze solange geworfen, bis zum ersten Mal ‘Kopf‘ fällt. Gefälscht
bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit p, bei einem Wurf ‘Kopf‘ zu erhalten, nicht notwendigerweise gleich 0.5 ist; es gelte jedoch 0 < p < 1.
(a) Konstruiere einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Experiment.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment (nach endlicher Zeit) beendet
wird?
(c) N bezeichne die Anzahl der Würfe ‘Zahl‘, bis zum ersten Mal ‘Kopf‘ geworfen wird.
Bestime die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen N .
(d) Drücke das Ereignis B = {mindestens einmal wird Zahl geworf en} durch die Zufallsvariable N aus, und berechne die Wahrscheinlichkeit von B.
8. Ziege oder Mercedes?: In einer Quizsendung wird folgendes Spiel gespielt: Ein Kandidat
steht vor drei geschlossenen Türen. Es ist bekannt, dass sich hinter einer ein Mercedes, hinter den anderen beiden aber jeweils eine Ziege befindet. Der Kandidat wählt eine Tür, die
aber geschlossen bleibt. Daraufhin öffnet der Quizmaster eine der beiden verbleibenden Türen, hinter denen sich eine Ziege befindet. Nun hat der Kandidat die Möglichkeit, bei seiner
gewählten Tür zu bleiben, oder die andere noch verschlossene Tür zu wählen. Bestimmen Sie
die Gewinnwahrscheinlichkeiten für folgende Strategieen:
(a) Der Kandidat entscheidet nach Zufall, welche der beiden noch verschlossenen Türen er
wählt.
(b) Der Kandidat bleibt bei der Tür, die er zu Beginn gewählt hat.
(c) Der Kandidat wechselt zur anderen verschlossenen Tür.
In Aufgaben 4–7 achte daran einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum zu finden.
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
Übungserie 2
Besprechung: 15., 17., bzw. 20. März
9. Ein Kunde bezieht von einem Lieferanten Bauteile in Lieferungen zu je 1000 Einheiten. Bevor
er eine Lieferung annimmt, macht er eine Stichprobenprüfung im Umfang von 100 Einheiten.
Er nimmt die Lieferung an, wenn er in der Stichprobe höchstens 3 fehlerhafte Stücke findet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Annahme, wenn in der Lieferung
(a) 10
(b) 20
(c) 100 Einheiten fehlerhaft sind?
10. Bitfolgen der Länge 3 werden über einen Nachrichtenkanal gesendet, der Störungen ausgesetzt
ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit falsch übertragen wird (d.h., dass eine gesendete Null
als eine Eins ankommt oder umgekehrt), ist p = 0.001 („Bitfehlerwahrscheinlichkeit“). Man
interessiert sich für X = Anzahl der Bitfehler in einer zufällig gesendeten Bitfolge der Länge 3.
(a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (mindestens) ein Bitfehler auftritt?
(c) Wie viele Fehler sind im Mittel pro gesendeter Bitfolge zu erwarten?
11. Eine Fluggesellschaft weiß aus empirischen Untersuchungen, dass im Durchschnitt 10% der
gebuchten Flugplätze storniert werden. Daher verkauft sie für eine Maschine mit 100 Sitzplätzen von vornherein 5% mehr Flugtickets. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Maschine überbucht ist?
12. Sechs von 0 bis 5 numerierte Karten werden gemischt und, Zahl nach oben, in eine Reihe
gelegt. Ein Zug besteht darin, von links her so viele Karten wegzunehmen, wie die erste Karte
anzeigt.
Beispiel:
[2][0][4][3][5][1] 7−→ [4][3][5][1]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei Züge durchführen kann?
13. Inklusion-Exklusion-Formel
Zeige, dass für beliebige Ereignisse A1 , . . . , An gilt:
Qn
(a) 1[A1 ∪···∪An ] = 1− i=1 (1−1Ai ) und leite daraus die in der Vorlesung erwähnte InklusionExklusion-Formel her:
P [A1 ∪ · · · ∪ An ] =
n
X
(−1)k+1
X
P [Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ] .
1≤i1 <···<ik ≤n
k=1
(b) Beweise mit Induktion, dass
P [A1 ∪ · · · ∪ An ] ≤
P [A1 ∪ · · · ∪ An ] ≥
n
X
i=1
n
X
i=1
P [Ai ] −
n−1
X
P [Ai ∩ Ai+1 ] ,
i=1
P [Ai ] −
X
P [Ai ∩ Aj ] .
i6=j
14. Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung
(a) Berechne den Erwartungswert E[X] falls
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
• X binomial verteilt ist:
n k
P1 [X = k] =
p (1 − p)n−k
k
• X hypergeometrisch verteilt ist:
P2 [X = k] =
Hinweis: Benutze k
n
k
=n
n−1
k−1
K
k
N −K
n−k
N
n
.
2
(b) Bestimme Var(X) := E[X 2 ] − (E[X]) für beide Verteilungen, indem du zuerst
E[X(X − 1)] berechnest.
15. Beweis der Behauptung aus der Vorlesung (Fortsetzung von Aufgabe 14)
Zeige, dass für jedes k ∈ N
lim
N →∞,K→∞
K/N →p
P2 [X = k] = P1 [X = k]
Interpretation: Bei einer großen Population, N , gibt es praktisch keinen Unterschied zwischen
Ziehen mit und ohne Zurücklegen.
16. Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte i ∈ N0 mit den Wahrscheinlichkeiten pi annimmt.
Dann heißt
∞
X
p̂(z) =
pi z i ,
z ∈ [0, 1],
i=0
die erzeugende Funktion von X. Zeigen Sie:
(a) p̂(1) = 1
(b) E(X) = p̂0 (1)
(c) Var(X) = p̂00 (1) + p̂0 (1)(1 − p̂0 (1))
Berechnen Sie damit noch einmal den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung.
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
Übungserie 3
Besprechung: 22., 24., bzw. 27. März
17. Wir betrachten zwei Zufallsvariablen X und Y , welche je die Werte 0 oder 1 annehmen können.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von (X, Y ) sei durch folgende Angaben bestimmt:
P (X = 0) = 1/2,
P (Y = 0) = 1/2,
P (X = 0, Y = 0) = p.
Bestimmen Sie
(a) die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
{X = 1, Y = 0}, {X = 0, Y = 1}, {X = 1, Y = 1}.
In welchem Bereich darf p liegen?
(b) die Verteilung von X + Y .
(c) E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ).
18. Geometrische Verteilung: Ein Experiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird wiederholt. Die Zufallsvariable X = Anzahl der Wiederholungen, bis
zum ersten Mal A eintritt heißt geometrisch verteilt:
P (X = x) = p(1 − p)x−1 ,
Zeigen Sie
E(X) =
1
,
p
Var(X) =
x ∈ N.
1−p
.
p2
(Z.B. indem Sie die erzeugende Funktion berechnen.)
19. Im Experiment wie in der letzten Übung, sei Xn = Anzahl der Wiederholungen bis zum n-ten
Mal A eintritt. Bestimmen Sie die Verteilung von Xn .
20. Beim Roulette gibt es 18 schwarze Felder, 18 rote Felder und die Null. Sie setzen jede Runde
auf ‘schwarz’. Rollt die Kugel in einer Runde auf ‘schwarz’, so erhalten Sie den doppelten
Einsatz, ansonsten verlieren Sie den Einsatz. Berechnen Sie den Erwartungswert und die
Varianz des Gewinns wenn Sie (a) in einer Runde 100 Euro setzen? (b) in hundert Runden
1 Euro setzen?
21. Verdoppelungstrategie. Sie setzen jede Runde auf ‘schwarz’. Sie beginnen mit 100 Euro
und verdoppeln Ihren Einsatz solange Sie verlieren (Martingal-Strategie).
(a) Wie hoch ist Ihr Gesamtverlust, wenn nach n Runden nie ‘schwarz’ gekommen ist?
(b) Wie hoch ist Ihr Gewinn, wenn nach n Runden zum ersten Mal ‘schwarz’ kommt?
(c) Nach wie vielen Runden ist Schluss, wenn der Maximaleinsatz 10 000 Euro ist?
(d) Wenn Sie diese Strategie bis zum Maximaleinsatz durchhalten, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gewinnen bzw. verlieren? Was ist der Erwartungswert und Varianz für
Ihren Gewinn?
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
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22. Das Ballot-Problem. Bei einem Wahlgang mit total n Stimmen erhält der Sieger von zwei
Kandidaten k Stimmen mehr als sein Gegner. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Sieger während der ganzen Auszählung in Führung liegt, wenn die Stimmen in zufälliger
Reihenfolge ausgezählt werden?
Hinweis: Betrachte dazu die Irrfahrt (Sl )0≤l≤n und zeige, dass es gleich viele Trajektorien von
(1, 1) nach (n, k) gibt, welche die Zeitachse schneiden oder berühren, wie Pfade von (1, 1) nach
(n, −k) (k > 0).
23. Das Ruinproblem. Arno und Benno spielen folgendes Spiel: In jeder Runde wird eine faire
Münze geworfen. Erscheint Kopf, so zahlt Benno einen Euro an Arno. Bei Zahl erhält Benno
von Arno einen Euro. Arnos bzw. Bennos Vermögen vor der ersten Runde beläuft sich auf a
bzw. b Euro (a, b ∈ N). Das Spiel geht zu Ende, wenn einer der beiden kein Geld mehr hat,
spätestens aber nach n Runden. pn bzw. qn bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass Arno bzw.
Benno nach diesem Spiel ruiniert ist.
Pn
Betrachte die Irrfahrt Sn = k=1 Xk , wobei
(
+1
falls Arno die k-te Runde gewinnt,
Xk =
−1
falls Benno die k-te Runde gewinnt.
(a) Beschreibe das Ereignis C = {keiner der beiden ist am Ende ruiniert} durch Sk .
(b) Zeige: limn→∞ (pn + qn ) = 1.
Hinweis: Benutze (a), arbeite mit der Stoppzeit Tb = inf{n > 0 : Sn = b} und verwende
was in der VO über Tb gezeigt wurde.
(c) Berechne den Grenzwert p = limn→∞ pn .
Hinweis: Betrachte die Stoppzeit τ := min{Ta , T−b } und benutze die erste Wald’sche
Identität mit (b).
24. Große Abweichungen der Irrfahrt. Für die Einfache Irrfahrt Sn zeige, dass für jedes
a ∈ [0, 1]
1
log P [Sn ≥ na] = −I(a),
(1)
lim
n→∞ n
wobei
1
I(a) = (1 + a) log(1 + a) + (1 − a) log(1 − a) .
2
Hinweis: Benutze die Ergebnisse der VO.
Bemerkung: (1) bedeutet, dass P [Sn ≥ an] exponentiell klein ist, etwa e−I(a)n .
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
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Übungserie 4
Besprechung: 29., 31. März, bzw. 3. April
25. Betrachte die einfache Irrfahrt Sn wie in der Vorlesung. Sei S̄n := maxk≤n Sk das laufende
Maximum.
(a) Sei τc := max{n ∈ N : S̄n ≤ c} für c ≥ 0. Zeige, dass τc keine Stoppzeit ist.
(b) Sei τ̄c := τc + 1. Zeige, dass τ̄c eine Stoppzeit ist und dass gilt τ̄c = inf{n ∈ N : Sn >
c} = Tc+1 (mit der Notation aus der VO)
26. Behauptung aus der Vorlesung: Seien A1 , ..., An beliebige Ereignisse mit P [A1 ∩ · · · ∩ An ] > 0.
Zeige, dass
P [A1 ∩ ... ∩ An ] = P [A1 ] P [A2 | A1 ] P [A3 | A1 ∩ A2 ] · · · P [An | A1 ∩ · · · ∩ An−1 ] .
27. Sie fliegen von München nach Los Angeles und steigen dabei in London und New York um.
An jedem Flughafen, inklusive München, muss Ihr Koffer verladen werden. Dabei wird er
mit Wahrscheinlichkeit p fehlgeleitet. In Los Angeles stellen Sie fest, dass Ihr Koffer nicht
angekommen ist. Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass er in München
bzw. London bzw. New York fehlgeleitet wurde. (Wie immer: Zur vollständigen Lösung gehört
die Angabe des Wahrscheinlichkeitsmodells.)
28. 15 Karten, 10 auf beiden Seiten rot, 3 auf beiden Seiten schwarz und 2 mit einer roten und
einer schwarzen Seite, werden im Hut gemischt. Eine wird gezogen und auf den Tisch gelegt.
Ihre obere Seite ist rot. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite schwarz ist.
29. HIV Test. Ein Test gibt mit 99.9%-iger Wahrscheinlichkeit bei einer mit HIV infizierten
Person ein positives Testresultat. Mit 99.8%-iger Wahrscheinlichkeit gibt der Test bei einer
nicht mit HIV infizierten Person ein negatives Testresultat. Man weiß weiters, dass insgesamt
0.05% der Menschen in Österreich infiziert sind.
(a) Wie viele von 1000 getesteten HIV-positiven Personen erhalten (im Duchschnitt) fälschlicherweise ein negatives Testresultat (falsch negativ )?
(b) Wie viele von 1000 getesteten nicht HIV-positiven Personen erhalten fälschlicherweise ein
positives Testresultat (falsch positiv )?
(c) Eine zufällig ausgewählte Person (nicht aus einer Risikogruppe) lässt sich testen und der
Test fällt positiv aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie trotzdem nicht mit
HIV infiziert ist?
30. Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung Sei X eine geometrisch verteilte
Zufallsvariable mit Parameter p, d.h. P [X = k] = p(1 − p)k−1 , k ∈ {1, 2, . . . }.
(a) Zeigen Sie, dass
P [X > m + n|X > m] = P [X > n] für jedes m, n ≥ 1.
(2)
(b) Umgekehrt, sei X eine Zufallsvariable mit Werten in {1, 2, . . . } die (2) erfüllt. Zeigen Sie,
dass X geometrisch verteilt ist.
31. Seien X1 , . . . , Xn Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) mit E[Xi2 ] < ∞ für alle i = 1, . . . , n.
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
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(a) Wir definieren die Kovarianz von Zufallsvariablen X1 , X2 durch
Cov(X1 , X2 ) = E (X1 − E[X1 ])(X2 − E[X2 ])
Zeigen Sie, dass Cov(X1 , X2 ) = 0 wenn X1 , X2 unabhängig sind.
(b) Zeigen Sie, dass
Var(X1 + · · · + Xn ) = Var(X1 ) + · · · + Var(Xn ).
wenn X1 , . . . , Xn unabhängig sind.
(c) Seien X, Y zwei Zufallsvariablen auf dem gleichen (endlichen) Wahrscheinlichkeitsraum
mit Cov(X, Y ) = 0. Sind X, Y unabhängig? Wenn nicht, finden Sie ein Gegenbeispiel.
32. Würfelparadoxon. Zwei Würfel W1 und W2 seien wie folgt beschriftet:
W1 : 6 3 3 3 3 3,
W2 : 5 5 5 2 2 2.
Anton und Brigitte würfeln mit W1 bzw. W2 . Wer die höhere Augenzahl erzielt, hat gewonnen.
(a) Zeigen Sie, dass Anton die besseren Gewinnchancen hat; wir schreiben dafür W1 > W2 .
(b) Brigitte bemerkt dies und schlägt Anton vor: “Ich beschrifte jetzt einen dritten Würfel.
Du darfst dir dann einen beliebigen Würfel aussuchen, ich wähle mir einen der beiden
anderen.” Kann Brigitte den dritten Würfel so beschriften, dass sie in jedem Fall die
besseren Gewinnchancen hat (d.h. so dass W1 > W2 > W3 > W1 , also die Relation ‘>’
nicht transitiv ist)?
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
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Übungserie 5
Besprechung: 5., 7., bzw. 24. April
33. Die Anzahl Jobs, die an einem Printer während einer Stunde ankommen, ist Poissonverteilt
mit Parameter λ. Jeder Job wird (unabhängig) mit einer Wahrscheinlichkeit p als fehlerhaft
erkannt und gekillt, die restlichen werden gedruckt.
(a) Bestimme die Verteilung der Anzahl der gedruckten Jobs.
(b) Unter der Annahme, dass k Jobs gedruckt wurden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass n Jobs ankamen?
34. Finde alle σ-Algebren auf der Menge Ω = {1, 2, 3}.
35. Gegeben sei eine überabzählbare Menge Ω.
(a) Sei A = {A ⊆ Ω : A oder Ω \ A ist (höchstens) abzählbar}. Zeige, dass A eine σ-Algebra
ist.
(b) Sei dazu
(
P (A) =
0, falls A abzählbar ist,
1, sonst.
Zeige, dass (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.
36. Behauptung der Vorlesung: Sei (Ai )i∈I eine (beliebige) Klasse von σ-Algebren auf einem Raum
Ω. Zeige, dass B = ∩i∈I Ai eine σ-Algebra ist.
37. Zeige, dass die Vereinigung A1 ∪ A2 zweier σ-Algebren A1 und A2 genau dann eine σ-Algebra
ist, wenn A1 ⊂ A2 oder A2 ⊂ A1 .
38. Es sei A eine σ-Algebra auf Ω und P : A → [0, 1] erfülle
P (Ω) = 1,
und P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für alle A ∩ B = ∅.
Zeigen Sie, dass
(a) P (∅) = 0.
(b) P (Ac ) = 1 − P (A),
Ac = Ω \ A.
(c) P (A) ≤ P (B), A ⊆ B.
P∞
S∞
(d)
n=1 P (An ) ≤ P ( n=1 An ) falls An ∩ Am = ∅ für n 6= m.
39. (Ω, A, P ) sei wie in der letzten Aufgabe. Zeigen Sie, dass P ist genau dann σ-additiv ist, wenn
es stetig von unten ist, d.h.
h[ i
P
Ai = lim P [Ai ] für jede Folge Ai ∈ A mit Ai ⊂ Ai+1 , i ≥ 1.
i≥1
i→∞
40. (Wiederholung zum Test) Ein Angler hat drei Angelplätze O ∈ {1, 2, 3}, die er mit gleicher
Wahrscheinlichkeit aufsucht. Wirft er die Angel am ersten Platz aus, so beißt ein Fisch mit
der Wahrscheinlichkeit p1 , am zweiten mit der Wahrscheinlichkeit p2 , am dritten mit der
Wahrscheinlichkeit p3 . Alle Resultate sollen als Funktion von p1 , p2 , p3 angegeben und für
1
berechnet werden.
p1 = p2 = 81 , p3 = 20
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – SS2017
10
(a) Der Angler wählt einen Platz und wirft die Angel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pA
des Ereignisses A = {beim ersten Wurf beißt ein Fisch an}?
(b) Er wiederholt nun das Vorgehen in (a): Er wählt nach jedem Wurf zufällig einen Angelplatz
und wirft seine Angel.
(i) Sei M die Nummer des Versuchs, bei dem der erste Fisch anbeißt. Welche Verteilung
hat M ?
(ii) Er wiederholt das Vorgehen in (a) 20 Mal. Es sei N0 die Anzahl gefangener Fische.
Bestimme den Erwartungswert von N0 .
(c) Er wählt nun zufällig einen Angelplatz O ∈ {1, 2, 3} und wirft seine Angel nur an diesem
Platz aus. Die Anzahl Würfe W sei – unabhängig vom Angelplatz – Poissonverteilt mit
Parameter λ = 40. Sei N die Anzahl gefangener Fische.
(i) Bestimme für i = 1, 2, 3 und k ≥ 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit P [N = k | O = i].
(ii) Es sei bekannt, dass während des Angelns nur einmal ein Fisch angebissen hat.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Angler am ersten Platz geangelt
hat.
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