Übungsblatt 2

Übungen zur Physikvorlesung für Wirtschaftsingenieure WS2003
Lösungsvorschläge zum Übungsblatt 2
1. Ein Junge vermag einen Schlagball unter einem Abwurfwinkel von 30° 52m weit
zu werfen.
Welche Weite könnte er bei optimalem Abwurfwinkel erreichen?
Lösung
Die x-Achse des gewählten Koordinatensystems zeige in die waagerechte, die z-Achse in die
senkrechte Richtung. Der Nullpunkt liege in der Abwurfstelle.
Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig
ax= 0
vx= vxo =const
x  t = vxo t
Bewegung in z-Richtung ist in Folge der der z-Richtung entgegen wirkenden Schwerkraft gleichmäßig
verzögert
az =−g
z  t =
vz =az t vzo =−g t vzo
− g t 2 v t
zo
2
Für die Anfangsgeschwindigkeiten gilt ( vgl Aufg1c Übung 1)
v = v sin α
vxo = vo cos 
zo
o
Die gesamte Flugzeit bis zum Aufschag sei t m a x dann ist
x  t max  gerade die Wurfweite
xw
x w= x  t max = v xo t max= v o cos ⋅t max
Die Flughöhe z  t max  an der Aufschlagstelle ist gerade null
z  t max =
−g t 2  v t = −g t 2  v sin ⋅t = 0
max
zo max
max
o
max
2
2
Aus dieser quadratischen Gleichung kann man die Flugzeit berechnen. Man erhält
2 vo sin 
t max =
g
t
Setzt man den Ausdruck für m a x in die Gleichung für x w ein , ergibt sich die Wurfweite
2 vo sin  cos 
2
x w= vo cos ⋅t max =
g
in Abhängigkeit vom Abwurfwinkel und derAnfangsgeschwindigkeit.
Unter Benutzung der Beziehung 2sin  cos =sin  2  erhält man
x w=
d
x
=
max
w
=
2 v20 cos 2 
g
v2o sin 90o
g
=
Damit wird
x
(1)
berechnet werden:
= 0 Die Gleichung ist erfüllt für 2 = 90o , = 45o  Damit wird
v2o
g
zu
v2o
Aus Gl. (1) ergibt sich
2
max
w
g
zu finden, muss der Extremwert von x w 
max
Um die größte Wurfweite x w
dx w
v2o sin 2 
x
max
w
vo
= =
g
30
xw
0
sin 30
o
=
g
2⋅x w
30
3
0
=
x 30
w
0
sin 30
o
=
2⋅x 30
w
= 2⋅52 m = 60 m
3
3
0
da
sin 30 o=
1
2
3 .
2. Die Körper der Masse m1, m2 und m3 können auf dem trapezförmigen Block
durch Seile über Rollen verbunden gleiten.
Seil- und Rollenmassen sind vernachlässigbar klein. Der Neigungswinkel sei
30°. Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung?
Fall 1: Die Bewegung erfolgt reibungsfrei und die Massen seien
b.) m1 = 0
m2 = m3 = 1kg
a.) m2 = m3 = 0 m1 = 1kg
m1 = m3 = 1kg
d.) m1 = m2 = m3 = 1kg
c.) m2 = 0
Fall 2: Die Haftreibung wird berücksichtigt. m1 = m2 = m3 = 1kg. Wie groß muß die
Haftreibungszahl mindestens sein, damit sich die Anordnung nicht bewegt.
Lösung
m2
m3
m1
α
Fall 1a
m1 gleitet reibungsfrei auf der schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30grd.
Die Komponente der Schwerkraft m1 * g parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskraft)
ist
Fall 1b Da
F T = m1 gsin = m1 a
a= gsin = g / 2= 4,91 m / s
2
m2 auf dem Block aufliegt wirkt nur die Schwerkraft auf
Anordnung.
a=
F=m3 g= m2m3  a
Fall 1c Die Erdanziehung wirkt auf
m1 mit
m3
 m 2 m 3 
m3 beschleunigend auf die
g= g / 2= 4,91 m / s
F1= m1 gsin  und auf
m2 mit
2
F3=m3 g
Da die Kräfte entgegengerichtet sind, wirkt die Differenz  F= F 3− F1= m 3 g− m1 gsin 
beschleunigend auf die Anordnung der miteinander verbundenen Massen.
 F= m1 m 3 a
a=
 m3 g− m1 gsin 
= g / 4= 2,453 m / s2
 m1 m3 
Fall 1d Die Kräfte sind die gleichen wie in 1c, die zu beschleunigende Gesamtmasse ist hier aber
m1m2m3 Für a ergibt sich damit
a=
Fall 2
 m3 g− m1 gsin 
=g / 6= 1,635 m / s2
 m1 m2 m3 
Die beschleunigenden Kräfte sind wie in 1c und 1d. Für Haftreibungskräfte gilt allgemein
FHR = H FN Die Normalkräfte FN , d. h. die Kräfte, mit denen die Massen auf die
Unterlage drücken sind
FN1= m1 gcos 
FN2 =m 2 g
FN3 = 0
FHR3 = 0
Damit gilt für die Reibungskräfte FHR1= H m1 gcos 
FHR2 = H m 2 g
Sie wirken der beschleunigenden Kraft ∆F entgegen. Ist die Haftung groß ( Haftreibungszahl  H groß) gilt FHRges= FHR1 FHR2  FHR3 ≫ F Die Anordnung ruht.
Im Grenzfall gilt
FHRges= F
H=
 H m1 gcos  H m2 g= m3 g− m1 gsin 
 m3−m1 sin 
 m1 cos m2 
= 0,268
3. Eine an einem Faden befestigte Masse wird mit a1 = 2m/sec2 angehoben, wobei
die Hälfte der Reißfestigkeit (Kraft) des Fadens Fzmax erreicht ist. Bei welcher
Hebebeschleunigung a2 wird die Reißfestigkeit gerade erreicht?
Lösung

e G . Wird sie durch einen Faden
Auf die Masse wirkt senkrecht nach unten die Schwerkraft G=−
z
gehalten oder nach oben bewegt, wird dieser mit einer Zugkraft FZ =ez FZ belastet.
Befindet sich das Gewicht in Ruhe, d.h. ist die Beschleunigung a = 0, ist die Summe der beiden Kräfte
gleich null:

F G=0
Betrag Fz = G
Z
Wird die Masse mit a1 = ez a1 beschleunigt, ist die Summe der beiden Kräfte

F G=m⋅
a
Z
1
Für eine Anhebung mit a1 gilt danach für die Zugkraft FZ1
F =e F
Z1
z
Z1

=−Gm⋅
a =e Gm e ⋅a =e Gm a 
Lt Aufgabenstellung ist
1
z
z
1
z
1
FZ1= FZmax
2
1
Betrag: F Z1= G m a1
(1)
Für eine Beschleunigung a2 erhält man analog für die Beträge der Kräfte
F Z2= G m a2
und lt. Aufgabenstellung gilt
Gl (1) liefert FZmax = 2(G + ma1)
und mit G = mg
FZ2= FZmax
FZmax = 2(mg + ma1)
Gl (2) liefert FZmax = G + ma2 = mg + ma2
Gleichsetzung der rechten Seiten:
2m(a1 + g) = m(a2 + g)
Daraus erhält man
a2= 2a1g= 4m / s 2 9,81 m / s 2=13, 81 m / s2
(2)
4. Zwei Federn gleicher Federkonstante k sollen a.) parallel und b.) in Reihe
betrieben werden.
Berechnen Sie die Gesamtfederkonstante der Anordnung für beide Fälle.
k 1≠ k 2
Lösung für allgemeinen Fall
Federkraft:
∣F∣= k ∣ x∣
d.h.
F 1= k 1  x 1
F 2= k 2  x 2
F2
F1
∆x1
∆x1+∆x2
FG
FG
a. Parallelanordnung:
Beide Federn werden durch die angreifende Kraft F G wegen der gemeinsamen Halterung gleich
weit ausgelenkt ( linke Abb.)
 x 1= x 2= x G (1)
was in den Federn die rücktreibenden Kräfte
Gleichgewicht herrscht, wenn
F 1= k 1  x 1 und
F 1 F 2= F G
k 1  x 1 k 2  x 2= k G  x G
b. Reihenanordnung:
Die Gesamtauslenkung
zusammen
 xG
F 2= k 2  x 2 hervorruft.
ist d.h.
und mit (1)
k 1 k 2= k G
setzt sich aus den Anteilen
 x 1 und  x 2 der beiden Federn
 x 1 x 2= x G (2)
während die Kraft
F G an jeder der Federn wirksam wird (bewegliche Verbindung)
F 1= F 2= F G
Ersetzt man in (2)
 x durch
(3)
F
ergibt sich
k
F1
k1

F2
k2
=
FG
kG
und mit (3)
1
1
1
 =
k 1 k 2 kG
Vergleicht man die Ergebnisse mit der Schaltung elektrischer Widerstände, so entspricht die
Spannung U der Auslenkung  x , der Strom I der Kraft und 1/k dem Widerstand (Elektroanalogie).
x
Fb
α FG
Lösung:
Die Masse m zieht mit ihrem Gewicht F G=m a senkrecht nach
unten. Eine Zerlegung von FG in Richtung der Galgenstreben führt
auf die Komponenten F a und F b . Die Winkel zwischen F b
b
α
5. Gegeben sei die nebenstehende Galgenanordnung
a = 20 cm, b = 45 cm, m = 30 kg
Gesucht sind Belastungsart u. -größe in den
Punkten x und y.
Fa
a
m
y
und F G und zwischen der Wand und b sind als Wechselwinkel
geschnittener Parallelen gleich. Er sei α. Man liest ab
sin =
a
b
sin =
b.z.w.
Fa
FG
Daraus ergibt sich die längs des Balkens a auf x wirkende Zugkraft
-Fa
a a
= mg=131 m2
b b
s
Die über den Balken b auf die Aufhängung y wirkende Kraft
y
FG
Fb
F a= F G
eine Komponente parallel zur Wand
FG=ma= 294
eine Komponente senkrecht zur Wand
−Fa=−131
m
s2
m
s
2
F b kann man in
(Scherkraft) und
(Druckkraft) zerlegen
(vgl. Abb.).
Der Zugkraft in x entspricht eine gleich große auf y wirkende Druckkraft. Außerdem wird die
Befestigung y mit einer Scherkraft belastet, die dem Gewicht der Masse entspricht
6. Berechnen Sie Masse mE und mittlere Dichte ρ der Erde, wenn der Erdradius
r = 6378km, die Erdbeschleunigung g = 9,806 m/s2 und die Gravitationkonstante
G= 6,67∗10− 11 m3/(kg s2) bekannt sind.
Lösung
Die Gravitationskraft zwischen einem Körper der Masse m auf der Erdoberfläche und der Erde ist
F=G
mm E =mg
r
g=m
2
Volumen der Erde V=
4
 r3
3
G
E
r
2
Dichte
2
m =g
E
ϱ=
r
24
=5,98⋅
⋅10 kg
G
mE
V
=
3
g
kg
= 5503 3 = 5,5 g 3
m
cm
 4 r G