Experimentalphysik 2 f¨ur Maschinenwesen

Skript zur Vorlesung
Experimentalphysik 2 für Maschinenwesen
Sommersemester 2007
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum
Technische Universität München
Physik Department E 13
Experimentalphysik 2 für Maschinenwesen
Dozent P. Müller-Buschbaum
Zeit und Ort: Mi 10:15 - 11:00, MW 2001
Literatur
P. A. Tipler, G. Mosca, D. Pelte, Physik - für Wissenschaftler und Ingenieure,
2. Aufl. Spektrum Akademischer Verlag 2006
E. Hering, R. Martin, M. Stohrer, Physik für Ingenieure, 9. Aufl. Springer
Verlag 2004
H. Vogel, Gerthsen Phsik, Springer 1999
Übungen
Übung 1, Mo 11.15-12.45, Beginn 23.04,
Raum MW1801 West
Übung 2, Mi 13.00-14.30,
Beginn 25.04,
Raum CH21010
Übung 3, Mi 13.45-15.00,
Beginn 25.04,
Raum MW0350
Übung 4, Mi 16.00-17.30,
Beginn 25.04,
Raum MW1801 West
Übung 5, Fr 11.00-12.30,
Beginn 27.04,
Raum MW1801 West
Übung 6, NN,
NN,
NN
(in Englisch language)
- jede Woche ein Blatt mit 3-4 Aufgaben
- Blatt zum Download im Internet
- Besprechung der Aufgaben in der darauffolgenden Woche
- Übungsaufgaben als Training für die Klausur und Verständnis
Internetseiten
http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/Muellerb/index.php
http://users.physik.tu-muenchen.de/kressierer/
2
Klausur
am Ende des Sommersemesters - weitere Informationen später
nicht-programmierbarer Taschenrechner
3
Contents
1 Schwingungen und Wellen
1.1 Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Überlagerung von Schwingungen und Schwebung
1.1.3 Lissajous-Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Harmonische Schwingung mit Reibung . . . . . . . . . .
1.2.1 Kleine Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Kriechfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Resonanzkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Doppler Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Machscher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Überschallflugzeug . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Überlagerung von Wellen . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.8 2d Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.9 Chladni’sche Klangfiguren . . . . . . . . . . . . .
2 Akustik und Optik
2.1 Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Schalldruck . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Periodischer Schwingungsverlauf
2.1.3 Stehende Wellen . . . . . . . . .
2.1.4 Kammerton A . . . . . . . . . . .
2.1.5 Fourier-Analyse . . . . . . . . .
2.1.6 Fourier-Synthese . . . . . . . . .
2.2 Eigenschaften des Lichts . . . . . . . . .
2.2.1 Elektromagnetisches Spektrum . .
2.2.2 Additive Farbmischung . . . . . .
2.2.3 Subtraktive Farbmischung . . . .
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2.3
2.4
2.2.4 Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Fermat’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Schnellius’sches Brechungsgestz . . . . . . . . . .
2.2.8 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Hohlspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Abbildung durch Sammellinsen . . . . . . . . . .
2.3.3 Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Linsengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Linsentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Astronomisches Fernrohr & Terristisches Fernrohr
2.3.8 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenoptik & Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . .
2.4.2 Interferenz an Seifenfilmen . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Newton’sche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Interferenzmuster Doppelspalt . . . . . . . . . . .
2.4.5 Intensitäten am Doppelspalt . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Interferenzmuster Einzelspalt . . . . . . . . . . .
2.4.7 Intensitäten am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . .
2.4.8 Realer Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.9 (Strich-)Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.10 Intensitäten am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Elektrizitätslehre
3.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ladungsarten . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Coulomb Gesetz . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Faraday Käfig . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Gesetz von Gauß . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Feldstärke einer geladenen Leiterplatte
3.1.9 Feldstärke im Plattenkondensator . . .
3.1.10 Arbeit im elektrischen Feld . . . . . . .
3.1.11 Elektrisches Potential und Spannung . .
5
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44
3.2
3.1.12
3.1.13
3.1.14
3.1.15
Ströme
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
Potential im Plattenkondensator
Kapazität . . . . . . . . . . . .
Schaltungen von Kondensatoren
Elektrische Feldenergie . . . . .
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Elektrische Leistung . . . . . .
Ohm’sches Gesetz . . . . . . .
Analoge Mechanik - Elektrik . .
Kirchhoff’sche Regeln . . . . .
Joule’sche Wärme . . . . . . .
Schaltungen von Widerständen .
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4 Magnetismus
4.1 Statische Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ampere’sches Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . .
4.1.4 Anwendung: Stromdurchflossener Leiter . . . . . . .
4.1.5 Magnetfeld im Material ↔ Bio Savart . . . . . . . .
4.1.6 Bio-Savart Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.8 Magnetischer Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.9 Die 4 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . .
4.1.10 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.11 Erweiterung 3. Maxwell’sche Gleichung . . . . . . .
4.1.12 Selbstinduktionskoeffzient . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.13 Lenz’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wechselströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Kapazitive und induktive Lasten . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Zeigerdiagramm für Wechselspannung mit Sinus Form
1
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61
62
1 Schwingungen und Wellen
1.1 Harmonische Schwingung
Harmonische Schwingung bezeichnet die Bewegungsform einer kartesischen Komponente eines Punktes, der sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω bewegt.
Punkt auf der Kreisbahn
µ
¶
cos ωt
~s = r
sin ωt
µ
~ν = r ω
− sin ωt
cos ωt
¶
µ
~a = −r ω
2
cos ωt
sin ωt
¶
Als Harmonische Schwingung bezeichnet man das Zeit-Verhalten einer dieser Komponenten, z.B. das der y-Komponente.
y = r sin (ωt) ẏ = r ω cos (ωt)
ÿ = −r ω 2 sin (ωt)
Neu jetzt lediglich, dass noch die Phase ϕ0 berücksichtigt wird, die den Startwinkel
zur Zeit t = 0 vorgibt.
y(t) = y0 sin (ωt + ϕ0 )
Versuch 1575: Harmonischer Oszillator
1.1.1 Harmonischer Oszillator
vektorielle Darstellung im Zeigerdiagramm
Bereits kennen gelernt als Feder mit Masse m : (Pendel)
ẍ + ω02 x = 0
F = −kx = ma = mẍ
2
ω02 =
k
m
1.1.2
Überlagerung von Schwingungen und Schwebung
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen x1 (t) = sin (ωt) und x2 (t) =
sin (ωt + ϕ0 ) mit Phase ϕ0 .
ϕ0 = π/4
ϕ0 = π/4
ϕ0 = 3π/4
ϕ0 = π
ϕ0 = 2π
Destruktive Interferenz = Auslösung (da Amplituden gleich)
konstruktive Interferenz
Versuch 1650: Schwebung mit zwei Stimmgabeln
Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Ausbreitungsrichtung und kleiner
Unterschied in Kreisfrequenz ∆.
x1 (t) = A cos (ω1 t) und x2 (t) = A cos (ω1 t) mit ∆ = ω2 − ω1
¶
µ
¶
µ
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t cos
t
ergibt x(t) = 2 A cos
2
2
ω1 + ω2
Näherung für kleinen (Kreis-)Frequenzunterschied ωneu =
≈ ω1 ≈ ω2
2
3
2 A cos (π fs t) cos (ωneu t)
Schwebungsfrequenz
fs =
ω1 − ω2
2π
Amplitude ändert sich
zeitlich
1.1.3 Lissajous-Figuren
Lissajous Figuren = Auslenkung einer Schwingung gegen die zeitgleiche Auslenkung
einer zweiten Schwingung aufgetragen.
Entstehendes Bild hängt vom Verhältnis der
Frequenzen beider Komponenten und von der
Phasenlage beider Schwingungen
Geschlossene Kurven wenn sich die Frequenzen wie ganze Zahlen verhalten, z.B.
1:2.
Anwendung: Frequenzen vergleichen und auf Vielfaches voneinander abstimmen.
Versuch 1590: Gedämpfte mechanische Schwingungen (Stab)
1.2 Harmonische Schwingung mit Reibung
Lineare Schwingungen mit zusätzlicher Reibungskraft FR .
FR = −ks ν = −ks ẋ
Kräftegleichgewicht
die Reibungskonstante ks
F = −kx − ks ẋ = mẍ
4
Bewegungsgleichung: mẍ = −kx − ks ẋ ⇒ Normalform
Lineare homogene Differentialgleichung.
Differentialgleichung
Lösungssatz
ẍ + bẋ + cx = 0
ks
k
c=
= ω02
m
m
b=
x(t) = A ent ⇒ ẋ(x) = A n ent ⇒ ẍ(t) = A n2 ent
Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt die charakteristische Gleichung
2
n + bn + c = 0
⇒
n1,2 =
−b ±
√
b2 − 4c
2
Zwei Lösungen ⇒ Gesamtlösung aus Überlagerung
x(t) = A en1 t + B en2 t
Bemerkung: - Amplituden bestimmt durch Anfangsbedingungen
- n1,2 bestimmt durch Differentialgleichung
1.2.1 Kleine Reibung
b2 − 4c < 0 n1,2 komplex
 s
ks
x(t) = c e 2 m t cos t
µ
ω02 −
5
ks
2m
2¶

+ ϕ
• Amplitude nimmt exponentiell ab
• Frequenz der Schwingung wird zu kleineren Wert verschoben
• Verschiebung ist für kR /2m ¿ ω0 aber relativ klein
1.2.2 Aperiodischer Grenzfall
b
b2 = 4c Problem: aperiodischer Grundfall ergibt nur eine Lösung: x = A e− 2 t
b
⇒ Weiterer Ansatz notwendig x = B t e− 2 t ist auch Lösung der Differentialgleichung.
b
ks
b
ks
Lösung: x(t) = A e− 2 t + B t e− 2 t = A e− 2m t + B t e− 2m t
Konstanten A und B ergeben sich aus Anfangsbedingungen
Anwendungen: Regeltechnik, Stoßdämpfer, Türschließer (Systeme, die schnell in
Ruhe zurückkehren sollen).
1.2.3 Kriechfall
b2 − 4c < 0 n1,2 reell
Keine Schwingung, da n1,2 keinen Imaginäranteil enthält, sondern eine gegen 0
kriechende Bewegung (langsamer als bei aperiodischem Grenzfall).
x(t) = A en1 t + B en2 t
6
maximale Dämpfung bei aperiodischem
Grenzfall da überdämpft langsamer zur Ruhe
kommt
1.2.4 Oszillator
ẍ + b ẋ + c x = 0
Versuch 1600: erzwungene Schwingungen (Pohl’scher Resonanzapparat)
Versuch 1615: Stimmgabelresonanz
1.3 Erzwungene Schwingung
Schwingung des Körpers werde nun durch eine periodisch wirkende Kraft f (t)
angeregt.
Bewegungsgleichung: mẍ = −kx − ks ẋ + Fext (t)
7
⇒ “Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung”
ẍ + bẋ + cx = f (t)
Differentialgleichung
b=
ks
k
c=
= ω02
m
m
Lösung: x(t) = xhomogen (t) + xpart (t)
Bestimmung der homogenen Lösung wie zuvor.
Bestimmung der partilellen Lösung im Allgemeinen zu komplex.
f (t) nennt man eine “Inhomogenität”
Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung im Allgemeinen hier zu kompliziert.
Hier z.B. nur den Fall kleiner Reibung (schwacher Dämpfung):
 s

µ ¶2
ks
K
− 2m
t
t ω02 − ks + ϕ
cos
(ωt−δ)+C
e
x(t) = s
cos
µ ¶2
m
ks
2
2
2
(ω0 − ω ) +
m
1.3.1 Harmonische Erregung
1. Term beschreibt Zustand des Systems für große Zeiten.
Inhomogenität f (t) = K cos (ωt)
Partielle Lösung x(t) = A cos (ωt − σ)
K
A= s
(ω02
µ
−
ω 2 )2
+
ks
m
¶2
Amplitude divergiert , falls ks und
ω − ω0 gegen 0 gehen
(Resonanzkatastrophe)
8
Versuch 1627: Glas “zersingen”
1.3.2 Resonanzkatastrophe
= Amplitudendivergenz
Tacoma Bridge
Versuch 1625: Resonanzen an einem Modellauto
1.3.3 Energiebilanz
Phase ∆ ϕ = Phasendifferenz zwischen f (t) und der Schwingungsamplitude A.
9
bei Resonanz ∆ ϕ = 90◦
→ äußere Kraft wirkt in Richtung der Geschwindigkeit der schwingenden Masse
→ System wird Energie zugeführt.
⇒ ohne Reibung muß Amplitude divergieren.
1.4 Wellen
Wellen = sich ausbreitende Schwingungen
Wellen transportieren Energie und Impuls durch Raum ohne wesentliche Verlagerung
von Massen in Ausbreitungsrichtung
z.B. Getreidefeld im Wind, Erdbeben, elektromagnetische Welle, Schallwellen
Unterscheiden je nach Auslenkungsrichtung bezüglich der Ausbreitungsrichtung.
1.4.1 Ebene Wellen
Sinusförmige, transversal polarisierte Welle, mit
Wellenlänge λ und Schwingungsdauer T.
µ
¶
µ
¶
2π
2π
2π v
y(x, t) = ym sin
(x − vt) = ym sin
x−
t
λ
λ
λ
Periodizität im Raum: Wenn sich bei festen t die Variable x um λ ändert, nimmt
das Argument um 2π zu und y nimmt wieder den gleichen Wert an.
y (x + λ, t) = y (x, t)
Periodizität in der Zeit: Wenn sich bei festem x die Variable t um T = λ/v
ändert, dann nimmt das Argument um 2π zu und y nimmt wieder den gleichen
Wert an.
y (x, t + λ/v) = y (x, t + T ) = y (x, t)
10
Wellenzahl
k=
2π
λ
und Kreisfrequenz ω =
2π
2πv
=
T
λ
y (x, t) = ym sin (k x − ω t)
1.4.2 Phasengeschwindigkeit
allgemeine Wellengleichung
2
∂2 y
2 ∂ y
=
c
∂t2
∂x2
Phasengeschwindigkeit c ist Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Also wie schnell sich ein Schwingungszustand konstanter Phase (z.B. Wellenberg),
also eine Wellenfläche, fortbewegt.
ebene Welle
y(x, t) = ym cos (ωt − kx + ϕ0 )
Zustand konstanter Phase ωt − kx + ϕ0 = konst.
x=
ωt + ϕ0 − konst.
k
dx
ω
Phasengeschwindigkeit c =
=
dt
k
λ
Fortpflanzungsgeschwindigkeit c = = λ f
T





identisch
1.4.3 Doppler Effekt
Versuch 1760: Akustischer Dopplereffekt
Relativbewegung von Quelle zu Beobachter ändert Frequenz.
11
• Quelle und Beobachter nähern sich ⇒ Frequenz erhöht
• Quelle und Beobachter entfernen sich ⇒ Frequenz erniedrigt
Frequenzverschiebung
³
c ± v0
v0 ´
ω2 = 2 π
=ω 1±
λ
c
1.4.4 Machscher Kegel
Geschwindigkeit der Quelle vq schneller als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Wellen vl .
→ Wellenberge addieren sich hinter der Quelle auf
→ es bildet sich eine Stoßwelle
Öffnungswinkel sin Θ =
1.4.5
vl
vq
Überschallknall ist die hörbare
Komponente dieser Schockwelle
Überschallflugzeug
Flüge mit Überschallgeschwindigkeit: auf Stoßfront folgende Unterdruckphase kühlt
die Luft ab und bringt dadurch den Wasserdampf der Luft zur Kondensation.
12
1.4.6
Überlagerung von Wellen
Reflexion einer Welle als Überlagerung von zwei sich ausbreitenden Wellen.
y = f (x − vt) + g (x + vt)
abhängig von den Randbedingungen
1.4.7 Stehende Welle
Versuch 1685: Stehende Welle auf einem Gummischlauch
Entsteht aus der Überlagerung zweier gegenläufiger fortschreitender Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude.
y1 (x, t) = A cos (ωt − kx) und
y2 (x, t) = A cos (ωt + kx + ϕ0 )
ϕ0 = 0 am losen Ende
ϕ0 = π am festen Ende
Folge: keine fortschreitende Welle sondern Schwingung mit Wellenknoten und
Wellenbäuche.
13
³
³
ϕ0 ´
ϕ0 ´
y(x, t) = 2 A cos ωt +
cos kx +
2
2
Grundschwingung
1.4.8 2d Wellen
Bisher in 1d betrachtet, aber Wellen auch auf Ebene
mit verschiedenen Formen der Ausbreitung.
14
1.4.9 Chladni’sche Klangfiguren
Versuch 1715: Chladni’sche Klangfiguren
durch Eigenresonanzen beginnt die Platte zu schwingen
2d Schwingung mit Wellenknoten
15
2 Akustik und Optik
2.1 Akustik
Schallwellen sind Druckschwankungen im Medium
• ausgelenkte Moleküle schwingen periodisch um ihren ursprünglichen Ausgangsort
• Bewegung wird auf benachbarte Teilchen durch Stoß übertragen
• Verdichtung + Verdünnung der Materie = Fortpflanzung des Schalls
2.1.1 Schalldruck
Schall-Pegel = Druckänderung durch schwingende Luftmoleküle
Schalldruckbereich für Gehör = 2x10−5 N/m2
und 20 N/m2 (bei 1.000 Hz)
→ Faktor von 1.000.000 (!)
Schallpegel gemessen as
Verhältnisgröße Dezibel (db).
logarithmische
Schalldruck 2x10−5 N/m2 = Pegelwert 0 dB
Schalldruck
20 N/m2 =
120 dB
Unterschied im Schalldruckpegel von 10 dB wird
als doppelte Lautsärke wahrgenommen
16
2.1.2 Periodischer Schwingungsverlauf
Überlagerung mehrerer Sinusschwingungen verschiedener Amplituden und Frequenzen.
Frequenzen der Einzelschwingungen müssen hierbei in einem
ganz-zahligen Verhältnis zueinander stehen.
Klang = in Akustik Ton mit seiner
Grund-Frequenz und seiner dazugehörenden Obertonreihe bzw.
seinen Harmonische
Versuch 1700: Ruben’sches Flammenrohr
2.1.3 Stehende Wellen
Natürliche Tonerzeugung = neben Grundton noch eine Vielzahl höherer Töne zum
Schwingen angeregt. Man nennt diese Obertöne, Partialtöne, Teiltöne, die Folge
dieser Töne heißt Obertonreihe.
Gesamtheit aller Obertöne = Frequenzspektrum eines Tons Instrumenten mit harmonischen Obertonreihen : z.B. Saiten.
Versuch 1640: Bilder von akustischen Schwingungen (Oszilloskop)
17
Verhältnis
2.1.4 Kammerton A
Grundfrequenz: 400 HZ
http://www.unikoeln.de/rrzk/multimedia
/dokumentation/audio/akustik.html
Versuch 1642: Fourier-Analyse von akustischen Schwingungen
2.1.5 Fourier-Analyse
Fourieranalyse beschreibt das Zerlegen eines beliebigen Signals in Sinus- und
Kosinusfunktion (eine Fourierreihe).
∝
a0 X
x(t) =
+
[ak cos (k ω0 t) + bk sin (k ω0 t)]
2
k=1
z.B. Fourierreihe füe ein Rechtecksignal lautet
xR (t) = sin (ω0 t) +
1
1
1
sin (3ω0 t) + sin (5ω0 t)+) = sin (ω0 t) + sin (7ω0 t) + ....
3
5
7
18
Darstellung von aharmonischen Schwingungen durch harmonische etablieren!
Diskrete oder analoge Signale mit Hilfe der sogenannten Fourier-Transformation
in ihr Frequenzspektrum transformiert und im Spektralraum analysiert.
Dicrete Fourier Transformation (DFT)
schnelleren Fast Fourier Transformation (FFT)
Anwendung: Kompressionsalgorithmus
z.B. mpeg
2.1.6 Fourier-Synthese
Fouriersythese beschreibt die Erzeugung beliebiger Signale aus Sinus- und
Kosinusfunktionen.
z.B. Aufbau eines Rechtseckssignals
19
2.2 Eigenschaften des Lichts
Welle-Teilchen Dualismus
Lichtteilchen = Photon, hat Energie, die von Wellenlänge λ und Frequenz v der
Lichtwelle abhängen.
hc
E = hv
λ
c = 2.998 · 108 m/s Lichtgeschwindigkeit
h = 6.626 · 10−34 J Planck’sches Wirkunsquantum
• Ausbreitung durch Welleneigenschaften erklären
• Austausch von Energie zwischen Licht und Materie
durch Teilcheneigenschaften
2.2.1 Elektromagnetisches Spektrum
Gesamtheit strahlender Energiearten oder Wellenfrequenzen, von den längsten bis
zu den kürzesten Wellenlängen.
c
λ=
v
2.2.2 Additive Farbmischung
Versuch 3140: Additive Farbmischung
20
Aktiv leuchtende bzw. leutende Lichtquellen verschiedener Farben überlagert.
Drei Grundfarben ergeben bei geeignetem Mischverhältnis nach additiver Farbmischung Weiß (RGB-Modell, Monitordarstellung).
Rot, Grün und Blau sind die “Primär”- oder
Grundfarben diese additiven Modells
Die ersten reinen Mischfarben der Primärfarben im Verhältnis “1 zu 1”- Cyan
(“Cyanblau”), Magenta (“Magentarot”) und Yellow (“Optimalgelb”) - heißen “Sekundärfarben” des (additiven) Modells. Sie sind gleichzeitig auch die Komplementärfarben
zu den Primärfarben.
Versuch 3145: Komplementärfarben
2.2.3 Subtraktive Farbmischung
Absorption und Reflexion von Licht.
Farbauftrag absorbiert den komplementärren Farbanteil im Licht und reflektiert deshalb nur seinen Farbton = Einfügen von Filtern in den Lichtstrahl einer weißen
Umgebung.
Drei Grundfarben ergeben bei geeignetem
Mischverhältnis nach subtraktiver Farbmischung Schwarz (CMY-Modell, Körperfarben Malerei und Druckgrafuk)
Qualitätsverbesserung
Tintenstrahldrucker: vierte Druckfarbe
Schwarz = CMYK-Modell
21
2.2.4 Huygens’sches Prinzip
Jeder Punkt auf der Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen
Elementarwelle; diese überlagern sich.
Elementarwellen breiten sich mit derselben
Geschwindigkeit und Frequenz aus wie
ursprüngliche Wellenfront
Einhüllende aller Elementarwellen = Konstruktion
einer Wellenfront
2.2.5 Reflexion
Versuch 3005: Reflexionsgesetz
Beim Übergang der Welle in ein anderes Medium wird ein Teil reflektiert, der andere Teil dringt ein.
Reflektion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel:
22
α=β
2.2.6 Fermat’sches Prinzip
Die Welle folgt dem Weg, bei dem die Laufzeit minimal ist.
dt
=0
dx
→ Licht nimmt kürzesten Weg optischen
ACB.
Grundlage der geometrischen Lichtoptik: Licht als Strahl
Linsen:
bikonvexe Linse
bikonkave Linse
2.2.7 Schnellius’sches Brechungsgestz
Lichtstrahl geht von Medium mit Brechungsindex n1 in das Medium mit Brechungsindex n2 über
Begründung mit Kombination aus Huygen’schen oder Fermat’schen Prinzip
sin α
c1
n2
=
=
sin β
c2
n1
23
c1
λ1
=
c2
λ2
2.2.8 Totalreflexion
Versuch 3046: Totalreflexion im Wasserstrahl
Übergang Lichtstrahl von optisch dichteren (Wasser) in ein optisch dünneres Medium
(Luft).
→ Licht vom Lot weggebrochen
nLuf t < nGlas
Totalreflexion: Licht trifft so flach auf Grenzfläche, daß es dichtbares Medium nicht
mehr verlassen kann.
Dabei geht keinerlei Energie verloren.
Nur möglich bei einem Übergang in ein optisch dünneres Medium.
nLuf t < nGlas
Totalreflexion = Ausfallwinkel 90◦
nGlas
1
=
→ sin α = 1
sin αc
nLuf t
·
nLuf t
Grenzwinkel der Totalreflexion αc = arcsin
nGlas
Anwengung: Glasfaser Brechungsindex von 1.5 (BK 7-Glas) → α = 42◦
24
¸
Versuch 3045: Lichtleiter
2.3 Geometrische Optik
• Lichtstrahlen als geometrische Strahlen
• für Wellenlängen < Objektgröße
benutzt Brechungsgesetz, z.B. Sammellinse
f = Brennweite der Linse
1. Strahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, werden so gebrochen,
daß die den Brennpunkt F passieren.
2. Strahlen, die untereinander parallel verlaufen, werden so gebrochen, daß die
Brennebene in einem gemeinsamen Punkt passieren.
25
Etablieren
Zusammenhang Paralleler Strahlen ⇔ Brennpunktstrahl.
2.3.1 Hohlspiegel
Versuch 3050: Brennpunkt eines Hohlspiegels
Bogenlampen = intesives Licht mit einem hohen Infrarot -Anteil
Lichtstrahlen aus Bogenlampe parallel
zur optischen Achse
Spiegel reflektiert
Brennpunkt
diese
in
seinem
Gilt auch für infrarote Wärmestrahlung = im Brennpunkt die Energiedichte sehr
hoch → Streichholz entzündet.
Versuch 3065: Linsenkombinationen
2.3.2 Abbildung durch Sammellinsen
Bildkonstruktion: Das Objekt steht im Abstand zwischen f und 2f zur Sammellinse.
26
Bild reell, seitenverkehrt
PS: Parallelstrahl
F:
Brennpunkt im Objektraum
ZS: Zentrahstrahl
F’: Brennpunkt im Bildraum
BS: Brennstarhl
f:
Brennweite im Objektraum
f’: Brennweite im Bildraum
Vergrößerung V =
B
b
= − also V < 0 da Bild umgekehrt ist
G
g
2.3.3 Lupe
Bildkonstruktion: Objekt zwischen 0 und f zur Sammellinse.
σ = Sehwinkel bei konventioneller Sehweite
σ 0 = Sehwinkel bei Verwendung einer Lupe
Bild virtuell, nicht seitenverkehrt
Lupen-Vergrößerung V =
tan σ 0
s
=
tan σ
f
27
2.3.4 Linsengleichung
Sammellinse mit den beiden Krümmungsradien r1 und r2 aus Material mit Brechungsindex n .
µ
¶
1
1
1
= (n − 1)
+
f
r1 r1
Linsengleichung
1
1 1
= +
f
g b
Gegenstandsweite g
Bildweite
b
Vergrößerung
v
Bildlage
g > 2f
f < b < 2f
v<1
umgekehrt
g = 2f
b = 2f
v=1
umgekehrt
f < g < 2f
b > 2f
v>1
umgekehrt
b<0
beliebig
aufrecht, virtuell
=
g<f
2.3.5 Linsensysteme
Zwei Linsen hintereinander gestellt im Absatnd d → Konstruktion über Zwischenbild.
effektive Brennweite fsys des Gesamtssystems
1
fsystem
=
1
1
d
+
−
f1 f2 f1 f2
Abstand d zwischen zwei Linsen vernachlässigbar zu Brennweiten
28
1
fsystem
=
X 1
f1
i
speziell f1 = f2 = f
1
fsystem
=
1
1
f
+ → fsystem =
f
f
2
2.3.6 Linsentypen
Sammellinsen:
a) Bikonvexlinse b) Plankonvexlinse c) Konkavkonvexlinse
Zerstreuungslinsen:
a) Bikonvexlinse b) Plankonvexlinse c) Konkavkonvexlinse
jetzt: Zerstreuungsline
29
Vergrößerung
V =−
S2
f
=
S1
f − S1
V > 0 : virtuelles Bild
Versuch 3064: Lupe, Mikroskop und Fernrohr
2.3.7 Astronomisches Fernrohr & Terristisches Fernrohr
Fernrohr besteht aus zwei Linsen, die sich im Abstand ihrer Brennweiten gegenüberstehen.
Objekt = dem Gegenstand (dem Objekt) zugewandte Linse fob
Okular = dem Auge (dem Oculus) zugewandte Linse fok
Vergrößerung V = −
fob
fok
Entfernte Gegenstände unter einem
größeremn Sehwinkel als mit dem
bloßen Auge und dadurch scheinbar
näher sehen.
2.3.8 Mikroskop
Abstand t der beiden Brennpunkte heißt Tubuslänge
Objekt = dem Gegenstand (dem Objekt) zugewandte Linse fob
Okular = dem Auge (dem Oculus) zugewandte Linse fok
30
s0
t
=
fob
fok
s0 deutliche Sehweite ≈ 25 cm
Vergrößerung V = −
Objektiv entwirft ein Zwischenbild, welches mit dem Okular betrachtet wird, Okular hierbei wie eine Lupe.
2.4 Wellenoptik & Interferometer
• Lichtstrahlen als Wellen
• für Wellenlängen ≈ Objektgröße
Amplitude (hell/dunkel) hängt von Phasendifferenz δ ab.
δ = n 2π, n = 0, 1, 2, ... : konstruktive Interferenz = Intensität maximal
δ = (n + 1/2) 2π, n = 1, 2, ... : destruktive Interferenz = Intensität minimal
Wegunterschied (Gangunterschied ∆r) = zwei Wellen
legen unterschiedlich weite
Wege zurück.
δ=
2.4.1 Interferenz an dünnen Schichten
Versuch 3150: Interferenzmodell
31
∆r
= 2π
λ
Michaelsen - Interferometer
→ einfach ⇒ Verständnis konstruktive & deskonstruktive Interferometer.
→ Gerät zur Längenmessung
Trifft Licht von einem Medium auf die Grenzfläche zu einem anderen Medium mit
geringerer Lichtgeschwindigkeit, so erfolgt bei der Reflexion ein Phasensprung um
π.
Dünne schicht der Dicke d mit dem Brechungsindex n in Luft.
In Schicht Wellenlänge kleiner λ0 =
λ
n
Phase Strahl 1 (an oberer Grenzfläche reflektiert) wird um π gedreht - Phase Strahl
2 (an unterer Grenzfläche reflektiert) hat keinen Phasensprung.
Maxima
N λ = 2d
p
n2 − sin2 (Θ)
N = 0, 1, 2, 3, ...
2.4.2 Interferenz an Seifenfilmen
Farben durch Interferenz an dünnen Schichten
Die Seifenlamelle hat einen keilförmigen Querschnitt. Aufgrund der Schwerkraft
wird die Flüssigkeitsschicht nach unten hin dicker.
32
2.4.3 Newton’sche Ringe
Versuch 3170: Newton’sche Ringe
“Spannungsoptik” als Lösung!
Interferenzen von Licht, das die Linse ungestört durchdringt, mit Licht das an der
Oberfläche der Glasplatte und dann an Unterseite der Linse reflektiert wird.
Gangunterschied an Dicke d
∆r = 2d − λ/2
Geometrie dm = R −
p
2
R 2 − rm
rm ¿ R
2
rm
Abstand dm =
2R
Linse ist Kugelsegment: um die Achse AM rotationssymmetrisch: Interferenzminima bzw. Interferenzmaxima sind Kreisringe
dunkel bei rm =
√
m λ R und hell bei rm =
p
(m + 1/2) λ R
bf Anwendung: Unebenheiten im Nanometer Bereich entdecken, kleinste Materialschäden nachweisen.
33
2.4.4 Interferenzmuster Doppelspalt
Versuch 3200: Beugung am Doppelspalt
Spaltabstand d in der Größenordnung der verwendeten Wellenlänge → auf Schirm
im Abstand l À d Interferenzmuster.
Gangunterschied ∆r = d sin θ
2.4.5 Intensitäten am Doppelspalt
m-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand ym
ym
≈ mλ
l
λl
Abstand zweier Streifen ∆y =
d
d sin Θ ≈ d tan Θ = d
ym ≈ m
34
λl
d
µ ¶
δ
Intensität I = 4 I0 cos
2
2
Idealer Doppelspalt mit Spaltbreite 0.
Versuch 3200: Beugung am Spalt
2.4.6 Interferenzmuster Einzelspalt
Bisher Spalte als vernachlässigbar klein angenommen.
M + 1 punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite a mit Abstand d =
a/M
Phasenunterschied zwischen zwei
Lichtquellen in die Richtung Θ
2π
δ=
d sin Θ
λ
Trick zur Bestimmung der Minima:
Aufteilung in 2 n Intervalle, wobei
sich das Licht aus jeweils benachbarten Intervallen auslöscht.
∆r =
a sin Θ
2n
Minima N λ = a sin Θ
1, 2, 3...
N =
35
2.4.7 Intensitäten am Einzelspalt
Je größer die Ordnung der Maxima, desto dunkler werden sie, weil ein kleineres
Teilgebündel für die Resthelligkeit verantwortlich ist.
gesamter Phasenunterschied
resultiernede Amplitude
Intensität
2π
a sin Θ
λ
µ ¶
Φ
A0 = 2 r sin
2
Φ=
I = A2 und I0 = A2max
µ ¶ 2
Φ
sin

2 

I = I0 


Φ
2

2.4.8 Realer Doppelspalt
Zwei Spalte der Breite a mit Abstand d
Interferenz und Beugungsmuster
36
a < d : Einzelspalt liefert Einhüllende für Interferenz des Doppelspalts
Doppelspalt
Einzelspalt




y
y
µ ¶ 2

Φ
µ ¶
sin

δ
2 
2


I = 4 I0 
cos

Φ
2
2
2.4.9 (Strich-)Gitter
Versuch 3210: Strichgitter und Kreuzgitter
Gitterkonstante g = Abstand der Spalte
z.B.: 10000 Linien pro cm → g = 1
cm/10000 = 1µm
Anwendung: CD (Reflexionsgitter)
nominaler Track-Abstand 1.6 µm
37
2.4.10 Intensitäten am Gitter
Bei Gitter mit M Linien setzt sich das Beugungsmuster aus dem Muster des Einzelspalts multiplziert mit dem Beigungsmuster des Gitters zusammen
38
3 Elektrizitätslehre
3.1 Elektrostatik
Ähnliche Statik in Mechanik → Kräfte
Kräfte zwischen elektrischen Ladungen
elektrische Ladung Q
Einheit 1 C (Coulomb) = 1 As
Ladung Q tritt nur in Vielfachen der Elementtarladung e in Erscheinung: Elementarladung e = 1.60217733 · 10−19 C.
→ es gibt eine kleine elektrische Ladung!
1 C = 6.241506 · 1018 e
Ladungserhaltungssatz: in einem abgeschlossenem System ist die Summe
aller Ladungen zeitlich konstant. Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden.
Versuch 2000: Reibungselektrizität
3.1.1 Ladungsarten
Ein Körper, mit einer Gesamtladung Null (von beiden Ladungsarten gleich viel), ist
nach außen hin“elektrisch neutral”.
→ 2 Arten von Ladungen: Unterschied Vorzeichen: +/positiv geladen: Elektronenmangel
negativ geladen: Elektronenüberschuß
Ladungen sind stets an Massenteilchen
gebunden.
Bausteine der Materie mit Ladung:
Proton: positive Elementarladung
Elektron: negative Elektronenladung
Bausteine der Materie ohne Ladung:
Neutron
Versuch 2005: Abstoßung gleichnamiger, Anziehung ungleichnamiger Ladungen
39
3.1.2 Coulomb Gesetz
Kraft F zwischen zwei Ladungen q1 , q2 im Abstand r12
F =
1 q1 · q2
2
4 π ε0 r12
Influenzkonstante ε0 = 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 )
3.1.3 Elektrisches Feld
Elektrische Feldstärke (vektorielle Größe), die Betrag und Richtung der an einem
Ort wirkende Kraft auf eine Einheitsladung zeigt.
~
~ =F
E
q
Einheit 1N/C
~ =
z.B. Punktladungen im Abstand r E
Länge 1.
1 Q ~r
4 π ε0 r 2 r
mit
~r
Richtungsvektor der
r
Feldlinien zeigen an jeden Ort die Richtung der von der Feldstärke auf eine Ladung
ausgeübte Kraft.
40
3.1.4 Feldlinien
Versuch 2040: Elektrische Feldlinien (Griesbilder
Feldlinien enden senkrecht auf Oberflächen elektrischer Leiter.
Je nach der Geometrie der Objekte liegen die Feldlinien unterschiedlich dicht.
Quellen der Feldlinien sind positive Ladungen
Senken der Feldlinien sind negative Ladungen
3.1.5 Faraday Käfig
Versuch 2070: Faraday Käfig
Inneres eines Leiters in einem elektrischen Feld ist immer feldfrei.
→ In einem geschlossenem, leitenden Käfig ist
die elektrische Feldstärke null.
41
Feldstärke sorgen für Influenzladungen auf der
Oberfläche des Leiters → dort beginnen bzw.
enden elektrische Feldlinien
3.1.6 Influenz
Influenz = Ladungstrennung durch das elektrisches Feld
Flächenladungsdichte σ =
Q
A
Aufladung durch Kontakt
Aufladung durch Influenz
x




Zusammenführen der Zylinder: Ladungen der mit Influenz
geladenen Zylinder haben unterschiedliches Vorzeichen:
gesamtes System ungeladen
Versuch 2060: Bandgenerator
3.1.7 Gesetz von Gauß
Z
~ · dA
~
Elektrischer Fluß Φ =
E
I
A
Z
E · dA =
Satz von Gauß :
∂V
dN E dV
V
42
Maxwellgleichung:
Summe aller elektrischer Flüsse über die geschlossenen Oberfläche eines Volumens ist
proportional zur Ladung in diesem Volumen, unabhängig von der speziellen Wahl der Flächen.
I
~ dA
~= Q
Φ=
E
ε0
A
z.B. Feldstärke einer Punktladung:
I
Q
~ · dA
~
φ=
E
=
ε0
Oberfläche der Kugel
φ = E 4π r2 =
Q
Q
−→ E =
ε0
4 π ε0 r 2
3.1.8 Feldstärke einer geladenen Leiterplatte
Homogen geladenen, “unendlich ausgedehnten” Platte → Feldstärke steht überall
senkrecht zur Oberfläche. Weitere Anwendung von Gauß .
Zylinder beliebiger Größe durch die Platte, mit Achse
parallel zu den Feldlinien.
I
I
I
I
~
~
~
~
~
~
φ=
E·dA =
E·dA+
E·dA+
Zylinder
Deckel
M antel
Boden
~⊥E
~ gilt auf der Mantelfläche → Integral = 0
dA
I
I
~ · dA
~+
~ · dA
~ = 2E
~ ·A
~ =2·E·A
E
E
M antel
φ = 2E A =
Q
ε0
−→
E=
Boden
Q
σ
=
2 A ε0
2 ε0
3.1.9 Feldstärke im Plattenkondensator
Ein Plattenkondensator besteht aus der Kombination einer negativ mit einer in einem
bestimmten Abstand parallel dazu montierten positiv aufgeladenen Platte.
43
~ A
~
E·d
Feldstärke der negativ geladenen Platte
E=
σ
2 ε0
Feldstärke der positiv geladenen Platte
E=
σ
2 ε0
E=
Feldstäke zwischen den Platten
σ
ε0
Außen - bei unendlich ausgedehnten Platten - ist die Feldstärke exakt null.
Versuch 2085: Kugel im elektrischen Feld
3.1.10 Arbeit im elektrischen Feld
Verschiebung einer Ladung in einem elektrischen Feld ist mit Arbeit verbunden.
W = −F · ∆r = −q · E · ∆r
Arbeit zur Bewegung der Ladung zwischen zwei Punkten r1 und r2 in einem
ortsabhängigen Feld.
Zr2
Zr2
F~ · d~r = −q
W =−
r1
~ · d~r
E
r1
W = Fe d
3.1.11 Elektrisches Potential und Spannung
Elektrostatisches Potential ϕ für jeden Ort im Raum.
Potential = Arbeit W , die verrichtet werden muß , um eine Testladung vom Betrag
44
g aus unendlicher Entfernung, zu diesem Ort zu bringen.
W
ϕ(r) =
=−
q
Zr
~ · d~r
E
∞
Elektrische Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten.
U = ϕ2 − ϕ1 = −E ∆r
Einheit 1 V (Volt) = 1 Nm/C
W = −q E ∆r = q (ϕ2 − ϕ1 ) = q U
Spannungsquellen:
z.B. Batterien (1.5 V)
3.1.12 Potential im Plattenkondensator
Plattenabstand d
Die Platten und alle zu Ihnen parallelen Flächen im Zwischenraum sind Flächen
gleichen Potentials.
Zd
U = ϕe/x − ϕe/l = −
E dx = −E d
0
U=
Q
d
ε0 A
Versuch 2085: Dielektrikum im Feld eines Plattenkondensators
45
3.1.13 Kapazität
Wert der Proportionalitätskonstanten C richtet sich nach der Geometrie der Anordnung.
Kapazität
C=
Q
U
Plattenkondenstor
mit Dielektrikum
Einheit 1 F (Farad) = 1 Nm/V2
Q
ε0 A
=
U
d
A
C = ε0 εr
d
C=
εr ist Materialkonstante des Dielektrikum
Dielektrikum zwischen den Platten eines Kondensators erhöht dessen Kapazität.
3.1.14 Schaltungen von Kondensatoren
Uges = U1 = U2
parallel = nebeneinander
Qges = Q1 + Q2
Uges · Cges = U1 · C1 +
U2 · C 2
−→ Cges = C1 + C2
X
Cges =
Ci
i
46
in Reihe = hintereinander
Qges = Q1 + Q2
Uges = U1 = U2
Qges
Q1 Q2
=
+
Cges
C1
C2
1
1
1
−→
=
+
Cges
C1 C2
X 1
1
=
Cges
Ci
i
Versuch 2195: Straomstß beim Entladen eines Kondensators
3.1.15 Elektrische Feldenergie
Beim Aufladen eines Kondensators muß elektrische Ladung entgegen der auf den
Platten entstehenden Spannung auf die Platten transportiert werden.
dW = U (Q) dQ =
ZQ
W =
Q
dQ
C
1 Q2
1
1
q
dq =
= C · U2 = Q U
C
2 C
2
2
0
Mit C =
ϕ0 A
und U = E d folgt
d
Energie des geladenen Kondensators W =
Kondensator speichert Energie!
47
1
ϕ0 A d2 E 2
C U2 =
2
2d
3.2 Ströme
Die Stromstärke ist der Quotient aus Ladungsmenge ∆Q und der Zeit ∆t , in der
diese Ladungsmengen durch eine Fläche senkrecht zur Flußrichtung fließt.
I=
∆Q
∆t
Einheit 1 A (Ampere) = 1 C/S
Beispiele:
• Strom beim Zusammenzeihen Muskeln: 15 mA
• Erste Verbrennungen: 800 mA
• Strom bei einer Taschenlampe: 200 mA
• Strom bei einem Ventilator: 120 mA
• Strom einer Zimmerbeleuchtung: 200 mA bis 1000 mA
• Strom zum Betrieb Elektrolokomotive: über 300 A
• Strom in einem Blitz: ca. 100.000 A
3.2.1 Elektrische Leistung
P = I · U Einheit 1 W (Watt) = 1 J/s
Produkt aus Stromstärke und Spannung
Elektrische Arbeit und Energie
W = P · t = U · I · t Einheit 1 kWh = 3.6 · 106 J
Beispiele: Anschaulich: Mit 1 kWh Strom können 10
l Wasser um 86◦ C erwärmt werden.
(1 kcal entspricht 4.1868 kJ, 1 kWh = 3.6 MJ
entspricht 3600/4.1686 = 859.84 kcal ≈ 860 kcal)
z.B. jährlicher Stromverbrauch TV, Audio, Video, PC
= 260 kWh
3.2.2 Ohm’sches Gesetz
• Bewegung von Ladungsträgern im Vakuum reibungsfrei
• in Materie: Reibungskraft, Stöße von Elektronen mit Atom rümpfen
48
Elektrischer Widerstand
R=
U
I
Einheit 1 Ω (Ohm) = 1 V/A
Bei Leitern mit konstanten Querschnitt A , der Länge l und dem spezifischen
Widerstand ρ .
l
R=ρ
A
Leitwert: Kehrwert des Widerstands Y =
1
R
Einheit 1 S (Siemens)
3.2.3 Analoge Mechanik - Elektrik
Rohr/Leiter mit Länge l und Radius r .
Mechanische Größe
Elektrische Größe
Druck ρ
Spannung U
Volumenstrom V
Elektrischer Strom I
Strömungswiderstand
Elektrischer Widerstand
R=
8·η·l
r4
R=
Viskosität η
ρ·l
π · r2
Spezifischer
Widerstand ρ
49
3.2.4 Kirchhoff’sche Regeln
1. Kirchhoffsche Regel (Knotenregel)
Kontinuitätsgleichung für Ströme (analog zu
Flüssigkeiten): In Verzweigspunkten (Knoten) ist
Summe aller ankommenden Ströme (Vorzeichen +)
gleich Summe abfließender (Vorzeichen -):
X
Ii = 0
i
2. Kirchhoffsche Regel (Maschenregel)
Wegunabhängigkeit der Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten: In Schleife eines Netzwerks
ist Spannungsabfall über den beiden möglichen
Verbindungswegen zwischen zwei Punkten gleich
und Spannung zwischen diesen Punkten:
X
Uj = 0
+= clockwise, cw
j
Versuch 2190: Wärmewirkung des Stroms
3.2.5 Joule’sche Wärme
Ohm’sche Gesetze: Widerstand setzt durch die Reibung ähnliche Effekte gesamte
elektrische Energie in Wärme um.
Wärmeleistung = “Joule’sche Wärme”
P = I · U = R · I2 =
U2
R
Toaster: Draht, dauerhaft mit Strom glühend ohne zu brechen
50
3.2.6 Schaltungen von Widerständen
parallel = nebeneinander
Uges = U1 = U2
Erhaltung (Kirchhoff): Iges = I1 + I2
Uges
U1
U2
1
1
1
=
+
−→
=
+
Rges
R1 R2
Rges
R1 R2
X 1
1
=
Rges
Ri
i
in Reihe = hintereinander
Iges = I1 = I2
Erhaltung: Uges = U1 + U2
Rges · Iges = R1 · I1 + R2 · I2
−→ Rges = R1 + R2
Rges =
P
i
51
Ri
4 Magnetismus
4.1 Statische Magnetfelder
N- und S-Pol nicht trennbar immer magnetische Dipole!
magnetische Feldlinien: Ausrichtung
von Kompaßnadel oder Eisenfeilspänen
an jedem Punkt.
Magentnadel stellt sich durch
magnetische Kraft ein
Erdmagnetfeld = Stabmagnet, um 12◦
zur Rotationsachse geneigt.
Kompaßnadel zeigt immer zum magnetischen Südpol.
Versuch 2135: Feldlinien um Stab und Hufeisenmagnet
4.1.1 Lorentzkraft
Magnetfeld = ein von bewegten elektrischen Ladungen (Strömen) erzeugtes
Feld,
das Kraftwirkungen zwischen den elektrischen Strömen vermittelt
Kraft
~
F~ = q · ~v × B
Lorentzkraft steht senkrecht zur Richtung des Magentfeldes und senkrecht zur Richtung der Bewegung, also der Geschwindigkeit.
52
3 - Fingerregel:
Daumen = g ~v technische Stromrichtung (+ nach -)
Zeigefinger = Magentische Feldstärke
Mittelfinger = Richtung der Kraft
F = q v B sin (α)
~
D: Winkel zwischen g ~v und B,
Ferrofluidgel
Beispiel: Lorentz-Kraft
4.1.2 Fadenstrahlrohr
Wirkung der Lorentzkraft auf die Bahn frei fliegender Elektronen
Lorentzkraft = Zentrifugalkraft
e·v·B =
m · v2
r
Radius der Bahn
r=
m·v
e·B
53
m 2
v
2
Kinetische Energie des Elektrons Ekin =
= Beschleunigunge Energie durch die Spannung zwischen Kathode und Anode
EU = e · U
m 2
e·U =
v
2
r
−→
Geschwindigkeit Elektron
v=
2·e·U
m
Versuch 2200: Magnetische Wirkung des Stroms
4.1.3 Ampere’sches Durchflutungsgesetz
Wegintegral über die magnetische Felstärke entlang eines geschlossenen Weges
zeigt den Strom, der eine von diesem Weg umschlossene Fläche durchdringt
I
Z
~
B d~s = µ0 I = µ0
dA · j
Elektrische Ströme sind von einem magnetischen Wirbelfeld umgeben.
~ Einheit 1 T (Tesla) = 1 Vs/m2
magnetische Feldstärke B
Rechte Handregel:
für technische Stromrichtung
4.1.4 Anwendung: Stromdurchflossener Leiter
Richtige Wahl des Integrationsweges: unendlich langer Leiter gegen den Uhrzeigersinn
(mathematisch positiv)!
54
I
I
~ s = B·
B·d~
d~s = B·2·π·r = µ0 I
Kreis
B=
µ0 I
2π r
Bemerkung: Für Geometrien mit geeigneter Symmetrie läßt sich B direkt mit Hilfe
des Amperschen Gesetz berechnen.
~
magnetische Erregung H
im Vakuum H =
B
µ0
Mit magnetischer Feldkonstante µ0 = 4 π 10−7 VS (Am) Einheit 1 A/m
stromdurchflossener Leiter H =
I
2πr
Versuch 2375: Barkhausen Effekt
4.1.5 Magnetfeld im Material ↔ Bio Savart
Verhalten in einem äußeren Magnetfeld läßt sich einteilen in:
1. Paramagnetisch: teilweise Ausrichten der magnetischen Momente
2. Diamagnetisch: entgegengesetztes Ausrichten der magnetischen Momente
3. Ferromagnetisch: z.T. schon ohne äußeres Feld ausgerichtete Momente
H=
B
(µ0 µr )
Barkhausen Effekt: Das gleichzeitige und
manchmal höhrbare Umklappen von Molekularverbänden (Weißschen Bezirken) bei der
Ummagnetisierung bestimmter Materialien
55
4.1.6 Bio-Savart Gesetz
Komplizierte Geometrien:
Leiter in Infitismale d~l aufteilen
~
~
~ = µ0 I × ~r −→ dB
~ = µ0 I dl × ~r
B
2π r2
4π r2 r
~
~ = µ0 I dl × ~r
B
4π
r3
z.B. Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magentfeld
Warum: Bio-Savart
→ keine geeignete Symmetrie für Ampere
→ Lösungsformel für Stammfunktion
Versuch 2401: Hall Effekt in einem bewegten Kupferstreifen
4.1.7 Hall-Effekt
Stromdichte J~ = n q ~v
Stromfluß → Ablenkung der Ladungsträger im B-Feld
→ Aufbau von E-Feld, was Lorentzkraft entgegenwirkt
~ = −q E
~
F~ = q ~v × B
Im stationären Fall
~ Hall = −~v × B
~
E
~ ⊥ J~ : UHall == b EHall = −b v B = b B j
B
nq
−→
UHall = −
56
IB l
d nq
4.1.8 Magnetischer Fluß
Analog zum elektrischen Fluß ist der magnetische Flauß
Z
~ · dA
~
Φ=
B
A
da magnetische Feldlinien (im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien) keiner Quelle
entspringen.
I
~ · dA
~=0
Φ=
B
A
→ es gibt keine magnetischen Monopole
4.1.9 Die 4 Maxwell’sche Gleichungen
1. Gauß’scher Satz: Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes
I
~ · dA
~= Q
Φ=
B
ε0
A
2. Es gibt keine magnetischen Einzelladungen. B Magnetfeld ist quellenfrei
⇔ keine magnetischen Monopole.
I
~ · dA
~=0
Φ=
B
A
57
3. In elektrostatischen Feldern ist die Überführungsarbeit entlang geschlossenen Wegen immer Null
I
~ · d~s = 0
E
4. Ampere’sches Gesetz: Ströme sind die “Quelle” des magnetischen Feldes.
Ströme sind von magnetischen Wirbelfeldern umgeben.
I
~ · d~s = µ0 I
B
4.1.10 Induktion
Induktion einer Spannung setzt eine zeitliche Änderung in der Anordnung von
Feldstärke B oder Fläche A voraussetzt.
Faradaysche Induktionsgesetz
Uind =
d ~ ~
(A · B)
dt
Negative Vorzeichen = induzierte Spannung ist ihrer Ursache entgegengerichtet.
1. Induktion bei Änderung der Fläche
U=
2. Induktion bei Änderung des Magnetfeldes
dA
· B · cos ϕ
dt
U=
dB
· A · cos ϕ
dt
3. Induktion bei Änderung des Winkels zwischen Magnetfeld und Fläche
U=
dϕ
· A · B · sin ϕ
dt
Versuch 2440: Wirbelströme im Waltenhofen’schen Pendel
4.1.11 Erweiterung 3. Maxwell’sche Gleichung
Bisher: für zeitlich konstante Felder
Faradaysches Induktionsgesetz: Ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluß erzeugt
ein elektrisches (Wirbel-)Feld mit kreisförmigen Feldlinien um die vom Fluß durchdrungene Fläche
Z
I
d
~ dA
~
~
B
E d~s = −
dt
F laeche
Rand
58
I
~ · d~s = µ0 · I
B
Vergleich: Amperesches Gesetz
Rand
4.1.12 Selbstinduktionskoeffzient
Induzierte Spannung in einer Spule bei Änderung des Stroms.
Magnetische Feldstärke in einer Spule der Länge l mit Winbdungszahl n ist proportional zum Strom I.
µ0 · n
B=
·I
l
Bei zeitlicher Änderung des Stroms ändert sich auch magnetisches Feld.
dB
µ0 · n dI
=
·
dt
l
dt
Dadurch ändert sich der magnetische Fluß in der Spule und induziert nach dem
Induktionsgesetz die Spannung.
Uind = −n · A ·
dB
µ0 · n dI
= −n · A ·
·
dt
l
dt
Selbstinduktionskoeffzient ist Proportionalitätsfaktor UIN D = −L ·
L = µ0 · n 2 ·
A
l
dI
.
dt
Einheit 1 H (Henry = 1 Vs/A
Versuch 2450: Versuch 2450: Thomson”scher Ring
4.1.13 Lenz’sche Regel
Die durch Induktion UIN D erzeugten Ströme wirken Änderung von Φ entgegen, d.h. es
werden anstoßende Magnetfelder erzeugt.
59
Solange die Stange rollt, wird eine Spannung induziert.
Ist die Stange in Ruhe, gibt es keine Kraft und damit auch keine Induktionsspannung.
4.2 Wechselströme
Bei Rotation einer Spule im Magnetfeld entsteht eine Wechselspannung mit Sinus
Form.
U (t) = U0 · sin ωt
U0
Effektivwert der Wechselspannung UEf f = √
2
Effektivwert einer Wechselspannung ist Wert, der bei Gleichspannung nötig wäre,
um gleichen Effekt z.B. Glühlampe (Helligkeit) zu erzeugen.
Mittelwert der sin-Funktion hsin2 ωti =
1
2
4.2.1 Leistung
Leistung des Gleichstroms
PEf f = UEf f · IEf f
60
2
UEf
f
=
R
Leistung Wechselstrom zur Zeit t
P (t) = U (t) · I(t) =
Mittlere Leistung des Wechselstroms hP i =
U (t)2
U2
= 0 sin2 ωt
R
R
U02
2·R
2
UEf
U02
f
=
−→
2·R
R
Im Haushalts Stromnetz beträgt die Netzspannung (effektiv) 230 V bei 50 Hz und zeigt Sinusform. Die momentane Spannung oszilliert
also 50 mal in der Sekunde zwischen ihren Extremwerten ± 325 V.
4.2.2 Kapazitive und induktive Lasten
Betrieb an zeitlich variablen Spannungsquellen U (t) .
Art der Last
Instrument
im
Stromkreis
misst den
Strom I(t)
Spannung
über dem
Bauteil
Ohmsch
U (t) = R · I(t)
Kapazitiv
U (t) =
61
Q(t)
C
Induktiv
U (t) = −L
dI
dt
4.2.3 Zeigerdiagramm für Wechselspannung mit Sinus Form
Schreibweise
Komplex
Trigonometrisch
Eulersche Formel
ei ϕ = cos ϕ + i · sin ϕ
sin ϕ
Anwendung
U = U0 · eiωt
U = U0 · sin (ωt)
Der Faktor i entspricht dem Zeiger mit Betrag 1 und Phase π/2 .
i = cos
π
π
π
+ i · sin = ei 2
2
2
62