Trigonometrie - Gymnasiums Ernestinum Coburg

Übungsaufgaben: Trigonometrie – Lösung
1.a.
sin α = 0,25
α = 14,48°
cos α = 0,9682
tan α = 0,2582
b.
cos β = 0,67
β = 47,93°
sin β = 0,7423
tan β = 1,1079
c.
tan γ = 1,85
γ = 61,61°
sin γ = 0,8797
cos γ = 0,4755
2. Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist der Winkel γ = 90° (an der Ecke C).
a. Beschriftete Zeichnung:
b. Gegeben:
a = 12
12
a
=
c
20
hc
sin β =
⇒
a
sin α =
c. Gegeben:
c = 20
⇒
b
a
h
sin β = c
a
α = 36,9°
β = 90° − α = 53,1°
hc = a ⋅ sin β = 12 ⋅ sin 53,1° = 9,6
β = 72°
b = 9,5
tan β =
Gesucht: α, β, hc
Gesucht: a, hc
9,5
b
=
= 3,1
tan β
tan 72°
⇒
a =
⇒
hc = a ⋅ sin β = 3,1 ⋅ sin 72° = 2,95
3. Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist c die Basis und a = b sind die Schenkel.
a. Beschriftete Zeichnung:
b. Gegeben:
α = 66°
a = 6,3
Gesucht: c, γ
c
cos α =
2
⇒
c = 2 ⋅ a ⋅ cos α = 2 ⋅ 6,3 ⋅ cos 66° = 5,1
a
γ = 180° – 2 · α = 180° – 2 · 66° = 48°
c. Gegeben:
sin γ2 =
γ = 40°
c = 7,2
c
2
b
⇒
b =
c
2
γ
sin 2
=
Gesucht: b, β
3,6
= 10,5
sin 20°
β = (180° – γ) : 2 = (180° – 40°) : 2 = 70°
4. Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist der Winkel γ = 90° (an der Ecke C).
b. Berechne α und β, wenn a = 3,2 cm und c = 5,6 cm.
sin α =
3,2 cm
a
=
5,6 cm
c
α = 34,85°
⇒
β = 90° − α = 90° − 34,85°
⇒
β = 55,15°
b. Berechne b und c, wenn a = 4,5 cm und tan α = 1,4
tan α =
a
b
⇒
b =
4,5 cm
a
=
tan α
1,4
⇒
sin α =
a
c
⇒
c =
4,5 cm
a
=
sin α
sin tan −1 1,4
)
(
b = 3,2 cm
⇒
c = 5,5 cm
5. Eine Leiter der Länge 7,5 m lehnt in der Höhe 6,6 m an einer Hauswand.
b. Bestimme den Winkel α zwischen Leiter und Fußboden.
sin α =
6,6 m
7,5 m
⇒
α = 61,6°
c. Wie weit ist das untere Ende von der Hauswand entfernt?
x
7,5 m
cos α =
⇒
x = 7,5 m ⋅ cos 61,6°
⇒
x = 3,6 m
d. Die Leiter wird auf die Hälfte der Wand, d.h. auf 3,3 m, angelegt. Halbiert sich
damit auch der Winkel α?
sin α ' =
3,3 m
7,5 m
⇒
α ' = 28,1° ≠
α
2
6. Die Rohrleitung eines Wasserkraftwerks fällt um 360 m. Auf einer Karte 1 : 25 000
misst sie 3,2 cm. Berechne ihren Steigungswinkel und ihre Länge.
tan α =
3,2 cm ⋅ 25000
800 m
=
360 m
360 m
sin α =
800 m
x
⇒
x =
⇒
800 m
sin 65,8°
α = 65,8°
⇒
x = 880 m
7. Welchen Flächeninhalt hat dieses Parallelogramm mit c = 10 cm, d = 8 cm und
δ = 60°?
D
δ
A = d ⋅ hd
c
hd
C
mit sin δ =
hd
c
A = d ⋅ c ⋅ sin δ = 8 cm ⋅ 10 cm ⋅ sin 60°
d
b
A = 69 cm 2
A
a
B
8. Ein Quader hat die Kanten a = 5 cm, b = 4 cm und c = 3 cm. Berechne die
Winkel α, β und γ, welche die Raumdiagonale mit den Kanten a, b und c
bildet.
d =
a2 + b2 + c2 =
5 cm
a
=
cos α =
d
50 cm
4 cm
b
=
cos β =
d
50 cm
3 cm
c
=
cos γ =
d
50 cm
50 cm
⇒
α = 45°
⇒
β = 55,6°
⇒
γ = 64,9°