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Frühstücksbrötchen (2011)
Teilaufgabe 1
Angabe des richtigen Preises 3,90 (€) und Darlegung des Rechenweges.
Dies kann in rechnerischer oder verbal beschreibender Form erfolgen.
RICHTIG
Z. B.:
6 ⋅ 0,35 € + 4⋅ 0,45 € = 3,90 €
ODER
3,90 €
Ich habe 6 mal 0,35 € und 4 mal 0,45 € gerechnet. Die Ergebnisse habe ich
dann zusammengerechnet.
Teilaufgabe 2
Angabe des richtigen Betrags 3,25 (€) und Darlegung des Lösungsweges.
Dies kann in rechnerischer oder verbal beschreibender Form erfolgen.
Z. B.:
5 € - 5 ⋅ 0,35 € = 3,25 €
RICHTIG ODER
3,25 €
Ich habe von den 5 € den Preis der fünf Brötchen abgezogen.
ODER
3,25 €
Ich habe 5 mal 0,35 € gerechnet und das Ergebnis von den 5 € abgezogen.
Teilaufgabe 3
Richtige Antwort (Ja) UND Begründung der Antwort durch Verweis auf den
zur Verfügung stehenden Betrag und den Preis der Brötchen.
Z. B.:
Ja, die 10 € reichen, da die Brötchen zusammen 9,60 € kosten.
ODER
RICHTIG Ja, die 10 € reichen, denn es bleiben 40 Cent übrig.
ODER
12 ⋅ 0,35 € = 4,20 € und 12 ⋅ 0,45 € = 5,40 €. 4,20 € + 5,40 € = 9,60 €
ODER
Ist der Ansatz korrekt und liegt jedoch ein „kleiner Rechenfehler“ vor, wird
die Aufgabe als „Richtig“ gewertet.
Wundersame Rechenergebnisse
Teilaufgabe 1
Z. B. 6573 ⋅ 10001 = 65736573
1085 ⋅ 10001 = 10851085
Anm.: Statt 6573 und 1085 können auch beliebige andere vierstellige Zahlen
gewählt werden. Das jeweilige Produkt muss zwei sich wiederholende
Ziffernfolgen des von 10001 verschiedenen Faktors aufweisen.
RICHTIG
Auch die Angabe zweier Aufgaben derart: 12345 ⋅ 100001 = 1234512345
wird akzeptiert. Hier wurde die Anzahl der Nullen nicht um 1 erhöht, sondern
verdoppelt.
Wird das Bildungsgesetz z. B. in der Form ABCD ⋅ 10001 = ABCDABCD
notiert, ist dies auch richtig.
Teilaufgabe 2
Ergänzung des Textes in der Form:
„Wenn man eine dreistellige Zahl mit 1001 multipliziert, dann erhält man
das Ergebnis, indem man die Ausgangszahl zweimal hintereinander
schreibt (und als sechsstellige Zahl interpretiert).“
UND
Richtige allgemeine Begründung der Aussage unter Bezug auf die
Auswirkungen einer Multiplikation mit 1000 auf den Stellenwert der
einzelnen Ziffern sowie die anschließende Addition der gegebenen Zahl.
Anmerkungen:
• Der Stellenwert der einzelnen Ziffern bzw. deren Veränderung muss dabei
RICHTIG nicht angegeben werden.
• Die Begründung kann in algebraischer oder verbal beschreibender Form
erfolgen.
• Der Fokus liegt auf der Richtigkeit der Begründung.
Z. B.:
Die Ziffern xyz wiederholen sich.
ODER
Statt eine Zahl mit 1001 zu multiplizieren, kann man die Zahl auch mit 1000
multiplizieren und zum Ergebnis diese Zahl noch einmal addieren.
Dabei erhält man als Ergebnis nichts Anderes als zweimal die gegebene
Zahl hintereinander geschrieben, da bei der Multiplikation mit 1000 drei
Nullen angehängt werden. Diese werden bei der Addition der gegebenen
Zahl durch deren Ziffern „ersetzt“.
ODER
Wenn man eine beliebige dreistellige Zahl mit 1001 malnimmt, rechnet man
immer
RICHTIG
z1 z2 z3
+ z1 z2 z3 0 0 0
= z1 z2 z3 z1 z2 z3
Anm.: Obwohl der explizite Hinweis 1001 = 1000 + 1 fehlt.
ODER (Grenzfall)
Es gilt n ⋅ 1001 = n ⋅ 1000 + n ⋅ 1
n ist eine beliebige dreistellige Zahl
Anm.: Das allgemeine Prinzip wurde offensichtlich verstanden. Es fehlt aber
die explizite Feststellung, dass n ⋅ 1000 das n an die 4. - 6. Stelle von rechts
hinbringt und dadurch rechts davon den Platz für n lässt.
Schulkleidung
Teilaufgabe 1
Die Lösung ist als richtig zu werten, wenn
• die drei Säulen für „ja“, „nein“ und „keine Angaben“ in demselben Maßstab
gezeichnet sind und jeweils die richtige Höhe haben,
• die Säulen bzw. die Hochachse sollen nachvollziehbar beschriftet sein (auf
der Hochachse genügt dabei die Angabe eines Wertes)
Anmerkungen:
• 658 der Befragten haben keine Angaben gemacht. (Auch: 3,7 % von 17812
≈ 659 wird akzeptiert.)
• Zeichentoleranz: ± 1 mm
• Im Säulendiagramm können Absolut- oder Prozentangaben dargestellt
werden.
• Die Angabe der Überschrift des Diagramms ist nicht zwingend erforderlich.
Mögliche Lösungen:
Mit absoluten Zahlen:
Befragte
RICHTIG
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Bereitschaft Schulkleidung zu tragen
ja
nein
keine
Angabe
Mit Prozent:
60%
Bereit Schulkleidung zu tragen
50%
40%
30%
20%
10%
0%
ja
nein
keine
Angabe
ODER (Grenzfall)
Statt eines Säulen- wird ein Balkendiagramm gezeichnet (Waagerechte
Ausrichtung der drei Säulen).
RICHTIG
ODER (Grenzfall)
Statt Säulen werden Striche gezeichnet.
ODER (Grenzfall)
Nur zwei von drei Säulen werden beschriftet.
Teilaufgabe 2
Eine Lösung soll als richtig gewertet werden, wenn herausgestellt wird, dass
sich die Prozentangaben nur auf die Höhe beziehen, aber durch die
Darstellung als Dreieck der untere Teil der Figur (das Trapez) optisch sehr
viel stärker betont wird.
Folgende zwei Bewertungskriterien müssen erfüllt sein:
1. die Fläche für „nein“ wird benannt (z. B. „unten“) UND
2. als größer dargestellt beschrieben (z. B. „mehr“, „größer“, „flächiger“;
„dunkel“ allein reicht nicht aus)
RICHTIG
Anmerkungen:
• Die Lösung ist auch richtig, wenn analog mit der oberen kleineren
Teilfläche argumentiert wird.
• Eine Lösung ist auch als richtig zu akzeptieren, wenn die Figur räumlich
interpretiert wird (z.B. als Pyramide).
Z. B.:
Zwar entsprechen die Höhen der beiden Teilfiguren (Dreieck und Trapez)
den Umfrageergebnissen, die Flächeninhalte jedoch nicht. Der Flächeninhalt
des Trapezes ist größer, so dass man leicht denken kann, dass die Antwort
„nein“ deutlich überwiegt.
ODER
Das Dreieck ist unten breiter, deshalb sieht es so aus, als ob das Dunkle
mehr wäre. Oben wird es schmaler und das Helle sieht weniger aus.
ODER
Sie hat „nein“ als Unterteil des Dreiecks genommen, welches dann breiter
und auffälliger ist.
ODER
Sie hat den unteren Teil der „Säule“ breiter dargestellt, der dadurch größer
wirkt.
ODER
Weil die Pyramide unten sehr dick und breit ist, sieht das aus, als ob sehr
RICHTIG viele Schüler dagegen sind.
ODER (Grenzfall)
Weil das unten mehr aussieht.
ODER (Grenzfall)
Weil die Fläche für „nein“ größer ist.
ODER (Grenzfall)
Lisas Position wird durch die unterschiedlich großen Flächeninhalte beider
Teilfiguren verdeutlicht.
ODER (Grenzfall)
Sie hat für die Prozentzahl für „nein“ die untere Hälfte der Pyramide gewählt,
so sieht es mehr aus, weil es mehr Volumen hat.
Weitsprung
Teilaufgabe 1
Eine Beschreibung, wie man den Mittelwert berechnet. Dies kann
rechnerisch (auch an einem konkreten Beispiel) oder verbal beschreibend
erfolgen.
Z.B.:
Ich addiere alle 3 Weiten und dividiere das Ergebnis dann durch drei.
ODER
Ich nehme den ersten Wert geteilt durch drei plus den zweiten Wert geteilt
durch drei plus den dritten Wert geteilt durch drei.
ODER
Man zählt 4,10; 3,86 und 3,92 zusammen und teilt das Ganze dann durch
RICHTIG drei.
ODER
Man zählt die Werte in den Spalten C, D, E zusammen und teilt sie dann
durch 3.
ODER
4,10 + 3,86 + 3,96
= 3,96
3
ODER (Grenzfall)
Man bildet das arithmetische Mittel der Spalten C, D und E.
Teilaufgabe 2
C 2 + D2 + E 2
3
ODER
F2 =
C 2 + D2 + E 2
3
ODER
(C2 + D2 + E2) : 3
RICHTIG ODER
(C2 + D2 + E2)/3
ODER
=MITTELWERT(C:E)
ODER
=MITTELWERT(C;D;E)
Anm.: Syntaxfehler sollen nicht gewertet werden.
Teilaufgabe 3
2 Nachkommastellen werden als richtig gewertet UND angemessene
Begründung.
Z. B.:
Da man Sprünge höchstens auf cm genau misst, sind zwei
Nachkommastellen ausreichend.
ODER
Da nur auf zwei Nachkommastellen genau gemessen wurde, sind in Spalte
F auch nur (höchstens) zwei Nachkommastellen sinnvoll.
Anm.: Auch richtig, wenn analog mit der gemessenen Maßeinheit „cm“
argumentiert wurde.
RICHTIG ODER
In den Spalten C, D und E wurden nur 2 Stellen gemessen.
ODER
Bei Sprüngen haben die Millimeter keine Bedeutung mehr. So genau kann
man gar nicht messen.
ODER (Grenzfall)
Man kann (mit einem Maßband) nur auf zwei Nachkommastellen genau
messen.
ODER (Grenzfall)
1 Nachkommastelle wird auch als richtig gewertet, wenn eine angemessene
Begründung gegeben wird.
Teilaufgabe 4
Ein nachvollziehbares Argument dafür, dass Anna die beste Weitspringerin
der Klasse ist, wird gegeben.
Anm.: Vereinfachend darf angenommen werden, dass Sara, falls sie nicht
die Beste ist, zumindest als zweitbeste angesehen werden darf. Daher reicht
auch ein direkter Vergleich mit Sara aus (statt eines Vergleichs mit den
Schülern der ganzen Klasse).
RICHTIG
Z. B.:
Anna ist die beste, da sie den weitesten Sprung von allen hat.
ODER
Anna ist besser, da sie zweimal am weitesten gesprungen ist (bzw. weiter
als Sara) und nur beim dritten Sprung schlecht abgeschnitten hat.
ODER
Sara ist NUR in der mittleren Weite besser als Anna.
ODER
Anna ist einmal 4,62 m gesprungen.
Tarifvergleich
Teilaufgabe 1
Eine richtige Antwort umfasst mindestens eine der folgenden Wertungen:
• die Höhe der Säulen passt nicht zu den angegebenen Inklusiveinheiten.
• die Höhe der Säulen passt nicht zu den angegebenen Grundgebühren.
Anm.: Es muss eine Relation hergestellt werden, d. h. es müssen mind. 2
Säulen miteinander verglichen werden.
Z. B.
Sie meint, dass die 100er-Säule eigentlich doppelt so hoch wie die 50erSäule sein müsste, und die 200er-Säule doppelt so hoch wie die 100erSäule sein. Die 1000er-Säule müsste 5mal so hoch wie die 200er-Säule
RICHTIG sein.
ODER
Die Säulen haben alle denselben Abstand in der Höhe.
ODER (Grenzfall)
Der Unterschied z. B. der 200er-Säule und der 1000er-Säule ist viel zu
niedrig.
ODER (Grenzfall)
Die Unterschiede zwischen den Säulen sind viel zu klein.
Anm.: Idee der Relation ist erkennbar.
Teilaufgabe 2
Grafik 1: Dargestellt wird die Anzahl der Inklusiveinheiten in den einzelnen
Tarifen.
Grafik 2: Dargestellt werden die Grundgebühren (in €) der einzelnen Tarife.
Gleichbedeutende Formulierungen werden ebenfalls als richtig kodiert.
Für „Inklusiveinheiten“ sind dies z. B: „All-in“-Einheiten, „Einheiten, die man
RICHTIG
nicht bezahlen muss“, „Freieinheiten“ oder „Einheiten“ etc.
Für „Grundgebühren“ sind dies z. B: „Grundpreis pro Monat“, „Was man
jeden Monat zahlen muss, auch wenn man nicht telefoniert“, „Was sowieso
auf der Rechnung steht“, „Preis pro Monat“, „Preis der Tarife“ oder
„Mindestpreis“ etc.
Anm: Die bloße Angabe „Preis“ oder „Euro“ reicht nicht aus.
Teilaufgabe 3
Eine richtige Antwort umfasst mindestens einen der folgenden Aspekte:
• die Nicht-Existenz von Zwischenwerten wird erkannt oder
• die Achseneinteilung oder -beschriftung wird kritisiert.
Mögliche Erläuterungen:
Es sieht aus, als gäbe es Zwischenwerte bei den Grundgebühren.
ODER
Es sieht aus, als gäbe es Zwischenwerte bei den Inklusivminuten.
ODER
Man weiß nicht, wo ein Tarif anfängt oder aufhört.
Anm.: Suggeriert, dass Zwischenwerte existieren.
ODER
Es sieht aus, als würden die Grundgebühren (jeweils) zwischen zwei Tarifen
gleichmäßig/ konstant ansteigen.
RICHTIG
ODER
Es sieht aus, als könnte man ablesen, wie viele Inklusivminuten man bei
einer beliebigen Grundgebühr erhielte.
ODER
Es sieht aus, als könnte man ablesen, welche Grundgebühr man bei einer
beliebigen Anzahl Inklusivminuten bezahlen müsste.
ODER
Die erste Achse ist verkürzt dargestellt.
ODER
Die 9 fällt auf die Null.
ODER (Grenzfall)
Es sieht aus, als gäbe es Zwischenwerte.
Anm.: Es ist unklar, ob die Grundgebühren oder die Inklusivminuten gemeint
sind.
ODER (Grenzfall)
Die Achsenbeschriftung (Achsenbeschriftungen) fehlt (fehlen).
ODER (Grenzfall)
Die x-Achse wurde nicht richtig eingeteilt.
Würfeln mit zwei Würfeln
Teilaufgabe 1
(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)
Die Ergebnisse können auch in anderer Reihenfolge oder anderer
Darstellungsform angegeben werden, z. B. durch Einkreisen der
RICHTIG
zugehörigen „Würfe“ o. ä.
Z. B.:
1 und 5, 2 und 4, zweimal die drei, 4 und 2, 5 und 1
Teilaufgabe 2
1
(alle gleichwertigen Darstellungen erlaubt)
6
RICHTIG
Z. B.:
6
36
ODER
0,16
ODER
Ca. 17 %
Teilaufgabe 3
Es ist mindestens eine 1 dabei.
Die Würfelsumme ist genau 9.
RICHTIG
Die Würfelsumme ist genau 2.
Es ist genau eine 5 dabei.
Chancen
Teilaufgabe 1
Genau 4 Kreissektoren werden ausgemalt. Die Auswahl der Kreissektoren
ist beliebig.
z. B.
RICHTIG
Anm.: Die Kreissektoren müssen nicht vollständig gefärbt sein. Sie können
auch mittels Kreuzen markiert werden.
Teilaufgabe 2
Richtige Antwort Kreuz bei "Bei Michaels Glücksrad und bei Julias Glücksrad
ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich." UND richtige Begründung, in
welcher entweder auf die Wahrscheinlichkeiten verwiesen, auf die gefärbten
Flächenanteile oder die Zahl der gefärbten Felder eingegangen wird.
z. B.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt bei beiden Glücksrädern
1
.
2
RICHTIG ODER
Sowohl bei Michael als auch bei Julia sind 6 von 12 Feldern eingefärbt. Die
Gewinnwahrscheinlichkeiten sind also gleich.
ODER (Grenzfall)
Beide Glücksräder sind gleich gefärbt.
ODER (Grenzfall)
6
6
=
12 12
Restaurantgewinnspiel
Teilaufgabe 1
richtig
falsch
Durchschnittlich jede einhundertste Rechnung muss nicht
bezahlt werden.
Bei 100 Gästen darf mit Sicherheit einer umsonst essen .
RICHTIG
Die Wahrscheinlichkeit , dass die Rechnung nicht bezahlt
werden muss, liegt bei 1 %.
Jeden Abend muss mindestens ein Gast sein Essen nicht
bezahlen.
Teilaufgabe 2
RICHTIG
7
100
10
100
19
100
20
100
7
10
Teilaufgabe 3
„Nein“ wird angekreuzt UND in der Begründung wird auf die sich nicht
verändernde Ausgangssituation, warum jeder Gast dieselbe
Gewinnwahrscheinlichkeit hat, Bezug genommen.
Z. B.:
Dies ist so, weil immer die gleichen 100 Kugeln im Behälter sind. Damit ist
die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bei jedem Gast gleich.
ODER
Dies ist so, weil die Kugeln immer wieder zurückgelegt werden und die
RICHTIG
nächste Kugel nicht weiß, welche vorher gezogen wurde. („Der Zufall hat
kein Gedächtnis.“)
ODER
Es bleiben immer gleich viele Kugeln im Behälter. Also bleibt die
Wahrscheinlichkeit immer unverändert.
ODER
Es stimmt nicht, da er auch keine anderen Bedingungen hat als die anderen,
die nicht gewonnen haben.
ODER
Das stimmt nicht, da die Gewinnwahrscheinlichkeit für jeden Gast 1 %
beträgt, egal ob schon viele verloren haben.
RICHTIG ODER
Weil die Kugel immer wieder zurückgelegt wird.
ODER (Grenzfall)
Es hat nichts damit zu tun, ob heute schon jemand gewonnen hat.
Winkel im Parallelogramm
Der Umfang des Parallelogramms ist für α = 90° am kleinsten.
UND Angabe einer Begründung, in der die systematische Variation des
Winkels α deutlich wird und der Zusammenhang zwischen der Größe des
Winkels α und der Länge des Umfangs erläutert wird. Dabei müssen mind.
die beiden Fälle α < 90° und α = 90° (α > 90° optional) betrachtet werden.
Alternativ kann auch über den Abstand zweier Punkte und dessen Definition
argumentiert werden.
Anm.: Es muss deutlich werden, dass der Umfang berücksichtigt wurde.
Mögliche Überlegungen:
Z. B.:
Verschiebt man die Seite CD immer weiter nach links, wird der Umfang des
Parallelogramms erst kürzer und nach α = 90° wieder länger. Bei α = 90° ist
der Umfang am kürzesten, denn dann sind die Seiten AD und BC genauso
lang wie der Abstand der Parallelen.
ODER
Bei α = 90° ist der Umfang am kleinsten, denn dann ist die Länge der beiden
Seiten AD und BC gleich dem Abstand der Parallelen und der Abstand
RICHTIG
zweier Punkte ist deren kürzeste Verbindung.
ODER (Grenzfall)
Alle diese Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt (muss nicht
weiter begründet werden). Unter allen diesen Parallelogrammen hat jenes,
das ein Rechteck ist, den kleinsten Umfang. Also ist der gesuchte Winkel
90° groß.
ODER (Grenzfall)
Lässt man CD auf der Parallelen h liegen und macht AD (und damit auch
BC ) kürzer, so wird α größer. Wenn AD (und BC ) am kürzesten sind, ist
α = 90°. Verlängert man AD (und damit auch BC ) in die andere Richtung,
vergrößert sich α wieder.
Anmerkung: Hier wird zwar nichts über CD und AB bzw. über den Umfang
des Parallelogramms ausgesagt, aber es ist erkennbar, dass sich dieser in
Abhängigkeit der Größe des Winkels α verändert.
ODER (Grenzfall)
Je spitzer (stumpfer) α ist, umso größer ist der Umfang des
Parallelogramms. Also ist er in der Mitte am kleinsten. Dies ist bei α = 90°
der Fall.
Köthener Quadrate
In der Begründung ist nachzuweisen, dass die vier Dreiecksflächen und das
innere Quadrat flächeninhaltsgleich sind, z.B. durch Bezug auf
Zerlegungsgleichheit oder Flächeninhaltsformeln.
Mögliche Begründungen:
Klappt man die vier Dreiecksflächen nach innen, so überdecken diese
zusammen das gesamte innere Quadrat.
ODER
Durch Einzeichnen der Diagonalen lässt sich das innere Quadrat in vier
Dreiecke unterteilen, die jeweils deckungsgleich zu den vier äußeren
Dreiecken sind.
RICHTIG
ODER
Zeichnet man in das innere Quadrat die Diagonalen ein, so entstehen vier
kongruente Dreiecke. Jedes dieser Dreiecke ist flächeninhaltsgleich zu
einem äußeren Dreieck. Das große Quadrat besteht also aus acht
kongruenten Teildreiecken, von denen je vier inner- und außerhalb des
inneren Quadrats liegen.
ODER
Die ungefähren Größen der Anbauflächen für Kopfsalat (vier äußere
Dreiecke) und für die Sonnenblumen (inneres Quadrat) werden einzeln
errechnet und miteinander verglichen.
50m ⋅ 50m
Es gibt vier äußere Dreiecke mit Aäußeres Dreieck=
.
2
Für den Kopfsalat steht eine Fläche von
50m ⋅ 50m
Avier äußere Dreiecke=
⋅4=5000m2 zur Verfügung.
2
Die Anbaufläche der Sonnenblumen kann in vier Dreiecke unterteilt werden
50m ⋅ 50m
mit Ainneres Dreieck=
. Zusammen nehmen die Sonnenblumen eine
2
50m ⋅ 50m
Fläche von Avier innere Dreiecke=
⋅4=5000m2 ein.
2
Beide Anbauflächen sind also gleich groß.
ODER
RICHTIG
ODER
Weil die Ecken des Quadrats immer in der Mitte des größeren Quadrats
sind.
ODER
Ein Teil der Argumentation kann auch ersetzt werden durch direkte
Kennzeichnungen im gegebenen Foto (z. B. auf kongruente Teilflächen
hinweisende Pfeile).
ODER (Grenzfall)
Weil die vier äußeren Dreiecke zusammen das innere Quadrat ergeben.
Zahlensumme (2012)
Richtige Antwort (Nein) UND richtige Begründung, auch durch Angabe eines
begründeten Gegenbeispiels.
z. B.
a
3
Wenn a ein Vielfaches von 3 ist, dann ist n eine natürliche Zahl.
Es können also nur Zahlen, die durch drei teilbar sind, als Summe von drei
aufeinanderfolgenden Zahlen dargestellt werden.
(n − 1) + n + (n + 1) = a
3n = a
n=
ODER (Gegenbeispiel)
Es gilt: 1+2+3=6.
RICHTIG Die nächste solche Summe ist: 2+3+4=9.
Also lassen sich die Zahlen 7 und 8 nicht als Summe von drei
aufeinanderfolgenden Zahlen darstellen. Somit geht es nicht bei allen
natürlichen Zahlen.
ODER (Gegenbeispiel)
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen soll 14 sein:
14
n + (n − 1) + (n + 1) = 14 3n = 14 n =
3
14
2
oder 4 oder 4,67 ist keine natürliche Zahl. Also geht es nicht bei allen
3
3
natürlichen Zahlen.
ODER (inhaltlich)
Bildet man die Summe von drei Nachbarzahlen, so ist das dasselbe, wie
wenn man die mittlere Zahl mit 3 multipliziert. Hierdurch lassen sich aber nur
Zahlen, die durch drei teilbar sind, darstellen.
ODER (zeichnerisch)
RICHTIG
Die darstellbaren Summen sind also immer nur Vielfache von 3.
Quadratdifferenz
Teilaufgabe 1
Sowohl Summe als auch Differenz müssen korrekt berechnet werden:
12+11=23 UND 144-121=23
z. B.
RICHTIG 23
UND
144-121=23
Anm.: Die Summenbildung muss nicht explizit nochmals notiert werden. Es
genügt die Angabe der Differenz 144-121.
Teilaufgabe 2
Richtige Antwort (13 und 14) UND richtige Rechnung zur Überprüfung.
z. B.
13, 14
Die Zahlen sind richtig, denn 14 2 -13 2 =196-169=27$
Anm.: Der Ausdruck „196 – 169“ muss nicht explizit in der Gleichung
auftauchen.
RICHTIG
ODER (Grenzfall)
14 2 und 13 2 werden als Zahlen genannt, die Rechnung zur Überprüfung
wird jedoch richtig durchgeführt.
ODER (Grenzfall)
196 und 169 werden als Zahlen genannt, die Rechnung zur Überprüfung
wird jedoch richtig durchgeführt.
Teilaufgabe 3
a 2 − b 2 = a 2 − (a − 1) 2 = a 2 − a 2 + 2a − 1 = 2a − 1⎫ 2 2
⎬a −b = a + b
a + b = a + (a − 1) = 2a − 1
⎭
2
2
Anm.: Der Ausdruck a − b = a + b muss nicht in der Lösung angegeben
werden.
ODER
a 2 − b 2 = (a − b)·(a + b) = (a − (a − 1))·(a + (a − 1)) = 1·(2a − 1) = 2a − 1 =
a + a −1 = a + b
ODER
a 2 − b 2 = (a + b)· (a − b) = (a + b)·1 = a + b
RICHTIG
ODER
Zeichnerisch
a
1
b
a
b
1
Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche lässt sich auf zwei Arten
berechnen:
A = a2 - b2
A = 1⋅a + 1⋅(a - 1) = 1⋅a + 1⋅b
Also gilt: a2 - b2 = a + b
ODER (Grenzfall)
Sind alle Umformungen korrekt durchgeführt, wurde aber (a-1) am Ende
RICHTIG nicht durch b ersetzt, ist dies trotzdem als richtig zu bewerten.
Beispiel:
a 2 − b 2 = (a − b)·(a + b) = (a − (a − 1))·(a + (a − 1)) = 1·(2a − 1) = 2a − 1 = a + (a − 1)
Zufallsversuche
Teilaufgabe 1
Ereignis
Die Augenzahl ist gerade .
RICHTIG
Die Augenzahl ist durch 5 teilbar.
Die Augenzahl ist kleiner als 5.
Ergebnisse (Ausgänge)
2, 4, 6, 8, 10, 12
5, 10
1, 2, 3, 4
Die Augenzahl ist zweistellig und ungerade .
11
Anm.: Die Tabelle muss vollständig ausgefüllt sein.
Teilaufgabe 2
Richtig ist die Beschreibung eines Ereignisses mit nur drei Ergebnissen.
Diese müssen nicht genannt werden.
z. B.
Die Augenzahl ist kleiner als 4.
RICHTIG
ODER
Der Würfel zeigt eine 5, 6 oder eine 11.
ODER
Die Augenzahl ist zweistellig.
ODER
Die Augenzahl ist durch 4 teilbar.
Teilaufgabe 3
Häufigste Augensumme (13) UND richtige Begründung unter Verweis auf
deren relative/absolute Häufigkeit in Abgrenzung zur relativen/absoluten
Häufigkeit der anderen möglichen Augensummen.
RICHTIG
z. B.
Die Augensumme 13 ist am häufigsten, da sie in 12 von 144 Kombinationen
fällt. Für alle anderen Augensummen gibt es weniger
Kombinationsmöglichkeiten (siehe Übersicht).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Anm.: Die Tabelle muss nicht vollständig sein, wenn daraus hervorgeht,
RICHTIG dass die 13 als Diagonale in jeder Spalte und Zeile vorkommt. Alternativ
könnte der Ergebnisraum auch mittels eines verkürzten Baumdiagramms
dargestellt werden.
ODER
Die Argumentation über Symmetrie: Mögliche Augensummen sind 2, 3, ...,
24. Die Zahl in der Mitte kommt am häufigsten vor. Dies ist die 13.
Anm.: Diese Lösung muss keine tabellarische Übersicht aller möglichen
Ergebnisse aufweisen.
ODER
Die Zahl des 1. Würfels kann mit 12 verschiedenen Zahlen des 2. Würfels
kombiniert werden. Die 2 ist dabei die kleinste Augensumme, die 24 die
größte Augensumme. Die 13 ist dabei die häufigste Augensumme. Dies liegt
daran, dass egal welche Zahl der 1. Würfel zeigt, der 2. Würfel immer eine
passende Augenzahl zeigen kann, so dass sich als Summe 13 ergibt. Dies
ist bei den anderen Zahlen nicht der Fall. Denn zeigt der 1. Würfel z. B. eine
12, dann kann niemals eine Augensumme kleiner als 13 herauskommen.
Zeigt der 1. Würfel hingegen eine 1, kann keine Augensumme größer als 13
herauskommen. Die Augensumme 13 ist bei beiden Fällen aber möglich.
Teilaufgabe 4
RICHTIG
2n
n·n
n+1
n+2
Kreise und Vierecke
Teilaufgabe 1
RICHTIG
Anm.: In der Zeichnung sollen die Hilfslinien (Diagonalen des Quadrats)
erkennbar sein.
Zeichentoleranz: ± 1 mm
Teilaufgabe 2
Richtige Antwort (Nein) UND Angabe einer Begründung (als Skizze oder
verbal), die erkennen lässt, dass die beiden anderen Eckpunkte einer Raute
nicht auch auf der Kreislinie liegen müssen.
Zeichentoleranz: ± 1 mm
z. B.
Der Kreismittelpunkt ist Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Raute.
Diese stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Nur falls beide
Diagonalen auch Durchmesser des Kreises sind, liegen alle 4 Eckpunkte auf
der Kreislinie. Dann ist es aber eine spezielle Raute (Quadrat).
ODER
Bei der Raute liegen nur zwei Ecken auf der Kreislinie, also stimmt Martins
Aussage nicht für jede Raute.
RICHTIG
ODER
Dies geht nur bei einem Quadrat.
Anm.: "Nur" deutet auf das Erkennen des Spezialfalls Quadrat als
besondere Raute hin.
ODER (Grenzfall)
Eine Raute wird gezeichnet.