Skript - Frank Reinhold

Universität Regensburg
Fakultät Physik
Experimentalphysik 1
Mechanik
PD Dr. Ulrich T. Schwarz
Wintersemester 2007/2008
LATEX: Frank Reinhold
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
7
2 Grundbegriffe der Bewegung
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes . . . . . . . . . . . .
2.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
b)
Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . .
c)
Allgemeine krummlinige Bewegung . . . . . . . .
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11
14
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3 Newtonsche Axiome
3.1 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Hrafreibung . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
Strömungswiderstand . . . . . . . . . .
3.4 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Torsionswaage - Cavendich Experiment
b)
Fallgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . .
3.5 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Energie- und Impulserhaltung
4.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . .
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie .
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz . . . . .
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen .
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie . . . .
4.6 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Vollkommen inelastischer zentraler Stoß . . .
b)
Vollkommen elastischer zentraler Stoß . . . .
4.9 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Masseschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Stoßprozesse, Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . .
b)
Elastische Stöße im Schwerpunktsystem . . .
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5 Rotation
53
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
a)
Drehmoment und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
Inhaltsverzeichnis
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
6 Die
6.1
6.2
6.3
b)
Erhaltung der Drehimpulse . . . . . . .
System von Massepunkten . . . . . . . . . . . .
a)
Drehimpuls und Drehmoment . . . . . .
b)
Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . .
Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Allgemeine freie Bewegung . . . . . . .
b)
Bewegung des Schwerpunktes . . . . . .
c)
Bestimmung des Schwerpunktes . . . . .
d)
Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . .
e)
Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . .
Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotation eines beliebigen Körpers . . . . . . . .
Der symmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . .
a)
Kräftefreier symmetrischer Kreisel . . .
b)
Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . .
c)
Präzession des symmetrischen Kreisels .
Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem . . .
a)
Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem
b)
Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . .
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64
67
67
68
69
71
71
72
feste Materie
77
Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Scherung und Torionsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Schwingungen
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators
b)
Energie im harmonischen Oszillator . . . . . . . .
7.2 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
Energie des gedämpften harmonischen Oszillators .
c)
Die Güte des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . .
d)
Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . .
e)
Starke Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . .
b)
N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung . . . . . . . . . . . .
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86
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91
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8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.1 Nichtlinearer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels
b)
Berechnung der Schwingungsperiode . . . . .
c)
Beschreibung im Phasenraum . . . . . . . . .
8.2 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Selbsterregende Schwingungen . . . . . . . . . . . . .
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos . . . . . . . . . . . .
a)
Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung) . . . . .
b)
Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
97
98
98
100
103
104
104
104
9 Mechanische Wellen
4
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107
Inhaltsverzeichnis
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
Sinusförmige (harmonische) Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e)
Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f)
Eigenschwingung einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g)
Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . . . . . . . . . . .
Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern . . . . . .
b)
Stehende Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
Wellen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e)
Akustischer Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f)
Mach’scher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wasserwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
b)
Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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107
109
109
110
111
112
113
114
115
115
117
118
118
119
120
120
121
123
123
123
Abbildungsverzeichnis
125
Literaturverzeichnis
129
5
Inhaltsverzeichnis
6
1 Einführung
Abbildung 1.1: Die klassische Mechanik
Klassische Mechanik:
• Zeit hängt nicht vom Bezugssystem ab
• Massepunkte, asugedehnte Körper
7
1 Einführung
8
2 Grundbegriffe der Bewegung
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes
kartesische Koordinaten
Abbildung 2.1: kartesische Koordinaten
~r = (x, y, z)
(2.1)
Zylinderkoordinaten
Abbildung 2.2: Zylinderkoordinaten
9
2 Grundbegriffe der Bewegung
~r = (r, ϕ, z)
(2.2)
x = r cos ϕ
(2.3)
y = r sin ϕ
(2.4)
z=z
(2.5)
Beispiel: Pendel in der Tafelebene
Abbildung 2.3: Pendel in der Tafelebene
~r(t) = (L, ϕ(t), 0)
⇒ Reduktion auf 1-dimensionales System
Sphärische Koordinaten (Kugelkoordinaten)
10
(2.6)
2.2 Geschwindigkeit
Abbildung 2.4: Kugelkoordinaten
~r = (r, ϑ, ϕ)
(2.7)
x = r sin ϑ cos ϕ
(2.8)
y = r sin ϑ sin ϕ
(2.9)
z = r cos ϑ
(2.10)
2.2 Geschwindigkeit
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ist
∆~r
∆t
hmi
(2.11)
s
Abbildung 2.5: Geschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit ~v eines Massepunktes ist die Änderung des Ortsvektors ~r in einer
infinitesimal kleinen Zeit
~v = lim
∆t→0
∆~r
d~r
=
= ~r˙
∆t
dt
(2.12)
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor
~r = (vx , vy , vz ) =
dx dy dz
, ,
dt dt dt
= (ẋ, ẏ, ż)
(2.13)
~v ist tangential zur Bahnkurve
11
2 Grundbegriffe der Bewegung
Abbildung 2.6: Tangentenvektor
Weg-Zeit-Diagramm
Abbildung 2.7: Weg-Zeit-Diagramm
1-dimensionale Bewegung, Projektion auf 1-Achse
dz dt t=t0
(2.14)
q
vx2 + vy2 + vz2
(2.15)
vz (t0 ) =
Betrag der Geschwindigkeit
|~v | = v =
Geradlinig gleichförmige Bewegung
~v (t) =
Geschwindigkeit ist zeitabhängig
Versuch: Luftkissenfahrzeug
12
d~r
= ~v0
dt
(2.16)
2.2 Geschwindigkeit
Abbildung 2.8: Luftkissenfahrzeug
2rπ
n
X
x=
∆xi
∆x =
n Löcher
(2.17)
(2.18)
i
dx
∆x
≈
∆t
dt
Z t
Z t
d~r 0
~r(t) =
dt
=
~v0 t + const.
0
0 dt
0
⇒ ~r(t) = ~v0 t + ~r0
v=
für kleine ∆x
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Integrationskonstante aus Anfangsbedingung ~r(t = 0) = ~r0 .
Beispiel: Wähle Koordinatensystem so, dass ~v0 kêx .
⇒ 1-dimensionale Bewegung
x(t) = vx t + x0
(2.22)
Abbildung 2.9: 1-dimensionale Bewegung
Bewegte Bezugssysteme
• Der Raum ist isotrop und homogen
• Die Grundgesetze der Physik sind für zwei gleichförmig zueinander bewegte Beobachter gleich
System S 0 (z.B. Zug) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit ~u relativ zum System S (z.B. Bahnsteig)
13
2 Grundbegriffe der Bewegung
Abbildung 2.10: Bewegte Bezugssysteme
Galilei-Transformation
~r = ~r0 + ~ut
(2.23)
0
~v = ~v + ~u
(2.24)
0
(2.25)
t=t
• Mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Bezugssysteme heißen Inertialsysteme
• Zeit ist unabhängig vom Intertialsystem (für |~u| c)
• Die Gesetze der klassischen Mechanik sin invariant gegen Galilei-Transformation, d.h. gleiches Cerhalten unabhängig vom gewählten Inertialsystem
2.3 Beschleunigung
Bechleunigung ~a (acceleration) definiert als Änderung der Geschwindigkeit ~v in einem infinitesimalen
Zeitraum
~a = lim
∆t→0
∆~v
d~v
=
= ~v˙
∆t
dt
Die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit
d~v
d d~r
d~r˙
~a =
=
=
= ~r¨
dt
dt dt
dt
(2.26)
hmi
s2
(2.27)
Im kartesischen Koordinatensystem ist
~a = (ax , ay , az ) =
dvx dvy dvz
,
,
dt dt dt
=
d2 rx d2 ry d2 rz
,
,
dt2 dt2 dt2
(2.28)
a) Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
Beschleunigung ~a = ~a0 ist zeitunabhängig.
Geschwindigkeit:
Z
~v (t) − ~v0 =
0
14
t
d~v 0
dt =
dt0
Z
0
t
~a0 dt0 = ~a0 · t
(2.29)
2.3 Beschleunigung
Integrationskonstante ~v0 : ~v (t = 0) = ~v0 Anfangsgeschwindigkeit.
Ort:
Z
~r(t) − ~r0 =
0
t
d~r 0
dt =
dt0
Z
t
0
0
Z
~v (t ) dt =
0
0
t
1
~a0 t0 + ~v0 dt0 = ~a0 t2 + ~v0 t
2
(2.30)
Integrationskonstante ~r0 : ~r(t = 0) = ~r0 Anfangsort.
1
~r(t) = ~a0 t2 + ~v0 t + ~r0
2
~v (t) = ~a0 t + ~v0
(2.31)
(2.32)
~a(t) = ~a0
(2.33)
Beispiel: Freier Fall mit horizontaler Bewegung
Abbildung 2.11: Freier Fall mit horiontaler Bewegung
x-Richtung
rx =
1 2
1
gt + v0,x t + r0,x = gt2
2
2
(2.34)
ry =
1
a0,y t2 + v0,y t + r0,y = v0 t
2
(2.35)
y-Richtung
Zeit bis zum Aufschlag
1
rx = gt2 = h
2
s
t=
2h
g
(2.36)
15
2 Grundbegriffe der Bewegung
Bahnkurve
1 2
gt
2
y = v0 t
x=
(2.37)
(2.38)
2
1 y
⇒ x= g 2
2 v
  0  
   1 2
g
0
0
2 gt
1
~r(t) = 0 t2 + v0  t + 0 =  v0 t  =
2
0
0
0
0
1
= ~at2 + ~v0 t + ~r0
2
(2.39)
(2.40)
(2.41)
b) Gleichförmige Kreisbewegung
(nicht konstante Beschleunigung), Betrag der Geschwindigkeit ist konstant |~v | = const., ~v k momentanen
Tangente, Richtung von ~v ändert sich ständig.
Abbildung 2.12: Gleichförmige Kreisbewegung
Kreisbogen
∆s = 2πR
∆ϕ(Grad)
∆ϕ(Bogenmaß)
= 2πR
= ∆ϕR
◦
360
2π
(2.42)
ds
d
dϕ
∆s
=
= (ϕR) = R
∆t
dt
dt
dt
(2.43)
Betrag der Geschwindigkeit
v = lim
∆t→0
Definition: Winkelgeschwindigkeit
dϕ
ω=
= ϕ̇
dt
1
s
(2.44)
Damit folgt
v = Rω
16
hmi
s
(2.45)
2.3 Beschleunigung
Zeit für Umlauf (Periode)
vT = 2πR
(2.46)
RωT = 2πR
2π
ω=
T
(2.47)
(2.48)
Frequenz
1
ω
=
T
2π
(2.49)
~v 2 = v 2 = const.
(2.50)
f=
Richtung der Beschleunigung
2
d~v
d~v
= 2~v
= 2~v~a = 0
dt
dt
d~v
⇒ ~v ⊥
bzw. ~v ⊥~a
dt
(2.51)
(2.52)
Beschleunigung ist senkrecht auf Geschwindigkeit für die gleichmäßige Kreisbewegung, ~v kt̂ Einheitstangente t̂, ~akr̂ Radiusvektor r̂, ~a zeigt zum Mittelpunkt des Kreises.
Betrag der Beschleunigung
Abbildung 2.13: Betrag der Beschleunigung
∆~v = ~v (t + ∆t) − ~v (t)
∆~v ≈ v sin(∆ϕ) ≈ v∆ϕ
|∆~v |
dϕ
|~a| = lim
=v
= vω = ω 2 R
∆t→0 ∆t
dt
~ 2
~a = −Rω
(2.53)
kleine Winkel
(2.54)
(2.55)
Zentripetalbeschleunigung
(2.56)
für gleichmäßige Kreisbewegung.
Alternative Betrachtung
17
2 Grundbegriffe der Bewegung
Abbildung 2.14: Alternative Betrachtung
gleichmäßige Kreisbewegung ϕ = ωt
R cos(ωt)
R sin(ωt)
~
dR(t)
−Rω sin(ωt)
=
~v (t) =
Rω cos(ωt)
dt
d~v (t)
−Rω 2 cos(ωt)
~
~a(t) =
=
= −ω 2 R(t)
−Rω 2 sin(ωt)
dt
~
R(t)
=
(2.57)
(2.58)
(2.59)
Vektorielle Schreibweise der Winkelgeschwindigkeit ω
~:
Abbildung 2.15: Vektorielle Schreibweise ω
~
~
ω
~ k Drehachse, ~v = ω
~ × ~r, ~v steht senkrecht auf ω
~ und ~r (und R).
~v , ω
~ und ~r bilden ein Rechtssystem
|~v | = |~
ω × ~r| = ωr sin ϑ = ωR
(2.60)
ω ist axialer Vektor (Pseudovektor), ~r, ~v , ~a sind polare Vektoren.
Punktspiegelung
~r, ~v , ~a −→ − ~r, −~v , −~a
ω
~ −→ ω
~
~v = ω
~ × ~r −→ (−~v ) = ω
~ × (−~r)
18
(2.61)
(2.62)
(2.63)
2.3 Beschleunigung
c) Allgemeine krummlinige Bewegung
~v ändert sich ini Betrag und Richtung
Abbildung 2.16: Allgemeine krummlinige Bewegung
~v = v t̂, Einheitsvektor in tangentiale Richtung t̂.
Beschleunigung
~a =
d~v
d
dv
dt̂
= (v t̂) =
t̂ + v
dt
dt
dt
dt
(2.64)
Tangential- und Normalbeschleunigung
19
2 Grundbegriffe der Bewegung
20
3 Newtonsche Axiome
3.1 Kraft
Eigenschaften:
Betrag, Richtung, Angriffspunkt
Kraft als Vektor
F~ = (Fx , Fy , Fz )
Überlagerung von Kräften: Vektor-Addition
X
F~ =
F~i
Superpositionsprinzip
(3.1)
(3.2)
i
Abbildung 3.1: Superpositionsprinzip
Kraft kann z.B. durch Verformung eines Körpers gemessen werden: Federwaage
Abbildung 3.2: Hook’sches Gesetz
21
3 Newtonsche Axiome
Hook’sches Gesetz
Fx = −C · ∆x
(3.3)
mit Fx ist Rückstellkraft, C ist Federkonstante Kraftfelder:
Jedem Punkt im Raum kann eine Kraft zugeordnet werden
F~ = F~ (~r)
(3.4)
Beispiel: Schwerefeld der Erde = Zentralkraftfeld
Abbildung 3.3: Schwerefeld der Erde
mM
F~ = −G 2 r̂
r
(3.5)
mit Masse der Erde M und Gravitationskonstante G
3.2 Newtonsche Axiome
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine
Kraft auf ihn wirkt.
Impuls als Maß für Bewegungszustand eines Körpers der trägen Masse m
kg · m
p~ = m~v
s
(3.6)
Der Impuls eines freien Körpers ist konstant.
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
Wenn eine Kraft F~ auf einen Körper wirkt, ändert sich sein Impuls p~ = m~v so, dass
d~
p
F~ =
dt
(3.7)
d
d~v
F~ = (m~v ) = m
= m~a
dt
dt
(3.8)
Für m = const. gilt
22
3.3 Reibung
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse m und direkt proportional
zur Kraft, die auf ihn wirkt
F~
kg · m
=N
[F ] =
m
s2
Das 2. Newtonsche Axiom gilt auch, wenn sich die Masse ändert
~a =
d~
p
d~v
dm
F~ =
=m
+v
dt
dt
dt
(3.9)
(3.10)
Wirken mehrerePKräfte F~i auf einen Körper, so erfolgt die Beschleunigung ~a in Richtung der resultierenden Kraft F~ = i F~i .
3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip)
Wenn eine Kraft F~ , die auf einen Körper wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Körper hat, so wirkt
auf diesen die entgegengesetzte gleiche Kraft −F~ .
actio = reactio
F~12 = −F~21
(3.11)
(3.12)
Definition der Masse über die Beschleunigung:
Kraft F wirkt auf m1 → a1
Kraft F wirkt auf m2 → a2
F = m1 a1 = m2 a2 ⇒ m2 = m1
a1
a2
(3.13)
⇒ Massenskala über Verhältnis der Beschleunigungen (Primärnormal-Platin-Iridium-Zylinder)
Einheit der Kraft:
1N entspricht der Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1 sm2 zu beschleunigen.
F~
m
N
~a =
=
(3.14)
m
s2
kg
3.3 Reibung
Ursprung der Reibung ist die Anziehung der Atome/Moleküle zweier eng beieinander liegenden Kontaktflächen
a) Hrafreibung
Maximale Haftkraft ∝ Normalkraft FN zwischen beiden Flächen
Fh,max = µh · FN
(3.15)
Haftreibungskoeffizient µh
Abbildung 3.4: Haftreibung
23
3 Newtonsche Axiome
b) Gleitreibung
Fg = µg · FN
(3.16)
Gleitreibungskoeffizient µg
µg und µh hängen von der Oberflächenstruktur ab, aber nicht von der makroskopischen Berührungsfläche.
c) Rollreibung
FR = µR · FN
(3.17)
FS = b · v n
(3.18)
Rollreibungskoeffizient µR
d) Strömungswiderstand
Geschwindigkeitsabhängige Reibung
Formabhängiger Reibungskoeffizient b, n liegt zwischen 1 (niedrige Geschwindigkeit) und 2 (hohe Geschwindigkeit).
Beispiel: Fallschirmspringer
Abbildung 3.5: Fallschirmspringer
F = mg − bv 2 = ma
mg = bv
(3.19)
2
Gleichgewicht
(3.20)
⇒ Grenzgeschwindigkeit
r
v=
mg
b
3.4 Gravitationsgesetz
Alle Körper des Universums ziehen sich gegenseitig an.
24
(3.21)
3.4 Gravitationsgesetz
Abbildung 3.6: Gravitationsgesetz
m1 m2
F~12 = γ ·
· r̂12
r2
(3.22)
2
mit schweren Massen m1 und m2 und Gravitationskonstante γ = 6, 67428(67) · 10−11 Nm
kg2
a) Torsionswaage - Cavendich Experiment
siehe Online-Handout
b) Fallgesetz
Alle Körper erfahren beim freien Fall die gleiche Beschleunigung unabhängig von Größe, Form oder sonstiger Beschaffenheit.
Beschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche
m · ME
F
=γ·
2
m
m · RE
ME
N
m
a = g = γ · 2 = 9, 81
= 9, 81 2
RE
kg
s
(3.23)
a=
(3.24)
mit Erdmasse ME = 5, 975 · 1024 kg, Erdradius (Äquator) RE = 6, 378 · 106 m
c) Äquivalenzprinzip
mS2
Sind schwere Masse mS im Gravitationsgesetz F = γ mS1
und träge Masse mT im 2. Newtonschen
r2
Axiom a =
F
mT
12
identisch?
Fallbeschleunigung
g=γ
m S ME
2
mT RE
(3.25)
Experiment zeigt, dass alle Körper gleich schnell fallen
mS = mT = m
(3.26)
2
Eigentlich folgt nur mS ∝ mT . Die Proportionalitätskonstante ist durch γ = 6, 67 · 10−11 Nm
so festgekg2
legt, dass mS = mT ist.
Genaueres Experiment (Newton):
Für Pendelschwingungen ist die Periodendauer T unabhängig von der Art des Pendelkörpers.
25
3 Newtonsche Axiome
Abbildung 3.7: Pendelschwingung
FT = −G sin ϕ = −mS g sin ϕ
(3.27)
G = ms g
(3.28)
Weg
s(t) = rϕ(t)
(3.29)
Beschleunigung
a=
d2 (rϕ)
d2 ϕ
=
r
dt2
dt2
r = const.
(3.30)
Aktionsprinzip
mT a = F
(3.31)
2
mT r
d ϕ
= −msg sin ϕ ≈ −mS gϕ
dt2
(3.32)
Bewegungsgleichung
d2 ϕ
mS g
=−
ϕ
2
dt
mT r
(3.33)
Ansatz: periodische Bewegung
ϕ(t) = A cos(ωt + φ)
dϕ(t)
= −Aω sin(ωt + φ)
dt
d2 ϕ(t)
= −Aω 2 cos(ωt + φ) = −ω 2 ϕ(t)
dt2
(3.34)
(3.35)
(3.36)
in (3.33)
−ω 2 ϕ(t) = −
26
mS g
ϕ(t)
mT r
(3.37)
3.5 Keplersche Gesetze
ist zu allen Zeiten erfüllt für
r
ω=
mS g
mT r
(3.38)
Anfangsbedingungen (z.B.): maximale Auslenkung ϕ0 zur Zeit t = 0 und
A = ϕ0
φ=0
ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt)
Schwingungsperiode T =
2π
ω
dϕ
dt
= 0 für t = 0
(3.39)
(3.40)
Abbildung 3.8: Periodische Bewegung
q
T ·r
= 2π m
mS ·g ist unabhängig von der Art der Pendelmasse, wenn mS =
mT = m. Dann gilt
r
ω=
g
r
(3.41)
Historie:
Baron Eötvös (1898), R. H. Diche (1961), Gleichheit von mS und mT mit relativem Fehler 10−12 .
3.5 Keplersche Gesetze
1. Keplersches Gesetz
Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen und die Sonne steht in einem der beiden
Brennpunkte der Ellipse.
Abbildung 3.9: 1. Keplersches Gesetz
27
3 Newtonsche Axiome
Ellipsenform in Polarkoordinaten
r =a·
r − ε2
r − ε cos ϕ
(3.42)
mit großer Halbachse a und Elliptizität ε, Brennpunkte F und F 0 .
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Zieht man einen Radiusvektor von der Sonne zum Planeten, so überstreicht er in gleichen Zeiten gleiche
Flächen.
Abbildung 3.10: 2. Keplersches Gesetz
Fläche des Dreiecks
Abbildung 3.11: Flächensatz
A=
1
d~r
|~r| · | | sin γ
2
dt
(3.43)
~A , dessen Betrag die Flächengeschwindigkeit ist.
Definition: Vektor V
~A = 1 ~r × d~r
V
2
dt
(3.44)
~A ändert weder Richtung noch Betrag.
1. und 2. Keplersches Gesetz: V
~A
dV
=0
dt
~A
dV
d
d~r
d~r d~r
d2~r
=
~r ×
=
×
+ ~r × 2 = 0
dt
dt
dt
dt
dt
dt
2
d ~r
⇒ ~r × 2 = ~r × ~a = 0
dt
⇒ ~rk~a
⇒ ~rkF~
28
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
(3.49)
3.5 Keplersche Gesetze
Die Kraft ist immer parallel zur Verbindungslinie Sonne-Planet:
⇒ Zentralkraft
3. Keplersches Gesetz
Das Verhältnis aus dem Quadrat der Umlaufzeit zur dritten Potenz der längeren Halbachse ist für alle
Planetenbahnen gleich.
m3
a3
= 3, 354 · 1018 2 = const.
2
T
s
(3.50)
Annahme:
Planetenbahnen ∼ Kreisbahnen
⇒ Zentripetalbeschleunigung
a = ω2 r =
Ersetze
1
T2
mit
4π 2
r
T2
(3.51)
c
r3
a = 4π 2 · c ·
1
r2
(3.52)
m
F = ma = 4π 2 · c · 2
r
⇒
m
r 2 -Abhängigkeit
(3.53)
des Gravitationsgesetzes.
”Der Mond fällt wie der Apfel”:
Kreisbahn
RM = 3, 8 · 108 m
∼ 60RE
TM = 27, 3 Tage
(3.54)
(3.55)
Beschleunigung
2
ar = ωM
RM =
4π 2
2 RM
TM
(3.56)
In ∆t = 1s zurückgelegte ”Fallstrecke”
∆rM =
1 2
2π 2
ar t = 2 RM = 1, 3mm
2
T
(3.57)
∆rA =
g 2
∆t = 4, 9m ≈ 3700∆rM
2
(3.58)
Apfel fällt
passt zu F ∝
1
r2 ,
da
RM
RE
∼ 60.
29
3 Newtonsche Axiome
30
4 Energie- und Impulserhaltung
Erfahrungstatsache:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Energie erhalten.
Formen der Energie:
Gravitationsenergie, kinetische Energie, Wräme, elastische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie, Kernenergie, Massenenergie, elektrische Energie.
Abgeschlossenes System:
Energie kann zugeführt werden, indem Arbeit am System verrichtet wird, oder abgeführt, wenn das
System Arbeit verrichtet.
4.1 Arbeit und kinetische Energie
Einfaches Beispiel: Ein Körper wird mit konstanter Kraft beschleunigt (keine Reibung).
Abbildung 4.1: Arbeit und kinetische Energie
Arbeit = Kraft in Bewegungsrichtung × Verschiebung
W = Fx · ∆x = |F~ | · ∆x · cos ϕ = F~ · δ~x
(4.1)
2
kg · m
=J
s2
konstante Kraft ⇒ konstante Beschleunigung (m = const.).
2. Newtonsches Axiom
[W ] = N · m =
(4.2)
Fx = m · ax
v = ax t + v0
(4.3)
v − v0
⇒t=
ax
(4.4)
Mittlere Geschwindigkeit
1
(v + v0 )
2
∆x = hvit
hvi =
(4.5)
(4.6)
2
1
v − v0
1v −
(v + v0 ) ·
=
2
ax
2 ax
1 2
∆x · ax = (v − v02 )
2
⇒ ∆x =
v02
(4.7)
(4.8)
31
4 Energie- und Impulserhaltung
Arbeit
Fx · ∆x =
1
1
mv 2 − mv02
2
2
Änderung der kinetischen Energie
(4.9)
Kinetische Energie
1
p2
mv 2 =
2
2m
kg · m2
[Ekin ] =
=J
s2
Ekin =
p~ = m~v
(4.10)
(4.11)
Allgemeine Herleitung: 2. Newtonsches Axiom
d~
p = F~ · dt
~v · d~
p = ~v · F~ · dt
| · ~v
d~r = ~v · dt
F~ · d~r = F~ · ~v · dt
| · F~
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Eliminiere dt
~v · d~
p − F~ · d~r = 0
(4.16)
p~ · d~
p ~ ˙
− F d~r = 0
m
(4.17)
Mit Impuls p~ = m~v
Etwas Mathe
dp2 = d(~
p · p~) = p~d~
p + d~
p · p~ = 2~
p · d~
p
2
p~
~ · d~r = 0
⇒
d
−F
| {z
}
2m
| {z }
Arbeit
(4.18)
(4.19)
Änderung der Ekin
⇒ dEkin − dW = 0
(4.20)
Abbildung 4.2: Arbeit und kinetische Energie
∆Ekin > 0
∆W = F~ · ∆x > 0
(4.21)
(4.22)
Arbeit, die entlang einer Bahnkurve geleistet wird
Z
~
r (t)
W =
F~ · d~r0
[J]
~
r (t0 )
Nur die Tangentialkomponente der Kraft trägt zur Arbeit bei
32
”Kraft mal Weg”
(4.23)
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Abbildung 4.3: Tangentialkomponente der Kraft
F~r · d~r = 0
(4.24)
Leistung:
Rate, mit der eine Kraft Arbeit verrichtet
dW
P =
dt
dW = F~ · d~r = F~ ~v · dt
⇒ p~ = F~ · ~v
J
=W
s
(4.25)
(4.26)
(4.27)
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Beispiel: Arbeit und potentielle Energie bei der Deformation einer Feder.
Abbildung 4.4: Deformation einer Feder
Z
x
W =
Z
F dx = c
0
x
x dx =
0
c 2
x
2
(4.28)
Arbeit wird am System verrichtet
⇒ Erhöhung der potentiellen Energie Epot
33
4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.5: Potentielle Energie Epot
Allgemein
dEkin + dEpot − dW = 0
(4.29)
d(Ekin + Epot ) = 0
(4.30)
Abgeschlossenes System (dW = 0)
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten.
Beispiel: Fadenpendel
Abbildung 4.6: Fadenpendel
34
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Verrichtete Arbeit
Z
~
r2
Z
h
−m~g · d~r =
W =
~
r1
mg dz = mgh
(4.31)
0
Ekin + Epot = Eges = mgh
1
mv 2 + mgz = mgh
2
p
⇒ v(z) = 2g(h − z)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
Maximalgeschwindigkeit
vmax =
p
2gh
(4.35)
Energieerhaltung/Feder
Abbildung 4.7: Energieerhaltung (Feder)
Ekin = Etot − Epot =
1
1 2
cxmax − cx2
2
2
1
1
mv 2 = c(x2max − x2 )
2
2
r
c 2
v=
(x
− x2 )
m max
(4.36)
(4.37)
(4.38)
Frei fallender Körper/Erdbeschleunigung
35
4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.8: Erdbeschleunigung
Anfangsbedingung
v0 = v(z = 0) = 0
(4.39)
Etot = Ekin + Epot = 0
(4.40)
= Ekin (z = 0) + Epot (z = 0) = 0
1
⇒ Ekin = mv 2 = −mgz
2
p
v = −2gz
(4.41)
z<0
(4.42)
(4.43)
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz
Abbildung 4.9: Epot beim Gravitationsgesetz
Kraft
m1 m2
F~ = γ
r̂
r2
36
(4.44)
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz
Arbeit
~
r2
Z
WABC =
F~ d~r =
Z
~
r1
B
A
|
F~ d~r +
{z }
C
Z
F~ d~r
(4.45)
B
~ ⊥d~
=0 (F
r)
~
r2
Z
WAB 0 C =
F~ d~r =
~
r1
Z
B0
F~ d~r +
Z
C
B0
A
|
F~ d~r = WABC
{z }
(4.46)
~ ⊥d~
=0 (F
r)
Zerlege beliebigen Weg in Wegstücke mit F~ ⊥d~r (W = 0) und F~ kd~r (W 6= 0).
⇒ Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endradius |~r1 | und |~r2 | ab.
Z
r2
W =
r1
m1 m2
γ
dr = −γm1 m2 ·
r2
1
1
−
r2
r1
(4.47)
Abbildung 4.10: r-Epot -Diagramm
Bezugspunkt RE möglich
Epot = γm1 ME
1
1
−
RE
r
(4.48)
Geschickter: Bezugspunkt r1 → ∞
Epot = −γ
m1 ME
r
(4.49)
2. kosmische Geschwindigkeit
Ekin + Epot = 0
ME
1
mv 2 − γm
= 0 ⇒ v0 =
2 0
RE
(4.50)
r
2γ
ME
km
= 11, 2
RE
s
(4.51)
37
4 Energie- und Impulserhaltung
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen
Abbildung 4.11: Ausgedehnte Masseverteilung
Gesamtarbeit um m0 nach ∞ zu verschieben
Z
Z ∞
F~01 d~r +
Epot =
r01
∞
F~02 d~r = −γm0
r02
m1
m2
+
r01
r02
(4.52)
Verallgemeinerung für N Massen
Epot = −γm0 ·
N
X
mi
i=1
r0i
(4.53)
Potentielle Energie einer Masse m0 in der Nähe einer Kugelschale der Masse M
Abbildung 4.12: Potential einer Kugelschale
Z
Epot = −γm0
M
dm
s
(4.54)
1. Fall:
außerhalb der Kugelschale
m0 M
r
(4.55)
m0 M
= const.
R
(4.56)
Epot = −γ
2. Fall:
innerhalb der Kugelschale
Epot = −γ
38
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie
Abbildung 4.13: E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale
m0 kann innerhalb der Kugelschale ohne Arbeit verschoben werden (kräftefrei). Außerhalb Epot ∝
Punktmasse.
1
r
wie
Potential einer Vollkugel (analog)
Abbildung 4.14: E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie
Äquipotentialflächen:
Orte gleicher Energie
Epot (x, y, z) = const.
(4.57)
Verschiebung entöang der Äquipotentialflächen benötigt keine Kraft (W = 0). Allgemein gilt
dEpot = dW = −F~ · d~r
(4.58)
Kraft steht senkrecht auf Äquipotentialflächen. In Richtung der Kraftlinien gilt
dEpot = −F dr
dEpot
oder F = −
dr
(4.59)
(4.60)
Vektoriell geschrieben mit Gradienten-Operator
 dE
pot

 dEdx 
F~ = −gradEpot = −∇Epot = −  dypot 
(4.61)
dEpot
dz
Skalares Feld Epot (~r) ⇒ Vektorfeld F~ (~r)
39
4 Energie- und Impulserhaltung
Beispiel: Potential einer Punktfläche
1
mM0
= −γmM0 (x2 + y 2 + z 2 )− 2
r
1
3
d 2
1
x
2
(x + y + z 2 )− 2 = − (x2 + y 2 + z 2 )− 2 2x = − 3
dx
r
 x 2
− r3
1 ~r
1
− ∇Epot = γmM0 − ry3  = −γmM0 2 · = −γmM0 2 · r̂
r
r
r
− rz3
Epot = −γ
(4.62)
(4.63)
(4.64)
4.6 Konservative Kräfte
Eine Kraft ist konservativ, wenn die Gesamtarbeit, die sie an einem Teilchen verrichtet, das sich auf einer
beliebigen geschlossenen Bahn bewegt, gleich Null ist.
Abbildung 4.15: Konservative Kraft
W12 (Weg A) = −W21 (Weg B) = W12 (Weg B)
Konservative Kräfte...
• hängen nur von Ortskoordinaten ab.
• Potentielle Energie kann unabhängig vom Integrationsweg definiert werden.
• Erhaltung von Etot = Epot + Ekin (energy is conserved).
Nicht-konservative Kräfte...
• geschwindigkeitsabhängige Kräfte (Reibung).
• zeitabhängige Kräfte.
• Etot ist abhängig vom Weg und bleibt nich erhalten.
4.7 Impulserhaltung
Konsequenz aus dem 3. Newtonschen Axiom.
Zwei wechselwirkende Körper. Keine Kraft von außen.
40
(4.65)
4.7 Impulserhaltung
Abbildung 4.16: Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte
Für beliebige Kräfte (Gravitation, elastischer und inelastischer Stoß, ...) gilt
F~12 = −F~21
actio = reactio
(4.66)
Mit dem 2. Newtonschen Axiom
d~
p2
d(m1~v1 ) d(m2~v2 )
d~
p1
+
=
+
=0
F~12 + F~21 =
dt
dt
dt
dt
d
d
(~
p1 + p~2 ) = p~ = 0
dt
dt
(4.67)
(4.68)
Gesamtimpuls
p~ = m1~v1 + m2~v2 = const.
(4.69)
Der Gesamtimpuls p~ eines Systems zweier Körper ändert sich nicht unter dem Einfluss innerer Kräfte
zwischen den Körpern.
Allgemein für N Körper
Abbildung 4.17: Gesamtimpuls für N Körper
N
X
F~ik = 0
(4.70)
i,k=1
i6=k
Kräftepaare sind entgegengesetzt gleich groß.
41
4 Energie- und Impulserhaltung
Änderung der einzelnen Impulse
N
X
d~
pi
=
F~ik
dt
i,k=1
Gesamtkraft auf i-ten Körper
(4.71)
i6=k
⇒
N
X
i=1
d
dt
N
X
d~
pi
=
F~ik = 0
dt
i,k=1
N
X
(4.72)
i6=k
p~i =
i=1
d
p~ = 0
dt
Gesamtimpuls bleibt erhalten
(4.73)
4.8 Stoßprozesse
Abgeschlossenes System ohne äußere Kräfte
N
X
p~i = const.
(4.74)
i=1
Gesamtimpuls vor Stoß = Gesamtimpuls nach Stoß.
Zwei Körper (Atome, Billardkugeln)
m1~v1 + m2~v2 = m1~v10 + m2~v20
(4.75)
Versuch: Wasserrakete
Abbildung 4.18: Wasserrakete
m R vR = m T vT
mT
vT
vR =
mR
(4.76)
(4.77)
Treibstoff Luft:
mT mR
⇒ vR vT
(4.78)
Treibstoff Wasser:
mT = mR
⇒ vR = vT
(4.79)
Raketengleichung
mR + mT
vT
mR
(4.80)
p2
p02
p02
p21
0
+ 2 = 1 + 2 = Ekin
2m1
2m2
2m1
2m2
(4.81)
vR = ln
Fall A:
Kinetische Energie bleibt beim Stoß erhalten
Ekin =
42
4.8 Stoßprozesse
Fall B:
Teil der kinetischen Energie wird in andere Energieformenumgewandelt (Reibung, Verformung)
Ekin =
p2
p02
p02
p21
0
+ 2 = 1 + 2 + Q = Ekin
+Q
2m1
2m2
2m1
2m2
(4.82)
für Q = 0: elastischer Stoß
für Q =
6 0: inelastischer Stoß
a) Vollkommen inelastischer zentraler Stoß
Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf der gleichen Geraden (Luftschiene).
Abbildung 4.19: Inelastischer Stoß
keine Energieerhaltung
Q 6= 0
(4.83)
m1~v1 + m2 · 0 = (m1 + m2 )~v10
m1
⇒ ~v10 =
~v1
m2 + m1
(4.84)
aber Impulserhaltung
(4.85)
Im bewegeten Bezugssystem
1
~u = − ~v1
2
m1 = m2
(4.86)
Abbildung 4.20: Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem
b) Vollkommen elastischer zentraler Stoß
Impulserhaltung
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20
(4.87)
1
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = m1 v102 + m2 v202
2
2
2
2
(4.88)
Energieerhaltung
43
4 Energie- und Impulserhaltung
2 Gleichungen, 2 Unbekannte
m1 2
m2 2
(v − v102 ) =
(v − v202 )
2 1
2 2
m1 (v1 − v10 )(v1 + v10 ) = m2 (v2 − v20 )(v2 + v20 )
m1 (v1 −
v1 +
⇒
v20
−
v10
v10
v10 )
= m2 (v2 −
= v2 +
v20 )
(4.89)
(4.90)
(4.91)
v20
(4.92)
= −(v2 − v1 )
(4.93)
Umkehrung der Relativgeschwindigkeiten
Versuch: elastischer Stoß auf ruhende Masse
Abbildung 4.21: Elastischer Stoß auf ruhende Masse
Umkehrung der Relativgeschwindigkeit
v20 − v10 = −(v2 − v1 )
(4.94)
v20
(4.95)
−
v10
= v1
Impulserhalt
m1 v10 + m2 v20 = m1 v1
m1 (v20 − v1 ) + m2 v20 = m1 v1
m2 v20 = m1 v1 − m1 v20 + m1 v1
m2 v20 = 2m1 v1 − m1 v20
v20 (m1 + m2 ) = 2m1 v1
v20 =
2m1
v1
m1 + m2
v10 = v20 − v1
(4.96)
(4.97)
(4.98)
| + m1 v20
(4.99)
(4.100)
(4.101)
Fall 1: m1 = m2
2m1
v1 = v1
m1 + m1
v10 = v20 − v1 = v1 − v1 = 0
v20 =
(4.102)
(4.103)
Fall 2: m1 = 2m2
4m2
4
v1 = v1
m2 + 2m2
3
1
v10 = v20 − v1 = v1
3
v20 =
44
(4.104)
(4.105)
4.9 Kraftstoß
Fall 3: m1 = 12 m2
m2
2
v1 = v1
3
+ m2
1
2
v10 = v20 − v10 = v1 − v1 = − v1
3
3
v20 =
1
2 m2
(4.106)
(4.107)
Versuch: Astroblaster
Abbildung 4.22: 3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters
v20 =
v30 =
=
=
0=
2m1
v0
m1 + m2 1
2m2
2m2
2m1
v20 =
v20 ·
v0 =
m2 + m3
m2 + m3
m1 + m2 1
4m1 m2 v10
4m1 m2 v10
=
=
(m2 + m3 )(m1 + m2 )
m1 m2 + m22 + m1 m3 + m2 m3
4m1 v10
1 m3
m1 + m2 + m3 + mm
2
1 m3
−4m1 1 − mm
2
dv30
2
=
2
dm2
1 m3
m1 + m2 + m3 + mm
2
4m21 m3
= 4m1
m22
m1 m3
⇒
=1
m22
√
⇒ m2 = m1 m3
⇒
(4.108)
(4.109)
(4.110)
(4.111)
(4.112)
(4.113)
(4.114)
(4.115)
geometrisches Mittel ergibt Maximum von ~v30 .
4.9 Kraftstoß
2. Newtonsches Axiom
d~
p = F~ (t) dt
(4.116)
45
4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.23: F -t-Diagramm zum Kraftstoß
Impulsübertrag oder Kraftstoß
J~ = ∆~
p=
Z
tf
F~ (t) dt
(4.117)
ti
4.10 Masseschwerpunkt
P
mi~ri
1 X
=
~rs = Pi
·
mi~ri
M
i mi
i
(4.118)
Abbildung 4.24: Massenschwerpunkt
Schwerpunktsgeschwindigkeit
~vs =
d~rs
1 X
=
·
mi~vi
dt
M
i
(4.119)
Gesamtimpuls
p~ =
X
p~i = M~vs
(4.120)
i
Bewegungsgleichung für N Körper
d
F~1,2 + F~1,3 + . . . + F~1,N + F~1,ext = (m1~v1 )
dt
..
.
d
F~i,1 + F~i,2 + . . . + F~i,N + F~i,ext = (mi~vi )
dt
..
.
d
F~N,1 + F~N,2 + . . . + F~N,N −1 + F~N,ext = (mN ~vN )
dt
46
(4.121)
(4.122)
(4.123)
(4.124)
(4.125)
4.10 Masseschwerpunkt
Für N ≥ 3 nicht allgemein lösbar.
⇒ Störungsrechnung
⇒ numerisch
Alle Gleichungen addieren
X
F~i,k +
X
F~i,ext =
X d
p~i
dt
i
(4.126)
F~i,ext =
X d
p~i
dt
i
(4.127)
i
i,k
i6=k
| {z }
=0
X
i
Eine äußere Kraft F~ verursacht eine Schwerpunktbeschleunigung ~as
M · ~as =
d~
p
= F~
dt
(4.128)
Der Schwerpunkt eines Systems von Körpern bewegt sich wie ein Körper der Masse M auf den eine
äußere Kraft F~ wirkt.
Transformation: Laborsystem ↔ Schwerpunktsystem:
Abbildung 4.25: Transformation: Labor- Schwerpunktsystem
~ri = ~ri,s + ~rs
(4.129)
~vi = ~vi,s + ~vs
X
mi~ri,s = 0
i
⇒
X
i
mi~vi,s =
(4.130)
d
dt
X
p~i,s = 0
(4.131)
(4.132)
i
Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystem ist Null.
47
4 Energie- und Impulserhaltung
4.11 Reduzierte Masse
Bewegungsgleichung für zwei Körper
F~1,2
d~v1
=
dt
m1
d~v2
F~2,1
=
dt
m
2
d
1
1
(~v1 − ~v2 ) =
−
· F~1,2
dt
m1
m2
(4.133)
F~1,2 = −F~2,1
(4.134)
(4.135)
Relativgeschwindigkeit
~v1,2 = ~v1 − ~v2
(4.136)
reduzierte Masse
µ=
m1 m2
m1 + m2
[kg]
(4.137)
Bewegung eines Teilchens mit reduzierter Masse
d~v1,2
F~1,2 = µ
dt
(4.138)
4.12 Stoßprozesse, Teil II
Abbildung 4.26: Wechselwirkungsgebiet
a) Elastischer Stoß im Laborsystem
sinnvoll für ~v2 = 0
Imulserhaltung
p~1 = p~01 + p~02
(4.139)
p~02
p~02
p~21
= 1 + 2
2m1
2m1
2m2
(4.140)
Energieerhaltung
48
4.12 Stoßprozesse, Teil II
Abbildung 4.27: Impulserhaltung
p21
(p1 − x)2 + y 2
x2 + y 2
=
+
2m1
2m1
2m2
2
2
µ
µ
2
⇒
x−
p1 + y =
p1
m1
m1
= Kreis mit Mittepunkt M =
µ
m1 p1 , 0
und Radius
µ
m1 p1 .
Mit m1 > m2 ⇒
(4.141)
(4.142)
µ
m1 p1
< 12 .
Abbildung 4.28: Elastischer Stoß im Laborsystem
Maximaler Ablenkwinkel
sin ϑ1,max =
m2
m1
(4.143)
Spezialfall: m1 = m2 = m ⇒ µ = 12 m
Die Teilchen fliegen nach dem Stoß senkrecht auseinander
49
4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.29: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m1 = m2
Billard-Kugeln:
Abbildung 4.30: Billardkugeln
Spezialfall: m1 m2 ⇒
µ
m1
≈1
Abbildung 4.31: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m1 m2
Maximaler Impulsübertrag
p~02,max = 2~
p1
50
(4.144)
4.12 Stoßprozesse, Teil II
Energieübertrag
(2p1 )2
m1
=4
Ekin,1
2m2
m2
∆Ekin,max =
(4.145)
b) Elastische Stöße im Schwerpunktsystem
sinnvoll, wenn ~vP
v2 6= 0.
1 6= 0 und ~
Gesamtimpuls i p~i = 0 im Schwerpunktsystem
Abbildung 4.32: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
p~1,s + p~2,s = p~01,s + p~02,s = 0
oder: p~1,s =
p~2,s =
−~
p01,s
−~
p02,s
(4.146)
(4.147)
(4.148)
Stoß = Drehung der Impulsvektoren.
Jeder Stoßpartner behält im Schwerpunktsystem seine kinetische Energie (elastischer Stoß).
Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem:
Gesamtimpuls bleibt Null.
Abbildung 4.33: Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm
51
4 Energie- und Impulserhaltung
p~01,s = −~
p02,s
Energie im Schwerpunktsystem wird gleich aufgeteilt. ”Newton-Diagramm”.
52
(4.149)
5 Rotation
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt
a) Drehmoment und Drehimpuls
Abbildung 5.1: Drehmoment
Bewegungsgleichung
d~v
F~ = m ·
dt
d~r
d
~
~r × F = m ~r ×
= m (~r × ~v )
dt
dt
d
d~r
d~v
(~r × ~v ) =
× ~v +~r ×
dt
dt
dt
| {z }
~r×
(5.1)
(5.2)
(5.3)
=~
v ×~
v =0
Drehmoment
~ = ~r × F~
M
~ ⊥~r, M
~ ⊥F~
⇒ M
M = rF sin ϕ
(5.4)
(5.5)
Drehimpuls
Abbildung 5.2: Drehimpuls
53
5 Rotation
~ = m(~r × ~v ) = ~r × p~
L
~ r, L⊥~
~ p
⇒ L⊥~
L = rp sin δ
(5.6)
(5.7)
Rotation
~
dL
~
=M
dt
d~
p
Translation:
= F~
dt
(5.8)
b) Erhaltung der Drehimpulse
~ =0 ⇒
Wenn M
~
dL
dt
~ = const. nach Betrag und Richtung.
=0 ⇒ L
Beispiel: Planetenbewegung
Zentralkraft, Gravitationskraft
Abbildung 5.3: Planetenbewegung
~rkF~G
~ = ~r × F~G = 0
M
~ = const.
⇒ L
(5.9)
(5.10)
(5.11)
Keplerscher Flächensatz
Abbildung 5.4: Keplerscher Flächensatz
dA wird in dt überschritten
1
1
r · dr · sin ϕ = |~r × d~r|
2
2
dA
1 L
d~r 1
= ~r × = |~r × ~v | =
= const.
dt
2
dt
2
2m
dA =
54
(5.12)
(5.13)
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt
Polarkoordinaten r, ϕ
Abbildung 5.5: Polarkoordinaten
vr =
dr
,
dt
dϕ
,
dt
vt = r ·
v=
q
vr2 + vt2
(5.14)
Gravitationskraft
Fr = γ
MSonne m
,
r2
Ft = 0
(5.15)
Potentielle Energie
M0 m
c
=−
r
r
(5.16)
1
c
m(vr2 + vt2 ) −
2
r
(5.17)
Epot = −γ
Gesamtenergie
E=
Drehimpuls
L = m|~r × ~v | = mrv sin ϕ = mrvt
E=
1
mv 2 +
2 r
L2
c
−
2
2mr
r
| {z }
vt =
L
mr
(5.18)
(5.19)
0
eff. pot. Energie Epot
Effektive Potentielle Energie
0
Epot
=
L2
c
−
2mr2
r
(5.20)
55
5 Rotation
Abbildung 5.6: Effektive Potentielle Energie
Man kann zeigen, dass die große Halbachse a der Ellipse nur von Gesamtenergie E abhängt
a=
c
2|E|
(5.21)
5.2 System von Massepunkten
a) Drehimpuls und Drehmoment
Zunächst 3 Massepunkte
Abbildung 5.7: Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten
i
innere Kräfte: Fjk
(z.B. Gravitation)
d(m1~v1 )
dt
d(m2~v1 )
dt
d(m3~v1 )
dt
F~iji
i
i
= F~1 = F~12
+ F~13
+ F~1e
|~r1 ×
(5.22)
i
i
= F~2 = F~23
+ F~21
+ F~2e
|~r2 ×
(5.23)
i
i
= F~3 = F~31
+ F~32
+ F~3e
|~r3 ×
(5.24)
i
= −F~ji
(5.25)
interne Kräfte fallen weg, nur externe Kräfte gehen ein
N N
X
d X
~rj × F~je =
·
mj (~rj × ~vj )
dt j=1
j=1
(5.26)
Gesamtes Drehmoment (Vektoren werden addiert)
~ =
M
N X
~rj × F~je
(5.27)
j=1
Gesamter Drehimpuls (Vektoren werden addiert)
~ =
L
N
X
j=1
56
mj (~rj × ~vj )
(5.28)
5.3 Starre Körper
b) Drehimpulserhaltung
~ =0⇒L
~ = const. nach Betrag und Richtung
keine äußeren Kräfte ⇒ M
5.3 Starre Körper
Abbildung 5.8: Linienflüchtigkeit der Kraft
a) Allgemeine freie Bewegung
Überlagerung einer Rotation um den Schwerpunkt und Translation des Schwerpunktes.
Abbildung 5.9: Allgemeine freie Bewegung
F~ 0 = −F~ 00
|F~ | = |F~ 0 | = |F~ 00 |
(5.29)
(5.30)
F~ 0 und F~ Kräftepaar übt nur ein Drehmoment aus (Rotation). F~ 00 greift am Schwerpunkt an (Translation).
b) Bewegung des Schwerpunktes
N
m
X
d2~r
= F~ e =
F~je
2
dt
j=1
(5.31)
57
5 Rotation
c) Bestimmung des Schwerpunktes
Beispiel: Scheibe
Abbildung 5.10: Bestimmung des Schwerpunktes
Drehmoment auf ∆mi durch Schwerkraft
∆Mi = ~ri × (∆mi~g )
(5.32)
Gesamtdrehmoment
~ =
M
N
X
(~ri × (∆mi~g )) =
(5.33)
i=1
=
N
X
!
∆mi~ri
× ~g
(5.34)
i=1
Schwerpunkt
~rs =
N
1 X
·
mi~ri
m i=1
~ = m~rs × ~g
M
~ =0
Stabile Aufhängung, wenn M
⇒ für ~rs k~g , S liegt unter Aufhängepunkt.
d) Trägheitsmoment
Beispiel: Rotierende Platte
58
(5.35)
(5.36)
5.3 Starre Körper
Abbildung 5.11: Rotierende Platte
Winkelgeschwindigkeit ω
~
Definition: Umlaufgeschwindigkeit
~vj = rj ω
(5.37)
Drehimpuls der Platte (r bzw. rj ist Abstand zur Drehachse)
~ =
L
N
X
mj (~rj × ~vj )
(5.38)
j=1
N
N
X
X
2 ~ =
m
r
ω
m
r
v
=
|L|
j j j j j
j=1
j=1
~ =
L
N
X
mj rj2 ω
~
(5.39)
(5.40)
j=1
Trägheitsmoment
I=
N
X
mj rj2
(5.41)
r2 dm
(5.42)
j=1
kontinuierliche Massenverteilung
Z
I=
M
~ und ω
Drehimpuls (im Allgemeinen haben L
~ verschiedene Richtungen)
~ = I~
L
ω
(Translation p~ = m~v )
(5.43)
Berechnung von Trägheitsmomenten
Hohlzylinder:
59
5 Rotation
Abbildung 5.12: Trägheitsmoment eines Hohlzylinders
Masse MHZ .
Trägheitsmoment
Z
IHZ =
MHZ
r2 dm = r02
Z
dm = r02 MHZ
MHZ
Kugel:
Abbildung 5.13: Trägheitsmoment einer Kugel
60
(5.44)
5.3 Starre Körper
Masse MK
Trägheitsmoment
Z
r2 dm = %
I=
MK
Z
r2 dm
(5.45)
VK
Dichte % = const., r ist Abstand zur Drehachse
Kugelkoordinaten R, θ, ϕ:
mit 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ R < ∞
Abbildung 5.14: Kugelkoordinaten R, θ, ϕ
Volumenelement
dV = (dR)(R dθ)(R sin θ dϕ) =
2
= R dR · sin θ dθ dϕ
(5.46)
(5.47)
Trägheitsmoment
Z
2π
Z
π
I=%
ϕ=0
θ=0
Z
r0
(R2 sin2 θ) · (R2 dR · sin θ dθ dϕ) =
{z } |
{z
}
R=0 |
=r 2
=dV
Z π
Z r0
3
4
=%·
dϕ ·
sin θ dθ ·
R dR =
ϕ=0
θ=0
R=0
1
1 5
4
2
2
= % · (2π) · − cos θ + cos3 θ ·
r0 = % · πr03 · r02 = MK r02
3
5
3
5
5
Z
(5.48)
2π
(5.49)
(5.50)
e) Steinerscher Satz
Trägheitsmoment für eine Achse A, die nicht durch den Schwerpunkt geht.
61
5 Rotation
Abbildung 5.15: Steinerscher Satz
Z
IA =
~r2 dm =
Z
V
(~a + ~rs )2 dm =
V
Z
~rs2 dm + 2~a
V
Z
dm =
~rs dm +~a2
V
V
| {z }
| {z }
Z
=0
(5.51)
=M
= I S + M a2
(5.52)
5.4 Rotationsenergie
Kinetische Energie eines starren Körpers um eine feste Achse
X1
X1
1
2
Erot =
mi vi2 =
mi ri,⊥
ω 2 = Iω 2
2
2
2
i
i
(5.53)
~ = I~
ri,⊥ ist senkrechter Abstand zur Drehachse. Mit Drehimpuls L
ω folgt
L2
2I
Kinetische Energie bei Translation und Rotation um Achse des Schwerpunktes
Erot =
(5.54)
Abbildung 5.16: Rotation um Schwerpunktachse
Ekin
1
=
2
Z 1
=
2
Z
V
V
d~r
dt
2
~
dR
dt
Z
dm =
V
!2
Z
dm +
|V
~ + ~rs )
d(R
dt
~ d~rs
1
dR
dm +
dt dt
2
{z
}
dm =
Z V
d~rs
dt
(5.55)
2
dm =
(5.56)
=0
1
1
= M~vs2 + Iω 2 = Ekin + Erot
2
2
62
!2
(5.57)
5.4 Rotationsenergie
Beispiel: Körper rollt schiefe Eben hinab, ohne zu gleiten
Abbildung 5.17: Schiefe Ebene
~ zeigen aus Heftebene heraus. Änderung des DreMomentane Drehachse A. Berührungspunk ω
~ und L
~
dL
~
himpulses M = dt und Gesamtmasse M0 .
~ = ~r × F~
M
~ | = M0 gr sin α
|M
(5.58)
(5.59)
~ zeigt in gleiche Richtung wie L
~
M
~ nimmt zu.
⇒ L
Bewegungsgleichung (1-dimensional mit Beträgen)
~|=
|M
dL
d
d2 ϕ
= (Iω) = I · 2
dt
dt
dt
(5.60)
zurückgelegte Strecke
s = rϕ
(5.61)
Translationsgeschwindigkeit
vtrans = r
dϕ
dt
(5.62)
Trägheitsmoment bezüglich Rotationsachse A (Steinerscher Satz)
I = Is + M 0 r 2
~|
d2 ϕ
|M
M0 gr sin α
⇒
=
=
2
dt
I
Is + M0 r
(5.63)
(5.64)
Integration (= gleichmäßig beschleunigte Bewegung)
ϕ=
~|
|M
t2 + ω0 t + ϕ0
2I
(5.65)
Translationsbeschleunigung
a=r
d2 ϕ
g sin α
g sin α
=
=
I
2
s
dt
1+k
1 + M0 r2
k :=
Is
M0 r 2
(5.66)
Geschwindigkeit am Ende der Bahn
63
5 Rotation
Abbildung 5.18: Geschwindigkeit am Ende der Bahn
1 2
at
2
v = at
r
r
√
2gs sin α
2gh
=
⇒ v = 2as =
1+k
1+k
s=
(5.67)
(5.68)
(5.69)
Geschwindigkeit aus Energieerhaltung
Erot + Etrans = Epot
1
1
Is ω 2 + mv 2 = mgh
2
2
v2
Is 2 + mv 2 = 2mgh
r
2
v (k + 1) = 2gh
r
2gh
⇒ v=
k+1
(5.70)
(5.71)
(5.72)
(5.73)
(5.74)
Kugel: k = 52 , Vollzylinder: k = 12 , Hohlzylinder: k = 1
⇒ vKugel > vVollzylinder > vHohlzylinder
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers
~ Winkelgeschwindigkeit ω
Bisher: Drehimpuls Lk
~
~
Allgemein: L 6 k~
ω
Beispiel: Hantel
Abbildung 5.19: Hantel
64
(5.75)
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers
~ = m1 (~r1 × ~v1 ) + m2 (~r2 × ~v2 )
L
~ = m(~r1 − ~r2 ) × ~v1 = m~rH × ~v1
L
m1 = m2 = m, ~v1 = −~v2
(5.76)
(5.77)
~ ist nicht parallel zu ω
~ = I~
L
~ . Widerspruch zu L
ω mit Skalar I!
~ verändert sich ständig.
L
⇒ Drehmoment wirkt auf Hantel (und Lagerachse), ”Unwucht”
Trägheitstensor I˜ eines beliebig geformten Körpers
Abbildung 5.20: Trägheitstensor I˜
Drehimpuls
~ i = ∆mi (~ri × ~vi ) = ∆mi (~ri × (~
L
ω × ~ri )) =
=
∆mi [~ri2 ω 2
(5.78)
~a × (~b × ~v ) = (~a~c)~b − (~a~b)~c
− (~ri ω
~ )~ri ]
(5.79)
Gesamtdrehimpuls
Z
~
L=
~r2 ω
~ − (~rω
~ )~r dm
V
  
  
Lx
Ixx Ixy Ixz
ωx
~ = Ly  = Iyx Iyy Iyz  · ωy 
L
Lz
Izx Izy Izz
ωz
(5.80)
(5.81)
mit
Z
Ixx =
2
2
y + z dm
Z
= Iyx = −
xy dm
Z
Iyy =
V
Ixy
V
2
2
x + z dm
Z
= Izx = −
xz dm
Z
Ixz
V
x2 + y 2 dm
Z
= Izy = −
yz dm
Izz =
V
(5.82)
V
Iyz
(5.83)
V
65
5 Rotation
Tensorschreibweise
~ = I~
˜ω
L
(5.84)
Der Trägheitstensor ist ein Tensor 2. Stufe.
Rotationsenergie
Erot =
1 T˜
ω
~ I~
ω
2
(5.85)
Beispiel: rotationssymmetrischer Körper, ω
~ kẑ (feste Achse)
Abbildung 5.21: Rotationssymmetrischer Körper
Symmetrie
Ixz = Izx = 0
(5.86)
Izy = Iyz = 0
(5.87)
Ixy = Iyx = 0
(5.88)
Drehimpuls
  
  
Lx
0
Ixx 0
0
Ly  =  0 Iyy 0  ·  0 
0
0 Izz
ωz
Lz
   
0 0
~ =  0  0 
L
Lz
ωz
Lz = Izz ωz
Z
Z
2
Izz = x2 + y 2 dm =
r⊥
dm
v
(5.89)
(5.90)
(5.91)
(5.92)
V
Hauptträgheitsachsen:
Für jeden noch so komplizierten Körper gibt es drei aufeinander senkrecht stehende Drehachsen, die sich
~ ω gilt. In diesem Hauptachsensystem gilt
dadurch auszeichnen, dass für eine Rotation um die Achsen Lk~


Ia 0 0
I˜ =  0 Ib 0 
Ia ≤ Ib ≤ Ic
(5.93)
0 0 Ic
66
5.6 Der symmetrische Kreisel
Abbildung 5.22: Hauptachsensystem
Drehimpuls im Hauptachsensystem
~ = (La , Lb , Lc ) = (ωa Ia , ωb Ib , ωc Ic )
L
(5.94)
Rotationsenergie
Erot =
1 2
(ω Ia + ωb2 Ib + ωc2 Ic )
2 a
(5.95)
Asymmetrischer Kreisel (”Schuhkarton”, N O2 -Molekül): Ia 6= Ib 6= Ic 6= Ia
Symmetrischer Kreisel
• prolat: Ia < Ib = Ic (Zigarre)
• oblat: Ia = Ib < Ic (Frisbee)
Hauptachsen = Freie Achsen
Einfache Rotation um freie Achse ohne äußeres Drehmoment möglich. Allerdings: Nur Rotation um Achse
mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment sind stabil!
5.6 Der symmetrische Kreisel
Rotation um eine frei orientierbare Achse.
Abbildung 5.23: Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel
a) Kräftefreier symmetrischer Kreisel
z.B. oblater Kreisel Ia = Ib = I⊥ < Ic
67
5 Rotation
Abbildung 5.24: oblater Kreisel
â, b̂, ĉ Einheitsvektoren in Richtung der Hauptachsen (körperfestes Bezugssystem).
Momentane Drehachse
ω
~ = ωa â + ωb b̂ + ωc ĉ = (ωa , ωb ωc )

 
Ia 0 0
ωa
~ =  0 Ib 0   ωb  = Ia ωa â + Ib ωb b̂ + Ic ωc ĉ
L
0 0 Ic
ωc
(5.96)
(5.97)
kinetische Energie
Erot =
1
(Ia ωa2 + Ib ωb2 + Ic ωc2 )
2
(5.98)
b) Euler-Gleichungen
Vorsicht: â, b̂, ĉ rotieren mit Kreisel, sind zeitlich nicht konstant.
~
dL
dωa
dωb
dωc
dâ
db̂
dĉ
= Ia
â + Ib
b̂ + Ic
ĉ + Ia ωa
+ Ib ωb + Ic ωc
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(5.99)
Das körperfeste Bezugssystem dreht sich mit ω
~.
dâ
=ω
~ × â
dt
db̂
=ω
~ × b̂
dt
dĉ
=ω
~ × ĉ
dt
(5.100)
(5.101)
(5.102)
Damit ist
~
~0
dL
dL
~
=
+ω
~ ×L
dt
dt
68
(5.103)
5.6 Der symmetrische Kreisel
~0
dL
dt
Drehimpulsänderung durch Änderung der ωa , ωb , ωc im körperfesten System. Für die Komponenten
im Hauptachsensystem folgen die Euler-Gleichungen
dωa
+ (Ic − Ib )ωc ωb = Ma
dt
dωb
Ib
+ (Ia − Ic )ωa ωc = Mb
dt
dωc
+ (Ib − Ia )ωb ωa = Mc
Ic
dt
Ia
(5.104)
(5.105)
(5.106)
Weiter mit Kräftefreier Kreisel
~ =0
M
Ia = Ib
Ω :=
Ic − Ia
ωc
Ia
(5.107)
Daraus folgt
dωa
+ Ωωb = 0
dt
dωb
+ Ωωa = 0
dt
dωc
=0
dt
(5.108)
(5.109)
(5.110)
Lösung (mit Konstanten A, C)
ωa = A cos(Ωt)
(5.111)
ωb = A sin(Ωt)
(5.112)
ωc = C
(5.113)
Abbildung 5.25: Rastpol- und Nutationskegel
c) Präzession des symmetrischen Kreisels
schwerer Kreisel
~ ω kFigurenachse
Lk~
(5.114)
⇒ keine Nutation
69
5 Rotation
Abbildung 5.26: schwerer Kreisel
~ =R
~ × m~g
M
~ =
M
~
dL
dt
(5.115)
~ und ~g
führt zur Präzessionsbewegung ⊥R
Abbildung 5.27: schwerer Kreise (von oben)
~ =R
~ × m~g
M
~ ⊥L
~ ⇒ dL⊥
~ L
~
M
(5.116)
(5.117)
~ ändert sich nicht.
⇒ Betrag von L
~
dL
dϕ
=L
=M
dt
dt
~ =M
~ dt
dL
(5.118)
⇒ Präzessionsfrequenz
ωp =
70
dϕ
M
=
dt
L
(5.119)
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
a) Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem
Abbildung 5.28: Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem
1
~r = ~r0 + ~ut + ~at2
2
~v = ~v 0 + ~u + ~at
t=t
0
(5.120)
(5.121)
(5.122)
Abbildung 5.29: Kugel auf Wagen
Keine Reibung zwischen Kugel und Wagen.
Laborsystem
d~
pKugel
=0
dt
(5.123)
71
5 Rotation
Beschleunigtes Bezugssystem (Scheinkraft)
d~
p0Kugel
= −~am = F~
dt0
(5.124)
b) Rotierendes Bezugssystem
Abbildung 5.30: Rotierendes Bezugssystem
Allgemein gilt ω
~ beliebig
Inertialsystem O (z.B. Laborsystem)
~r = xx̂ + y ŷ + z ẑ = (x, y, z)
dy
dz
dx
x̂ +
ŷ + ẑ
~v =
dt
dt
dt
(5.125)
(5.126)
Beobachter im rotierenden Bezugssystem O0
~r0 = x0 x̂0 + y 0 ŷ 0 + z 0 ẑ 0
(5.127)
d~r0
dx0 0 dy 0 0 dz 0 0
~v 0 =
=
x̂ +
ŷ +
ẑ
dt
dt
dt
dt
(5.128)
r und r0 bezeichnen den selben Punkt.
Abbildung 5.31: Rotierendes Bezugssystem
72
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
(1, 1, 0) = (sin ωt + cos ωt, − sin ωt + cos ωt, 0)
(5.129)
0
x̂ = (cos ωt, sin ωt, 0)
(5.130)
0
ŷ = (− sin ωt, cos ωt, 0)
(5.131)
ẑ 0 = (0, 0, 1)
(5.132)
(1, 1, 0) = x0 x̂0 + y 0 ŷ 0 + z 0 ẑ 0
(5.133)
Geschwindigkeit für Beobachter O ausgedrückt in Koordinaten von O0 (berücksichtigen, dass x̂0 , ŷ 0 , ẑ 0
zeitabhängig sind).
~v =
dx0 0 dy 0 0 dz 0 0
dx̂0
dŷ 0
dẑ 0
x̂ +
ŷ +
ẑ +x0
+ y0
+ z0
dt
dt }
dt
dt
dt
|dt
{z
(5.134)
~
v0
Änderung der Einheitsvektoren
dx̂0
=ω
~ × x̂0
dt
dŷ 0
=ω
~ × ŷ 0
dt
dẑ 0
=ω
~ × ẑ 0
dt
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
Damit wird
x0
dx̂0
dŷ 0
dẑ 0
+ y0
+ z0
= x0 (~
ω × x̂0 ) + y 0 (~
ω × ŷ 0 ) + z 0 (~
ω × ẑ 0 ) =
dt
dt
dt
=ω
~ × (x0 x̂0 + y 0 ŷ 0 + z 0 ẑ 0 ) = ω
~ × ~r0
0
⇒ ~v = ~v + ω
~ × ~r
0
(5.139)
(5.140)
(5.141)
Beschleunigung für Beobachter O in Koordinaten von O0
d2 x0 0 d2 y 0 0 d2 z 0 0
~a =
x̂ + 2 ŷ + 2 ẑ + 2
2
dt{z
dt }
|dt
|
=~
a0
dx0 dx̂0
dy 0 dŷ 0
dz 0 dẑ 0
d2 x̂0
d2 ŷ 0
d2 ẑ 0
+
+
+ x0 2 + y 0 2 + z 0 2 = (5.142)
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt
dt }
{z
{z
} |
ω
~ ×(~
ω ×~
r0 )
=~
ω ×~
v0
= ~a0 + 2 · (~
ω × ~v 0 ) + ω
~ × (~
ω × ~r0 )
(5.143)
Wirkt auf einen Körper eine äußere Kraft F~ , dann stellt der Beobachter in O0 eine Kraft F~ 0 fest
F~ 0 = m~a0 = F~ − 2m(~
ω × ~v 0 ) − m(~
ω × (~
ω × ~r0 ))
|
{z
} |
{z
}
Corioliskraft
(5.144)
Zentrifugalkraft
73
5 Rotation
Abbildung 5.32: Coriolis- und Zentrifugalkraft
Coriolis-Kraft
F~c0 = −2m(~
ω × ~v 0 )
(5.145)
tritt nur auf, wenn sich Körper im rotierenden System bewegt.
Beispiel: Hoch- und Tiefdruckgebiet Betrag der Corioliskraft parallel zur Erdoberfläche (geographische
Breite α)
Fc0 = 2mv 0 ω sin α
(5.146)
Foucaultsches Pendel
Abbildung 5.33: Focaultsches Pendel
Bewegungsgleichungen
a=
74
d2 (rϕ)
d2 ϕ
d2 r
d2 ϕ
F
=
r
+
ϕ
=
r
=
= − sin ϕ ≈ −gϕ
2
2
2
2
dt
dt
dt
dt
m
(5.147)
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
Mit x0 = r sin ϕ ≈ rϕ folgt
Mit ω 2 =
g
r
g
d2 x0
= − x0
2
dt
r
(5.148)
d2 x0
= −ω 2 x0
dt2
(5.149)
x = A sin(ωt)
(5.150)
folgt
Lösungsansatz
2-dimensionales Pendel
d2 x0
= −ω 2 x0
dt2
d2 y 0
= −ω 2 y 0
dt2
(5.151)
(5.152)
Geschwindigkeit mit Ω im rotierenden Bezugssystem
0
dx dy 0
0
,
~v =
dt dt
(5.153)
Corioliskraft in x̂0 -ŷ 0 -Ebene
dy 0
dx0
0
0
~
~
Fc = 2m(Ω × ~v ) = 2m Ω
, −Ω
dt
dt
(5.154)
⇒ Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem
dy 0
d2 x0
2 0
=
−ω
x
+
2Ω
sin
α
dt2
dt
dx0
d2 y 0
2 0
= −ω y − 2Ω sin α
dt2
dt
(5.155)
(5.156)
Abbildung 5.34: Foucaultsches Pendel
ωs = sin α · ωE
(5.157)
νs = sin α · νE
νE =
1
24h
(5.158)
Rotaionsdauer der Schwindungsebene von
T =
1
24h
=
= 31, 8h
νE sin α
sin 49◦
(5.159)
75
5 Rotation
76
6 Die feste Materie
Kristalle
• regelmäßige Anordnung der Atome im Gitter.
• Nah- und Fernordnung.
• Eigenschaften können anisotrop sein.
Amorphe Festkörper
• keine Fernordnung
• Eigenschaften sind isotrop
6.1 Hookesches Gesetz
Abbildung 6.1: Hookesches Gesetz
Elastische Dehnung des Drahts/Stabs um ∆L L
F
∆L
=E
A
L
(6.1)
Mit Elastizitätsmodul E [1 mN2 = 1Pascal] (Youngscher Modulus).
Hookesches Gesetz
σ =E·ε
(6.2)
77
6 Die feste Materie
mit Zugspannung (Kraft pro Fläche) σ =
F
A
und relativer Dehnung ε =
∆L
L .
Kugel-Feder-Modell
Abbildung 6.2: Kugel-Feder-Modell
r Abstand zwischen Nachbarn, r0 Gleichgewichtsabstand.
Potentielle Energie ∼ Parabel in Umgebung des Gleichgewichtes.
Kraft
F =−
dEpot (r)
dr
(6.3)
⇒ F ist linear in r.
⇒ ”Federkonstante”
dF
d2 Epot (r)
=
= const.
dr
dr2
Große Auslenkung
⇒ Nichtlinearer Zusammenhang zwischen σ und ε aber noch elastisch.
Plastische Verformung (Fließen).
Abbildung 6.3: σ-ε-Diagramm
6.2 Querkontraktion
Ländenänderung ist mit Volumen- und Querschnittsveränderung verbunden.
78
(6.4)
6.3 Scherung und Torionsmodul
Abbildung 6.4: Querkontraktion
∆V = (d + ∆d)2 (L + ∆L) − d2 L =
2
(6.5)
2
2
= d ∆L + 2Ld∆d + (L∆d + 2d∆d∆L + ∆L∆d ) ≈
2
≈ d ∆L + 2Ld∆d
(6.6)
∆L L, ∆d d
(6.7)
2
⇒
∆V
d ∆L + 2Ld∆d
∆L
∆d
=
=
+2
V
d2 L
L
d
(6.8)
Definition: Poissonzahl µ
∆d
Querkontraktion
Dehnung
!
∆d
∆L
d
1 + 2 ∆L =
(1 − 2µ)
L
L
d
µ = − ∆L
=
L
⇒
∆V
∆L
=
V
L
(6.9)
(6.10)
Mit Hookschen Gesetz folgt
∆V
σ
= (1 − 2µ)
V
E
(6.11)
Volumenveränderung durch (hypostatischen) Druck von allen Seiten mit Kompressionsmodul k
∆p = −k
∆V
V
(6.12)
Zusammenhang zwischen Kompressivität κ, k, E
κ=
1
3
= (1 − 2µ)
k
E
(6.13)
6.3 Scherung und Torionsmodul
Kraft greift tangential auf Fläche an
79
6 Die feste Materie
Abbildung 6.5: Scherung und Torsion
Scherung
A = d2
(6.14)
dA = rdϕdr
(6.15)
Torsion
Scherspannung
~τ =
F~
A
(6.16)
Für Scherwinkel α gilt mit Schubmodul G
τ = Gα
Füranisotrope Körper (viele Kristalle) ist das Elastizitätsmodul ein Tensor.
80
(6.17)
7 Schwingungen
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Abbildung 7.1: Federpendel
Rückstellkraft
F = −cz
(7.1)
d2 z
= −cz
dt2
(7.2)
Bewegungsgleichung des Federpendels
m
a) Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators
d2 x
+ ω02 x = 0
dt2
x allgemeine Auslenkung, ω0 =
pc
m
(7.3)
für Federpendel
Allgemeine Lösung
x(t) = A cos(ωt + ϕ0 )
(7.4)
Ableitungen
dx(t)
= −ωA sin(ωt + ϕ0 )
dt
2
d x(t)
a=
= −ω 2 A cos(ωt + ϕ0 ) = −ω 2 x(t)
dt2
v=
(7.5)
(7.6)
81
7 Schwingungen
Einsetzung in die Bewegungsgleichung
−ω 2 x(t) + ω 2 x(t) = 0
(7.7)
Also ist x(t) eine Lösung für ω = ω0 .
Harmonische Schwingung
Abbildung 7.2: Harmonische Schwingung
Amplitude A und Phase ϕ0 werden durch die Anfangsbedingungen x(t = 0) und v(t = 0) festgelegt.
Diverse Pendel:
1. Federpendel
Abbildung 7.3: Federpendel
2. Torsionspendel
82
ma + F = 0
(7.8)
mẍ + kx = 0
k
ẍ + x = 0
m
(7.9)
ω02 =
k
m
(7.10)
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Abbildung 7.4: Torsionspendel
dL
=M
dt
I ϕ̈ + Dϕ = 0
D
ϕ̈ + ϕ = 0
I
(7.11)
(7.12)
D
ω02 =
I
(7.13)
3. Fadenpendel
Abbildung 7.5: Fadenpendel
mlϕ̈ + mg sin ϕ = 0
g
ϕ̈ + ϕ = 0
l
sin ϕ ≈ ϕ
g
ω02 =
l
(7.14)
(7.15)
4. U-Rohr
83
7 Schwingungen
Abbildung 7.6: U-Rohr
Rücktreibende Kraft F = 2xA%g, Beschleunigt wird Gesamtmasse M = lA% (l ist Länge der Säule).
M ẍ + mg = 0
(7.16)
lA%ẍ + 2A%gx = 0
g
ẍ + 2 x = 0
l
(7.17)
ω02
g
=2
l
(7.18)
b) Energie im harmonischen Oszillator
2
1
1
dx
1
mv 2 = m
= mω02 A2 sin2 (ω0 t + ϕ0 )
2
2
dt
2
Z x
Z x
1
1
=−
F dx =
cx dx = cx2 = mω02 A2 cos2 (ω0 t + ϕ0 )
2
2
0
0
1
1
2
2 2
2
= mω0 A sin (ω0 t + ϕ0 ) + cos (ω0 t + ϕ0 ) = mω02 A2 = const.
2
2
Ekin =
(7.19)
Epot
(7.20)
Epot + Ekin
(7.21)
Gesamtenergie bleibt konstant und oszilliert zwischen Epot und Ekin .
Komplexe Schreibweise (mit komplexem c und ω)
x(t) = ceiωt + c∗ e−iω
∗
t
(7.22)
7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Reibungskraft entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit
FR = γR
dx
dt
(7.23)
z.B. Stoke’sche Reibung (Kugel in Flüssigkeit: γR = 6πηr)
a) Bewegungsgleichung
d2 x γR dx
+
+ ω02 x = 0
dt2
m dt
84
(7.24)
7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Ansatz
x(t) = Ae−βt cos(ωt + ϕ0 )
(7.25)
Ableitungen
v(t) = −βAe−βt cos(ωt + ϕ0 ) − ωAe−βt sin(ωt + ϕ0 )
2
a(t) = β Ae
−βt
−βt
cos(ωt + ϕ0 ) + 2ωβAe
(7.26)
2
sin(ωt + ϕ0 ) − ω Ae
−βt
cos(ωt + ϕ0 )
in Bewegeungsgleichung
i
h
n
h
γR io
γR
β + ω02 + sin(ωt + ϕ0 ) 2ωβ −
ω =0
Ae−βt cos(ωt + ϕ0 ) β 2 − ω 2 −
m
m
(7.27)
(7.28)
Nur dann erfüllt, wenn [. . .]-Terme Null sind
⇒ β=
γR
2m
ω=
q
ω02 − β 2
(7.29)
Die Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators wird durch Dämpfung verringert.
Abbildung 7.7: Exponentielles Abklingen der Amplitude
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Ekin + Epot =
1
1
mv 2 + mω02 x2 =
2
2
2 1
1 m −βAe−βt cos(ωt + ϕ0 ) − ωAe−βt sin(ωt + ϕ0 ) + mω02 A2 e−2βt cos2 (ωt + ϕ0 ) =
2
2
1
1
= mA2 e−2βt β 2 cos2 +2βω cos sin +ω 2 sin2 +ω02 cos2 ≈ mω02 A2 e−2βt
2
2
=
(7.30)
(7.31)
(7.32)
für β ω0 , d.h. schwache Dämpfung
85
7 Schwingungen
Abbildung 7.8: Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Gesamtenergie fällt nach der Zeit t = τ =
1
2β
auf den e-ten Teil.
Allgemeine Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators
dx
d2 x
+ 2β
− ω02 x = 0
dt2
dt
(7.33)
c) Die Güte des Oszillators
Gütefaktor
Q=
gespeicherte Energie
E
=
1
T
∆E
im Zeitintervall ω = 2π abgegebene Energie
Für schwach gedämpften Oszillator β ω0 ≈ ω oder ω0 τ =
ω0
2β
(7.34)
≈ 1.
t
E = E 0 e− τ
t
1
1
dE
= − E0 e− τ = − E
dt
τ
τ
dE
1
1
∆E = ∆t
= − E0
dt
τ
ω0
⇒ Q = ω0 τ
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
d) Aperiodischer Grenzfall
β = ω0 ⇒ ω =
q
ω02 − β 2 = 0
−βt
⇒ x(t) = Ae
(7.39)
0 −βt
cos ϕ = A e
(7.40)
In diesem Spezialfall gibt es eine weitere Lösung
x(t) = Bte−βt
(7.41)
x(t) = (A + Bt)e−βt
(7.42)
Lösung
Schnellstmögliche Rückkehr in Ruhelage!
86
7.3 Erzwungene Schwingung
e) Starke Dämpfung
β > ω0 ⇒ ω =
q
ω02 − β 2 wird imaginär
(7.43)
Schwingung Aeiωt geht über in exponentielles Abklingen e−kt .
Ansatz
x(t) = Aekt
v(t) = kAe
2
(7.44)
kt
a(t) = k Ae
= kx(t)
kt
(7.45)
2
= k x(t)
(7.46)
in Bewegungsgleichung
k 2 x(t) + 2βkx(t) + ω02 x(t) = 0
2
(7.47)
ω02
k + 2βk +
=0
q
k = −β ± β 2 − ω02 = −β ± α
(7.48)
q
α = β 2 − ω02 reell
(7.49)
Lösung
x(t) = e−βt A1 eαt + A2 e−αt
(7.50)
A1 und A2 aus Anfangsbedingungen x(0) und v(0).
⇒ exponentielles Abklingen mit zwei Zeitkonstanten β ±α und langsamer als im aperiodischen Grenzfall.
7.3 Erzwungene Schwingung
Periodische äußere Kraft
F = F0 cos ωt
(7.51)
F = −c(z − z0 ) = −cz + cAext cos ωt
(7.52)
⇒ F0 = cAext
(7.53)
Abbildung 7.9: Erzwungene Schwingung
87
7 Schwingungen
Bewegungsgleichung
m
dz
d2 z
= −cz − γR
+ F0 cos ωt
2
dt
dt
(7.54)
Die von außen vorgegebene Kreisfrequenz ω und Kraft F0 können unabhängig von ω0 und β gewählt
werden.
Allgemeine Bewegungsgleichung des getriebenen gedämpften harmonischen Oszillators
d2 x
dx
+ 2β
+ ω02 x = k cos(ωt)
2
dt
dt
(7.55)
Für Federpendel
ω02 =
c
m
2β =
γR
m
k=
F0
m
(7.56)
Ansatz
x = A cos(ωt + ϕ)
dx
v=
= −ωA sin(ωt + ϕ)
dt
d2 x
a = 2 = −ω 2 A cos(ωt + ϕ)
dt
ω = anregende Frequenz
(7.57)
(7.58)
(7.59)
Einsetzen in Bewegungsgleichung
−ω 2 A cos(ωt0 + ϕ) − 2βωA sin(ωt0 + ϕ) + ω02 A cos(ωt0 + ϕ) = k cos(ωt0 )
(7.60)
Verschiebe Zeitenursprung
ωt0 −→ ωt − ϕ
(7.61)
Additionstheorem
⇒
cos(ωt − ϕ) = cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ
(7.62)
(ω02
(7.63)
2
− ω )A cos(ωt) − 2βωA sin(ωt) = k (cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ)
Koeffizienten von cos(ωt) und sin(ωt) müssen auf beiden Seiten gleich sein
(ω02 − ω 2 )A = k cos ϕ
ω
− A = k sin ϕ
τ
(7.64)
1
τ=
2β
(7.65)
Phasenverschiebung ϕ zwischen Anregung und Schwingung
tan ϕ =
− ωτ
− ω2
ω02
(7.66)
Amplitude der Schwingung (Gleichungen quadrieren und addieren)
(ω02 − ω 2 )2 A2 +
⇒ A= q
88
ω2 2
A = k 2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = k 2
τ2
k
(ω02
− ω 2 )2 +
(7.67)
(7.68)
ω2
τ2
7.3 Erzwungene Schwingung
Abbildung 7.10: Phasenverschiebung
Geringe Dämpfung ⇒ schnelle Phasenänderung bei ω0 .
Amplitude
A(ω = 0) =
k
=
ω02
F0
m
c
m
=
F0
c
A(ω → ∞) = 0
(7.69)
(7.70)
Maximale Amplitude = Minimum des Nenners
d
dω
ω 2 (ω02 − ω 2 )2 + 2 = 0
τ
ωR
2ω
R
2
−4ωR (ω02 − ωR
)+ 2 =0
τ
r
q
1
⇒ ωR = ω02 − 2 = ω02 − 2β 2
2τ
(7.71)
(7.72)
6=
p
ω0 − β freier gedämpfter Oszillator
(7.73)
kτ
ω0
k
ω02
(7.74)
Für große Gütefaktoren Q = ω0 τ 1 gilt ωR ≈ ω0
A(ω0 )
A(ωR )
≈
=
A(ω = 0)
A(ω = 0)
= ω0 τ = Q
Q bestimmt die Amplitudenüberhöhung.
89
7 Schwingungen
Abbildung 7.11: A-ω-Diagramm
Einschwingverhalten (inhomogene Differentialgleichung)
d2 x
dx
+ 2β
+ ω02 x = k cos ωt
dt2
dt
(7.75)
Lösung: allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL
ω0 =
x(t) = A1 e−βt cos(ω 0 t + ϕ0 ) + A2 cos(ωt + ϕ)
{z
}
|
{z
}
|
gedämpfte Schwingung
Einschwingverhalten
q
ω02 − β 2
(7.76)
erzwungene Schwingung
stationär
Absorbierte Leistung
dx
=
dt
= F0 cos ωt(−ωA sin(ωt + ϕ)) =
P (t, ω) = F (t)
(7.77)
(7.78)
= −F0 ωA [cos(ωt) sin(ωt) cos(ϕ) + cos(ωt) cos(ωt) sin(ϕ)] =
cos ϕ
sin ϕ
sin ϕ
= −F0 ωA
sin(2ωt) +
cos(2ωt) +
2
2
2
(7.79)
(7.80)
Mittelung über viele Perioden
1
t→∞ t
Z
P̄ (ω) = lim
t
P (t0 , ω) dt0 = −F0 ωA
0
sin ϕ
2
(7.81)
2
ω
1
τ
= mk 2 2
2
(ω0 − ω 2 ) +
90
ω2
τ2
(7.82)
7.4 Gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.12: P̄ -ω-Diagramm
Linienbreite
2∆ω =
1
τ
(7.83)
Schärfe des Resonanzmaximums
1
1
2∆ω
=
=
ω0
ω0 τ
Q
(7.84)
7.4 Gekoppelte Oszillatoren
a) Gekoppeltes Federpendel
Abbildung 7.13: Gekoppeltes Federpendel
im Folgenden m1 = m2 = m, c1 = c2 = c.
Zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen
d2 x1
dt2
d2 x2
m 2
dt
d2 (x1 + x2 )
⇒ m
dt2
d2 (x1 − x2 )
m
dt2
m
= −cx1 − c12 (x1 − x2 )
(7.85)
= −cx2 − c12 (x2 − x1 )
(7.86)
= −c(x1 + x2 )
(7.87)
= −c(x1 − x2 ) − 2c12 (x1 − x2 )
(7.88)
91
7 Schwingungen
Führe neue Koordinaten ein
1
(x1 + x2 )
2
1
q2 = (x1 − x2 )
2
c
d2 q1
+ q1 = 0
⇒
2
dt
m
c
d2 q2
2c12
+
+
q2 = 0
dt2
m
m
q1 =
(7.89)
(7.90)
(7.91)
(7.92)
Zwei unabhängige DGL vom Typ freier, ungedämpfter Oszillator
r
q1 = A1 cos(ω1 t + ϕ1 )
ω1 =
r
q2 = A2 cos(ω2 t + ϕ2 )
ω2 =
c
m
(7.93)
c
2c12
+
m
m
(7.94)
Eine Überlagerung beider Lösungen löst auch ursprüngliche Bewegungsgleichung. Normalschwingung:
Bewegungszustand, bei dem nur eine Normalkoordinate von Null verschieden ist.
Abbildung 7.14: Normalschwingung
Rücktransformation
x2 = q1 − q2
x1 = q1 + q2
Normalschwingungen
1. q2 = 0 ⇒ x1 = x2 = −q1
pc
Beide Massen schwingen in Phase mit ω1 = m
Abbildung 7.15: 1. Normalschwingung
2. q1 = 0 ⇒ x1 = −x2 = q2
Beide Massen schwingen gegenseitig mit ω2 =
92
q
c
m
+
2c12
m
(7.95)
7.4 Gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.16: 2. Normalschwingung
Schwebung (für A1 = A2 = A)
x1 = A {cos(ω1 t + ϕ1 + cos(ω2 t + ϕ2 )} =
ϕ1 + ϕ2
ω1 − ω2
ϕ1 + ϕ2
ω1 + ω2
= 2A cos
t+
cos
t+
2
2
2
2
ω1 + ω2
ϕ1 + ϕ2
ω1 − ω2
ϕ1 + ϕ2
x2 = −2A sin
t+
sin
t+
2
2
2
2
(7.96)
(7.97)
(7.98)
Abbildung 7.17: Schwebung
b) N gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.18: N gekoppelte Oszillatoren
d2 x
c
c
c
2c
c
= (x1 − x2 ) + (x3 − x2 ) = x1 − x2 + x3
2
dt
m
m
m
m
m
(7.99)
  
 
ẍ1
−2d
d
0
0
x1
ẍ2   d
  x2 
−2d
d
0
 =
 
ẍ3   0
d
−2d
d   x3 
ẍ4
0
0
d
−2d
x4
(7.100)
⇒ Gleichungssystem
93
7 Schwingungen
Ansatz
xi = Ai cos(ωt)
(7.101)
2
d xi
= −ω 2 xi
2
 
 dt 
x1
−2d
d
0
0
x1






d
−2d
d
0
x
2

 x2 
ω2 
x3  =  0
d
−2d
d  x3 
x4
0
0
d
−2d
x4
(7.102)
(7.103)
⇒ Eigenwertproblem (Eigenwerte: Frequenzen ω, Eigenvektoren: Amplituden Ai (ω).
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung
Schiffschaukel:
Verlagerung des Schwerpunktes, Veränderung der effektiven Pendellänge
Abbildung 7.19: Schiffschaukel
Fliehkraft maximal bei ϕ = 0 und Null bei ϕmax .
Aufstehen bei ϕ = 0 ⇒ Leiste Arbeit ∆E = mω 2 l∆x.
In die Knie gehen bei ϕmax ⇒ ohne Arbeit ∆E = 0.
Abschätzung
Ekin (ϕ = 0) =
1
1
mv 2 = mω 2 l2
2
2
(7.104)
Energiegewinn pro Periode
∆E
2mω 2 l∆x
∆x
= 1
=4
2 l2
E
l
mω
2
(7.105)
⇒ Anwachsen der Schwingung
t
E = E 0 e− τ
94
τ=
Tl
4∆x
(7.106)
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung
Bewegungsgleichung:
Periodische Änderung der Fadenlänge l mit Frequenz ω führt zu periodischer Änderung der Frequenz
ω0 (t).
mit ω02 (t) =
g
l(t)
d2 ϕ
+ ω02 (t)ϕ = 0
dt2
(7.107)
d2 ϕ
+ ω02 (1 + ε sin ωt)ϕ = 0
dt2
(7.108)
und l(t) = l(1 − ε sin ωt).
Resonanz bei ω = 2ω0 .
Parameter ω02 wird moduliert. ⇒ parametrisierter Oszillator.
95
7 Schwingungen
96
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.1 Nichtlinearer Oszillator
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels
d2 ϕ
+ ω02 sin ϕ = 0
dt2
r
ω0 =
g
l
(8.1)
Taylorentwicklung von sin ϕ um ϕ = 0
ϕ3
ϕ5
+
− ...
3!
5!
Abbruch nach 1. Term sin ϕ ≈ ϕ ⇒ harmonischer Oszillator
Abschätzung
sin ϕ = ϕ −
ϕ3 1
= 10−3
3! ϕ
ϕ3 1
⇒
= 0, 1
3! ϕ
ϕ = 5◦
⇒
ϕ = 45◦
(8.2)
(8.3)
(8.4)
Mitnahme des ϕ3 -Terms führt zu nichtlinearer DGL
ω02 3
d2 ϕ
2
+
ω
ϕ
−
ϕ =0
0
dt2
6
Bewegungsgleichung eines anharmonischen Oszillators
(8.5)
Abbildung 8.1: Stangenpendel und Epot -ϕ-Diagramm
Potentielle Energie
Epot = mgh = mgl(1 − cos ϕ)
Taylor-Entwicklung von f (ϕ) = 1 − cos ϕ um ϕ = 0
1 df (ϕ) 1 d2 f (ϕ) f (ϕ) = f (0) +
·ϕ+
· ϕ2 + . . . =
1! dϕ ϕ=0
2! dϕ2 ϕ=0
1
1
1
= 0 + sin(ϕ = 0)ϕ + cos(ϕ = 0)ϕ2 − sin(ϕ = 0)ϕ3 −
cos(ϕ = 0)ϕ4 + . . .
2
6
24
1 2
1
Epot = mgl
ϕ − ϕ4 + . . .
2
24
(8.6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
97
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Für harmonische Näherung: Abbruch nach 1. Term
Epot =
m 2
lϕ
g
(8.10)
Kraft
F~ = −gradEpot
(8.11)
für harmonische Näherung gilt
d
dEpot
F =−
=−
ds
ds
1 g 2
m s
2 l
g
= −m s = −mgϕ
l
(8.12)
exakt
F =−
s s
d mgl 1 − cos
= −mg sin = −mg sin ϕ
ds
l
l
(8.13)
b) Berechnung der Schwingungsperiode
Gesamtenergie
E = Ekin + Epot = Epot (ϕ0 )
1
mv 2 + mgl(1 − cos ϕ) = mgl(1 − cos ϕ0 )
2
2
1 2 dϕ
ml
= mgl(cos ϕ − cos ϕ0 )
2
dt
r
2g
dϕ
=
(cos ϕ − cos ϕ0 )
dt
l
Integration über
1
4
ϕ0 = Maximalauslenkung
(8.14)
(8.15)
(8.16)
(8.17)
Periode
s
l
2g
ϕ0
Z
√
0
T =√
4
2ω0
1
dϕ =
cos ϕ − cos ϕ0
Z
ϕ0
√
0
Z
T
4
dt =
0
1
dϕ
cos ϕ − cos ϕ0
1
T
4
(8.18)
(8.19)
Elliptisches Integral, nicht analytisch lösbar!
c) Beschreibung im Phasenraum
Bisher: Bewegungsgleichung 2. Ordnung
d2 ϕ
+ ω02 sin ϕ = 0
dt2
(8.20)
Darstellung von ϕ(t), ϕ̇(t), ϕ̈(t).
Überführung in ein System aus DGL 1. Ordnung
dω
= −ω02 sin ϕ
dt
dϕ
=ω
dt
98
(8.21)
(8.22)
8.1 Nichtlinearer Oszillator
Allgemein
dv
= f1 (v, x)
(8.23)
dt
dx
v=
= f2 (v, x)
(8.24)
dt
Beschreibe den Zustand des Systems durch N zeitabhängige Größen ζ(t),die zu einem Vektor X(t) im
Phasenraum zusammengefasst werden
a=
X(t) = {ζ1 (t), ζ2 (t), . . .}
(8.25)
hier X(t) = {ω, ϕ}
(8.26)
Beispiel: gedämfter harmonischer Oszillator
x(t) = Ae−βt cos(ωt)
−βt
v(t) = −Aωe
(8.27)
β ω0
sin(ωt)
(8.28)
Phasenraum
Abbildung 8.2: Trajektorie im Phasenraum
Zeitliche Änderung
d
X(t) =
dt
d
d
ζ1 (t), ζ2 (t), . . .
dt
dt
(8.29)
Fixpunkt X(t) = 0.
Stangenpendel
Ẋ =
−ω02
sin ϕ, ω =
d
d
f1 (ω, ϕ), f2 (ω, ϕ)
dt
dt
(8.30)
ist ein deterministisches und ein autonomes System. Die Änderung Ẋ von X hängt nur vom Zustand
Xab (vom Ort X im Phasenraum) ⇒ unterschiedliche Trajektorien überschneiden sich nicht.
Trajektorien für Stangenpendel
1 2 2
ml ω − mgl cos ϕ = Eges
2
2
ω2 =
(mgl cos ϕ + Eges ) = 2ω02 cos ϕ + c
2
ml
q
Ekin + Epot =
ω = ± 2ω02 cos ϕ + c
(8.31)
(8.32)
(8.33)
99
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.2 Duffing-Oszillator
Spiegelsymmetrisches Potential
Epot (x) =
1 2 1
cx + cεx4
2
4
(8.34)
Rüchtreibende Kraft
F =−
dEpot
= −cx − cεx3 = −c(x + εx3 )
dx
(8.35)
Oft: Taylorentwicklung eines Potentials um Ruhelage. Inversionssymmetrie ⇒ xn -Terme mit ungeradzahligem n verschwinden. Fall: c > 0, ε > 0
Abbildung 8.3: Epot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0
mit |x| zunehmende Federkonstante
Fall c > 0, ε < 0
Abbildung 8.4: Epot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0
100
8.2 Duffing-Oszillator
Schwingung möglich, mit Amplitude abnehmende Federkonstante, z.B. Fadenpendel in Näherung sin ϕ ≈
3
ϕ − ϕ6 = Duffing-Oszillator mit c = ω02 , ε = − 61 .
Fall: c < 0, ε < 0
Abbildung 8.5: Epot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0
Doppelnullpotential
Bewegungsgleichung
d2 x
dx
+ 2β
+ ω02 (x + εx3 ) = k cos(ωt + ϕ)
dt2
dt
(8.36)
= getriebener Oszillator + anharmonischer Term
⇒ Frequenz wird abhängen von ω02 , β und Amplitude εx2 .
Lösung enthält Terme ∼ cos[(2i + 1)ωt + ϕ0 ] mit i = 0, 1, 2, . . .. cos(ωt) ist dominanter Term.
Iterative Lösung
x0 = A0 cos(ωt)
(8.37)
Bemerkung
d2 x1
dx0
− ω02 (x + εx3 ) + k cos(ωt + ϕ)
= −2β
2
dt
dt
x1 (t) = A1,0 cos(ωt) + A1,1 cos(3ωt + ϕ1,1 )
x2 (t) = A2,0 cos(ωt) + A2,1 cos(3ωt + ϕ2,1 ) + A2,2 cos(5ωt + ϕ2,2 )
n
X
xn (t) =
An,i cos [(2i + 1)ωt + ϕn,i ]
(8.38)
(8.39)
(8.40)
(8.41)
i=0
101
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Iterative Lösung in DGL einsetzen und integrieren
d2 x1 (t)
= −2βA0 ω sin(ωt) − ω02 A0 cos(ωt) − εω02 A30 cos3 (ωt) + k cos(ωt + ϕ)
dt
1
3
cos3 (ωt) = cos(ωt) + cos(3ωt)
4
4
k cos(ωt + ϕ) = H cos(ωt) + G sin(ωt)
p
H = k cos ϕ, G = k sin ϕ, k = G2 + H 2
εω02 A30
ω2
1
cos(3ωt)
⇒ x1 (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) +
36 1
3
1
a = 2 ω02 A0 + εω02 A30 − H , b = − 2 (2ωβA0 − G)
ω
4
ω
(8.42)
(8.43)
(8.44)
(8.45)
(8.46)
(8.47)
Koeffizientenvergleich ⇒ a = A1,0 , b = 0
3
H = (ω02 − ω 2 )A0 + εω02 A30
4
G = 2βωA0
(8.48)
(8.49)
Phasenwinkel
tan ϕ =
2βωA0
G
= 2
H
(ω0 − ω 2 )A0 + 43 εω02 A30
(8.50)
Amplitude
s
(ω02
−
ω 2 )A
3 2 3
0 + εω0 A0
4
2
+ (2βωA0 )2 = k
(8.51)
Amplitude des 3ωt-Terms
A1,1 =
1 εω02 A30
36 ω 2
Resonanzkurve (ω02 > 0, ε > 0)
Abbildung 8.6: Resonanzkurve des Duffing-Oszillators
102
(8.52)
8.3 Selbsterregende Schwingungen
Zwischen ω− und ω+ exisitieren 3 Lösungen, von denen eine instabil ist.
⇒ Bistabilität
⇒ Hysterese
Phänomene
• Periodenverdopplung (Bifurkation)
• Chaos
8.3 Selbsterregende Schwingungen
Beispiel: Geigensaite, Uhr, Radiosender (Generator)
Prinzip: Oszillator + Energiequelle (Bogen, Feder, Batterie). Oszillator holt zum selbstbestimmten Zeitpunkt Energie ab und entdämpft sich damit.
Abbildung 8.7: Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite
Van-der-Pol-Oszillator
d2 x
dx
− µ(1 − x2 )
+ ω02 x = 0
2
dt
dt
(8.53)
negative Dämpfung −µ für kleine Amplituden
positive Dämpfung −µ(1 − x2 ) für große Amplituden
⇒ Amplitude wächst, bis das System einen Grenzzyklus erreicht, bei dem sich Energiezufuhr und Dämpfung kompensieren. Realisierung z.B. mit elektronischen Bauelementen.
Getriebener Van-der-Pol-Oszillator
d2 x
dx
− µ(1 − x2 )
+ ω02 x = k cos(ωt)
dt2
dt
(8.54)
Phänomene
• periodische oder quasiüeriodische Trajektorien
• Frequenzkamm
• Synchronisation (”locking”) des Oszillators mit der treibenden Frequenz
103
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos
Beispiel: Populationsdynamik
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung)
dN
= AN
dt
1−
N
Nst
(8.55)
A Geburtsnrate-Sterberate, Nst Sättigungszustand.
Lösung
N = N0
Nst
N0 + (Nst − N0 )e−At
(8.56)
”Sättigungskurve”, eponetielles Wachstum bis zur Sättigung bei Nst .
b) Diskret
Jedes Jahr eine Generation, logistische Gleichung
N
Ni+1 = aNi 1 −
k
(8.57)
Erwarteter stationärer Zustand
Ni+1 = Ni = N
N
N = aN 1 −
k
1
⇒ N =k 1−
a
(8.58)
(8.59)
(8.60)
a < 1 ⇒ N → 0 Aussterben
Normierung
x=
N
k
(8.61)
⇒ logistische Gleichung
xi+1 = axi (1 − xi )
Iteration
104
(8.62)
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos
Abbildung 8.8: Iteration
3 < a < a∞ : die xn oszillieren zwischen 2k Werten.
3 < a < 3, 449: k = 1
3, 449 < a < 3, 544: k = 2 = Bifurkation
Für k 1 gilt
ak = a∞ −
c
δk
(8.63)
Mit Feigenbaumkonstante δ
ak − ak−1
= 4, 669201609 . . .
k→∞ ak+1 − ak
δ = lim
(8.64)
ak geht gegen den Grenzwert a∞ = 3, 5699456 . . .
Ab a∞ setzt Chaos ein. Für große Werte von a (a > a∞ ) gibt es Lücken mit regulärem Verhalten
(Intermittenz).
105
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
106
9 Mechanische Wellen
Schwingungen:
harmonische Oszillation eines (oder mehrerer) Körper: x(t).
Welle:
Kopplung räumlich benachbarter Punkte (Bereiche) ⇒ Ausbreitung einer Welle y(x, t).
Beispiel:
1-dimensional: Seilwelle, Luftsäule in Rohr (Orgelpfeife)
2-dimensional: Wasseroberfläche, Membran (Pauke)
3-dimensional: Schallwelle (Gas, Flüssigkeit, Festkörper), elektromagnetische Wellen (Radio, Licht, Röntgen, γ)
Was ist die zugrunde liegende Bewegungsgleichung?
9.1 Seilwelle
Transversalschwingung eines Seils oder Saite.
Abbildung 9.1: Seilwelle
Näherung
• kleine Auslenkung
dy
dx
1
• Zugkraft immer tangentialund vom Betrag konstant
• keine Schwerung oder Torsion (1-dimensionales Problem, dünnes Seil)
• keine nicht-linearen Effekte
• keine Dämpfung
• Gravitation vernachlässigbar
2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM
107
9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.2: 2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM
A Querschnittsfläche [m2 ]
kg
% Dichte [ m
3]
σ Zugspannung [ mN2 ] konstant, gegeben durch Vorspannung des Seils
dM Massenelement [kg]
y Auslenkung [m]
α Winkel zur x-Achse
Fy y-Komponente der Kraft N
Fy (x, t) = Aσ sin(α(x, t))
(9.1)
Wir suchen α(x, t) ⇒ Wellenform y(x, t).
Taylorentwicklung
1
sin α = α − α3 + . . .
6
1
tan α = α + α3 + . . .
3
für kleine Auslenkungen sin α ≈ tan α ≈
(9.2)
(9.3)
∂y
∂t
∂y
∂x
∂Fy
∂2y
= Aσ 2
∂x
∂x
Fy = Aσ
(9.4)
(9.5)
Resultierende Kraft auf Massenelement dM
Fy (x + dx) − Fy (x) =
∂2y
∂Fy
dx = Aσ 2 dx
∂x
∂x
(9.6)
2. Newton
dM
∂2y
∂2y
∂2y
=
%Adx
=
Aσ
dx
∂t2
∂t2
∂x2
(9.7)
⇒ Wellengleichung
∂2y
σ ∂y 2
=
2
∂t
% ∂x2
Welche Funktionen y = F (x, t) lösen diese Wellengleichung?
108
(9.8)
9.1 Seilwelle
a) Puls
Beliebiger Puls, der mit der Geschwindigkeit c in ±x-Richtung läuft, ohne seine Form zu ändern.
Abbildung 9.3: Puls
y(x, t) = F (x ∓ ct) = F (a)
a = x ∓ ct
(9.9)
Setze t1 = 0 ⇒ Pulsform y = F (x). Nach Zeit ∆t: y = F (x−c∆t) = Verschiebung um c∆t in +x-Richtung.
Einsetzen in Wellengleichung
∂y
∂F ∂a
∂F
=
=
(∓c)
∂t
∂a ∂t
∂a
2
∂ 2 F ∂a
∂F ∂ 2 a
∂2F 2
∂2y
=
+
=
c
∂t2
∂a2 ∂t
∂a ∂t2
∂a2
2
∂2y
∂F ∂ 2 a
∂ 2 F ∂a
∂2F
+
=
=
∂x2
∂a2 ∂x
∂a ∂x2
∂a2
2
2
∂ F 2
σ∂ F
⇒
c =
∂a2
% ∂a2
q
y(x, t) = F (x ∓ ct) erfüllt Wellengleichung für c = ∓ σ% . c ist die Geschwindigkeit des Pulses.
(9.10)
(9.11)
(9.12)
(9.13)
Damit
kann die Wellengleichung geschrieben werden als
∂2y
∂2y
= c2 2
2
∂t
∂x
(9.14)
b) Sinusförmige (harmonische) Welle
y(x, t) = A0 sin
2π
(x − ct)
λ
=
= A0 sin(kx − ωt) = F (a)
(9.15)
a = x − ct
(9.16)
⇒ Welle läuft mit Geschwindigkeit c in +x-Richtung.
Amplitude zu festen Zeitpunkt
109
9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.4: Amplitude zu festen Zeitpunkt
Wellenlänge λ
Wellenzahl k =
2π
λ
Amplitude an festem Ort
Abbildung 9.5: Amplitude an festem Ort
Periode T
Kreisfrequenz ω =
2π
T
= 2πf mit Frequenz f .
∂2y
= −k 2 A0 sin(kx − ωt)
∂x2
∂2y
= −ω 2 A0 sin(kx − ωt)
∂t2
(9.17)
(9.18)
in Wellengleichung einsetzen
−ω 2 A0 sin(kx − ωt) = −c2 k 2 A0 sin(kx − ωt)
(9.19)
Erfüllt für alle Zeiten t und Orte x, wenn
ω
= ±c
k
oder f λ = ±c
mit c =
q
σ
%
hmi
si
hm
s
(9.20)
(9.21)
für Seilwelle
c) Superpositionsprinzip
Gilt für lineare Wellengleichungen. Sind y1 (x, t) und y2 (x, t) Lösungen der Wellengleichung, dann ist auch
y1 (x, t) + y2 (x, t) Lösung der Wellengleichung.
110
9.1 Seilwelle
Abbildung 9.6: Superpositionsprinzip
d) Reflexion am festen Ende
Randbedingung y(xe , t) = 0 wird erfüllt durch Überlagerung einer ein- und auslaufenden Welle.
Abbildung 9.7: Reflexion am festen Ende
Der reflektierte Puls ist invertiert!
Refelxion einer harmonischen Welle F (x − ct) = A0 sin(kx − ωt) am festen Ende.
y(x, t) = A0 sin(kx − ωt) − A0 sin(−kx − ωt) =
(9.22)
= A0 [sin(kx) cos(ωt) − cos(kx) sin(ωt) + sin(kx) cos(ωt) + cos(kx) sin(ωt)] =
(9.23)
= 2A0 sin(kx) cos(ωt)
(9.24)
Stehende Welle
111
9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.8: Stehende Welle
mit Schwingungsknoten bei x = 0 und bei kx = 2π
λ x = nπ mit n = 0, 1, 2, 3, . . .
⇒ x = n λ2 Feste Position für Schwingungsknoten und -bäuche.
e) Reflexion am offenen Ende
∂y
= 0 bei xe = 0.
Keine Kraft in y-Richtung, Fy = Aσ ∂x
∂y
⇒ Randbedingung ∂x = 0 bei xe .
Abbildung 9.9: Reflexion am offenen Ende
Reflektierte Welle ist nicht invertiert!
y(x, t) = F (x − ct) + F (−x − ct)
(9.25)
Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende
y(x, t) = A0 sin(kx − ωt) + A0 sin(−kx − ωt) = . . . =
= 2A0 cos(kx) sin(ωt)
Abbildung 9.10: Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende
112
(9.26)
(9.27)
9.1 Seilwelle
Schwingungsknoten bei kx =
2π
λ x
= nπ +
π
2
oder x = (2n + 1) λ4 mit n = 0, 1, 2, . . .
∂y =0
= 2A0 k sin(kx) sin(ωt)
∂x x=0
x=0
(9.28)
⇒ Randbedinung erfüllt.
f ) Eigenschwingung einer Saite
Saite der Länge L, die an beiden Enden fest eingespannt ist.
Abbildung 9.11: Saite der Länge L
Wellengeschwindigkeit
r
c=
σ
%
(9.29)
Randbedingungen
y(x = 0, t) = 0
y(x = L, t) = 0
(9.30)
Lösung: stehende Wellen mit Schwingungsknoten bei x = 0, x = L
Abbildung 9.12: Stehende Wellen
113
9 Mechanische Wellen
Stehende Wellen
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt)
(9.31)
y(0, t) = 0
∀t
y(L, t) = 2A sin(kL) cos(ωt) = 0
∀t, wenn kL =
(9.32)
2π
L = nπ
λ
(9.33)
Für Wellenlängen gilt
2L
n
(9.34)
c
c
=n
λ
2L
(9.35)
λ=
Für Frequenzen gilt
f=
Harmonische (reine) Stimmung
c
131 Hz
n=1
c
262 Hz
n=2
g
393 Hz
n=3
c’
524 Hz
n=4
e’
655 Hz
n=5
Oktave 2 : 1
Quinte 3 : 2
Quarte 4 : 3
große Terz 5 : 4
Das Obertonspektrum eines Saiteninstruments folgt diese Frequenzreihe ⇒ Klangfarbe
3 12
12
27
= 1, 01364 . . .
Temperierte Stimmung: 12 Halbtonschritte je Oktave, Frequenzintervall
Quinte (7 Halbtonschritte): (1, 059)7 = 1, 489 6= 23
(9.36)
√
12
2 ≈ 1, 059
g) Energietransport einer harmonischen Seilwelle
Abbildung 9.13: Energietransport einer harmonischen Seilwelle
114
9.2 Schallwelle
Übertragene Lesitung
P = fy vy = −Aσ
∂y ∂y
∂x ∂t
y = A0 sin(kx − ωt)
(9.37)
Folgt
P = −AσA20 k(−ω) cos2 (kx − ωt)
(9.38)
Mittelung über eine (oder viele) Perioden
hcos2 (kx − ωt)i =
Verwende
ω
k
= c und c =
q
σ
%
1
2
(9.39)
und %1d = A%
hP i =
1
%1d cω 2 A20
2
(9.40)
Energie, die in einem Zeitintervall ∆t an x1 vorbei transportiert wird
h∆Ei = hP i · ∆t
(9.41)
Diese Energie ist in einem Stück des Seils der Länge ∆x = c · ∆t gespeichert.
h∆Ei =
1
1
%1d cω 2 A20 ∆t = %1d ω 2 A20 ∆x
2
2
(9.42)
9.2 Schallwelle
a) Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern
1-dimensional: Dichtewelle in Rohr
Abbildung 9.14: Dichtewelle in Rohr
Volumen
V = A · ∆x
(9.43)
Kraft
F = −A ·
∂P
∆x
|∂x{z }
(9.44)
Druckdifferenz
2. Newtonsches Gesetz: ma = F
∂v
∂P
= −A
∆x
∂t
∂x
∂v
1 ∂P
⇒
=−
∂t
% ∂x
%A∆x
(9.45)
(9.46)
115
9 Mechanische Wellen
Volumenänderung
∂v
∆x ·∆t
|∂x{z }
∆V = A ·
(9.47)
Geschwindigkeitsdifferenz
∆V
∂v
=
∆t
V
∂x
(9.48)
Volumen- und Druckänderung hängen über Kompressibilität κ zusammen
∆V
= −κ · ∆P
V
∂P
1 ∂v
⇒
=−
∂t
κ ∂x
(9.49)
(9.50)
Daraus folgt
∂2v
1 ∂2P
=−
∂t∂x
% ∂x2
2
∂ P
1 ∂2v
=
−
∂t2
κ ∂t∂x
∂
⇒
∂x
∂
(9.50)
⇒
∂t
(9.46)
(9.51)
(9.52)
Wellengleichung für Druck
1 ∂2P
∂2P
=
2
∂t
κ% ∂x2
(9.53)
P (x, t) = P0 sin(kx − ωt)
(9.54)
Lösung: harmonische Welle
P0 Amplitude der Druckdifferenz zum statischen Druck.
∂2v
1 ∂2P
=
−
∂t2
% ∂x∂t
∂2P
1 ∂2v
=−
∂t∂x
κ ∂x2
∂
⇒
∂t
∂
(9.50)
⇒
∂x
(9.46)
(9.55)
(9.56)
⇒ Wellengleichung für Schallschnelle v
1 ∂2v
∂2v
=
∂t2
κ% ∂x2
(9.57)
v(x, t) = v0 sin((kx − ωt) + ϕ)
(9.58)
Lösung
Schallgeschwindigkeit
r
c=
Luft (Normaldruck)
Raumtemperatur
Helium
Wasser
116
1
κ%
m
c = 332(1 + 0, 00166 ∆T
◦C ) s
m
c = 343 s
c = 965 ms
c = 1497 ms
(9.59)
9.2 Schallwelle
Aus Zusammenhang
∂v
∂t
= − %1 ∂P
∂x folgt
1
− ωv0 cos(kx − ωt + ϕ) = − kP0 cos(kx − ωt)
%
⇒ ϕ=0
(9.60)
(9.61)
d.h. v und P sind in Phase für laufende Welle.
P0 = %cv0
(9.62)
Definition: Impedanz = Wellenwiderstand
z=
P0
= %c
v0
(9.63)
kg
Luft: 428(1, 0 − 0, 0017 ∆T
◦ C ) m2 s
b) Stehende Schallwelle
Geschlossene Enden:
v = 0 Reflexion am festen Ende.
∆P maximal: Reflexion am losen Ende.
v = v0 sin(kx − ωt) − v0 sin(−kx − ωt) = 2v0 sin(kx) cos(ωt)
(9.64)
P = P0 sin(kx − ωt) + P0 sin(−kx − ωt) = 2P0 cos(kx) sin(ωt)
(9.65)
Abbildung 9.15: Stehende Schallwelle (geschlossene Enden)
offenes Ende:
P = Umgebungsdruck ⇒ P0 = 0 festes Ende.
∆v maximal loses Ende.
117
9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.16: Stehende Schallwelle (offenes Ende)
geschlossenes Ende: Impedanz z = Pv00 = ∞.
offenes Ende: Impedanz z = Pv00 = 0.
c) Intensität
I=
mittlere Leistung
1 P02
=
Fläche
2 %c
(9.66)
Lautstärke wird logarithmischen Skalen in dB gemessen.
I
I0
W
I0 = 10−12 2
m
β = 10 log
I0 ist die Intensität an der Hörschwelle bei 1kHz.
d) Wellen im Raum
Ebene Wellen mit beliebiger Ausbreitungsrichtung
Abbildung 9.17: Ebene Welle im Raum
118
(9.67)
(9.68)
9.2 Schallwelle
ζ = A sin(~k~r − ωt)
(9.69)
ζ Auslenkung
A Amplitude
~k Wellenvektor definiert Ausbreitungsrichtung und Wellenlänge |~k| =
2π
λ .
3d-Wellengleichung
∆ζ =
1 ∂2ζ
c2 ∂t2
∆=
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
(9.70)
Kugelwelle
Abbildung 9.18: Kugelwelle
1
(9.71)
ζ = A sin(kr − ωt)
r
ζ löst 3d-Wellengleichung (3. Semester). Durch jede konzentrische Kugelschale geht gleiche Leistung
(Intensität × Fläche)
1 (P0 1r )2
4πr2 = const.
2 %c
(9.72)
e) Akustischer Dopplereffekt
Schallquelle bewegt sich mit Geschwindigkeit u.
⇒ Wellenlänge vor (nach) Quelle wird verkürzt (verlängert) auf
λ = λ0 ∓ uT
u
λ = λ0 1 ∓
c
⇒ gemessene Frequenz vor (hinter) Quelle
f=
T =
1
λ0
=
f
c
(9.73)
(9.74)
c
1
c
=
u = f0
λ
λ0 (1 ∓ c )
1∓
u
c
(9.75)
Beobachter bewegt sich mit u.
⇒ Schallgeschwindigkeit relativ zum Beobachter
c0 = c ± u
(9.76)
⇒ Frequenz
f=
u
c±u
= f0 1 ±
λ0
c
(9.77)
119
9 Mechanische Wellen
f ) Mach’scher Kegel
Quelle bewegt sich schneller als die Schallgeschwindigkeit u > c.
⇒ Schall wird in Kegel mit Öffnungswinkel α abgestrahlt.
Abbildung 9.19: Mach’scher Kegel
c
u
(9.78)
u
1
=
c
sin α
(9.79)
sin α =
Mach-Zahl
9.3 Wasserwelle
Oberflächenwelle
1. Schwerewelle: rücktreibende Kraft: Gravitation
2. Kapillarwelle: rücktreibende Kraft: Oberflächenspannung σ
Abbildung 9.20: Overflächenwelle
2
c =
gλ 2πσ
+
2π
%λ
tanh
2πh
λ
(9.80)
h Wassertiefe
Näherung für Schwerewelle
h > λ ⇒ c = sqrt
gλ
2π
(9.81)
Flaches Wasser (h λ)
tanh
Dispersion: c hängt von λ ab
120
p
2πh
2πh
≈
⇒ c = gh
λ
λ
(9.82)
9.4 Frequenzspektrum
Abbildung 9.21: Dispersion
9.4 Frequenzspektrum
Jede periodische Funktion lässt sich als Summe harmonischer Funktionen darstellen.
räumlich
∞
F (x) =
a0 X
+
an sin(nk0 x + ϕn )
2
n=1
F̃ (t) =
ã0 X
+
ãn sin(nω0 t + ϕ̃n )
2
n=1
(9.83)
zeitlich
∞
(9.84)
Periodische Funktion ⇒ diskrete Fourier-Transformation
k0 =
2π
λ0
ω0 =
2π
T
(9.85)
Beispiel: Rechteckkurve
F (x) = sin(k0 x) +
1
1
sin(3k0 x) + 2 sin(5k0 x) − . . .
2
3
5
(9.86)
1
1
sin(2k0 x) + sin(3k0 x) + . . .
2
3
(9.87)
Beispiel: Sägezahnkurve
F (x) = sin(k0 x) +
Abbildung 9.22: Fouriertransformation
Übergang zu nicht periodischen Vorgängen
121
9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.23: Nicht periodische Vorgänge
Ein einzlener Puls λ0 → ∞, k0 → 0.
Fourierreihe → Fourierintegral
Beispiel: endlicher Wellenzug
Ortsraum/k-Raum:
Abbildung 9.24: Ortsraum
Fourier-Transformtion (Integral)
a(k) = c∆x
sin
1
2 (k
− kp )∆x
1
(k
−
kp )∆x
2
(9.88)
Abbildung 9.25: Fourier-Transformation
Nullstellen bei
1
(k − kp )∆x = π
2
1
∆x ∝
∆k
(9.89)
(9.90)
kurzer Puls → breites Spektrum.
Es gilt (in etwa, hängt von den Einhüllenden ab)
∆x∆k ≥ 2π
Zeit- und Frequenzraum:
Ersetze x → t, F (x) → F̃ (t), k → ω, a(k) → ã(ω).
122
(9.91)
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Zeitverlauf ↔ Frequenzspektrum
Es gilt
∆ω∆t ≥ 2π
(9.92)
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
y(x, t) = y1 + y2 = sin(k1 x − ω1 t) + sin(k2 x − ω2 t) =
ω1 + ω2
k1 − k2
ω1 − ω2
k1 + k2
x−
t cos
x−
t =
= 2 sin
2
2
2
2
1
= 2 sin(kx − ωt) cos
(∆kx − ∆ωt)
2
k=
k1 +k2
2 ,
ω=
ω1 +ω2
,
2
(9.93)
(9.94)
(9.95)
∆k = k1 − k2 , ∆ω = ω1 − ω2 .
2 sin(kx − ωt): laufende Welle mit Phasengeschwindigkeit
ω
k
cPh =
(9.96)
cos( 21 (∆kx − ∆ωt)): Modulation, breitet sich mit Gruppengeschwindigkeit vGr aus. Position des Maximums der Einhüllenden ∆kxmax − ∆ωtmax = 0
cGr =
xmax
∆ω
=
tmax
∆k
(9.97)
b) Allgemein
Gruppengeschwindigkeit
cGr =
dx
dt
=
Gr
dω
dk
(9.98)
Phasengeschwindigkeit
cPh =
ω
k
(9.99)
cGr und cPh sind unterschiedlich, wenn cPh von ω abhängt (Dispersion). Es gilt
cGr = cPh − λ
dcPh
dλ
(9.100)
123
9 Mechanische Wellen
124
Abbildungsverzeichnis
1.1
Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
kartesische Koordinaten . . . . . . .
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . .
Pendel in der Tafelebene . . . . . . .
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
Tangentenvektor . . . . . . . . . . .
Weg-Zeit-Diagramm . . . . . . . . .
Luftkissenfahrzeug . . . . . . . . . .
1-dimensionale Bewegung . . . . . .
Bewegte Bezugssysteme . . . . . . .
Freier Fall mit horiontaler Bewegung
Gleichförmige Kreisbewegung . . . .
Betrag der Beschleunigung . . . . . .
Alternative Betrachtung . . . . . . .
Vektorielle Schreibweise ω
~ . . . . . .
Allgemeine krummlinige Bewegung .
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9
9
10
10
11
12
12
13
13
14
15
16
17
18
18
19
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
Superpositionsprinzip
Hook’sches Gesetz . .
Schwerefeld der Erde .
Haftreibung . . . . . .
Fallschirmspringer . .
Gravitationsgesetz . .
Pendelschwingung . .
Periodische Bewegung
1. Keplersches Gesetz
2. Keplersches Gesetz
Flächensatz . . . . . .
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21
21
22
23
24
25
26
27
27
28
28
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . .
Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . .
Tangentialkomponente der Kraft . . . . . .
Deformation einer Feder . . . . . . . . . . .
Potentielle Energie Epot . . . . . . . . . . .
Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieerhaltung (Feder) . . . . . . . . . .
Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . .
Epot beim Gravitationsgesetz . . . . . . . .
r-Epot -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgedehnte Masseverteilung . . . . . . . .
Potential einer Kugelschale . . . . . . . . .
E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale .
E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel . .
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7
125
Abbildungsverzeichnis
126
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
Konservative Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte . . . . . . . .
Gesamtimpuls für N Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wasserrakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem . . . . . . . . . .
Elastischer Stoß auf ruhende Masse . . . . . . . . . . . . . . . .
3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters
F -t-Diagramm zum Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation: Labor- Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . .
Wechselwirkungsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m1 = m2 . . . . .
Billardkugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m1 m2 . . . . .
Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . .
Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm .
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51
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5.5
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5.30
5.31
5.32
5.33
Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Keplerscher Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . .
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektive Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . .
Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten
Linienflüchtigkeit der Kraft . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . .
Rotierende Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trägheitsmoment eines Hohlzylinders . . . . . . . .
Trägheitsmoment einer Kugel . . . . . . . . . . . .
Kugelkoordinaten R, θ, ϕ . . . . . . . . . . . . . . .
Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotation um Schwerpunktachse . . . . . . . . . . .
Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeit am Ende der Bahn . . . . . . . .
Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trägheitstensor I˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotationssymmetrischer Körper . . . . . . . . . . .
Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel . . . . . .
oblater Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rastpol- und Nutationskegel . . . . . . . . . . . . .
schwerer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
schwerer Kreise (von oben) . . . . . . . . . . . . .
Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem . . . . . .
Kugel auf Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . .
Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . .
Coriolis- und Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . .
Focaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . .
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55
55
56
57
57
58
59
60
60
61
62
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63
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64
65
66
67
67
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Abbildungsverzeichnis
5.34 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Hookesches Gesetz . .
Kugel-Feder-Modell . .
σ-ε-Diagramm . . . .
Querkontraktion . . .
Scherung und Torsion
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78
78
79
80
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . .
Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentielles Abklingen der Amplitude . . . . .
Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . .
A-ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P̄ -ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . .
Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . .
Schiffschaukel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.5
8.6
8.7
8.8
Stangenpendel und Epot -ϕ-Diagramm
Trajektorie im Phasenraum . . . . . .
Epot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0 . . . .
Epot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0 . . . .
Epot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0 . . . .
Resonanzkurve des Duffing-Oszillators
Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite .
Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.13
9.14
9.15
9.16
Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM .
Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amplitude zu festen Zeitpunkt . . . . . . . . . . . .
Amplitude an festem Ort . . . . . . . . . . . . . . .
Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . .
Stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . .
Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende
Saite der Länge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . .
Dichtewelle in Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stehende Schallwelle (geschlossene Enden) . . . . . .
Stehende Schallwelle (offenes Ende) . . . . . . . . . .
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127
Abbildungsverzeichnis
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
128
Ebene Welle im Raum . . .
Kugelwelle . . . . . . . . . .
Mach’scher Kegel . . . . . .
Overflächenwelle . . . . . .
Dispersion . . . . . . . . . .
Fouriertransformation . . .
Nicht periodische Vorgänge
Ortsraum . . . . . . . . . .
Fourier-Transformation . . .
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Literaturverzeichnis
[1] Demtröder
[2] Anderes Buch
129