Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Christian Leibold, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
8. Übung/Lösung—
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
—
25.11.2014
Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 4. Dezember - 8. Dezember besprochen.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Komplexe Zahlen: Darstellung) Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in der komplexen Ebene und
geben Sie jede Zahl in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten an.
(a)
(1 + i)
√
(d) (i + 3)2
(g)
(b)
(1 − i)
(c)
(1 + i)2
(e)
2(cos(π/4) + i sin(π/4))
(f)
4(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
2 exp(−i3π/2)
Lösung:
√
√
(a)-(g): 2eiπ/4 , 2e−iπ/4 , 2eiπ/2 , 4eiπ/3 , 2eiπ/4 , 4e−i2π/3 , 2eiπ/2
√
√
√
(a)-(g): 1 + i, 1 − i, 2i, 2 + 2i 3, (1 + i) 2, −2 − 2i 3, 2i.
2. (Komplexe Zahlen: Darstellung) Welche Figur bilden die Punktmengen (z ∈ C), für die gilt:
(a) |z| ≤ 3
(b) |z + 1| + |z − 1| = 8
(d)
(e)
(h)
Im(z) + Re(z) = 1
(g) z = −z̄
(c)
Im(z) > Re(z)
0 ≤ arg(z) < π/2
(f)
|z − 1 + i| = 4
1 < (z − 1)(z̄ − 1) < 2
(i)
0 < z + z̄ < 1
Lösung:
(a) Abgeschlossene Kreisscheibe, Mittelpunkt (0,0), Radius 3.
(b) Ellipse.
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
y > x ergibt die obere halbe Ebene, über der Grenzgeraden y = x.
y + x = 1 beschreibt eine Gerade.
Erster Quadrant (inkl. x-Achse, ohne y-Achse).
Kreisrand.
z = −z̄ ergibt x + iy = −x + iy also x = −x, daher x = 0, y beliebig: die imaginäre Achse.
2
2
(x − 1 + iy)(x
√ − 1 − iy) = (x − 1) + y . Die beiden Grenzkurven sind daher Kreise um den Punkt (1, 0) mit
r = 1 und 2.
(i) Streifen 0 < x < 1/2.
3. (Komplexe Zahlen: Addition, Multiplikation, Division)
Berechnen Sie (bringen Sie komplexe Audrücke in kartesische Koordinaten):
(2 + i) + (−1 + i)
(b)
(2 + i) − (−1 + i)
(c) |2 + i|, arg(2 + i)
(d) | − 1 + i|, arg(−1 + i)
(e)
i2
(f)
− i(2i + 1)
(2i − 3)/(1 − 3i)
(h)
ln(i)
(i)
(2i)2i
(a)
(g)
Lösung:
(a) 1 + 2i
(b) 3
p
√
(c)
22 + 12 = 5, φ = arctan(1/2) = 0.46
p
√
3
(−1)2 + 12 = 2, φ = arctan(1/ − 1) + π = π
(d)
4
(e) − 1
2−i
(f)
2i − 3 1 + 3i
(−3 + 2i)(1 + 3i)
−9 − 7i
9
7
·
=
=
=− − i
1 − 3i 1 + 3i
1+9
10
10 10
(h) i(π/2 + 2kπ), k ∈ Z
(g)
e−π(1+4k) ei2 ln(2) = e−π(1+4k) (0.1835 + i0.9830), k ∈ Z
(i)
4. (Komplexe Zahlen) Finden Sie die komplexen Zahlen z, welche folgende Gleichungen lösen
(a) z 4 = −1
(b) z 2 + 2z + 2 = 0
Lösung:
(a) z =
√1 (±1
2
± i)
(b) Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung:
z± = (−2 ±
√
√ √
4 −1
−4)/2 = −1 ±
= −1 ± i.
2
5. (Komplexe Zahlen: Wurzeln) Mit Hilfe der Darstellung z = r eiϕ können wir sehr einfach Wurzeln
von beliebigen komplexen Zahlen z berechnen. Dazu aber erst eine Vorüberlegung:
√
(a) Schreiben Sie die komplexe Zahl z0 = 2 eiπ/4 in der arithmetischen Darstellung (z=x+iy).
Nutzen Sie dazu die Eulergleichung.
√
√
(b) Was erhalten Sie für √
die arithmetische Darstellung der Zahlen z1 = 2 ei(π/4+2π) , z2 = 2 ei(π/4+4π)
und allgemein zk = 2 ei(π/4+2kπ) , (k ∈ Z) ?
(c) Zeigen Sie für beliebige Zahlen z, daß gilt
z = r eiϕ = r ei(ϕ+2kπ) , k ∈ Z .
Jede komplexe Zahl kann also auf unendlich viele verschiedene Weisen dargestellt werden (für
jedes k eine).
(d) Ziehen Sie nun aus z = 4 ei(π+2kπ) , k ∈ Z die Wurzel, berechnen Sie also z 1/2 . Welchen Betrag hat
z 1/2 ? Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4? Wieviele tatsächlich verschiedene
Zahlen erhalten Sie also? Zeichnen Sie diese und z in die Gaußsche Zahlenebene ein. Haben Sie
gemerkt, daß Sie gerade die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen haben?
(e) Berechnen Sie genauso wie in (d) die dritte Wurzel aus z = 8 ei(π/2+2kπ) . Wieviele verschiedene
Lösungen erhalten Sie diesmal? Skizzieren Sie das Ergebnis und z in der Gaußschen Zahlenebene.
(f) Wir wollen die Gleichung x2 = 9 nach x auflösen. Dazu müssen wir aus 9 die Wurzel ziehen.
Gehen Sie dabei so vor wie in Teilaufgabe (d) (welchen Betrag und welches Argument hat die
reele Zahl 9 ?). Wieviele Lösungen erhalten Sie? Kommt Ihnen das bekannt vor?
Lösung:
(a) z0 =
√
2 eiπ/4 =
√
2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) =
√
2
1√
1√
2+i
2 =1+i
2
2
(b) z0 = z1 = z2 = zk = 1 + i
(c) r ei(ϕ+2kπ) = r (cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ)) = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = r eiϕ
12
√ 1
√
π
(d) z = 4 ei(π+2kπ)
= 4 ei 2 (π+2kπ) = 2 ei( 2 +kπ)
Welchen Betrag hat z 1/2 ?
|z 1/2 | = 2
Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4?
π
π
π
1/2
1/2
1/2
arg(z0 ) = ,
arg(z1 ) = ( + π),
arg(z2 ) = ( + 2π),
2
2
2
π
1/2
arg(z4 ) = ( + 4π)
2
Wieviele tatsächlich verschiedene Zahlen erhalten Sie also?
2
(e)
√
3
z=
√
3
1
π
π
2
8 ei 3 ( 2 +2kπ) = 2 ei( 6 +k 3 π)
Wieviele verschiedene Lösungen erhalten Sie diesmal?
(f) 9 = 9 ei(0+2kπ) = 9 ei(2kπ) ,
√
i(kπ)
9=
,
3 e
k∈Z
k∈Z 


= 3 cos(kπ) +i sin(kπ) = ±3
| {z } | {z }
∈{−1,1}
=0
Wieviele Lösungen erhalten Sie?
2
3
1/2
arg(z3 ) = (
π
+ 3π),
2
6. (Komplexe trigonometrische Funktionen) Es lassen sich einige trigonometrische Funktionen mit
Hilfe der Exponentialfunktion auch für komplexe Argumente z ∈ C definieren:
sin(z) =
cos(z) =
sinh(z) =
cosh(z) =
eiz − e−iz
,
2i
eiz + e−iz
,
2
ez − e−z
(Sinus Hyperbolicus) und
2
ez + e−z
(Cosinus Hyperbolicus),
2
(1)
(2)
(3)
(4)
mit der imaginären Einheit i und z ∈ C.
Beweisen Sie folgende Gleichungen für x, y ∈ R:
(a)
sin(iy) = i sinh(y)
(b)
cos(iy) = cosh(y)
(c)
sin(x + iy) = i cos(x) sinh(y) + sin(x) cosh(y).
Lösung:
(a) sin(iy) =
ei
2
y
2
2
− e−i
2i
y
e−y − ey
=
=−
2i
ey − e−y
2i
2
=i
ey − e−y
2i
= i sinh(y)
2
e−y + ey
+ e−i y
=
= cosh(y)
2
2
(c) sin(x + iy) = cos(x) sin(iy) + sin(x) cos(iy) = i cos(x) sinh(y) + sin(x) cosh(y)
(b) cos(iy) =
ei
y
7. (Komplexe Zahlen: Ableitung) Die Bahn eines Teilchens liegt in einer Ebene und kann in Abhängigkeit
von der Zeit t durch z = 1+2e4it parametrisiert werden. Berechnen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung. Welche Form hat die Bahn? Wohin zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung bei t = 0 und
bei t = π/8?
2 = −32e4it , |a| = ddt2z = 32. Kreisbahn mit Mittelpunkt 1 und
Radius 2. t = 0: v zeigt nach oben und a nach links. t = π/8: v zeigt nach links und a nach unten.
Lösung: v =
dz
dt
= 8ie4it , |v| = dz
dt = 8, a =
d2 z
dt2