Modul F –Lösung
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Modul F –Lösung Aufgabe F.1‐ Lösung Die Position eines Schiffes wird von zwei Punkten A und B auf dem Festland vermessen (s. Abbildung F.1). Abbildung F.1 Bestimmung der Position eines Schiffes. und wurden zur gleichen Zeit von der Linie AB aus gemessen. Es wird angenommen, dass die Zufallsvariablen , und c mit einer Normalverteilung mit den folgenden Mittelwerten und Die Winkel Standardabweichungen repräsentiert werden können: c ~ N c 6km; c 0.005km ~ N 0.813rad ; 0.011rad ~ N 1.225rad ; 0.011rad Bestimmen Sie den Fehler von b . Man verwendet den Sinussatz für das gegebene Dreieck und findet: b c sin ( ) sin( ) b f (c, , ) c sin ( ) sin ( ) Die Eigenschaften des Erwartungswertsoperators ergeben: sin ( ) sin ( ) sin (1.225) E[c] 6 6.32 km E b E c sin ( ) sin (1.225 0.813) sin ( ) Der Fehler bei der Messung der Seite b wird durch die Standardabweichung b dargestellt und wie folgt geschätzt: 1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 2 2 f f f V b c 2 2 2 c f sin ( ) c sin ( ) sin cos f sin ( ) 1 c sin ( ) sin c c 2 sin ( ) sin f sin ( ) 1 c sin ( ) sin ( ) c sin ( ) c cos ( ) sin ( ) 1 sin ( ) cos 1 c sin ( ) 1 2 cos cos sin sin cos sin cos c c 2 2 sin sin sin sin sin c c sin 2 sin 2 Schliesslich erhält man: 2 2 2 f f f V b c 2 2 2 c 2 2 2 sin c sin cos( ) c sin 2 c2 2 2 2 sin( ) (sin( )) (sin( )) 1.0537 2 0.0052 3.18942 0.0112 5.46712 0.0112 0.004875km 2 Der Fehler bei b wird also berechnet durch: b 0.004875 0.0698km 2 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe F.2‐ Lösung Ein Junge will ein Computerspiel kaufen, welches demnächst erscheinen wird. Der Preis des Computerspieles wurde noch nicht bekannt gegeben, aber basierend auf gewissen Informationen nimmt er an, dass der Preis durch eine Normalverteilung mit 50 CHF, 10 CHF beschrieben werden kann. Anderseits verfügt er momentan über 20 CHF, und er erwartet, dass er bis zum Erscheinen des Computerspieles noch Taschengeld von seinen Eltern bekommt. Er geht davon aus, dass der Taschengeldbetrag durch eine Normalverteilung mit 20 CHF, 5 CHF beschrieben werden kann. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es ihm nicht möglich ist, das Videospiel zu kaufen, wenn dieses erscheint. 1) Formuliere die Grenzzustandsfunktion. 2) Leite die Grenzzustandsfunktion für den Raum der standardnormalverteilten Variablen her. 3) Berechne die Versagenswahrscheinlichkeit. Lösung: Preis des Computerspieles: X als normalverteilte Zufallsvariable X N (50,10) . Taschengeld: Y als normalverteilte Zufallsvariable Y N (20,5) . Z sei eine weitere Zufallsvariable und wie folgt definiert: Z 20 Y X Wenn Z > 0, dann kann er das Computerspiel kaufen, sonst nicht Folglich kann die Wahrscheinlichkeit, dass er das Videospiel nicht kaufen kann, wie folgt beschrieben werden: P[ Z 20 Y X 0] Das Problem: Wie bestimme ich diese Wahrscheinlichkeit? Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über den entsprechenden Abschnitt integriert wird. Vor dem Integrieren wird die Grenzzustandsfunktion mit den standardnormalverteilten Variablen transformiert: X N (50,10) U X X X X X U X X 50 U 10 Y N (20,5) V X Y Y Y Y V Y Y 20 V 5 3 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Grenzzustandsfunktion im standardnormalverteilten Raum ist gegeben durch: Z 20 20 V 5 50 U 10 Z 5 V 10 U 10 Die Wahrscheinlichkeit kann durch Lösen des folgenden Integrals gefunden werden: P[ Z 5V 10U 10 0] 5 v 10 u 10 0 (u ) (v)dudv () bezieht sich auf die standardnormalverteilte Dichtefunktion von u und v . 5v 10u 10 0 Fig. 1.: Darstellung des Integrationsbereiches Da die gemeinsame Dichtefunktion symmetrisch ist, können wir die Grenzzustandsfunktion rotieren. Durch die Rotation wird die zwei dimensionale Integration in eine ein dimensionale Integration transformiert. v 5v 10u 10 0 u t s 2 5 s Fig.2.: 2D Darstellung von der ursprünglichen und der rotierten Grenzzustandsfunktion. 4 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Abstand d zum Ursprung: d x A xB y A y B d 0 u 0 v 2 2 d u 2 2u 2 2 2 v 2u 2 2 d 5u 2 8u 4 Der kürzeste Abstand d* zum Ursprung wird wie folgt berechnet: 10u 8 5u 4 d ' u 0 2 2 5u 8u 4 5u 2 8u 4 4 5u 4 0 u 5 2 2 4 4 d 5u 8u 4 5 8 4 5 5 5 * 2 P[ Z 5V 10U 10 0] 2/ 5 ( s )ds 1 (2 / 5) 1 1 (2 / 5) 1 1 (0.8944) 0.8133 Die Wahrscheinlichkeit, dass es ihm nicht möglich ist das Computerspiel zu kaufen, wenn dieses in den Läden erhältlich sein wird, beträgt 0.8133. Aufgabe F.2: Alternative Lösung Preis des Computerspieles: X als normalverteilte Zufallsvariable X N (50,10) . Taschengeld: Y als normalverteilte Zufallsvariable Y N (20,5) . Z sei eine weitere Zufallsvariable und ist wie folgt definiert: Z 20 Y X Wenn Z > 0, dann kann er das Computerspiel kaufen, sonst nicht. 5 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Folglich kann die Wahrscheinlichkeit, dass er das Videospiel nicht kaufen kann, wie folgt beschrieben werden: P[ Z 20 Y X 0] Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit PF : PF P[ Z 0] Standardisieren: PF ( 0 Z Z ) ( ) (Skript Gleichung F.9) Mit Zuverlässigkeitsindex Z (Skript Gleichung F.10) Z Bestimmung von Mittelwert Z und Standardabweichung Z der Sicherheitsmarge Z. Z 20 E Y E X 20 20 50 10 Z Var Y Var X 102 52 125 5 5 Bestimmung des Zuverlässigkeitsindex : Z 10 2 Z 5 5 5 (Skript Gleichung F.10) Bestimmung der Versagenswahrscheinlichkeit PF : 2 PF 0.8944 0.8133 5 (Skript Gleichung F.9) Aufgabe F.3: ‐ Lösung Wie in Aufgabe F.2 ersichtlich, kann die Versagenswahrscheinlichkeit durch die Grenzzustandsfunktion beschrieben werden. Nun sollen X 1 und X 2 durch eine Standardnormalverteilung beschrieben werden, und die Grenzzustandsfunktion sei: g ( X 1 , X 2 ) 2( X 1 1) 2 X 2 3 Berechne die Versagenswahrscheinlichkeit P[G ( X 1 , X 2 ) 0] . (1) 6 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Lösung: x2 2( x1 1) 2 3 g ( x1 , x 2 ) 0 Der Zuverlässigkeitsindex kann geschätzt werden durch: n u min u g u 0 i i 1 2 i g α ui 2 n g α i 1 ui 0.5 i 1, 2, ...n Die Grenzzustandsfunktion ist gegeben durch: g ( X 1 , X 2 ) 2( X 1 1) 2 X 2 3 Da die Zufallsvariablen X 1 and X 2 durch eine Standardnormalverteilung beschrieben sind, ist es nicht mehr notwendig sie zu standardisieren. g (u ) 2(u X1 1) 2 u X 2 3 Wir substituieren u X 1 X1 uX 2 X 2 7 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 0 2 ( X1 1) 2 X 2 3 0 2 2 X2 1 4 X1 X 2 1 Die Umformung der Gleichung und nach auflösen ergibt: 1 2 2 X1 4 X1 X 2 1 new 2 old X2 1 4 X1 X 2 Um die Werte zu berechen müssen wir die Ableitungen bestimmen: g g 2 (u X1 1)2 u X 2 3 4 (u X1 1) u X1 u X1 g X1 4 ( X1 1) u X1 g g 2 (u X1 1)2 u X 2 3 1 u X 2 u X 2 g X 2 1 u X 2 2 2 g 2 α 4 ( X1 1) 1 i 1 ui g α u X1 4 ( X1 1) X1 0.5 2 2 2 n g 4 ( X1 1) 1 α i 1 u Xi g α u X 2 1 X2 0.5 2 2 2 n g 4 ( X1 1) 1 α i 1 u Xi n 8 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Startwerte der Iteration sind vorgegeben: X1 0.6 X 0.6 2 1 1. Iteration: Berechnung des neuen Wertes 1 1 new 0.268 2 2 old X1 4 X1 X 2 2 1 0.36 4 0.6 0.6 Berechnung des neuen Wertes 4 ( X1 1) 4 ( 0.268 0.6 1) X1 0.978 2 2 2 2 4 ( 0 . 268 0 . 6 1 ) 1 4 ( X1 1) 1 X 2 1 4 ( X1 2 1) 1 2 1 4 ( 0.268 0.6 1) 1 2 2 0.211 2. Iteration: Mit diesen Werten können wir wieder den neuen Wert bestimmen: 1 1 new 0.216 2 2 old X1 4 X1 X 2 2 0.268 0.9882 4 0.988 0.154 Berechnung des neuen Wertes 4 ( X1 1) 4 ( 0.216 0.988 1) X1 0.979 2 2 2 2 4 ( 0.216 0.988 1) 1 4 ( X1 1) 1 X 2 1 4 ( 0.216 0.988 1) 1 2 2 0.202 9 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3. Iteration: new 1 1 0.221 2 old 4 X1 X 2 2 0.216 0.9812 4 0.981 0.194 2 X1 4 ( X1 1) X 4 ( 1 X1 2 1) 1 4 ( 0.221 0.981 1) 2 4 ( 0.221 0.981 1) 1 2 1 X 4 (0.221 0.981 1) 1 2 2 2 2 0.980 0.201 4. Iteration: new 1 1 0.220 2 old 4 X1 X 2 2 0.221 0.979 2 4 0.979 0.202 2 X1 Tabelle 12.1. zeigt die Resultate der Iterationen Iteration i Start 1 2 3 4 5 ‐1.00000 ‐0.26800 ‐0.21584 ‐0.22058 ‐0.22013 ‐0.22017 0.60000 0.97758 0.97935 0.97951 0.97950 0.97950 ‐0.60000 ‐0.21054 ‐0.20218 ‐0.20138 ‐0.20144 ‐0.20143 6 X1 X2 Tabelle 12.1: Iterationen Berechnung der Versagenswahrscheinlichkeit: P[2( X 1 1) 2 X 2 3 0] P[ S 0.22] 0.22 1 (0.22) ( s)ds 0.587 10
