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140
8. Schwingungen und Wellen
141
Lösung der Differentialgleichung:
x (t ) = a sin ωt + b cos ωt
Bewegung um Potentialminima führt zu periodischen Vorgängen
(Schwingungen).
mit ω =
Harmonischer Oszillator
Kraft:
F = − Dx
x
D
a,b: Konstanten (bestimmt durch Startbedingungen x0 und v0)
Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:
Potentielle Energie:
E pot
Es gilt:
( genauer:
d
V (x )
dx
F = −∇V (r ) )
F =−
D
= x 2 = V ( x)
2
v (t ) = xɺ (t ) = aω cos ωt − bω sin ωt
x(0) = b; v(0) = aω
Für t=0 gilt:
Für x(0) = x0 und v(0) = 0 ist also
b = x0 ; a = 0
x (t ) = x0 cos ωt
und damit
x(t)
x0
Differentialgleichung:
v0 = 0
harmonische
Schwingung
ma = F
⇔
⇔
hier:
d
V (x )
dx
1 d
ɺxɺ = −
V ( x)
m dx
mɺxɺ = −
ɺxɺ = −
D
x
m
D
m
π
ω
2π
t
ω
-x0
Für x(0) = 0 und v(0) = v0 ist hingegen
in diesem Fall ist
x (t ) =
v0
ω
sin ωt
b = 0; a =
v0
ω
(ebenfalls harmonisch)
142
Es gibt aber auch nichtharmonische periodische Vorgänge.
Bemerkung:
Die Lösung
143
x (t ) = a sin ωt + b cos ωt
Beispiel: Kastenpotential
V(x)
läßt sich auch darstellen als
x(t ) = c cos(ωt + ϕ )
Amplitude
Teilchen im Kastenpotential
wird bei x=0 und x=l reflektiert
Phasenverschiebung
Es ist:
c cos(ω t + ϕ ) = c cos(ω t ) cos(ϕ ) − c sin(ω t )sin(ϕ )
Dies ist gleich
falls
Ortskurve:
a sin ω t + b cos ωt
−c sin(ϕ ) = a
c cos(ϕ ) = b
τ=
x(t)
2v
l
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
l
Damit sind c und ϕ gegeben durch
0
Steigung:
Geschwindigkeit v
c = a2 + b2
b
ϕ = arctan  − 
 a
Ebenso möglich ist die Darstellung
x
l
0
x(t ) = c sin(ωt + ϕ )
Beispiel: zwei schiefe Ebenen
V(x)
Wichtig ist bei allen Lösung, dass zwei freie Parameter zur
Verfügung stehen, damit die Startbedingungen Ort
und Geschwindigkeit unabhängig gewählt werden können.
x
Potential:
V ( x) = c x
Kraft:
F ( x ) = −c
x
x
144
Ortskurve:
x(t)
4mv0
c
τ=
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
145
Allgemein: auch nichtperiodische Funktionen können in harmonische
Komponenten zerlegt werden; hier tragen sämtliche
Frequenzen (und nicht nur die Vielfachen einer
Grundfrequenz) bei. Daher wird die Summe durch ein
Integrale ersetzt:
f (t ) =
t
Parabelstücke
2
∞
π ∫0
1
a (ω ) =
2π
mit:
8.1 Fourier-Analyse
n
ω0 =
2π
τ
an , bn : Fourier-Koeffizienten
Berechnung der Koeffizienten:
bn =
2
τ
2
τ
−∞
∞
∫ f (t ) sin(ωt )dt
−∞
cos( nω0t ) + bn sin( nω0t )
n =1
mit
an =
∫ f (t ) cos(ωt )dt
komplexe Schreibweise:
∞
∑a
∞
1
b(ω ) =
2π
Jede periodische Funktion mit Periode τ kann in einer unendliche
Summe von harmonischen Komponenten zerlegt werden:
a
f (t ) = 0 +
2
a (ω ) cos(ωt ) + b(ω ) sin(ωt )dω
1
f (t ) =
2π
∞
~
∫ f (ω )e
− iω t
dω
−∞
1
~
f (ω ) =
2π
∞
∫ f (t ) e
iωt
dt
−∞
τ
∫ f (t ) cos(nω t )dt
0
0
τ
∫ f (t ) sin(nω t )dt
0
0
~
f (ω )
:
Fourier-Transformierte von f(t)
~
f (ω ) = a (ω ) 2 + b(ω ) 2 : Spektrum von f(t)
146
mathematischer Einschub:
Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen
147
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Funktionen
f (t ) = cos(ω1t ) + cos(ω 2 t )
Es gilt:
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
Ersetzen:
ω1 + ω 2
mittlere Frequenz
2
ω − ω1
δ= 2
2
cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β )
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β )
ω =
Differenzfrequenz
Damit ist:
f (t ) = cos((ω − δ )t ) + cos((ω + δ )t )
= cos(ω t ) cos(δt ) − sin(ω t ) sin(δt )
+ cos(ω t ) cos(δt ) + sin(ω t ) sin(δt )
Daraus folgt:
α α
α
α
cos(α ) = cos( + ) = cos 2 ( ) − sin 2 ( )
2 2
2
2
α
α
Also:
= cos ( ) − (1 − cos ( ))
2
2
2
2
f (t ) = 2 cos(ω t ) cos(δ t )
„Schwebung“
α
= 2 cos 2 ( ) − 1
2
α
= 1 − 2 sin ( )
2
2
Signal:
Spektrum:
2π
f (t )
~
f (ω )
ω
Damit:
α 1
cos 2 ( ) = (1 + cos(α ))
2
2
α 1
sin 2 ( ) = (1 − cos(α ))
2
2
t
2π
δ
ω
148
Mathematischer Einschub: komplexe Zahlen
Darstellung:
iϕ
c = a + ib = c e = c cos ϕ + i c sin ϕ
8.2 Resonanz und Dämpfung
Jede Schwingung unterliegt einer Dämpfung
Im
b
149
c
ϕ a
Realteil:
Re(c) = a = c cos ϕ
Imaginärteil:
Im(c) = b = c sin ϕ
Re
(es ist
und
Betrag:
c = a +b
Phase:
ϕ = arctan(b / a )
2
⇒ freie Schwingungen haben eine endliche Lebensdauer!
8.2.1 gedämpfter harmonischer Oszillator
2
Differentialgleichung
a 2 + b 2 = c cos 2 ϕ + c sin 2 ϕ = c
b c sin ϕ
=
= tan ϕ
)
a c cos ϕ
2
2
2
ma = Fges = FD + FR
D
muɺɺ = − Du − β uɺ
m
u
Für die komplexe Funktion
u (t ) = u0 e
= u0 eiϕ e − iωt = u0 e − i (ωt −ϕ )
tan ϕ
−
Flüssigkeit
⇒
Reibungskraft
(Stokes)
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = 0
Re ( u (t ) ) = u0 cos(ωt − ϕ )
lautet der Realteil:
−π
Federkraft
− iωt
π
π
2
2
π
mit
ϕ
Im(u0 )
tan ϕ =
Re(u0 )
Hierbei ist zu beachten,
dass der arctan (die
Umkehrfunktion des tan)
keine eindeutige Funktion
ist.
Lösungsansatz:
u (t ) = u0 e − iωt
Einsetzen:
m(−ω 2 )u0 e− iωt + β (−iω )u0 e− iωt + Du0 e − iωt = 0
⇒
ß
m
ω2 + i ω −
D
=0
m
150
Lösung der quadratischen Gleichung:
ω = −i
151
Graph:
u0 u(t)
Exponentieller Abfall der
Amplitude mit Lebensdauer τ
2
ß
ß
D
± − 2+
2m
4m m
t
Periode 2π / ω1
Die Form der Lösung hängt davon ab, ob der Term unter der
Wurzel positiv oder negativ ist.
-u0
2
Fall 1:
D
ß
>
m 4m 2
⇒
(leicht gedämpft)
Fall 2:
u (t ) = u0 e
D ß2
ß
−
t
− t ±i
m 4 m2
2m
e
Dies sind zwei unabhängige Lösungen. Die allgemeine
komplexe Lösung ist eine Überlagerung beider Funktionen:
u (t ) = u0,1e
− t /τ
e
iω1 t
+ u0,2 e
− t /τ
e
− iω1 t
Von physikalischer Bedeutung ist allerdings nur der Realteil.
Hierbei verschmelzen beide Funktionen wieder zu einer. Man
erhält die rein reelle Funktion
u (t ) = u0 e
mit:
− t /τ
cos(ω 1t + φ )
τ = 2m / ß
ω1 =
D 1
−
m τ2
u0 , ϕ
Lebensdauer der
Schwingung
Frequenz
reelle Konstanten
stark gedämpft (Kriechfall)
D ß2
ß2 D
ω1 =
−
= −1
− = iγ
m 4m 2
4m 2 m
ω1
1/τ
D
ß2
<
m 4m 2
⇒
u (t ) = e − t /τ (ae −γ t + beγ t )
mit:
τ = 2m / ß
γ=
1
τ
2
a, b
−
D
m
reelle Konstanten
Für größere Zeiten ergibt sich eine rein exponentielle Abnahme;
anfänglich kann (bei positiver Startgeschwindigkeit)
die Amplitude zunehmen oder ein „Unterschwinger“ erzeugt
werden.
152
153
8.2.2 Getriebener gedämpfter
harmonischer Oszillator
u(t)
Graph:
Die Schwingungsamplitude bleibt zeitlich konstant, wenn eine
äußere Kraft die Dämpfung kompensiert.
a+b1
Differentialgleichung:
ma = FD + FR + FA
D
0
t
Fall 3:
D
ß2
=
m 4m 2
aperiodischer Grenzfall
⇒
ω1 = 0
mit
u(t)
Graph:
τ = 2m / ß
ReibungsFederkraft
kraft
FA(t)
u (t ) = ae − t /τ + bte − t /τ
⇒
u
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = F0 cos ωt
m
treibende Kraft
Stationäre Lösung (ohne Einschwingvorgang) :
u (t ) = u0 cos(ωt + ϕ0 )
hier auch eine mögliche
Lösung (es muß zwei
geben, um die Startbedingungen
erfüllen zu können)
F0 / m
u0 =
(
a
Bei Startgeschwindigkeit Null
schnellstmögliche Abnahme
der Amplitude
t
mit
4
D
− ω 2 )2 + 2 ω 2
m
τ
ω : Frequenz (durch äußere Kraft
vorgegeben)
ϕ : Phasenverschiebung der Schwingung
gegenüber treibender Kraft
τ=
2m
β
Lebensdauer Schwingung
ohne äußere Kraft
154
Fa (t ) = F0 e − iωt
Nachrechnen:
155
Diskussion:
Für
u (t ) = u0 e − iωt
Einsetzen in die Differentialgleichung:
ω→∞
:
ω→0
:
(quasistatisch! u= F/D ist die normale
statische Auslenkung einer Feder)
m(−ω 2 )u0 e − iωt + β (−iω )u0 e − iωt + Du0 e − iωt = F0 e − iωt
− ω 2 u0 − i
⇒
also
und
u0 =
u0 =
β
m
ω u0 +
F0 / m
D
β
− ω2 − i ω
m
m
F
D
u0 = 0
m
m
D
m
:
u0 →
F0
βω
, ϕ0 → −
π
2
u0 kann sehr groß werden
für kleine Dämpfung!
Bemerkung: für das komplexwertige u0 ist die Phase modulo 2π
definiert, in obiger Formel nur modulo π. Man muß daher den
„richtigen“ Zweig der tan-Funktion nehmen:
β 2
D
2
 −ω  + 2 ω
m
 m
tan ϕ0 = −
ω→
= u0 e − iϕ0
F0 / m
2
u0 → 0 , ϕ0 → −π
F
u0 → 0 , ϕ 0 → 0
D
2
Im(u0 )
βω / m
βω
=−
=
2
D
m
−D
ω
Re(u0 )
2
−ω
m
ω> D/m
= u0 cos(ωt + ϕ0 )
4
2
ω →∞
−π
Damit ist der Realteil von u(t):
Re( u (t ) ) = Re ( u0 e − iωt ) = Re ( u0 e − i (ωt +ϕ0 ) )
tan(ϕ0 )
ω→ D/m
−
π
0
2
-2
ω→ D/m
ω< D/m
-4
ω =0
π
2
ϕ0
156
157
8.3.Gekoppelte Schwingungen
Damit erhält man die Frequenzabhängigkeit von Amplitude
und Phase:
Gekoppelte Pendel
u0
Im ungekoppelten Fall
gilt:
Resonanz
l
Amplitude
g
muɺɺ1 = −m u1
l
g
muɺɺ2 = −m u2
l
D
m
m
u1
u2
ω
D
m
⇒ beide Pendel schwingen mit
ω
0
Gekoppelt:
Phase
um π/2 versetzt
„in Phase“
-π
ω0 =
⇒
ϕ
„in Gegenphase“
g
l
g
muɺɺ1 = −m u1 − D (u1 − u2 )
l
g
muɺɺ2 = −m u2 − D(u2 − u1 )
l
uɺɺ1 = −ω0 2u1 − ω12 (u1 − u2 )
uɺɺ2 = −ω0 2u2 − ω12 (u2 − u1 )
mit
ω1 = D / m
System zweier gekoppelter Differentialgleichungen
158
Es existieren zwei einfache Lösungen:
1.
u1 (t ) = u2 (t )
⇒
⇒
uɺɺ1 = −ω0 u1
159
Pendelkette
a
(mit
u1 (t ) = u0 cos(ω0t + ϕ )
u2 (t ) = u0 cos(ω0t + ϕ )
Die Pendel schwingen
gemeinsam mit der
Frequenz
D
un-1
u1 (t ) = −u2 (t )
⇒
un
ω
⇒
2
2
u1 (t ) = u0 cos(ω2t + ϕ )
u2 (t ) = −u0 cos(ω2t + ϕ )
Die Pendel schwingen
gegenphasig mit der
Frequenz
ω2 = ω0 2 + ω12
Die allgemeine Lösung ist eine Überlagerung dieser beiden
Lösungen ⇒ führt zur Schwebung (Variation der Schwingung
mit
ω −ω
2
1
un+1
Fn = D (u n +1 − u n ) − D (u n − u n −1 )
m
Differentialgleichung:
muɺɺn = D (u n +1 + u n −1 − 2u n )
uɺɺ1 = −ω0 2u1 − ω12 (u1 + u1 )
= (ω0 2 + 2ω12 ) u1
g /l ≪ D/m )
Kraft auf n-tes Pendel:
ω0 = g / l
2.
unendliche Kette
2
(unendliche viele gekoppelte Diffentialgleichungen!)
Lösung:
un (t ) = u0 cos(kxn − ωt )
mit
xn = na
k=
λ
2π
λ
Position n-tes Pendel
Wellenzahl
Wellenlänge
Die Lösung ist eine Wellenfunktion! (die allerdings nur an
diskreten Orten, den Positionen der Pendel, definiert ist).
160
161
Darstellung für feste Zeiten:
f(x,t)
8.4 Wellen
t0
t1
t2
Harmonische Funktion in Abhängigkeit von der Zeit:
f(t)
Periode
τ=
f (t ) = sin(ωt )
x
2π
ω
t
Für feste Orte:
f(x,t)
x0
x1 x2
Harmonische Funktion in Abhängigkeit vom Ort:
f(x)
f ( x ) = sin( kx)
t
Wellenlänge
λ=
2π
k
x
Für Orte gleicher Amplitude gilt:
kx − ωt = konstant = ϕ0
k=
2π
λ
Wellenzahl
x=
(„Ortsfrequenz“)
φ0
k
+
ω
k
t = x0 + vt
Die Welle) bewegt sich also mit derr Geschwindigkeit:
Welle: harmonische Abhängigkeit von Ort und Zeit:
v=
f ( x, t ) = sin( kx − ωt )
Und damit auch:
v=
ω
k
=
ω
Phasengeschwindigkeit
k
2π / τ λ
= = λf
2π / λ τ
Geschwindigkeit = Wellenlänge mal Frequenz !
162
8.5 Stehende Wellen
163
8.6 Wellen im dreidimensionalen Raum
Überlagerung einer „nach links“ und einer „nach rechts“
laufenden Welle:
f ( x, t ) = cos(kx − ωt ) + cos(−kx − ωt )
Wellen in Räumen verschiedener Dimension
1D
komplex:
= cos(kx) cos(ωt ) − sin(kx) sin(ωt )
+ cos(kx) cos(ωt ) + sin( kx) sin(ωt )
f ( x, t ) = u 0 cos(kx − ωt )
2D
f ( x, y, t ) = u 0 cos(k r − ωt )
= 2 cos(kx) cos(ωt )
Ortsfeste Funktion!
f(x,t)
„Knoten“:
Amplitude Null
 kx 
k =  ;
ky 
„Bauch“:
maximale
Amplitude
komplex:
3D
Äquivalente Aussage:
Randbedingungen können die Ausbildung stehender Wellen
erzwingen.
Beispiel:
eingespanntes Seil
An den Ende keine Schwingung möglich ⇒ Knoten
 x
r = 
 y
t
Stehende Wellen bilden sich bei Überlagerung von einlaufender
und reflektierter Welle.
f ( x, t ) = u0 ei ( kx −ωt )
f ( x, y, t ) = u0 ei ( kr −ωt )
f ( x, y, z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
k 
 x
k =  k y ;
k 
 z
 x
 
r =  y
 
z
i ( kr −ωt )
komplex: f ( x, y , z , t ) = u0 e
u0 kann ein Skalar sein (z.B. Druckwelle) oder ein
Vektor (z.B. elektromagnetische Welle).
164
In 2D und 3D existieren verschiedene Wellenformen:
8.6.1 Huygens-Prinzip
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
ω k
v= k k
y
165
ebene Welle
Die Ausbreitung einer Welle im Raum kann konstruiert werden,
indem jeder Punkt eines Wellenbergs als Quelle einer Kugelwelle
angesehen wird.
λ
Nach der Zeit
λ
τ = λ /v
ist der Radius der Kugelwelle
r= λ; alle Teilwellen überlagern
sich zu einem neuen
Wellenberg
x
Wellenberge
1
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
r
Wellenberg
neuer
Wellenberg
y
λ
v=
Reflexion an Oberflächen:
ω
k
Kugelwelle
neuer Wellenberg
x
einlaufender
Wellenberg
v
Wellenberge
Auftreffpunkt bewegt sich
Vorfaktor 1/r: Intensität nimmt mit Entfernung zur Quelle ab
(folgt aus der Erhaltung der transportierten Energie).
Von den Auftreffpunkten auslaufende Kugelwellen
166
v
v'
v
v'
α α'
167
8.7 Wellen im eleastischen homogenen Medium
Betrachten Stab
un
Aufteilung in Teilstücke
der Länge ∆x
(mit Index n)
Es gilt α = α '
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
Beugung an Wand:
Fläche A
∆x
Kugelwellen
Masse der Teilstücke:
∆m = ρA∆x
Welle dringt in
abgeschatteten
Bereich ein!
(allerdings mit
geringer Intensität)
Kraftgesetz des Mediums:
F = EA
Kugelwellen bilden
Kugelwelle!
u n +1 − u n
u − u n −1
− EA n
∆x
∆x
Damit lautet die Differentialgleichung:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
∆muɺɺn =
Ein von einer ebenen
Welle beleuchtetes
kleines Loch wirkt
wie eine Punktquelle!
( E : Elastizitätsmodul )
Damit ist die Kraft auf das n-te Teilstück bei Verschiebung um un:
Fn = EA
Beugung an kleinem Loch:
∆l
l
( ρ : Dichte )
ρA∆xuɺɺn =
uɺɺn =
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
E (u n +1 + u n −1 − 2u n )
ρ
∆x 2
168
Einschub: diskrete zweite Ableitung (Definition der zweiten
Ableitung von diskreten Funktionen)
für die erste Ableitung gilt:
xn −1 + xn
f ( xn ) − f ( xn −1 )
)=
∆x
2
x + xn +1
f ( x n +1 ) − f ( xn )
f '( n
)=
2
∆x
169
Einsetzen in Differentialgleichung:
− ω 2 a0 cos( kx − ωt ) =
f '(
Die zweite Ableitung ist dann:
x + xn +1
x + xn
) − f ' ( n −1
)
f '( n
2
2
f ' ' ( xn ) =
∆x
f ( xn+1 ) + f ( xn −1 ) − 2 f ( xn )
f ' ' ( xn ) =
∆x 2
⇒
E ∂
u
ρ ∂x 2
und damit:
v=
Lösungsansatz:
f ( x, t ) = a0 cos( kx − ωt )
ρ
ω
k
E
ρ
Phasengeschwindigkeit
im elastischen Medium
(gilt für Stäbe mit
Durchmesser < λ )
ρ : Dichte
Damit lässt sich eine allgemeine Wellengleichung aufstellen:
2
∂2
2 ∂
f ( x, t ) = v
f ( x, t )
∂t 2
∂x 2
2
Wellengleichung für ein elastisches Medium
E
E : Elastizitä tsmodul
∂
E ∂
f ( x, t ) =
f ( x, t )
2
ρ ∂x 2
∂t
2
=
v=
2
und mit f statt u:
k
2
ρ
(− k 2 a0 cos( kx − ωt ))
Für die Geschwindigkeit der Welle gilt:
Damit läßt sich die Differentialgleichung schreiben als:
uɺɺn =
ω2
E
Dreidimensional:
d2
2 2
f
(
r
,
t
)
=
v
∇
f (r , t )
2
dt
170
8.8 Schallgeschwindigkeit
171
Damit wird die Schallgeschwindigkeit:
Schallgeschwindigkeit in Festkörpern:
v⊥ =
v =
G
Transversalwelle
ρ
G: Schermodul
ρ: Dichte
E (1 − µ )
Longitudinalwelle
ρ (1 + µ )(1 − 2µ ) E: Elastizitätsmodul
vs =
1
κρ
=
γ k BT
γp
=
m
ρ
m: Teilchenmasse
Zahlenwerte (20°C):
Luft
Helium
SF6
µ: Poisson-Zahl
343 m/s
1005 m/s
134 m/s
In dünnen Stäben oder für sehr kleine Werte von µ :
Kenngrößen Schallwellen
E
vS =
ρ
Auslenkung
Zahlenwerte (Longitudinalwellen in dünnen Stäben):
Je geringer die Dichte
und je höher die Härte,
desto größer die
Geschwindigkeit!
Blei
1300 m/s
Eisen
5100 m/s
Diamant 17500 m/s
Schallschnelle
v =
mit
K=
1
κ
und
K
Schalldruck
Damit ist
p p0
k
1
=
=
=
= ρ vs
v v0 κω κ vs
K: Kompressionsmodul
ρ
κ=
1
γp
p: Druck
γ: Adiabatenexponent
(γ=5/3 für Atome;
γ=7/5 für zweiatomige
Moleküle)
v( x, t ) = uɺ ( x, t ) = ωu0 sin(kx − ωt )
= v0 sin( kx − ωt )
1 ∂
k
p ( x, t ) = −
u ( x, t ) = u0 sin(kx − ωt )
κ ∂x
κ
= p0 sin(kx − ωt )
Schallgeschwindigkeit in Gasen:
Hier ist
u ( x, t ) = u0 cos(kx − ωt )
Diese Größe heisst Schallimpedanz und hat für Luft den
Wert:
Z=
p
= 413 Ns/m3
v
172
Häufig werden für Schalldruck und Schallschnelle effektive,
d.h. zeitlich oder örtlich quadratisch gemittelte Werte angegeben:
peff
1
=
p0
2
veff
1
=
v0
2
Die Energiedichte der Schallwelle besteht aus
potentieller und kinetischer Energiedichte:
173
8.9 Stehende Schallwellen
Beispiel: „Orgelpfeife“
1. Gasgefülltes Rohr, beidseitig geschlossen
u(x,t)
1
1
w( x, t ) = κ p( x, t ) 2 + ρ v( x, t ) 2
2
2
Diese Beiträge sind gleich groß; über den Raum gemittelt erhält
man:
1
1
1
1
w = κ p02 + ρ v02 = κ p02 = ρ v02
4
4
2
2
Der Energiefluss ist dann:
1
1 2
I = vs w = vsκ p02 = peff
2
Z
1
2
= vs ρ v02 = Zveff
= veff peff
2
Die Hörschwelle des Menschen bei 1000 Hz liegt bei
I=10-12 W/m2 bzw. peff=2*10-5 Pa. Dies entspricht einer
Auslenkung des Gases um
u0 =
2 veff
ω
=
l
Durch Reflektion an den Enden bilden sich stehende Wellen
Auslenkungsprofil in der Grundmode:
u(x,t)
x
l
λ/2
Für die Grundmode gilt also:
λ
2 peff
ωZ
also nur 1.1 10-11 m !!
an den Enden
kann sich das Gas
nicht bewegen:
u=0
u(x,t)
2
Frequenz:
=l
λ = 2l
⇒
f0 =
vs
λ
=
vs
2l
( Luft: für l = 1m erhält man f = 165 1/s )
174
1. Oberton
175
Damit ergibt sich für ein Auslenkungsprofil
u(x,t)
u(x,t)
f1 =
x
l
vs
= 2 f0
l
x
l
λ =l
folgendes Druckprofil:
p(x,t)
2. Oberton
u(x,t)
3v
f2 = s = 3 f0
2 l
x
l
λ = 2l / 3
p0
l
x
Der Druck hat „Bäuche“ an den Rohrenden!
usw.
2. Gasgefülltes Rohr, halboffen
Damit: die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind gegeben durch:
f =n
vs
2l
u(x,t)
n = 1,2,3,...
l
Druck kann sich nicht
aufbauen:
Druckknoten
Gas kann sich nicht
bewegen:
Druckbauch
Für den Druck in einer Welle gilt:
p ( x, t ) = p 0 −
u(x,t)
1 ∂
u ( x, t )
κ ∂x
Alle erlaubten Moden haben also Druckbäuche (Auslenkungsknoten)
bei x=0 und Druckknoten (Auslenkungsbäuche) bei x=l .
176
Grundton:
177
2. Oberton:
p(x,t)
Druck
p(x,t)
p0
l
λ/4
x
p0
l
u(x,t)
u(x,t)
x
f 2=
5λ / 4
5 vs
= 5 f0
4 l
Auslenkung
x
x
l
Frequenz:
f 0=
vs
λ
=
l
vs
4l
Die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind also gegeben durch:
1. Oberton:
f = ( 2n − 1)
p(x,t)
p0
l
u(x,t)
x
3λ / 4
x
n = 1,2,3,...
Nur ungerade Harmonische (Vielfache der Grundfrequenz)
sind erlaubt!
f 1=
l
vs
4l
3 vs
= 3 f0
4 l
178
8.10 Stehende Wellen in 2D und 3D
179
8.11 Doppler-Effekt
Bewegt sich die Quelle im wellentragendem Medium, werden
Wellenlänge und Frequenz richtungsabhängig.
Jede Begrenzung eines Mediums führt zur Ausbildung von
stehenden Wellen (Normalmoden eines Systems)
λ2
Beispiel: quadratische freie Scheibe mit Kantenlänge l,
Auslenkung senkrecht zur Scheibe (Transversalwellen)
Näherungsweise sind die Wellenfunktionen gegeben durch:
(bzw. durch Linearkombinationen aus Funktionen gleicher
Frequenz)
λ1 = λ0 − ∆x = λ0 − vτ = λ0 −
(2,0)+(0,2)
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wellenlänge entgegen der Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 + ∆x = λ0 + vτ = λ0 +
0.2
0
0
∆x
f0
(2,2)
1
0
∆x = vτ
Wellenlänge in Bewegungsrichtung:
Mögliche Schwingungsformen (n,m):
(2,0)- (0,2)
λ1
Eine Quelle sende Wellen der Frequenz f0 aus. Zwischen dem
Aussenden zweier Wellenberge legt die Quelle eine Strecke ∆x
zurück, wodurch sich der Abstand der Wellenberge verändert.
f nm ( x, y, t ) = cos(nxπ / l ) cos(nyπ / l ) cos(ωnm t )
(2,0)
v
Quelle
∆x
f0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz in Bewegungsrichtung
(3,1)-(1,3)
(3,1)+(1,3)
(6,2)+(2,6)
1
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f1 =
(4,3)-(3,4)
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
c
λ1
=
c
v
λ0 −
f0
=
c
c
v
−
f0 f0
=
1
v
1−
c
f0
( > f 0 !)
180
Frequenz entgegen der Bewegungsrichtung
f2 =
c
λ2
=
c
v
λ0 +
f0
=
c
c
v
+
f0 f0
=
1
v
1+
c
f0
( < f 0 !)
Zusammengefasst:
v
f = (1 ± ) −1 f 0
c
Doppler-Effekt