Himmelmechanik - Didaktik der Physik

Sommersemester 1998
Theoretische Physik
Himmelmechanik
Aufzeichnungen, Folien und Programme
(noch kein Vorlesungsskript!)
Udo Backhaus
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1
2
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i
INHALTSVERZEICHNIS
ii
Inhaltsverzeichnis
0 Anlagen
1 Lernziele
2 16. April 1998: Geozentrische Planetenbewegung 1
iv
vi
1
3 23. April 1998: Geozentrische Planetenbewegung 2
4
4 30. April 1998: Verallgemeinerte geozentrische Beschreibung
8
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Planetenphanomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.3 geozentrisch ekliptikale Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1
3.2
3.3
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
etwas lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A quatoriale Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Neigung des Epizykels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verfeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Weitere Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 7. Mai 1998: Der U bergang zum heliozentrischen Weltbild
5.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Eine kurze Geschichte der Copernicanischen Revolution
5.3 Die Grundidee des heliozentrischen Systems . . . . . .
5.4 Theorie des vereinfachten heliozentrischen Systems . .
5.5 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 14. Mai 1998: Bestimmung von Bahndaten
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Wiederholung . . . . . . . . . .
U bung 1 . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Umlaufzeiten .
Bestimmung der Bahnradien . .
U bung 2 . . . . . . . . . . . . .
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Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich zwischen geozentrischer und heliozentrischer Beschreibung
Kepler und Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Newtons Ableitung des 2. Keplerschen Gesetzes . . . . . . . . . . .
Keplers 3. Gesetz und das Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . .
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7 28. Mai 1998: Keplers Gesetze und das Gravitationsgesetz
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
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8
8
9
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11
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15
21
22
23
24
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24
24
25
27
28
28
29
30
31
33
INHALTSVERZEICHNIS
iii
8 18. Juni 1998: U ber Ellipsen
35
8.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Zur Geometrie der Ellipse . . . . . . . .
8.2.1 Die \Gartner-Konstruktion\ . . .
8.2.2 Die Ellipse als gestauchter Kreis .
8.2.3 Die "Spiegel-Konstruktion\ . . .
8.3 Die Ellipsenform der Planetenbahnen 1 .
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9.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Die Ellipsenform der Planetenbahnen 2 . . . . . .
9.3 Kepler-Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Weitere geometrische Aspekte der Ellipse .
9.3.2 Die Kepler-Gleichung . . . . . . . . . . . .
9.4 Losung der Kepler-Gleichung . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Graphisches Verfahren . . . . . . . . . . .
9.4.2 Iteratives Verfahren . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 25. Juni 1998: Newton und die Kepler-Ellipsen
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35
35
35
36
38
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42
42
42
44
44
46
47
48
48
48
49
10 9. Juli 1998: Ephemeridenrechnung
50
11 16. Juli 1998: Zwei- und Mehrkorperproblem
53
12 Folien
57
10.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.2 Besprechung der Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.3 Weiterfuhrung der Positionsbestimmung: Ephemeridenrechnung . . . . . . 51
11.1 Das Kepler-Problem als Einkorper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.2 Verallgemeinerung auf das Zwei-Korper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.3 Ausblick auf das Mehr-Korper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
0 ANLAGEN
iv
0 Anlagen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Folie 1: von Frau Stein gemessene Marsschleife
Folie 2: geozentrische Erklarung der Planetenbewegung
Programm 1: PlanSchl
Unit 1: HimmMath: Routinen zum Umgang mit Vektoren und Matrizen
Programm 2: Epiz1: vereinfachte geozentrische Planetenbewegung in rechtwink-
liger ekliptikaler Darstellung
Programm 2: Epiz2: geozentrische Planetenbewegung in rechtwinkliger und polarer aquatorialer Darstellung. Epizykelneigung und Knotenlange werden berucksichtigt.
Folie 3: Epizykelbewegung von Mars zwischen zwei Erdnahen
Programm 3: Helioz1 (heliozentrische Planetenbewegung ohne Bahnneigung)
Folie 4: Marsbahn und Kreisbahn (bezuglich ihres Brennpunktes)
Folie 5: Marsbahn und Kreisbahn (bezuglich ihres Mittelpunktes)
Folie 6: Keplerbewegung
Folie 7: Keplerbewegung von Mars
Programm 4: KeplerBw (Simulation der Planetenbewegung auf einer Keplerellipse
numerische Losung der Kepler-Gleichung)
Programm 4: ZweiKoer (wie KeplerBw, aber Berucksichtigung der Bewegung des
Zentralkorpers)
Programm 5: DreiKoer (Integration des eingeschrankten Drei-Korper-Problems,
spezielle periodische Orbits)
LITERATUR
v
Literatur
1] D. L. Goodstein, J. Goodstein: Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der
Planeten um die Sonne, Piper: Munchen 1998
2] A. Guthmann: Einfuhrung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung, BIWissenschaftsverlag: Mannheim usw. 1994
3] I. Newton: Mathematische Prinzipien der Naturlehre, Unveranderter Nachdruck der
Ausgabe Berlin 1872, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1963
1 LERNZIELE
vi
1 Lernziele
Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes konnen:
1. die Planeten in der Reihenfolge zunehmenden Abstandes von der Sonne aufzahlen,
2. die wesentlichen Charakteristika der Planetenbewegung beschreiben,
3. die Epizykeltheorie qualitativ beschreiben und den Zusammenhang mit den Phanomenen erlautern,
4. die Bewegungsgleichungen fur die vereinfachte (ebene) geozentrische Epizykeltheorie
ableiten,
5. kartesische und polare Koordinaten ineinander umrechnen,
6. mit 3 3-Matrizen und Vektoren umgehen (aus der Linearen Algebra),
7. die Drehung eines Koordinatensystems durch Drehmatrizen beschreiben und auf
einfache konkrete Beispiele anwenden,
8. die vereinfachte Epizykeltheorie zur Beschreibung und Vorhersage von Planetenbewegungen anwenden:
aus Oppositionsdaten die Umlaufzeiten des Epizykelmittelpunktes und des Planeten auf dem Epizykel berechnen,
eine neue ekliptikale Position vorhersagen und
die in aquatoriale Koordinaten umrechnen,
9. ekliptikale und aquatoriale Koordinaten ineinander umrechnen,
10. die Verfeinerung der Epizykeltheorie durch Einfuhrung der Epizykelneigung beschreiben,
11. weitere Verfeinerungen der Theorie nennen,
12. die wichtigsten Stufen der Copernicanischen Revolution und den Einu nennen,
den Copernicus, Brahe, Kepler, Galilei und Newton auf sie hatten,
13. die drei Keplerschen Gesetze nennen und prinzipielle Moglichkeiten zu ihrer empirischen Bestatigung beschreiben,
14. die Newtonschen Gesetze nennen und anwenden,
15. das Newtonsche Gravitationsgesetz und seine wesentlichen Charakteristika nennen,
16. die Grundidee des heliozentrischen Systems erlautern und mathematisch beschreiben,
17. mit Hilfe des vereinfachten heliozentrischen Systems Planetenpositionen berechnen,
18. geozentrische und heliozentrische Beschreibung der Planetenbewegung miteinander
vergleichen,
1 LERNZIELE
vii
19. den Flachensatz fur Zentralkrafte (1. Keplersches Gesetz) aus den Newtonschen
Gesetzen ableiten,
20. fur den Spezialfall von Kreisbahnen das Gravitationsgesetz aus dem 3. Keplerschen
Gesetz ableiten,
21. die wichtigsten geometrischen Eigenschaften von Ellipsen nennen und beweisen,
22. Feynmans Ableitung der Ellipsenform der Planetenbahnen aus den Newtonschen
Gesetzen und dem Gravitationsgesetz wiedergeben,
23. die Begrie Brennpunkt, groe und kleine Halbachse, Exzentrizitat, mittlere, exzentrische und wahre Anomalie denieren,
24. die Kepler-Gleichung nennen und Methoden zu ihrer numerischen Losung beschreiben,
25. die Position eines Planeten auf seiner Bahnellipse vorhersagen und daraus seine
geozentrische (ekliptikale bzw. aquatoriale) Position berechnen,
26. die A quivalenz von Ein-Korper- und Zwei-Korper-Problem begrunden und die A nderungen beschreiben, die bei Berucksichtigung der endlichen Masse des Zentralkorpers
gegenuber dem Ein-Korper-Problem auftreten.
2 16. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 1
1
2 16. April 1998: Geozentrische Planetenbewegung 1
2.1 Einleitung
Stellung der Veranstaltung "Theoretische Physik\:
{ Pichtveranstaltung ohne Scheinzwang
{ In mundlicher Prufung wird nach gehorter Theorievorlesung gefragt.
{ Nur eine Vorlesung ist zu wenig, um einen U berblick uber die die gesamte
theoretische Physik geben zu konnen.
{ Deshalb sollen typische Verfahren der theoretischen Physik an einem konkreten
Problem erlautert werden.
Als Beispiel habe ich das Problem der Planetenbewegungen gewahlt, weil es historisch eine uberragende Rolle fur die Entwicklung der Naturwissenschaft gespielt
hat.
Das Buch, das Copernicus 1543 herausgegeben hat (De revolutionibus . . . ), gab den
Ansto zu einer der groten wissenschaftlichen Umwalzungen (Revolutionen ).
2.2 Planetenphanomene
Beschreibung der Bewegung von Mars anhand der von Frau Stein fotograerten
Marsschleife 1997 (16 Dias und Folie 1)
Simulation der Bewegungen von Mars und Venus mit dem Programm Planetarium
Es gibt 9 Planeten { in der Reihenfolge zunehmenden Abstandes von der Sonne:
Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Pluto.
Merksatz: Mein Vater erklart mir jeden Sonntag unsere neun Planeten.
Zusammenfassung der wichtigsten Phanomene der Planetenbewegung:
{ Alle Planeten bewegen sich relativ zum Fixsternhimmel in unmittelbarer Nahe
der jahrlichen Sonnenbahn (der Ekliptik). Die Sonnenbewegung auf der Ekliptik und ihr Zusammenhang mit den Jahreszeiten werden am Himmelsglobus
erlautert.
{ Meist bewegen sich die Planeten von West nach Ost (nicht mit der taglichen
Bewegung von Ost nach West verwechseln!): Man sagt, sie sind rechtlaug.
{ In regelmaigen Abstanden werden sie rucklaug, d.h. sie bewegen sich von
Ost nach West. Dabei durchlaufen sie Schleifen unterschiedlicher Groe und
Gestalt.
{ Merkur und Venus bleiben immer in der Nahe der Sonne. Die anderen Planeten
konnen jeden (Winkel-) Abstand von der Sonne annehmen.
{ Merkur und Venus ("innere Planeten\) werden rucklaug, wenn sie von der
Sonne uberholt werden. Alle anderen Planeten ("auere Planeten\) durchlaufen
ihre Schleife, wenn sie der Sonne gegenuberstehen.
2 16. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 1
2
{ Die (scheinbare) Helligkeit der Planeten andert sich. Sie erreichen wahrend der
Zeit der Rucklaugkeit ihre grote Helligkeit { die aueren Planeten wenn sie
der Sonne genau gegenuberstehen.
2.3 geozentrisch ekliptikale Beschreibung
Die Griechen beschrieben die Bewegungen am Himmel so, wie sie sie erlebten { mit
der Erde im Mittelpunkt (geozentrische Beschreibung). Die Bewegungen des
Fixsternhimmels und von Sonne und Mond lassen sich recht gut mit gleichformigen Kreisbewegungen beschreiben. Deshalb erhielt dieser Bewegungstyp als vollkommendste Bewegung eine mystische Bedeutung.
Die Planetenbewegung lat sich wegen ihrer Rucklaugkeit nicht so beschreiben.
Grundidee deshalb: Die Planetenbewegung ergibt sich als Uberlagerung
mehrerer
gleichformiger Kreisbewegungen, im einfachsten Fall zweier Bewegungen in der Ekliptikebene: Deferent und Epizykel.
Vorfuhren der Epizykelbewegung mit dem Programm PlanSchl: Mit diesem Modell kann die Bewegung langs der Ekliptik und die Helligkeitsanderung recht gut
qualitativ beschrieben werden.
Berechnung:
~r = ~rDeferent + ~rEpizykel
(1)
i
t
i!t
= rD e + rE e
Koordinatensysteme:
{ rechtwinklige Koordinaten (~e1~e2~e3):
0 1
r1
~r = r1~e1 + r2~e2 + r3~e3 = (r1 r2 r3) = B
@ r2 CA
r3
Fur die Basisvektoren gilt dementsprechend:
0 1
0 1
0 1
1
0
0
B
C
B
C
B
~e1 = @ 0 A ~e2 = @ 1 A ~e3 = @ 0 C
A
0
0
1
{ Polarkoordinaten
~r = (r l b)
(=(Betrag, Lange(nwinkel), Breite(nwinkel)))
{ Die Umrechnung von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten geschieht
mit den folgenden Formeln:
r1 = r cos b cos l
r2 = r cos b sin l
r3 = r sin b
(2)
2 16. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 1
3
Abbildung 1: rechtwinklige und Polarkoordinaten
Die Umrechnung von rechtwinkligen in Polarkoordinaten geschieht mit den
folgenden Formeln:
q
r = r12 + r22 + r32
sin b = rr3 =) b = arcsin rr3
(3)
tan l = rr2 =) l = arctan rr2
1
1
r1
l
1
; cos l
oder besser: tan =
= 1 ;rr2 cos b = r cos b ; r1
2
sin l
r2
r cos b
=) l = 2 arctan r cosrb ; r1
2
Damit haben wir:
~rDeferent = (rD cos lD rD sin lD 0) = (rD cos t rD sin t 0)
~rEpizykel = (rE cos lE rE sin lE 0) = (rE cos !t rE sin !t 0)
(4)
=)
~r = (rD cos t + rE cos !t rD sin t + rE sin !t 0)
= (r cos l r sin l 0)
(4)
Sind die Werte von und ! bekannt, dann lassen sich mit diesen Gleichungen
fur jede beliebige Zeit t zunachst die rechtwinkligen Koordinaten ~r des Planeten
berechnen und schlielich mit den Formeln (3) die Lange des Planeten, d.h. seine
(vom Fruhlingspunkt aus gemessene) Position auf der Ekliptik.
3 23. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 2
4
3 23. April 1998: Geozentrische Planetenbewegung 2
3.1 Wiederholung
Erganzung der Teilnehmerliste
Geld einsammeln lassen fur Kopien
Phanomene der Planetenbewegung
Beschreibung dieser Bewegung durch die Epizykeltheorie (Folie 2)
quantitative Beschreibung:
~r = (rD cos t + rE cos !t rD sin t + rE sin !t 0)
Dieses Modell fuhrt jedoch nur zu Hin- und Herbewegungen auf der Ekliptik, ergibt
jedoch nicht die beobachteten Schleifen. Um diese wiedergeben zu konnen, mu der
Epizykel gegen die Ekliptik geneigt werden.
Bevor wir das jedoch beschreiben konnen, mu ein wenig lineare Algebra wiederholt
werden.
3.2 etwas lineare Algebra
Matrizen
0
1
a11 a12 a13
A = Azs = B@ a21 a22 a23 CA
a31 a32 a33
Matrizen konnen miteinander multipliziert werden:
3
X
C = AB mit cij = aik bkj
k=1
(Das Matrixelement cij der Produktmatrix ist also das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der ersten Matrix mit dem j -ten Spaltenvektor der zweiten Matrix.)
ACHTUNG: Dieses Produkt ist nicht symmetrisch, es kommt also auf die Reihenfolge der Faktoren an!
Beispiel:
0
10
1 0
1
1
2
3
9
8
7
30
24
18
B@ 4 5 6 CA B@ 6 5 4 CA = B@ 84 69 54 CA
7 8 9
3 2 1
138 114 90
Das neutrale Element der Multiplikation ist die Einheitsmatrix 1:
0
1
1 0 0
1A = A1 = A mit 1 = B@ 0 1 0 CA
0 0 1
3 23. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 2
5
Die transponierte Matrix geht durch Spiegelung an der Hauptachse (bzw. durch
Vertauschen von Zeilen und Spaltenvektoren) aus der ursprunglichen Matrix hervor:
0
1
a11 a21 a31
(Azs )T = Asz = B
@ a12 a22 a32 CA
a13 a23 a33
Die inverse Matrix ist in naheliegender Weise deniert:
AA;1 = A;1A = 1
Matrizen und Vektoren konnen miteinander multipliziert werden:
10 1 0
1
0 0 1 0
a11 a12 a13
r1
a11r1 + a12r2 + a13r3
r1
B
@ r20 CA = B@ a21 a22 a23 CA B@ r2 CA = B@ a21r1 + a22r2 + a23r3 CA
r30
a31 a32 a33
r3
a31r1 + a32r2 + a33r3
oder
3
X
r~0 = A~r mit ri0 = aik rk
k=1
(die i-te Komponente des Ergebnisvektors ist also das Skalarprodukt aus dem i-ten
Zeilenvektor der Matrix und dem Ausgangsvektor.)
Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Beispiel: Drehung um
die ~e1-Achse um + (d.h. entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn)):
~e3
e~0
3
MBB
B
BB
6
BB
BB
e~02
1
BB
BB
- ~e2
B
Oensichtlich gilt:
e~01 = 1~e1 + 0~e2 + 0~e3 = D1()~e1
e~02 = 0~e1 + cos ~e2 + sin ~e3 = D1()~e2
e~03 = 0~e1 + ; sin ~e2 + cos ~e3 = D1()~e3
0
1
1 0
0
mit D1() = B
@ 0 cos ; sin CA
0 sin cos So ist z.B.:
0
D1()~e2 = D1() B@
1 0
1
0C B 0 C
1 A = @ cos A = e~02
0
sin (5)
3 23. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 2
6
Die Drehmatrizen fur die Drehungen um die ~e2- bzw. die ~e3-Achse ergeben sich
entsprechend:
0
1
0
1
cos
0
sin
cos
; sin 0
D2() = B@ 0 1 0 CA D3 = B@ sin cos 0 CA
(6)
; sin 0 cos 0
0 1
Fur diese Drehmatrizen gilt oensichtlich:
D;1() = DT () = D(;)
(7)
Mit diesen Drehmatrizen lat sich die Transformation eines beliebigen Vektors wie
folgt beschreiben:
r~0 = r10 e~01 + r20 e~02 + r30 e~03 = r10 e~01 + r20 (cos ~e2 + sin ~e3) + r30 (; sin ~e2 + cos ~e3)
= r10 ~e1 + (r20 cos ; r30 sin )~e2 + (r20 sin + r30 cos )~e3
= r1~e1 + r2~e2 + r3~e3
Oder anders geschrieben:
0 1 0
1
0
10 0 1
r1
r1
1 0
0
B@ r2 CA = B@ r0 cos ; r0 sin CA = B@ 0 cos ; sin CA B@ rr10 CA = D1()r~0
2
3
2
r3
r20 sin + r30 cos 0 sin cos r30
Entsprechende U berlegungen lassen sich fur die Drehungen um die anderen Achsen
anstellen. Damit haben wir folgende Transformationsformeln:
~r = Di()r~0
oder
r~0 = DTi ()~r
(8)
Beliebige Drehungen lassen sich zusammensetzen aus (hochstens 3) Drehungen um
Achsen. Die Transformationsmatrizen solcher zusammengesetzter Drehungen ergeben sich als Produkt der einzelnen Drehmatrizen. In diesem Produkt steht die Matrix der letzten Drehung links, die der ersten Drehung ganz rechts.
3.3 U bung
Zwei aufeinanderfolgende Mars-Oppositionen fanden am 11.2.1995 bei der ekliptikalen Lange = 143 und am 16.3.1997 bei = 177 statt. Wahrend dieser Zeitspanne
lief Mars etwas mehr als einmal um die Erde herum.
Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Winkelgeschwindigkeit des Epizykelmittelpunktes auf dem Deferenten und die Winkelgeschwindigkeit ! von Mars auf dem
Epizykel!
Losung:
Zwischen den beiden Oppositionen vergeht eine Zeit von
t = 365d + 366d + 33d = 764d
3 23. APRIL 1998: GEOZENTRISCHE PLANETENBEWEGUNG 2
7
Zum Zeitpunkt der Opposition ist Mars am hellsten. Er ist also der Erde am
nachsten. Zu beiden Zeitpunkten bendet sich Mars deshalb genau zwischen Epizykelmittelpunkt und Erde.
Die Langenanderung lD des Epizykelmittelpunktes auf dem Deferenten ist also
ebenso gro wie die Langenanderung l von Mars:
lD = l = 360 + (177 ; 143 ) = 394
Wurde Mars immer zwischen Epizykelmittelpunkt und Erde bleiben, ware seine
Langenanderung lE auf dem Epizykel (die relativ zu einer festen Raumrichtung
gemessen wird!) ebenso gro wie lD. Tatsachlich aber entfernt er sich zwischendurch einmal von der Erde, d.h. er lauft einmal zusatzlich auf dem Epizykel um:
lE = l + 360 = 754
Daraus folgt:
394 = 0:516 =d =) T
= 764
Deferent = 698d (Lit.: 687d)
d
754 = 0:987 =d =) T
! = 764
Epizykel = 365d (Lit.: ??)
d
Welche aquatorialen Koordinaten hat Mars unter der vereinfachenden Annahme i =
0 (d.h. Deferent und Epizykel liegen in einer Ebene) und unter der Voraussetzung
eines Radiusverhaltnisses zwischen Defernt und Epizykel von rrDE = 1:5 am 11.2.1996?
Losung:
{ Am 11.2.1995 gilt lD = 143 und lE = lD + 180 = 323 .
{ Am 11.2.1996 sind seit dem 11.2.1995 t = 365d vergangen.
{ Daraus ergibt sich die Lange des Epizykelmittelpunktes zu
lD = 143 + t = 143 + 188:34 = 331:34 :
{ Fur die Lange von Mars auf dem Epizykel gilt am 11.2.1996 entsprechend:
lE = 323 + ! t = 323 + 360:26 = 683:26 = 323:26
{ Nach (4) ergeben sich daraus die rechtwinkligen Koordinaten von Mars:
r1 = r cos l = rE (1:5 cos lD + cos lE ) = 2:12rE und
r2 = r sin l = rE (1:5 sin lD + sin lE ) = ;1:32rE
{ Daraus ergeben sich mit (3) die Polarkoordinaten (r l b(= 0)) von Mars:
p
r = 2:122 + 1:322 rE = 2:50rE = rD + rE
l = arctan 2:50 ; 2:12 =) l = ;32:12 = 327:88
l = 2 arctan 1 ;sincos
l
;1:32
Mars bendet sich also gerade in "Erdferne\ (wegen r = rD + rE , bzw. l lD).
{ Die tatsachliche ekliptikale Lange von Mars betragt am 11.2.1997 = 327 !
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG 8
4 30. April 1998: Verallgemeinerte geozentrische Beschreibung
4.1 Wiederholung
Die Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems um eine der drei Achsen
e~02
~e2
r2
r20
r10
e~01
r1
~e1
wird durch die drei in (5) und (6) gegebenen Drehmatrizen beschrieben:
D = Di()
Dabei ist der Winkel, um den das Koordinatensystem (~e1~e2~e3) gedreht werden
mu, um in das System (e~01 e~02 e~03) uberzugehen.
Die Komponenten (r1 r2 r3) bzw. (r10 r20 r30 ) desselben Vektors ~r bezuglich der beiden Koordinatensysteme lassen sich dann ineinander umrechnen gema
~r = Dr~0 und r~0 = DT ~r
4.2 A quatoriale Bewegung
Die Bahnebene der Sonne (Ekliptik) und die A quatorebene sind um = 23:5
gegeneinander geneigt (Schiefe der Ekliptik).
Die (1,2)-Ebene des ekliptikalen Koordinatensystems ist die Ekliptikebene, die (1,2)Ebene des aquatorialen Koordinatensystems ist die A quatorebene. Die ~e1-Achsen
beider Systeme zeigen zum Fruhlingspunkt, dem Punkt also, an dem die Sonne
am 21. Marz von Suden kommend den A quator uberschreitet.
Demonstration am Himmelsglobus
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG 9
~e3
qHimmelsnordpol (Polarstern)
qPol der Ekliptik
e~0 3
e~0 2
~e2
A quator
Ekliptik
~e1 e~0 1
Das A quatorsystem geht also in das Ekliptiksystem uber, indem es um um die
1-Achse gedreht wird.
Die aquatorialen Koordinaten (r1 r2 r3) eines Vektors und seine ekliptikalen Koordinaten (r10 r20 r30 ) konnen demnach gema
~r = D1()r~0 und r~0 = DT1 ()
q Fruhlingspunkt
Umrechnung aquatorial $ ekliptikal
(9)
ineinander umgerechnet werden.
fur ein konkretes Beispiel siehe die heutige U bung
4.3 Neigung des Epizykels
Die bisherige Beschreibung der Planetenbewegung liefert nur eine Hin- und Herbewegung
in der Ekliptikebene. Um auch die Abweichungen von dieser Ebene und die verschiedenen
Schleifentypen beschreiben zu konnen, wird die Epizykelebene gegen die Deferentenebene
(=Ekliptikebene) um die Epizykelneigung i geneigt. Die Kipplinie (Knotenlinie) bildet
mit der 1-Achse im allgemeinen einen Winkel, die Knotenlange .
Dazu sind zwei Drehungen des Koordinatensystems erforderlich:
Zunachst wird die Bewegung des Planeten in der Epizykelebene beschrieben. Bezugsrichtung ist dabei die Knotenlinie. Die Lange in diesem Koordinatensystem
heit wahre Anomalie .
~rEpizykel = r(cos sin 0)
Um dieses Koordinatensystem in das ekliptikale zu uberfuhren, mu es zunachst um
;i um seine ~e1-Achse gedreht werden:
r~0Epizykel = DT1 (;i)~rEpizykel = D1(i)~rEpizykel
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG10
und dann um seine (neue) ~e3-Achse um den Winkel ;:
~rEpizykelekl = DT3 (;)r~0Epizykel = D3()D1(i)~rEpizykel
Die Komponenten dieses Vektors beziehen sich nun auf dieselben Einheitsvektoren
wie rDeferent . Die beiden Vektoren konnen deshalb nun komponentenweise addiert
und die Summe schlielich in aquatoriale Koordinaten umgerechnet werden:
mit
~raqu = D1()(~rDeferent + ~rEpizykelekl )
= D1() (~rDeferent + D3()D1(i)~rEpizykel )
~rEpizykel = r(cos sin 0)
(10)
Mit diesen Gleichungen lassen sich die aquatorialen Koordinaten des Planeten zu
jedem Zeitpunkt berechnen, wenn die Position des Planeten zu einem Zeitpunkt,
seine Knotenlange und Epizykelneigung und das Verhaltnis der Radien von Deferent
und Epizykel kennt.
Ein entsprechendes Programm (epiz2) liefert tatsachlich qualitativ richtige Ergebnisse:
Mit den Gleichungen (10) berechnete aquatoriale Bewegung von Mars
4.4 Verfeinerungen
Die Vorhersagen mit den Gleichungen (10) erwiesen sich als nicht sehr genau. Um eine
bessere U bereinstimmung zwischen Beobachtung und Berechnung herzustellen, wurden
{ ohne an der grundsatzlichen Methode etwas zu andern { zusatzliche Verfeinerungen
eingefuhrt:
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG11
der Exzenter als zusatzlicher Epizykel: Der Mittelpunkt des Deferenten stimmt nicht
mit der Erde uberein, sondern lauft seinerseits auf einem Kreis um die Erde. Haben
diese beiden Bewegungen dieselbe Kreisfrequenz, aber entgegengesetzten Umlaufsinn, dann uberlagern sie sich zu einer Kreisbewegung, deren Mittelpunkt nicht mit
der Erde ubereinstimmt. Als Folgerung davon ist die Winkelgeschwindigkeit des
Epizykelmittelpunktes bezuglich der Erde nicht mehr gleichformig.
Eine ungleichformige Bewegung auf den Kreisen war nicht mit dem gottlich-perfekten
Charakter der himmlischen Bewegungen vereinbar. Erst Kepler lie das Dogma der
gleichformigen Kreisbewegungen fallen!
4.5 U bung
4.5.1 Wiederholung
Zusammenhang von Opposition und Erdnahe
erneute Demonstration der zwischen den beiden Zeitpunkten uberstrichen Winkel:
{ mit dem Program PlanSchl (zunachst mit ubereinstimmenden Winkelgeschwindigkeiten von Epizykelmittelpunkt und Planet, dann mit den realistischen Werten)
{ mit mechanischem Modell, wenn moglich
{ anhand der folgenden Zeichnung:
s
r
r
s
r
s x
s
r
r
s
Vom Epizykelmittelpunkt und Planet zwischen zwei Erdnahen uberstrichene
Winkel
Berechnung der Langenanderung zu Ende (s. 23. April, S. 7)
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG12
4.5.2 Weitere Rechnungen
Berechnung der aquatorialen Koordinaten:
0
10
1
1 0
0
2:12rE
~rAqu
rEkl = B
@ 0 cos " ; sin " CA B@ ;1:32rE CA = rE (2:12 ;1:21 ;0:53)
= D1 (")~
0 sin " cos "
0
Damit ergibt sich
{
r = 2:50rE (klar: Eine Drehung andert nichts an der Lange des Vektors!)
{
b (3)
= arcsin r3 = arcsin ;0:53rE = arcsin ;0:53 =)
r
2:50rE
2:50
b = ;12:24 (Lit.: ;13:5)
l (3)
= 2 arctan r cos b ; r1 = 2 arctan 2:5rE cos b ; 2:12rE
r2
;1:21rE
b ; 2:12 =)
= 2 arctan 2:50 cos
;1:21
l = ;29:91 = 330:1 (Lit.: 330)
Diese U bereinstimmung ist fur die Einfachheit des Modells recht befriedigend. Sie
kann weiter verbessert werden durch
{ durch Einfuhrung von Epizykelneigung und Knotenlange,
{ Berucksichtigung einer Phasenverschiebung zwischen Planeten- und Epizykelbewegung.
Das Radiusverhaltnis, das in der Aufgabe vorgegeben wurde, wurde tatsachlich
durch Minimierung der Dierenz zwischen Rechnung und Beobachtung an die Beobachtungsdaten angepat !
4.5.3 Programmierung
Die mathematischen Routinen werden in eine unit HimmMath ausgelagert:
{ die Typen
rVektor: (r0],r1],r2],r3]):=(j~rj r1 r2 r3)
pVektor: p.r:=j~rj, p.l:=Lange, p.b:=Breite
Matrix: ai,j]:=aij
{ die Proceduren
defrVektor(x, y, z, r): ~r := (x y z )
normiererVektor(r): ~r := j~~rrj
addiererVektoren(r1, r2, r): ~r := ~r1 + ~r2
4 30. APRIL 1998: VERALLGEMEINERTE GEOZENTRISCHE BESCHREIBUNG13
:
defpVektor(r, l, b, p) p.r:=r p.l:=l p.b:=b
: mij :=mij
defMatrix(m11, ..., m33, m)
transpMatrix(M): M := MT
: M := Di()
D2, D) (in Ausdruck leider vergessen!):
defDrehmatrix(i, alpha, M)
multipliziereMatrizen(D1,
D := D1D2
D
dreherVektor(D, r, rn): ~rn := ~r
Rekt2Polar(r, p) berechnet die Polardarstellung p zum kartesischen Vek-
tor ~r.
berechnet den kartesischen Vektor ~r zur Polardarstellung p.
Kombiniert man die Gleichungen (9) zur Umrechnung zwischen aquatorialen und
ekliptikalen rechtwinkligen Koordinaten mit den Gleichungen (2), dann ergeben sich
leicht Gleichungen fur die Umrechnung der polaren ekliptikalen Koordinaten ( )
in die polaren aquatorialen Koordinaten ( ):
Polar2Rekt(p, r)
cos cos = r1
cos sin = r2
sin = r3
=
=
=
=)
=
=
=
=)
=
=
cos cos cos sin sin r10 = cos cos r20 cos ; r30 sin = cos sin cos ; sin sin r20 sin + r30 cos = cos sin sin + sin cos cos cos =: A
cos sin cos ; sin sin =: B
cos sin sin + sin cos := C
arcsin C
= cos ; A
2 arctan 1 ;sincos
B
(11)
Ebenso ergeben sich die Gleichungen fur die Umrechnung in der umgekehrten Richtung:
cos cos cos sin sin =
=
=
=)
=
=
cos cos := A
cos sin cos + sin sin =: B
; cos sin sin + sin cos =: C
arcsin C
2 arctan cos B; A
(12)
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
14
5 7. Mai 1998: Der U bergang zum heliozentrischen Weltbild
5.1 Wiederholung
Drehung der Epizykelebene: Die Epizykelebene mu um den Winkel ;i um
ihre 1-Achse gedreht werden. Die Darstellung r~0Epizykel im neuen Koordinatensystem
ergibt sich also gema (8) zu
r~0Epizykel = DT1 (;i)~rEpizykel = D1(i)~rEpizykel
Ebenso ergaben sich die anderen erforderlichen Drehungen. Alle erforderlichen Rechnungen werden zusammengefat durch (10):
~rAqu
rDeferent + D3()D1(i)~rEpizykel ) mit ~rEpizykel = rE (cos !t sin !t 0)
= D1()(~
Bestimmung des Radiusverhaltnisses: Das Verhaltnis rrDE wurde in der Aufga-
be vorgegeben. Tatsachlich wurde das Radiusverhaltnis in der Antike durch Anpassung der Theorie an die Beobachtungen fur jeden Planeten einzeln gewonnen { und
mehr als dieses Verhaltnis ist empirisch nicht zu gewinnen, weil die beobachtbaren
Winkelpositionen (wie die Beispielrechnung an Mars gezeigt hat) nur von diesem
Verhaltnis, nicht aber von den beiden Radien einzeln abhangt.
Verfeinerungen:
{ Die Umlaufe auf Deferent und Epizykel brauchen nicht gleichphasig zu sein.
{ Die Theorie kann durch Einfuhrung weiterer Kreise (Epizykel) besser an die
Beobachtungsdaten angepat werden. Setzt man z.B. den Mittelpunkt des Planetenepizykels auf einen weiteren Epizykel mit Mittelpunkt auf dem Deferenten, setzt aber die zugehorige Winkelgeschwindigkeit auf 0, dann bewegt sich
der Mittelpunkt des Planetenepizykels auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt
nicht mehr die Erde ist. (Aufgabe: Machen Sie sich diese Aussage anhand
einer Zeichnung klar!)
Als Folge davon ist die von der Erde aus beobachtete Winkelgeschwindigkeit
des Planeten nicht mehr konstant!
{ Simulation mit PlanSchl
{ Eine ungleichformige Bewegung auf den Kreisen selbst war jedoch nicht mit
dem gottlich-perfekten Charakter der himmlischen Bewegungen vereinbar. Erst
Kepler lie das Dogma der gleichformigen Kreisbewegungen fallen!
Programmierung
{ Die entscheidenden Zeilen des Programmes Epiz1, das die geozentrische Posi-
tion des Planeten fur die einfachste Version der Epizykeltheorie darstellt, sind:
var
var
rD, rE, rP: rVektor
(* Deferent
Epizykel Planet , rechtw. Darstellung *)
pD, pE, pP: pVektor
(* entsprechende polare Darstellung *)
~r
~r
~r
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
15
pD.l:=pD.l+vD*dt
(* neue L
ange des Epizykel-Mittelpunktes *)
pE.l:=pE.l+vE*dt
(* neue L
ange des Planeten auf dem Epiz.*)
Polar2Rekt(pD, rD) (* Umrechnungen in rechtwinklige Koordinaten
*)
Polar2Rekt(pE, rE)
addiererVektoren(rD, rE, r)
(* Berechnung des Planetenortes *)
Rekt2Polar(r, p)
(* Umrechnung in Polarkoordinaten *)
zieheLinieNach(xPlot(r1]), yPlot(r2]), hellrot)
{ Im Programm Epiz2, das die aquatorialen Koordinaten ( ) der Planetenpo-
sitionen im Rahmen des durch Epizykelneigung verfeinerten Epizykelmodells
darstellt, wird der Vektor rE des Planeten zwei Drehungen unterzogen, bevor
er zum Vektor des Epizykelmittelpunktes addiert wird:
...
dreherVektor(iD, rE, rE)
dreherVektor(klD, rE, rE)
addiererVektoren(rD, rE, r)
(* Drehung der Epizykelebene *)
(* Drehung der Knotenlinie *)
(* Berechnung des Planetenortes *)
Anschlieend werden die ekliptikalen Planetenkoordinaten ~r durch Drehung
in aquatoriale umgewandelt und schlielich die zugehorigen Polarkoordinaten
berechnet:
dreherVektor(aeD, r, r)
Rekt2Polar(r, p)
...
(* Drehung in Aquatorebene *)
(* Umrechnung in Polark. *)
5.2 Eine kurze Geschichte der Copernicanischen Revolution
Die Darstellung dieses Abschnittes lehnt sich eng an Feynman an.
Plato, Aristoteles (4. Jahrhundert v.Chr.), Ptolomaus (2. Jahrhundert
n.Chr.)
{ In der Aristotelischen Welt bestand alle Materie aus den vier Elementen Erde,
Wasser, Luft und Feuer, von denen jedes seinen naturlichen Platz hatte: Erde,
von Wasser umgeben, im Mittelpunkt der Welt, dann Luft und Feuer in Schalen mit zunehmendem Radius. Alle naturliche Bewegung beruhte darauf, da
die Elemente ihren naturlichen Ort aufsuchten (Schwere Korper versuchen zu
fallen, Blasen im Wasser steigen auf, . . . ). Alle anderen Bewegungen mussen
erzwungen werden: Ein Ochsenkarren zum Beispiel wurde sich nicht bewegen,
wenn er nicht gezogen wurde.
{ Die himmlischen Korper drehen sich an kristallenen Kugeln ("Spharen\). Diesen Kugeln waren nur perfekte Bewegungen moglich, d.h. Kreisbewegungen mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit. Im Himmel gab es keinerlei Veranderungen.
{ Dieses System erklarte nicht nur alle Bewegungen befriedigend. Es ordnete
daruberhinaus dem Menschen einen festen Platz zu { und dieser Platz war das
Zentrum im Universum.
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
16
{ Allerdings gab es Probleme: Vollfuhrten die Sterne, und meist auch Sonne und
Mond, ihre Bewegungen hinreichend genau, so verhielten sich die Planeten
("Wandelsterne\) nicht in der erwunschten Weise. Um auch fur sie die Platonische Forderung nach perfekter Kreisbewegung zu erfullen, trotzdem aber "die
Phanomene retten\ zu konnen, wurde die Epizykeltheorie entwickelt, die es erlaubte, durch Hinzufugen weiterer Epizykel befriedigende U bereinstimmungen
zwischen Berechnung und Beobachtung zu erzielen.
{ Dieses System wurde im Laufe von funf Jahrhunderten perfektioniert und von
Ptolomaus in seinem Almagest (2. Jahrhundert n.Chr.) abschlieend zusammengefat. Der Almagest blieb fur 14 Jahrhunderte das verbindliche Lehrbuch
der Astronomie.
Copernicus (1473-1543)
{ In seinem Buch De revolutionibus orbium coelestium (U ber die Kreisbewegungen der Weltkorper), das im Todesjahr 1543 veroentlicht wurde,
zeigte Copernicus, da das antike System mathematisch etwas vereinfacht werden konnte, wenn man die Sonne statt der Erde ins Zentrum setzte. Diese neue,
zunachst nur mathematisch betrachtete, neue Sehweise wurde in den nachsten
Jahrzehnte nur von wenigen Fachleuten beachtet und von noch weniger Menschen gelesen. Allerdings wurde sie von Jesuiten in China sogar gelehrt, aber
die Kirche war durch Luther beansprucht.
{ Trotzdem gab es einige wenige, die Kenntnis von dem neuen System nahmen
und sich daruber Gedanken machten. Insbesondere drei Manner spielten eine
entscheidende Rolle bei der U berwindung des geozentrischen Universums.
Tycho Brahe (1546-1601)
{ Tycho bemerkte bei der Beobachtung einer engen Konjunktion zwischen Ju-
piter und Saturn im August 1563, da die astronomischen Tabellen { die Copernicanischen eingeschlossen! { um mehrere Tage danebenlagen. Nachdem er
im Jahre 1572 eine Supernova beobachtet und nachgewiesen hatte, da diese Veranderung nicht in der sublunaren Sphare, sondern im unveranderlichen
Himmel stattgefunden hatte, wurde er beruhmt und bekam vom danischen
Konig eine Sternwarte auf der Insel Hven eingerichtet (Uraniborg ).
{ Wahrend seiner 20 Jahre wahrenden Tatigkeit auf Hven beobachtete Tycho
Sterne und Planeten mit noch nicht dagewesener Prazision und verbesserte die
Genauigkeit der astronomischen Tabellen von 10" auf 2'.
{ Nach einem Streit mit dem Konig wurde Tycho 1597 kaiserlicher Mathematiker
in Prag. Dort wollte er seine Daten dazu verwenden, sein eigenes Weltsystem
(Die Sonne kreist um die Erde, aber alle Planeten bewegen sich um die Sonne.)
zu stutzen. Dieses Modell verletzte das Aristotelische Weltbild starker als das
Copernicanische, weil es die kristallenen Kugelschalen endgultig zerschlug.
{ Aber Tychos mathematische Fahigkeiten reichten nicht aus. Deshalb holte er
1600 Kepler nach Prag, auf den er aufgrund seines Buches "Mysterium cosmographicum\ aufmerksam geworden war, in dem Kepler begrundete, warum
es genau sechs Planeten gab, und in dem er auch die Radien ihrer Bahnen
ableitete.
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
17
Johannes Kepler (1571-1630)
{ Nach dem plotzlichen Tode von Tycho wurde Kepler sein Nachfolger als kai-
serlicher Mathematiker und gelangte in den Besitz der wertvollen Daten des
Verstorbenen. Er begann mit der Auswertung der Daten aus der Sicht des Copernicanischen Systems (Alle O rter werden in Bezug auf die Sonne beschrieben!): Sein "Kampf mit der Marsbahn\ begann.
{ Zunachst untersuchte er die Erdbahn so genau wie moglich: Sie erwies sich
tatsachlich mit hinreichender Genauigkeit als Kreisbahn, deren Mittelpunkt
allerdings nicht in der Sonne, sondern etwas auerhalb lag (e = 0:0167).
{ Die Marsbahn konnte jedoch nicht mit der erforderlichen Genauigkeit auf diese Weise beschrieben werden: Es gab Abweichungen bis zu 8'! Kepler mute
zunachst das Dogma des gleichformigen Umlaufes fallen lassen { und schlielich
sogar nach anderen Bahnformen suchen.
{ In seinem epochemachenden Buch "Astronomia Nova\ (Die neue Astronomie) (1609) ndet er nach langem, ausfuhrlich beschriebenem, Suchen sein
1. Keplersches Gesetz
Die Bahnen aller Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt
die Sonne steht.
Die Bedeutung dieses Gesetzes, das Kepler rein empirisch fand, kann kaum
uberschatzt werden.
Ellipsen sind eine der vier Formen sogenannter Kegelschnitte (Kreis, Ellipse,
Parabel, Hyperbel). Ihre Eigenschaften werden wir spater genauer untersuchen.
{ Wie hoch Keplers Anspruch an die Genauigkeit war, veranschaulichen die folgenden Bilder, die die Form der Marsbahn mastabsgerecht mit einem Kreis
vergleichen:
r
Marsbahn und Kreis bezuglich der Sonne, d.h. Brennpunkt der Ellipse und
Mittelpunkt des Kreises identiziert
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
18
rp r
Marsbahn und Kreis bezuglich des Mittelpunktes, d.h. beide Mittelpunkte
identiziert
{ Bereits vor seinem ersten hatte Kepler, in demselben Buch, sein zweites Gesetz
gefunden:
2. Keplersches Gesetz
Die Verbindung Sonne - Planet uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Flachen.
Der Planet bewegt sich also umso schneller, je naher er der Erde ist.
p
p
p
p
p
p
p p
p
p p
p
p
p
p p
p p p
p
p
r
p
p
p
p
Kepler-Bewegung auf einer Ellipse mit e = 0:5 (d.h. der Abstand Mittelpunkt
- Brennpunkt ist gerade halb so gro wie die groe Halbachse)
In diesem Bild ist jedoch, wie ublich, die Exzentrizitat der Ellipse stark ubertrieben dargestellt. Die tatsachliche Marsbewegung veranschaulicht das folgende
Bild:
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pr
p
p
p p
p
p
p
p
p
p
p
19
p
Bewegung von Mars auf seiner Bahn, mastabsgerecht dargestellt (e = 0:093)
{ Erst zehn Jahre spater, in seinem Buch "Harmonices Mundi\ (Harmonie
der Welt) (1619), ndet Kepler ein Gesetz, das die Bahnen der verschiedenen
Planeten untereinander vergleicht:
3. Keplersches Gesetz
Die dritten Potenzen der groen Halbachsen verhalten sich wie die
Quadrate der Umlaufzeiten.
ri3 = Ti2 =) ri3 = rj3 = const
rj3 Tj2
Ti2 Tj3
(13)
{ Mit Hilfe dieser drei Gesetze berechnete Kepler neue Planetentafeln, die soge-
nannten Rudolnischen Tafeln (1627), durch die die Astronomie um den Faktor
100 genauer wurde, als sie je vorher gewesen war!
Galileo Galilei (1564-1642)
{ Galilei glaubte nicht an Keplers Gesetze, aber er war mit ihm von der Rich-
tigkeit des Copernicanischen Systems uberzeugt { eines Systems, das nicht nur
der Aristotelischen Lehre (und damit der Kirche!) widersprach, sondern auch
eine Zumutung fur den gesunden Menschenverstand war: Die Drehung der Erde um ihre eigene Achse macht es erforderlich sich vorzustellen, da man mit
ungeheurer Geschwindigkeit herumgewirbelt wird { in unseren Breiten in jeder
Sekunde um etwa 300m! Noch unvorstellbarer ist die Bewegung der Erde um
die Sonne: Sie bewegt sich mit 30 kms durch das All { in jeder Stunde um mehr
als das 8-fache ihres Durchmessers { und wir mit ihr! Warum merken wir nichts
davon?
{ Galilei leistete wesentliche Beitrage zur Durchsetzung des heliozentrischen Systems:
Er richtete als erster ein Fernrohr zum Himmel und entdeckte dabei
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
20
auf dem Mond Berge und Krater wie auf der Erde,
die Phasengestalten der Venus, die (als Vollvenus) zeigten, da die
Venus, im Gegensatz zum antiken Weltbild, auch hinter der Sonne
stehen konnte,
die Monde des Jupiter, die zeigten, da die Erde nicht als einziger
Planet einen Mond hat und da es ein System gibt, das sich um ein
anderes Zentrum als die Erde bewegt.
Er entwickelte das Experiment als naturwissenschaftliche Methode, die
Mathematik als Sprache der Natur und Reibungsfreiheit und das Vakuum
(undenkbar fur Aristoteles!) als Idealisierungen.
Er fand den Tragheitssatz in der Form: Fur ein Objekt, das sich in horizontaler Bewegung bendet, ist es naturlich, sich mit konstanter Geschwindigkeit weiterzubewegen. Damit konnte er erklaren, warum von der schnellen
Bewegung nichts zu bemerken ist: Alle Gegenstande der Umgebung nehmen in gleicher Weise an ihr teil!
Schlielich entdeckte er das Gesetz, nachdem Korper fallen: Die Fallstrecke
ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Im Vakuum ist die Fallbeschleunigung unabhangig von Gestalt und Masse der fallenden Korper.
Nur der Luftwiderstand bewirkt also, da leichte Korper langsamer fallen
als schwere!
{ Galileis Entdeckung, da Tragheit zusammen mit Gravitation (in der Gestalt
des Fallgesetzes) in der Nahe der Erde zu Bahnformen in Gestalt einer Parabel
(eines der Kegelschnitte!) fuhren, benutzte spater Newton, um zu zeigen, wie
"das Weltall funktioniert\!
{ Galileos Auseinandersetzung mit der Kirche fuhrte dazu, da die wissenschaftliche Revolution Italien verlie und, nach einem kurzen Aufenthalt in Frankreich
(Descartes: "In der Abwesenheit auerer Krafte bleibt ein ruhender Korper in
Ruhe, und ein sich bewegender Korper bewegt sich weiter geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.\), in England ihren Fortgang nahm.
Isaac Newton (1643-1727)
{ Das grote Verdienst Newtons waren seine dynamischen Prinzipien, durch
die die Aristotelische Weltsicht ersetzt wurde. Als er 1687 sein Hauptwerk
veroentlichte (Philosophiae Naturalis Prinzipia Mathematica (Mathematische Prinzipien der Naturlehre) hatte er sie auf drei Gesetze reduziert:
1. Newtonsches Gesetz (Tragheitssatz)
Jeder Korper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder gleichformigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Krafte
gezwungen wird, seinen Zustand zu andern.
2. Newtonsches Gesetz (Grundgesetz der Mechanik)
Die Anderung
der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
3. Newtonsches Gesetz (Wechselwirkungsprinzip)
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
21
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zweier Korper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter
Richtung.
Diese Gesetze ersetzen die "naturlichen\ und "erzwungenen\ Bewegungen der
Aristotelischen Mechanik.
Newton fugte die spezische Natur der Kraft hinzu, die zwischen Sonne und Planeten
wirkt,
Die Krafte, durch welche die Planeten bestandig von der geradlinigen Bewegung abgezogen, und in ihren Bahnen erhalten werden, sind nach der
Sonne gerichtet und den Quadraten ihrer Abstande von derselben umgekehrt proportional. (S. 385)
oder zwischen einem Planeten und seinen Monden
Die Kraft, welche den Mond in seiner Bahn erhalt, ist nach der Erde
gerichtet und dem Quadrat des Abstandes seiner Oerter vom Centrum
der Erde umgekehrt proportional.(S. 385)
{ oder zwischen beliebigen Korpern im Universum.
Alle Korper sind gegen die einzelnen Planeten schwer, und die Gewichte
der ersteren gegen jeden Planeten sind in gleichen Abstanden vom Mittelpunkt des letzteren der Menge der in den einzelnen Korpern bendlichen
Materie proportional. (S. 389)
Das war die Gravitationskraft, deren Eigenschaften er aus dem zweiten und dritten Keplerschen Gesetz ableitete. Anschlieend zeigte er umgekehrt, da sich aus
seinen drei Gesetzen und dem Gravitationsgesetz die elliptischen Bahnen der Planeten ergeben.
Newton fate die Beobachtungen und Gedanken von Copernicus, Brahe, Kepler,
Galileo und Descartes zusammen:
Wenn ich weiter gesehen habe, dann deshalb, weil ich auf den Schultern
von Riesen stehe.
Durch ihn wurde die Welt wieder geordnet und vorhersagbar. Und der Beweis fur
die Richtigkeit seines Systems war seine Ableitung der Keplerschen Gesetze.
5.3 Die Grundidee des heliozentrischen Systems
Alle Planeten bewegen sich (in der einfachsten Gestalt der Theorie!) gleichformig
auf Kreisbahnen um die Sonne. Alle diese Kreisbahnen liegen in einer Ebene.
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
22
Beobachtung der anderen Planeten von der sich bewegenden Erde aus fuhrt zu einem Parallaxeneekt : Der Eekt ist jedem vom Auto- oder Bahnfahren bekannt:
Die Gegenstande der Umgebung scheinen sich entgegengesetzt zur eigenen Bewegungsrichtung ("nach hinten\) zu bewegen { und zwar umso schneller, je naher sie
sind.
Aus dem Parallaxeneekt ergibt sich eine Rucklaugkeit, wenn die Erde von einem
inneren Planeten uberholt wird oder wenn die Erde ihrerseits einen aueren Planeten
uberrundet. So kann man im folgenden Bild erkennen, da der Planet, von der Erde
aus betrachtet, zwischen den Positionen 1 - 3 rechtlaug ist (d.h. die Sichtlinie dreht
sich entgegen dem Uhrzeigersinn), zwischen den Positionen 3 - 5 dagegen rucklaug.
q
E5
s
q
s
q
P4
P5
E4
E3
uSonne
E1
P3
q
s
E2
s
P2
q
P1
s
Abbildung ??: Die Rucklaugkeit eines aueren Planeten im heliozentrischen
Weltbild
Veranschaulichung mit mechanischem Modell
durch Programm PlanSchl
Wenn die Erde einen aueren Planeten uberholt, steht dieser von der Erde aus
gesehen der Sonne genau gegenuber: Opposition (Position 4 im obigen Bild)
Wenn die Erde von einem inneren Planeten uberholt wird, dann steht dieser von
der Erde aus gesehen genau zwischen Erde und Sonne: untere Konjunktion
5.4 Theorie des vereinfachten heliozentrischen Systems
Alle Planeten beschreiben eine gleichformige Kreisbewegung um die Sonne. Ihre
~rS!P sind also gegeben durch:
heliozentrischen Orter
~rS!P = rP (cos P sin P 0) mit P = !P t + 'P
(14)
5 7. MAI 1998: DER U BERGANG ZUM HELIOZENTRISCHEN WELTBILD
23
(P heliozentrisch ekliptikale Lange, !P heliozentrische Winkelgeschwindigkeit des
Planeten) Dabei werden alle Planetenbahnradien als Vielfache des Erdbahnradius
(in Astronomischen Einheiten) angegeben.
Ihre von der Erde aus beobachteten geozentrischen O rter ergeben sich daraus zu
~rE!P = ~rS!P ; ~rS!E
(15)
5.5 U bung
Aufgabe (erneute Auswertung des Marsbeispieles): Bestimmen Sie aus den bereits ge-
nannten Daten zweier aufeinander folgender Marsoppositionen (11.2.1995 bei = 143 ,
16.3.1997 bei = 177 ) die ekliptikale Lange von Mars am 11.2.1996 mit heliozentrischer
Rechnung !
6 14. MAI 1998: BESTIMMUNG VON BAHNDATEN
24
6 14. Mai 1998: Bestimmung von Bahndaten
6.1 Wiederholung
Grundaussagen des helioz. Systems
Veranschaulichung der Rucklaugkeit
kinematische Gleichungen
6.2 U bung 1
Losung der Aufgabe: (im folgenden bedeuten die s heliozentrisch ekliptikale Langen!)
Zwischen den beiden Daten sind t = 764d vergangen.
In dieser Zeit hat Mars etwas mehr als einmal die Sonne umrundet:
M = 360 + (177 ; 143 ) = 394 =) !M = 0:516 =d
Da es sich um zwei aufeinanderfolgende Oppositionen handelt, hat die Erde die
Sonne genau einmal zusatzlich umkreist:
E = M + 360 = 754 =) !E = 0:987 =d
Zwischen Opposition 1 und dem 11.2.1996 sind t = 365d vergangen. Daraus lassen
sich, mit Hilfe obiger Winkelgeschwindigkeiten, die neuen Langen von Mars und Erde
berechnen:
M = M0 + !M t = M0 + 188:3 = 331:3
E = E0 + !E t = E0 + 360:3 = 503:3 = 143:3
~r = ~rS!M ;~rS!E (14)=(15) (1:5 cos M ;cos E 1:5 sin M ;sin E 0) = (2:12 ;1:32 0) =)
r = 2:50
Fur die geozentrisch ekliptikale Lange von Mars gilt also:
= 2 arctan 1;sincos = 2 arctan r;r2r1 = 2 arctan 2:50;1;:322:12 = ;32:12 = 327:88
Im folgenden werden die Messung der siderischen Umlaufzeiten und der Bahnradien
der Planeten allgemeiner behandelt.
6.3 Bestimmung der Umlaufzeiten
Beobachtet werden konnen nur geozentrische Positionen und damit die sogenannte
synodische Umlaufzeit Tsyn , das ist die Zeit, die vergeht, bis der Planet relativ
zur Sonne dieselbe Position am Himmel wieder einnimmt, z.B. die Zeit zwischen
zwei Oppositionen.
6 14. MAI 1998: BESTIMMUNG VON BAHNDATEN
25
Daraus lat sich die siderische Umlaufzeit Tsid ableiten, d.h. die Zeit, die der
Planet fur einen vollstandigen Umlauf um die Sonne benotigt: Im folgenden Bild sind
die Positionen von Erde und eines aueren Planeten an zwei aufeinanderfolgenden
Oppositionen dargestellt.
Sonne
y
E
s E2
rP
P
E
s 1
2
rP
1
Da zwischen den beiden Positionen gerade die synodische Umlaufzeit Tsyn des Planeten vergangen ist, sieht man dem Bild folgende Beziehung an:
E = P + 2
Tsyn Tsyn Tsyn
Wegen des gleichformigen Umlaufes von Erde und Planet folgt daraus:
E = P + 2 =)
2 = 2 + 2 =) 1 = 1 ; 1
(16)
1a Tsid Tsyn
Tsid 1a Tsyn
Vollig entsprechend lat sich fur die siderische Umlaufzeit eines inneren Planeten
ableiten (Aufgabe!):
1 = 1 + 1
(17)
Tsid 1a Tsyn
Auf diese Weise lassen sich die siderischen Umlaufzeiten aller Planeten bestimmen:
Planet Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto
Tsid in a 0.241 0.615 1.00 1.88 11.87 29.63 84.67 165.5 251.9
6.4 Bestimmung der Bahnradien
Fur einen inneren Planeten ist der Bahnradius einfach zu bestimmen: Man beobachtet ihn so lange, bis sein Winkelabstand zur Sonne den groten Wert annimmt
und mit dann diesen Winkelabstand max (z.B. mit einem Geodreieck (grob) oder
mit einem Sextanten (genau)). An diesem Tag bilden Sonne, Planet und Erde die
folgende Konstellation:
6 14. MAI 1998: BESTIMMUNG VON BAHNDATEN
26
sp Venus
w
Sonne
rV
rE
Fur den Radius der Planetenbahn ergibt sich also:
rP = rE sin max
max
Erde
s
(18)
Bei aueren Planeten ist die Messung des Bahnradius schwieriger. Die einfachste
Methode besteht darin, die Position des Planeten am Tage seiner Opposition zu
bestimmen und eine weitere Position wahrend seiner Rucklaugkeit. Hat der Planet
zwischen diesen beiden Beobachtungen den Winkel am Himmel uberstrichen, dann
ergibt sich der Bahnradius folgendermaen:
P1`
P2`
H
r Pr r r Pr
2
r
r
1
= +
E2 r
u"
Sonne
rE
1
r
{ Dem Dreieck SP1H entnimmt man: = + .
6 14. MAI 1998: BESTIMMUNG VON BAHNDATEN
27
{ Dem Dreieck SE1H entnimmt man: + + = 180 .
{ Damit ergibt sich
oder
rP = sin = sin(180 ; ( + "))
rE sin sin( + rP = sin( + ")
rE sin( + )
(19)
Die Winkel und " kann man nicht direkt messen. Man kann sie aber aus der
siderischen Umlaufzeit des Planeten, der Jahreslange und der zwischen den
beiden Beobachtungen verossenen Zeit t bestimmen:
360 t
= 360
t
"
=
Tsid
1a
Auf diese Weise lassen sich die Bahnradien aller Planeten bestimmen:
Planet
Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto
Bahnradius in AE 0.387 0.723 1.0 1.524 5.205 9.576 19.28 30.14 39.88
6.5 U bung 2
Mars am 16.3.97: 2 = 177 , am 16.2.97 1 = 185 .
Bestimmen Sie aus dieser zusatzlichen Positionsangabe den Marsbahnradius in Astronomischen Einheiten, d.h. als Vielfaches des Erdbahnradius!
Losung:
= j2 ; 1j = 8:0,
= !M 28d = 14:7 ,
" = !E 28d = 27:6
und damit
sin(8 +27:6)
rM = sin(8
+14:7 ) = 1:5AE
Hausaufgabe: Bestatigen Sie mit Hilfe der empirisch gewonnenen Daten fur Umlaufzeiten und Bahnradien das 3. Keplersche Gesetz!
Hausaufgabe: Mars hatte am 29.4.1995 (genau Tsid=687d vor der Opposition am
16.3.97) die geozentrische Lange = 140 .
Welche zusatzliche Information lat sich daraus uber die Marsbahn gewinnen?
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
28
7 28. Mai 1998: Keplers Gesetze und das Gravitationsgesetz
7.1 Wiederholung
3. Keplersches Gesetz:
{ Die Bahnradien konnen durch Winkelmessungen am Himmel bestimmt werden.
{ Die siderischen Umlaufzeiten werden aus den leicht zu beobachtenden synodischen Umlaufzeiten berechnet.
{ Mit den so bestimmten Werten ergibt sich:
Planet
Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun
Bahnradius in AE 0.387 0.723 1.0 1.524 5.205 9.576 19.28 30.14
Tsid in a
0.241 0.615 1.00 1.88 11.87 29.63 84.67 165.5
r3 in AE 3
0.998 0.999 1.000 1.002 1.001 1.000 1.000 1.000
T2
a2
Losung der 2. Aufgabe:
{ Da die Zeitspanne genau eine siderische Umlaufzeit von Mars betragt, bendet
sich Mars an beiden Tagen an genau derselben Stelle.
{ Wegen 687 = 730.5-43.5 betragt der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren
der Erde 43:5d 0:987 =d = 43:0.
{ Der Winkel zwischen den beiden geozentrischen Marslangen betragt 177 ;
140 = 37.
{ Die Positionen bilden also folgende Konstellation:
M12
s
37
E2
u
Sonne
43
x
100
u
E1
{ Der Sinussatz, angewendet auf das Dreieck Sonne - Mars - Erde 1, ergibt deshalb:
100 r = 1:64AE (Lit.: 1.66AE)
rM = sin
sin 37 E
{ Auf diese Weise hat Kepler die Marsbahn mit Tychos Beobachtungsdaten genau vermessen. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, da uber die Form
der Marsbahn nichts vorausgesetzt werden mu.
Allerdings mussen die Positionen der Erde genau bekannt sein. Das ist der
Grund, warum Kepler seine Arbeit mit der genauen Vermessung der Erdbahn
begann.
Pluto
39.88
251.9
1.000
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
29
7.2 Vergleich zwischen geozentrischer und heliozentrischer Beschreibung
Oensichtlich ist die heliozentrische Beschreibung der Planetenbewegung mit der
Epizykeltheorie geometrisch aquivalent :
~rE!P = ~rS!P + ;~rS!E
= ~rDeferent + ~rEpizykel
(heliozentrische Beschreibung)
(geozentrische Beschreibung)
Allerdings ergeben sich zwei wesentliche Einschrankungen fur das aus dem heliozentrischen System folgende Epizykelmodell:
1. Alle Epizykel haben dieselbe Groe und werden mit derselben Winkelgeschwindigkeit durchlaufen. (Der Epizykel entspricht ja der Bewegung der Erde um die
Sonne!)
2. Im antiken System lie sich zwischen den Radien der verschiedenen Deferenten durch Beobachtung keine Beziehung herleiten. Im heliozentrischen System
ergeben sich die Bahnradien aller Planeten bis auf einen allen gemeinsamen
Faktor !
Das Copernicanische fuhrt allerdings zu einer "eleganteren\, "asthetischeren\ Beschreibung der Welt:
Die Bewegungen der innersten funf Planeten, heliozentrisch und geozentrisch
betrachtet.
Da Copernicus jedoch am Dogma gleichformiger Kreisbewegungen festhielt, war sein
System in Wirklichkeit nicht einfacher als das Ptolomaische: Fur eine befriedigende
U bereinstimmung zwischen Modell und Theorie benotigte er sogar mehr Epizykel,
als im modernen Ptolomaischen Modell erforderlich waren!
Und es sprachen zwei massive Grunde gegen die heliozentrische Sichtweise:
1. Die rasante Bewegung der Erde widersprach nicht nur der Aristotelischen Physik, sondern auch der Anschauung.
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
30
2. Die Bewegung der Erde um die Sonne mute sich als parallaktische Bewegung
am Sternenhimmel bemerkbar machen. Eine Parallaxe der Fixsterne konnte
jedoch nicht beobachtet werden { und konnte es trotz intensivster Bemuhungen
weitere drei Jahrhunderte nicht!
7.3 Kepler und Newton
Newton benutzte Keplers empirisch gewonnene Gesetze, um die Eigenschaften der
Gravitationskraft abzuleiten. Anschlieend konnte er zeigen, da Keplers Gesetze
aus seinen drei allgemeinen Gesetzen der Bewegung folgten.
Diese Ableitung stellt den Hohepunkt von Newtons Leistungen dar: Sie lieferte einerseits eine uberwaltigende Bestatigung fur seine Grundsatze der Mechanik { und
damit fur seine Auassung vom Begri der Kraft. Andererseits gab sie eine theoretische Begrundung fur Keplers Gesetze: Newton zeigte, wie das Weltall funktioniert !
Die folgenden U berlegungen lehnen sich eng an Feynmans verschollene Vorlesung
uber Die Bewegung der Planeten um die Sonne an (1]), die er "zur Unterhaltung\
seiner Studenten am Ende eines Semsters gehalten hat.
U bersicht uber die Argumentation:
{ Ausgangspunkt sind die drei Newtonschen Grundsatze der Mechanik:
Aufgrund des 3. Gesetzes haben die inneren Krafte zwischen den Teilen eines Himmelskorpers keinen Einu auf die Bewegung des Korpers als Ganzes. Zur Untersuchung der Planetenbewegungen mu also nur die Wechselwirkung zwischen Sonne und Planet (und spater zwischen den Planeten
untereinander) berucksichtigt werden.
Ohne auere Kraft wurden sich die Planeten geradlinig mit konstanter
Geschindigkeit bewegen.
Wirkt eine Kraft F~ u
ber eine Zeitspanne t auf den Planeten, dann
erhalt er dadurch eine Zusatzgeschwindigkeit ~v in Richtung der wirkenden Kraft, fur die gilt:
~v
F~ t
(20)
{ Keplers 2. Gesetz, der Flachensatz, erweist sich als Folge der Tatsache, da
die Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, also zu einem festen Zentrum, der
Sonne, hin gerichtet ist.
{ Aus dem 3. Keplerschen Gesetz folgt, da die Gravitationskraft mit dem Quadrat des Abstandes abnehmen mu.
{ Mit Hilfe des Gravitationsgesetzes und den drei Newtonschen Gesetzen lat
sich nun umgekehrt zeigen (und ich werde es auf die Art und Weise Feynmans
tun!), da die Bahnen der Planeten Ellipsengestalt haben mussen.
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
31
Tatsachlich ist die Folgerung viel weitreichender: Es ergeben sich nicht nur die Bewegungen der Planeten um die Sonne, sondern auch die des Mondes um die Erde,
die der Jupitermonde um Jupiter und die Storungen, die die Planeten gegenseitig
auf ihre Bewegungen ausuben.
Am wichtigsten aber ist: Die Bewegungen am Himmel werden denselben Gesetzen
unterworfen wie die auf der Erde !
Die Newtonschen U berlegungen bildeten damit den Startpunkt fur die Mathematisierung der Naturwissenschaft. Sie bilden daruberhinaus ein Musterbeispiel fur die
Wechselbeziehung zwischen Induktion und Deduktion!
7.4 Newtons Ableitung des 2. Keplerschen Gesetzes
Wie lassen sich nun die Bewegungen untersuchen, die die Planeten aufgrund ihrer Anziehung durch die Sonne um das Zentralgestirn herum ausfuhren?
e
D d
gleiche Zeitintervalle!
C
c
B
Sonne
v
A
h
Da es zu Newtons Zeit noch keine Innitesimalrechnung gab (Newton selbst entwickelte sie, zeitgleich mit, aber unabhangig von Leibniz), ersetzte Newton die
kontinuierlich wirkende Anziehungskraft zwischen Sonne und Planet durch diskrete
Kraftstoe.
Ein Planet, der sich in der Zeit t mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B
bewegt, wurde sich, ohne von der Sonne angezogen zu werden, im nachsten Zeitintervall aufgrund seiner Tragheit (1. Newtonsches Gesetz) von B nach c bewegen. Durch
die Wechselwirkung mit der Sonne erhalt er jedoch in B eine Zusatzbewegung in
Richtung auf die Sonne. Seine tatsachliche Bewegung im zweiten Zeitintervall ist die
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
32
Vektorsumme dieser beiden Bewegungen, so da sich der Planet statt nach c nach
C bewegt . . . Anschlieend werden die Zeitintervalle t immer kleiner gemacht. Offensichtlich entspricht dieses Vorgehen genau modernen Verfahren zur numerischen
Integration von Bewegungsgleichungen, namlich dem Ganzschritt-Verfahren!
Folgerung 1: Die Bewegung des Planeten verlauft in einer Ebene, die die Sonne
enthalt. Diese Ebene wird von Anfangsradius ~r0 und Anfangsgeschwindigkeit ~v0
aufgespannt, da alle Zusatzgeschwindigkeiten in dieser Ebene liegen, die deshalb
niemals vom Planeten verlassen wird.
Die Dreiecke 4SAB und 4SBc haben denselben Flacheninhalt, weil sie gleichlange
Grundseiten (AB bzw. Bc) und dieselbe Hohe h haben.
Die Dreiecke 4SBc und 4SBC haben denselben Flacheninhalt, weil sie dieselbe
Grundseite SB haben und weil die Hohe bzgl. dieser Grundseite wegen der Parallelitat von SB und Cc gleichlang ist.
Damit haben aber die Dreiecke 4SAB und 4SBC denselben Flacheninhalt.
Folgerung 2: Alle in gleichen Zeiten vom Radiusvektor uberstrichenen Flachen sind
gleich gro. (2. Keplersches Gesetz).
Bei der Ableitung dieser Folgerung wurde nur benutzt, da die Kraft immer zu
demselben Punkt, der Sonne, gerichtet ist: Der "Flachensatz\ gilt ganz allgemein
fur Zentralkrafte.
Newtons Folgerung war zunachst gerade die umgekehrte: Damit die Kraft, die die
Sonne auf den Planeten ausubt, die von Kepler empirisch abgeleitete Bewegung bewirken kann, mu sie zur Sonne hin gerichtet sein!
Mit modernen analytischen Methoden lat sich der Flachensatz ganz einfach ableiten:
r~0 = ~r + ~r
~r
~r = ~v t
{ Die in der Zeit t vom Radiusvektor ~r uberstrichene Flache A ist
A = 12 r r sin = 12 rv t sin = 21 j~r ~vj t
wenn der von ~r und ~r eingeschlossene Winkel ist.
{ Daraus folgt aber:
A = 1 j~r ~vj jL~ j
t 2
Dabei ist
L~ := m~r ~v
der sogenannte Drehimpuls des Planeten.
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
33
{ Wenn nun aber die wirkende Kraft eine Zentralkraft ist, also
F~ jj ~r
dann folgt:
()
F~ ~r = 0
L~_ dtd (~r ~v) = ~r_ ~v + ~r ~v_ ~v ~v + ~r F~ = 0
{ Also ist der Drehimpuls zeitlich konstant (Drehimpulserhaltungssatz). Das
heit aber:
1. Die Bahnebene (d.i. die Ebene, auf der der Drehimpuls senkrecht steht)
bleibt konstant: Die Planetenbewegung ist eine ebene Bewegung.
2. Die "Flachengeschwindigkeit\ A_ ist konstant, der Radiusvektor uberstreicht
also in gleichen Zeiten gleich groe Flachen.
7.5 Keplers 3. Gesetz und das Gravitationsgesetz
Die quadratische Abstandsabhangigkeit der Gravitationskraft wird fur den Spezialfall von Kreisbewegungen abgeleitet.
Dabei wird eine Gegenuberstellung der Vektordiagramme von Orts- und Geschwindigkeitsvektoren benutzt, die spater bei der Ableitung der Bahnform wichtig wird.
Seien ~r0 und ~v0 so, da j~r1j = j~r0j und j ~r1j = j ~r2j. Dann sind diese Bedingungen
nach gleichen Zeiten immer wieder erfullt, und es geben sich regelmaige Polygone
{ und im Grenzfall Kreise:
~r-Diagramm
~r3
~v2
~r2
~r3
~r2
~r1
~v3
~r1
Aus dem ~r-Diagramm ergibt sich unmittelbar:
r = 2Tr t und
~v3
~v2 ~v1
gleiche Zeitintervalle!
~v-Diagramm
~v1
v = 2Tr
7 28. MAI 1998: KEPLERS GESETZE UND DAS GRAVITATIONSGESETZ
Ganz entsprechend ergibt sich aus dem ~v-Diagramm:
v = 2Tv t
Zusammengenommen folgt daraus:
v = 2v = 42r
t T
T2
34
r
T2
Zusammen mit Keplers 3. Gesetz ergibt sich daraus aber die gesuchte Abhangigkeit:
v
r )
v 1
t
T32
F (20)
(21)
=
)
2
t r2
T r
Damit hatte Newton aus dem 3. Keplerschen Gesetz die quadratische Abnahme der
Gravitationskraft mit dem Abstand abgeleitet1, eine Ableitung, die vor ihm bereits
Hooke gefunden hatte.
Wiederum ist diese Ableitung mit modernen analytischen Methoden ganz leicht:
2
Gesetz 1
FZ vr Tr2 3. Keplersches
r2
U blicherweise wird an dieser Stelle die Legende von dem Apfel erzahlt, der Newton auf den Kopf
el und ihn auf die Idee brachte, da die Kraft, die den Apfel zu Boden fallen lasse, dieselbe sei wie die,
die den Mond auf seiner Bahn um die Erde halte. (Aufgabe: Vergleichen Sie die Beschleunigungen von
Apfel und Mond, und bestatigen Sie so das Gravitationsgesetz!)
1
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
35
8 18. Juni 1998: U ber Ellipsen
8.1 Wiederholung
Flachensatz und Zentralkrafte
Newtons Apfel
8.2 Zur Geometrie der Ellipse
8.2.1 Die \Gartner-Konstruktion\
Denition: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte in einer Ebene, fur die
die Summe der Entfernungen zu zwei festen Punkten dieser Ebene, den sogenannten
Brennpunkten der Ellipse, immer denselben Wert hat.
P
r
r
F1
F2
Diese Denition beinhaltet direkt eine Konstruktionsvorschrift, die sogenannte Gartner-Konstruktion : Zwischen zwei festen Punkten wird ein Faden eingespannt, dessen
Lange groer ist als der Abstand der beiden Punkte. Mit einem Stift wird so um die
beiden Punkte herumgefahren, da der Faden immer stramm gespannt bleibt.
Bezeichnen F1 und F2 die beiden Brennpunkte, M den Mittelpunkt, a bzw. b groe
bzw. kleine Halbachse, e die sogenannte numerische Exzentrizitat der Ellipse und l
die Lange des bei der Konstruktion benutzten Fadens,
a
F1 r
Mr
b
rF
ea
a
2
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
36
dann gelten oenbar folgende Zusammenhange:
l = 2a
=)
b2 + (ea)2 = a2
=)
oder
a = 2l
(22)
p
b = a 1 ; e2
s
2
e = 1 ; ab2
(23)
(24)
Oensichtlich wird bei festen Brennpunkten die entstehende Ellipse umso groer,
je groer die Fadenlange gewahlt wird. Genauer: Wird die Fadenlange vergroert,
liegen alle Punkte der neuen Ellipse auerhalb der alten .
Aufgabe: Beweisen Sie diese Aussage!
(Losung: Verbindet man einen Punkt P auerhalb der Ellipse mit den beiden Brennpunkten, dann
schneiden beide Verbindungslinien die Ellipse. Sei S der Schnittpunkt von F1P mit der Ellipse.
Dann ist die direkte Verbindung von S nach F2 kurzer als die uber P . Die Summe der Entfernungen
zu den beiden Brennpunkten ist also von S kurzer als von P .)
r
8.2.2 Die Ellipse als gestauchter Kreis
r
Betrachte einen beliebigen Punkt P (x y) der Ellipse, dessen Abstande von den
beiden Brennpunkten a + z bzw. a ; z betragen, und dessen Projektion Q(x yQ)
auf den Umkreis:
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
37
Qr
a
a+z
r
ea
F1
Dann gilt oensichtlich:
und
sP
y
a;z
r
M x
yQ
r
F2
y2 = (a + z)2 ; (ea + x)2
y2 = (a ; z)2 ; (ea ; x)2
Subtraktion der beiden Gleichungen fuhrt auf:
2az ; 2eax = ;2az + 2eax
=) z = ex
Damit folgt aber:
=)
y2 = (a + ex)2 ; (ea + x)2 = a2(1 ; e2) ; x2(1 ; e2)
2
2
b
(23) b
2
2
= a2 (a ; x ) = a2 yQ2
y = ab yQ
(25)
Jeder durch die Gartner-Konstruktion gewonnene Punkt liegt also um den Faktor
b
a naher an der groen Halbachse als seine Projektion auf den Umkreis.
Aufgabe: Zeigen Sie, da auch die umgekehrte Richtung gilt: Fur jeden Punkt, der
dadurch entsteht, da die y-Koordinate eines Punktes des Umkreises um den Faktor
b
a gestaucht wird, ist die Summe der Entfernungen
q b2 von den beiden Brennpunkten
F1 = (;ea 0) und F2 = (ea 0) mit e = 1 ; a2 dieselbe, namlich gleich 2a.
Die Ellipse ist also ein um den Faktor ab gestauchter Kreis. Fur ihren Flacheninhalt
gilt also:
AEllipse = ab
(26)
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
38
8.2.3 Die "Spiegel-Konstruktion\
Man zeichne durch einen beliebigen Punkt P der Ellipse einen Spiegel SS 0, der Licht
von F1 uber P nach F2 reektiert:
Qr
S
Pr
r
F1
r
S0
F2
Sei Q das Spiegelbild von F1. Dann ist die Linie F2P + PQ eine Gerade und P der
Punkt des Spiegels, fur den die Summe d(F2P ) + d(PQ) der Entfernungen nach F2
und Q am kleinsten ist. Diese Summe ist aber gleich der Summe der Entfernungen
nach d(PF2) + d(PF1) = l! Fur alle anderen Punkte P 0 des Spiegels ist also F1P 0 +
P 0F2 groer als l (Fermatsches Prinzip!). Sie liegen also auerhalb der Ellipse
(s. S. 36). Der Spiegel SS 0 ist also die Tangente durch P an die Ellipse.
Seien umgekehrt die Gerade SS 0 die Tangente durch P an die Ellipse und Q der
Bildpunkt von F1 bezuglich der Tangente. Da alle Punkte P 0 6= P der Tangente
auerhalb der Ellipse liegen, ist die Summe der Entfernungen zu den beiden Brennpunkten fur P die kleinste von allen Punkten P 0 der Tangente.
Fur P ist deshalb auch die Summe der Entfernungen d(F2P ) + d(PQ) am kleinsten.
Das Polygon F2P + PQ ist demzufolge eine Gerade! Weil Q das Spiegelbild von
F1 ist, sind die Winkel 6 F1PS und 6 QPS gleich gro. Als Scheitelwinkel sind aber
auch die Winkel 6 QPS und 6 F2PS 0 gleich gro. Also sind die Winkel 6 SPF1 und
6 S 0 PF2 gleich gro, und Licht, das entlang F1 P auf die Tangente fallt, wird nach
F2 reektiert. Die Tangente reektiert also von F1 kommendes Licht nach F2.
Folgerung: Alle von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen werden vom Umfang
der Ellipse so reektiert, da sie durch den anderen Brennpunkt gehen!
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
39
Qs
s
S
Ps
r
r
F1
F2
s
s
s
Damit ergibt sich aber eine Konstruktionsvorschrift fur die Ellipse: Fur alle Punkte
Q mit gleichem Abstand l von F2 (also auf dem Kreis mit Radius l um F2) errichte
man die Mittelsenkrechte auf der Strecke QF1. Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten mit der Geraden F2Q ist dann ein Punkt der Ellipse und die Mittelsenkrechte
eine Tangente an die Ellipse.
8.3 Die Ellipsenform der Planetenbahnen 1
Bei der Untersuchung der Bahnform weicht Feynman von Newton ab, indem er statt
gleicher Zeitintervalle gleiche Zentralwinkel betrachtet:
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
r
r
r
r
r r
r
r
r
rr
r
r
u
r
rr
r r
r r
r
40
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r
r r
rr
rr
rr
u r
rr r
r
r
r r
Dadurch sind die entstehenden Flachen naturlich nicht mehr gleich gro, sondern
umso groer, je weiter der Planet von der Sonne entfernt ist. Damit sind aber auch
die benotigten Zeiten um so groer, je groer der Abstand zwischen Sonne und
Planet ist.
Tatsachlich sind die entstehenden Dreiecke wegen des gleich groen Spitzenwinkels
alle ahnlich2. Die Hohen dieser Dreiecke sind proportional zu r und deshalb, nach
dem 2. Strahlensatz, auch die Grundseiten. Fur die Flachen A4 dieser Dreiecke gilt
deshalb:
A4 r2:
Da in gleichen Zeiten gleiche Flachen uberstrichen werden (2. Keplersches Gesetz),
sind deshalb die zugehorigen Zeitintervalle t proportional zu den Flachen, also
t r2 :
Da die auf den Planeten ausgeubte Kraft aber mit dem Quadrat des Abstandes von
der Sonne abnimmt (Gravitationsgesetz), ist also
v F t r12 r2 =) v = const
Das ist der entscheidende Ausgangspunkt fur die Konstruktion der Bahn:
Bei gleichen Zentralwinkeln sind alle Zusatzgeschwindigkeiten ~vi gleich
lang.
2
Damit kann die Newtonsche Konstruktion nun fur gleiche Zentralwinkel wiederholt
werden:
Das gilt nicht genau, aber umso genauer, je kleiner die Winkel gewahlt werden.
8 18. JUNI 1998: U BER ELLIPSEN
r
r
r
u
41
r
Da die Zusatzgeschwindigkeiten vi aber alle parallel zu den Radiusvektoren ~ri sind,
bilden auch sie alle denselben Winkel miteinander:
~r-Diagramm
~v-Diagramm
gleiche Zentralwinkel
w
Sonne
Die vi bilden also ein regelmaiges Polygon, der in einen (exzentrischen!) Kreis
ubergeht.
r
r
r
r
u
r
r
r
r
r
r
r
r
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
42
9 25. Juni 1998: Newton und die Kepler-Ellipsen
9.1 Wiederholung
Eigenschaften von Ellipsen
{ Fadenkonstruktion
{ Ellipse als gestauchter Kreis
{ "Spiegelkonstruktion\
Feynman's geniale Idee: Newtonsche Konstruktion mit gleichen Zentralwinkeln
Folgerungen:
{ Die Flachen sind verschieden gro genauer: A4 r2
{ t r2
{ v = const
{ Im Geschwindigkeitsdiagramm ergibt sich ein regelmaiges Polygon { und im
Grenzubergang ein Kreis.
9.2 Die Ellipsenform der Planetenbahnen 2
Wir beginnen zum Zeitpunkt des Periheldurchganges des Planeten, zu dem er
der Sonne am nachsten ist. Damit haben wir folgende Situation:
Wenn der Zentralwinkel uberstrichen worden ist, dann hat sich die Zusatzgeschwindigkeit ~v um denselben Winkel gedreht. Damit ist aber auch der Zentralwinkel im Geschwindigkeitsdiagramm . Damit kennen wir aber auch Groe und
Richtung der Geschwindigkeit ~v.
u
In diesen beiden Diagrammen stehen die Radien senkrecht aufeinander, wahrend
die Geschwindigkeitsvektoren parallel zueinander sind.
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
43
Wir kennen also also die Richtung des Radiusvektors ~r und Groe und Richtung der
Geschwindigkeit ~v, d.h. wir kennen die Richtung der Tangente an die Bahnkurve.
Wie konnen wir mit Hilfe dieses Wissens die Bahnform konstruieren?
Feynman betont, da dies fur ihn die schwierigste Stelle war. Die entscheidende Idee
war dann, das Geschwindigkeitsdiagramm um 90 zu drehen:
u
Nun sind die Radien in dem v~0-Diagramm parallel zu den Radiusvektoren ~r, und
alle Geschwindigkeitsvektoren v~0 stehen dagegen senkrecht auf der Tangente an die
Bahnkurve.
Welche Bahnkurve sich bei dieser Konstruktion ergibt (wenn wir die Kurve mit in
das v~0-Diagramm zeichnen), wissen wir aber bereits!
u
Damit sind wir aber am Ziel:
Die sich aus den Newtonschen Gesetzen und dem Gravitationsgesetz ergebende Form der Planetenbahnen ist eine Ellipse!
Tatsachlich ist in die Konstruktion eine stillschweigende Voraussetzung eingeossen:
Von den gewahlten Anfangsbedingungen her ist klar, da der Ausgangspunkt der
Geschwindigkeitsvektoren im Geschwindigkeitsdiagramm sich senkrecht unter dem
Kreismittelpunkt benden mu. Unklar ist dagegen, wie weit er vom Mittelpunkt
entfernt ist.
Fur verschiedene Positionen dieses Punktes ergeben sich verschiedene Bahnformen:
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
44
1. Ausgangspunkt und Mittelpunkt stimmen uberein: Die Bahn ist kreisformig.
2. Der Ausgangspunkt liegt innerhalb des Kreises: Die Bahn ist eine Ellipse.
3. Der Ausgangspunkt liegt exakt auf dem Kreis: Die Bahn ist eine Parabel.
4. Fur Ausgangspunkte auerhalb des Kreises ergeben sich Hyperbeln.
Damit kann das Ergebnis allgemeiner formuliert werden:
Die sich aus den Newtonschen Gesetzen und dem Gravitationsgesetz ergebenden Bahnformen sind Kegelschnitte.
9.3 Kepler-Bewegung
Nachdem nun die Gestalt der Planetenbahnen verstanden ist, mu abschlieend noch der
zeitliche Verlauf der Bewegung beschrieben und vorhergesagt werden: An welchem Ort
seiner Bahn bendet sich der Planet zu einem bestimmten Zeitpunkt?
Um diese Frage schlielich (mit der sogenannten Kepler-Gleichung ) beantworten zu
konnen, mussen zunachst noch weitere Eigenschaften von Ellipsen untersucht werden.
9.3.1 Weitere geometrische Aspekte der Ellipse
Der vom Brennpunkt F2 (Sonne) aus gemessene Winkel zwischen nachstem Punkt
der Ellipse (Perihel) und Planetenort P heit wahre Anomalie . Der vom Mittelpunkt der Ellipse aus gemessene Winkel zwischen Perihel und dem Projektionspunkt
Q von P nennt man die exzentrische Anomalie E :
Qr
a
r
r Ex
sP
y
yQ
r
x
ea
F1
M
Sonne Perihel
Aphel
Fur diese beiden Winkel gelten oensichtlich die folgenden Zusammenhange:
ay y
sin E = ba = b und r sin = y
p
=) r sin = b sin E (23)
= a 1 ; e2 sin E
(27)
und
cos E = xa und ; r cos = ea ; x
=) r cos = a(cos E ; e)
(28)
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
45
Gesucht ist nun die Polargleichung der Bahn, d.h. der Abstand des Planeten
von der Sonne als Funktion der wahren Anomalie :
r = r( )
Zusammenfassung der beiden Gleichungen (27) und (28) ergibt:
r2 = a2(1 ; e2) sin2 E + a2 cos2 E + a2e2 ; 2a2e cos E
= a2 ; e2a2 sin2 E + e2a2 ; 2a2e cos E
= a2 + e2a2(1 ; sin2 E ) ; 2a2e cos E
= a2 + e2a2 cos2 E ; 2a2e cos E = a2(1 ; e cos E )2
=) r = a(1 ; e cos E )
(28)
= a(1 ; e( ar cos + e))
= a ; er cos ; ae2 = a(1 ; e2) ; er cos (29)
(30)
Also:
r = 1 + epcos mit
p := a(1;e2) (= r( = 2 ))
(31)
Diese Polardarstellung gilt nicht nur fur Ellipsen (e < 1), sondern auch fur Parabeln
(e = 1) und Hyperbeln (e > 1).
Schlielich soll noch der folgende Zusammenhang zwischen wahrer und exzentrischer
Anomalie nachgewiesen werden:
s
1 + e tan E = tan 1;e 2
2
(32)
Dazu benutzen wir (mal wieder)
:
tan 2 = 1 ;sincos
Nun denn:
s
1 + e tan E = p1 + e 1 ; e ; cos E + e (27)
a(1 ; e2) ; a(1 + e)(cos E ; e)
=
1;e 2
sin E
r sin 1 ; e2
2
(28) a(1 ; e ) ; (1 + e)r cos =
r sin 2
2
r ; r cos q.e.d.
(30) a(1 ; e ) ; r cos + r ; a(1 ; e )
=
=
r sin r sin 9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
46
9.3.2 Die Kepler-Gleichung
Nun kennen wir alle geometrischen Aspekte. Es fehlt noch die Dynamik, d.h. das Verhalten
in der Zeit, m.a.W.: Wir suchen die Funktion, die die wahre Anomalie als Funktion der
Zeit darstellt:
= (t)
Der Zusammenhang zwischen der Zeit und der uberstrichenen Flache ist einfach:
Nach dem 2. Keplerschen Gesetz uberstreicht der Radiusvektor Sonne-Planet in
gleichen Zeiten gleiche Flachen. In der seit dem Periheldurchgang vergangenen Zeit
t wurde die Flache A(t) zwischen Perihel, Sonne und Planet uberstrichen. Diese ist
dann
ab 2 t
(26) ab
A(t) = AEllipse
t
=
t
=
T
T
2 T
oder
A = ab
2M
mittlere Anomalie M := 2T t
mit
(33)
Wenn es uns deshalb gelingt, die Flache mit Hilfe der exzentrischen Anomalie auszudrucken, sind wir am Ziel!
Gesucht ist also die Flache als Funktion der exzentrischen Anomalie:
A = f (E )
Die Flache A(t) setzt sich aus zwei Teilen zusammen. einer Dreiecksache und einem
Ellipsenabschnitt. Der zweite davon geht durch Stauchung aus dem entsprechenden
Kreisabschnitt hervor. Der Kreisabschnitt wiederum berechnet sich als Dierenz
eines Kreisausschnitts und eines Dreiecks:
Qs
uP
a
Aphel
s
F1
ea
s
M
E
r
x
|
Sonne
y
yQ
Perihel
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
47
A = A(Dreieck) + A(Ellipsenabschnitt)
= A(Dreieck) + ab A(Kugelabschnitt)
= A(Dreieck) + ab (A(Kugelausschnitt) ; A(Dreieck2))
2
1
(27) 1
= 2 r cos ab a sin E + ab ( a
E
; a cos Ea sin E )
2
2
(28) 1
= 2 ab (cos E ; e) sin E + E ; cos E sin E ]
= 12 ab(E ; e sin E )
Zusammen mit (33) ergibt sich daraus:
M = E ; e sin E
(Kepler-Gleichung)
(34)
Die Kepler-Gleichung ist eine transzendente Gleichung sie ist nicht analytisch zu
losen. Allerdings ist sie in der Regel einfach { beginnend mit E = M { iterativ zu
losen. Dadurch kann man zu jedem beliebigen Zeitpunkt den Planetenort berechnen.
Berechnung des Planetenortes bei bekannten Werten der groen Halbachse a, der
numerischen Exzentrizitat e fur eine beliebige Zeit t nach Periheldurchgang:
1. Berechne die mittlere Anomalie M gema (33).
2. Numerische Losung der Kepler-Gleichung (34) ergibt die zugehorige exzentrische Anomalie E .
3. Die wahre Anomalie lat sich dann aus (32) berechnen.
4. Der Abstand r des Planeten von der Sonne ergibt sich dann aus (31).
9.4 Losung der Kepler-Gleichung
Schreibt man die Kepler-Gleichung in der Form
E = M + e sin E = g(E )
dann bedeutet die Losung der Gleichung das Aunden des Fixpunktes der Funktion g(E ).
Am anschaulichsten lat sich dieser Fixpunkt graphisch bestimmen.
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
48
9.4.1 Graphisches Verfahren
Der Fixpunkt ergibt sich als Schnittpunkt des Graphen von g mit der Winkelhalbierenden:
g(E ) = M + e sin E
E
9.4.2 Iteratives Verfahren
Durch numerische Iteration ergibt sich die Losund folgendermaen: Man startet mit einem
(weitgehend beliebigen) Wert E0. Fur diesen berechnet man den Funktionswert E1 =
g(E0). Diesen benutzt man als zweiten Iterationswert: E2 = g(E ; 1), . . . Da in der Regel
e 1 gilt, konvergiert dieser Algorithmus so meist schnell, da man ihn auch mit "von
Hand\ (d.h. mit einem Taschenrechner) durchfuhren kann.
Grasch stellt sich dieser Algorithmus folgendermaen dar:
g(E ) = M + e sin E
9.4.3 Newton-Verfahren
E0
E1 E2
E
Schreibt man die Kepler-Gleichung folgender maen um
f (E ) = M + e sin E ; E = 0
dann ist von der Funktion f (E ) die Nullstelle zu nden. Dazu kennt man in der numerischen Mathematik das Newton-Verfahren, fur das man zusatzlich die Ableitung f 0(E )
genotigt, die hier einfach zu berechnen ist:
f 0(E ) = e cos E ; 1
In Modul ist eine entsprechende Funktion Nullstelle enthalten. Mit dieser kann die
Kepler-Gleichung folgendermaen gelost werden:
9 25. JUNI 1998: NEWTON UND DIE KEPLER-ELLIPSEN
49
function KeplerGl(var x: real): real far (* zu iterierende Funktion *)
begin
KeplerGl:=M+ex*sin(x)-x
end
function KeplerGl1(var x: real): real far (* Ableitung der Funktion *)
begin
KeplerGl1:=ex*cos(x)-1.0
end
begin
(* Berechnung der Nullstelle mit Startwert M, einer Genauigkeit von 0.001 Grad
und maximal 1000 Iterationsschritten: *)
E:=Nullstelle(f, f1, M, 0.001*Grad, 1000)
.
end
9.5 Hausaufgabe
Berechnen Sie die heutige (25.6.1998) Position von Mars auf seiner Bahnellipse, d.h. seine
wahre Anomalie und seinen Abstand r von der Sonne!
Gegeben sind dazu die folgenden Daten:
1. Periheldurchgang war am 7.1.1998.
2. Zu dem Zeitpunkt hatte Mars den Abstand r = 1:381AE von der Sonne.
3. Die Exzentrizitat der Marsbahn betragt e = 0:0934.
4. Die Umlaufzeit von Mars betragt Tsid = 687d.
In der Literatur ndet man folgendes Ergebnis: r = 1:534AE .
10 9. JULI 1998: EPHEMERIDENRECHNUNG
10 9. Juli 1998: Ephemeridenrechnung
10.1 Wiederholung
Gedankengang beim Ableiten des 1. Keplerschen Gesetzes
Geometrische Aspekte von Ellipsen
Vorgehen beim Berechnen einer Planetenposition:
{ Berechnung der mittleren Anomalie M aus (33):
M = 2T t
{ Numerische Losung der Kepler-Gleichung (34):
M = E ; e sin E
{ Berechnung der wahren Anomalie aus (32):
s
1 + e tan E = tan 1;e 2
2
{ Berechnung des Sonnenabstandes r des Planeten nach (31):
e2)
r = 1a+(1 e;cos
10.2 Besprechung der Hausaufgabe
Gegeben waren folgende Daten von Mars:
1. Periheldurchgang war am 7.1.1998.
2. Zu dem Zeitpunkt hatte Mars den Abstand r = 1:381AE von der Sonne.
3. Die Exzentrizitat der Marsbahn betragt e = 0:0934.
4. Die Umlaufzeit von Mars betragt Tsid = 687d.
Welche Position hatte Mars am 25.6.1998?
Losung:
1. Im Perihel gilt
r = a(1 ; e) =) a = 1 ;r e = 1:5232AE
2. Daraus berechnet sich der Ellipsenparameter zu
p = a(1 ; e2) = 1:5100AE:
50
10 9. JULI 1998: EPHEMERIDENRECHNUNG
51
3. Seit dem Periheldurchgang ist die folgende Zeit vergangen:
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 18 = 169d:
4. Daraus errechnet sich die mittlere Anomalie zu
2 169d = 1:54565 = 88:56 :
M = T2 t = 687
d
sid
5. Iteration der Kepler-Gleichung ergibt:
E = M + e sin E =
=
=
=
1:6390 (fur E0 = M )
1:6388
1:6388
1:638829 = 93:90 :
6. Damit ergibt sich aus (32) die wahre Anomalie zu
= 1:73185 = 99:23 7. und aus (31) schlielich der Sonnenabstand zu
r = 1:533AE (Lit.: 1:534AE )
10.3 Weiterfuhrung der Positionsbestimmung: Ephemeridenrechnung
Berechnung der Position des Planeten auf seiner Bahn mit Hilfe eines kleinen Pascalprogrammes:
xB:=a*ex yB:=0.0 (* Position des Brennpunktes *)
tl:=0.5*T M:=Pi E:=Pi r:=a*(1.0+ex) nu:=Pi (* Startposition *)
x:=xB+r*cos(nu) y:=yB+r*sin(nu)
geheNach(xPlot(x), yPlot(y))
tl<2.5*T
(* 2 Uml
aufe *)
while
begin
do
tl:=tl+delta (* der n
achste Zeitpunkt *)
M:=2.0*Pi/T*tl (* mittlere Anomalie *)
(* exzentrische Anomalie aus Keplergleichung: *)
E:=Nullstelle(KeplerGl, KeplerGl1, E, 0.001*Grad, 1000)
nu:=2.0*arctan(sqrt((1.0+ex)/(1.0-ex))*tan(0.5*E)) (* wahre Anomalie *)
r:=p/(1.0+ex*cos(nu)) (* Sonnenabstand *)
x:=xB+r*cos(nu) y:=yB+r*sin(nu) (* rechtwinklige Koordinaten *)
zieheLinieNach(xPlot(x), yPlot(y), gelb)
warte(10) (* sonst geht es zu schnell! *)
end
Demonstration mit keplerbw
10 9. JULI 1998: EPHEMERIDENRECHNUNG
Berechnung der Planetenposition:
{ Berechnung des Sonnenabstandes r und der wahren Anomalie { Drehung um die 3-Achse um den Perihelabstand !, so da die 1-Achse zum
aufsteigenden Knoten zeigt
{ Drehung umd die 1-Achse um die Bahnneigung i, so da 1-2-Ebene mit der
Ekliptik ubereinstimmt
{ Drehung um die 3-Achse um die Knotenlange , so da 1-Achse zum Fruhlingspunkt zeigt.
{ evtl. zusatzliche Drehung um die 1-Achse um die Ekliptikschiefe ", damit die
1-2-Ebene mit der A quatorebene ubereinstimmt.
Damit insgesamt also
~rPh = (evtl.: D1(")) D3()D1(i)D3(!)~rBahn
Dabei sind
52
(35)
0
1
cos ~rBahn = B
@ sin CA
0
und ~rPh die heliozentrische (ekliptikale oder aquatoriale) Position des Planeten.
Wiederholung der letzten 5 Schritte fur die Erde, die zur heliozentrischen Position
~rEh der Erde fuhrt.
Die geozentrische Position ~rPg des Planeten ergibt sich schlielich als Vektordierenz:
~rPg = ~rPh ; ~rEh
Die rechtwinkligen Koordinaten von ~rPg mussen schlielich noch (mit (3)) in polare
Koordinaten (( ) bzw. ( )) umgerechnet werden.
Fur eigene Berechnungsubungen hier die Bahnelemente der Planeten fur den 14.11.1973:
Name
d ] aAE ]
e
%]
]
!] M ]
Merkur 4:0923 0:387 0:206 7:006 48:364 29:053 355:506
V enus 1:6021 0:723 0:007 3:395 76:756 55:081 238:612
Erde 0:9856 1:000 0:017 0:000 ; ; ; ; ; ; 210:479
Mars 0:5240 1:524 0:093 1:852 49:632 286:267 57:912
Jupiter 0:0830 5:203 0:048 1:305 100:401 273:858 307:147
Saturn 0:0333 9:528 0:054 2:488 113:744 338:497 358:108
Uranus 0:0116 19:173 0:046 0:774 73:974 97:733 29:704
Neptun 0:0060 30:128 0:008 1:769 131:854 255:553 220:605
Pluto 0:0039 39:398 0:248 17:147 110:385 114:212 336:539
(mittlere tagliche Bewegung und groe Halbachse hangen uber das 3. Keplersche Gesetz zusammen. Wie? Deshalb ist die erste Spalte obiger tabelle eigentlich
uberussig.)
11 16. JULI 1998: ZWEI- UND MEHRKO RPERPROBLEM
53
11 16. Juli 1998: Zwei- und Mehrkorperproblem
11.1 Das Kepler-Problem als Einkorper-Problem
Bei den bisherigen Uberlegungen
wurde die Sonne als unendlich schwer und deshalb
im Raum ruhend angenommen. Nur in diesem vereinfachten Fall wirkt auf den Planeten eine Zentralkraft. Die Bewegungsgleichung des Planeten sieht dann aufgrund
des Newtonschen Gravitationsgesetzes folgendermaen aus:
S
mr = ; mM
3
r ~r
(36)
Dabei sind die Gravitationskonstante, MS die Masse der Sonne und ~r der Vektor
Sonne!Erde.
Da dabei nur die Bewegung des Planeten berucksichtigt werden mu, spricht man
auch von einem Einkorper-Problem.
Neben der bisher behandelten analytischen Berechnungsmethode gibt es auch die
Moglichkeit, diese Bewegungsgleichung(en) numerisch zu integrieren, wenn man Anfangsort und -geschwindigkeit (das sind i.a. 6 Groen!) kennt.
Die 3 Bewegungsgleichungen 2. Ordnung konnen umgeschrieben werden in 6 Dierentialgleichungen 1. Ordnung:
q
= x2 + y2 + z2
= vx
= vy
= vz
= ; Mr3S x
v_y = ; Mr3S y
v_z = ; Mr3S z
r
x_
y_
z_
v_x
11.2 Verallgemeinerung auf das Zwei-Korper-Problem
Berucksichtigt man die endliche Masse des Zentralkorpers, dann ist die Annahme der
Bewegungslosigkeit nicht mehr gerechtfertigt, da nach dem 3. Newtonschen Gesetz
auch auf den Zentralkorper (vom Planeten) eine Kraft ausgeubt wird. Das bisher
behandelte Ein-Korper-Problem wird dadurch zum Zwei-Korper-Problem.
Beschreibt man den Ort beider Korper in einem beliebigen (Inertial-) System, dann
lauten die beiden Bewegungsgleichungen (genauer: die 6 Bewegungsgleichungen!):
m1~r1 = j~rm;1m~r2j3 (~r2 ; ~r1)
(37)
1
2
m2~r2 = j~rm;1m~r2j3 (~r1 ; ~r2)
(38)
1
2
11 16. JULI 1998: ZWEI- UND MEHRKO RPERPROBLEM
54
Fuhrt man statt der Koordinaten ~r1 ~r2 die neuen Koordinaten R~ ~r durch
r1 + m2~r2 und ~r := ~r ; ~r
1~
R~ := mm
1
2
+m
1
(39)
2
ein, dann sieht man fur die sogenannte Schwerpunktskoordinate R~ sofort:
R~ m1~r1 + m2~r2 = 0:
(40)
Der Schwerpunkt hat also eine konstante Geschwindigkeit und kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit in den Ursprung eines neuen (Inertial-) Systemes gesetzt
werden.
Fur die Relativkoordinate ~r gilt:
~r = ~r1 ; ~r2 = mr32 (;~r) ; mr31 ~r = ; (m1 + m2) r~r3
2
=) mm1+mm2 ~r = ; mr1m
~r = ; (m1 + m2) mm1+mm2 r~r3
3
1
2
1
2
Fuhrt man nun durch
M := m1 + m2 und := mm1+mm2
1
(41)
(42)
(43)
2
die Gesamtmasse M und die sogenannte reduzierte Masse ein, dann folgt schlielich:
~r = ; M
r3 ~r
(44)
Das ist aber die Ein-Korper-Bewegungsgleichung (36) eines Teilchens der Masse im
Feld eines festen Zentralkorpers der Masse M . Der Relativvektor ~r beschreibt
also eine Keplerbahn!
Kennt man aber ~r(t), dann lassen sich die Einzelvektoren ~ri leicht berechnen: Mit
R~ = ~r1 ; m m+2m ~r
1
folgt namlich:
2
~r1 = R~ + m m+2m ~r und ~r2 = R~ ; m m+1m ~r
1
2
1
2
(45)
11 16. JULI 1998: ZWEI- UND MEHRKO RPERPROBLEM
55
Mit R~ 0 wird daraus:
~r1 = m m+2m ~r und ~r2 = ; m m+1m ~r
1
2
1
2
(46)
Beide Korper beschreiben also "gegenuberliegende\ Keplerbahnen, deren Radien
sich umgekehrt wie die Massen verhalten:
r1 = m2
r2 m1
Auch das Zwei-Korper-Problem ist also noch analytisch zu behandeln!
Demonstration der Bewegungen mit zweikoer:
{ Ein-Korper und Zwei-Korper-Bewegung mit Mm = 0,
{ Zwei-Korper-Bewegungen mit Mm =
1:300000 (Erde/Sonne),
1:1000 (Jupiter/Sonne)
1:10
1:2
1:1
11.3 Ausblick auf das Mehr-Korper-Problem
(47)
Das Drei-Korper-Problem ist, im Gegensatz zum Zwei-Korper-Problem, nicht mehr
analytisch losbar. Es hat lange Zeit die groten Kopfe aus Mathematik und Physik
(insbesondere Poincar'e) beschaftigt.
Es wurden viele Spezialfalle untersucht, um wenigstens Teilaspekte analytisch behandeln zu konnen.
Der wichtigste Spezialfall ist ds sogenannte reduzierte Drei-Korper-Problem:
Zwei schwere Korper (Sterne) umkreisen den gemeinsamen Schwerpunkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf Kreisbahnen. Ein Planet, der so leicht ist, da
er die Bewegungen der beiden Sterne nicht beeinut, bewegt sich im Feld dieser
Sterne. Beschrieben wird die Bewegung im mitrotierenden Bezugssystem, in dem die
beiden Sterne ruhen.
Demonstration mit instabiler periodischer Orbits im Inertialsystem und im rotierenden Bezugssystem mit dreikoer
11 16. JULI 1998: ZWEI- UND MEHRKO RPERPROBLEM
Davidson-Orbit im Inertialsystem
Davidson-Orbit im rotierenden Bezugssystem
56
12 FOLIEN
12 Folien
57
12 FOLIEN
58
geozentrische Marsbewegung
zwischen zwei Erdnahen
s
r
r
r
s
s
s
x
r
r
s
12 FOLIEN
59
Planetenbewegung
(heliozentrisch betrachtet)
sP
4
sP
sP
5
3
E4
E5
x
sP
2
x
E3
x
sP
1
|Sonne
E2
E1
x
x
12 FOLIEN
60
Marsbahn und Kreisbahn
(bezuglich ihres Brennpunktes)
u
12 FOLIEN
61
Marsbahn und Kreisbahn
(bezuglich ihres Mittelpunktes)
ur u
12 FOLIEN
62
Keplerbewegung von Mars
( = 0 5)
e
r
r
:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r u
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
12 FOLIEN
63
Keplerbewegung
( = 0 093)
e
r
r
r
r
r
r
r
r
:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
u
r
r
r
r
r
r
r
r
12 FOLIEN
64
Zusammenhang zwischen
synodischer und siderischer Umlaufzeit
uE
sP
2
2
Sonne
}
E
uE
P
1
sP
1
E = P + 2
E P
2
=) T = T + T
syn
syn
syn
2
2
2
=) 1a = T + T
syn
sid
1
1
1
=) 1a = T + T
syn
sid
12 FOLIEN
65
Bestimmung
von
Planetenbahnradien
aus der Beobachtung der Oppositionsposition und
einer zusatzlichen Beobachtung wahrend der Rucklaugkeit
P2`
P1`
H
s sP s sP s 2
1
=
s
s
E2 s
x"
+
sE
1
s
Sonne
rP
rE
sin
+"+=180 rP sin(" + )
= sin( + ) =) r = sin( + )
E
Dabei sind
die scheinbare Verschiebung des Planeten am Fixsternhimmel,
" = E t und
= P t die von Erde und Planet in der Zwischenzeit (heliozentrisch) uberstrichenen Winkel.
12 FOLIEN
Die Bewegung der innersten 5 Planeten
{ heliozentrisch und geozentrisch betrachtet {
66
12 FOLIEN
67
Newtons Ableitung
des 3. Keplerschen Gesetzes
g
F
f
E
e
D
d
C
B
Sonne
y
A
h
c
12 FOLIEN
68
c
B
Sonne
y
A
h
12 FOLIEN
69
d
C
B
Sonne
y
A
h
c
12 FOLIEN
70
e
D
d
C
B
Sonne
y
A
h
c
12 FOLIEN
71
g
F
f
E
e
D
d
C
B
Sonne
y
A
h
c
12 FOLIEN
72
Das 3. Keplersche Gesetz
und das Gravitationsgesetz
~r-Diagramm
~r3
~v2
~r2
~r3
~r2
~v-Diagramm
~v1
~v3
~r1
~r1
gleiche Zeitintervalle!
~v3
~v2 ~v1
12 FOLIEN
73
Ellipsen mit
verschiedener Fadenlange
s
s
12 FOLIEN
74
Die Ellipse
als gestauchter Kreis
Qs
uP
a
a+z
s
F1
ea
s
M
x
yQ
y
a;z
s
F2
12 FOLIEN
75
Die "Spiegel-Konstruktion\
Q
u
u
S
u
P
s
s
F1
F2
u
u
u
12 FOLIEN
76
Der U bergang
von gleichen Zeitintervallen
zu gleichen Zentralwinkeln
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r
r
r r
r
r r
v
r
r
r
r
r
v
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
12 FOLIEN
77
Die Newtonsche Konstruktion der Planetenbahn
fur gleiche Zentralwinkel
s
x
s
12 FOLIEN
78
Die Newtonsche Konstruktion der Planetenbahn
fur gleiche Zentralwinkel
s
s
x
s
12 FOLIEN
79
Die Newtonsche Konstruktion der Planetenbahn
fur gleiche Zentralwinkel
s
s
s
x
s
12 FOLIEN
80
Die Newtonsche Konstruktion der Planetenbahn
fur gleiche Zentralwinkel
s
s
s
s
s
s
s
x
s
s
s
s
s
12 FOLIEN
81
Die Bahnform
z
12 FOLIEN
82
Die Bahnform
z
Die Konstruktion entspricht genau der
"Spiegel-Konstruktion\ fur Ellipsen!
12 FOLIEN
83
Wahre und exzentrische Anomalie
Qs
uP
a
Aphel
s
F1
ea
sE
M
x
yQ
y
r
|
Sonne
Perihel
12 FOLIEN
84
Die Kepler-Gleichung
Qs
uP
a
Aphel
s
F1
ea
sE
M
x
r
|
Sonne
y
yQ
Perihel