Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) - IAP TU

Übungen zur Vorlesung
Naturwissenschaften II
(B. Sc. Maschinenbau)
Sommersemester 2008
Professor Dr. G. Birkl, Dr. N. Herschbach
Musterlösung 8
Besprechung in der Woche
vom 9.6 - 16.6.08
www.physik.tu-darmstadt/apq/naturwissenschaften
1. Sonnenstrahlen
Das Sonnenlicht trifft mit einer mittleren Energiestromdichte von 1.4 · 103 W/m2 (Solarkonstante) auf die Erde.
a) Wie groß sind elektrische und magnetische Feldstärke des Sonnenlichts auf der
Erde, wenn Reflexion und Absorption in der Erdatmosphäre vernachlässigt werden?
b) Wie groß ist die gesamte von der Sonne in alle Richtungen abgestrahlte Leistung?
Die Erde ist 1.5 · 108 km entfernt von der Sonne.
c) Wie groß ist die elektrische Feldstärke der Strahlung auf der Sonnenoberfläche?
Der Radius der Sonne beträgt 6.96 · 105 km.
J̀
J́
^
a) Die Solarkonstante Is gibt die mittlere Energiestromdichte am oberen Rand der
Erdatmosphäre an
1 ~
1 ~
~0 | = 1 |E~0 |2
|E0 × B~0 | =
|E 0 | · | B
2µ0
2µ0
2µ0 c
p
√
~0 | = |E~0 |/c = 2µ0 Is /c = 3.4·10−6 T.
→ |E~0 | = 2µ0 cIs = 1.03·103 V/m und |B
~ >t | =
Is = | < S
b) Entfernung Erde - Sonne: r = 1.5 · 1011 m. Man kann davon ausgehen, dass
die Sonne isotrop abstrahlt. Die gesamte abgestrahlte Leistung wird dann P =
4πr 2 Is = 3.96 · 1026 W.
c) Radius der Sonne: R = 6.96 · 108 m. Die mittlere Energiestromdichte an der
Sonnenoberfläche ist:
S =
P
= 6.5 · 107 W/m2 .
2
4πR
Daraus berechnet man die Amplitude des Elektrischen Feldes
p
E = 2µ0 cS = 2.2 · 105 V/m.
≺./ •∞• ./
1
2. Brechung von einem Lichtstrahl an einer Glasplatte
Ein Lichtstrahl fällt auf eine Glasplatte mit Brechungsindex n0 und Dicke D. Der
gebrochene Strahl pflanzt sich in der Glasplatte fort und wird bei seinem Austritt aus
der Platte wieder gebrochen. Das optische Medium, das die Glasplatte umgibt, habe
den Brechungsindex n.
D
α
d
n
n’
a) Geben Sie die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel α und dem Winkel zwischen
Lot und dem gebrochenen Strahl in der Glasplatte an.
b) Geben Sie die Beziehung zwischen den Winkeln zum Lot von einfallendem und
gebrochenen Strahl bei der Brechung am Austritt aus der Glasplatte an.
c) Zeigen Sie, dass sich der Lichtstrahl hinter der Glasplatte in die gleiche Richtung
ausbreitet als vor dem Eintritt in die Platte.
d) Bestimmen Sie den Strahlversatz d als Funktion von α, D, n und n0 .
J̀
^
J́
a) Brechungsgesetz von Snellius: n sin(α) = n0 sin(β).
b) Snellius’sches Brechungsgesetz ergibt n0 sin(γ) = n sin(φ) und da γ = β erhalten
wir n0 sin(β) = n sin(φ).
c) Aus den Resultaten a) und b) folgt
n sin(α) = n0 sin(β) = n sin(φ)
⇒ sin(α) = sin(φ)
⇒ α = φ,
da sowieso 0 ≤ α, φ ≤ π/2.
2
D
α
γ
θ
d
β
n
φ
n’
d) Der Lichtstrahl legt in der Glasplatte die Wegstrecke l = D/ cos(β) zurück, wie
leicht am rechtwinkeligen Dreieck mit Hypotenuse der Länge l in der Abbildung (blau) zu erkennen ist. Die gleiche Strecke bildet auch die Hypotenuse des
größeren Dreiecks (in rot) dessen Gegenkathete die Länge l sin(Θ) = l sin(α − β)
hat, die dem gesuchten Strahlversatz d entspricht. Wir erhalten
D
sin(α − β)
cos(β)
D
=
(sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β))
cos(β)
sin(β)
= D sin(α) − cos(α)
cos(β)
!
sin(β)
= D sin(α) − cos(α) p
1 − sin2 (β)


n
0 sin(α)
.
= D sin(α) − cos(α) q n 2
n 2
1 − n0 sin (α)
d=
≺./ •∞• ./
3. Reflexion und Brechung
Unter welchem Winkel α muss ein Lichtstrahl auf eine Luft-Glas-Grenzfläche fallen,
damit der Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl gleich dem Winkel
zwischen einfallendem und gebrochenem Strahl wird? Werte für Brechungsindizes: von
Luft n = 1 und von Glas n0 = 1.5.
J̀
^
J́
Bei der Reflexion gilt, dass Ausfallswinkel gleich dem Einfallswinkel ist. Also ist der
Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl gleich 2α. Der gebrochene Strahl
3
r
e
α
α
n
n’
β
g
verläuft unter dem Winkel β zum Lot. Der Winkel zwischen einfallendem und gebrochenem Strahl ist π + β − α.
2α = π + β − α
(Bedingung)
⇒ 3α = π + β
⇒ sin(3α) = sin(π + β) = − sin(β)
n
= − 0 sin(α) (Brechungsgesetz von Snellius)
n
n
sin(3α)
3 cos2 (α) sin(α) − sin3 (α)
⇒ 0 =−
=−
n
sin(α)
sin(α)
2
2
= −3 cos (α) + sin (α) = −3 1 − sin2 (α) + sin2 (α)
= 4 sin2 (α) − 3
r
1 n
⇒ sin(α) =
+ 3.
2 n0
Es ergeben sich die Zahlenwerte sin(α) ≈ 0.9574 → α ≈ 1.277 rad ≈ 73.22◦ .
≺./ •∞• ./
4