Beispielaufgaben mit Lösungen

Thema:
Kurzformaufgaben
Pflichtbereich:
1) Ergänze die Skizze so, dass ein Würfelnetz entsteht:
2
2
2. ) Bestimme die beiden Winkel, für die gilt: sin α = 0,6990
3. ) Ein voller Kanister Benzin wiegt 15 kg, ein halbvoller Kanister nur 8,5 kg.
2
Wie schwer ist der leere Kanister? Beschreibe deinen Lösungsweg und
gibt die Lösung an.
4. )
α hat eine Größe von 45°. Welcher prozentuale Anteil der
1
Kreisfläche wird durch den Kreissektor beschrieben?
α
Skizze
5. ) Vereinfache die Terme so weit wie möglich:
a) 2 ⋅ a ³ ⋅ b ³ ⋅ (5a )
2
3
b)
3
a 4b
a −5 b 4
2
6. ) Kreuze an ( Es gibt mehrere Lösungen)
a) 2 Std. 45 Min. = □ 2,45 Std.
3
4
b) 1 + 2
1
=
2
□ 3
4
6
□ 245 Min.
□ 4,25
1
□ 2,75 Std.
□ 3
3
8
□ 165 Min.
□ 4
2
8
2
2
7. ) Eine Firma wirbt mit folgendem Slogan:
Wir haben alle Preise um 20 % gesenkt !
statt: 124,00 €
statt: 325,95 €
nur noch: 104,00 €
nur noch: 260,76 €
2
Überprüfe die Richtigkeit der Werbung und begründe deine Entscheidung.
8. ) Aufgabe zum Strahlensatz
Gegeben : a, e, f
Gesucht : b = ?
3
LÖSUNGEN
2
1. ) Es gibt mehrere Lösungen, hier nur zwei Beispiele
2
2. )
α = 44,35° und α = 135,65°
2
3. )
Der Kanister wiegt 2kg.
1Litermenge + Kanister = 15kg
1
Litermenge + Kanister = 8,5kg
2
Wendet man nun das Subtraktionsverfahren an, so
erhält man folgende Gleichung
1
Litermenge = 6,5kg
2
2
Und somit wiegt die das Benzin 13kg.
Anderer Lösungsvorschlag:
Der volle Kanister (Kanister + Inhalt) wiegt 15 kg, der halbvolle nur 8,5 kg. In beiden Fällen hat
der Kanister das gleiche Gewicht, also kann der Differenzbetrag (15 kg - 8,5 kg) nur die Hälfte
des Inhalts sein, also 6,5 kg. Daraus folgt, dass die verbleibenden 2 kg (Ergänzung zu 8,5 kg)
das Gewicht des Kanisters darstellen.
4. ) Es wird ein Anteil von 12,5% durch den Kreissektor beschrieben.
5. )
a. ) 250 a 6b3
6. )
a. ) 2 Std. 45 Min und
165 Min
b. ) a3 b-1
b. ) 4, 25 und 4
1
4
2
8
4
2
3
7. ) Die erste Aussage ist falsch. Der Preis wurde nur um 20€, nicht aber um 20% gesenkt. Die
Preissenkung beträgt 16,13%. Das zweite Angebot stimmt mit der Behauptung überein. Der
Preis wurde genau um 20% gesenkt.
8. )
a+b
a
=
e
f
Thema
af= ea+ eb
b=
af − ea
e
Komplexaufgabe
4
3
Wahlaufgabe
9. )
Die Konzentration eines Medikaments baut sich im menschlichen Blut exponentiell ab.
Nach der Einnahme der Normaldosis steigt die Konzentration des Medikamentes im Blut sofort
auf 4 mg/l an. Nach einer Stunde misst man noch 3,5 mg/l.
a) Bestimme den Zerfallsfaktor und die Funktionsvorschrift der Zerfallsfunktion, die die restliche
Konzentration des Medikamentes im Blut nach x Stunden beschreibt.
b) Wie groß ist die Konzentration nach 7 Stunden?
Berechne, wann die Konzentration unter die Wirksamkeitsgrenze von 1 mg/l fällt?
c) Zeichne den Graphen und überprüfe die rechnerisch ermittelte Lösung an der Zeichnung.
( Erstelle dazu eine Wertetabelle)
d) Ein Patient nimmt dreimal hintereinander die Normaldosis des Medikaments im Abstand von
7 Stunden ein. Einer der nachfolgenden Graphen stellt die Masse des Medikaments im
Körper in Abhängigkeit von der Zeit dar. Gib das zugehörige Diagramm an und begründe
deine Wahl!
m
m
m
t
t
t
C
B
A
LÖSUNG
a) Zerfallsfaktor und Funktionsvorschrift:
y = c * ax
Geg.: c = 4 mg/l
y
c
3,5
a=
= 0,875
4
y = 3,5 mg/l
a=
x = 1 Stunde
y = 4 ⋅ 0,875 x
x
1
1
b) Konzentration nach 5 Stunden : x = 7, c = 4 mg/l, a = 0,875
y = c ⋅ ax
y = 4 ⋅ 0,8757
Nach 7 Stunden ist eine Konzentration von 1,57 mg/l im Blut
1
y ≈ 1,5708
5
c) Bestimmung des Zeitpunktes: c = 4mg/l, a = 0,875, y = 1mg/l
1
Im Laufe der 10. Stunde sinkt der Wert unter die
Wirksamkeitsgrenze.
y = c ⋅ ax
y
c
lg y − lg c
x=
lg a
x = 10,3818
Nach 10,5 Std.
ist die Konzentration etwa auf
1mg/l
gesunken.
ax =
2
1
x 0 1
2 3
4 5 6 7
8 9 10
y 4 3,5 3,1 2,7 2,3 2,1 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1
d) Es ist das Diagramm C !
Die niedrigsten und die höchsten Werte
steigen von Verabreichung zu
Wertetabelle
Verabreichung an, denn nach 7 Std. ist die
Masse des Medikamentes noch nicht
vollständig abgebaut.
Thema
2
Komplexaufgabe
6
1
Wahlaufgabe
10. )
€
Das nebenstehende Diagramm zeigt die Entwicklung des
Kapitals von Frau Meier, das sie bei einer Bank im Jahre
1995 angelegt hat.
a) Was kannst du anhand des Diagramms über die
Kapitalentwicklung in den ersten 11 Jahren
aussagen? (Formuliere ganze Sätze)
b) Welchen Zinssatz hat die Bank in den ersten 5
Jahren gewährt?
c) Im Jahr 2000 legt Herr Otto ein weiteres Kapital von
1500 € zu einem Zinssatz von 3,5% an.
1. In welchem Jahr (Jahreszahl) wird die Summe
der Kapitalentwicklung nach 11 Jahren aus
Jahre
Aufgabe a) erreicht sein?
2. Wie hoch müsste der Zinssatz sein, damit sich
das Kapital nach 15 Jahren verdoppelt hat?
LÖSUNG
In den ersten 5 Jahren hat sich das Kapital von 1000 € durch Zinseszins exponentiell vermehrt.
Am Ende des 5. Jahres muss es eine Sonderzahlung von 250 € gegeben haben. Danach hat
sich das Kapital weiter exponentiell durch Zinseszins vermehrt und nach 11 Jahren verdoppelt.
g0 = 1000 €
1
2
ges.: q, p
gn = 1250 €
n=5
gn = g0 * qn
q=
n
gn
g0
q = 1,0456
p = 4,6
2
Die Bank hat einen Zinssatz von 4,6 % gewährt.
7
c) g0 = 1500 €
ges.: n
1. p = 3,5 %
q = 1,035
gn = 2000 €
3
gn = g 0 * qn
lg g n − lg g 0
n=
lg q
n = 8,3625
Im Laufe des Jahres 2008 wird die Summe von 2000 € erreicht sein.
2. g0 = 1500 €
gn = 3000 €
n = 15
gn = g0 * q n
ge.: q, p
2
gn
g0
q = 1,0473
p = 4,7
q=
n
Der Zinssatz müsste 4,7 % betragen, damit sich das Kapital in 15 Jahren verdoppelt.
Thema
Komplexaufgabe
8
Wahlaufgabe
11. )
Mozartkugeln bestehen aus einem Nugatkern, der von einer schicht Pistazienmarzipan
umgeben ist. Vor dem Austrocknen schützt eine zusätzlich Schicht aus Schokolade. Die Firma
Reber aus Salzburg stellt Mozartkugeln her, deren Nugatkern einen Durchmesser von 1cm hat,
die Marzipanschicht ist 0,75cm, die Schokoladenschicht 2mm dick.
a) Fertige eine Planfigur an!
b) Berechne die prozentualen Anteile der drei Bestandteile!
c) Nach der Erhöhung der Mehrwertsteuer ist der Preis für Pistazien erheblich gestiegen. Um
den Preisanstieg nicht an die Kunden weiter zu geben, soll die Pistazienmenge um 10% gesenkt
werden. Beschreibe die Möglichkeiten der Firma – bei verringertem Marzipanteil – die Größe der
Kugel zu erhalten!
LÖSUNG
a)
b)
1
rNugat = 5mm
4
VNugat = π ⋅ 5³
3
VNugat ≈ 523,599mm³
1
4
VMarzipan = πra3 − VNugat
3
ra = 5 + 7,5 = 12,55mm
2
VMarzipan ≈ 7657,632mm³
4
VSchoko = πra31 − VMarzipan − VNugat
3
ra1 = 5 + 7 ,5 + 2 = 14 ,5mm
VSchoko ≈ 4588,820mm³
VGesamt ≈ 12770,051mm³
Volumen
12770,051..
1
523,599..
7657,632..
%
100
≈ 4,1
≈ 60,0
2
9
2
c)
•
•
•
Thema
Nugatkern vergrößern, Schokolade bleibt gleich
Schokoladenschicht vergrößern, Nugatkern bleibt gleich
Nugatkern und Schokoladenschicht vergrößern
Komplexaufgabe
10
2
Wahlaufgabe
12. )
Der Kurs eines Schiffes wird als Winkel zwischen Nordrichtung und rechtsdrehend der
Fahrtrichtung angegeben. Kurs 0° bedeutet, das Schiff fährt genau nach Norden. Kurs 90°
bedeutet, das Schiff fährt genau nach Osten.
Ein Küstenmotorschiff fährt auf der Nordsee mit Kurs 106° und legt dabei 12 Seemeilen (1sm =
1,852 km) pro Stunde zurück. Leider ist die Navigationsanlage ausgefallen. Deshalb peilt der
Kapitän um 21:30 Uhr an Position A den Leuchtturm auf der Insel Helgoland unter einem Winkel
von 69° zur Nordrichtung an. Um 21:52 Uhr beträgt der Peilwinkel von Position B aus ebenfalls
Richtung Norden 25°.
a) Bestimme die Entfernung des Schiffes vom Leuchtturm zum Zeitpunkt der zweiten Messung.
Das Schiff fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit in gleicher Richtung weiter.
b) Bestimme um welche Uhrzeit der Leuchtturm genau in Nordrichtung angepeilt wird.
LÖSUNG
a)
2
α = 106° − 69° = 37°
β = (180° −106°) + 25° = 99°
γ = 180° − 37° − 99° = 44°
δ = 106° − 25° = 81°
ε =180° − 106° = 74°
1
Berechnung der Fahrstrecke AB :
11
Das Schiff fährt zwischen beiden Peilungen 22 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 12
22
= 4,4 . Das Schiff hat eine Strecke von 4,4 Seemeilen
60
2
zurückgelegt. Das sind etwa 8,15km.
Seemeilen pro Stunde: 12 ⋅
Nun kann die Entfernung zwischen Schiff und Leuchtturm bei der zweiten Peilung über den
Sinussatz berechnet werden:
BL
4,4
sin 37° sin 44°
4,4 ⋅ sin 37°
BL =
sin 44°
BL = 3,8119
=
2
Bei der 2. Peilung ist das Schiff ca. 3,8sm vom Leuchtturm entfernt. Das sind ca. 7km.
Die Umrechnung in Kilometer ist zulässig, aber nicht erforderlich.
b)
Nach dem Sinussatz gilt
BC
=
BL
sin 25° sin 74°
BL ⋅ sin 25°
BC =
sin 74°
BC =1,6759...
2
Sollte mit BL = 3,8 gerechnet werden, enthält man den Wert 1,671.
Berechnung der Fahrzeit:
60 ⋅ BC
12
= 8,379... (bzw. nach dem eben gegebenen Hinweis 8,355) . Nach ca. 8,4 Minuten Fahrt,
also gegen 22 Uhr, wird der Leuchtturm genau im Norden angepeilt.
12
1