Statistik1 07-11

Aufgabe 1
(5 + 2 + 1 Punkte)
Sei X eine auf dem Intervall [2, 6] (stetig) gleichverteilte Zufallsvariable.
a) Wie lautet die Verteilungsfunktion von X? Zeichnen Sie diese!

0
x<2

1
x − 0.5 2 ≤ x ≤ 6
F (x) =
 4
1
sonst.
b) Berechnen Sie die Varianz von X.
var(X) =
(6−2)2
12
=
4
3
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 3.5 annimmt?
P(X=3.5)=0, da stetige ZV.
Aufgabe 2
(2 + 2 + 2 Punkte)
Aus einer Umfrage über den Getränkekonsum erhalten Sie folgende Informationen: 60% der
Befragten trinken Kaffee, 30% Tee und 20% weder noch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zufällig ausgewählter Befragter
a) Kaffee und Tee trinkt?
(Hinweis: Falls Sie zu keiner Lösung kommen, setzen Sie diese Wahrscheinlichkeit gleich
20%)
P (K ∩ T ) = P (K) + P (T ) − P (K ∪ T ) = 0.6 + 0.3 − 0.8 = 0.1
b) der Kaffee trinkt, auch Tee trinkt?
P (T |K) =
P (T ∩K)
P (K)
= 0.1/0.6 =
1
6
c) Tee, aber keinen Kaffee trinkt?
P (T ∩ K̄) = P (T \K) = P (T ) − P (T ∩ K) = 0.3 − 0.1 = 0.2
Aufgabe 3
(1 + 4 + 2 + 2 + 4 Punkte)
Sie sind ein sehr aufmerksamer Leser. Durchschnittlich finden Sie zwei Rechtschreibfehler pro
Stunde, die Sie mit Lesen verbringen. Bezeichne X die Anzahl an Rechtschreibfehlern pro
Stunde, die mit Lesen verbracht wird. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass X Poissonverteilt ist.
a) Wie groß ist die Varianz von X?
E(X) = 2 = λ
var(X) = λ = 2
b) Berechnen und


 0.13


 0.27
0.27
f (x) =


0.18



0
zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) für 0 ≤ x ≤ 3.
x=0
x=1
x=2
x=3
sonst
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens einen Rechtschreibfehler in einer
Stunde entdecken?
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0.13 = 0.87
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit entdecken Sie mindestens zwei und weniger als fünf Rechtschreibfehler in einer Stunde?
P
P (2 ≤ X < 5) = P (X ≤ 4) − P (X ≤ 1) = 4i=2 P (X = i) = 0.27 + 0.18 + 0.09 = 0.54
Sie sitzen mit einigen Kommilitonen zum Studieren eines Vorlesungsskriptes zusammen. Gemeinsam sind Sie in der Lage durchschnittlich 20 Fehler pro Stunde zu finden.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie und ihre Kommilitonen mindestens 25 Fehler
in einer Stunde finden?
Approximationsregel erfüllt: λ ≥ 9
√
≤
P (X ≥ 25) = 1 − P (X ≤ 24) = 1 − P ( X−λ
λ
24−20+0.5
√
)
20
= 1 − Φ(1.01) = 1 − 0.84 = 0.16
Aufgabe 4
(3 + 4 + 2 Punkte)
In einer Urne befinden sich drei weiße und sieben schwarze Kugeln. Es werden zufällig fünf
Kugeln gezogen. Berechnen Sie jeweils mit und ohne Zurücklegen
a) die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier weiße Kugeln gezogen werden.
5!
0.34 · 0.71 = 0.028
Mit: P (W = 4) = 4!1!
Ohne: P (W = 4) = 0, da nur 3 weiße Kugeln in der Urne sind.
b) die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei weiße Kugeln gezogen werden.
Mit: P (W ≥ 2) = 1−P (W ≤ 1) = 1−(P (W = 0)+P (W = 1)) = 1−(0.75 +5·0.3·0.74 ) =
0.4718
7 6543
Ohne: P (W ≥ 2) = 1 − P (W ≤ 1) = 1 − (P (W = 0) + P (W = 1)) = 1 − ( 10
+
9876
(31)(74)
) = 0.5
(105)
Angenommen in der Urne befände sich eine beliebig große Anzahl von Kugeln (weiterhin im
Verhältnis drei Teile weiß und sieben Teile schwarz).
c) Inwieweit würden sich die Ergebnisse aus den Teilaufgaben a) und b) ändern? (Begründung, keine Rechnung!)
Die Wahrscheinlichkeiten von Ziehen ohne Zurücklegen würden sich an
die vom Ziehen mit Zurücklegen annähren, da der Effekt, den das Entnehmen hat, mit zunehmender Urnengröße abnimmt.
Aufgabe 5
(3 + 3 + 3 Punkte)
Die erwartete Jahresrendite eines Aktieninvestments A beträgt 5% und die Standardabweichung
der Jahresrendite ebenfalls 5%. Weiterhin sei die Aktienrendite normalverteilt. Außerdem gebe es eine von A unabhängige risikolose Anlagemöglichkeit R, die eine Jahresrendite von 2%
erbringt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Rendite des Aktieninvestments höher als die der
risikolosen Anlage?
P (A > 0.02) = 1 − P ( A−µ
≤
σ
0.02−0.05
)
0.05
= 1 − Φ(−0.6) = 1 − (1 − Φ(0.6) = 0.27) = 0.726
b) Die Zusammenstellung eines Wertpapierdepots aus verschiedenen Wertpapieren nennt
man Portfolio. Bilden Sie ein Portfolio P = xA + (1 − x)R aus A und R, wobei x den
Anteil von A im Portfolio P bezeichnet. Wie groß muss der Anteil von A an diesem
Portfolio sein, damit die erwartete Portfoliorendite 3% beträgt?
(Hinweis: Falls Sie zu keiner Lösung kommen, setzen Sie diesen Anteil im Folgenden
gleich 30%)
0.03 = E(xA + (1 − x)R) = xE(A) + (1 − x)E(R) = 0.05x + 0.02 − 0.02x
⇒ 0.03x = 0.01 ⇒ x = 31
c) Wie groß ist die Varianz der Rendite dieses Portfolios?
var(xA + (1 − x)R) = var(xA) + var((1 − x)R) + 0 = x2 var(A) + 0 = 19 · 0.052 = 2.78 · 10−4
Aufgabe 6
(3 + 4 Punkte)
Betrachten Sie folgende Funktion:

 0.5 für 0 ≤ x < 1
1
für 1 ≤ x ≤ a
f (x) =
 2x
0
sonst.
a) Für welches a ist obige Funktion eine Dichtefunktion?
(Hinweis: Falls Sie zu keiner Lösung kommen, setzen Sie a im Folgenden gleich der
Eulerschen Zahl e.)
R1
Ra 1
dx
1 = 0 0.5 dx + 1 2x
1 = [0.5x]10 + [0.5 ln(x)]a1
1 = 0.5 + 0.5 ln(a)
⇔a=e
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X, die obige Dichtefunktion hat.
R∞
E(X) = −∞ x f (x) dx =
R1
Re
1
x
·
0.5
dx
+
x · 0.5 · 2x
dx =
0
1
2 1
e
[0.25x ]0 + [0.5x]1
0.25 + 0.5e − 0.5 = 0.5e − 0.25 ≈ 1.1
Aufgabe 7
(4 + 2 + 4 + 1 Punkte)
Studenten bereiten sich entweder optimal oder minimal auf eine Klausur vor. Bei einer optimalen Vorbereitung bestehen sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, bei minimaler Vorbereitung hingegen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 30%. Insgesamt bestehen 55% der
Studenten die Klausur.
a) Wieviel Prozent der Studenten bereiten sich optimal auf die Klausur vor?
(Hinweis: Sollten Sie zu keiner Lösung kommen, verwenden Sie im Folgenden 40%.)
0.55 = P (B) = P (B|O)P (O) + P (B|M )(1 − P (O)) =
P (B|O)P (O) + P (B|M ) − P (B|M )P (O) = 0.95P (O) + 0.3 − 0.3P (O)
= 0.38
⇒ 0.65P (O) = 0.85 ⇒ P (O) = 0.25
0.65
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Student sich nur minimal vorbereitet hat und die Klausur bestanden hat?
P (M ∩ B) = P (B|M )P (M ) = P (B|M )(1 − P (O)) = 0.3 · 0.62 = 0.19
c) Von einem bestimmten Studenten wissen Sie, dass er bestanden hat. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass er sich optimal vorbereitet hatte?
P (O|B) =
P (O∩B)
P (B)
=
P (B|O)P (O)
P (B)
=
0.95·0.38
0.55
= 0.66
d) Ist das Bestehen der Klausur unabhängig von der Art der Vorbereitung? (Begründung!)
Nein, da z.B. P (B|O) 6= P (B|M ).
Aufgabe 8
(2 + 2 + 2 + 1 Punkte)
KFZ-Kennzeichen in XYZ-Land bestehen aus Folgen von Buchstaben (B) und Ziffern (Z). Die
Kennzeichen haben entweder die Form BB-ZZ-BB oder ZZ-BB-ZZ. Als Buchstaben können die
26 Buchstaben des Alphabets und als Ziffern die Ziffern 1-9 verwendet werden.
a) Wieviele unterschiedliche Kennzeichen sind mit diesem System möglich?
264 · 92 + 94 · 262 = 41450292
b) Wieviele unterschiedliche Kennzeichen sind mit diesem System möglich, wenn in einem
Kennzeichen jeder Buchstabe und jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf?
26!
22!
·9·8+
9!
5!
· 26 · 25 = 27799200
Für das Elfmeterschießen muss ein Fußballtrainer 5 seiner 11 Spieler als Schützen benennen.
c) Wieviele Möglichkeiten hat er bei der Bestimmung der Kandidaten?
11!
5!6!
= 462
d) Wieviele Möglichkeiten gibt es nach Auswahl der Schützen für die Reihenfolge, in welcher
die Schützen schießen werden?
5! = 120