Klausurvorbereitung Teil II (jetzt mit Lösungshinweisen)

Aufgaben zur Vorbereitung der Klausur für Studierende
der Studiengänge Vermessungswesen/Kartographie –
Teil II
1) Eine Zentrifuge dreht sich anfänglich mit 480 Umdrehungen pro
Minute und bleibt beim Ausschalten der Stromquelle nach 10 Sekunden
stehen.
Wie viele Umdrehungen vollführt die Zentrifuge noch bis zum Stillstand?
2) Eine Kraft F = 100 N soll durch zwei über Rollen umgelenkte, gleich große
Teilkräfte Fl und Fr im Gleichgewicht gehalten werden. (siehe Skizze) Der Abstand
des Punktes P zur Oberkante beträgt dabei h = 5 cm und der Abstand der
Mittelpunkte der Rollen x = 5 m. (Der Radius der Umlenkrolle sei vernachlässigbar
klein)
Berechnen Sie Fr !
x
h
P
F
Fl
Fr
3) Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Körnern eines Schüttgutes beträgt
0,4. Wie viel Kubikmeter dieses Schüttgutes können auf einer kreisrunden
ebenen Fläche mit dem Durchmesser von 10 cm gelagert werden?
4) Eine 1,75m große Person soll mit einer Kleinbildkamera (Bildformat
24mm*36mm, Objektivbrennweite 50mm) im Hochformat fotografiert werden.
Wie weit muss sie vom Objektiv entfernt sein
5) Ein Ball wird an einem Hang (Neigungswinkel 30°) bergab mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 4 m/s unter einem Winkel von 45° zur
Horizontalen losgeworfen.
Wie weit fliegt der Ball, bis er am Hang aufkommt. Welche Geschwindigkeit
besitzt er beim Aufprall?
6) Ein horizontal fliegendes Geschoss der Masse 0,6 g trifft vollkommen
unelastisch auf ein ruhendes ballistisches Pendel der Masse 148 g und einer
Pendellänge von 0,55 m. (Vorlesung: Versuch Ballistisches Pendel)
Wie groß ist die Geschossgeschwindigkeit, wenn das Pendel nach dem Stoß
maximal um 11,8° ausgelenkt wurde?
7) Ein Autobus durchfährt eine Kurve vom Krümmungsradius 50 m mit einer
Geschwindigkeit von 36 km/h . Welche Kraft wirkt auf einen Fahrgast (70 kg),
der im Autobus steht bzw. der mit einer Relativgeschwindigkeit von 0,8 m/s
nach vorn bzw. nach hinten läuft?
8) Eine Kugel (Radius R=1cm) rollt reibungsfrei in der abgebildeten
Schleifenbahn (r=20 cm). Welchen Wert muss man der Starthöhe Z0 mindestens
geben, damit die Masse den senkrecht gestellten Kreisring ohne herunterzufallen
durchlaufen kann?
9) Wie viele Dioptrien hat ein konkavkonvexes Brillenglas (n = 1,5) mit den
Krümmungsradien r1 = 12 cm, r2 = 18 cm ?
10) Ein Sonnenlichtbündel füllt parallel zur optischen Achse verlaufend die
Öffnung einer Linse von 7 cm Durchmesser voll aus und wirft auf einen 4 cm
dahinter aufgestellten Schirm einen Schein von 5 cm Durchmesser. Wie groß ist
die Brennweite der Linse ?
11) Der Lichtkegel eines Scheinwerfers ist 60 m lang und beleuchtet einen Kreis
von 3 m Durchmesser mit 4 lx.
a) Welche Lichtstärke hat die Lichtquelle ?
b) Welcher Lichtstrom trifft auf den Kreis ?
12) Das Licht einer Natriumlampe (Wellenlänge 589 nm) wird durch ein Gitter
mit 560 Spalten pro mm gebeugt. In welchem Abstand von der optischen Achse
treten auf einem 500 mm entfernten Schirm die Beugungsbilder erster bis dritter
Ordnung auf?
Lösungen:
1) 40
2) 2500 N
3) 52,4 cm³ = 5,24*10-5 m³
4) 2,48 m
5) l = 2,97 m (am Hang entlang gemessen), v= 6,7 m/s
6) 118,3 m/s
7) 140 N, (140 ± 22) N
8) 14 cm
9) 1,4 dpt
10) 14 cm
11) a) 14400 cd b) 28,3 lm
12) x1=174,7 mm, x2=438,8 mm, x3=3426,4 mm
Lösungen mit Lösungsansätzen und Hinweisen:
1) Die Zentrifuge wird nach dem Ausschalten gleichmäßig beschleunigt
(verzögert) bis zum Stillstand. Mit den Formeln für die gleichmäßig
beschleunigte Kreisbewegung ergibt sich:
f 0 = 480 Umdrehungen pro Minute = 8 s-1
→ ω0 = 2 ⋅ π ⋅ f 0
ω = α ⋅ t + ω0
α
ϕ = ⋅ t 2 + ω0 ⋅ t
2
Setzen wir konkret unsere Verzögerungszeit tb = 10 s ein, folgt
ω
0 = α ⋅ tb + ω0 (Stillstand) → α = − 0
tb
⎛ ω0 ⎞
⎜− ⎟
t
α 2
1
1
ϕb = ⋅ tb + ω0 ⋅ tb = ⎝ b ⎠ ⋅ tb 2 + ω0 ⋅ tb = ⋅ ω0 ⋅ tb = ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ tb = π ⋅ f 0 ⋅ tb
2
2
2
2
Die Zahl der Umdrehungen N ergibt sich aus dem Drehwinkel ϕb = N ⋅ 2π
Also:
ϕb = N ⋅ 2π = π ⋅ f 0 ⋅ tb → N =
f0 ⋅ t
= 40
2
(Eine Umdrehung entspricht einem Drehwinkel von 2π )
2)
3) Es bildet sich ein Kreiskegel aus: V = 1 AG ⋅ h = 1 ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ h
3
3 4
Andererseits gilt für den Grenzfall (maximale Höhe), dass für zusätzliche
Körner die Hangabtriebskraft gleich der Reibungskraft ist. (wie schiefe
Ebene) mit der Konsequenz: μ = tan α = h
d /2
Und weiter ergibt sich:
π
V = ⋅ d 3 ⋅ μ = 52, 4 cm3 = 5, 24 ⋅10−5 m3
24
4) Abbildungsformel und Abbildungsmaßstab ergeben (Bildgröße
x=36mm , da Hochformat, Gegenstandsgröße h=1,75m ist die
Körpergröße der Person):
1 1 1
= +
f b g
Folglich:
b B x
= =
g G h
h
g = f ⋅ (1 + ) = 2, 48 m
x
5) Gleichungen für den schrägen Wurf ansetzen.
Es ergibt sich (wie in der Vorlesung) eine Parabel (Koordinatenursprung
im Startpunkt)
x2
2
y = − g ⋅ 2 + x ⋅ tan(45°)
sin 45° =
= cos 45° schon eingesetzt
v0
2
Die Gleichung für die Hangoberfläche lautet:
x
y = − ( tan β ) ⋅ x = − ( tan 30° ) ⋅ x = −
3
Für beide Gleichungen gibt es außer dem Startpunkt (0,0) einen
weiteren gemeinsamen Punkt (den gesuchten Auftreffpunkt), also:
x2
x
1 ⎞ v0 2
⎛
−g ⋅ 2 + x = −
→ x = ⎜1 +
= 2,57 m → y = −1, 485 m
⎟⋅
v0
3
3⎠ g
⎝
Die gesuchte Weite L am Hang entlang gemessen ergibt sich zu:
L = x 2 + y 2 = 2,97 m
Die Geschwindigkeit kann aus dem Energieerhaltungssatz gewonnen
werden.
E pot1 + Ekin1 = E pot 2 + Ekin 2
m ⋅ g ⋅ y1 +
m 2
m
v0 = m ⋅ g ⋅ y2 + v22 mit y1 = 0 und y2 = −1, 485 m
2
2
v2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ y2 = 6, 72 m/s
6) Die kleine Geschossmasse m (Geschwindigkeit v) stößt vollkommen
unelastisch (Impulserhaltung) mit der Masse M des ball. Pendels
zusammen (gemeinsame Geschwindigkeit direkt nach dem unel. Stoß
vs). Anschließend wird die gesamte gemeinsame kinetische Energie
vollständig in potentielle Energie (bei max. Winkel) umgewandelt
(Energieerhaltung):
⎛ M⎞
m ⋅ v = (m + M ) ⋅ vs (Impulserhaltung) → v = ⎜ 1 + ⎟ ⋅ vs
In Formeln:
( m + M ) ⋅ v 2 = (m + M ) ⋅ g ⋅ Δh (Energiehaltung) → v = 2 ⋅ g ⋅ Δh⎝ m ⎠
s
s
2
Δh ist die senkrechte Höhendifferenz zwischen Ausgangslage und max.
Auslenkung.
l − Δh
Hinzu kommt Geometrie (l = Pendellänge) cos ϕ =
→ Δh = l ⋅ (1 − cos ϕ )
l
M
Insgesamt somit : v = ⎛⎜1 + ⎞⎟ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ l ⋅ (1 − cos ϕ ) = 118,3 m/s
m⎠
⎝
7) Vom System des Autos betrachten (v gehört zur
Winkelgeschwindigkeit des sich drehenden Autos):
v2
FZ = m ⋅ = 140 N
r
Stehen: Æ Zentrifugalkraft
Bewegt sich der Fahrgast relativ zum beschleunigten System, kommt die
Corioliskraft
Aus der Vektorbeziehung
G
G
G hinzu:
FC = 2m ⋅ vrel × ω folgt für die Bewegung in Fahrtrichtung: FGes = FZ + FC
Und entgegen Fahrtrichtung: FGes = FZ − FC
Mit:
v
FC = 2m ⋅ vrel ⋅ ω = 2m ⋅ vrel ⋅ = 22, 4 N folgt:
r
FGes = (140 ± 22) N
8) Zusätzlich zu dem in der Vorlesung Gerechnetem, ist bei der
Energiebetrachtung die Rotationsenergie der der Kugel um ihren
Schwerpunkt zu berücksichtigen. (Kräftegleichgewicht Gewichtskraft
2
und Zentrifugalkraft brachte v = r ⋅ g )
ΔE pot = Ekin + Erot
M 2 JS 2
2
v
M ⋅ g ⋅ z0 =
v + ω mit J S = ⋅ M ⋅ R 2 und ω =
2
2
5
R
7
→ z0 = r = 14 cm
10
1
⎛1
1⎞
9) Einsetzen der Werte in Linsenmacherformel: D = f = (n − 1) ⋅ ⎜ r − r ⎟ = 1,39 dpt
⎝ 1 2⎠
Konkavkonvex Æ beide Radien in gleiche Richtung gewölbt
10) Der parallele Strahl wird im Brennpunkt der Linse gebündelt:
a = 4cm
D
D
D = 7cm
*
D* = 5cm
F
Strahlensatz
D
f −a
=
→ f =
D
f
*
a
f
a
= 14cm
D*
1−
D
11) Nach dem photometrischen Entfernungsgesetz ist mit ϕ = 0 und
r = 60m und Ev = 4lx :
Ev =
I v ⋅ cos ϕ
r2
→ I v = r 2 ⋅ Ev = 14400cd
b) Aus der Definition: Φ v = ∫ I v ⋅ d Ω = I v ⋅ d Ω mit d Ω =
A
π 2
und
A
=
d
r2
4
A ist die Fläche des beleuchteten Kreises (Durchmesser d) im Abstand r.
Der Scheinwerfer strahlt mit Iv in das Raumwinkelelement dΩ, das von
der beleuchteten Fläche und dem Abstand r aufgespannt wird.
Also zusammen:
Φ v = Ev ⋅ A = Ev ⋅
π
4
d 2 =28,3 lm
12) Die Spaltbreite des Gitters ergibt sich zu:
Beugungsmaxima gibt es bei:
sin ϑm =
b=
m⋅λ
b
→ m = 1 ϑ1 = 19, 26° Aus der Geometrie:
→ m = 2 ϑ2 = 41,3°
→ m = 3 ϑ3 = 81, 7°
1mm
560( Striche)
tan ϑm =
ym
x
X .. Abstand Gitter---Schirm, ym .. die gesuchten Abstände von der
optische Achse:
Folglich:
ym = x tan ϑm =
174,7 mm (m=1)
438,8 mm (m=2)
3426,4 mm (m=3)