Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II

Population und Stichprobe
Wahrscheinlichkeitstheorie II
5. Sitzung 18 S. Peter Schmidt 2003
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Stichprobenziehung
als Zufallsexperiment
• Definition Stichprobe:
– Teilmenge der Elemente der Grundgesamtheit
bzw. Population
• Zufallsvariable beim Stichprobenziehen:
– Verteilung der aus der Population gezogenen
Elemente
• Kennwerte der Stichprobe i.a. bekannt
Kennwerte der Population i.a. unbekannt
• Daher:
Schluß von der Stichprobe auf die Population
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Stichprobenziehung
und Urnenmodell
• Ziel: Verallgemeinerung von
Stichprobenergebnissen
• Urnenmodell: „Prototyp“ des
Zufallsexperiments Stichprobenziehung
• Ziehung von n Kugeln aus einer Urne, die N
Kugeln enthält
• Zwei Varianten der Ziehung möglich:
– Einfache Zufallsauswahl ohne Zurücklegen
– Einfache Zufallsauswahl mit Zurücklegen
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Urnenmodell und
Wahrscheinlichkeit
• Annahme: Realisationswahrscheinlichkeiten
sind gleichverteilt
• Folgerung:Die Wahrscheinlichkeit der
Realisation der jeweiligen Ziehung
errechnet sich über:
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Permutation
• Berechnung der Anzahl der
Sortierungsmöglichkeiten der Elemente einer
N Elementigen Menge
N ! wird auch N - Fakultät genannt
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Anzahl Stichproben: ohne
Zurücklegen (ohne Sortierung)
• Wobei N = Anzahl der Kugeln in der
Urne
n = Größe der Stichprobe
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9
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Abbildung aus Kühnel/Krebs, 2001: 138
Anzahl Stichproben:ohne
Zurücklegen (mit Sortierung)
• Wobei N = Anzahl der Kugeln in der
Urne
n = Größe der Stichprobe
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Anzahl Stichproben: mit
Zurücklegen (ohne Sortierung)
• Wobei N = Anzahl der Kugeln in der
Urne
n = Größe der Stichprobe
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Anzahl Stichproben: mit
Zurücklegen (mit Sortierung)
• Wobei N = Anzahl der Kugeln in der
Urne
n = Größe der Stichprobe
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Abbildung aus Kühnel/Krebs, 2001: 145
Zufallsvariable und
Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Definition Zufallsvariable:
– Eine Variable deren Ausprägungen für Ereignisse
eines Zufallsexperiment stehen
• Verteilungen von Zufallsvariablen
– Beziehen sich nicht auf empirische Häufigkeiten,
sondern auf Wahrscheinlichkeiten und sind daher
Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
(Wahrscheinlichkeiten können jedoch auch als
Grenzwerte von Häufigkeiten betrachtet werden)
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Verteilungsfunktionen
von Zufallsvariablen
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen können mit
ähnlichen Methoden wie
Häufigkeitsverteilungen betrachtet werden
• Es besteht die Möglichkeit Quantile ( und
damit den Median) für die Verteilungsfunktion
der Zufallsvariable anzugeben.
• Dies geschieht analog zum Vorgehen bei
Häufigkeitsverteilungen
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Erwartungswert und Varianz
von Zufallsvariablen
• Weitere Kennwerte von
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind
Erwartungswert und Varianz
• Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen
entspricht im Prinzip dem arithmetischen
Mittel einer Häufigkeitsverteilung
• Die Varianz einer Zufallsvariablen ist ebenso
zu interpretieren wie die Varianz von
Häufigkeitsverteilungen
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Erwartungswert
• Beschreibt die mittlere Realisation einer
Zufallsvariablen
Wobei:
µx = Erwartungswert
der Zufallsvariable X
P(X=xk ) = Wahrscheinlichkeit für die
Ausprägung xk der
Zufallsvariablen X
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Varianz einer Zufallsvariablen
• Symbol:
• Beschreibt den Erwartungswert der
quadrierten Abweichungen der Realisationen
vom Erwartungswert der Variablen
• Populationsstandardabweichung:
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Kennwerteverteilungen
• Mit Hilfe der Konzeption der
Stichprobenziehung als Zufallsexperiment
kann die Kluft zwischen (1) empirischen
Kennwerten und (2) Populationskennwerten
überwunden werden:
– Man nimmt an, daß es eine (3) Verteilung von
Stichprobenkennwerten gibt, deren Mittelwert der
Erwartungswert der Zufallsvariablen
„Stichprobenziehung“ ist
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