Skript zum Mathematischen Vorbereitungskurs für das Physikstudium

Mathematischer Vorbereitungskurs
für das Physikstudium
Kurt Bräuer
Institut für Theoretische Physik
Universität Tübingen
Letztes Update: Oktober 2012
Inhalt
1.
Zahlenbereiche ................................................................................................ 1
2.
Koordinaten und Vektoren............................................................................ 15
3.
Grenzwerte, Folgen und Reihen ................................................................... 29
4.
Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen ......................................... 37
5.
Differentialrechnung...................................................................................... 51
6.
Integralrechnung ........................................................................................... 69
7.
Vektorfunktionen und Felder ........................................................................ 82
Lösungen zu den Übungsaufgaben finden Sie unter www.kbraeuer.de bei 'Skripte und Einführungen – Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium …'
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Tübingen, den 13.02.2013
Vorwort
Ziel des Kurses
Der 'Mathematische Vorbereitungskurs zum Studium der Physik' hat in Tübingen eine fast 40jährige Tradition. Er soll den Physikneulingen den Einstieg in das Physikstudium erleichtern,
indem eine mathematische Basis für die integrierten Physikkurse der ersten drei Semester geschaffen wird. Der Kurs umfasst zum Grossteil Inhalte, die vom Abitur her bekannt sein sollten,
jedoch einer Auffrischung bedürfen. Die mathematische Darstellung ist auf einem etwas höheren
Niveau als dem der Schulen gehalten. Sie ist jedoch eher den Bedürfnissen der Physik als dem der
Mathematik angepasst.
Der Kurs hat auch eine wichtige soziale Aufgabe. Die Studenten können sich 10 Tage lang ohne
Leistungsdruck an das Umfeld der Universität gewöhnen und sich gegenseitig kennen lernen. In
den Kursleitern haben Sie Ansprechpartner, die selber mitten im Physikstudium stehen und mit
den Problemen der Studienanfänger bestens vertraut sind.
Geschichte des Skriptes
Das ursprüngliches Skript wurde bereits in den 70'er Jahren von Prof. F. Wahl erstellt und von
Prof. P. Kramer und Prof. H. Sohr weiterentwickelt. Um den Hilfskräften des Instituts für Theoretische Physik die doch immense Mühe des Kopierens von bis zu 300 Exemplaren pro Kurs zu
ersparen, entschlossen wir uns, ein aufgearbeitetes Skript in Buchform zu veröffentlichen. Daraus
entstand die 'Einladung zur Physik – Eine mathematische Einführung und Begleitung zum Studium der Physik und Informatik', erschienen 2002 beim Logos-Verlag Berlin. Eine verbesserte
Neuauflage erschien 2005.
Das Buch geht inhaltlich weit über den Stoff des Vorbereitungskurses hinaus. Es zeichnet sich
vor allem durch umfangreiche Veranschaulichungen und Erklärungen aus, die in den üblichen
Lehrbüchern sehr kurz kommen.
Über das vorliegende Skript
Das neue Skript entstand zum einen aus der Notwendigkeit heraus, den Inhalt des Vorbereitungskurses den gewandelten Bedürfnissen der Integrierten Kurse der ersten Physiksemester und
an den neuen Bachelor-Studiengang anzupassen. Zum anderen erscheint es heute angemessen,
den Studenten ein begleitendes Online-Manuskript anzubieten, das die wesentlichen Lehrinhalte
übersichtlich darstellt. Es beinhaltet im Wesentlichen die Tafelaufschriebe und sollte als Lehrmaterial nur in Verbindung mit dem Kurs oder dem oben erwähnten Lehrbuch 'Einladung zur Physik …' verwendet werden..
An Themen umfasst es Vektoren, Ableiten und Integrieren, was den angehenden Studenten in
Grundzügen bekannt sein sollte und im Studium vorausgesetzt wird. Das letzte Kapitel des
Skripts befasst sich darüber hinaus mit Vektorfunktionen und Feldern, also mit Bahnkurven,
Gradienten, Wegintegralen und ähnlichem. Diese mathematischen Mittel zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge werden im Integrierten Physikkurs I behandelt und in den höheren
Kursen vertieft. Sie stellen im Grunde eine Kombination der Kursthemen Vektoren, Ableiten
und Integrieren dar. So werden am Ende des Vorbereitungskurses die Grundinhalte vertieft und
die Stofffülle des Integrierten Kurses I aufgelockert.
In das vorliegende Skript nicht aufgenommen wurden Themen wie Divergenz, Rotation,
Krummlinige Koordinaten und Matrizenrechnung. Diese spielen im Integrierten Kurses I nicht
wirklich eine Rolle.
Dank
Zu den Vorbereitungskursen der letzten Jahre fanden regelmäßig Besprechungen der Kursleiter
statt, aus denen viele konstruktive Gedanken in das neue Skript eingeflossen sind. All den Kursleitern danke ich für ihre Beiträge.
Tübingen, im Februar 2009
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Tübingen, den 13.02.2013
1
1. Zahlenbereiche
Natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen
Vorbemerkung
Ursprünglich kommt man zu Zahlen und zum Rechnen, indem man Dinge oder Weltinhalte abzählt. Die Anzahl beschreibt man durch Symbole 1, 2, 3,…. Das Abzählen wird dann mehr und
mehr ins Gedankliche verlagert und man stellt sich die abzuzählenden Dinge nur noch vor. So
kommt man etwa zu negativen Zahlen, die die Anzahl fehlender Dinge meinen, oder zu einem
Symbol '0' für das Nichts oder zu '∞', was es in der dinglichen Welt nicht gibt. Das Rechnen wird
mehr und mehr abstrakt und von dem ursprünglichen Abzählen von Dingen entkoppelt. Man hat
reine Symbole und wendet Regeln auf diese an.
Rechnen auf der Basis des Abzählens von Objekten mit natürlichen Zahlen:
Abzählen:
Addieren :
Subtrahieren:
(1-1)
Das Wort 'Welt' hat 4 Buchstaben
'Hallo Welt' hat 5 + 4 = 9 Buchstaben
'Hallo' hat 9 - 4 = 5 Buchstaben
Multiplizieren: 'Hallo Hallo' hat 2 ⋅ 5 = 10 Buchstaben
Teilen:
Halbes Wort 'We' hat 4 / 2 = 2 Buchstaben
Potenzieren:
'Welt Welt Welt Welt' hat 4 ⋅ 4 ≡ 42 = 16 Buchstaben
Radizieren:
'Welt' hat 16 = 4 Buchstaben
Gedanklich kann man mit Zahlen mehr machen, als Dingen abzuzählen:
Subtrahieren: 'We' hat 2-4 = −2 Buchstaben mehr als 'Welt'
Teilen:
'We' hat 2/4=1/2 soviel Buchstaben wie 'Welt'
Radizieren:
Die Zahl 2 multipliziert mit sich selbst ergibt die Anzahl 2
(1-2)
−2, 1/ 2 oder 2 sind keine natürlichen Zahlen, sie symbolisieren nicht die Anzahl existierender, abzählbarer Dinge. Sie sind aber zum Rechnen sehr nützlich.
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Natürlichen Zahlen
Als natürliche Zahlen bezeichnet man die Symbole 1,2,3,… für die entsprechende Anzahl von
Objekten. Man fasst diese Symbole als Elemente einer Menge auf.
Menge der natürlichen Zahlen: ℕ ≡ {1, 2, 3,...}
(1-3)
Ordnungsstrukutur
m und n stehen jeweils für eine natürliche Zahl.
n > m : n symbolisiert eine größer Anzahl von Objekten als m
n < m : n symbolisiert eine kleinere Anzahl von Objekten als m
n ≤ m : n symbolisiert eine kleinere oder gleiche Anzahl von Objekten wie m
(1-4)
n ≥ m : n symbolisiert eine größere oder gleiche Anzahl von Objekten wie m
Grundrechenarten in
ℕ
Man kann zwei Mengen von Dingen zusammenbringen und abzählen oder aus einer Menge einen Teil entfernen. Beim Abzählen von mehreren gleich großen Mengen kann man das Abzählen
vereinfachen.
Addition:
Subtraktion:
für n, m ∈ ℕ ist n + m = k ∈ ℕ
für n > m ∈ ℕ existiert ein k ∈ ℕ, so dass m + k = n
(1-5)
( oder n - m = k ∈ ℕ )
Multiplikation: für n, m ∈ ℕ ist n ⋅ m = k ∈ ℕ
Die Symbole '0' und '∞':
Ein Wort mit Null Buchstaben ist kein Wort! Zum Zählen braucht man keine '0'. Trotzdem ist es
sinnvoll, für das Nichts ein Symbol '0' einzuführen. Ich sage etwa: 'In meinem Geldbeutel sind 0
€', oder 'Die Anzahl von Buchstaben in 'Welt' und 'Ball' unterscheidet sich um 0 Buchstaben.
Zu jeder natürlichen Zahl 'n' gibt es eine größere Zahl, etwa 'm=n+1'. Die Anzahl der Zahlen ist
unbegrenzt. In unserer Welt gibt es jedoch nur endliche viele Dinge, die man abzählen kann.
Beim Rechnen betrachtet man allerdings manchmal Zahlen, die sehr groß sind. Es spielt dann
keine Rolle spielt, ob man noch etwas dazu zählt oder sie multipliziert. Dafür verwendet man das
Symbol '∞'. Dafür gilt etwa
n + ∞ = ∞, oder n ⋅ ∞ = ∞
(1-6)
Das sind nicht mehr die Rechenregeln für Zahlen und somit ist das Symbol ∞ auch keine Zahl.
1. Zahlenbereiche
3
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen erhält man durch die Verallgemeinerung und Abstraktion der Subtraktion.
Man kann aus einem Sack nur so viele Kartoffeln herausnehmen, wie auch drin sind. Man kann
allerdings unter Umständen mehr Geld ausgeben, als man hat.
Subtraktion in ℕ:
für n > m ∈ ℕ existiert ein k ∈ ℕ, so dass m + k = n
Verallgemeinerung:
für alle n, m ∈ ℕ existiert ein k , so dass m + k = n
(1-7)
für n < m ∈ ℕ ist k = n − m ∈ {−1, −2, −3...}
Ganze Zahlen:
ℤ ≡ {..., -2, −1, 0,1, 2,...}
Ordnungsrelationen: die Bedeutung von >, <, ≥, ≤ ergibt sich aus der
Reihenfolge der ganzen Zahlen
 + k , für k > 0
k =
sonst
 −k
-n ist das Symbol für das Fehlen von n Objekten.
Betrag:
Rationale Zahlen
Rationale Zahlen erhält man durch Verallgemeinerung oder Abstraktion des Teilens. Man teilt
einen Kuchen in 5 Stücke und isst davon 2. Diesen Teil des Kuchens kann man durch einen
Bruch beschreiben. Die Menge aller Brüche bilden die rationalen Zahlen.
(1-8)
Zähler
Bruch:
p
, mit p, q ∈ ℤ und q ≠ 0
q
Nenner
Kürzen und Erweitern: für p, q, r , s ∈ ℤ gilt :
weitere Regeln:
Beispiele:
Rationale Zahlen:
p r
= genau dann, wenn p ⋅ s = q ⋅ r
q s
p
0
= p,
=0
1
q
3 6 9 −12 2
,
= = =
=2
2 4 6 −8
1
p

ℚ ≡  , mit q, p ∈ ℤ und q ≠ 0 
q

Rechenregeln:
Zum Abzählen von zwei Stücken eines dreigeteilten Kuchens und einem Stück eines halben Kuchens muss man die einzelnen Stücke weiter teilen und so zu gleichgroßen Stücken kommen.
Man bringt sie auf den Hauptnenner. Die gleich großen Stücke kann man dann zusammenzählen,
also 2/3=4/6 und 1/2=3/6. Zusammen hat man also (4+3)/6=7/6 oder einen ganzen Kuchen
und 1/6 Stück. Ähnlich überlegt man sich das Multiplizieren und Teilen von Brüchen.
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4
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
für p1 , p2, q1 , q2 ∈ ℤ, q1 , q2 ≠ 0 :
Addition, Subtraktion:
p1 p2 p1q2 ± p2 q1
±
=
q1 q2
q1q2
Multiplikation:
p1 p2 p1 ⋅ p2
⋅
=
q1 q2 q1 ⋅ q2
Division:
p1 p2 p1 ⋅ q2
/
=
q1 q2 q1 ⋅ p2
Ordnungsrelation:
 p q ≤ p2 q1 für q1 ⋅ q2 > 0 und
p1 p2
≤
ist gleich  1 2
q1 q2
 p1q2 ≥ p2 q1 für q1 ⋅ q2 < 0
(1-9)
Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
Wir sind gewohnt, rationale Zahlen als Dezimalzahlen darzustellen und zu verwenden. Sie ergeben sich aus der Dezimalbruchzerlegung.
d 0 ∈ ℕ 0 ( Menge der natürlichen Zahlen und der '0')
Mit:

d1, d 2 , d3 ,... ∈ {0,1, 2,...,9}
d
d
d
p
Dezimalbruchzerlegung:
= d 0 + 1 + 2 + 3 + ...
q
10 100 1000
Dezimalzahl:
d 0 , d1d 2 d3 ...
(1-10)
Die Umwandlung eines Bruches in eine Dezimalzahl ist eine der vier Grundrechenarten und wird
als 'Teilen' bezeichnet. Wie die Umwandlung praktisch geschieht, lernt man in der Grundschule.
Beispiele:
(1-11)
1
1
1
= 0,3333... ≡ 0, 3,
= 0, 2000... ≡ 0, 20,
= 0, 090909... ≡ 0, 09
3
5
11
Die Querstriche bezeichnen die Periode, also die ständige Wiederholung derselben Sequenz. Man
kann zeigen, dass alle rationalen Zahlen eine solche Periode haben.
Reelle Zahlen
Zu reellen Zahlen kommt man durch Verallgemeinerung oder Abstraktion des Wurzelziehens aus
positiven rationalen Zahlen.
Für das Symbol q soll gelten: q q = q
Wurzelziehen:
Für Qudaratzahlen oder
p r
gilt p = r ⋅ r und q = s ⋅ s, dann ist
=
q s
Brüchen aus Quadratzahlen:
(1-12)
Im Allgemeinen gibt es für eine Wurzel jedoch keine rationale Zahl. Wir versuchen es mal mit
der Wurzel aus 2. Welche Zahl muss man mit sich selbst multiplizieren, um 2 zu erhalten? Wir
berücksichtigen dabei, dass bei einem geraden Quadrat einer natürlichen Zahl auch die natürliche
Zahl selber gerade ist.
1. Zahlenbereiche
5
für n ∈ ℕ gilt: ist n2 ∈ 2ℕ, dann ist auch n ∈ 2ℕ
Beispiele:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
n
2
n
2
4
1
16
9
36
25
64
49
(1-13)
9
…
…
∈ 2ℕ
81 … ∈ 2ℕ + 1
Damit zeigt man, dass ein Bruch, dessen Quadrat die Zahl 2 ergibt, beliebig oft durch 2 gekürzt
werden könnte. Das ist natürlich Unsinn und bedeutet, dass es diesen Bruch nicht geben kann.
dann wäre
p p
⋅ = 2 ist
q q
p 2 = 2q 2 ∈ 2ℕ ( ≡ Menge der geraden Zahlen )
dann wäre
dann wäre
p ∈ 2ℕ, also p = 2m mit m ∈ ℕ
p 2 = 4m 2 = 2q 2
dann wäre
q 2 = 2m 2 , also q 2 ∈ 2ℕ
Annahmen:
es gäbe p, q ∈ ℕ, so dass
(1-14)
q = 2 n, n ∈ ℕ
p 2m m
=
also:
2= =
q 2n n
m 2r r 2t t
2= =
= =
= = ... ( mit r , s, t , u ∈ ℕ )
Wiederholung:
n 2 s s 2u u
Der Bruch könnte also beliebig oft mit 2 gekürzt werden, was keinen Sinn macht. Eine rationale
Zahl für die Wurzel aus 2 kann nicht existieren. Dieser Beweis stammt von Euklid. Pythagoras
ließ einen Schüler, der dies als erstes herausfand, zum Tod durch Ertränken verurteilen. Er wollte
nicht akzeptieren, dass eine Zahl wie die Wurzel aus 2 keine Entsprechung in der Welt der abzählbaren Dinge hat. Das Wurzelsymbol hat eine ausschließlich gedankliche oder abstrakte Bedeutung.
dann wäre
Zum praktischen Messen und Rechnen verwenden wir in der Regel Zahlen in der Dezimaldarstellung mit einer endlichen Anzahl von Stellen hinter dem Komma. Sie haben die Periode '0'
und gehören damit zu den rationalen Zahlen. Eine Bruchdarstellung lässt sich leicht angeben:
75 25 ⋅ 3 3
=
=
100 25 ⋅ 4 4
31415 6283
oder: 3.1415=
=
10000 2000
Wir ziehen die Dezimaldarstellung zur Definition der reellen Zahlen heran.
etwa: 0.75=
Die Menge der reelle Zahlen ℝ umfasst alle 'Zahlen' mit
(1-15)
(1-16)
einer Dezimaldarstellung, auch solche ohne Periode
Die Menge der reellen Zahlen umfasst also auch 'Zahlen' die nicht wirklich zählen. Wir haben
damit einen Begriff für etwas geschaffen, der in der dinglichen Welt keine Entsprechung hat. In
Mathematik und Physik sind die reellen Zahlen jedoch unverzichtbar. Sie führen allerdings zu
einem, wie Goethe es ausgedrückt hat, naturwissenschaftlichen Illusionismus.
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Reelle Zahlen dienen etwa als Koordinaten zur Beschreibung von Raum- und Zeitpunkten. Mathematisch wird so eine absolute Raum-Zeit konstruiert und wir glauben heute, in einer solchen
Raum-Zeit zu existieren. Tatsächlich ist eine solche Raumzeit nicht mit Messungen der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Bezugssystemen verträglich. In der Einsteinschen Relativitätstheorie findet man daher, dass diese absolute Raum-Zeit nicht wirklich existiert. Raum und Zeit sind
nur als relative Bezüge zwischen Objekten sinnvoll.
Bahnkurven sind die Grundlage der gesamten klassischen Physik. Tatsächlich ist jedoch weder
die genaue Position eines Objektes noch seine genaue Geschwindigkeit messbar. Bahnkurven
sind reine Vorstellungen. Das wird bereits in der Chaostheorie deutlich, wo sensible Zusammenhänge untersucht werden. Theoretisch kommt es dann auf alle unendlich vielen Stellen einer Positionsangabe an. Hier müssen Bahnkurven durch Attraktoren ersetzt und die Idee langfristiger
Vorhersage eines Systemverhaltens, etwa beim Wetter, aufgegeben werden.
In der Quantenmechanik behandelt man dann die Ungenauigkeit oder Unschärfe von Positionsund Geschwindigkeitsangaben statistisch. Die Ausbreitung von Wirkungen wird durch einen
Wahrscheinlichkeitsstrom beschrieben. Dadurch werde die Atome erklärt. Das Plancksche Wirkungsquantum, eine der wenigen Konstanten der Physik, gibt die minimale Unschärfe der Wirkungen an.
Die Verwendung der reellen Zahlen zur Naturbeschreibung schafft also zunächst die Illusion
einer absoluten und berechenbaren materiellen Welt in Raum und Zeit als Grundlage unserer
Existenz. In der gibt es keine Möglichkeit für Spiritualität. Die moderne Physik überwindet diese
Illusion und öffnet unser Weltbild hin zum Unbegreiflichen.
Die Zahlengerade
Aus mathematisch praktischen Gründen ordnet man gedanklich jeder reellen Zahl einen Punkt
auf einer Geraden zu. Man kann das veranschaulichen, indem man Punkte auf eine Gerade einträgt. Praktisch kann man die Punkte wegen ihrer Ausdehnung allerdings nur sehr grob setzen.
Wir konstruieren diese Zahlengerade so:
Start:
Markierung zweier beliebiger Punkte als 0 und 1
Natürliche Zahlen: Vervielfachung der Strecke 01 → 1, 2,3, 4,5,...
Ganze Zahlen:
Spiegelung der Punkte 1, 2,3, 4,5,... an '0' → -1,-2,-3,-4,-5,...
Rationale Zahlen:
q ' ter Teil von 01 wir p mal abgetragen →
Reelle Zahlen:
Annäherung durch rationale Zahlen
p
q
(1-17)
1. Zahlenbereiche
7
Abbildung 1-1: Zahlengerade mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen
Komplexe Zahlen
Komplexen Zahlen erhält man durch Verallgemeinerung und Abstraktion des Wurzelziehens.
Wurzeln
Eine reelle Zahl a bezeichnet man als Wurzel aus x, wenn a mit sich selbst multipliziert die Zahl x
ergibt.
a = x , wenn
(1-18)
a2 = x
offensichtlich: x > 0
Hat man fünf mal fünf Äpfel, so sind das 25 Äpfel. Auf keinen Fall fehlen dann Äpfel. Die Wurzel macht zunächst nur für positive Zahlen x einen Sinn.
Die imaginäre Einheit 'i'
In der Welt der abzählbaren Dinge kann man die Wurzel nur aus positiven Zahlen ziehen. Beim
Rechnen mit quadratischen Gleichungen stößt man jedoch auch auf Wurzeln aus negativen Zahlen.
Beispiel: x 2 − 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ±1
aber
x 2 + 1 = 0 → x 2 = −1 → ?
(1-19)
In letzterer Gleichung kann x mit nichts aus der Welt der abzählbaren Dinge in Zusammenhang
gebracht werden, es handelt sich um etwas Imaginäres. Man führt daher die imaginäre Einheit i
ein:
Definition: x 2 = −1 → x = ±i
mit
i 2 = −1
(1-20)
Damit kann man ganz allgemein mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnen. Eine 'Imagination'
dazu entwickeln wir mit Hilfe der komplexen Zahlenebene im nächsten Abschnitt. Beim Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen muss man jedoch vorsichtig sein!
Beispiel:
− 1 ⋅ − 4 = i 2 ⋅ 4 = − 2,
(
− 1 ⋅ −4 =
( − 1) ⋅ ( − 4 ) =
4=2
)
(1-21)
Mit der imaginären Einheit i definiert man nun die
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Menge der komplexe Zahlen ℂ ≡ { z = a + ib, mit a, b ∈ ℝ}
(1-22)
a : Realteil von z
b : Imaginärteil von z
Rechenregeln
Addition:
Subtraktion:
z1 ± z2 = ( a1 + ib1 ) ± ( a2 + ib2 ) = ( a1 ± a2 ) + i ( b1 ± b2 ) = z
=a
(1-23)
=b
Multiplikation: z1 ⋅ z2 = ( a1 + ib1 ) ⋅ ( a2 + ib2 ) = a1a2 − b1b2 + i ( a1b2 + a2b1 ) = z
=a
Division:
z1
a + ib1 a1 + ib1
= 1
=
z2 a2 + ib2 a2 + ib2
z2 ≠ 0!
⋅
=b
a b −ab
a2 − ib2 a1a2 + b1b2
= 2
+ i 2 21 12 2 = z
2
a2 − ib2
a2 + b2
a2 + b2
=1
=a
=b
Beispiele:
(1 − i ) = 1 − i 1
1
−i
1
=
= −i,
=
i i ⋅ ( −i )
1 + i (1 + i ) ⋅ (1 − i ) 2 2
(1-24)
Die komplexe Zahlenebene
Zur Veranschaulichung ordnen wir gedanklich jeder komplexen Zahl z=a+ib einen Punkt in der
Ebene zu.
Abbildung 1-2: Die komplexe Zahlenebene
Die komplexe Zahlenebene wird auch als Gaußsche Zahlenebene bezeichnet. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen sind in dieser Zahlenebene einfach das aneinanderfügen der parallelverschobenen Pfeile (Vektoren).
1. Zahlenbereiche
9
Abbildung 1-3: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Komplexkonjugation
Die Komplexkonjugation ändert das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexen Zahl:
(1-25)
Komplexkonjugation: für z = a + ib ist z = a − ib
In der Gaußschen Zahlenebene wird die komplexe Zahl so an der reellen Achse gespiegelt.
Abbildung 1-4: Komplexkonjugation und Betrag komplexer Zahlen, veranschaulicht in der Gaußschen Zahlenebene.
Der Absolutbetrag komplexer Zahlen
Mit der Komplexkonjugation lässt sich die Länge oder der Betrag einer komplexen Zahl elegant
angeben:
für
z = a + ib
ist der Betrag:
z ≡ a 2 + b2 =
(1-26)
( a + ib)( a − ib ) =
zz
Die Interpretation des Betrages als Länge des Pfeils in der Gaußschen Zahlenebene ergibt sich
nach dem Satz von Pythagoras (|z|2=a2+b2).
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Das Argument komplexer Zahlen
In der Gaußschen Zahlenebene kann eine komplexe Zahl durch Betrag |z| und Winkel zur reellen Achse oder Argument α dargestellt werden:
Abbildung 1-5: Darstellung einer komplexen Zahl durch Betrag |z| und Argument α
cos α = x / z
mit 
sin α = y / z
ist z = x + iy = z cos α + i z sin α = z ( cos α + i sin α )
(1-27)
Der Winkel α ist nur bis auf ein Vielfaches von 2̟ festgelegt. Man definiert daher den Hauptwert
von z:
Hauptwert: Arg z ∈ (−π , π ]
Argument: α = Arg z + 2nπ , n ∈ ℤ
Abbildung 1-6: Argument der komplexen Zahl z
(1-28)
1. Zahlenbereiche
11
Die Eulersche Formel
Wir betrachten die komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene, also
die komplexen Zahlen vom Betrag 1.
Einheitskreis:
zˆ ≡ cos α + i sin α ,
( zˆ = 1)
(1-29)
zˆ α = 0 = cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) = 1
zˆ für α = 0
=1
=0
dzˆ
= − sin α + i cos α = i ( cos α + i sin α ) = izˆ
dα
d n zˆ
n'te Ableitung:
= i n zˆ
n
dα
Vergleiche:
eiα
= e0 = 1
1. Ableitung:
α =0
iα
de
= ieiα
dα
d n eiα
n'te Ableitung:
= i n eiα
n
dα
Wie sich mit dem Satz von Taylor (Kapitel 5) auch streng beweisen lässt, sind zwei Funktionen
identisch, wenn ihre Ableitungen überall gleich sind und wenn sie an einer Stelle denselben Funktionswert haben. Damit lassen sich zum Beispiel trigonometrische Formeln sehr elegant herleiten:
1. Ableitung:
Eulersche Formel:
Moivresche Formel:
eiα = cos α + i sin α
(
)
e
i α +β
=
=
cos (α + β ) + i sin (α + β )
iα
e
(1-30)
⋅
iβ
e
=
=
cosα + i sin α cos β + i sin β
Realteil:
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

Imaginärteil: sin (α + β ) = cos α sin β + sin α cos β
also:
Exponentialschreibweise komplexer Zahlen
z = z ( cos α + i sin α ) = z eiα = z eiArg z
(1-31)
Damit lässt sich zum Beispiel die Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der Gaußschen
Zahlenebene veranschaulichen.
 z1 = z1 eiα1
komplexe Zahlen: 
iα 2
 z2 = z2 e
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(1-32)
Produkt:
z ≡ z1 ⋅ z2 = z1 eiα1 z2 eiα 2 = z1 z2 e (
i α1 +α 2 )
also:
 z = z1 z2

α = α1 + α 2
speziell:
zz = z
2
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Übungsbeispiele
Bestimmen Sie die Dezimalzahlen:
7
1. zu r = und
8
2
2. zu r =
7
(1-33)
(Die nächste Aufgabe kann im MVK ausgelassen werden)
3. Die Umwandlung einer Dezimalzahl in
eine rationale Zahl kann durch die
r = d1 +
d2 +
'continued fraction representation' erfolgen:
(1-34)
1
, di ∈ ℕ
1
1
...
d4
d3 +
r3 ≡
1
1
= − d3
d 4 + r4 r2
r2 ≡
1
1
= − d2
d3 + r3 r1
r1 ≡ r − d1 =
Zum Beispiel ist für die Zahl r = 3.245:
1
1
1
r1 = r − d1 =
r2 =
− d2 =
d +r
r d +r
3.245
2
3
4
1
2
33
0.245=
also:
r = 3+
1
4.082
1
4+
1
1
12 +
4
49 649
= 3+
=
200 200
4.082
= 3+
0.082 =
1
4+
4
⋅12 + 1
4
= 3+
1
1
1
− d3 =
r3 = − d 3 = 0
r d 4 + r4
r 2 12 2 4
r3 =
12.25
1
12.25
1
4+
1
d 2 + r2
4
49
0.25 =
= 3+
1
4
4
49
49
= 3+
4 ⋅ 49 + 4
4
⋅ 49 + 4
160 + 36
=196
48
Führen Sie das Verfahren für die Zahl r = 0.5 durch. Verwenden Sie dabei
1
= 1.8 und
0.5
1
= 1.25. Können Sie für diesen Fall einen direkteren Weg zum Ergebnis angeben?
0.8
4. Bestimmen Sie für die komplexe Zahl z = 3 + i die Inverse, das Quadrat, das Absolut 1  π
quadrat und die Exponentialdarstellung. Es ist arctan 
= .
 3 6
(1-35)
1. Zahlenbereiche
13
5. Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + i das Produkt z1 z2 und den
Quotient
(1-36)
z1
.
z2
6. Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Exponentialform an:
(1-37)
a) 2i, b) −1 − i, c) 3 − i 3
7. Welche reellen und komplexen Lösungen hat
(1-38)
a) z = 81, b) z = 3 − i 3 c) z − 2iz + 3 = 0
4
3
2
Zeigen Sie:
8. ( cos x + i sin x )3 = cos 3x + i sin 3x
9.
(1-39)

eix + e − ix
cos x =
2

ix
− ix
sin x = e − e

2i
10. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos ( ∢ ( b, c ) ) ,
( Kosinussatz )
mit Hilfe komplexer Zahlen
( Betrachten Sie für z = be
1
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iα1
, z2 = ceiα 2 , z = aeiα ≡ ( z1 − z2 ) den Ausdruck für z
2
)
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2. Koordinaten und Vektoren
Messgrößen in der Physik
Messen geschieht zunächst durch Vergleich mit einem Maßstab. Messbare Grundgrößen der
klassischen Mechanik sind räumliche Abstände, zeitliche Abstände und Kräfte.
Interessant ist, dass auch zeitliche Abstände und Kräfte zunächst über Ortsmessungen durchgeführt werden (Lauf der Gestirne, Sanduhr, Pendeluhr, Quarzuhr, Federwaage,…).
Andere physikalische Größen werden indirekt gemessen (Geschwindigkeit, Ladung, Massen, …).
Strom oder Spannung misst man beim Spuleninstrument auch über räumliche Lageveränderung
des Zeigers.
Raumerfahrung und Objektivierung des Raumes
Raum ist Grundlage unserer bewussten Welterfahrung. Alle Bewusstseinsinhalte sind räumlich,
also nebeneinander, hintereinander oder übereinander angeordnet. Das Raumerleben hat sich
beim Menschen in den letzten paar tausend Jahren entwickelt und diese Entwicklung durchläuft
jeder Mensch beim Erwachsenwerden aufs Neue.
Die Raumerfahrung wird mit Hilfe von Maßstäben objektiviert, etwa mit einem Meterstab oder
Lineal. Man misst Abstände durch Vergleich mit dem Maßstab. Maßstäbe bilden die Basis der
Raumbeschreibung. Abstände werden mit reellen Zahlen in Form von Koordinaten mit Bezug
auf einen Maßstab oder die Basis angegeben.
1. Stufe der Raumerfahrung (Kleinkind)
Topologie (Nachbarschaft: neben- hinter- übereinander).
2. Stufe der Raumerfahrung (Schulkind)
Objektivierung der Raumerfahrung durch Messung:
Maßstab e :
( beliebiges Objekt, Lineal ) 

Koordinate x : Strecke L = x ⋅ e

(2-1)
3. Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener)
3-dimensionaler, relativer Raum:
Richtungsmaßstäbe ( Basis ) eˆx , eˆ y , eˆz : 3D-Bezug zwischen zwei Punkten P1 , P2 :
( P1 , P2 )

Koordinaten x, y , z :
R
= xeˆx + yeˆ y + zeˆz

(2-2)
Die Richtungsmaßstäbe im mehrdimensionalen Raum bezeichnet man als Basisvektoren, die
Überlagerung zur Beschreibung räumlicher Beziehung zweier Punkte als Vektoren. Wir kennzeichnen Basisvektoren durch ein '^' und Vektoren durch einen Pfeil.
4.Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener)
3-dimensionaler, absoluter Raum (Raum als unabhängiger Behälter für Objekte, Raum wird selbst
zum Objekt):
Richtungsmaßstäbe ( Basis ) eˆx , eˆy , eˆz :
 Absoluter Punkt im Raum:
Koordinaten x, y , z :
 ( P ,O )
= xeˆx + yeˆ y + zeˆz
 P≡R
Bezugspunkt O :

(2-3)
16
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Koordinantensysteme und objektiver Raum
Basis, Koordinaten und Bezugspunkt oder Ursprung bilden ein Koordinatensystem. Damit kann
man räumliche Bezüge quantifizieren und in Diagramme eintragen. So entsteht ein objektives
Bild räumlicher Bezüge. Raum ist selber zum Objekt geworden. Wir erleben eine objektive Welt
in einem objektiven Raum.
Abbildung 2-1: Punkt P im absoluten Raum, dargestellt mit Basisvektoren e und Koordinaten x, y, z.
Vektoren
P ,P
R ( 1 2 ) beschreibt die räumliche Beziehung zwischen den Punkten P1 und P2 mit Hilfe einer Basis
und Koordinaten. Konstruktionen wie R ( P1 , P2 ) nennt man Vektoren. Wie wir gleich sehen werden, kann man verschiedene Vektoren miteinander addieren oder mit einer Zahl multiplizieren.
Die Wahl des Koordinatensystems ist willkürlich. Die räumliche Beziehung zwischen den Punkten hängt jedoch von dieser Wahl nicht ab. Wie wir später sehen werden, ergeben sich daraus
konkrete Transformationsgleichungen für den Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem
anderen.
Für eine kompaktere Schreibweise ersetzt man x , y , z gerne durch x1 , x2 , x3 oder durch
xi , i ∈ {1, 2,3} .
3
P ,P
R ( 1 2 ) = xeˆx + yeˆ y + zeˆz ≙ x1eˆ1 + x2 eˆ2 + x3eˆ3 = ∑ xi eˆi .
i =1
(2-4)
entspricht
Es ist oft nicht nötig, die Basisvektoren mit aufzuschreiben, man definiert
Spalenvektor
x
 
ˆ
ˆ
ˆ
Koordinatentripels:
 y  ≡ xex + yey + zez
z
 
Zeilenvektor
oder
( x, y, z ) ≡ xeˆx + yeˆy + zeˆz
Damit kann man etwa schreiben
(2-5)
2. Koordinaten und Vektoren
17
eˆx = (1, 0, 0 ) , eˆy = ( 0,1, 0 ) , eˆz = ( 0, 0,1)
(2-6)
Rechenregeln:
Alle Regeln folgen unmittelbar aus der Bedeutung von Koordinaten als Skalierung des Maßsstabes.
Addition
für a ≡ ( a1 , a2 , a3 ) , b ≡ ( b1 , b2 , b3 ) , c ≡ ( c1 , c2 , c3 ) :
Addition:
a + b = ( a1 + b1 ) eˆ1 + ( a2 + b2 ) eˆ2 + ( a3 + b3 ) eˆ3
(2-7)
= ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
Subtraktion:
a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 )
Kommutativgesetz: a + b = b + a
Assoziativgesetz:
a +b +c = a + b +c
(
)
(
)
Abbildung 2-2: Veranschaulichung der Addition und Subtraktion, des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes
Multiplikation mit Skalar
Multiplikation mit Skalar: λ a ≡ ( λ a1 , λ a2 , λ a3 ) ;
Distributivgesetz:
λ a + b = λ a + λb ;
Assoziativgesetz:
( λµ ) a = λ ( µ a ) .
(
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(2-8)
)
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18
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Abbildung 2-3: Veranschaulichung der Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar
Inneres Produkt oder Skalarprodukt
Die Basisrichtungen sollen unabhängig voneinander sein, was durch ein so genanntes inneres
Produkt ausgedrückt werden kann.
Inneres Produkt oder Skalarprodukt:
1 für i = j;
= δ ij ≡ 
0 für i ≠ j.
Inneres Produkt
eˆi ⋅ eˆ j
oder
Skalarprodukt
(2-9)
Kroneckersches -Deltasymbol
Skalarprodukt zwischen Vektoren:
Das Skalarprodukt '⋅' für die Basisvektoren in (2-9) führt unmittelbar auf das Skalarprodukt zwischen Vektoren.
(2-10)
Skalarprodukt: a ⋅ b = ( a1eˆ1 + a2 eˆ2 + a3eˆ3 ) ⋅ ( b1eˆ1 + b2 eˆ2 + b3eˆ3 )
=
3
∑ ab
i , j =1
i
j
eˆi ⋅ eˆ j
δ ij
= a1b1 eˆ1 ⋅ eˆ1 + a1b2 eˆ1 ⋅ eˆ2 + … a3b2 eˆ3 ⋅ eˆ2 + a3b3 eˆ3 ⋅ eˆ3
1
0
0
1
3
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑ ai bi
i =1
Länge eines Vektors:
Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich, dass das Quadrat der Länge eines Vektors die Summe
über die Koordinatenquadrate ist. Wir definieren daher
2. Koordinaten und Vektoren
Länge des Vektors r : r ≡ r ≡ r ⋅ r =
19
(2-11)
3
∑ xi2 = x 2 + y 2 + z 2
i =1
Abbildung 2-4: Länge eines Vektors nach dem pythagoreischen Lehrsatz.
Interpretation des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren:
Projektion auf x-Achse:
a ⋅ eˆx = ax = a cos α ;
(2-12)
a
Projektion auf den speziellen Vektor b ≡ beˆx : a ⋅ ( beˆx ) = ab cos α ;
b
Unabhängig vom Koordinatensystem:
a ⋅ b = ab cos α .
In (2-12) haben wir eine sehr interessante Verallgemeinerung vorgenommen. Im mittleren Ausdruck stehen Größen die weder von den Basis-Vektoren noch den Koordinaten abhängen, also
Vektoren, Längen und Winkel. Der Ausdruck muss also ganz allgemein gelten, obwohl er für den
speziellen Vektor b = beˆx formuliert wurde. Diese Methode wird in der Physik oft angewendet.
Man kann zur Ableitung allgemeiner Zusammenhänge spezielle Basisvektoren wählen, mit denen
die Ableitung besonders einfach ist. Den Zusammenhang zwischen verschiedenen Koordinatensystemen mit verschiedenen Basisvektoren schauen wir uns gleich noch genauer an.
Abbildung 2-5: Skalarprodukt als Produkt der Vektorenlängen und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
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20
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Rechenregeln für das Skalarprodukt
(
)
( )
Multiplikation mit Skalar: λ a ⋅ b = ( λ a ) ⋅ b = a ⋅ λ b
λ
a
b
(
)
∑ i i
λ ∑ ai bi
∑ ai ( λbi )
Kommutativgesetz:
a
⋅ b = b
⋅a
∑ ai bi ∑ bi ai
Distributivgesetz:
a + b ⋅ c = a
⋅ c + b
⋅c
∑ ai ci ∑ bi ci
∑ ( ai +bi )ci
(
(2-13)
)
Einheitsvektoren
Die Grundeinheiten des Koordinatensystems (2-3) sind durch die Basis bzw. die Richtungsmaßstäbe eˆi gegeben. Wir können sie als Vektoren der Länge 1 auffassen. Das ist ja eine wesentliche
Grundlage des Skalarproduktes in (2-9). Jeder beliebige Vektor r kann nun auf die Länge 1 'normiert' werden und wird dann bezeichnet als
r
rˆ ≡ =
r
Einheitsvektor:
(2-14)
∑ eˆ x
i i
i
∑x
2
i
i
insbesondere gilt: rˆ = rˆ ⋅ rˆ = 1
und
rˆ ⋅ r = r
2
Basistransformationen
Die Basisvektoren werden willkürlich ausgewählt. Man kann ganz andere Richtungen wählen, was
jedoch die durch sie beschriebenen räumlichen Beziehungen nicht beeinflusst. Man sagt, ein Vektor hat verschiedene Darstellungen. Da alle Darstellungen jedoch denselben Vektor meinen, gibt
es eine Beziehung oder Transformation zwischen ihnen, die so genannten Basistransformationen.
(2-15)
R = xeˆx + yeˆy + zeˆz
=
x′eˆ′x + y′eˆ′y + z ′eˆ′z =
R′
Gleichheit von übliche Schreibweise
ursprüngliches
Koordinatensystem
transformierter
Koordinatensystem
Vektoren, nicht
von Zahlen!
für Vektor in
transformierter Basis
Obwohl ein Vektor unabhängig von der Basis ist, kennzeichnet man ihn in der transformierten
Basis aus praktischen Gründen doch gerne mit einem Strich.
In der transformierten Basis müssen die Richtungen wieder unabhängig voneinander sein. Dies
schränkt die möglichen Transformationen ein.
Basistransformation:
(2-16)
3
eˆi′ = ∑ Tik eˆk
k =1
Bedingung:
also:
δ ij = eˆi′ ⋅ eˆ j′ =
3
∑T T
k =1
ik
jk
= δ ij
3
∑ Tik eˆk ⋅ T jl eˆl =
k ,l =1
3
3
ˆk ⋅ eˆl T jl = ∑ Tik T jk
∑ Tik e
k ,l =1
k =1
=δ kl
2. Koordinaten und Vektoren
21
T beschreibt eine so genannte Basistransformation, genau dann, wenn die untere Gleichung von
(2-16) erfüllt ist.
Daraus ergibt sich auch, wie die Koordinaten transformiert werden müssen.
3
3
(2-17)
3
!
xi′ eˆi′ = ∑ xi′Tik eˆk =
∑
∑ xk eˆk
Forderung k =1
i =1
i , k =1
3
= ∑ Tik eˆk
aus:
k =1
3
xk = ∑ xi′Tik
folgt:
i =1
3
3
3
3
3
oder umgekehrt: x′j = ∑ xi′ δ ij = ∑ xi′Tik T jk = ∑ T jk ∑ xi′Tik = ∑ T jk xk
i =1
i , k =1
k =1
i =1
k =1
3
xk
∑ Tik T jk
k =1
Beispiel: Austausch zweier Achsen
Transformationsmatrix:
1 für ( i, j ) ∈ {(1, 2 ) , ( 2,1) , ( 3, 3)}
Tij = 
0 sonst
(2-18)
 3
 ∑ T1 jT j1 = 0 + 1 + 0 = 1,
 j =1
 3
 ∑ T2 jT j 2 = 1 + 0 + 0 = 1,
 j =1
 3
 T T = 0 + 0 + 1 = 1,
3 j j3
∑
j =1
 3
3
 T T = T T = ... = 0
∑
∑
j
j
1
2
1 j j3
 j =1
j =1

Transformierte Koordinaten:  x1′ = 0 ⋅ x1 + T12 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = x2

 x2′ = T21 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = x1
 x′ = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x + T ⋅ x = x
1
2
33
3
3
 3
Zur Übung können wir noch überprüfen, dass das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren tatsächlich nicht von der Basis abhängt.
Bedingung für Basis-Tranf.
3
a′ ⋅ b′ = ∑ a′j b′j =
j =1
3
∑T
j , k ,l =1
jk
ak T jl bl =
3
3
∑ab
k ,l =1
k l
∑T
T jl
j =1
jk
3
= ∑ ak bk = a ⋅ b
(2-19)
k =1
δ kl
( Transformationsbedingung )
Für das Skalarprodukt ist es also egal, welche Basis man wählt, wenn nur die Transformationsbedingung (2-16) erfüllt ist. Wir sehen somit, dass die Länge eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren wirklich nicht vom Koordinatensystem abhängen.
Kreuzprodukt oder Vektorprodukt
Neben der Abbildung zweier Vektoren auf einen Skalar oder eine Zahl mit dem inneren Produkt
kann man noch ein weiteres Produkt für Vektoren definieren, das aus zwei Vektoren einen
macht, das Kreuz- oder Vektorprodukt.
Hilfsgröße:
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22
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Antisymmetrischer Fundamentaltensor oder Levi-Civita-Tensor:
ε ijk
1 für ijk zyklisch (123,231,312 ) ;

= -1 für ijk antizyklisch ( 321,213,132 ) ;

0 sonst;
also ε ijk = −ε jik ( antisymmetrisch )
(2-20)
und ε iik = −ε iik = 0.
Kreuzprodukt für Basisvektoren:
(2-21)
3
Definition: eˆi × eˆ j ≡ ∑ ε ijk eˆk
k =1
z.B.:
eˆx × eˆy = eˆz , eˆy × eˆz = eˆx , eˆx × eˆz = −eˆy , eˆx × eˆx = 0
Symmterie:
eˆi × eˆ j = −eˆ j × eˆi
( antisymmetrisch )
(2-22)
Abbildung 2-6: Symmetrie des Kreuzproduktes. Austausch der Faktoren führt zu Vorzeichenwechsel des
Ergebnisses (antysimmetrisch)
Kreuzprodukt zwischen Vektoren:
Aus dem Kreuzprodukt zwischen den Basisvektoren ergibt sich sofort das
2. Koordinaten und Vektoren
23
Kreuzprodukt: a ×b =
3
3
∑ a eˆ × b eˆ = ∑ a b
i , j =1
i i
j
j
i
i , j =1
(2-23)
3
ˆ ˆ
ˆ
j ei × e j = ∑ ε ijk ai b j ek
i , j ,k =1
ε ijk eˆk
= ( a y bz − az by ) eˆx + ( az bx − ax bz ) eˆy + ( ax by − a y bx ) eˆz
 a y bz − az by 


=  az bx − ax bz 
a b −a b 
y x 
 x y
Interpretation des Kreuzproduktes
Betrag:
( a × b )
2
∑ (ε
=
i , j , k , m , n ,o
=
ijk
aib j eˆk ) ⋅ ( ε mno ambn eˆo ) =
δ ko
3
∑
(2-24)
ai amb j bnε ijk ε mno eˆk ⋅ eˆo
i , j ,k ,m,n,o
∑
∑ε
ai am b j bn
= ∑ ( ai ai b j b j −
i, j
ε
ijk mnk
k =1
i , j ,m,n
a
δ imδ jn −δ inδ jm
2
b
2
( zykl .− zykl . ( zykl .− antiz .
antizykl .− antiz .) antiz .− zykl .)
(
ai bi a j b j
( )
)
2
2
a ⋅b = a 2 b 2 ( cos α )
)
= a 2b 2 1 − ( cos α )
2
( sin α )2
also:
für α ∈ [ 0,π ]
a × b = a b sin α
Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht also genau Inhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Richtung:
c = a ×b ⊥ a, b
(2-25)
steht senkrecht auf
da:
∑ a eˆ ⋅ ε
a ⋅c =
i i
jkl
a j bk eˆl
i , j , k ,l
= ∑ ai a j bk ε ijk
i , j ,k
= ∑ − a j ai bk ε jik
i , j ,k
also
=
∑ −a a b ε
ε ijk =− ε jik i , j , k
=
i
j k
jik
∑ −a a b ε
i
j k ijk
Umbenennung i , j , k
i → j , j →i
a
⋅ c = −a ⋅ c = 0
x =− x ⇒
x =0
a ⋅ c = ac cos α = 0, α = π / 2 ( rechter Winkel )
analog: b ⋅ c = 0
Das Kreuzprodukt steht also senkrecht auf dem durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramm.
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24
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Abbildung 2-7: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a,b bildet einen Vektor c, der senkrecht auf dem durch a
und b aufgespannten Parallelogramm steht und dessen Länge dem aufgespannten Flächeninhalt entspricht.
Das Spatprodukt gibt den Inhalt des durch die Vektoren a,b und c aufgespannten Spatkristalls an
Spatprodukt
Volumen des Spatkristalls:
V
Volumen
= F h ;
(2-26)
Fläche Höhe
a × b = Feˆz ;
eˆz ⋅ c = h;
V a , b , c = Fh = Feˆz ⋅ c = a × b ⋅ c .
'Orientierte Fläche':
Höhe:
(
Volumen=Spatprodukt:
)
(
)
Hinweis: Das Koordinatensystem wurde so gewählt, dass die Fläche in der x-y-Ebene liegt und
damit der Vektor c in z-Richtung zeigt.
Rechenregeln für das Kreuzprodukt
(
)
( )
Multiplikation mit Skalar: λ a × b = ( λ a ) × b = a × λ b
ˆ
ε
λ
a
b
e
(
)
∑ ijk i j k ∑ ε ijk ai ( λb j )eˆk
λ ∑ ε ijk ai b j eˆk
i , j ,k
i , j ,k
i , j ,k
Antisymmetrie:
a
×b = −
×
a
( Kommutativgesetz gilt nicht!)
b
∑ ε ijk ai b j eˆk ∑ − ε jik b j ai eˆk
i , j ,k
Distributivgesetz:
(
(2-27)
i , j ,k
)
wegen ε ijk = -ε jik
a + b × c = a
× c + b
×c
∑ ε ijk ai c j eˆk ∑ ε ijk bi c j eˆk
i , j ,k
∑ ε ijk ( ai +bi )c j eˆk i , j ,k
i , j ,k
Geraden und Ebenen im Raum
Vorausgehend haben wir die räumliche Beziehung zwischen zwei Punkten bzw. zwischen einem
Bezugspunkt und einem weiteren Punkt durch Vektoren beschrieben.
Wir beschreiben nun eine gerade Linie oder ein Geradenstück, die oder das zwei vorgegeben
Punkte a und b verbindet:
2. Koordinaten und Vektoren
25
{
(
}
)
Gerade Linie ( Geradenstück ) : L ≡ x = a + λ b − a , mit λ ∈ [ 0,1]
also:
 x = a für λ = 0
  x = b für λ = 1
(2-28)
Diese gerade Linie kann man gedanklich nach beiden Seiten gerade verlängern und kommt zur
(2-29)
Geraden G ≡ x = a + λ b − a , mit λ ∈ ℝ
{
(
}
)
In einer genialen Vereinfachung der Verhältnisse kann man mit so einer Geraden zum Beispiel
die Bewegung eines Objektes im kräftefreien Raum beschreiben. Messen kann man so eine Gerade jedoch nur näherungsweise! Genau genommen findet man solche Geraden in der Körperwelt nicht.
Abbildung 2-8: Gerade G, aufgespannt durch zwei Vektoren im Raum
Durch einen weiteren Punkt c kommt man zu den drei Geradenstücken
{
(
)
}
{
(
)
}
L1 ≡ x = a + λ1 b − a , mit λ1 ∈ [ 0,1]
L2 ≡ { x = a + λ2 ( c − a ) , mit λ2 ∈ [ 0,1]}
L3 ≡ x = b + λ3 c − b , mit λ3 ∈ [ 0,1]
(2-30)
Diese bilden ein Dreieck im Raum. Wir sehen darin eine Fläche oder ein Ebenenstück und erweitern dieses wieder zu einer gedanklich unendlichen
(2-31)
Ebene: E ≡ x = a + λ1 b − a + λ2 ( c − a ) , mit λ1 , λ2 ∈ ℝ
{
(
)
}
Abbildung 2-9: Ebene E, aufgespannt durch drei Vektoren a,b,c im Raum
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26
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Als eine erste Anwendung überlegen wir, wie man den Schnittpunkt einer Geraden mit der Ebene berechnen kann.
(2-32)
Schnittpunkt: S ≡ x = aG + λG bG − aG und x = a + λ1 b − a + λ2 ( c − a )
Bedingung:
aG + λG bG − aG − a − λ1 b − a − λ2 ( c − a ) = 0
 b − a ⋅ a + λ b − a − a − λ b − a − λ ( c − a ) = 0
G
G
G
G
1
2
 G G
Skalare

 b − a ⋅ aG + λG bG − aG − a − λ1 b − a − λ2 ( c − a ) = 0
Gleichungen: 
( c − a ) ⋅ aG + λG bG − aG − a − λ1 b − a − λ2 ( c − a ) = 0

{
(
(
(
(
)
)(
)(
(
(
(
(
)
(
)
)
)
(
)
(
(
(
}
)
)
)
)
)
)
)
Man erhält so drei Gleichungen für λG, λ1, und λ2. Es genügt, λG zu bestimmen und in die Geradengleichung einzusetzen.
Übungsaufgaben:
1. Seien a = ( 3, 2,1) , b = ( 2, −3, −4 ) , c = ( 5, −1, −3) Vektoren. Berechnen Sie
a) a , b , c
b) a + b + c , a + b − c , a − b + c , a − b − c
c) a ⋅ b , a × b
d ) cos ∢ a , b , sin ∢ a , b , ∢ a , b
(
( )
( )
)
( )
2. Zeigen Sie, dass die Vierecke ABCD Parallelogramme sind
a)
(2-33)
A = ( −2,1) , B = ( 4, −1) , C = ( 7, 2 ) , D = (1, 4 ) und
(2-34)
A = ( 3, 2,1) , B = ( 6,3, 4 ) , C = ( 5, −1, 2 ) , D = ( 2, −2, −1)
b)
Wie groß sind die Flächeninhalte der Parallelogramme?
3. Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den
a) Kosinusatz: a = b + c − 2bc cos (α ) und den
2
b) Sinussatz:
2
(2-35)
2
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
4. Gegeben seien die Punkte P = (1, 2,3) und Q = ( 2,1, 0 ) .
a ) Geben Sie die Gleichung der durch die Punkte P
und Q gehenden Geraden an
b) Bestimmen Sie den Punkt M , der die Verbindungsstrecke PQ halbiert
(2-36)
2. Koordinaten und Vektoren
27
5. a) Gegeben Sie die Parameterdarstellung der Ebene E an, die durch die drei
Punkte P = ( 4, 2, −1, ) , Q1 = ( 3, 4, −1) und Q2 = ( 3,3,3) geht!
(2-37)
b) Bestimmen Sie den Normaleneinheitsvektor nˆ von E
c)
Liegt der Punkt X = ( 5,3, −13) in E ?
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3. Grenzwerte, Folgen und Reihen
Folgen
Indem wir jeder natürlichen Zahl n eine Zahl an zuordnen, bilden wir eine
Folge
( an ) :
also:
n ∈ ℕ → an ∈ ℝ
(3-1)
( an ) ≡ a1 , a2 , a3 ,...
komplexe Folge: an ∈ ℂ
Beispiele:
1)
an = ( −1)
(3-2)
n
2) an = 2i + 3 −
2
n
Abbildung 3-1: Konvergente und divergente Folge nach (3-2)
Konvergente Folgen
Eine komplexe Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, also
a = lim an
n →∞
(3-3)
,
wenn zu jeder positiv reellen Zahl ε eine natürliche Zahl nε existiert, so dass
a − an < ε für alle n > nε
(3-4)
ist.
Schlägt man also in der Gaußschen Zahlenebene um a einen Kreis mit beliebig kleinem Radius ε,
so lässt sich für eine konvergente Folge immer ein nε finden, so dass alle weiteren Folgeglieder in
diesem Kreis liegen.
Betrachten wir die im rechten Bild von Abbildung 3-1 dargestellte Folge.
30
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Folge:
Grenzwert:
( an ) =  2i + 3 −

a = 2i + 3
2

n
(3-5)
Beweis:
Bedingung für nε ∈ ℕ : nε ≥
2
ε
a − an =
damit:
2 2
< < ε für alle n > nε
n nε
Vor allem ist die Folge (an)=1/n konvergent.
Folge:
Grenzwert:
( an ) = 
1

n
a = 0 ( Nullfolge )
(3-6)
Beweis:
Bedingung für nε ∈ ℕ : nε ≥
damit:
1
ε
a − an =
1 1
< < ε für alle n > nε
n nε
Als Gegenbeispiel dient der linke Teil von Abbildung 3-1. Legt man etwa einen Kreis vom Radius ε=1 um 1 oder -1, so liegt das nächste Folgenglied unweigerlich außerhalb des Kreises.
Divergente Folgen
Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Ein Beispiel dafür ist die Folge (an) =
((-1)n) =-1,1,-1,… im linken Teil von Abbildung 3-1. Eine reelle Folge heißt bestimmt divergent,
wenn für jede 'noch so große' positive reelle Zahl A eine natürliche Zahl N existiert, das dass alle
an mit n>N größer als A (oder kleiner als –A) werden. Die Folge besitzt dann den 'uneigentlichen
Grenzwert +∞ (oder -∞)'.
bestimmt divergente Folge:
Grenzwert:
divergente Folge:
Grenzwert:
( an ) = ( 2n ) = 2, 4,8,16,...
(3-7)
lim an = ∞
n →∞
( an ) = ( ( −2 )
n
) = −2, +4, −8, +16,...
lim an existiert nicht
n →∞
Rechenregeln zur Bestimmung von Grenzwerten
Addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert man bei zwei konvergenten Folgen immer die
entsprechenden Glieder, so erhält man eine neue Folge, deren Grenzwert gleich Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Grenzwerte der ursprünglichen Folgen ist. Durch '0' darf man
jedoch auch hier nicht teilen:
3. Grenzwerte und Reihen
31
(3-8)
Beispiele:
1
1

lim  2 +  = lim 2 + lim = 2 + 0 = 2
n →∞
n →∞ n
n  n→∞

1
1

1 +  lim1 + lim

 n +1 
n = n→∞ n→∞ n = 1 + 0 = 1
lim 

 = lim
n →∞ 3n + 2
n →∞
2
1 3+ 2⋅0 3


 3 +  lim 3 + 2 lim
n →∞ n
n  n→∞

Reihen
Wir betrachten die komplexe Folge (an) und die Folge von Partialsummen Sn:
( an )
Folge:
(3-9)
N
Partialsummen: S N = ∑ an
n =1
neue Folge:
( SN )
existiert
lim S N = ∑ an ≡ S ,
∞
N →∞
n =1
dann nennen wir S eine konvergente Reihe
Beispiele für Reihen
Reihe:
∞
∑ 4n
n =1
N
∞
1
2
3
4
1
...
3
5
7
9
2
0.3 0.40 0.428571 0.4 ... 0.50
SN
=
Grenzwert:
1 1 1 1
= + + + + ...
2
− 1 3 15 35 63
1
2
3
4 ...
(3-10)
1
S=
1
2
Beweis:
Aufspalten:
1
4n − 1
2
=
1 1
1 
= 
−
( 2n − 1)( 2n + 1) 2  2n − 1 2n + 1 
1
neu zusammenfassen: 1 ∞  1
1  1 1 1 1 1 1 1

−
∑

 = 1 − + − + − + − ... 
2 n =1  2n − 1 2n + 1  2  3 3 5 5 7 7

1
=
2
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∞
Harmonische Reihe:
1
1
1
1
(3-11)
∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
n =1
2
3
4
5
... ∞
3
11
25
137
... ∞
2
6
12
60
1.50 1.83 2.083 2.283 ... ∞
N
SN
=
( divergiert bestimmt )
Potenzreihen
∞
Potenzreihe:
∑α
n =1
n
xn , αn , x ∈ ℂ
(3-12)
Beispiele
Geometrische Reihe:
∞
∞
n =1
n =0
∑ x n−1 = 1 + x + x 2 + x3 + ... = ∑ x n
(3-13)
für jedes x ∈ ℂ mit x < 1 ist
Grenzwert:
∞
∑x
n
=
n =0
1
1− x
Beweis:
(1 − x ) ⋅ (1 + x + x 2 + ... + x N −1 ) = (1 − x + x − x 2 + x 2 ... − x N −1 + x N −1 − x N )
= 1− xN
also:
S N = 1 + x + x 2 + ... + x N −1 =
und
S = lim S N =
für x = -1:
∑ ( −1) ,
N →∞
∞
n
1 − lim x N
N →∞
1− x
=
1− xN
1− x
1
1− x
für x < 1
divergiert unbestimmt, siehe Abbildung 3.1 links
n =0
Mit Fakultät:
( 0! ≡ 1)
n ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅… n,
(3-14)
∞
Exponentialreihe:
xn
x2 x3
=
1
+
x
+
+
+ ...
∑
2 2⋅3
n =0 n !
Konvergenz:
für jedes x ∈ ℂ ist
mit
e=∑
∞
∞
xn
= ex
∑
n =0 n !
1
= 2.71828182846...
n =0 n !
( Exponentialfunktion )
( keine Periode!)
Der Konvergenzbeweis kommt gleich beim Quotientenkriterium.
Mit der Exponentialreihe lässt sich auch das
3. Grenzwerte und Reihen
33
Multiplikationstheorem e x e y = e x + y ,
∀
x, y ∈ ℂ
(3-15)
'für alle'
e = cos x + i sin x, ∀x ∈ ℝ
ix
und
beweisen.
Mit Binominalkoeffizienten:  α  α ⋅ (α − 1) ⋅ (α − 2 ) ⋅… (α − ( n − 1) )
 ≡
n!
n 
∞
Binominalreihe (α >0 ) :
α (α − 1) 2
α 
α
1
+
x
=
x + ...
( ) ∑   xn = 1 + α x +
2
n =0  n 
(3-16)
x <1
konvergiert für jedes
Beispiel α = 1/ 2:
1 + x = (1 + x )
1/ 2
= 1+
1
1
1
x − x 2 + x 3 + ...
2
8
16
Die Reihe konvergiert sehr schnell, die Glieder werden sehr schnell klein. Man kann daher mit
(3-16) auch krumme Potenzausdrücke sehr gut annähern.
Konvergenzkriterien
(3-17)
Majorantenkriterium
Reihe:
∞
∑a
n =1
konvergente Reihe:
∞
∑ b , mit b
n =1
Kriterium:
n
n
n
> 0 ∀n ∈ ℕ
∞
an < bn dann konvergiert ∑ an
gilt für fast
alle
n:
n =1
'bis auf endlich
viele Ausnahmen'
Beweis:
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S − SN =
∞
∑
n = N +1
an ≤
∞
∑
n = N +1
an ≤
∞
∑b
n = N +1
n
→ 0
für N →∞
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(3-18)
Quotientenkriterium:
∞
∑a
n =1
n

konvergiert,



divergiert,

wenn fast
immer
'bis auf endlich
viele Ausnahmen'
wenn fast immer
an +1
≤ δ < 1 ist
an
an +1
≥ δ > 1 ist
an
Beweis:
aus
an +1
≤δ
an
folgt
a2 ≤ δ ⋅ a1 ,
Majorante:
∞
∞
a3 ≤ δ ⋅ a2 ≤ δ 2 ⋅ a1 ,… , an ≤ δ n ⋅ a1
∑ an ≤ ∑ an ≤ a1
n =1
n =1
∞
∑δ
n
n =1
=
a1
1−δ
konvergiert
Anwendung des Quotientenkriteriums:
Exponentialreihe: x ∞ x n
e =∑
n =0 n !
Konvergenz:
x n +1
(3-19)
( n + 1)! = n ! x n+1 = x ≤ δ < 1 ∀n ≥ x − 1
an +1
=
xn
an
δ
( n + 1)! x n n + 1
n!
Übungsaufgaben:
1. Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Folgen ( falls sie existieren )
a)
b)
c)
1 + 2 + 3 + ... + n
n
1 + 2 + 3 + ... + n n
−
n+2
2
n
i
in
d)
n
e)
n
(
n +1 − n
)
(3-20)
3. Grenzwerte und Reihen
35
2. Berechnen Sie 3 in 2. Ordnung einer Reihenentwicklung
( Trick:
3 = 2 1 − 14
)
3. Was läßt sich mit Hilfe des Quotientenkriteriums über
Konvergenz oder Divergenz der harmonischen Reihe sagen?
4. Beweisen Sie mit Hilfe der Binomialreihe, dass
n
 1
lim 1 +  = e
n →∞
 n
ist.
∞
5. Aus
xn
= ex
∑
n=0 n !
und e x ⋅ e y = e x + y
∞
( x + y)
xn ∞ yn
folgt ∑ ⋅ ∑
=∑
n!
n =0 n ! n =0 n !
n =0
Rechnen Sie dies bis zu Termen 4. Ordnung nach!
n
∞
( D.h. nur Terme x
k
y l mit k + l ≤ 4 sollen berücksichtigt werden )
6. Beweisen Sie die Konvergenz der Binomialreihe
(1 + x )
α
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∞
α 
= ∑   xn
n=0  n 
für x < 1 und α > 0
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4. Reelle Funktionen einer reellen
Veränderlichen
Reellwertige Funktionen
Eine Funktion oder Abbildung ordnet jedem Punkt aus dem Definitionsbereich genau einen
Punkt in einem Wertebereich oder Bild zu:
Definitionsbereich:
x∈M
⊂
ℝ
(4-1)
Teilmenge
reelle Funktionswerte:
Wertebereich:
allgemeiner Abbildungsbegriff:
y = f ( x)
f ( M ) = { y ∈ ℝ, mit y = f ( x ) , x ∈ M }
f :M →ℝ
Funktion f bildet den
Definitionsbereich M auf
die reellen Zahlen ℝ ab
Geometrische Interpretation
Die Funktion f kann durch Punkte in einem Koordinatensystem als Graph dargestellt werden.
(4-2)




Graph oder Kurve von f : ( x, f ( x ) ) , mit x ∈ M 
 
Vektor
Oft bildet die Menge aller dieser Punkte eine zusammenhängende Kurve. Man spricht dann von
einer stetigen Funktion.
Abbildung 4-1:Veranschaulichung der Funktion f als Graph oder Kurve in einem Koordinatensystem
Physikalische Beispiele
Bei einem Fallexperiment lässt man einen Körper vor einem Maßstab fallen. Eine Kamera macht
alle 0.1 Sekunden ein Bild. Auf den Bildern kann man dann zu jedem Zeitpunkt t=0, 0.1, 0.2, …
die Fallhöhe auf 2 cm genau ablesen.
38
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
(4-3)
Messwerte:
 t
 ( Min )
h
 ( Max )
h
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1 sek
80
0
cm
500 500 480 460 420 380 320 260 180 100 0
cm
480 480 460 440 400 360 300 240 160
h ( t ) = 500cm − 500 ⋅ t cm / sek
2
Funktion:
2
Die Funktion h(t) ist so gewählt, dass sie zu jedem Messzeitpunkt t=0, 0.1, …sek durch das gemessene, 20 cm große Intervall geht.
Abbildung 4-2:
Physikalische Verwendung einer Funktion h(t) zur Beschreibung von Höhenmesswerten bei einem Fallexperiment.
Aus den Messwerten kann man auf die mittlere Geschwindigkeit des Körpers zwischen zwei
Messzeitpunkten schließen. Da die Messung der Fallhöhe jedoch mit einer Ungenauigkeit oder
Unschärfe behaftet ist, erhält man aus der Messung nur eine Abschätzung über die minimale und
maximale mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Messpunkten.
(4-4)
Mittlere Geschwindigkeiten:
vn ,n +1

 t

 ( Min )
 v

 v( Max )


 ( Min )
h( Min ) ( tn +1 ) − h( Max ) ( tn )
v
≡
h ( tn +1 ) − h ( tn )  n ,n +1
∆t
≡
, 
Max )
(
∆t
h
tn +1 ) − h( Min ) ( tn )
(
 ( Max )
 vn ,n +1 ≡
∆t
0.0 −
0.1 −
0.2 −
0.3 −
0.4 −
0.5 −
0.6 −
0.7 −
0.8 −
0.9 −
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
200
−0
−0
−600
−600
−800
−200 −200 −400 −400
−200 −400 −400 −600 −600
-800
-800
sek
cm / sek
-1000 -1000 -1000 cm / sek
Funktion: v ( t ) = −1000 ⋅ t cm / sek 2
Wieder kann man eine Funktion der Zeit angeben, diesmal für die Geschwindigkeit v.
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
39
Physikalische Verwendung einer Funktion v(t) zur Beschreibung der Geschwindigkeit eines Körpers bei
einem Fallexperiment.
Messungen sind immer mit einem Messfehler oder einer Unschärfe behaftet und können nur zu
endlich vielen Zeitpunkten stattfinden. Durch die Beschreibung des Fallvorganges mit Funktionen wird der raum-zeitlich Prozess des Fallens zu der Bewegung auf einer Bahnkurve idealisiert.
Das ist die Grundlage der gesamten klassischen Mechanik. Auf ihr lassen sich sehr viele Probleme lösen.
Abbildung 4-3:
Wir haben nun die Vorstellung entwickelt, dass sich der fallende Körper tatsächlich auf einer
solchen 'Bahnkurve' bewegt, die wir durch die Funktionen h(t) und v(t) beschreiben. Tatsächlich
kann in der Natur eine solche Bahnkurve grundsätzlich nicht beliebig genau beobachtet werden.
Es gibt eine Naturkonstante, das Plancksche Wirkungsquantum h, das die maximale Genauigkeit
einer solchen Messung angibt. Es gilt Grundsätzlich
Ortsunschärfe ⋅ Geschwindigkeitsunschärfe ⋅ Masse
≥
(4-5)
ℏ
Plancksches Wirkungsquantum
geteilt durch 2π
Beim obigen Fallexperiment kann das ignoriert werden, bei einem Elektron in einer Brownschen
Röhre wie im Praktikum allerdings nicht.
Die prinzipielle Unschärfe physikalischer Phänomene ist Grundlage etwa für die Atomstrukturen,
das Periodische System der Elemente, die Gesetze der Chemie oder die Halbleiterelektronik.
Bahnkurven zur Beschreibung von Bewegungsabläufen sind ein geniales mathematisches Hilfsmittel, das die tatsächlichen Gegebenheiten jedoch nur annähernd wiedergibt.
Als weiteres Beispiel zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge betrachten wir eine Fahrradpumpe, bei der wir den Gasaustritt zuhalten und dann mit Kraft den Kolben hineindrücken.
Der notwendige Druck P hängt vom Volumen V des Gases ab und kann nach Van der Waals
unter bestimmten Bedingungen durch die Funktion
p (V ) =
c
a
− 2 , a, b, c konstant
V −b V
(4-6)
beschrieben werden.
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40
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Physikalische Verwendung von Funktionen P(V) zur Beschreibung des Drucks auf den Kolben einer zugehaltenen Fahrradluftpumpe.
Der Zusammenhang (4-6) gilt bei konstanter Temperatur des Gases im Kolben. Das Minimum
des Druckes kommt daher, dass sich beim Zusammendrücken des Gases ab einem bestimmten
Volumen zuerst die Anziehung der Atome und dann ihre Abstoßung bemerkbar machen.
Abbildung 4-4:
Eigenschaften von Funktionen
Stetigkeit
Eine reelle Funktion f heißt stetig in einem Punkt x aus M, wenn für alle Folgen x1, x2, x3, ... aus
M, die x zum Grenzwert haben, auch die Bildfolgen f(x1), f(x2), f(x3), …alle denselben Grenzwert
f(x) haben. Ist dies für alle x aus M erfüllt, so heißt die Funktion stetig auf M.
f heißt stetig an der Stelle x,
wenn für jede Folge ( xn ) in M mit lim xn = x gilt:
n →∞
Abbildung 4-5:
(4-7)
lim f ( xn ) = f ( x )
n →∞
Funktion mit einer unstetigen Stelle bei x=X. Die Folge f(x'n) konvergiert gegen einen anderen Grenzwert
als die Folge f(xn).
Umkehrbarkeit
(4-8)
f heißt umkehrbar, wenn es
für jedes y ∈ N genau ein x ∈ M gibt mit y = f ( x )
Umkehrfunktion oder Inverse:
f -1 : N → M ,
y → x = f −1 ( y )
Graphisch bedeutet die Umkehrung das Vertauschen der beiden Achsen.
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
41
Abbildung 4-6:
Beispiel einer umkehrbaren Funktion und einer nicht umkehrbaren Funktion. Durch Einschränkung des
Definitionsbereichs auf a≤x≤c wird auch die Funktion rechts umkehrbar.
Die Gleichung für die Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen von y=f(x) nach x.
Beispiel:
f:
y=
1
4
(x
2
+ 2 ) , mit 0 ≤ x ≤ 4
f −1 : x = 4 y − 2, mit
1
2
≤ y≤
(4-9)
9
2
Monoton wachsend und fallend
f heißt monoton wachsend, wenn
für alle x1 < x2 auch f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ist
f heißt streng monoton wachsend, wenn für alle x1 < x2 auch f ( x1 ) < f ( x2 ) ist
(4-10)
für alle x1 < x2 auch f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ist
für alle x1 < x2 auch f ( x1 ) > f ( x2 ) ist
f heißt monoton fallend, wenn
f heißt streng monoton fallend, wenn
Zusammengesetze Funktionen
Eine Funktion kann in mehreren Schritten aufgebaut werden:
1. Schritt:
2. Schritt:
g : z = g ( x)
h : y = h( z)
(
(4-11)
)
Zusammen: y = f ( x ) = h ( g ( x ) ) ≡ ( h g )( x )
Es sind natürlich auch mehr als zwei Verknüpfungen möglich.
Beispiele:
1.
2.
g ( x ) = x 
,
h ( x ) = x 3 
f ( x ) = g ( h ( x ) ) = x 3 = x 3/ 2
g ( x)

,
h ( x ) = g −1 ( x ) 
g ( x ) = sin ( x ) 

3.
,
1
h ( x) =

x

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(4-12)
f ( x ) = g ( g −1 ( x ) ) = x
1
f ( x ) = g ( h ( x ) ) = sin  
x
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42
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Abbildung 4-7: Die Funktion f(x)=sin(1/x) oszilliert bei x=0 unendlich oft
Elementare Funktionen
Polynome
Polynom n'ten Grades: x ֏ P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n = ∑ ak x k , an ∈ ℝ
(4-13)
Fundamentalsatz der
(4-14)
n
k =0
Algebra:
also:
Jedes Polynom n ' ten Grades hat n komplexe Nullstellen
Es existieren λk ∈ ℂ, k = 1...n, so dass P ( λk ) = 0 ist
n
daher:
P ( x ) = an ( x − λ1 ) ⋅ ( x − λ2 ) ⋅ ... ( x − λk ) = an ⋅ ∏ ( x − λk )
k =1
Mehrfache Nullstellen: λm = λn mit m ≠ n
Komplexe Nullstellen:
wenn λm = a + ib Nullstelle, dann auch λn = λm = a − ib
( P ( a + ib ) = 0
⇒ P ( a − ib ) = 0 )
Beispiele:
b

P1 ( x ) = ax + b = a  x + 
a

( Gerade )

b − b 2 − 4ac  
b + b 2 − 4ac 
P2 ( x ) = ax 2 + bx + c = a  x +
⋅ x +
 ( Parabel )

 

2
a
2
a

 

3
2
P3 ( x ) = ax + bx + cx + d
( Kurve 3. Ordnung )
(4-15)
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
43
Abbildung 4-8: Die Graphen der Gerade P1, Parabel P2 und Kurve 3. Ordnung P3
Rationale Funktionen
(4-16)
Rationale Funktion:
x ֏ R ( x) =
Pn ( x )
Qm ( x )
,
( Pn , Qm
echt gebrochen:
m>n
unecht gebrochen:
n ≥ m,
sind Polynome vom Grade n und m )
(4-17)
dann: R ( x ) =
p ( x)
= ri ( x ) + k
Qm ( x ) Polynom
q ( x)
l
Pn ( x )
echt gebrochen
Pol k-ter Ordnung: Qm ( x0 ) = 0 und Pn ( x0 ) ≠ 0 ⇒
lim R ( x0 ) = ∞
x → x0
k'fache Nullstelle
Asymtotik:
für m > n
 0

lim R ( x ) = endlich für m = n
x →∞
 ±∞
für m < n

Beispiel:
Hyperbel: R ( x ) =
ax + b
cx + d
(4-18)
Pol 1. Ordnung: x =
Asymtotik:
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-d
c
lim R ( x ) =
x →∞
a
c
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44
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Abbildung 4-9: Der Graph der Hyperbelfunktion
Irrationale Funktionen
Sie entstehen zum Beispiel bei der Umkehrung von Polynomen
Beispiel
Funktion
y = xn ,
Irrationale Umkehrfunktion: x =
n
( x > 0)
(4-19)
y
Abbildung 4-10: Die Graphen einfacher irratonaler Funktionen nach (4-19)
Transzendente Funktionen
Exponentialfunktion und Logarithmus
Sie lassen sich nicht durch die Anwendung endlich vieler elementarer Rechenoperationen definieren, sondern nur durch unendliche Reihen.
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
45
(4-20)
Exponentialfunktion:
∞
exp ( x ) ≡ ∑
n =0
xn
n!
exp ( 0 ) = 1
exp (1) = e = 2.71828182846...
Potenzgesetze: exp ( x ) ⋅ exp ( y ) = exp ( x + y )
Inverse:
exp ( x ) ⋅ exp ( − x ) = exp ( 0 ) = 1
⇒ exp ( − x ) =
1
exp ( x )
Schreibweise bietet sich an: exp ( x ) ≡ e x
1
e x ⋅ e y = e x + y , e0 = 1, e1 = e, e − x = x
e
Rechenregeln für Potenzen!
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Exponentialfunktion:
y = exp ( x ) > 0
(4-21)
Umkehrfunktion ( Logarithmus ) : x = exp −1 ( y ) ≡ ln ( y )
−1
≠ exp ( y ) =
mit
1
!
exp( y )
y > 0!
ln ( x ⋅ y ) = ln ( x ) + ln ( y )
 x
ln   = ln ( x ) − ln ( y )
 y
Umrechnung in andere Grundzahl als e:
e→ a:
a x = ( eln a ) = eα x , mit α = ln a
(4-22)
x
Logarithmus zur Basis a : a log x = a log eln x = a log e ⋅ ln x
Zehnerlogarithmus :
log x ≡10 log x
Abbildung 4-11: Die Graphen von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion
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Trigonometrische Funktionen
∞
sin ( x ) ≡ ∑ ( −1)
n
n =0
∞
cos ( x ) ≡ ∑ ( −1)
n =0
Eulersche Formel:
und
( i ) + ( ii ) :
2
( i ) − ( ii ) :
2i
n
x 2 n+1
x 3 x5
= x − + − ...
3! 5!
( 2n + 1)!
x2n
x2 x4
= 1 − + − ...
2! 4!
( 2n ) !
x 2 x3 x 4
ix
cos ( x ) + i sin ( x ) = 1 + ix −
−
=e
i +
2! + i3 3! i4 4!
+i2
cos ( x ) − i sin ( x ) = e− ix
(4-23)
(i )
( ii )
1 ix − ix
(e + e )
2
1
sin ( x ) = ( eix − e− ix )
2i
cos ( x ) =
Abbildung 4-12: Die Graphen der sin- und cos Funktion
sin ( x + n ⋅ 2π ) = sin ( x )
Periode:
für n ∈ ℤ : 
cos ( x + n ⋅ 2π ) = cos ( x )
sin ( - x ) = − sin ( x ) ( antisymmetrisch )
Symmetrie:

cos ( - x ) = + cos ( x ) ( symmetrisch )
(4-24)
Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten
 x = cos φ

 y = sin φ
(4-25)
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
47
Abbildung 4-13: Sinus und Cosinus als Koordinaten eines auf dem Einheitskreis umlaufenden Vektors
Weitere trigonometrische Funktionen
Tangens:
tan ( x ) ≡
Kotangens:
cot ( x ) ≡
sin ( x )
cos ( x )
(4-26)
cos ( x )
1
=
sin ( x ) tan ( x )
1 x −x
x3 x5
e − e ) = x + + + ...
(
2
3! 5!
1
x2 x4
Kosinus Hyperbolicus: cosh ( x ) ≡ ( e x + e− x ) = 1 + + + ...
2
2! 4!
Sinus Hyperbolicus:
sinh ( x ) ≡
Abbildung 4-14: Die Graphen der Exponential- und Hyperbelfunktionen
Trigonometrische Umkehrfunktionen
arcsin ( x ) ≡ sin −1 ( x )
x ∈ [ −1,1]
arctan ( x ) ≡ tan −1 ( x )
x∈ℝ
arccot ( x ) ≡ cot −1 ( x )
x∈ℝ
(4-27)
arccos ( x ) ≡ cos −1 ( x ) x ∈ [ −1,1]
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Abbildung 4-15: Die Graphen der Umkehrfunktionen des Sinus und des Kosinus
Übungsaufgaben
1. Suchen Sie die Nullstellen der folgenden Polynome und skizzieren Sie
(4-28)
die zugehörigen Graphen:
2.
3.
a)
f ( x) = 2x + 2
b)
f ( x ) = x2 − x − 2
c)
f ( x ) = −x2 + 2x −1
d)
f ( x ) = 12 x 2 − x + 1
e)
f ( x ) = x3 − x
Skizzieren Sie für die Funktionen aus Aufgabe 1 die Graphen von
1
f ( x)
3x 2 − 7 x + 1
als Summe eines Polynoms
x −1
und einer echt gebrochenen rationalen Funktion
Schreiben Sie die Funktion
4. Skizzieren Sie die Graphen von
a)
f ( x) = 1− x,
b)
f ( x ) = 1 − x2 ,
f ( x) = e
(4-30)
(4-31)
( x ≤ 1)
( x ≤ 1)
5. Skizzieren Sie den Graphen der in Physik und Statistik wichtigen Gaußfunktion
−λ x2
(4-29)
für λ = 1 und λ = 4
(4-32)
4. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
49
6. Skizzieren Sie die Graphen von
a)
b)
(4-33)
f ( x ) = tan ( x )
f ( x ) = cot ( x )
Diskutieren Sie die Periodizität, Symmetrie und Stetigkeit dieser Funktionen
7. Beweisen Sie mit der Eulerschen Formel die Additionstheoreme
(4-34)
a) sin ( x + y ) = sin ( x ) ⋅ cos ( y ) + cos ( x ) ⋅ sin ( y )
b) cos ( x + y ) = cos ( x ) ⋅ cos ( y ) − sin ( x ) ⋅ sin ( y )
c) Was erhält man in beiden Fällen für y = - x
8. Beweisen Sie die Formeln
a)
b)
(4-35)
log x = log e ⋅ ln x
1
a
log e =
ln a
a
a
9. Drücken Sie die Funktionen arcsinh=sinh -1 und arccosh=cosh -1durch die
Logarithmus- und Wurzelfunktionen aus. Bestimmen Sie dazu die Funktionen
(
)
(
(4-36)
)
f und g mit sinh ln ( f ( x ) ) = x und cosh ln ( g ( x ) ) = x.
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5. Differentialrechnung
Begriff der Ableitung
Verwendete Begriffe
Graph:
(5-1)
Eindimensionale, gekrümmte Linie
Sekante: Gerade durch zwei Punkte eines Graphen
Tangente: Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt
Sekante einer Funktion, Differenzenquotient
f : x → f ( x)
Punkte auf dem Graphen: P1 = ( x0 , f ( x0 ) ) , P2 = ( x0 + ∆x, f ( x0 + ∆x ) )
Sekante durch P1 und P2 :
( x, g s ( x ) ) x ∈ ℝ
Funktion:
{
(5-2)
}
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
mit
gs ( x ) = f ( x0 ) +
es gilt: g s ( x0 ) = f ( x0 ) +
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x0 − x0 ) = f ( x0 )
(
∆x
∆x
( x − x0 )
=0
g s ( x0 + ∆x ) = f ( x0 ) +
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x0 + ∆x − x0 ) = f ( x0 + ∆x )
(
∆x
=∆x
Zuwachs von f ( x0 ) zu f ( x0 + ∆x ) : ∆y ≡ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆y
Steigung der Sekante:
( Differenzenquotient )
∆x
(5-3)
Tangente einer Funktion, Differentialquotient
wenn
Tangente in x0 :
lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
existiert:
∆x
{( x, g ( x ) ) | x ∈ ℝ}
t
mit
g t ( x ) ≡ lim g s ( x )
Steigung der Tangente:
dy
∆y
≡ lim
dx ∆x →0 ∆x
∆x → 0
( Differentialquotient )
(5-4)
52
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Abbildung 5-1: Schaubild einer Funktion mit Sekante und Tangente
1. Ableitung der Funktion f
f ( x + ∆x ) − f ( x )
in x,
∆x → 0
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
dann bezeichnet man f ′ ( x ) ≡ lim
∆x → 0
∆x
als erste Ableitung der Funktion f in x.
existiert
(5-5)
lim
Verschiedene Schreibweisen für die erste Ableitung:
lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
≡ f ′( x) ≡
dy df ( x ) d
d
 d 
≡
≡
f ( x) ≡ 
f ( x) ≡
f
dx
dx
dx
dx
 dx 
≡ dx f ( x)
x
(5-6)
Die Brüche meinen dabei nicht wirklich Quotienten, sondern sind reine Symbole oder Kurzschreibweisen für den Grenzwert!
Die erste Ableitung im Punkt x ist gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente in x
und der Abszisse
f ′ ( x ) = tan α
Abbildung 5-2: Schaubild einer Funktion mit Tangente
(5-7)
5. Differentialrechnung
53
Gegenbeispiele für die Existenz einer Ableitung
Abbildung 5-3 zeigt zwei Funktionen, in denen der Differenzenquotient in x0 keinen eindeutigen
Grenzwert hat.
Abbildung 5-3: Schaubild von Funktionen, für die die 1. Ableitung in x0 nicht definiert ist
Höhere Ableitungen
2. Ableitung:
n. Ableitung:
f ′′ ( x ) ≡ f (
f ( n) ( x ) ≡
2)
( x) ≡
d f ( x)
≡
dx 2
2
d
df ( x )
dx =
dx
(5-8)
f ′ )′ ( x )
(
( Ableitung der 1. Ableitung )
′
f ( ) ) ( x)
(
n −1
( Ableitung der ( n -1). Ableitung )
Geschwindigkeit als Ableitung einer Bahnkurve
(5-9)
innerhalb des Zeitinveralls
Gemessene Geschwindigkeit:
[t0 ,t0 +∆τ ] zurückgelegter Weg
xt0 +∆t − xt0
v[t0 ,t0 +∆t ] ≡
∆
t
≡
∆x
∆t
für den Weg ∆x
benötigte Zeitspanne
Interpolation des Weges durch Bahnkurve:
xt0 , xt0 +∆t
→
x : t → x ( t )
Funktion
Definition der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t :
x ( t + ∆t ) − x ( t )
∆t → 0
∆t
≡ x′ ( t ) ≡ xɺ ( t )
v ( t ) ≡ lim
Schreibweise für
Zeitableitungen
Die Ableitungen nach der Zeit bezeichnet man üblicherweise mit einem Punkt über der Funktion.
Es wird klar, dass die Geschwindigkeit in einem Punkt reine Definition ist, also ein mathematisches Hilfsmittel der Physik. Wirklich beobachtbar oder messbar sind nur mittlere Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit in einem Punkt oder die Position ist prinzipiell mit einer Unschärfe
behaftet. Das wird in der Quantenmechanik wichtig und erklärt zum Beispiel die Eigenschaften
von Atomen.
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Beispiele für Ableitungen
f ( x ) = xn :
f ( x + ∆x ) − f ( x )
( x + ∆x ) − x n
= lim
∆x → 0
∆x →0
∆x
∆x
Terme mit ∆x n , n ≥ 2
n
n −1
x + nx ∆x + O ( ∆x 2 ) − x n
= lim
= lim ( nx n −1 + O ( ∆x ) ) = nx n −1
∆x → 0
∆x → 0
∆x
n
(5-10)
lim
f ( x ) = sin ( x ) :
Abschätzung:
f ( x + ∆x ) − f ( x )
sin ( x + ∆x ) − sin ( x )
= lim
∆x → 0
∆x →0
∆x
∆x
siehe 1. Kapitel ( Folgerung aus Moivreschen Formel )
→1
cos ( x ) sin ( ∆x ) + sin ( x ) cos ( ∆x ) − sin ( x )
= lim
∆x → 0
∆x
sin ( ∆x )
= cos ( x ) lim
∆x → 0
∆x
mit
sin
α ≤ α ≤ tan
α,
(α < π / 2 )
lim
(5-11)
siehe Einheitskreis
also
α
1
≤
sinα cos α
ist
1≤
und
1 = lim1 ≤ lim1
also
∆x
=1
∆x → 0 sin ( ∆x )
α →0
α →0
α
1
≤ lim
≤1
sinα α →0 cos α
lim
sin′ ( x ) = cos ( x )
und analog
cos′ ( x ) = − sin ( x )
Abbildung 5-4: Winkel im Einheitskreis zur Abschätzung: sinα<α<tanα
(5-12)
5. Differentialrechnung
55
∞
xn
f ( x ) = ex = ∑
:
n=0 n !
(5-13)
Nach Definition von e x
in Kap. 3
Terme mit ∆x n , n ≥ 2
Nebenrechnung:
lim
also:
1 + ∆x +
O ( ∆x 2 )
−1
e −1
= lim
=1
∆x →0
∆x → 0
∆x
∆x
d x
e x +∆x − e x
e x e ∆x − e x
e ∆x − 1 x
e = lim
= lim
= e x lim
=e
∆x → 0
∆x →0
∆x → 0
dx
∆x
∆x
∆x
∆x
Rechenregeln der Differentation
Aus den beiden Funktionen
f : x → f ( x),
g : x → g ( x ) , differenzierbar für alle
x∈
M
(5-14)
'x aus Definitionsbereich von f'
werden neue Funktionen gebildet
Summenregel
d
(α f ( x ) + β g ( x ) ) ≡ α f ′ ( x ) + β g ′ ( x ) , (α , β ∈ ℝ konstant )
dx
Beweis: d
α f ( x + ∆x ) + β g ( x + ∆x ) − (α f ( x ) + β g ( x ) )
α f ( x ) + β g ( x ) ) = lim
(
∆x → 0
∆x
dx
f ( x + ∆x ) − f ( x )
g ( x + ∆x ) − g ( x )
= α lim
+ β lim
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
= α f ′( x) + β g′( x)
Beispiele:
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d
4 x 3 + x + 3) = 12 x 2 + 1
(
dx
d 10
x + 2 ) = 10 x 9
(
dx
d 3
x + x 2 + x + 1) = 3 x 2 + 2 x + 1
(
dx
(5-15)
(5-16)
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Kettenregel
(5-17)
d
f ( g ( x)) = f ′ ( g ) g′ ( x)
dx
Beweis mit ∆g = g ( x + ∆x ) − g ( x ) :
f ( g ( x + ∆x ) ) − f ( g ( x ) )
f ( g + ∆g ) − f ( g ) ∆g
d
f ( g ( x ) ) ≡ lim
= lim
∆x → 0
∆x → 0
dx
∆x
∆g
∆x
= lim
f ( g + ∆g ) − f ( g )
∆g
∆g → 0
lim
g ( x + ∆x ) − g ( x )
∆x
∆x → 0
= f ′ ( g ) ⋅ g′ ( x)
(5-18)
Beispiele:
d
sin ( x 2 ) = sin ′ ( g ) ⋅ g ′ ( x ) = cos ( g ) ⋅ 2 x = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x
dx
2
g ( x)= x
d
sin ( cos ( x ) ) = sin ′ ( g ) ⋅ g ′ ( x ) = cos ( cos ( x ) ) ⋅ ( − sin ( x ) )
dx
g ( x ) = cos ( x )
(
)
d
sin cos ( sin ( x ) ) = sin ′ ( u ) ⋅ cos′ ( v ) ⋅ sin ′ ( x )
dx
u ( x ) = cos ( sin ( x ) ) v ( x ) =sin ( x )
(
)(
)
d
d

 d

sin ( x ) ⋅ cos ( x ) =  sin ( x )  ⋅ cos ( x ) + sin ( x ) ⋅  cos ( x ) 
dx
 dx

 dx

= cos cos ( sin ( x ) ) ⋅ − sin ( sin ( x ) ) ⋅ cos ( x )
2
2
3
3
2
3
Produktregel
 d

 d 
= sin ′ ( g ) ⋅  x 2  ⋅ cos ( x 3 ) + sin ( x 2 ) ⋅ ( cos′ ( u ) ) ⋅  x 3 
 dx 
 dx 
2
3
g ( x )= x
(
u ( x )= x
)
= cos ( x 2 ) ⋅ 2 x ⋅ cos ( x 3 ) + sin ( x 2 ) ⋅ − sin ( x 3 ) ⋅ 3 x 2
5. Differentialrechnung
57
Produktregel
(5-19)
d
f ( x) ⋅ g ( x) = f ′ ( x) g ( x) + f ( x) g′ ( x)
dx ≡
Beweis:
df ( x )⋅ g ( x )
d
( f ( x )⋅ g ( x ) ) ≡ dx
dx
f ( x + ∆x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g ( x )
d
f ( x ) ⋅ g ( x ) ≡ lim
∆x → 0
dx
∆x
=0
f ( x + ∆x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g ( x + ∆x ) + f ( x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g ( x )
= lim
∆x → 0
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
g ( x + ∆x ) − g ( x )
= lim
g ( x + ∆x ) + f ( x ) lim
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
= f ′ ( x) g ( x) + f ( x) g′ ( x)
Beispiele:
(5-20)
d 2 d 
d 
x =  x  x + x  x  = 2x
dx
dx 
dx 


=1
=1
d n d 
 d 
 d 
x =  x
x ⋅
x
…+ x ⋅ x  x ⋅
x
…+ x ⋅ x ⋅ x  x ⋅
x
… + … = nx n −1
dx
dx
dx
dx
 xn−1
 xn−2
 xn−3
=1
=1
=1
2
d
sin ( x ) ) = 2 sin ( x ) sin ′ ( x ) = 2sin ( x ) cos ( x )
(
dx
d 2
x cos x = − x 2 sin ( x ) + 2 x cos ( x )
dx
Quotientenregel
d f ( x ) f ′ ( x ) f ( x) g′ ( x) f ′ ( x) g ( x) − f ( x) g′ ( x)
=
−
=
2
2
dx g ( x ) g ( x )
g ( x)
g ( x)
Beweis:
(5-21)
f ′( x)
d f ( x)
d 1
1
 d 1 ′
= f ′( x)
+ f ( x)
=
+ f ( x) 
 g ( x)
dx g ( x )
g ( x)
dx g ( x ) g ( x )
du
u


Produktregel
=−
1
u2
( Kettenregel,
g ( x ) =u )
=
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f ′( x) f ( x) g′( x)
−
2
g ( x)
g ( x)
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d 2
d
x + 1) ( x 2 + 1) ( x 4 − 2 )
( x 2 + 1) 4 x3
d x 2 + 1 dx (
2x
dx
=
−
=
−
2
dx x 4 − 2
x4 − 2
x 4 − 2 ( x 4 − 2 )2
( x4 − 2)
Beispiele:
=
tan′ ( x ) =
( 2x
5
− 4 x ) − ( 4 x5 + 4 x 3 )
(x
4
− 2)
cot ′ ( x ) =
−2 x5 − 4 x3 − 4 x
(x
4
− 2)
2
d sin ( x ) sin ′ ( x ) sin ( x ) ⋅ cos′ ( x ) cos ( x ) sin ( x ) ⋅ ( − sin ( x ) )
=
−
=
−
2
2
cos ( x )
dx cos ( x ) cos ( x )
cos ( x )
cos ( x )
cos ( x ) + sin ( x )
2
=
2
=
(5-22)
cos ( x )
2
2
=
1
cos ( x )
2
d cos ( x )
1
=… = −
2
dx sin ( x )
sin ( x )
( x)
f ( x)
′( x )
( x)
f
g
g
( 2 x cos ( x ) − x 2 sin x ) ⋅ sin 2 ( x ) − x 2 cos ( x ) ⋅ 2sin ( x ) cos ( x )
′
2
d x cos ( x )
=
dx sin ( x )2
sin ( x )
4
Inversenregel
mit
y = f −1 ( x )
ist
Beweis: y = f −1 ( f ( y ) )
1=
(5-23)
d −1
1
f ( x) =
dx
f ′( y)
d
d −1
y=
f ( f ( y ) ) = f −1′ ( x ) ⋅ f ′ ( y )
dy
dy
Kettenregel mit x = f ( y )
f −1′ ( x ) =
also:
1
f ′( y)
(5-24)
Beispiele:
y
y∈ − π , π 

2 2
= arcsin ( x ) :
arcsin′ ( x ) =
x∈[ −1,1]
x) :
(
y = arccos
y∈[ 0,π ]
y
x∈[ −1,1]
= arctan ( x ) :
y∈ − π2 , π2 
1
1
1
1
=
=
=
2
sin′ ( y ) cos ( y )
1 − x2
1 − sin ( y )
arccos′ ( x ) =
1
1
1
−1
=
=
=
cos′ ( y ) − sin ( y ) − 1 − cos ( y )2
1 − x2
arctan′ ( x ) =
cos ( y )
1
2
= cos ( y ) =
2
tan′ ( y )
sin ( y ) + cos 2 ( y )
2
cos ( y )
1
1
=
=
=
2
2
2
cos ( y ) + sin ( y ) 1 + tan ( y ) 1 + x 2
2
1
n
y=
x
=
xn :
x >0
−
n −1
1
−1
d n
1
1
1
x n
xn
x=
= n −1 =
=
=
n −1
d n ny
dx
n
n
nn x
y
dy
5. Differentialrechnung
59
Die Definitionsbereiche der inversen Funktionen müssen sorgfältig berücksichtigt werden
Abbildung 5-5: Funktionen und Inversen aus (5-24)
Differentiation von Potenzreihen
∞
Allgemein: wenn
∑a x
n =0
n
n
(5-25)
< ∞, ist
∞
∞
d ∞
an x n = ∑ nan x n −1 = ∑ ( n + 1) an +1 x n
∑
dx n = 0
n =1
n =0
Beispiele:
∞
d x d
xn
e =
=
∑
dx
dx n =0 n !
1+ x +
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x 2 x3
x4
+ +
+...
2 2⋅3 2⋅3⋅4
x n −1
n
∑
( n)!
n =1
∞
∞
x n −1
xn
= ∑ = ex
n =1 ( n − 1) !
n=0 n !
∞
=∑
x x2
x3
0 +1+ 2 + 3 + 4
+...
2 2⋅3 2⋅3⋅4
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60
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sin′ ( x ) =
2n
∞
∞
d ∞
x 2 n +1
x 2n
n
n
n x
1
1
2
n
1
1
−
=
−
+
=
−
( ) (
)
∑ ( ) ( 2n + 1)! ∑
∑ ( ) ( 2n ) !
dx n =0
2n + 1) ! n = 0
(
n=0

′
x3
x5
x7
−
+... 
 x − +

2
⋅
3
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
⋅
7


1−
(5-26)
x2 x4
x6
x8
+
−
+
...
2 2⋅3⋅4 2⋅3⋅4⋅5⋅6 2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8
= cos ( x )
cos′ ( x ) =
2n
∞
∞
d ∞
x 2 n −1
x 2 n +1
n
n
n x
−
1
=
−
1
2
n
=
−
−
1
( )
( )
∑
∑ ( ) ( 2n ) ! ∑
dx n =0
2n ) !
(
( 2n + 1)!
n =1
n =0
 x2 x 4
′
x6
−
+...
 1− +

2
2
⋅
3
⋅
4
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6


− x+
x3
x5
x7
−
+
−...
2⋅3 2⋅3⋅4⋅5 2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7
= − sin ( x )
sinh′ ( x ) =
∞
d ∞ x 2 n +1
x 2n
=
= cosh ( x )
∑
∑
dx n =0 ( 2n + 1) ! n =0 ( 2n ) !
cosh′ ( x ) =
∞
d ∞ x2n
x 2 n +1
=∑
= sinh ( x )
∑
dx n =0 ( 2n ) ! n = 0 ( 2n + 1) !
Der Satz von Taylor
Funktion
f:
x → f ( x ) sei für alle x ∈ ]a, b[ n mal stetig differenzierbar
' x aus offenem
Intervall'
( also a < x <b )
Entwicklungspunkt: x0 ∈ ]a, b[
Satz von Taylor:
(5-27)
zu jedem x ∈ ]a, b[ existiert eine Zwischenstelle z ( x ) ∈ ] x0 , x[ ,
so dass
f ′′ ( x0 )
2
( x − x0 ) + …
2!
(n)
( n −1)
f
( x0 ) x − x n −1 + f ( z ( x ) ) x − x n
…+
( 0)
( 0)
n!
( n − 1)!
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) +
Taylor-Polynom:
f ′′ ( x0 )
2
( x − x0 ) + …
2!
n
−
1
f ( ) ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
n −1
n
…+
( x − x0 ) +
( x − x0 )
n! ( n − 1)!
pn ( x ) ≡ f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) +
n
f ( ) ( x0 ) anstatt
n
f ( ) ( z ( x ) )!
n
=∑
k =0
f ( k ) ( x0 )
k
( x − x0 )
k!
Nach Taylor kann man die Funktion f(x) also durch ihre Funktionswerte und Ableitungen im
beliebigen Entwicklungspunkt x0 ausdrücken. Nur im letzten Term tritt die Funktion z(x) auf.
5. Differentialrechnung
61
Wählt man z(x)=x0, kommt man zum Taylor-Polynom, mit dem man Funktionen sehr gut annähern kann. Wegen 1/k! werden höhere Glieder der Summe in der Regel sehr klein.
Eigenschaften des Taylor-Polynoms
Unabhängig vom Entwicklungspunkt x0 sind die Funktionswerte und die Ableitungen des Taylorpolynoms und der Funktion in x0 gleich:
Taylor-Polynom:
f(
n
pn ( x ) = ∑
k!
k =0
Funktionswert in x0 :
( x0 )
k)
f(
n
pn ( x0 ) = ∑
k)
( j ≤ n ):
pn(
j)
( x0 )
k!
k =0
j. Ableitung in x0 ,
( x − x0 )
n
f
( x0 ) = ∑
(k )
(5-28)
k
(x
0 − x0 ) = f ( x0 )
k
=δ k 0
( x0 ) ⋅ k ⋅
x0 − x0 )
( k − 1) ⋅ ... ⋅ ( k − j + 1) ⋅ (
k− j
k!
k =0
=δ kl
pn( ) =
1
n
∑
k
f ( ) ( x0 )
k =1
=
f(
= f
j)
⋅k ⋅( x0 − x0 )
k −1
,
2
pn( ) =
n
∑
k =2
k
f ( ) ( x0 )
k!
⋅k ⋅( k −1)⋅( x0 − x0 )
k −2
,...
( x0 ) ⋅ j ⋅
j!
( j)
k!
( j − 1) ⋅ ...2⋅1
j!
( x0 )
Taylorentwicklung 1. Ordnung
Die Funktion f(x) wird durch eine lineare Funktion approximiert. Das ist in einer kleinen Umgebung von x0 sinnvoll und wird oft gemacht. Die Taylorentwicklung 1. Ordnung entspricht der
Tangentialgeraden gt.
Taylor-Entwicklung 1. Ordnung:
Abbildung 5-6:
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f ( x ) ≃ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
(5-29)
Die Funktion f(x) wird in einer Umgebung durch das Taylor-Polynom 1. Ordnung sehr gut angenähert
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Taylor-Entwicklung höherer Ordnungen
Beispiel: Entwicklung der Cosinus-Funktion um x0=0
(5-30)
Ableitung der cos-Funktion:
cos ( 0 )
cos′ ( 0 )
=
(0)
cos (3) ( 0 )
4
cos( ) ( 0 )
cos(
2)
=
− sin ′ ( 0 )
− sin ( 0 )
=
=
1
0
= − cos ( 0 ) = −1
= − cos′ ( 0 ) =
sin ( 0 )
=
0
sin ′ ( 0 )
cos ( 0 )
=
1
=
=
⋮
⋮
∀
n ∈ 2ℕ + 1
0

ungerade n

n
cos( ) ( 0 )
=
n

n
∈ 2
ℕ
( −1) 2 ∀

gerade n
Entwicklung der cos-Funktion um x = 0 :
cos ( x ) ≃
n
∑
cos(
k)
( 0 ) xk
k! k =0
1
0 3
1 4
1+ 0⋅ x − x 2 −
x +
x +...
2
2⋅3
2⋅3⋅4
( −1) x 2 k
=∑
k = 0 ( 2k ) !
n
k
1
1 4
1− x 2 +
x +...
2
2⋅3⋅4
( Entspricht der abgebrochenen Potentialreihe der cos-Funktion )
Die Güte der einzelnen Entwicklungsstufen ist Abbildung 5-7 abzulesen.
Abbildung 5-7:
Taylor-Entwicklungen (durchgezogenen Linien) der Cosinus-Funktion (gepunktete Linien) um x0=0 in
verschiedenen Ordnungen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
f : x → f ( x ) stetig und differenzierbar für alle x ∈ ]a, b[
Funktion:
Mittelwertsatz:
für beliebige x1 < x2 ∈ ]a, b[ : es existiert eine Zwischenstelle z ( x1 < z < x2 ) ,
so dass
f ′( z) =
f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1
(5-31)
5. Differentialrechnung
63
(5-32)
Beweis:
nach Satz von Taylor für n = 1:
f ( x2 ) = f ( x1 ) + f ′ ( z )( x2 − x1 )
also:
f ′( z) =
f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1
Abbildung 5-8: Zwischentangente parallel zur Sekante (links) und lokales Maximum (rechts)
Folgerungen: Monotonie-Satz
f ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
f ′ ( x ) < 0 ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
(5-33)
f wächst monoton
f fällt monoton
Beweis:
nach Taylor:
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′ ( z ) ⋅ ( x2 − x1 )
also:
Vorzeichen ( f ′ ( z ) ) = Vorzeichen ( f ( x2 ) − f ( x1 ) )
>0
für alle x1 , x2 ∈ ]a, b[ und x1 < z < x2
Lokale Minima und Maxima
Definition
Intervall:
I ≡ [ x0 − δ , x0 + δ ] , δ >0
(5-34)
f hat ein lokales Minimum in x0 , wenn ein δ > 0 existiert und für alle x ∈ I gilt:
f ( x ) ≥ f ( x0 )
f hat ein lokales Maximum in x0 , wenn ein δ > 0 existiert und für alle x ∈ I gilt:
f ( x ) ≤ f ( x0 )
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Existenzkriterien
f sei im offenen Intervall I zwei mal stetig differenzierbar und x0 ∈ I
Notwendig für lokales Minimum in x0 :
Notwendig für lokales Maximum in x0 :
f ′ ( x0 ) = 0,
f ′ ( x0 ) = 0,
Hinreichend für lokales Minimum in x0 :
Hinreichend für lokales Maximum in x0 :
f ′′ ( x0 ) ≥ 0
f ′′ ( x0 ) ≤ 0
f ′ ( x0 ) = 0,
f ′ ( x0 ) = 0,
f ′′ ( x0 ) > 0
f ′′ ( x0 ) < 0
(5-36)
Beweis für hinreichende Kriterien:
f ( x ) , f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) stetig in x0
f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > 0
Annahmen:
f ′′ ( x0 ) stetig
⇒ es existiert ein δ > 0 mit f ′′ ( x ) > 0 für alle x mit x - x0 > δ
Satz von Taylor ⇒
1
2
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ′′ ( z )( x − x0 ) , z ∈ [ x0 , x ]
2 =0
also:
Annahmen:
analog:
⇒
(5-35)
f ( x ) > f ( x0 ) für alle x ∈ I
f hat ein lokales Minimum in x0
>0
>0
f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < 0
f hat ein lokales Maximum in x0
(5-37)
Beweis für notwendige Kriterien:
Notwendig für Minima und Maxima:
f ′ ( x0 ) = 0,
für f ′ ( x0 ) ≠ 0 wäre f in I monoton wachsend
Notwendig für Maximum:
Notwendig für Minimum:
oder fallend, hätte also keine Minima oder
Maxima
f ′′ ( x0 ) ≤ 0,
für f ′′ ( x0 ) > 0 hätte f ja in x0 ein Minimum
f ′′ ( x0 ) ≥ 0,
für f ′′ ( x0 ) < 0 hätte f ja in x0 ein Maximum
5. Differentialrechnung
65
(5-38)
Beispiele:
f ( x ) = x 4 in x0 = 0 :
also:
f ′ ( x ) = 4 x3 ,
f ′ ( 0) = 0
2
f ′′ ( x ) = 12 x , f ′′ ( 0 ) = 0
Notwendige Bedingungen für Minimum sind erfüllt
Hinreichende Bedingungen für Minimum sind nicht erfüllt
Tatsächlich liegt ein Minimum vor,
da für alle x ≠ 0 gilt: x 4 > 0
f ( x ) = x3 in x0 = 0 :
also:
f ′ ( x ) = 3x 2 ,
f ′′ ( x ) = 6 x,
f ′ ( 0) = 0
f ′′ ( 0 ) = 0
Notwendige Bedingungen für Minimum sind erfüllt
Hinreichende Bedingungen für Minimum sind nicht erfüllt
Tatsächlich liegt kein Mimimum vor ( sondern ein Sattelpunkt )
Wendepunkte
Bei einem Wendepunkt ändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten, die zweite
Ableitung einer Funktion ändert also das Vorzeichen.
f hat in x0 einen Wendepunkt, wenn f ′ in x0 ein Extremum hat
Eine notwendige Bedingung ist also:
(5-39)
f ′′ ( x0 ) = 0
Regel von de l'Hospital
Sind
f und g stetig diffenrenzierbar in ]a, b[
(5-40)
und ist lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
x →a
so gilt: lim
x →a
f ( x)
g ( x)
x →a
= lim
x →a
f ′( x)
g′ ( x)
Beweis:
f ( x) − f (a)
f ( x) f ( x) − f ( a)
x−a
wegen f ( a ) = g ( a ) = 0 :
=
=
g
x
g ( x) g ( x) − g ( a)
( ) − g ( a)
x−a
f ( a + ∆x ) − f ( a )
f ( x)
f ′( x)
∆x
= lim
mit ∆x = x − a :
lim
= lim
x→a g ( x )
∆x →0 g ( a + ∆x ) − g ( a )
x →a g ′ ( x )
∆x
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(5-41)
Beispiele:
sin ( x )
cos ( x )
= lim
=1
x →0
x →0
x
1
1 − cos ( x )
sin ( x )
cos ( x ) 1
lim
= lim
= lim
=
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x
2 x
2
2
lim
Regel von l'Hospital
2. mal anwenden
e x − e− x
e x + e− x
= lim
=2
x → 0 sin x
x → 0 cos x
lim
Das Differential einer Funktion
In (5-4) wurde der Differentialquotient definiert.
(5-42)
∆y ≡ f ( x + ∆x ) − f ( x )
dy
∆y
Differentialquotient:
≡ lim
∆
x
→
0
dx
∆x
Für viele Zwecke ist es sinnvoll, den Zähler allein zu betrachten und so vom Zuwachs zum Differential überzugehen. Damit meint man den Zuwachs der Tangente im Punkt x. Man berücksichtigt also nur die Steigung der Funktion und lässt die Krümmung außer Acht.
Zuwachs:
Formal kann man ∆x und ∆y durch hdx und hdy ersetzen und h sehr klein werden lassen:
also: ∆y → lim hdy ≡ lim f ( x + hdx ) − f ( x )
h→0
und
dy = lim
h →0
f ( x + hdx ) − f ( x )
h→0
Differential von f :
h
= lim
(5-43)
f ( x + hdx ) − f ( x )
hdx →0
hdx
dx = f ′ ( x ) dx
df ( x ) = f ′ ( x ) dx
Diese Formulierung erlaubt in Kapitel 7 die Erweiterung auf das Differential von Feldern.
Beispiele:
f ( x ) = 2 x 3 − 1,
df ( x ) = 6 x 2 dx
(5-44)
f ( x ) = cos ( x ) , df ( x ) = − sin ( x ) dx
Das Differential einer Funktion kann auch als Taylorentwicklung 1. Ordnung ihres Zuwachses
aufgefasst werden.
5. Differentialrechnung
67
Übungsaufgaben
Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
1.
2.
3.
4.
5.
y = e ⋅ cos ( bx )
(5-45)
ax

 x π 
y = ln  tan  +  
 2 4 

π

y = x ⋅ cos  ln ( x ) − 
4



 x
 a ⋅ tan  2  + c 
 

y = arctan 
2

a − c2 




a − b ⋅ cos ( x )
y=
a + b ⋅ cos ( x )
6.
y = arctan ( m ⋅ tan ( x ) )
7.
y = x tan ( x )
8.
y=
 x⋅ 3 
1
arctan 
2 

3
 1− x 
9.
y=
a ⋅ sin ( x ) + b ⋅ cos ( x )
a ⋅ sin ( x ) − b ⋅ cos ( x )
10. y =
1
2a ⋅ x − x 2
2 a⋅x +b
2 b  a⋅x +b + b 
⋅ ( ln ( x ) − 2 ) +
ln 
 , b > 0
a
a
 a⋅x +b − b 
 a −b
2
 x 
12. y =
arctan 
⋅ cot   
 2 
a 2 − b2
 a+b
11. y =
sin ( x )
13. y = ( cos ( x ) )
Berechnen Sie die n'te Ableitungen der folgenden Funktionen:
(5-46)
x
a +b⋅ x
15. y = x 2 ⋅ e x
14. y =
16. Zeigen Sie, daß für y = tan ( x ) gilt: y′′ = ( y 2 )′
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68
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
17. Entwickeln Sie die Funktionen
a ) sin ( x ) 
 nach Taylor bis zur 3. Ordnung um x0 = 0.
b) eix

c) Vergleichen Sie die Entwicklung aus b) mit der Entwicklung von
(5-47)
cos ( x ) + i sin ( x )
18. Entwickeln Sie f ( x ) = ln (1 + x ) bis zur 5. Ordnung um x0 = 0.
(5-48)
Geben Sie auch den Definitionsbereich der Funktion an!
19. Bestimmen Sie die Taylor − Reihe ( Entwicklung bis zur Ordnung n = ∞ ) für
f ( x ) = x −1 um x0 = 1!
(5-49)
Geben Sie auch den Definitionsbereich der Funktion an!
x2 −1
x2 + 1
die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und
20. Bestimmen Sie für die Funktion
f ( x) = 3
(5-50)
den Winkel zwischen Tangente und x − Achse an diesen Stellen
21. Haben die folgenden Funktionen an der Stelle x0 = 0 ein lokales Extremum
oder einen Wendepunkt?
a)
f ( x ) = x4 − 2 x3 + 2 x2 − 1
b)
f ( x ) = x4 − 2 x + 1
c)
f ( x ) = x3 + x
(5-51)
6. Integralrechnung
Der Integralbegriff
Geometrische entspricht das Integral über einer Funktion f dem Flächeninhalt zwischen dem
Graphen von f und der x-Achse. Beiträge zum Flächeninhalt unterhalb der x-Achse sind dabei
negativ. Man spricht von einem orientierten Flächeninhalt.
Die Integration erweist sich als Umkehrung der Differentiation. Das Integral einer Funktion f
kann in der Regel als so genannte Stammfunktion F(x) aufgefasst werden. Die Ableitung dieser
Funktion führt zurück zu f.
Das bestimmte Integral im Riemannschen Sinne
Funktion:
f:
a, b[
]
→ℝ
(6-1)
={ x a < x <b}
Integrationsgrenzen:
x0 , x ∈ ]a, b[
Zerlegung von [ x0 , x ] : Beliebige Zahlen x1 , x2 ,..., xm −1 , xm mit
x0 < x1 < ... < xk −1 < xk < ... < xm < x
Zwischenpunkte:
zk ∈ [ xk , xk +1 ] , k ∈ {0,1,..., m} ,
Integralsumme:
I ( m) =
( xm+1 ≡ x )
≡
xm+1
m
∑( x
− xk ) f ( zk )
k =0
k +1
( x1 − x0 ) f ( z0 )+( x2 − x1 ) f ( z1 ) +...+( x − xm ) f ( zm )
Abbildung 6-1: Mögliche Integralsumme für die Funktion f
Durch Verfeinerung der Zerlegung von [x0,x] nähert sich die Integralsumme dem gesuchten Flächeninhalt an. Das Integral wird dann durch einen gedanklichen Übergang zu einer unendlichen
Verfeinerung der Zerlegung definiert.
70
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Größte Länge eines Teilintervalls: L( m ) = max ( xk −1 − xk )
(6-2)
k = 0,1,..., m
Folge von feineren Zerlegungen:
L( ) > L( ) > L( ) ... mit lim L(
1
2
m
m)
m →∞
=0
x
Integral:
I ≡ ∫ f ( t ) dt ≡ lim I ( m )
f heißt integrierbar über [ x0 , x ] ,
f ist integrierbar über [ x0 , x ] ,
m →∞
x0
wenn alle möglichen Folgen von feineren
Zerlegungen zum selben Grenzwert I führen
wenn f auf ]a, b[ stetig oder monoton ist
( Beweis folgt später )
Weitere Begriffe:
Integrationsgrenzen:
(6-3)
x , x
0 obere
untere
Grenze Grenze
f (t )
t
Integrand:
Integrationsvariable:
∞
Uneigentliche Grenze:
∫
x
f ( t ) dt ≡ lim ∫ f ( t ) dt
x →∞
x0
x0
Beispiele
Integral:
(6-4)
x
∫ tdt = ?
0
Nebenrechnung:
m −1
∑ k = 0 + 1 + 2 + ... + ( m − 2 ) + ( m − 1)
k =0
= 1 + ( m − 1) + 2 + ( m − 2 ) + …
=
m
−3
=m
Zerlegung:
also:
=m
=
2
⋅m
( m − 1) m
2 4⋅5

 m =5: 0 +1+ 2 + 3+ 4 = 4 + 4 + 2 =10 = 2
z.B.: 
 m = 6: 0 +1+ 2 +3+ 4 + 5 =5 + 5 + 5 =15 = 5⋅6

2
x
x
, t k = k ∆t , z k = t k = k
m
m
zk
∆t
x
m −1
m −1
x x
1
zk ∆t = lim ∑ k
= x 2 lim 2
∑
∫0 tdt = mlim
→∞
m →∞
m →∞ m
mm
k =0
k =0
∆t =
m −1
k
∑
k
=
0
=
( m −1) m
2
→
=
m2
2
x2
2
6. Integralrechnung
71
−1
x
m
m →∞
0
k =0

 x

 em −1 
lim 
m →∞
x 


m


k

x
 = ( e − 1)
k =0 

m
x
m →∞ m
z
t
∫ e dt = lim ∑ e k ∆t = lim
∑e
x
m
m
 x
 e m  −1
 
e x −1
=  x
= x
e m −1
e m −1
( Geometrische Reihe )



lim 
m→∞



∞
∑ n! m 
n=1
1 x
(6-5)
n  −1

−1
 ∞ 1  x  n−1 


 = lim 



x
m→∞

 n=1 n! m  
m


−1

 x 
= lim  1+O    =1
m→∞ 
 m 
∑
= ex − 1
∞
analog nach vorausgehendem Beispiel
∫e
−t
x
−x
( e − 1)
−t
dt = lim ∫ e dt = lim
x →∞
0
x →∞
0
x
k
−1
∫ t dt : Zerlegung:
tk = x m , zk = tk
1
1
1, x m ,..., x
x
(6-6)
m −1
,x
m
k
m
 km+1

 m1

m
−
=
x
x
lim
x − 1



∑
m →∞
k =0

 m→∞ k =0 

1
ln x




= lim m  x m − 1 = lim m  e m − 1
m →∞

 m →∞ 

2
 ln x 1  ln x  1  ln x 3

= lim m  1 +
+ 
+ 
+ ... − 1




m →∞
m 2!  m  3!  m 


= ln x
m
−1
∫ t dt = lim ∑ x
1
= −1
−
k
m
Nur in günstigen Fällen kann das Integral direkt durch die Integralsumme berechnet werden.
Man kann aber unbekannte Integrale auf bekannte zurückführen. Wie, lernen wir etwas später
mit Hilfe der Partiellen Integration, der Substitutionsmethode, der Partialbruchzerlegung und der
Reihenentwicklung.
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72
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Rechenregeln für Integrale
x
Additivität:
x
x
x0
x0
∫ ( f ( t ) + g ( t ) ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ g ( t ) dt
x0
x
Homogentiät:
(6-7)
x
∫ λ f ( t ) dt = λ ∫ f ( t ) dt
x0
Aufspaltung des Integrationsintervalles:
x
∫
x0
x
x0
y
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt
x0
Umkehrung der Grenzen:
y
mit y ∈ ]a, b[
x
x0
x0
x
∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( t ) dt
Die Regeln ergeben sich einfach aus der Definition des Integrals.
Stammfunktion und Unbestimmtes Integral
Wir können das Integral als eine Funktion F von der oberen Integrationsgrenze x auffassen und
als Stammfunktion bezeichnen. Ist diese Funktion differenzierbar, so ist ihre Ableitung gleich
dem Integranden.
Wir nennen eine Funktion F : I → ℝ eine Stammfunktion für f : I → ℝ
wenn
und
(6-8)
F differenzierbar ist
F ′ ( x ) = f ( x ) gilt.
Dann ist auch G ( x ) = F ( x ) + c eine Stammfunktion, wenn c konstant ist
Satz über Stammfunktionen:
Jede auf einem Intervall I stetige Funktion f besitzt dort Stammfunktionen. Man erhält für jedes
c∈I eine Stammfunktion F durch das
x
unbestimmte Integral F ( x ) = ∫ f ( t ) dt
c
(6-9)
6. Integralrechnung
73
Beweis:
Zerlegung:
xk = a + k ⋅ h, h =
Stammfunktion:

x−a 
,  lim ≜
lim 
N
 h →0 entspricht N →∞ 
(6-10)
N
F ( x ) = lim ∑ f ( xk ) h
h →0
k =0
N +1
lim F ( x + h ) = lim ∑ f ( xk ) h
h →0
h →0
k =0
N
F ( x + h) − F ( x)
h  N +1

= lim  ∑ f ( xk ) − ∑ f ( xk ) 
h →0
h →0 h
h
k =0
 k =0

= lim f ( x + h ) = f ( x )
Ableitung:
F ′ ( x ) = lim
h →0
G ( x ) = F ( x ) + c ⇒ G′ ( x ) = F ′ ( x ) = f ( x )
und
also ist G ( x ) Stammfunktion
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wenn die reelle Funktion f ( x ) im Intervall [ x0 , x ] stetig ist,
(6-11)
so gilt für alle x1 ∈ [ x0 , x ] und für jede Stammfunktion G ( x ) :
x1
G ( x ) 
∫ f ( t ) dt = G ( x ) − G ( x ) ≡
x1
1
0
x0
Beweis:
x1
∫
x0
Schreibweise
x1
a
x1
x0
a
x0
a
a
f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = F ( x1 ) − F ( x0 )
x0
=0
= F ( x1 ) + c − c − F ( x0 ) = G ( x1 ) − G ( x0 )
Aus jeder Stammfunktion kann man also den Wert eines bestimmten Integrals bestimmen.
Stammfunktionen findet man für sehr viele Funktionen. Die unterschiedlichen Methoden lernen
wir im nächsten Abschnitt kennen. Es gibt aber auch Funktionen f, für die keine Stammfunktion
existiert.
(6-12)
Beispiele für Funktionen f , für die es keine Stammfunktion gibt:
f ( x) =
sin ( x )
,
x
cos ( x )
f ( x) =
,
x
sin ( t )
x3
x5
x7
dt
=
x
−
+
−
+ ... ≡ Si ( x )
∫0 t
3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 7 ⋅ 7!
Sinusintegral
x
cos ( t )
x2
x4
x6
dt
=
C
+
ln
x
−
+
−
+ ... ≡ Ci ( x )
∫0 t
2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!
Eulersche
Cosinusintegral
x
Konstante
f ( x) =
exp ( x )
,
x
x
t
e
x
x2
x3
dt
=
C
+
ln
x
+
+
+
+ ...
∫−∞ t
1⋅1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3!
Eulersche
Konstante
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Integration durch Umkehrung der Differentiation
Man kann jede stetige Funktion als Stammfunktion auffassen und durch Ableiten auf den Integranden schließen. So kommt man auf folgende Beispiele:
1.
α
∫ x dx =
1 α +1
x + c , α ∈ ℝ, c ist eine sog. Integrationskonstante
+
1
α
(6-13)
 1 α +1 ′ α
x +c  = x

 α +1

a)
1
n +1
x + c,
∫ x dx = n +1
n
n = 0,1, 2,...
 1 n+1 ′ n
x +c  = x

 n +1

b)
∫
2 3
x +c
3
xdx =
 2 3 / 2 ′ 1/ 2
 x +c  = x
3

c)
∫
1
dx = 2
x +c
x
′ −1/ 2
1/ 2
(2x
3
d)
∫ x 2 dx =
)
+c = x
2 5
x +c
5  2 5 / 2 ′ 3 / 2
 x +c  = x
5

Partielle Integration
Folgt aus der Produktregel der Differentiation.
Voraussetzungen für f bei allen x ∈ ]a, b[ :
(6-14)
f kann in ein Produkt von zwei stetigen Funktionen aufgespalten werden
f ( x) = g ( x) ⋅ h ( x)
g hat eine stetige Ableitung für alle x ∈ ]a, b[
Stammfunktion H von h ist bekannt
dann gilt:
∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) ⋅ h ( x ) dx = g ( x ) ⋅ H ( x ) − ∫ g ′ ( x ) ⋅ H ( x ) dx + c
(6-15)
Beweis:
g ( x ) H ( x ) = ( g ( x ) ⋅ H ( x ) )′ dx − c = ∫ ( g ′ ( x ) ⋅ H ( x ) ) dx + ∫ g ( x ) ⋅ h ( x ) dx − c
∫ Stammfunktion
g ′ ( x ) ⋅ H ( x ) + g ( x )⋅ h ( x )
∫ f ( x ) dx
6. Integralrechnung
75
(6-16)
Also:
x
x
∫ g ( t ) ⋅ h ( t ) dt =  g ( t ) ⋅ H ( t ) x − ∫ g ′ ( t ) ⋅ H ( t ) dt ,
x
0
x0
x0 , x ∈ ]a, b[
x0
(6-17)
Beispiel:
∫
x
cos ( x ) ) − ∫ 1 ( − cos ( x ) ) dx + c
( x ) dx = x (−
x sin
x g ′( x ) g ( x)
g( x)
h( x )
H ( x)
H ( x)
0
= − x cos ( x ) + ∫ cos ( x ) dx + c = − x cos ( x ) + sin ( x ) + c
sin ( x )
Substitutionsmethode
Folgt aus der Kettenregel für die Differentiation.
(6-18)
Voraussetzungen:
F : u → F ( u ) = ∫ f ( u ) du + c, für alle u ∈ ]a, b[
ϕ : x → ϕ ( x ) ∈ ]a, b[ , für alle x ∈ ]α , β [
ϕ ′ stetig
(6-19)
Es gilt:
∫ f (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) ⋅ du
Beweis:
Kettenregel: F ′ ( u )
u =ϕ
Integration:
= F ( u ) u =ϕ
+c
⋅ ϕ ′ ( x ) = F ′ (ϕ ( x ) )
u =ϕ ( x )
u =ϕ ( x )
+c
du
∫ f (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx = F (ϕ ( x ) ) + c
= F ( u ) u =ϕ
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( x)
F ′ ( u ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx = ∫ F ′ ( u ) ⋅ du = ∫ f ( u ) ⋅ du = F ( u )
∫
f (u )
also:
( x)
u =ϕ ( x )
( x)
+ c = ∫ f ( u ) ⋅ du
+c
u =ϕ ( x )
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(6-20)
Für bestimmte Integrale:
x
∫
f (ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ ′ ( t ) dx =
x0
ϕ( x)
f ( u ) ⋅ du
∫
ϕ
( x0 )
u =ϕ ( x )
= F ( u ) u =ϕ
u =ϕ ( x )
( x0 )
+c
1. Art der Anwendung
Voraussetzungen:
(6-21)
1. Der Integrand f ( x ) ist ein Produkt
2. Man findet ein ϕ ( x ) , so dass
f ( x) = g ( x) ⋅ h ( x)
f ( x ) = g (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x )
3. Man kennt die Stammfunktion von g: G ( x ) = ∫ g ( x ) dx
g (ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) dx = ∫ g ( u ) du
∫ f ( x ) dx = ∫ Dann ist
g (u )
du
u =ϕ ( x )
= G (ϕ ( x ) )
(6-22)
Beispiel:
xdx = ∫ u du
x cos
∫ sin
( )
3
3
u =sin x du =u ′dx
= cos xdx
u ( x ) = sin ( x )
x
oder
∫ sin t cos tdt =
∫
3
x0
1
4
+ c = sin ( x ) + c
4
u =sin x
sin ( x )
u 3du
u ( x0 ) = sin ( x0 )
u =sin x
(
1
1
4
4
= u4
= sin ( x ) − sin ( x0 )
4 sin( x0 ) 4
)
2. Art der Anwendung
Man betrachtet das Integral
dass
∫ f ( u ) du und sucht eine Funktion ϕ ( x ) = u so,
∫ f (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx berechnet werden kann
= f ( u ) du
∫
Voraussetzung:
1. Man findet ein ϕ ( x ) mit bekannter Stammfunktion G ( x ) = ∫ f (ϕ ( x ) ) ⋅ ϕ ′ ( x ) dx
g ( x)
2. Umkehrfunktion x = ϕ
-1
( u ) muss im vorgeschriebenen Intervall existieren
(6-23)
6. Integralrechnung
77
(6-24)
Beispiele:
au )
∫ cos (
u=x / a
−1
du
= ∫ cos ( x ) a dx =
sin ( x )
a
du =u ′dx
= a −1dx
=
sin ( au )
x = au
a
x = au
 sin ( x ) 
sin ( au ) − sin ( au0 )
oder ∫ cos ( au ) du = ∫ cos ( x ) a dx = 
=

a
 a  x0 = au0
u0
u0 = x0 / a
u=x / a
u
−1
2
1 − u 2 du
= ∫ 1 − sin x cos xdx =
∫ u =sin x
cos xdx
x + 1 − sin ( x ) sin x
2
=
=
2
=
∫ cos ( x ) dx
sin ( x ) cos( x ) = ∫ ( sin ( x ) cos( x ) )′ dx
2
2
= ∫ cos( x ) dx − ∫ sin ( x ) dx
2
2
= ∫ cos( x ) dx − ∫ (1− cos ( x ) ) dx
2
= 2 ∫ cos( x ) dx − x
2
x + cos x sin x
2
(6-25)
x = arcsin u
arcsin u + 1 − u 2 u
2
x = arcsin u
oder
x = arcsin (1)
=π / 2
1
1 − u 2 du =
∫
∫
2
2
4
x0 = arcsin 0
=0
0
( betrachte den Graphen von cos ( x ) )
π
cos ( x ) dx =
Hälfte des
Rechtecks
π /2⋅1
Partialbruchzerlegung
Alle rationalen Funktionen können geschlossen integriert werden!
Ganze rationale Funktionen
∫ (c
1
1
1
2
p −1
+ c p x p ) dx = c + c0 x + c1 x 2 + ... + c p −1 x p +
c p x p +1
0 + c1 x + c2 x + ... + c p −1 x
p
p +1
2
(6-26)
Echt gebrochene rationale Funktionen
Können auf zwei Grundintegrale zurückgeführt werden
mit a, b, c, A, B ∈ ℝ :
(6-27)
1
Grundintegral 1:
∫ ( x - a)
Grundintegral 2:
∫
( ax
n
ln ( x − a ) + c,
für n = 1

1
dx =  1
−
+ c für n > 1
 n − 1 ( x - a )n −1

Ax + B
2
+ 2bx + c )
n
dx
Das Grundintegral 2 kann weiter reduziert und in mehreren Schritten gelöst werden.
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Unecht gebrochene rationale Funktionen
Sie können durch Division in eine ganze und eine echt gebrochene rationale Funktion verwandelt
werden.
Numerische Integration
Vorausgehend haben wir nun sehr viele Integrale gelöst. Das darf darüber aber nicht hinwegtäuschen, dass man immer wieder mit Integralen konfrontiert wird, für die man keine Stammfunktion findet. Man kann dann mit dem Computer die Integralsumme I(m) nach (6-1) für eine geeignete Zerlegung berechnen und erhält so in der Regel Ergebnisse von ausreichender Genauigkeit.
b−a
, xn = a + n∆x, f n = f ( xn )
N
b
Untersumme:
∫ f ( x ) dx ≃ ∆x ( f0 + f1 + ... + f N −2 + f N −1 )
(6-28)
mit ∆x =
a
Obersumme:
b
∫ f ( x ) dx ≃ ∆x ( f
+ f 2 + ... + f N −1 + f N )
1
a
Trapezregel:
∆x
b
∫ f ( x ) dx = 2 ( f + 2 f + 2 f + ... + 2 f + 2 f
( Mittelwerte ( Obersumme,Untersumme ) )
0
1
2
N −2
N −1
+ fN )
a
Simpson-Regel:
b
∫ f ( x ) dx =
a
Allgemein:
b
∫
a
∆x
( f0 + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f3 + 2 f 4 + ... + 2 f N −2 + 4 f N −1 + f N )
3
( N ∈ 2ℕ !)
f ( x ) dx = ∆x
w
Gewichtsvektor ∈ℝ N +1
⋅
f
( f0 , f1 ,..., f N )
6. Integralrechnung
79
(6-29)
Beispiel:
Funktion:
f ( x) =
4
1
π 1 + x2
1
Integral:
∫ f ( x ) dx = 1
0
1
6
 4 144 18 16 36 144 2 
Funktionsvektor: f =  ,
, , ,
,
, 
 π 37π 5π 5π 13π 61π π 
Untersumme: w = (1,1,1,1,1,1, 0 ) ,
∆x w ⋅ f = 1.05...
Obersumme: w = ( 0,1,1,1,1,1,1) ,
∆x w ⋅ f = 0.94...
1
1
Trapez:
w =  ,1,1,1,1,1,  ,
∆x w ⋅ f = 0.998...
2
2
1 4 2 4 2 4 1
Simpson:
w =  , , , , , ,  , ∆x w ⋅ f = 0.9999997...
3 3 3 3 3 3 3
Stützstellen:
N = 6, ∆x =
Abbildung 6-2: Vergleich verschiedener Integrationsmethoden für N=6
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Übungsaufgaben
1. Geben Sie die Integrale an, für die die Funktionen F ( x ) Stammfunktionen sind
a)
b)
(6-30)
ln ( x ) + c
für alle x > 0 und

ln ( − x ) + c für alle x < 0
F ( x ) = ex + c
c)
F ( x) =
d)
F ( x ) = sin ( x ) + c, F ( x ) = − cos ( x ) + c,
1
β x + c,
ln β
( für alle x ∈ ℝ und β > 0, β ≠ 1) ,
F ( x ) = sinh ( x ) + c, F ( x ) = cosh ( x ) + c
e)
F ( x ) = arctan ( x ) + c
f ) F ( x ) = arcsin ( x ) + c, für alle x ∈ ]−1,1[
g)
F ( x ) = arccos ( x ) + c, für alle x ∈ ]−1,1[
2. Berechnen Sie durch partielle Integration
a )..c)
∫
( x ) dx,
x cos
g( x)
h( x )
d ).. f )
x sin ( x ) dx, ∫ x
∫
( )
2
g x
(6-31)
2
cos ( x ) dx
h( x )
∫ xe dx, ∫ x e dx, ∫ x e dx
x
2 x
3 x
g )..i )
∫ sin ( x ) cos ( x ) dx, ∫ sin ( x )
j )..l )
∫ ln ( x ) dx, ∫ x ln ( x ) dx, ∫ x ln ( x ) dx
2
∫ cos ( x )
dx,
2
dx
n
3. Berechnen Sie durch Substitution der 1. Art
(6-32)
a)...d )
∫ sin ( x ) cos ( x ) dx, ∫ sin ( x ) dx, ∫ xe
e)... f )
∫x
g )...i )
( )
ϕ( )
∫ f ( x ) dx, ∫ (ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) dx, ∫ a ϕ ′ ( x ) dx
j )...l )
∫ sin (ϕ ( x ) ) .ϕ ′ ( x ) dx, ∫ 1 + ϕ ( x )
3
3
x 2 − a 2 dx in x ∈ [ −a, a ] ,
f′ x
x2
x
∫
1 − x2
k
dx,
∫x
x 2 + a 2 dx
dx, in x ∈ [ −1,1]
x
ϕ′( x)
2
dx,
∫
ϕ′ ( x)
1−ϕ ( x)
2
dx
6. Integralrechnung
81
4. Berechnen Sie durch Substitution der 2. Art:
a )...b)
(6-33)
2
u
du , ∫
du
1 + u3
∫ ue
u2
u= x
du =
1
2 x
dx
u = x1/3
1
du = x −2/3 dx
3
c)...e)
∫ sin u ⋅ cos u ⋅ du, ∫ tan u ⋅ du, ∫ ln u ⋅ du = ∫ x ⋅ e dx
f )...i )
∫t
x
2
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cos ( t 3 ) dt ,
∫
1 − t 2 dt ,
1
∫ y ln ydy
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7. Vektorfunktionen und Felder
Vektorfunktionen sind Vektoren, wobei jede Komponente eine Funktion der Zeit, der Bogenlänge oder sonst eines Parameters ist.
Unter einem Feld versteht man in der Physik die eindeutige Zuordnung einer physikalischen
Größe wie Kraft, Masse, Ladung oder Wahrscheinlichkeit zu den Punkten in einem Koordinatensystem.
Bemerkung
Die folgenden Themen sind eine Vorschau auf die mathematischen Inhalte des Integrierten Kurses I in Physik. Der Übersichtlichkeit wegen ist die mathematische Formulierung etwas einfacher
gehalten als in den vorausgehenden Kapiteln.
Bahnkurven als Beispiel für Vektorfunktionen
Bahnkurven sind die Grundlage der klassischen Mechanik (Hamiltonsches Prinzip).
Es sind Idealisierungen, sie sind nicht beobachtbar!
Jedem Objekt (Massepunkt, Punkt in kontinuierlicher Masseverteilung) wird zu jedem Zeitpunkt
t ein Ort r ( t ) zugeordnet.
Beispiele für Bahnkurven (s ist Bahnparameter, z.B. Zeit t, Bogenlänge, …)
Gerade im Raum: Waagrechter Wurf:
Schraubenkurve:
 vx s 
 r0 + r cos ( s ) 

 

r2 ( s ) =  v y s  r3 ( s ) =  r0 + r sin ( s ) 



2
1
vz s


 z0 − 2 gs 
Unter Umständen entspricht v der Geschwindigkeit.
r1 ( s ) = r0 + vs
Gerade im Raum
Waagrechter Wurf
Schraubenkurve
Abbildung 7-1: Verschiedene Bahnkurven im dreidimensionalen Raum
(7-1)
7. Vektorfunktionen und Felder
83
Stetigkeit von Vektorfunktionen
(7-2)
f ( x ) = ∑ fi ( x ) eˆi ist stetig, wenn alle Koordinaten
i
( oder Vektorkomponenten ) fi ( x ) stetig sind
Dann ist
(7-3)
lim f ( x ) = lim ∑ fi ( x ) eˆi = ∑ fi ( x0 ) eˆi = f ( x0 )
x → x0
x → x0
i
i
Ableitung vektorwertiger Funktionen
Ableitung nach dem Bahnparameter:
df ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f ( x + ∆x ) − f i ( x )
df ( x )
≡ lim
= lim ∑ i
eˆi = ∑ i
eˆi
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
dx
dx
i
i
(7-4)
 df ( x ) df 2 ( x ) df 3 ( x ) 
= 1
,
,

dx
dx
dx


Zeilenvektor
df ( x )
Der Vektor
liegt in x tangential an der Kurve an. Die Bahnkurve ändert sich ja genau
dx
entlang der Bahnkurve.
Höhere Ableitungen:
d n f ( x ) d  d n −1 f ( x ) 
≡ 
 ( rekursive Definition )
dx n
dx  dx n −1 
(7-5)
Geschwindigkeitsvektor
Für die Bahnkurve r ( t ) ( Ort als Funktion der Zeit ) ist
dr ( t ) = v ( t ) die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit t
dt
r ( t + ∆t ) − r ( t )
Messbar sind jedoch immer nur mittlere Geschwindigkeiten v ≡
.
∆t
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(7-6)
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Rechenregeln:
Summenregel:
Produktregel 1:
Produktregel 2:
Produktregel 3:
Kettenregel:
Quotientenregel:
(
)
d d
d
d

a + b = ∑ ( ai + bi ) eˆi = ∑  ai eˆi + bi eˆ 
dx
dx i
dx 
i  dx
d d = a + b,
dx
dx
d d
 d 
 d 
a ⋅ b = ∑ ai bi = ∑   ai  bi + ai  bi  
dx
dx i

 dx  
i   dx
 d   d 
=  a  ⋅b + a ⋅ b ,
 dx 
 dx 
d  d 
d 
a × b = ∑ ε ijk  ai  b j eˆk + ∑ ε ijk ai  b j  eˆk
dx
 dx 
 dx 
ijk
ijk
 d   d 
=  a ×b + a × b ,
 dx 
 dx 
 d 
d
 d 
ab =  a  b + a  b  ,
dx
 dx 
 dx 
da ( b ) db ( x )
d d
,
a ( b ( x ) ) = ∑ ai ( b ( x ) ) eˆi =
dx
dx i
db
dx
(
)
(
)
(7-7)
( )
 d   d   a b − ba
d a  dx   dx 
=
dx b
b2
Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung
Bogenlänge:
Für die Bogenlänge s gilt: ds= dr
(7-8)
Dann ist der
(7-9)
dr ( s )
Einheitstangentialvektor tˆ ≡
ds
Wie oben begründet liegt jede Ableitung der Bahnkurve nach dem Kurvenparameter im entsprechenden Punkt tangential an der Kurve an. Ferner ist nach (7-8), also nach der Definition der
Bogenlänge s
tˆ =
dr ( s )
ds
(7-10)
=1
Der Tangentialvektor bleibt bei kleinen Änderungen von s in Tangentialrichtung gleich 1 (Normierung). Er ändert sich genau senkrecht zur Tangente, also ist der
Einheitsnormalenvektor nˆ ≡
dtˆ ( s )
−1
dtˆ ( s )
ds
ds
Normierung
(7-11)
7. Vektorfunktionen und Felder
Krümmung:
85
κ≡
Krümmungsradius: ρ ≡
Abbildung 7-2:
dtˆ ( s )
ds
(7-12)
ist ein Maß für die Krümmung der Raumkurve
1
κ
Die Änderung des Ortsvektors dr tangiert in x die Kurve und definiert so den Tangetialvektor t. Die Änderung des Tangetilavektors dt steht in x senkrecht auf der Kurve.
Beispiel:
(
)
Kreisbahn mit Radius R: r ( s ) = R cos ( f ( s ) ) , R sin ( f ( s ) ) , 0 ,
Bestimmung von f :
dr ( s ) = − sin ( f ( s ) ) , cos ( f ( s ) ) , 0 Rf ′ ( s ) ds
2
2
Betrag: ( sin ( f ( s ) ) ) + ( cos( f ( s ) ) ) =1
(
!
dr ( s ) = Rf ′ ( s ) ds = ds ⇒
)
f =
s
R
also:

s
s 
r ( s ) = R  cos   ,sin   , 0 
R
R 

Tangentialvektor:

s
s 
tˆ = r ′ ( s ) =  − sin   , cos   , 0 
R
R 

Normalenvektor:
1ˆ
1 
s
s 
t′ = −
cos   ,sin   , 0 

κ
κR   R 
R 
r (s)

s
s 
= −  cos   ,sin   , 0  = −
R
R
R 

1
κ=
R
ρ=R
Krümmung:
Krümmungsradius:
(7-13)
nˆ =
Vektorenfunktionen und Felder
Wir betrachten hier folgende Vektorstrukturen:
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
3 Koordinaten für Position im Raum
Vektor r ∈ ℝ3 :
3
Vektorwertige Funktion r ( t ) :ℝ → ℝ : Schar von Vektoren, Kurvenparameter ist
Zeit, Bogenlänge, ...
3
Skalare Funktion von
Skalarfeld: ϕ ( r , t ) : ℝ × ℝ → ℝ :
Ort und Zeit (Vektoren)
3
3
Vektorwertige Funktion von
Vektorfeld: F ( r , t ) : ℝ × ℝ → ℝ :
Ort und Zeit (Vektoren)
(7-14)
Skalare Felder:
Gravitationspotential, elektrisches Potential, Temperaturfeld, Massenfeld, Wahrscheinlichkeitsfeld,…
Vektorielle Felder:
Kraftfeld, Geschwindigkeitsfeld, Elektrisches- und Magnetisches Feld, …
Beispiele:
Zentralpotential:
1
ϕ (r ) ∝ − = −
r
1
x2 + y 2 + z 2
Kräfte im Zentralfeld: ( x, y , z )
rˆ
r
F (r ) ∝ 2 = 3 =
3/ 2
r
r
( x2 + y 2 + z 2 )
(Schwerefeld,
(7-15)
elektrisches Potential )
(Schwerkraft,
elektrisches Feld )
Bemerkung zur Realität der Felder:
Felder sind mathematische Hilfsmittel zur Beschreibung physikalischer Phänomene aufgrund
kausaler Zusammenhänge. Felder sind nicht beobachtbar oder messbar!
Wir beobachten zum Beispiel, wie ein Ball durch die Luft fliegt, oder wie sich Eisenspäne auf
einer Glasplatte über einem Magneten orientieren. Schwerefelder oder magnetische Felder treten
dabei nicht in Erscheinung, aber die beobachteten Phänomene können mit ihrer Hilfe berechnet
werden.
Felder sind real im Sinnen gedanklicher Vorstellungen, nicht im Sinne physikalischer Objekte.
Das gleiche gilt auch für Raum und Zeit.
Partielle Ableitung
Felder hängen in der Regel von drei Raumkoordinaten und einer Zeitkoordinate ab. Beim partiellen Ableiten werden alle bis auf eine, nach der abgeleitet wird, festgehalten:
7. Vektorfunktionen und Felder
87
(7-16)
Partielle Ableitung: ∂ϕ ( r , t )
ϕ ( r + heˆi , t ) − ϕ ( r , t )
= lim
h→0
∂xi
h

∂ϕ ( r , t )

ϕ ( y + h) −ϕ ( y)
= lim
, x, z , t sind konstant 
 etwa
h →0
∂y
h


∂ϕ ( r , t )
ϕ (r ,t + h) −ϕ (r ,t )
= lim
h→0
∂t
h
oder:
∂F ( r , t )
F ( r + heˆi , t ) − F ( r , t )
= lim
h →0
∂xi
h
F (r ,t + h) − F (r , t )
∂F ( r , t )
= lim
h →0
∂t
h
Nach einer Variablen xi oder t wird also abgeleitet und die anderen Variablen werden dabei festgehalten.
Beispiele für partielle Ableitungen:
∂r
Ableitung des Ortsvektors, z.B.:
= ∂ y ( xeˆx + yeˆy + zeˆz ) = eˆy
∂y
∂r
∂
oder allgemein:
=∑
x j eˆ j = eˆi
∂xi
j ∂xi
(7-17)
δ ij
Ableitung des Abstandes:
∂r ∂
=
x2 + y 2 + z 2 =
∂y ∂y
Kettenregel mit u = x 2 + y 2 + z 2
(
)
∂u u ( ∂ yu )
=
1
1
=
2 u 2r
=2 y
=
y
r
Richtungsableitung:
Partielle Ableitungen nach (7-16) geben die Steigung eines Feldes in Richtung der Raum- und
Zeitkoordinaten an. Für die Berechnung der Steigung in einer beliebigen Richtung ergibt sich
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K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Richtung uˆ :
(7-18)
uˆ = ∑ ui eˆi , uˆ = 1
i
Richtungsableitung:
ϕ ( r + huˆ ) − ϕ ( r )
∂ uˆϕ ( r ) ≡ lim
h→0
h
f ( ε ) ≡ϕ ( r +ε u )
f (ε + h ) − f (ε )
= lim
h→0
h
ˆ
= lim
ϕ ( r + ( h + ε ) uˆ ) − ϕ ( r + ε uˆ )
h→0
h
ε =0
ε =0
ε Kettenregel r ( ) ≡ r +ε uˆ
 ∂
d
d
 d
=
f ( ε ) ε =0 =
ϕ ( r + ε uˆ ) ε = 0 = ∑  (ε ) ϕ r (ε )  ri(ε )
dε
dε
dε
i  ∂ri
ε =0

= ui = ∑ eˆi ⋅eˆ j u j
j
∂ϕ ( r )
 ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r ) 
= ∑ u j eˆ j ⋅ eˆi
= uˆ ⋅ 
,
,

∂xi
∂x2
∂x3 
i, j
 ∂x1
Man kann die Ableitung auch verallgemeinern für nicht normierte Vektoren und erhält
( )
 ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r )  ∂ ϕ (r ) = u ⋅
,
,
 = u ∂ uˆϕ ( r )
∂x2
∂x3 
 ∂x1
(7-19)
u
Gradienten:
Der Vektor mit den Ableitungen des Feldes ϕ unten (7-18) ist in der Physik sehr wichtig und
wird als Gradient bezeichnet.
 ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r ) ∂ϕ ( r ) 
∂
ϕ (r )
Gradient: ∇ϕ ( r ) ≡ 
,
,
 = ∑ eˆi
∂y
∂z  i ∂xi
 ∂x
Die Bezeichnung 'Gradient' ergibt sich aus der Interpretation des Vektors.
(7-20)
Beispiel:
∑ x2j
j
1
−1/ 2
Gravitationspotential, elektrisches Potential: ϕ ( r ) = − = − u ( r )
r
∂
−1/ 2
 1 −3/ 2  ∂
Gradient: ∇ϕ = −∑ eˆi
u (r )
= −∑ eˆi  − u ( r ) 
x 2j
∑
∂xi
∂xi j
 2

i
i
u ( r )≡ r 2 =
∂u −1/ 2 ∂u
∂u ∂xi
∑ eˆ x
i i
= 3/ 2
(r 2 )
i
r
rˆ
= 3= 2
r
r
2 xi
(7-21)
7. Vektorfunktionen und Felder
89
Rechenregeln
Summenregel:
 ∂
∂
∂ 
∇ (ϕ + ψ ) = ∑ eˆi
(ϕ +ψ ) = ∑  eˆi ϕ + eˆi ψ 
∂xi
∂xi
∂xi 
i
i 
= ∇ϕ + ∇ψ
(7-22)
 ∂ 
 ∂ 
∂
∇ (ϕψ ) = ∑ eˆi
ϕψ = ∑ eˆi   ϕ ψ + ϕ  ψ  
∂xi
i
i
 ∂xi  
  ∂xi 
= ∇ϕ ψ + ϕ ∇ψ
Quotientenregel: ϕ ∇ϕ ϕ∇ψ
∇ =
− 2
Produktregel:
( )
ψ
ψ
=
Kettenregel:
( )
(
ψ
(
∇ϕ ψ − ϕ ∇ψ
ψ
)
)
2
df (ϕ ) ∂
∂
∇f (ϕ ) = ∑ eˆi
f (ϕ ) = ∑ eˆi
ϕ
∂xi
dϕ ∂xi
i
i
df (ϕ ) =
∇ϕ
dϕ
Differential und Interpretation des Gradienten:
Am Ende von Kapitel 5 wurde das Differential einer Funktion eingeführt. Es ergab sich durch
Linearisierung des Zuwachses dx, dy : ∆x ≡ lim hdx, ∆y ≡ lim hdy .
h →0
h →0
Nun betrachten wir ganz analog das Feld ϕ als Funktion mehrer Variablen.
Zuwachs:
∆ϕ ( r ) ≡ ϕ ( r + ∆r ) − ϕ ( r )
Linearisierung: ∆ϕ ( r ) → lim hdϕ ( r ) = lim ϕ ( r + hdr ) − ϕ ( r )
h →0
h →0
Differential:
ϕ ( r + hdr ) − ϕ ( r )
dϕ ( r ) = lim
h →0
h
∂ϕ ( r )
= ∂ dr ϕ ( r ) = ∇ϕ ( r ) ⋅ dr = ∑
dxi
∂xi
i
(7-23)
Richtungsableitung
Interpretation des Gradienten
Das Differential dϕ gibt an, wie sehr sich das Feld ϕ bei einer Änderung des Ortes d r linear ändert. Speziell entlang von Äquipotential- oder Höhenlinien ändert sich das Differential gar nicht:
(7-24)
Äquipotentiallinien: 0=dϕ ( r ) = ∇ϕ ( r ) ⋅ dr ⇒ ∇ϕ ⊥ dr
Gradient senkrecht
auf Ortsänderung
Daraus ergibt sich die Bedeutung. Der Gradient eines skalaren Feldes gibt die Richtung und das
Maß des größtmöglichen Anstieges des Feldes an. Beschreibt das Feld etwa die Höhendaten eines Berges, dann zeigt der Gradient entgegen der Falllinie. Die Länge des Gradienten drückt
dann aus, wie Steil es an der Stelle des Berges ist.
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Beispiel elektrisches Potential eines Dipols:
1
1
− r −a r +a
r = xeˆx + yeˆ y , a = aeˆx
ϕ (r ) = Abbildung 7-3: Äquipotentiallinen (Linien) und Gradientenfeld (Pfeile) eines Dipols.
Ableitungen höherer Ordnung1
Existieren die partiellen Ableitungen eines Feldes überall, so sind diese ebenfalls Funktionen von
r und können gegebenenfalls wieder partiell differenziert werden. So kommt man zur
Partiellen Ableitung höherer Ordnung:
∂ kϕ ∂ ∂
∂
ϕ (r )
r =
...
k ( )
∂xi
∂xi ∂xi ∂xi
(7-25)
k − mal
Differenziert man ein paar Mal nach verschiedenen Variablen, schreibt man entsprechend
∂ kϕ
∂ kn
∂ k2 ∂ k1
r
=
...
ϕ (r )
(
)
kn
k1
kn
k2
k1
∂xn ...∂x1
∂xn ∂x2 dx1
(7-26)
Wichtig ist, dass die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt, solange alle Ableitungen stetig sind. Etwa für die 2. Ableitungen ist
∂ ∂
∂
1
ϕ (r ) =
lim (ϕ ( r + heˆi ) − ϕ ( r ) )
h
→
0
∂x j ∂xi
∂x j
h


1 
= lim lim
ϕ ( r + leˆ j + heˆi ) − ϕ ( r + heˆi ) −ϕ ( r + leˆ j ) + ϕ ( r )
l →0 h →0 lh  




1
= lim lim  ϕ ( r + leˆ j + heˆi ) − ϕ ( r + leˆ j ) −ϕ ( r + heˆi ) + ϕ ( r ) 
l →0 h →0 lh  


∂
1
=
lim ϕ ( r + leˆ j ) − ϕ ( r )
∂xi l →0 l
(
=
1
∂ ∂
ϕ (r )
∂xi ∂x j
Kann im MVK weggelassen werden
)
(7-27)
7. Vektorfunktionen und Felder
91
Taylor-Entwicklung für Felder2
Mit Hilfe der Richtungsableitung nach (7-18) wird die Taylor-Entwicklung ganz zwanglos auf
Felder erweitert:
(7-28)
r − r0 )
(
ˆ
Taylor-Entwicklung von ϕ um r0 mit d ≡ r − r0 , d = :
r − r0
n
N
dˆ ⋅∇ ϕ
dn
ϕ (r ) = ∑
n!
n =0
(
)
r = r0
= ϕ ( r0 ) + dˆ ⋅∇ϕ
r = r0
d+
(
)
Beispiel: Entwicklung von r − a um
0. Ordnung:
r −a
r =0
(
1 ˆ 2
1 ˆ d ⋅∇ ϕ
d 2 +…+
d ⋅∇
N!
2
r = r0
)
N
ϕ
d n + Restglied
r = r0
r =0
=a
(7-29)
1. Ordnung:
u ( r )=( r − a )
xi ∂
=∑
u (r )
i , j r ∂xi
rˆ ⋅∇ r − a = rˆ ⋅∇
(r − a )
2
2
2
xi 1
x
∂
1
xj − aj ) = ∑ i
(
2 ( xi − ai
u ( r ) ∂xi
i, j r
i, j r 2 u ( r )
r −a
= rˆ ⋅ r −a
rˆ ⋅ a
also
−a
rˆ ⋅∇ r − a = rˆ ⋅
=−
r =0
a
a
r − a
2 2. Ordnung:
rˆ ⋅∇ r − a = rˆ ⋅∇ rˆ ⋅∇ r − a = rˆ ⋅∇rˆ ⋅ r −a
=∑
(
)
(
)
)
u ( r ) = ( r − a ) .v ( r ) = r
xj (xj − aj )
x ∂
=∑ i
= ...
v (r ) u (r )
i , j r ∂xi
2
2
Anderer Weg:
Wir wenden einen Trick an, um das Feld eindimensional zu entwickeln:
2
Kann im MVB weggelassen werden
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 x x2
3 
+
=
r − a = a 2 − 2r ⋅ a + r 2 = a
1
x
a
1 + − + O ( x ) 
 2 4

r 2 − 2 r ⋅a
x≡
(7-30)
a2
 r 2 − 2r ⋅ a 1  r 2 − 2r ⋅ a 2

3

= a 1 +
−
+
O
r
(
)




2a 2
8
a2



2
2
 r ⋅ a r2 (r ⋅ a )

r ⋅ a r2 (r ⋅ a )
3
= a 1 − 2 + 2 −
+ O (r ) = a −
+
−
+ O ( r3 )
4
3


a
2
a
2
a
a
2
a
2
a


2
r ⋅ a r2 (r ⋅ a)
r −a = a−
+
−
+ O (r3 )
3
a
2a
2a
Insgesammt:
(7-31)
Wegintegrale
Einfache Integration über einen Weg bei konstantem Integranden (hier =1)
r1
r
r
r
r
r0
r0
r0
r0
r0
1
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
∫ dr = ∫ ( dxex + dyey + dzez ) = ∫ dxex + ∫ dyey + ∫ dzeˆz
(7-32)
= ( x1 − x0 ) eˆx + ( y1 − y0 ) eˆy + ( z1 − z0 ) eˆz
= r1 − r0 ( Relativvektor des direkten Weges )
Integral über ein skalares Feld
Das geht nicht so ganz analog, weil die Funktion ja im Allgemeinen von allen Koordinaten abhängt.
r1
r
r0
r0
r1
1
ϕ
r
(
∫ ) dr = ∫ ϕ ( x, y, z ) ( dxeˆx + dyeˆy + dzeˆz )
(7-33)
= ∫ (ϕ ( x, y, z ) dxeˆx + ϕ ( x, y, z ) dyeˆy + ϕ ( x, y , z ) dzeˆz ) = ???
r0
Man muss also angeben, welcher Wert von x zu einem bestimmten Wert von y oder z gehört.
Man muss den Weg parametrisieren:
(7-34)
Parametrisierung: r = r ( s ) ( s ist etwa Bogenlänge,
Differential:
Für Zeit t :
Damit ist
Zeit oder ein anderer Parameter )
∂r
dr = ds = r ′ds
∂s
∂r
ɺ
dr = dt = rdt
= vdt ( v ist Geschwindigkeit )
∂t
7. Vektorfunktionen und Felder
93
r1
∫ ϕ ( r ) dr =
r0
s ( r1 )
∫
s ( r0 )
(7-35)
ϕ ( r ( s ) ) r ′ ( s ) ds
Beim Einsetzen der Funktionen ergibt sich ein gewöhnliches, bestimmtes Integral.
Beispiel
Konstante Beschleunigung: v ( t ) = v0 + at
r1
(7-36)
t
t
Wegintegral:
1
1
1 2 2
dr
=
v
t
dt
=
(
)
∫r
∫t
∫t ( v0 + at ) dt = v0 ( t1 − t0 ) + 2 a ( t1 − t0 )
0
0
0
= r1 − r0 ( siehe oben )
also:
1
r1 = r0 + v0 ( t1 − t0 ) + a ( t12 − t02 )
2
Integral über ein Vektorfeld
Sehr fundamental!
(7-37)
Arbeit = Kraft × Weg: dA = F ⋅ dr
r1
also:
t1 A = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ r ′ ( s ) ds
r0
t0
Beispiele:
Abbildung 7-4:
Wege in Kraftfeldern. Links führt der Weg Γ1 entlang der x-Achse ins unendliche und der Weg Γ2 von
einem Punkt auf einer Äquipotentiallinie zu einem anderen. Rechts betrachten wir zwei geschlossene Wege,
Γ1 liegt neben dem Zentrum des Wirbels, Γ2 umfasst es.
Linkes Bild in Abbildung 7-4:
rˆ
r
Kraftfeld: Fa = 2 = 3
r
r
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(7-38)
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Weg 1 ( s ∈ [ 0,1]) :
Arbeit 1:
 R + ( x0 − R ) s 
 x0 − R 

 ′


r1 = lim 
0
0 
 , r1 = xlim

x0 →∞
→∞
0
 0 


0




1 1
r 1
A1 = ∫ F ⋅ dr = lim ∫ 3 ⋅ r ′ds = lim ∫
x − R ) ds
2 ( 0
x0 →∞ r
x0 →∞
Γ1
0
0 ( R + ( x0 − R ) s )
→ x0
→( R + x0 s )
1
= lim x0 ∫
x0 →∞
0
1
x0 s )
(R+
2
ds = lim
R + x0 → x0
x0 →∞
∫
R
(7-39)
2
1
1
du = − lim
2
x0 →∞ u
u
x0
R
u , ds = du / x0
 1 1 1
= − lim  −  =
x0 →∞ x
 0 R R
Wir erhalten das Potential ϕ.
Weg 2 ( s ∈ [ 0,1]) :
 (1 − s ) 
 −1
 ′  

r2 =  s  , r2 =  1 
0
 0 
 


1 − s 


 s 
 0 


Arbeit 2:
A2 =
∫
F ⋅ dr =
Γ2
∫
Γ2
(
(7-40)
 −1
 
⋅ 1  dt
3/ 2 
2
2
0 
(1 − s ) + s
 
)
Integration mit Substitution u = 2 s − 2 s +1
−1+ 2 s = 12 u ′
u ′ds
u (1)
1
s − 1) + s
(
1
1
1 =∫
ds = ∫ 3/ 2 du = − 1/ 2
3/
2
2
2
u
2 u ( 0) u
0 (1 − s ) + s
2
(
)
1
1
(1−2 s + 2 s )=u
2
=0
Hier bewegen wir uns von einem Punkt auf einer Äquipotentiallinie zur anderen.
Rechtes Bild in Abbildung 7-4:
rˆ × eˆ
r × eˆ
Kraftfeld: Fb = 2 z = 3 z
r
r
(7-41)
Eine Rechnung zeigt, dass
Weg 1: A1 =
∫
Fb ⋅ dr ≠ 0
Weg 1
Weg 2: A2 =
∫
Fb ⋅ dr = 0
Weg 2
Der Unterschied zwischen den beiden Wegen ist klar:
(7-42)
7. Vektorfunktionen und Felder
95
Auf Weg 1 bewegt man sich um die Singularität herum (etwa mit einer Ladung um einen stromführenden Leiter). Die Kraft kommt vorwiegend aus der Bewegungsrichtung.
Auf Weg 2 bewegt man sich an der Singularität vorbei. Die Kraft wechselt ihre Richtung und die
Komponenten kompensieren sich.
Konservative Kraftfelder.
Die Eigenschaft der Wegunabhängigkeit der Arbeit ist sehr elementar. Wenn man einen Berg
besteigt, hängt die Potentielle Energie am Gipfel nicht vom Weg ab. Das Kraftfeld der Gravitation hat ein Potential:
rˆ
(7-43)
r
Für das Kraftfeld
F= 2 = 3
r r existiert ein Potential ϕ mit F = −∇ϕ
allgemeiner:
(7-44)
Für ein konservatives Kraftfeld F gilt
∫
a) das Wegintegral ist unabhängig vom Weg:
F ⋅ dr =
Γ1 ( r0 → r1 )
Γ 2 ( r0 →r1 )
∫ F ⋅ dr ≡ ∫
b) das Integral auf jeder geschlossenen Bahn
F ⋅ dr
∫
F ⋅ dr = 0
Γ( r →r0 )
Γ
0
∇ × F ( r ) =0
∇ϕ = − F
c) für alle r ist die Rotation
d ) es existiert ein Potential ϕ mit ∇
Die Aussagen a-d sind äquivalent und definieren den Ausdruck 'konservativ'.
In den obigen Beispielen ist das Feld Fa offensichtlich konservativ, das Feld Fb nicht.
Flächen- und Volumenintegrale
Stützstellen:
xi = x0 + ( i -1) ∆x, N =
N
x1
i =1
x0
xN − x0
∆x
(7-45)
Fläche unter der Kurve: A = lim ∑ f ( xi ) ∆x ≡ ∫ dxf ( x )
∆x → 0
Man berechnet hier eine Fläche (2D-Volumen), und das kann man in x und y auch symmetrisch
schreiben:
xN − x0
∆x
f ( xi )
y j = y0 + ( j -1) ∆y, N y , xi =
∆y
Stützstellen:
xi = x0 + ( i -1) ∆x, N x =
Fläche unter der Kurve:
x1 f ( x )
x1
N x N y , xi


A = lim ∑ ∑ ∆x∆y ≡ ∫  ∫ dy  dx ≡ ∫
∆x → 0


x0  0
x0
∆y →0 i =1 j =1

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(7-46)
f ( x)
∫
dydx
0
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96
Abbildung 7-5:
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Integration als Flächenberechung. Links wird die genannte Obersumme gebildet, indem die x-Koordinate in
infinitesimale Abschnitte unterteilt wird. Rechts wird zusätzlich auch die y-Koordinate in infinitesimale Abschnitte unterteilt. Dies führt auf die Verallgemeinerung zu Volumenintegralen.
Die Äquivalenz von (7-45) und (7-46) sieht man leicht:
x1 f ( x )
(7-47)
x1
∫0 dy dx = x∫ f ( x ) dx
x0 0
A= ∫
f ( x)
y0
Dies wird nun zum Volumenintegral verallgemeinert:
x1
V = ∫ dxdydz = ∫ dx
V
x0
y1 ( x )
∫
z1 ( x , y )
∫
dy
y0 ( x )
(7-48)
dz
z0 ( x , y )
Die Reihenfolge der Integrationen richtet sich nach der Geometrie (siehe folgendes Beispiel).
Bezeichnungen:
∫ dxdydz = ∫ dV = ∫ d r
3
V
V
V
z . B . im Intgrierten
Kurs Physik
(7-49)
7. Vektorfunktionen und Felder
97
Beispiel Pyramide
Abbildung 7-6: Pyramide, deren Volumen in (7-50) berechnet wird.
Integrationsbereiche: x = −1 + z …1 − z ,
Volumen:
1
V = ∫ dV = ∫ dz
V
0
1− z
∫
−1+ z
y = −1 + z …1 − z ,
1
z = 0…1;
1
dydx = ∫ dz x −1+ z y −1+ z = ∫ dz ( (1 − z ) − ( −1 + z ) )
1
1− z
1− z
0
2
0
2
0
1
= 4 ∫ dz (1 − z ) = 4 ∫ dz ( z 2 − 2 z + 1) = 4 ( 13 z 3 − z 2 + z )
=
(7-50)
0
1
0
4
3
Teilchendichte
Anzahl von Teilchen im Volumen ∆Vk :
nk , k ∈ {1… K }
Teilchendichte:
ρ ( rk ) =
Anzahl N von Teilchen im Gesamtvolumen:
N = ∑ nk = ∑ ∆Vk
(7-51)
nk
∆Vk
K
K
k =1
k =1
nk
→ ∫ dV ρ ( r )
∆Vk
V
Massendichte:
Masse im Volumen ∆Vk :
Massendichte:
m ⋅ nk , k ∈ {1… K }
m ⋅ nk
ρɶ ( rk ) =
∆Vk
K
K
k =1
k =1
Masse im Gesamtvolumen: M = ∑ m ⋅ nk = ∑ ∆Vk
(7-52)
m ⋅ nk
→ ∫ dV ρɶ ( rk )
∆Vk
V
Ladungsdicht geht analog.
Schwerpunkt (Integration über Vektorfeld)
1
Schwerpunkt: R ≡
M
K
1
rk m ⋅ nk =
∑
M
k =1
m ⋅ nk
1
∆Vk → ∫ dVrk ρɶ ( rk )
k
MV
∆Vk
k =1
K
∑r
(7-53)
Beispiel Geodreieck (konstante Massendichte)
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Tübingen, den 13.02.2013
98
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
Abbildung 7-7: Geodreieck, dessen Schwerpunkt in (7-54) berechnet wird.
(7-54)
Dichte:
ρɶ ( rk ) =
Schwerpunkt:
1− y
d
1
1
1
ɶ
R=
dVr
r
=
dz
dy
dx ( xex + yey + zez )
ρ
(
)
k
k
∫
∫
∫
∫
MV
d 0 0 −1+ y
M M
=
V
d


d
1
1

2
2 
1
= ∫ dz ∫ dy 2 (1 − y ) − ( −1 + y ) ex + 2 (1 − y ) ye y + 2 (1 − y ) zez

d 0 0  
=0

(
)


d
1
 2 1 − 1 e + 2 1 − 1 ze  = 1 1 de + 1 d 2 e
dz
( (2 (3 y 2 z)
z 
3) y
2)
d ∫0   d
1
1


3
 0 
 
=  13 
1d
2 
=
Übungsaufgaben
1.
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen bis zur 2. Ordnung für folgende Funktionen:
a ) f ( x, y ) = 2 x + 3 y , b) f ( x, y ) = sin ( x + 3 y ) ,
2
c ) f ( x, y ) = e
(x
2
+ y2
2
)
,
(
)
d ) f ( x, y ) = ln x 2 sin ( x + y )
2
sin ( x ) ≡sin ( x ) sin ( x )
sin 2 ( x ) ≡sin ( sin ( x ) )
2
2. Berechnen Sie die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung der Funktion
x2 − y 2
x2 + y 2
Wie verhalten sich die Funktion und die gemischten partiellen Ableitungen
f ( x, y ) =
2. Ordnung beim Vertauschung der Variablen ( x, y ) → ( y, x )
(7-55)
7. Vektorfunktionen und Felder
3.
99
Berechnen Sie für die Bahnkurve r ( t ) = ( 2t , t 2 + 1, t − 1) :
a ) den Geschwindigkeitsvektor v ( t ) = rɺ ( t )
b) den Beschleunigungsvektor a ( t ) = ɺɺ
r (t )
c)
4.
(7-56)
Geben Sie die Komponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigung in
Richtung u = (1, −2, −2 ) an
Wir betrachten die Bahnkurve r ( t ) = ( 3cos ( t ) ,3sin ( t ) , 4t )
a ) Welcher Bahn oder geometrischen Form entspricht diese Kurve
b) Bestimmen Sie die Bogenlänge s ( t ) und geben Sie die Bahnkurve
in der Form r ( s ) an
c)
Bestimmen Sie den Tangentenvektor, den Normalenvektor, die Bahnkrümmung,
und den Krümmungsradius
(7-57)
Berechnen Sie mit konstantem a und r = ∑ xi eˆi :
5.
ear
a ) den Gradienten ∇
r
1
b) den Gradienten ∇ ,
r -a
c)
6.
1
die Richtungsableitung ∂ ( r -a ) r -a
Wir betrachten das Kraftfeld F ( x, y ) = (1 + y, x )
a ) Berechnen Sie die Arbeit A =
P2 = ( 0,1)
∫
(7-58)
ds ⋅ F entlang drei verschiedener Wege
P1 = (1,0 )
1.Weg: P1 → P2 entlang einer Geraden
2.Weg: P1 → P = (1,1) → P2 entlang zweier Geraden
3.Weg: P1 → P2 entlang eines Kreisbogens mit Radius R = 1 und
Mittelpunkt M = 0
b) Berechnen Sie das Potential V ( r ) , für das also ∇V = − F ist
7. Berechnen Sie die Doppelintegrale
2 3
2 y
a ) ∫ ∫ xy ( x − y ) dydx, b) ∫ ∫ xdxdy, c) ∫
0 0
1 0
(7-59)
1 2− y
0
∫
y 2 dxdy
y
8. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen a und b.
Die Ellipsengleichung ist
x2 y 2
+
= 1. Zeigen Sie, dass die Ellipse auch durch
a2 b2
 x   a cos ( t ) 
 , t ∈ [ 0, 2π ] parametrisiert wird. Nutzen Sie die Symmetrie
 y  = 
   b sin ( t ) 
der Ellipse.
9. Berechnen Sie Mittels eines Doppelintegrals die Fläche eines gleichseitigen
Dreiecks der Seitenlänge a
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Tübingen, den 13.02.2013
100
K. Bräuer Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium
10. Berechnen Sie die Lage des Flächenschwerpunkts eines Dreiecks,
dessen Eckpunkte durch die Koordinaten ( 0, 0 ) , ( a, 0 ) , ( a, b ) gegeben sind
11. Berechnen Sie die Masse eines Kreiskegels mit Grundflächeradius R und Höhe H
Die Dichte des Materials wächst dabei vom Wert ρ0 an der Grundfläche bis zum
Wert 5 ρ 0 an der Kegelspitze linear
12. Ein Tetraeder mit Kantenlänge a0 hat eine homoge Ladung konstanter Dichte ρ0 .
a) Wie groß ist die Gesamtladung Q?
b) Wie groß wäre die Flächenladungsdichte σ , wenn diese Gesamtladung
gleichmäßig auf der Oberläche des Tetzraeders verteilt wäre?
Hinweis: Berechnen Sie dazu entsprechend den Zeichungen
(
)
den Abstand g einer Ecke zur Grundflächenmitte cos ( 300 ) = 3 / 2 ,
die Höhe h ( a ) des Tetraeders als Funktion der Kantenlänge a,
den Abstand b einer Kante zur gegenüberliegenden Ecke,
den Inhalt A ( a ) einer Seitenfläche und
das Volumen V als Integral von A ( h ) über h=0..h ( a 0 ) .
Damit können Sie a) und b) beantworten.
Abbildung 7-8: Tetraeder zu Aufgabe 12
Lösungen zu den Übungsaufgaben finden Sie unter www.kbraeuer.de bei ‚Skripte und Einführungen – Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium …’
Index
Ableitung...... 19, 51, 52, 53, 65
Ableitung vektorwertiger
Funktionen ....................... 83
Ableitungen höherer Ordnung
......................................... 90
Absolutbetrag ......................... 9
Argument komplexer Zahlen 10
Bahnkurve ...................... 39, 53
Bahnkurven als Beispiel für
Vektorfunktionen ............. 82
Basistransformationen .......... 20
Beispiel . 11, 21, 25, 30, 39, 41,
53
Beispiele:........ 8, 29, 41, 42, 66
Bestimmung von Grenzwerten
......................................... 30
Betrag ................... 9, 10, 11, 23
Cosinus..................... 19, 47, 62
Dezimaldarstellung ............ 4, 5
Differentation ....................... 55
Differential ........................... 66
Differential und Interpretation
des Gradienten.................. 89
Differentialquotient ........ 51, 66
Differenzenquotient ....... 51, 53
Divergente Folgen ................ 30
Druck ................................... 39
Ebenen ................................. 24
Eigenschaften von Funktionen
......................................... 40
Einheitskreis ....... 11, 46, 47, 54
Einheitsvektoren .................. 20
Elementare Funktionen ........ 42
Eulersche Formel ................. 11
Exponentialfunktion ....... 44, 45
Exponentialfunktion und
Logarithmus ..................... 44
Exponentialschreibweise ...... 11
Flächen- und
Volumenintegrale ............. 95
Folgen ...................... 29, 30, 40
Ganze Zahlen ......................... 3
Geometrische Interpretation . 37
Geraden ................ 6, 24, 25, 26
Geschwindigkeit . 6, 15, 38, 39,
53
Gradienten ........................ 4, 88
Grundrechenarten ............... 2, 4
Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung .............. 73
Hauptwert ............................. 10
Höhere Ableitungen ............. 53
Hyperbelfunktion ................. 44
imaginäre Einheit ...................7
Inneres Produkt .................... 18
Integral im Riemannschen
Sinne ................................. 69
Integralbegriff....................... 69
Integration durch Umkehrung
der Differentiation ............ 74
Inversenregel ........................ 58
Irrationale Funktionen .......... 44
Kettenregel ........................... 56
Komplexe Zahlen ...................7
komplexe Zahlenebene ...........8
Komplexkonjugation ..............9
Konservative Kraftfelder ...... 95
Konvergente Folgen ............. 29
Konvergenzkriterien ............. 33
Koordinantensysteme ........... 16
Kreuzprodukt ...... 21, 22, 23, 24
Krümmung ..................... 66, 84
Länge eines Vektors . 18, 19, 21
Logarithmus ......................... 44
Maxima ................................ 63
Messfehler ............................ 39
Messungen..............................6
Minima ................................. 63
Mittelwertsatz ....................... 62
Monoton ............................... 41
Monotonie-Satz .................... 63
Naturkonstante ..................... 39
Natürlichen Zahlen .................2
Normalenvektor .................... 84
Numerische Integration ........ 78
objektiver Raum ................... 16
Objektivierung ...................... 15
Ordnungsstrukutur ..................2
Partialbruchzerlegung ........... 77
Partielle Ableitung................ 86
Partielle Integration .............. 74
Physikalische Beispiele ........ 37
Plancksche Wirkungsquantum
...................................... 6, 39
Polynome.............................. 42
Potenzreihen ................... 32, 59
Produktregel ......................... 57
Pyramide .............................. 97
Quotientenregel .................... 57
Rationale Funktionen ........... 43
Rationale Zahlen ....................3
Raumerfahrung ..................... 15
Rechenregeln für Integrale .. 72
Reelle Zahlen ..................... 4, 6
Regel von de l'Hospital ........ 65
Reihen .......................29, 31, 44
Richtungsableitung .............. 87
Satz von Taylor.............. 11, 60
Sekante .....................51, 52, 63
Skalar ........................17, 18, 21
Skalare Felder ...................... 86
Skalarprodukt .....18, 19, 20, 21
Spatprodukt.......................... 24
Stammfunktion .................... 72
Stetigkeit .............................. 40
Stetigkeit von
Vektorfunktionen ............. 83
Substitutionsmethode........... 75
Summenregel ....................... 55
Tangente ...................51, 52, 66
Tangentenvektor .................. 84
Taylor .......................60, 61, 62
Taylorentwicklung ......... 61, 66
Taylor-Entwicklung für Felder
......................................... 91
Taylor-Polynom ................... 61
Transzendente Funktionen ... 44
Trigonometrische Funktionen
......................................... 46
Trigonometrische
Umkehrfunktionen ........... 47
Übungsaufgaben ..3, 26, 34, 48,
67
Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion ........ 45
Unbestimmtes Integral ......... 72
Unschärfe ..............6, 38, 39, 53
Van der Waals ..................... 39
Vektoren ....4, 8, 15, 16, 18, 19,
20, 21, 22, 23, 24, 25
Vektorenfunktionen und Felder
......................................... 85
Vektorielle Felder ................ 86
Vektorprodukt...................... 21
Volumen ........................ 39, 40
Wegintegrale........................ 92
Wendepunkte ....................... 65
Wurzeln ................................. 7
Zahlenbereiche ...................... 1
Zahlenebene ..7, 8, 9, 10, 11, 29
Zahlengerade ..................... 6, 7
Zusammengesetze Funktionen
......................................... 41