Übungsaufgaben zur Einführung in die

Übungsaufgaben zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Ferienkurs Wintersemester 2010/2011 TUM
Mittwoch/Donnerstag:
Zufallsvariablen und bedingte Wahrscheinlichkeiten (Kapitel 3 und 4)
1. Zufallsvariablen und Verteilung
Sei
(Ω, F, P )
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
(Ω0 , F 0 )
ein Ereignisraum. Was versteht
man
a) unter einer
Ω0 -wertigen
Zufallsvariablen?
b) unter der Verteilung einer
Ω0 -wertigen
Zufallsvariablen?
2. Verteilung [FE]
Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum
X, Y : (Ω, F, P ) → (R, B(R))
a)
X(ω) 6= Y (ω) ∀ω ∈ Ω
b)
PX = P Y
(Ω, F, P ) und zwei reellwertige Zufallsvariablen
an, für die gilt:
und
3. Punkt in einer Kugel
Ein Punkt wird zufällig in einer Kugel mit Radius
r > 0
gewählt. Bestimmen Sie die
Verteilung des Abstands des Punktes vom Mittelpunkt der Kugel.
4. Simulation von Zufallsvariablen
Beschreiben Sie ein Verfahren zur Simulation
a) einer mit Parameter
α
b) einer mit Parametern
exponentialverteilten Zufallsvariablen.
n=2
und
p=
1
binomialverteilten Zufallsvariablen.
4
5. Transformationssatz
Formulieren Sie den aus der Vorlesung bekannten Transformationssatz für Lebesguedichten.
6. Transformation von Zufallsvariablen I
Sei
X
gleichverteilt auf
[−1, 1].
Y := X 6 ,
Y := exp(X),
Y := X 3 ,
Y := sin( π2 X).
Bestimmen Sie die Dichte von
1
Y
für
7. Transformation von Zufallsvariablen II [MU]
Bestimmen Sie
γ,
f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) := γx exp(−x), x > 0 eine DichteX stetig mit Dichte f . Bestimmen Sie die Verteilung von Y := X1 .
so dass
funktion ist. Es sei
Hinweis: Vgl. auch T6.1
8. Faltungsregel
In Tutoraufgabe 9.1 aus [MU] wurde mit Hilfe des Transformationssatzes gezeigt: Seien
X1 , X2 unabhängige, stetige
R Zufallsvariablen mit Dichten f1
stetig mit Dichte f (y) =
f (x)f2 (y − x)dx.
R 1
und
f2 , dann ist Y := X1 +X2
Beweisen Sie dieses Ergebnis erneut über die Berechnung der Verteilungsfunktion von
X1 + X 2 ,
c ∈ R gilt
Z c Z
FX1 +X2 (c) =
f1 (x)f2 (y − x)dxdy.
d.h. zeigen Sie, dass für
−∞
R
9. Produkt und Quotient stetiger Zufallsvariablen
Es seien
X1
und
X2
unabhängige, stetige Zufallsvariablen mit Dichten f1 und f2 . BestimX1
Y := X1 · X2 und Z := X
in Abhängigkeit von f1 und f2 .
2
men Sie die Dichte von
Hinweis: Vgl. hierzu auch H6.2
10. Transformationssatz I [TK]
Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte
fX (x) = e−x ·1R+ (x) und σ, γ ∈ R+ , θ ∈ R.
1
a) Bestimmen Sie die Lebesgue-Dichte von
Y := σX γ + θ.
b) Bestimmen Sie die Lebesgue-Dichte von
Z := −γ log( Y σ−θ ).
11. Transformationssatz II [KL]
2
Es sei X ∼ N (µ, σ ).
Die Verteilung von
Y := exp(X)
nennt man auch Log-Normalverteilung.
a) Bestimmen Sie die zugehörige Lebesgue-Dichte.
b) Bestimmen Sie
E(Y n ), n ∈ N
12. Maximum und Minimum von Zufallsvariablen
Seien
X1 , ..., Xn unabhängig und gleichverteilt auf [0, 1]. Bestimmen Sie die Verteilung von
a)
min{X1 , ..., Xn }
b)
max{X1 , min{X2 , ..., Xn }}
13. Geometrische Verteilung [RI]
Es seien
X1
und
X2
unabhängig und geometrisch verteilt mit Parameter
Sie die Verteilung von
Y := X1 + X2
und interpretieren Sie
2
Y
p.
Bestimmen
im Bernoulli-Prozess.
14. Füttern einer Katze
Zum Füttern einer Katze stehen drei Sorten von Katzenfutter bereit. Jede Sorte wird
entsprechend der untenstehenden Tabelle
von der Katze mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angenommen (Ereignis AN)
oder abgelehnt (Ereignis AB).
Sorte
1
2
3
AN
0.8
0.7
0.2
AB
0.2
0.3
0.8
Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es
sich um eine der beiden Sorten
1
oder
2,
wenn die Katze das Futter annimmt?
15. Insekt [RO2]
Ein Insekt legt eine Poisson-verteilte Anzahl Eier mit Rate
p
unabhängig von allen anderen mit Wahrscheinlichkeit
Verteilung der Anzahl
X
λ.
Aus jedem Ei schlüpft
ein Insekt. Bestimmen Sie die
der Nachkommen des Insekts.
Hinweis: Vgl. hierzu auch T12.2
16. Rückseite von Münzen [HA]
In einem Beutel liegen drei Münzen. Eine Münze davon ist eine typische Kopf-ZahlMünze, die anderen beiden sind wie folgt modiziert: eine zeigt auf beiden Seiten Kopf und eine auf beiden Seiten Zahl. Sie wählen blind eine der drei Münzen aus dem Beutel
und führen einen Münzwurf durch, bei dem Sie Kopf beobachten. Wie groÿ ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich auf der Rückseite Zahl bendet?
17. Schwangerschaftstest
Hersteller von Schwangerschaftstests werben gerne mit Aussagen wie Zuverlässigkeit von
über 99% oder dergleichen. Dies ist natürlich insoweit irreführend, als dass hier nicht
zwischen den zwei möglichen Fehlern Test negativ gegeben dass schwanger und Test
positiv gegeben dass nicht schwanger unterschieden wird. Schenken Sie der Werbung
Glauben und nehmen Sie für beide Fehler einen Wert von 0.01 an. Von allen Personen, die
einen Schwangerschaftstest durchführen, sei ein Anteil
p ∈ (0, 1)
tatsächlich schwanger.
Zeigen Sie, dass Sie bei einem positiven Schwangerschaftstest nur dann wirklich mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% schwanger sind, wenn
p ≥ 0.5.
18. Stochastische Unabhängigkeit [GE]
Es sei
(Ω, F, P )
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
a) Sind
A, B
b) Sind
A, B, C
unabhängig, so auch
A, B c .
unabhängig, so auch
A ∪ B, C .
3
A, B, C ∈ F .
Zeigen Sie:
19. Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten [RO1]
(Ω, F, P )
Es seien
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
A1 , A2 , ..., An ∈ F
unter
P
unab-
hängige Ereignisse. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keines dieser Ereignisse
eintritt, kleiner ist als
exp(−
n
X
P (Ai ))
i=1
20. Summe unabhängiger, exponentialverteilter Zufallsvariablen
Es seien
X
und
Y
unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter
Sie die Dichte der Verteilung von
α. Bestimmen
X +Y.
21. Bedingte Verteilung [RI]
Es seien
X
und
Y
unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 1. Bestimmen
X gegeben X + Y = t∗ , t∗ > 0. Interpretieren Sie Ihr
Sie die bedingte Verteilung von
Ergebnis im Poisson-Prozess und im Hinblick auf Aufgabe 4 in der ersten Klausur.
22. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen [TK]
Es sei
X
standardnormalverteilt. Zeigen Sie, dass
4
X
und
X2
nicht unabhängig sind.
Literatur
[RI]
Thomas Richthammer, Online-Skript zur Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlich-
keitstheorie und erste Klausur, TUM, WiSe 2010/2011
http://www-m5.ma.tum.de/pers/richthammer/wtheorie.html
[MU] Thomas Richthammer, Gernot Müller (Übungsleitung), Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie, TUM, WiSe 2010/2011
http://www-m5.ma.tum.de/pers/richthammer/wtheorie.html
[RO1] Silke Rolles, Mathias Raer (Übungsleitung), Vorlesung Probability Theory, TUM, SoSe
2010
[RO2] Silke Rolles, Alexander Bauer (Übungsleitung), Vorlesung Statistik: Grundlagen, TUM,
SoSe 2010
[TK] Thomas Klein, Stephan Haug (Übungsleitung), Vorlesung Einführung in die Wahrschein-
lichkeitstheorie, TUM, WiSe 2009/2010
[FE] Stefan Fritsch, Christoph Schwaiger, Ran Zhang, Moritz Voÿ, Ferienkurs zur Vorlesung
Stochastik 1 , WiSe 2007/2008, TUM
[KL] Achim Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, 2. Auage, Springer, 2008
[HA] Olle Häggström, Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2006
[GE] Hans-Otto Georgii, Stochastik, de Gruyter, Berlin 2002
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