PREBAC 2015_MIT TI - EEB1 - Mathematik
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EXAMEN – 1. SEMESTER S7DE – MATHEMATIK 5-STÜNDIGER KURS SCHULJAHR 2014/15 PRÜFUNG MIT TI-NSPIRE LEHRERIN : FRAU BRUNNER Name : Vorname : Kommentare Unterschrift /70 DATUM DES EXAMENS: Montag, 2. Februar 2015 von 8:30 Uhr bis 11:30 Uhr DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) MATERIAL : Die Verwendung des TI-Nspire CAS ist gestattet. Das Gerät muss unmittelbar vor dem Examen in den „Press-To-Test“-Modus versetzt werden. BEMERKUNGEN : Das Examen besteht incl. Deckblatt aus 4 Seiten. Die maximal erreichbare Punktezahl beträgt 70. Das Examen umfasst 5 Aufgaben. Es sind alle Fragen zu beantworten. Es können alle Rechnungen mit dem Taschenrechner durchgeführt werden. Bitte auf dem Blatt angeben, welche zur Lösung geführt haben. Bitte auf eine saubere Arbeitsweise achten. Am Ende des Examens bitte alle Blätter abgeben. Alles Gute und Viel Erfolg! 1 1. Aufgabe : Analysis (20 Punkte) Gegeben sind die beiden Funktionen g und h: g(x) = 1 1 und h(x) = 2 1+ x 1+ x 5 1 Punkt 3 Punkte 3 Punkte 4 Punkte 1 Punkt a) Bestimme den Definitionsbereich der beiden Funktionen. b) Bestimme dieGleichungen der Asymptoten der Funktionen g und h. c) Bestimme das Monotonieverhalten der Funktionen g und h. d) Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte der Funktionen g und h. e) Skizziere den Verlauf der Funktionen g und h auf Papier. 3 Punkte 2 Punkte f) Es sei b eine reelle Zahl >1. Die Funktionen g und h sollen eine Fläche im Intervall 0 ; b einschließen. Finde eine Formel zur Berechnung dieses Flächeninhalts A(b) in Abhängigkeit von b. Berechne mit Hilfe des Taschenrechners den Wert A(12) und A(25). Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (Ein exakter Wert ist nicht notwendig!) g) Berechne lim A(b) . Runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. b 3 Punkte h) Gegeben ist außerdem die Funktion f: f(x) = g(x) f(x) = h(x) falls x < 1 falls x ≥ 1 Ist die Funktion f stetig und differenzierbar im Punkt x = 1? 2. Aufgabe : Folgen und Reihen (5 Punkte) Gegeben ist die Zahlenfolge a n . an 2 Punkte 2n 2 6n 8 n2 n für n = 0,1, 2,3,..... a) Zeige, dass die Folge steigend ist. (Achtung! Das Berechnen einzelner Folgenelemente ist nicht ausreichend!) 1 Punkt 2 Punkte b) Finde den Grenzwert der Folge. c) Ab welcher Zahln ist die Differenz zwischen a n und 2 kleiner oder gleich 0,1? 2 3. Aufgabe: Geometrie (20 Punkte) Die Gerade g geht durch die Punkte A(1; –1; 4) und B(2; –2; 5). 3 Punkte a) Finde eine Parameterdarstellung der Geraden g. Die Gerade h ist durch folgende Gleichung definiert : 5 Punkte x-2 y-4 z-7 = = 2 1 3 b) Berechne den Winkel zwischen g und h. Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt C. 3 Punkte c) Finde die Koordinaten von Punkt C. 4 Punkte d) Finde die Gleichung der Ebene , welche die Geraden g und h enthält. 2 Punkte 3 Punkte e) Zeige, dass der Punkt D(1;-10;1) auf der Ebene liegt. f) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCD. 4. Aufgabe : Komplexe Zahlen (5 Punkte) Gegeben ist die folgende Gleichung : z 2 2(k 1) z 4 0 z Î C, k Î R 2 Punkte a) Bestimme jene Werte für k für welche die Gleichung keine reellen Lösungen besitzt. Erkläre deine Vorgangsweise auf dem Blatt. 2 Punkte b) Bestimme den Wert für k, sodass 1 i 3 Lösung der Gleichung ist.Finde mit Hilfe dieser Zahl k die zweite Lösung der Gleichung. 1 Punkt c) Finde die Quadratwurzeln der beiden Lösungen aus b). 3 5. Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung (20 Punkte) A Eine Firma erzeugt Überraschungseier aus Schokolade. In jedem 5. Ei befindet sich eine Kunststofffigur in der Form eines Schlumpfs. a) a) Jemand kauft für einen Kindergeburtstag 15 zufällig ausgewählte 2 Punkte b) Überraschungseier. Erkläre den folgenden Ausdruck : c) 1 3 4 12 15 ( )∙( ) ∙( ) 3 5 5 5 Punkte d) b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A, B und C. Runde auf 3 e) Nachkommastellen. (1+2+2) A: In keinem der Überraschungseier befindet sich ein Schlumpf. B: In höchstens zwei Überraschungseiern befindet sich ein Schlumpf. C: In höchstens 13 Überraschungseiern befindet sich kein Schlumpf. f) 4 Punkte g) h) i) c) Susanne kauft Überraschungseier und wünscht sich sehnlich einen Schlumpf. Berechne die Mindestanzahl an Überraschungseiern, die Susanne kaufen muss, um zumindest einen Schlumpf mit 95% Wahrscheinlichkeit zu bekommen. 4 Punkte j) d) Bei der Produktion von Überraschungseiern können die folgenden Fehler auftreten : F1: Die Schokoladenhülle zerbricht. F2: Die äußere Verpackung des Überraschungseis ist fehlerhaft. F1 und F2sind unabhängig voneinander. Ein Überraschungsei gilt als fehlerfrei, wenn weder F1 noch F2 auftritt. 85%der produzierten Überraschungseier sind fehlerfrei. Die Erfahrung zeigt, dass 8% der Überraschungseier eine zerbrochene Schokoladenhülle aufweisen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Fehler F2 eintreten? Runde auf zwei Dezimalen. 5 Punkte k) l) m) n) o) p) e) Die Schokoladenfirma beauftragt ein Marktforschungsinstitut, um den Einfluss einer bestimmten Werbekampagne auf die Einkaufsgewohnheiten der Kunden zu untersuchen. Dabei ist von besonderem Interesse, ob eine Person, die ein Überraschungsei kauft, von einer entsprechenden Fernsehwerbung beeinflusst wurde. Das Marktforschungsinstitut fand heraus, dass 40 %aller interviewten Personen innerhalb des letzten Monats ein Überraschungsei gekauft haben. 33%aller befragten Personen gaben an, die Werbung gesehen zu haben. 36%haben weder die Werbung gesehen noch ein Überraschungsei gekauft. i. ii. iii. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der die Werbung gesehen hat, ein Überraschungsei kauft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der die Werbung nicht gesehen hat, ein Überraschungsei kauft. Interpretiere dein Ergebnis in einem Satz. 4 5
