Vektorgeometrie - TUM Mathematik

Vorkurs Mathematik für EI
Prof. Dr. J. Dorfmeister
Thorsten Knott
TU München
WS 12/13
Vektorgeometrie


 
x1
y1
Seien ~x, ~y ∈ R3 mit ~x = x2  = (x1 , x2 , x3 )T bzw. ~y = y2  = (y1 , y2 , y3 )T .
x3
y3
1. Das Skalarprodukt < ~x, ~y > wird deniert durch:
   
x1
y1
< x2  , y2  > =
x3
y3
3
X
xi yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
i=1
2. Für Vektoren ~x, ~y , ~z ∈ R3 und α, β ∈ R gilt:
< α~x + β~y , ~z >= α < ~x, ~z > +β < ~y , ~z > .
3. Das Kreuzprodukt ~x × ~y liefert einen Vektor, der senkrecht zu ~x und ~y steht und
dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von ~x und ~y
aufgespannt wird. Es gilt:
   
x1
y1
x2  × y2 
x3
y3


x2 y3 − x3 y2
= x3 y1 − x1 y3 
x1 y2 − x2 y1
und
< ~x, ~x × ~y >= 0, < ~y , ~x × ~y >= 0.
4. Die Norm k~xk eines Vektors ~x gibt den Betrag seiner Länge an. Es gilt:
k~xk =
p
< ~x, ~x > =
p
(x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 .
5. Der Abstand zweier Vektoren ~x und ~y ist deniert als
d(~x, ~y ) = k~x − ~y k =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 .
6. Für den Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren ~x, ~y ∈ R3 gilt folgende Gleichung:
< ~x, ~y >= k~xk k~y k cos(ϕ).
1
1. Es seien die Vektoren ~v1 , . . . , ~v4 ∈ R2 gegeben durch:
~v1 =
1
0
, ~v2 =
2
1
, ~v3 =
5
3
und ~v4 =
0
4
.
Berechnen Sie das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:
(i) {~v1 , ~v2 }
(ii) {~v2 , ~v3 }
(iii) {~v3 , ~v4 }
2. Es seien die Vektoren ~v1 , . . . , ~v4 ∈ R3 gegeben durch:
 
 
 
 
1
2
5
0
~v1 = 0 , ~v2 = 1 , ~v3 =  3  und ~v4 = 4 .
1
3
−2
6
(a) Berechnen Sie das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren:
(i) {~v1 , ~v2 }
(ii) {~v2 , ~v3 }
(iii) {~v3 , ~v4 } .
(b) Welche der Vektoren ~v1 , . . . , ~v4 sind senkrecht zueinander?
(c) Berechnen Sie von ~v1 , . . . , ~v4 jeweils die Norm und normieren Sie die Vektoren anschlieÿend
auf Länge 1.
(d) Berechnen Sie jeweils den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren aus Teilaufgabe (a).
(e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von ~v2 und ~v3 aufgespannten Parallelogramms.
(f) Berechnen Sie < ~v1 , 6~v2 + 7~v4 > und 6 < ~v1 , ~v2 > +7 < ~v1 , ~v4 >.
3. Bestimmen Sie den Abstand der folgenden Punkte:
(a) ~a = (2, 1)T , ~b = (−3, 1)T .
(b) ~a = (5, 4, 3)T , ~b = (−5, −4, −3)T .
(c) ~a = (1, 0, 0)T , ~b = (0, 1, 0)T .
4. Überprüfen Sie, ob folgende Vektoren linear unabhängig sind:
(a) ~a = (1, 9)T , ~b = (2, 17)T .
(b) ~a = (1, 0)T , ~b = (0, 1)T .
(c) ~a = (1, 0)T , ~b = (0, 2)T und ~c = (1, 4)T .
5. Geben Sie drei linear unabhängige Vektoren des R3 an und schreiben Sie den Punkt P = (1, 1, 1)T
als Linearkombination dieser drei Vektoren.
6. Welche Winkel bildet der Vektor ~a = (2, 5)T mit den beiden Koordinatenachsen?
7. Bestimmen Sie zu jedem der unten angegebenen Vektoren einen Vektor, der zu dem betrachteten
Vekor senkrecht steht und die Länge 1 hat:
(a) ~a = (−3, 0)T
(b) ~b = (0, 0, 0)T
(c) ~c = (1, 1, 1)T
(d) d~ = (−5, k, 0)T für k ∈ R
8. Zerlegen Sie die folgende Vektoren ~a ∈ R2 oder ~c ∈ R3 orthogonal längs dem gegebenen Vektoren
~b ∈ R2 bzw. d~ ∈ R3 .
(a) ~a = (2, 1)T ~b = (−3, 2)T
(b) ~a = (2, 6)T ~b = (−9, 3)T
(c) ~c = (4, −1, 7)T d~ = (2, 3, −6)T
(d) ~c = (1, 0, 0)T d~ = (0, 1, 1)T
9. Geben Sie ein gleichseitiges Dreieck im R2 an.
2
10. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob folgende Dreiecke, die durch die Punkte ~a, ~b und ~c gegeben
sind, rechtwinklig, gleichseitig oder gleichschenklig sind?
(a) ~a = (0, 4)T , ~b = (−4, 0)T und ~c = (0, 0)T
(b) ~a = (2, 3)T , ~b = (−3, 2)T und ~c = (1, 4)T
(c) ~a = (0, 1)T , ~b = (−1, 0)T und ~c = (0, −1)T
11. (a) Zeichnen Sie die folgenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie, wobei
~a und ~b, ~v1 und ~v2 bzw. ~v3 und ~v4 nicht miteinander verbunden werden sollen. Welchen
geometrischen Körper erkennen Sie?
 
 
 
 
 
 
2
0
4
2
2
2
a = 0 ~v1 = 0 , ~v2 = 0 , ~v3 = 2 , ~v4 = −2 , ~b =  0 
2
0
0
0
0
−2
(b) Berechenen Sie den Abstand zwischen ~a und ~b.
(c) Wie groÿ ist das Volumen des geometrischen Körpers?
12. Gegeben sei ein Quadrat mit den Diagonalpunkten P1 (6, 0) und P3 (−2, 6). Berechnen Sie die Koordinaten der anderen Ecken.
13. Seien ~a = (1, 1)T und ~b = (1, −2)T
(a) Bestimme den Kosinus des Winkels zwischen ~a und einem um 90◦ gedrehtem ~b (im mathematisch positiven Sinn - gegen den Uhrzeigersinn).
(b) Bestimme den Kosinus des Winkels zwischen ~a und einem um 180◦ gedrehtem ~b.
14. Zeige mit Hilfe der Vektorrechnung:
(a) Die Verbindungslinie zweier Seitenmittelpunkte in einem Dreieck ist parallel zur dritten Seite
und hat ihre halbe Länge.
(b) Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten eines Halbkreises und einem weiteren
Punkt des Halbkreises, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck.
(c) Die Seitenmittelpunkte eines beliebigen Vierecks bilden ein Parallelogramm.
3