3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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3 Analytische Geometrie der
Kongruenzabbildungen
3.1 Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen
3.1.1 Achsenkreuz
x2
Die Achsen heißen in dieser Darstellung
x1 und x2-Achse.
x1
3.1.2 Punkte
Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben
bezeichnet und im Koordinatensystem mit zwei Koordinaten
festgelegt. Sie werden konsequenterweise mit „erster“ und „zweiter“
Koordinate bezeichnet. Sehr oft werden die Koordinaten mit dem
kleinen Buchstaben bezeichnet, der zum Punktnamen gehört. Zum
Beispiel: P(p1;p2).
3.1.3 Vektoren
Jedem Punkt wird ein Ortsvektor zugeordnet, der im Ursprung beginnt
und in dem Punkt endet. Punkte und Ortsvektoren sind in diesem
Skript äquivalent. Die Rechnungen, die zu Abbildungen ausgeführt
werden, werden in der Matrix-Vektor-Notation durchgeführt.
 ⎛p⎞
Schreibweise: Punkt P(p1;p2) , Ortsvektor p = ⎜ 1 ⎟
⎝ p2 ⎠
3.1.4 Rechnen mit Vektoren
a) Skalar-Multiplikation

⎛v ⎞
Wenn k eine reelle Zahl ist und v = ⎜ 1 ⎟ ein Vektor, dann ist die
⎝ v2 ⎠

⎛ kv1 ⎞
⎟
⎝ kv2 ⎠
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erklärt durch k·v = ⎜
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b) Addition

⎛a ⎞

⎛b ⎞
Sind a = ⎜ 1 ⎟ und b = ⎜ 1 ⎟ zwei
⎝ a2 ⎠
⎝ b2 ⎠
Vektoren, so ist die Addition von
zwei
Vektoren
erklärt
durch
  ⎛a +b ⎞
a+b = ⎜ 1 1⎟
⎝ a2 + b2 ⎠
Abb. 3.1: Addition zweier Vektoren
c) Subtraktion
Sind
 ⎛a ⎞
a = ⎜ 1⎟
⎝ a2 ⎠
und
 ⎛b ⎞
b = ⎜ 1⎟
⎝ b2 ⎠
zwei
Vektoren, so ist die Subtraktion von
zwei
Vektoren
erklärt
durch
 ⎛a −b ⎞
  
a − b = a + (−1)b = ⎜ 1 1 ⎟
⎝ a2 − b2 ⎠
Abb. 3.2: Subtraktion zweier Vektoren
3.1.5 Abbildungen
Wir betrachten hier nur Abbildungen, die eine Gerade in eine Gerade
abbilden und die Parallelität erhalten. Solche Abbildungen heißen
affine Abbildungen.
Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x1;x2) den Bildpunkt
X’(x’1;x’2) zuordnet, hat die Form
Koordinatenschreibweise:
x1 ' = a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + d1
x2 ' = a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + d2 mit a11 , a12 , a21 , a22 , d1 , d2 ∈
Matrix-Vektor-Schreibweise
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ d1 ⎞
⎜ ⎟ =⎜
⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ x2 '⎠ ⎝ a21 a22 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ d2 ⎠

 
die man symbolisch verkürzen kann zux ' = A ⋅ x + d .
Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d der Verschiebungsvektor.
Beispiele für Abbildungen
Identische Abbildung
Die identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Für
jeden Punkt X(x1;x2) gilt also: X’(x’1;x’2) = X(x1;x2). Damit lauten die
Abbildungsgleichungen:
x '1 = x1
x ' 2 = x2
oder ausführlich
x '1 = 1x1 + 0·x2 + 0
x '2 = 0·x1 + 1x2 + 0
.
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⎛ 1 0⎞
Die Abbildungsmatrix ist dann E = ⎜
, Einheitsmatrix genannt.
⎝ 0 1⎟⎠
Spiegelung an der x1-Achse
Da der Ursprung O auf der
liegt, wird er auf sich selbst
 Spiegelachse

abgebildet. Folglich ist d = 0 . Für die Koordinaten gilt offensichtlich
x1 ' = x1
oder in der ausführlichen Koordinatenschreibweise
x2 ' = −x2
x1 ' = 1x1 + 0x2
x2 ' = 0x1 − 1x2
,
was
sofort
zur
Matrix-Vektor-Schreibweise
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ =⎜
⎟ ⎜ ⎟ führt.
⎝ x2 '⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ x2 ⎠
y
X
1
x
1
X’
Abb. 3.3: Spiegelung an der x1-Achse
Verschiebung
⎛ 1⎞
Bei der Verschiebung um ⎜ ⎟ wird jeder Punkt in x1-Richtung um
⎝ 3⎠
eine Einheit nach rechts und in x2-Richtung um 3 Einheiten nach oben
verschoben. Es gilt also:
x1 ' = x1 + 1 = 1⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 1
oder in Matrix-Vektor-Schreibweise
x2 ' = x2 + 3 = 0 ⋅ x1 + 1⋅ x2 + 3
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⎟ =⎜
⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ x2 '⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 3⎠
Wir wollen letztlich zu den Kongruenzabbildungen die Abbildungsgleichungen bestimmen. Für das Aufstellen von Abbildungsgleichungen sind die nachfolgenden beiden Sätze hilfreich.
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Satz 3.1 (Verschiebung desUrsprungs)
 
x
'
=
A
⋅
x+d.
Gegeben
ist
die
Abbildung
 
d = 0 ⇔ Der Ursprung O(0;0) wird auf sich selbst abgebildet, also
O = O’.
Beweis
 ⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞
Setzt man den Vektor für den Ursprung x = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ in die
⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Abbildungsgleichung ein, so ergibt sich für den Bildvektor
x1 ' = a11 ⋅ 0 + a12 ⋅ 0 + d1 = d1 und x2 ' = a21 ⋅ 0 + a22 ⋅ 0 + d2 = d2 ,
also







x ' = d . Dann ist x ' = 0 ⇔ d = 0 ∎
Das Auffinden der Abbildungsmatrix zu einer geometrisch gegebenen
Abbildung wird durch folgende prinzipielle Überlegung ganz erheblich
vereinfacht:
Satz 3.2 (Aufstellen der Abbildungsmatrix)
 
Ist der Verschiebungsvektor d = 0 , so gilt:
 ⎛ 1⎞
⎛ a c⎞
Die Abbildungsmatrix ist ⎜
⇔ Der Basisvektor e1 = ⎜ ⎟ wird
⎝ b d ⎟⎠
⎝ 0⎠
 ⎛ a ⎞
 ⎛ 0⎞
 ⎛ c ⎞
auf e1 ' = ⎜ ⎟ und e2 = ⎜ ⎟ auf e2 ' = ⎜ ⎟ abgebildet.
⎝ b⎠
⎝ 1⎠
⎝ d⎠
Beweis
„⇒“
 ⎛ 1⎞
 ⎛ a c⎞ 
x
e
= ⎜ ⎟ ein, so
Die Abbildung lautet also x ' = ⎜
.
Setzt
man
1
⎝ b d ⎟⎠
⎝ 0⎠
 ⎛ a ⎞
 ⎛ 0⎞
ergibt sich sofort e1 ' = ⎜ ⎟ . Ebenso ergibt das Einsetzen von e2 = ⎜ ⎟
⎝ b⎠
⎝ 1⎠
 ⎛ c ⎞
sofort e2 ' = ⎜ ⎟ .
⎝ d⎠
„⇐“
 
Wegen d = 0 und da die Abbildungsmatrix unbekannt ist, lautet die


a ⎞
 ⎛a
Abbildung x ' = ⎜ 11 12 ⎟ x . Setzt man e1 und e1 ' ein, so erhält man
⎝ a21 a22 ⎠
⎛ a ⎞ ⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ a11 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , also a11 = a und a21 = b .
⎜⎝ b⎟⎠ = ⎜ a
⎝ 21 a22 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ a21 ⎠



Setzt man entsprechend e2 und e2 ' ein, so erhält man
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⎛ c ⎞ ⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ a12 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , also a12 = c und a22 = d .
⎜⎝ d ⎟⎠ = ⎜ a
⎝ 21 a22 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ a22 ⎠
Damit ist die Abbildungsmatrix bestimmt. ∎
3.2 Die Abbildungsgleichungen der
Kongruenzabbildungen
Mit dem Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix stellen wir
nun die Abbildungsmatrizen für Drehungen und Spiegelungen auf.
Drehung um den Ursprung O um den Winkel α
Abb. 3.4: Drehung um den Ursprung um den Winkel α
Die Drehung um den Ursprung O um den Winkel α ist gegeben


durch x ' = A ⋅ x ,
⎛ cos α − sin α ⎞
wobei die Abbildungsmatrix A = ⎜
ist.
⎝ sin α cos α ⎟⎠
Spiegelung an einer Geraden, die mit der x1-Achse den Winkel α
einschließt
Abb. 3.5:
Spiegelung an einer
Geraden, die mit der
x1-Achse einen
Winkel α einschließt.
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Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung O
verläuft und mit der x1-Achse den Winkel α einschließt, ist


gegeben durch x ' = A ⋅ x , wobei die Abbildungsmatrix
⎛ cos 2α sin 2α ⎞
A=⎜
ist.
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
In der Euklidischen Geometrie hatten wir eine Verschiebung durch
einen Verschiebungsvektor beschrieben, der wiederum durch einen
Anfangs- und Endpunkt gegeben war. In der Koordinatenebene wird
bei einer Verschiebung der Ursprung O nicht auf sich selbst
abgebildet, sondern in einen Bildpunkt O’≠ O verschoben. Nach dem
Satz über die Verschiebung des Ursprungs ist der Verschiebungsvektor

d . Da eine Verschiebung um den Nullvektor die Identität ergibt, muss
die Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix sein.

d ist gegeben durch
Die
Verschiebung
um
den
Vektor

 
x ' = A ⋅ x + d , wobei die Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix
⎛ 1 0⎞
E=⎜
ist.
⎝ 0 1⎟⎠
3.2.1 Die Abbildungsgleichung der zentrischen
Streckung
Auch diese lässt sich mit dem
Satz über das Aufstellen der
Abbildungsmatrix
bestimmen,
wenn das Streckzentrum der
Ursprung ist. Denn dann wird
der Ursprung auf sich selbst
abgebildet.
Die Einheitsvektoren werden
dann mit dem Faktor k gestreckt/
gestaucht, also
Abb. 3.6: Streckung der
Einheitsvektoren
 ⎛ 1⎞
 ⎛ k ⎞

 ⎛ 0⎞

 ⎛ 0⎞
e1 = ⎜ ⎟ → e1 ' = ⎜ ⎟ und e2 = ⎜ ⎟ → e2 ' = ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
⎝ k⎠
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Die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum


und dem Streckfaktor k, k ∈ / {0} , ist gegeben durch x ' = A ⋅ x
⎛ k 0⎞
, wobei die Abbildungsmatrix A = ⎜
ist.
⎝ 0 k ⎟⎠
3.2.2 Verkettung von Abbildungen

d bzw. B und
Wir
betrachten
zwei
Abbildungen,
gegeben
durch
A
und

f . Diese Abbildungen sollen hintereinander ausgeführt werden. Also

 


 
x ' = A ⋅ x + d und x" = B ⋅ x ' + f .
Dann
lautet
die
Verkettung
der
Abbildungen


  

 
x" = B ⋅ A ⋅ x + d + f = B ⋅ A ⋅ x + B ⋅ d + f . Dabei werden die beiden
(
)
Matrizen miteinander multipliziert. Das Matrizenprodukt
folgendermaßen definiert:
⎛b b ⎞ ⎛a
a12 ⎞ ⎛ b11a11 + b12 a21 b11a12 + b12 a22 ⎞
B ⋅ A = ⎜ 11 12 ⎟ ⋅ ⎜ 11
⎟ =⎜
⎟
⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ a21 a22 ⎠ ⎝ b21a11 + b22 a21 b21a12 + b22 a22 ⎠
ist
Merkregel: Zeile mal Spalte
Bei der Multiplikation der Matrizen kommt es auf die Reihenfolge an,
die Matrix der zweiten Abbildung steht links neben der Matrix der
ersten Abbildung.
Übungsaufgabe: Die Verkettung einer Spiegelung mit sich selbst ist
die Identität, da Spiegelungen involutorisch sind.
⎛ cos 2α sin 2α ⎞ ⎛ cos 2α sin 2α ⎞
⎜⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠ i⎜⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
⎛
cos 2 2α + sin 2 2α
=⎜
⎝ sin 2α ⋅ cos 2α − cos 2α ⋅ sin 2α
cos 2α ⋅ sin 2α − sin 2α ⋅ cos 2α ⎞
⎟⎠
sin 2 2α + cos 2 2α
⎛ 1 0⎞
=⎜
⎝ 0 1⎟⎠
3.2.3 Verknüpfung von zwei Spiegelungen
Wenn die beiden Geraden, an denen gespiegelt werden soll, gegeben
sind, wählt man das Achsenkreuz möglichst günstig.
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a) Die Geraden verlaufen
parallel
Die x2-Achse wird in
die erste Spiegelachse a
gelegt. Die zweite
Spiegelachse b ist dann
eine
zur
x2-Achse
parallele Gerade, die
die x1-Achse bei d
schneidet.
x2
48
b
a
P
p2
d p1
P’
p 1’
x1
Abb. 3.7: Verknüpfung von
Spiegelungen an parallelen Geraden
Abbildungsgleichung
 ⎛ −1 0⎞ 
x
für die erste Spiegelung: x ' = ⎜
⎝ 0 1⎟⎠
Herleitung der Abbildungsgleichung für die Spiegelung an der 2.
Achse:
Für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P’ gilt offensichtlich
p2’ = p2. Für die erste Koordinate gilt:
d − p1 = p1 '− d , was aufgelöst nach p1’ ergibt: p1 ' = 2d − p1 .
Beide Koordinatengleichungen liefern für die Spiegelung an der 2.

 ⎛ −1 0⎞  ⎛ 2d ⎞
x ' + ⎜ ⎟ . Die
Achse die Abbildungsgleichung: x" = ⎜
⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0⎠
Verkettung beider Abbildungen liefert :

 ⎛ −1 0⎞ ⎛ −1 0⎞  ⎛ 2d ⎞ ⎛ 1 0⎞  ⎛ 2d ⎞
x" = ⎜
⋅
x+⎜ ⎟ =⎜
x+⎜ ⎟
⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0⎠
was offensichtlich eine Verschiebung ist. Der Verschiebungsvektor
hat die Länge von 2d, ist von der ersten zur zweiten Spiegelachse
orientiert und ist senkrecht zu beiden Achsen. Damit ist durch diese
Rechnung gezeigt:
Die Spiegelung an zwei parallelen Spiegelachsen, die den
Abstand d haben, ist eine Verschiebung mit einem
Verschiebungsvektor, der die Länge 2d hat, von der ersten zur
zweiten Spiegelungsachse und senkrecht zu beiden Achsen
verläuft.
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b) Die Geraden schneiden einander
Der Ursprung wird in den Schnittpunkt der beiden Achsen gelegt und
die x1-Achse auf die erste
Spiegelachse. Die zweite Spiegelachse ist dann eine Ursprungsgerade, die mit der x1-Achse einen
Winkel α einschließt.
Abbildungsgleichung für die erste
Spiegelung:
 ⎛ 1 0 ⎞ 
x' = ⎜
x
⎝ 0 −1⎟⎠
Abb. 3.8: Verknüpfung
von Spiegelungen an sich
schneidenden Geraden
Abbildungsgleichung für die zweite Spiegelung:

 ⎛ cos 2α sin 2α ⎞ 
x" = ⎜
x'
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
Die Verkettung beider Abbildungen wird
Matrizenprodukt
⎛ cos 2α sin 2α ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos 2α − sin 2α ⎞
⎜⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠ i⎜⎝ 0 −1⎟⎠ = ⎜⎝ sin 2α cos 2α ⎟⎠
durch
das
berechnet. Die Ergebnismatrix ist eine Drehmatrix (Vorzeichen
beachten!) für den Drehwinkel 2α.
Damit ist durch diese Rechnung gezeigt:
Die Spiegelung an zwei sich schneidende Spiegelachsen, die
einen Winkel α einschließen, ist eine Drehung um den
Schnittpunkt beider Geraden mit dem Drehwinkel 2α.
3.2.4 Verknüpfung von drei
Spiegelungen
a) Gegeben sind drei Spiegelungsachsen a, b und c, die sich in
einem Punkt schneiden. | a,b|=α
und | b,c|=β
Auch hier wählt man das Achsenkreuz günstig, indem man den
Ursprung in den Schnittpunkt der
drei Achsen legt und die x1-Achse
auf die erste Spiegelachse a. Dann Abb. 3.9: Drei Spiegelachsen
schließt die zweite Spiegelachse b a, b und c, die sich im Urmit der x1-Achse einen Winkel α sprung schneiden.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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ein und c einen Winkel von α + β mit der x1-Achse.
Da alle drei Achsen durch den Ursprung laufen, kann man sofort die
Abbildungsgleichungen für alle drei Spiegelungen hinschreiben:
 ⎛ 1 0 ⎞ 

x' = ⎜
x
=
A
⋅
x
⎝ 0 −1⎟⎠

 ⎛ cos 2α sin 2α ⎞ 

x" = ⎜
x
'
=
B
⋅
x'
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
 ⎛ cos 2(α + β ) sin 2(α + β ) ⎞ 



x '" = ⎜
x"
=
C
⋅
x"
⎝ sin 2(α + β ) − cos 2(α + β )⎟⎠


Die Verkettung ist dann x '" = C ⋅ B ⋅ A ⋅ x , es kommt also darauf an, das
Produkt der 3 Matrizen zu bilden.
⎛ cos 2α sin 2α ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos 2α − sin 2α ⎞
B⋅ A= ⎜
⋅
=
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −1⎟⎠ ⎜⎝ sin 2α cos 2α ⎟⎠
(siehe oben), so dass noch berechnet werden muss:
⎛ cos 2(α + β ) sin 2(α + β ) ⎞ ⎛ cos 2α
C ⋅ (B ⋅ A) = ⎜
⋅
⎝ sin 2(α + β ) − cos 2(α + β )⎟⎠ ⎜⎝ sin 2α
− sin 2α ⎞
.
cos 2α ⎟⎠
Dieses Produkt auszuführen ist umfangreich, es wird in die einzelnen
⎛d
d12 ⎞
Komponenten der Ergebnismatrix D = ⎜ 11
⎟ zerlegt.
⎝ d21 d22 ⎠
d11 = cos 2(α + β ) ⋅ cos 2α + sin 2(α + β ) ⋅ sin 2α
Es ist hilfreich, das Ergebnis zu kennen, um bei der Umformung
zielgerichtet vorzugehen. Die Verkettung der drei Spiegelungen ergibt
eine Spiegelung an einer Achse, die mit der x1-Achse einen Winkel
von β einschließt. Im Ergebnis muss sich also ergeben:
⎛ cos 2β sin 2β ⎞
D = C ⋅ B⋅ A= ⎜
. Das signalisiert, dass man bei der
⎝ sin 2β − cos 2β ⎟⎠
Umformung die Summe von α und β auflösen muss, nicht aber die
doppelten Winkel.
d11 = cos(2α + 2β ) ⋅ cos 2α + sin(2α + 2β ) ⋅ sin 2α
= (cos 2α cos 2β − sin 2α sin 2β ) ⋅ cos 2α
+ (sin 2α cos 2β + cos 2α sin 2β ) ⋅ sin 2α
= cos 2α cos 2β cos 2α − sin 2α sin 2β cos 2α
+ sin 2α cos 2β sin 2α + cos 2α sin 2β sin 2α
In der letzten Zeile heben sich der 2. und der 4. Summand auf, im 1.
und 3. Summand kann man cos 2β ausklammern:
d11 = (cos 2α cos 2α + sin 2α sin 2α ) ⋅ cos 2β
=
= cos 2β
1
⋅cos 2β
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
51
Die Rechnungen für die verbleibenden Komponenten d12 , d21 , d22
verlaufen ganz analog und sind eine hervorragende Übung für das
Rechnen mit Winkelfunktionen.
Damit ist das Ergebnis gezeigt.
Die Spiegelung an drei Geraden g1, g2 und g3, die sich in einem
Punkt schneiden und Winkel der Größe α = g1 ,g 2 bzw.
β = g 2 ,g3 einschließen, lassen sich zu einer Geradenspiegelung an einer Geraden g zusammenfassen. Dabei ist der
Winkel zwischen g1 und g β.
Einschub (Spiegelung an einer
Geraden, die nicht durch den
Ursprung verläuft):
In den folgenden beiden
Abschnitten
spielen
Spiegelungen eine Rolle, deren
Achsen
nicht
durch
den
Ursprung verlaufen. Daher soll
als Einschub dieser Fall
zunächst betrachtet werden und
eine allgemeingültige Abbildungsgleichung dafür hergeleitet
werden.
Abb. 3.10: Spiegelgerade a, die
nicht durch den Ursprung verläuft.
Es sei a eine Gerade, die durch den Punkt P(p1; p2) verläuft und die mit
der x1-Achse einen Winkel von α einschließt. Die Spiegelung an
dieser Geraden lässt sich durch folgende, mit ihrer Abbildungsgleichung bereits bekannten Abbildungen erzeugen:
1. Verschiebung des Punktes P in den Ursprung. Der Ver⎛−p ⎞
schiebungsvektor ist also ⎜ 1 ⎟
⎝ − p2 ⎠
  ⎛ −p ⎞
Die Abbildungsgleichung lautet: x ' = x + ⎜ 1 ⎟
⎝ − p2 ⎠
2. Spiegelung an der verschobenen Geraden, die nun durch den
Ursprung geht.
⎛ cos 2α sin 2α ⎞ 

Diese Abbildungsgleichung lautet: x '' = ⎜
x'
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
⎛p⎞
3. Zurückverschiebung gegenüber 1. also eine Verschiebung mit ⎜ 1 ⎟ .
⎝ p2 ⎠
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
 ⎛p ⎞
Diese Abbildungsgleichung lautet: x ''' = x ''+ ⎜ 1 ⎟ .
⎝ p2 ⎠
Setzt man für eine Verknüpfung der drei Abbildungen die drei
Abbildungsgleichungen ineinander ein, so erhält man:
⎛ cos 2α sin 2α ⎞ ⎡  ⎛ − p1 ⎞ ⎤ ⎛ p1 ⎞

x ''' = ⎜
⎢x + ⎜
⎟⎥+⎜ ⎟
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠ ⎢⎣
⎝ − p2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ p2 ⎠
⎛ cos 2α sin 2α ⎞  ⎛ p1 ⎞ ⎛ cos 2α sin 2α ⎞ ⎛ p1 ⎞
=⎜
x+⎜ ⎟ −⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
⎝ p2 ⎠ ⎝ sin 2α − cos 2α ⎠ ⎝ p2 ⎠





d
Man erhält also eine Spiegelung
an der zu a parallelen Geraden
a’, die durch den Ursprung
verläuft, mit einer anschließenden
Verschiebung.
Dabei
verläuft der Verschiebungs
vektor d von P’, dem an a’
gespiegelten Punkt P, zum
Punkt P. Das ist aber auch das
Doppelte des Vektors von O
zum Fußpunkt F des Lotes von
O
 auf die Gerade a, also
P'P = 2OF .
Abb. 3.11
Insbesondere diese Interpretation lässt sich günstig in beide Richtungen einsetzen:
- Man kennt den Winkel α der Spiegelungsachse mit der x1-Achse und
den Fußpunkt F des Lotes von O auf die Spiegelungsachse. Dann
lautet die Abbildungsgleichung:

 ⎛ cos 2α sin 2α ⎞ 
x' = ⎜
x
+
2·OF
⎝ sin 2α − cos 2α ⎟⎠
- Kennt man umgekehrt die Abbildungsgleichung und ist der

Verschiebungsvektor d senkrecht zur Spiegelungsachse, so kann
man mit inversen Winkelfunktionen aus der Matrix den Winkel α
bestimmen und
1
d bestimmt dann den Fußpunkt des Lotes, also
2
einen Punkt, durch den die Spiegelungsachse verläuft.
Beispiel
⎛ 0,28 0,96 ⎞
Gegeben ist die Spiegelung mit der Matrix ⎜
und der
⎝ 0,96 −0,28⎟⎠
Punkt P(7;-1), durch den die Spiegelungsachse laufen soll. Dann ist
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
der
mit
der
Spiegelungsmatrix
⎛ 0,28 0,96 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1⎞
⎜⎝ 0,96 −0,28⎟⎠ ·⎜⎝ −1⎟⎠ = ⎜⎝ 7 ⎟⎠ .
multiplizierte
53
Vektor
Also ist der Verschiebungsvektor
⎛ 7 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜⎝ −1⎟⎠ − ⎜⎝ 7 ⎟⎠ = ⎜⎝ −8⎟⎠
und die Abbildungsgleichung lautet
 ⎛ 0,28 0,96 ⎞  ⎛ 6 ⎞
x' = ⎜
x + ⎜ ⎟ . Ein zu
⎝ 0,96 −0,28⎟⎠
⎝ −8⎠
⎛ 6⎞
⎜⎝ −8⎟⎠
⎛ 4⎞
senkrechter Vektor ist ⎜ ⎟ ,
⎝ 3⎠
folglich hat die Spiegelachse die Steigung
Abb. 3.12
3
.
4
b) Die drei Spiegelachsen verlaufen
zueinander parallel:
Eine günstige Wahl des Achsenkreuzes
ist, dass die x2-Achse entlang der ersten
Spiegelachse a liegt. Dann verläuft die
x1-Achse senkrecht zur ersten Spiegelachse a, zur zweiten Spiegelachse b und
zur dritten Spiegelachse c. Es seien e
der Abstand von a zu b und f
Abb. 3.13: Verknüpfung von drei
der Abstand von b zu c.
Spiegelungen an zueinander parallelen
Geraden
Da mit diesen Festlegungen
die Fußpunkte der Lote der nicht durch den Ursprung verlaufenden
Spiegelungsachsen b und c bekannt sind, kann man die Abbildungsgleichungen für die Spiegelungen aufstellen.
 ⎛ −1 0⎞ 
x'= ⎜
x
⎝ 0 1⎟⎠
⎛ −1 0⎞  ⎛ 2e⎞

x '' = ⎜
x '+ ⎜ ⎟
⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0⎠
⎛ −1 0⎞  ⎛ 2(e + f )⎞

x ''' = ⎜
x ''+ ⎜
⎝ 0 1⎟⎠
⎝
0 ⎟⎠
Die Verkettung der drei Abbildungen liefert
⎛ −1 0⎞ ⎡⎛ −1 0⎞ ⎛ −1 0⎞  ⎛ 2e⎞ ⎤ ⎛ 2(e + f )⎞

x ''' = ⎜
x +⎜ ⎟⎥+⎜
⎢
⎝ 0 1⎟⎠ ⎣⎜⎝ 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0 ⎠⎦ ⎝
0 ⎟⎠
Multipliziert man die Gleichung aus und fasst zusammen, so ergibt
sich.
⎛ −1 0⎞  ⎛ 2 f ⎞

x ''' = ⎜
x +⎜ ⎟
⎝ 0 1⎟⎠
⎝ 0⎠
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
54
Da die Spiegelungsachse für diese Ergebnismatrix weiterhin parallel
⎛2 f ⎞
zur x2-Achse verläuft, ist der Vektor ⎜ ⎟ senkrecht zu dieser. Daher
⎝ 0⎠
ist die letzte Abbildungsgleichung diejenige, die zu einer Spiegelung
an der Achse d gehört. d verläuft parallel zu a, b und c und hat zur x2Achse einen Abstand von f.
Die Spiegelung an drei Geraden a, b und c, die zueinander
parallel sind und voneinander die Abstände e = d(a,b) bzw.
f = d(b,c) haben, lassen sich zu einer Geradenspiegelung an
einer Geraden d zusammenfassen. Dabei ist der Abstand von d
zur Geraden a gleich f.
c) Die drei Spiegelachsen liegen in allgemeiner Lage:
Eine günstige Wahl des Achsenkreuzes ist, die x1-Achse auf die erste
Spiegelungsachse a zu legen und den Ursprung in den Schnittpunkt
von a und b. Dann verläuft b durch den Ursprung, der Winkel zur x1Achse sei β. Die Gerade c sei durch einen Punkt P(p1;p2) und den
Winkel γ zur x1-Achse festgelegt.
Abb. 3.14: Verknüpfung von drei Spiegelung an Geraden in
allgemeiner Lage
Dann sind die Abbildungsgleichungen:
 ⎛1 0 ⎞ 
x'= ⎜
x
⎝ 0 −1⎟⎠
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
⎛ cos 2β

x '' = ⎜
⎝ sin 2β
sin 2β ⎞ 
x
− cos 2β ⎟⎠
⎛ cos 2γ

x ''' = ⎜
⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞  ⎛ p1 ⎞ ⎛ cos 2γ
x ''+ ⎜ ⎟ − ⎜
− cos 2γ ⎟⎠
⎝ p2 ⎠ ⎝ sin 2γ
55
sin 2γ ⎞ ⎛ p1 ⎞
⎜ ⎟
− cos 2γ ⎟⎠ ⎝ p2 ⎠
Die Verkettung der drei Abbildungen liefert
⎛ cos 2γ

x ''' = ⎜
⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β
− cos 2γ ⎟⎠ ⎜⎝ sin 2β
sin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞  ⎛ p1 ⎞ ⎛ cos 2γ
x +⎜ ⎟ −⎜
− cos 2β ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −1⎟⎠
⎝ p2 ⎠ ⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞ ⎛ p1 ⎞
⎜ ⎟
− cos 2γ ⎟⎠ ⎝ p2 ⎠
Die Multiplikation der drei Matrizen ergibt:
⎛ cos 2γ
⎜⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β
− cos 2γ ⎟⎠ ⎜⎝ sin 2β
sin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
− cos 2β ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −1⎟⎠
⎛ cos 2γ
=⎜
⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β
− cos 2γ ⎟⎠ ⎜⎝ sin 2β
− sin 2β ⎞
cos 2β ⎟⎠
⎛ cos 2γ cos 2β + sin 2γ sin 2β
=⎜
⎝ sin 2γ cos 2β − cos 2γ sin 2β
− cos 2γ sin 2β + sin 2γ cos 2β ⎞
− sin 2γ sin 2β − cos 2γ cos 2β ⎟⎠
⎛ cos 2(γ − β ) sin 2(γ − β ) ⎞
=⎜
⎝ sin 2(γ − β ) − cos 2(γ − β )⎟⎠
Die Ergebnismatrix gehört zu einer Achsenspiegelung, deren
Spiegelungsachse mit der x1-Achse einen Winkel von γ − β
einschließt.
Abb. 3.15: Geometrische Interpretation
⎛p ⎞
⎛ cos 2γ
Der Verschiebungsvektor ⎜ 1 ⎟ − ⎜
⎝ p2 ⎠ ⎝ sin 2γ
sin 2γ ⎞ ⎛ p1 ⎞
⎜ ⎟ ist der doppelte
− cos 2γ ⎟⎠ ⎝ p2 ⎠
Vektor von O zum Fußpunkt des Lotes auf die Gerade c. In der obigen
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen

56

Abbildung ist das der Punkt F. Nennt man OF = f so ist die
Abbildungsgleichung der Verknüpfung der drei Spiegelungen

⎛ cos 2(γ − β ) sin 2(γ − β ) ⎞ 

x ''' = ⎜
x+2f
⎟
⎝ sin 2(γ − β ) − cos 2(γ − β )⎠
Zur Spiegelung an c’, der Geraden, die mit der x1-Achse einen Winkel
von γ−β einschließt, gehört der Lotfußpunkt G. Man bestimmt den


1⎡
⎛ cos 2(γ − β )
sin 2(γ − β ) ⎞  ⎤
1 

f ⎥ = ⎡ f − f '⎤ ,
Vektor OG durch OG = ⎢ f − ⎜
⎦
2 ⎢⎣
⎝ sin 2(γ − β ) − cos 2(γ − β )⎟⎠ ⎥⎦ 2 ⎣

wobei f ' der an der zu c’ parallelen Ursprungsgeraden c’’ gespiegelte

Vektor f ist.
    1  
1  1  1  
GF = OF − OG = f − ⎡ f − f ' ⎤ = f + f ' = ⎡ f + f ' ⎤ . Der
⎦ 2
⎦
2⎣
2
2⎣





1
Vektor f wird also zerlegt in ⎡⎣ f − f ' ⎤⎦ , der senkrecht zu c’ verläuft
2
1  
und die Lage von c’ in der Ebene bestimmt, und in ⎡⎣ f + f ' ⎤⎦ , der
2
Dann
ist
parallel zu c’ verläuft und den Schubanteil der Schubspiegelung
ausmacht.
Erweiterung
Gegeben
ist
 ⎛ cos 2α
F :x' = ⎜
⎝ sin 2α
eine
Abbildung
mit
der
Gleichung
sin 2α ⎞  ⎛ d1 ⎞
 
x
+
=
S
x
+ d , also die Verknüpfung
⎜
⎟
− cos 2α ⎟⎠
⎝ d2 ⎠
einer Spiegelung mit einer Verschiebung. Zerlegt man den


Verschiebungsvektor d in die Komponenten d⊥ senkrecht zur

Spiegelachse der Spiegelung und d parallel zur Spiegelachse, so


bestimmt d⊥ die Lage der Spiegelachse und d ist der Schubspiegelungsanteil. Wie bestimmt man zur gegebenen Abbildungs

gleichung die beiden Komponenten d⊥ und d ?
Wendet man die Abbildungsgleichung von F zwei Mal an, so hebt sich
die Spiegelung auf und es ergibt sich die zweimalige Verschiebung mit

d .

  
 

 

Also gilt: F  F : x '' = S·⎡⎣ Sx + d ⎤⎦ + d = S·S·x + Sd + d = x + Sd + d .

 
Also ist 2 d = Sd + d .
(
)
 1  
Folglich ist d = Sd + d und
2

 
 1  

1 
d⊥ = d − d = d − Sd + d = d − Sd .
2
2
(
)
(
)
(
)
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
57
Beispiel
 ⎛ 0,96 0,28 ⎞  ⎛ 4 ⎞
x+⎜ ⎟ .
Gegeben ist die Gleichung x ' = ⎜
⎝ 0,28 −0,96⎟⎠
⎝ −3⎠
Abb. 3.16: Beispiel für die Berechnung der parallelen und senkrechten
Komponente
 ⎛ 4⎞
 ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3⎞
·
=
Dann ist d = ⎜ ⎟ und Sd = ⎜
.
⎝ −3⎠
⎝ 0,28 −0,96⎟⎠ ⎜⎝ −3⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠
 1 ⎛ ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎞ ⎛ 3,5⎞
Also gilt d = ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟
2 ⎝ ⎝ 4⎠ ⎝ −3⎠ ⎠ ⎝ 0,5⎠

1 ⎛ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎞ ⎛ 0,5 ⎞
und d⊥ = ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜
.
2 ⎝ ⎝ −3⎠ ⎝ 4⎠ ⎠ ⎝ −3,5⎟⎠
Damit verläuft die Spiegelachse
durch
den
F(0,25 ; -1,75)

 Punkt
 
  
In der Abbildung ist d = OD , d⊥ = OD1 und d = OD 2
Spiegelt man P(2;-2)
an der Spiegelachse durch F und verschiebt das
 
Bild P’ mit d = OD 2 , so erhält man P’’.
Bildet man P mit der Abbildungsgleichung ab, so erhält man:
 ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5,36 ⎞
p '' = ⎜
+
=
,
⎝ 0,28 −0,96⎟⎠ ⎜⎝ −2⎟⎠ ⎜⎝ −3⎟⎠ ⎜⎝ −0,52⎟⎠
was in Übereinstimmung mit der Abbildung ist.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
58
3.3 Übungen
3.3.1 Übungen zur Trigonometrie
1. Setzen Sie in die Formel für sin(α + β ) ein: β = 90° − α . Welche
andere Formel erhalten Sie?
2. Entwickeln Sie eine Formel für sin 3 α, in der nur sin α und cos α
vorkommen. Rechnen Sie Ihr Ergebnis nach für α = 30°.
3. Für 0° ≤ α < 90° gilt tan α =
1
−1 .
cos 2 α
Leiten Sie diese Formel her.
Warum ist sie für α = 90 nicht definiert?
4. Das Additionstheorem für den Tangens lautet
tan(α + β ) =
tan α + tan β
. Leiten Sie diese Formel aus den
1 − tan α tan β
Additionstheoremen für sin und cos her.
5.
Die obige Zeichnung dient zum Beweis des Additionstheoreme für
den Sinus und Kosinus, sin(α + β ) cos(α + β ) für 0° ≤ α + β ≤ 90° .
Beweisen Sie damit die beiden Additionstheoreme.
Hinweise: Die Strecke OB ist zu 1 normiert. Also gilt
DB = sin(α + β ) und OD = cos(α + β ) . Weiterhin können Sie die
Längen der Strecken im Dreieck OAB wie im „Merkdreieck“
bestimmen. Dann sind die Dreiecke OCA und HAB gestauchte
„Merkdreiecke“. Bestimmen Sie den Winkel HBA.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
59
3.3.2 Übungen zur Matrizenrechnung
6.
⎛ 2 3⎞
Bilden Sie für die beiden Matrizen A = ⎜
und
⎝ −3 −1⎟⎠
⎛ −1 2⎞
B=⎜
das Produkt A·B und B·A. Was fällt Ihnen auf?
⎝ 3 1⎟⎠
7.
Berechnen Sie für die Abbildung F mit der Gleichung
 ⎛ 4 3⎞
x' = ⎜
x die Abbildungsgleichung zur inversen
⎝ −3 −2⎟⎠
Abbildung F −1 .
Anleitung:
a. Bilden Sie zwei Punkte A, B mit F ab auf ihre Bildpunkte A’,
B’. Die Gleichung zur inversen Abbildung F −1 lautet zunächst
a ⎞
 ⎛a
unbestimmt x = ⎜ 11 12 ⎟ x ' . Setzen Sie nun Bildpunkt und
⎝ a21 a22 ⎠
Urpunkt (umgekehrt) ein und bestimmen Sie daraus die vier
Komponenten der Matrix der Umkehrabbildung.
b. Zur inversen Abbildung gehört die inverse Matrix. Diese ist
dadurch charakterisiert, dass gilt:
⎛ 4 3 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ 1 0⎞
⎟ =⎜
⎜⎝ −3 −2⎟⎠ ·⎜ a
⎟
⎝ 21 a22 ⎠ ⎝ 0 1⎠
In Worten: Matrix mal inverser Matrix ist die Einheitsmatrix.
Rechnen Sie links das Matrixprodukt aus und lösen Sie das
entstehende Gleichungssystem, das in zwei 2x2-Systeme
zerfällt.
8.
⎛ c ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ a ⎞
Die Gleichung ⎜ ⎟ = ⎜
ist eine Abbildung, bei der der
⎝ d ⎠ ⎝ 3 5⎟⎠ ⎜⎝ b⎟⎠
⎛ a⎞
⎛ c⎞
Vektor ⎜ ⎟ der Ausgangsvektor ist und ⎜ ⎟ der Ergebnis- oder
⎝ b⎠
⎝ d⎠
Bildvektor. Bei der inversen Abbildung werden deren Rollen
gerade vertauscht. Berechnen Sie die inverse Abbildung und
geben Sie sie in Matrix-Vektor-Form an.
(Hinweis: Schreiben Sie die Gleichung als 2x2 Gleichungssystem und
lösen sie es nach a und b auf.)
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
9.
60
Eine Konzentrationsübung
⎛a
a ⎞
Gegeben sind die (allgemeinen) Matrizen A = ⎜ 11 12 ⎟ ,
⎝ a21 a22 ⎠
⎛b
⎛c
b ⎞
c ⎞
B = ⎜ 11 12 ⎟ und C = ⎜ 11 12 ⎟ . Berechnen Sie zur
⎝ b21 b22 ⎠
⎝ c21 c22 ⎠
Überprüfung des Assoziativgesetzes einmal ( A·B)·C und dann
A·(B·C) . Halten Sie Ausschau nach mathematischer Schönheit
und Harmonie1.
10. Zeigen Sie durch Matrizenmultiplikation, dass zur Drehung um O
mit dem Winkel α die Drehung um den Winkel –α die inverse
Abbildung ist.
3.3.3 Übungen zu den Abbildungen
 ⎛ 0 −1⎞  ⎛ 3 ⎞
11. Erforschen Sie die Abbildung x ' = ⎜
x+⎜ ⎟.
⎝ 1 0 ⎟⎠
⎝ −1⎠
Anleitung:
a. Bilden Sie durch Rechnung die Punkte P(2;-1), Q(3;0) und
R(1;2) ab auf die Punkte P’, Q’ bzw. R’.
b. Zeichnen Sie die Dreiecke PQR und P’Q’R’ in ein
Achsenkreuz. Vergleichen Sie beide Dreiecke. Sind sie
kongruent? Ist der Umlaufsinn gleich oder verändert?
c. Zeigen Sie rechnerisch exakt, dass PR = P'R' ist.
d. Handelt es sich bei der Abbildung um eine Drehung
(Drehzentrum?, Drehwinkel?) oder eine Spiegelung
(Spiegelungsachse?)
12. Schreiben Sie die „Kraut-und-Rüben-Gleichungen“ geordnet und
anschließend in der Vektor-Matrix-Schreibweise.
u = ar + 2sg − 2h
v = 5k + ms − rb
a ⎞⎛x ⎞ ⎛d ⎞
⎛ x '⎞ ⎛ a
13. Eine Abbildung der Form ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ bildet
⎝ x2 '⎠ ⎝ a21 a22 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ d2 ⎠
Punkte wieder auf Punkte ab.
 ⎛ −1 ⎞
⎛ −1 2 ⎞
Konkret sei A = ⎜
und
d
=⎜
⎝ 0, 5 3⎟⎠
⎝ 2, 5 ⎟⎠
1 „
In der Mathematik liegen Wahrheit und Schönheit dicht beieinander. Wenn die Formeln
schön werden, weiß ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin.“ Ein Mathematiker in dem Film
„Enigma“.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
61
Rechnen Sie die Bildpunkte aus für O(0; 0) , A(3; -2) und B(1; 1).
Berechnen Sie den Mittelpunkt M der Strecke AB und bilden Sie
ihn ebenfalls ab. Ist der Bildpunkt M’ auch der Mittelpunkt der
Strecke A'B' ?
14.
⎛ −0,8 0,6⎞
a. Ist die Matrix ⎜
die Abbildungsmatrix einer
⎝ 0,6 0,8⎟⎠
Spiegelung oder Drehung? Wie groß ist der entsprechende
Winkel?
b. Schieben Sie das Minuszeichen jeweils auf einen der drei
übrigen Plätze und beantworten Sie jeweils die Frage.
⎛ 0,8 0,6⎞
c. Auf die Matrix ⎜
sollen zwei Minuszeichen als
⎝ 0,6 0,8⎟⎠
Vorzeichen verteilt werden. Auf wie viele Arten geht das?
Warum ergibt keine dieser Matrizen eine Matrix für eine
Spiegelung oder Drehung?
15. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung von zwei Drehungen um den
Winkel α bzw. β eine Drehung um den Winkel α+β ergibt.
16. In der Vorlesung hatten wir zu den einschlägigen Abbildungen die
Matrizen aufgestellt,
indem
wir die Bilder der beiden


Basisvektoren e1 und e2 bestimmt hatten. Gehen Sie genau so vor
für folgende Abbildungen:
a. Spiegelung an der Geraden x2 = x1 .
b. Spiegelung an der Geraden x2 = −x1 .
c. Drehung um den Ursprung um 135°
Vergleichen Sie jeweils Ihr Ergebnis mit der in der Vorlesung
bestimmten allgemeinen Matrix.
Machen Sie mit zwei Beispielpunkten die Probe zeichnerisch und
rechnerisch.
17. Vorsicht Minuszeichen! Die Abbildungsmatrizen für die
Spiegelung und Drehung sind sehr ähnlich und können leicht
verwechselt werden.
Entscheiden Sie bei den nachfolgenden Matrizen, ob es sich um
eine Spiegelung oder Drehung handelt.
Bei einer Spiegelung: Geben Sie den Winkel zwischen x1-Achse
und Gerade an.
Bei einer Drehung: Geben Sie den Drehwinkel an.
Hilfreiche Formeln zur Erinnerung:
sin −α = − sin α und cos −α = cos α
( )
( )
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
⎛ − cos10°
a. ⎜
⎝ sin10°
− sin10° ⎞
− cos10°⎟⎠
⎛ − cos 60° − sin 60°⎞
cos 60° ⎟⎠
c. ⎜
⎝ − sin 60°
⎛ − cos 20°
e. ⎜
⎝ sin 20°
sin 20° ⎞
cos 20°⎟⎠
⎛ − cos 20°
62
sin 20° ⎞
b. ⎜
⎝ − sin 20° − cos 20°⎟⎠
⎛ sin10°
cos10° ⎞
⎛ sin10°
cos10°⎞
d. ⎜
⎝ cos10° − sin10°⎟⎠
f. ⎜
⎝ − cos10° sin10° ⎟⎠

⎛ 0,8 −0,6⎞  ⎛ 0 ⎞
x +⎜ ⎟
⎝ 0,6 0,8 ⎟⎠
⎝ −2⎠
18. Gegeben ist die Abbildungsgleichung x ' = ⎜
a. Begründen Sie , dass die Abbildungsmatrix zu einer Drehung
gehört und dass die gesamte Abbildung eine Drehung sein
muss (Hinweis: Zweispiegelungssatz, Reduktionssatz).
b. Berechnen Sie zum Dreieck OAB mit O(0;0) , A(5;0) und
B(0;3) die Bildeckpunkte O’, A’ und B’. Zeichnen Sie Ur- und
Bildpunkte in ein Koordinatensystem (1 Einheit 1 cm).
Ermitteln Sie aus der Zeichnung das Drehzentrum.
c. Das Drehzentrum Z ist der (einzige) Fixpunkt einer Drehung.

 
Also erfüllt der Punkt/Ortsvektor die Gleichung z = Az + d .
Berechnen Sie mit diesem Ansatz für die oben gegebene,
konkrete Abbildung das Drehzentrum. Vergleichen Sie mit
Ihrer zeichnerischen Lösung.

⎛ 0,9
0, 4 ⎞ 
x.
⎝ 0, 4 −0,9⎟⎠
19. Gegeben ist die Abbildungsgleichung x ' = ⎜
Geben
Sie drei verschiedene Begründungen/Lösungswege an, warum die
zugehörige Abbildung nicht eine Spiegelung sein kann.
20. Schreiben Sie die Abbildungsmatrix für die Drehung um 90° auf.
1
a. Der Punkt A(3;1) liegt auf der Geraden x2 = x1 .
3
1
(Ihnen ist wahrscheinlich die Form y = x geläufiger, aber wir hatten ja
3
den Achsen des Koordinatensystems neue Namen gegeben) also der
1
Ursprungsgeraden mit der Steigung . Bilden Sie den Punkt A
3
mit der Drehung um 90° ab auf den Punkt A’ und bestimmen
Sie so die Bildgerade, insbesondere deren Steigung.
b. Verfahren Sie ebenso mit dem Punkt B(4;5) und der Geraden
5
x2 = x1 . (Haben Sie bereits aus den beiden Beispielen eine
4
Vermutung, wie zu einer Geraden die Steigung einer dazu
senkrechten Geraden lautet?)
c. Bilden Sie allgemein den Punkt P(p1;p2) mit der Drehung um
90° ab auf den Punkt P’. Bestimmen Sie die Geradengleichung
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
63
zur Geraden OP und OP’ und lösen Sie so das Problem, zu
einer Geraden die Steigung einer dazu senkrechten Geraden zu
bestimmen.
1
21. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung x2 = x1 . Wählen
3
Sie auf den Koordinatenachsen 10 Kästchen = 5 cm für eine
Einheit. Spiegeln Sie die Basisvektoren an der Geraden g und
stellen Sie so die Gleichung für die Spiegelung an g auf.
(Beachten Sie die Erkenntnisse über senkrechte Richtungen aus Aufgabe 20)
Verfahren Sie analog mit der Geraden h: x2 = 3x1 und bestimmen
Sie die Abbildungsgleichung für die Spiegelung an h.
22. Gegeben sind die drei Spiegelungen
S1: Spiegelung an der x1-Achse
S2: Spiegelung an der Geraden durch O, die mit der x1-Achse
einen Winkel von 45° einschließt
⎛ −0,6 0,8⎞
S3: Die Spiegelung , die durch die Matrix ⎜
⎝ 0,8 0,6⎟⎠
beschrieben wird.
Überlegen Sie, welche Teilaufgaben wechselseitige Kontrollen der
Ergebnisse zulassen und vermerken Sie das ausdrücklich
schriftlich. Sie sollen die Vernetzung der Teilaufgaben selbst
erkennen.
a. Stellen Sie für die drei Spiegelungen die drei
Abbildungsgleichungen auf.
b. Die drei Abbildungen werden verkettet in der Reihenfolge: erst
S1, dann S2, dann S3.
c. Berechnen Sie für P(5;3) schrittweise die Bildpunkte P’=S1(P),
P“=S2(P’), P’’’=S3(P“).
d. Bestimmen Sie für die Spiegelung S3 den Winkel, den die
Spiegelungsachse mit der x1-Achse einschließt.
e. Zeichnen Sie die drei Spiegelachsen und den Punkt P in ein
Achsenkreuz. Konstruieren Sie mit dem Geodreieck
schrittweise die Bildpunkte.
f. Konstruieren Sie die Achse a der Spiegelung S4, die P
unmittelbar auf P’’’ abbildet.
g. Begründen Sie, warum die Achse a durch den Ursprung O
gehen muss.
h. Berechnen Sie durch Matrixmultiplikation die Matrix zur
Verknüpfung S3  S2  S1 . Berechnen Sie aus dem Ergebnis den
Winkel, den die Spiegelachse mit der x1-Achse einschließt.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
⎛ cos 2α
23. Gegeben ist die Matrix ⎜
⎝ sin 2α
64
sin 2α ⎞
einer Spiegelung und
− cos 2α ⎟⎠
⎛ d·cos α ⎞
der Vektor ⎜
einer Verschiebung.
⎝ d·sin α ⎟⎠
a. Begründen Sie durch eine Skizze, dass der Vektor parallel zur
Spiegelachse der Spiegelung verläuft.
b. Schreiben Sie die Abbildungsgleichung auf zur Verschiebung T
mit dem gegebenen Vektor und die Abbildungsgleichung zur
Spiegelung S mit der gegebenen Matrix.
c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichungen zu den beiden
Verknüpfungen S  T und T  S . Was ist bemerkenswert?
24. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichung
 ⎛ 0,6 0,8 ⎞  ⎛ 2 ⎞
x' = ⎜
x +⎜ ⎟ .
⎝ 0,8 −0,6⎟⎠
⎝ −4⎠
a. Weisen Sie nach, dass die Abbildung zu sich selbst invers
(involutorisch) ist.
b. Machen Sie sich an einer Zeichnung klar, dass der
Verschiebungsvektor senkrecht zur Spiegelungsachse verläuft.
c. Bilden Sie das Produkt „Matrix·Verschiebungsvektor“. Was
erhalten Sie? Was bedeutet das geometrisch?
d. Bestimmen Sie zu dieser Abbildung die Spiegelungsachse.
Überlegen Sie dazu wenigstens zwei Lösungswege.
25. Gegeben ist die Spiegelung Sa an der Geraden a mit der Gleichung
 ⎛1 0 ⎞ 
x'= ⎜
x
⎝ 0 −1⎟⎠
,
die Spiegelung Sb an der Geraden b mit der Gleichung
 ⎛ 0 1⎞ 
x'= ⎜
x
⎝ 1 0⎟⎠
und die Spiegelung Sc an der Geraden c mit der Gleichung
 ⎛ −0, 28 0,96⎞  ⎛ 8 ⎞
x'= ⎜
x +⎜ ⎟
⎝ 0,96 0, 28⎟⎠
⎝ −6⎠
.
a. Ermitteln Sie für alle drei Abbildungen die Spiegelachsen a, b
und c. Zeichnen Sie diese in ein Achsenkreuz.
b. Spiegeln Sie rein zeichnerisch das Dreieck ABC nacheinander
an den Achsen a, b c. A(2;1), B(5;0), C(4;3)
Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Koordinaten der letzten
Bildpunkte.
c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichung der Verkettung
Sc  S b  Sa . Bilden Sie nun mit der erhaltenen Abbildung das
Dreieck ABC aus Aufg. b ab. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse
aus b. mit den hier berechneten.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
65
d. Bestimmen Sie durch eine (neue) Zeichnung die Spiegelachse
und die Verschiebung für die Schubspiegelung, die sich aus
Sc  S b  Sa ergibt. Bringen Sie diese Werte in Zusammenhang
mit der in c. berechneten Abbildungsgleichung der Verkettung
Sc  S b  Sa .
e. Bestimmen Sie auf den Achsen a, b und c jeweils zwei
Gitterpunkte (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten).
Verwenden Sie dazu Aufg. a. Machen Sie die rechnerische
Probe dafür, dass die Punkte wirklich auf der betreffenden
Achse liegen.
f. Fertigen Sie mit GeoGebra eine (weitere) Zeichnung an.
Verwenden Sie für eine genaue Positionierung der
Spiegelachsen die in e. bestimmten Gitterpunkte. Spiegeln Sie
das in b. genannte Dreieck. Bestimmen Sie auch in dieser
Konstruktion die Achse und den Verschiebungsvektor für die
Schubspiegelung. Vergleichen Sie mit Ihrer händischen
Zeichnung in d (und der dort ggfs. erfolgten Rechnung).
26. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichung
 ⎛ 0,8 0,6 ⎞  ⎛ 5 ⎞
x'= ⎜
x +⎜ ⎟ .
⎝ 0,6 −0,8⎟⎠
⎝ −5⎠
a. Finden Sie zur Spiegelungsmatrix S die Steigung der
Spiegelachse heraus.

b. Zeichnen Sie die Spiegelachse und den Verschiebungsvektor d
in ein Achsenkreuz und zerlegen Sie rein zeichnerisch diesen
Vektor in eine Komponente senkrecht und parallel zur
Spiegelachse.


 
d
'
=
S
d
d
− d ' und
c. Berechnen
Sie
den
Vektor
und
bilden
Sie
 
d + d ' . Zeichnen Sie die Ergebnisvektoren in die Zeichnung
unter b. ein. Was haben Sie berechnet? Wie ergeben sich die
beiden grafisch ermittelten Komponenten des
Verschiebungsvektors?
d. Ermitteln Sie nun die Schubspiegelung, also die Achse, an der
gespiegelt wird und die Verschiebung, die mit einem zur
Spiegelachse parallelen Vektor ausgeführt wird.