PDF-Dokument
Werbung
Wahrscheinlichkeitsnetz 1 Übungen mit dem Applet „Wahrscheinlichkeitsnetz“ 1 2 3 Statistischer Hintergrund........................................................................... 2 1.1 Verteilungen ..........................................................................................................2 1.2 Darstellung von Daten im Wahrscheinlichkeitsnetz ...............................................4 1.3 Kurzbeschreibung des Applets ..............................................................................5 1.4 Ziel des Applets .....................................................................................................6 Visualisierungen mit dem Applet............................................................... 7 2.1 Normalverteilte Daten............................................................................................7 2.2 Abweichungen von der Normalverteilung ..............................................................8 2.3 Logarithmische Normalverteilung ..........................................................................8 2.4 Weibullverteilung ...................................................................................................9 Auswertung eigener Daten ....................................................................... 9 Wahrscheinlichkeitsnetz 2 1 Statistischer Hintergrund 1.1 Verteilungen Daten wie z.B. Versuchsergebnisse, Messwerte für Länge und Gewicht von Teilen, maximale Leistung eines Motors u.ä. unterliegen immer einer Zufallsstreuung – auch wenn versucht wurde, möglichst unter identischen Bedingungen zu arbeiten und nichts zu verändern. Trägt man die Häufigkeit, mit der einzelne Werte auftreten, grafisch auf, so Häufigkeitsdichte erhält man ein Histogramm. Histogramm: 0.3 0.2 relative 0.1 bestimmter Messwert oder ein Wert in 0 einem bestimmten Bereich aufgetreten 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Häufigkeit, mit der ein ist Dicke Sammelt man immer mehr Daten (idealisiert unendlich viele), so wird aus der Häufigkeitsdichte die Verteilungsdichte. Häufig liefert die Normalverteilung eine gute Näherung für die Verteilung der Daten (siehe dazu das Applet „Zentraler Grenzwertsatz“). Die Dichte der Normalverteilung ist gegeben durch g( x ) = 1 2π ⋅ σ ⋅e − ( x − μ)2 2σ 2 wobei μ = Mittelwert und σ = Standardabweichung (bzw. σ2 = Varianz) der Normalverteilung zwei Parameter sind, die Lage bzw. Breite der Verteilung beschreiben. Folgende Bilder zeigen die Dichte der Normalverteilung für verschiedene Mittelwerte μ bzw. für verschiedene Standardabweichungen σ. Verteilungsdichte Wahrscheinlichkeitsnetz 3 μ = 27 0,2 35 Dichte der Normalverteilungen mit Mittelwerten μ = 27, 30 und 35 °C, Standardabweichung σ = 2 °C 0,1 0 25 Verteilungsdichte 30 30 Dicke [μm] 35 Dichte der Normalverteilungen mit Mittelwert μ = 30 °C und Standardabweichungen σ = 1, 2 und 4 °C 0,4 σ=1 0,3 0,2 2 0,1 4 0 25 30 Dicke [μm] 35 Zuverlässigkeitsdaten und Festigkeitsdaten werden häufig in guter Näherung von der logarithmischen Normalverteilung oder der Weibullverteilung beschrieben. Bei der logarithmischen Normalverteilung ist der Logarithmus des Messwerts normalverteilt. Die Dichte der logarithmischen Normalverteilung ist gegeben durch g( x ) = 1 1 ⋅e 2π ⋅ σ x ⋅ − (ln x − μ ) 2 2σ 2 wobei μ = Mittelwert und σ =Standardabweichung (bzw. σ2 = Varianz) der Verteilung von ln x. Die Weibullverteilung ist eine Extremwertverteilung, sie beschreibt die Verteilung des schwächsten Gliedes einer Kette. Die Dichte der Weibullverteilung ist gegeben durch g( t ) = wobei β ⎛ t − t0 ⎞ ⋅⎜ ⎟ T ⎝ T ⎠ β −1 ⎛ t−t0 − ⎜⎜ ⋅e ⎝ T ⎞ ⎟⎟ ⎠ β Wahrscheinlichkeitsnetz 4 T = charakteristische Lebensdauer β = Formparameter und t0 = ausfallfreie Zeit. 1.2 Darstellung von Daten im Wahrscheinlichkeitsnetz Bei der Auswertung von Versuchs- oder Messergebnissen ist es schwer, anhand eines Histogramms zu beurteilen, ob die Daten zu einer Normalverteilung oder einer anderen Verteilung passen. Im Wahrscheinlichkeitsnetz für normalverteilte Daten sind die Achsen nun so skaliert, dass eine Normalverteilung auf eine Gerade abgebildet wird. Daten, die aus einer Normalverteilung stammen, streuen daher nur zufällig um eine Gerade. Da eine Gerade leichter zu erkennen ist als die oben dargestellten Verteilungskurven, kann man leichter erkennen, ob die vorliegenden Daten zu einer Normalverteilung passen. Das folgende Bild zeigt ein Beispiel für Daten, die nur zufällig von einer Normalverteilung abweichen. Als Interpretationshilfe ist eine Gerade eingezeichnet. Auch für andere Verteilungen kann man geeignete Achsenskalierungen wählen, sodass die Verteilung auf eine Gerade abgebildet wird. Im Applet können dieselben Daten wahlweise in einem Wahrscheinlichkeitsnetz für normalverteilte Daten, logarithmisch normalverteilte Daten und weibullverteilte Daten einge- tragen werden. Für die logarithmische Normalverteilung ist die x-Achse logarithmisch skaliert, bei der Weibullverteilung ist zusätzlich die y-Achse so skaliert, dass weibullverteilte Daten auf einer Geraden liegen. Wahrscheinlichkeitsnetz 1.3 5 Kurzbeschreibung des Applets In das Applet können unter „Dateneingabe“ beliebige Daten (Stichprobenwerte) von Hand eingegeben werden (richtigen Stichprobenumfang angeben und dann „neu berechnen“) oder Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung simuliert werden. Die Daten können dann wahlweise im „Wahrscheinlichkeitsnetz für NV“, „Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV“ oder im „Wahrscheinlichkeitsnetz für Weibull“ dargestellt werden. Verteilungsdichte Folgende Verteilungen können für die Simulation vorgegeben werden: Standardabweichung σ σ Normalverteilung mit Mittelwert μ und Verteilungsdichte Verteilungsdichte Normalverteilung mit Mittelwert μ und μ xu μ xo Standardabweichung σ, bei xu und xo beschnitten σ außerhalb (entsteht, dieser wenn Grenzen Teile aussortiert wurden) Anteil p μ1 Überlagerung von zwei Normalverteilun- μ2 Anteil 1-p σ1 σ2 gen – Mischverteilung, ein Anteil p der Teile stammt aus Normalverteilung mit Mittelwert μ1 und Standardabweichung σ1, der Rest aus Normalverteilung mit Mittelwert Verteilungsdichte μ2 und Standardabweichung σ2 μ=1, σ=1 logarithmische Normalverteilung – in diesem Beispiel hat die Verteilung von ln x den Mittelwert μ=1 und die Standardabweichung σ=1 Verteilungsdichte Wahrscheinlichkeitsnetz to 6 T β=2 Weibullverteilung mit ausfallfreier Zeit t0, charakteristischer Lebensdauer T und in Verteilungsdichte diesem Beispiel Formparameter β=2 Verteilungsdichte xu xo Rechteckverteilung (Gleichverteilung) mit Untergrenze xu und Obergrenze xo Dreieckverteilung mit Untergrenze xu und Obergrenze xo xu 1.4 xo Ziel des Applets Das Applet soll dabei helfen, Daten ins Wahrscheinlichkeitsnetz einzutragen. Es soll den Zusammenhang zwischen der Form der Verteilung und der Skalierung des zugehörigen Wahrscheinlichkeitsnetzes verdeutlichen und grafisch zeigen, dass • Daten aufgrund der Zufallsstreuung immer von der Geraden abweichen • diese Abweichungen aber mit zunehmendem Stichprobenumfang n immer kleiner werden, wenn die Stichprobe aus der jeweiligen Verteilung entnommen wurde • abweichende Verteilungen zu einer Abweichung von der Geraden führen • diese Abweichung bei kleinem Stichprobenumfang n aber nicht von der Zufallsstreuung unterscheidbar ist. Wahrscheinlichkeitsnetz 7 2 Visualisierungen mit dem Applet 2.1 Normalverteilte Daten Nach dem Start des Applets wählen Sie "Eingabe der Verteilungen (Simulation)" und Normalverteilung mit z.B. μ=10 und σ=2, mit einem Stichprobenumfang von 1000. Im "Wahrscheinlichkeitsnetz für NV" liegen die Punkte näherungsweise auf einer Geraden. "Neu berechnen" gibt ähnliche Punkte, die ebenfalls geringfügig von der Geraden abweichen. Beachten Sie dabei, dass die Abweichungen bei kleinen und bei großen Prozentwerten nur scheinbar größer sind als bei mittleren Werten – die y-Skala ist hier gestreckt. Die Einzelwerte unterliegen einer Zufallsstreuung, insgesamt wird die Verteilung aber gut beschrieben. Man kann zwar keine Aussagen über Einzelwerte treffen, wohl aber über viele Werte zusammen. Im "Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV" und "Weibull" erhält man eine deutlich erkennbare systematische Abweichung von einer Geraden – diese Verteilungen sind nicht konsistent mit den Daten. Wiederholen Sie die Simulation nun mit einem Stichprobenumfang von 20. Die Streuung der Werte um die Gerade im "Wahrscheinlichkeitsnetz für NV" ist deutlich größer, im "Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV" und "Weibull" ist die Abweichung von der Geraden nicht mehr eindeutig erkennbar: Bei kleinem Stichprobenumfang ist die Zufallsstreuung größer, die Form der Verteilung ist kaum mehr zu erkennen. Einfacher grafischer Test auf Konsistenz von Daten mit der verwendeten Verteilung: Wenn die größte Abweichung eines Punktes (in %, nicht mm im Bild) kleiner ist als ca. 89/ n , dann sind die Daten mit der angenommenen Verteilung konsistent (vereinfachter Kolmogoroff-Smirnov-Lilliefors-Test). Achtung: Dies ist kein Beweis dafür, dass die Verteilung richtig ist, es liegt nur kein Widerspruch vor – ein Beweis ist prinzipiell nicht möglich. Testen Sie diesen Test, indem Sie für verschiedene Stichprobenumfänge n bei mehreren Simulationen jeweils die größte Abweichung bestimmen und mit der Grenze vergleichen. Wahrscheinlichkeitsnetz 2.2 8 Abweichungen von der Normalverteilung Eine beschnittene Normalverteilung tritt in der Praxis auf, wenn eine Fertigung so stark streut, dass auch Teile außerhalb der Toleranz auftreten, diese dann aber aussortiert werden. Eine Mischung von zwei Normalverteilungen tritt auf, wenn Teile von zwei Fertigungslinien oder Herstellern vermischt werden, die sich wesentlich unterscheiden. Rechteckverteilung und Dreieckverteilung treten kaum praktisch auf und dienen hier nur als Demonstrationsbeispiele. Für all diese Verteilungen gilt: Bei großem Stichprobenumfang sind die Abweichungen von der Normalverteilung (und den anderen Verteilungen) klar erkennbar – insbesondere, wenn die Abweichung groß ist (bei der beschnittenen Verteilung z.B. wenn xo bei μ+σ liegt, bei der Mischverteilung wenn μ1 und μ2 sich um mehr als σ unterscheiden). Bei kleinem Stichprobenumfang sind die Abweichungen nur schwer erkennbar. Als Entscheidungshilfe können Sie den Kolmogoroff-Smirnov-Lilliefors-Test aus Abschnitt 2.1 verwenden. Experimentieren Sie mit unterschiedlichen Abweichungen von der Normalverteilung und versuchen Sie jeweils die charakteristischen Abweichungen von der Geraden im "Wahrscheinlichkeitsnetz für NV" zu verstehen (die beschnittene Verteilung und die Rechteckverteilung sind an den Rändern zu steil, die Mischverteilung hat ein Plateau im xBereich zwischen μ1 und μ2). 2.3 Logarithmische Normalverteilung Wählen Sie "log-Normalverteilung" z.B. mit μ=1 und σ=1. Bei der Eintragung in das "Wahrscheinlichkeitsnetz für NV" ist eine deutliche Abweichung von der Gerade erkennbar, bei der Eintragung in das "Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV" liegen die Werte auf einer Geraden: Im "richtigen" Netz liegen die Werte auf einer Geraden – so kann man die Form der Verteilung grafisch ermitteln. x ln ist der Mittelwert von ln x und schätzt μ − da die Achse mit den x-Werten beschriftet ist, liest man dort eμ ab. sln ist die Standardabweichung von ln x und schätzt σ. Wahrscheinlichkeitsnetz 2.4 9 Weibullverteilung Wählen Sie "Weibull" z.B. mit β=2 und T=10 und zunächst t0=0. Bei der Eintragung in das "Wahrscheinlichkeitsnetz für NV" ist eine deutliche Abweichung von der Gerade erkennbar, bei der Eintragung in das "Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV" weniger deutlich und bei "Weibull" liegen die Werte auf einer Geraden. Bei Zuverlässigkeitsuntersuchungen werden sowohl das "Wahrscheinlichkeitsnetz für log-NV" als auch "Weibull" verwendet, da sie in mancher Hinsicht ähnlich sind und bei den geringen Stückzahlen bei Zuverlässigkeitsuntersuchungen manchmal schwer zu unterscheiden sind. "Weibull" ist theoretisch besser geeignet und wesentlich weiter verbreitet. Verwenden Sie nun als ausfallfreie Zeit t0=10. Mit keinem der Netze erhält man zunächst eine befriedigende Gerade. Im Weibullnetz befindet sich jedoch unten ein Schieber für t0. Verschieben Sie diesen nun und beobachten Sie, wie die zeitverschobene Kurve (orange) sich einer Gerade annähert, wenn t0 ca. 10 ist: So kann die ausfallfreie Zeit empirisch ermittelt werden. 3 Auswertung eigener Daten Wenn Sie "Eingabe von Stichprobenwerten" wählen, können Sie Ihre eigenen Daten eingeben und in den drei Netzen darstellen. Untersuchen Sie so die Verteilung Ihrer Daten. Dazu müssen Sie vorher den richtigen Stichprobenumfang wählen.
