Geometrie Q11 und Q12

Skripten für die
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E: x1 + 3x2 – 4 = 0
1
 
A   2
 3
 
11.
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Inhalt
§01. Das räumliche Koordinatensystem ...................................................................................2
§02. Vektoren ...........................................................................................................................3
§03. Vektorketten .....................................................................................................................4
§04. Spaltenvektoren ................................................................................................................5
§05. Das Skalarprodukt ............................................................................................................6
§06. Das Vektorprodukt ...........................................................................................................8
§07. Die Kugel ..........................................................................................................................9
§08. Lineare Abhängigkeit .....................................................................................................10
§09. Die Gerade ......................................................................................................................12
§10. Die Ebene .......................................................................................................................14
§11. Abstandsprobleme ..........................................................................................................19
§12. Winkel ............................................................................................................................23
§13. Weitere Anwendungen ...................................................................................................24
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§01. Das räumliche Koordinatensystem
1. Punkte im Koordinatensystem:
Im Raum wird ein Punkt durch 3 Koordinaten festgelegt.
Z.B. A( 2 | 3 | 2 )
B(–3| – 1| –2)
x1 x2 x3
x3
A
1
-2
-1
-2
-1
1
0
2
x2
B
1
2
3
4
x1
2. Koordinatenebenen
z.B. x1-x2-Ebene
x1-x3-Ebene
x3
x3
x2
x1
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x2
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§02. Vektoren
Definition
Die Menge aller gerichteten Strecken im Raum, die
 gleiche Länge,
 gleiche Richtung und
 gleiche Orientierung besitzen,
nennt man Vektor. Ein Element dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors.
Schreibweisen:
 Kleine lat. Buchstaben mit Pfeil:
a; b; c; d; e; f ; o; u; v; w; x
 Als Verbindung zweier Punkte:
AB; XA;...
b
Beispiel:
AB  DC  a  b
D
C
A
B
a
Definitionen:
1. Der Vektor, dessen Repräsentanten die Länge 0 haben, heißt Nullvektor o .
2. Ein Vektor a heißt parallel zu einem Vektor b , wenn die Repräsentanten von a zu denen
von b parallel sind. Zum Nullvektor ist jeder Vektor parallel.
3. Ein Vektor heißt Gegenvektor eines Vektors a , wenn sich seine Repräsentanten nur in der
Orientierung unterscheiden. Er wird mit – a bezeichnet.
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§03. Vektorketten
Gegeben sind drei Vektoren (nebenstehend):
a
c
b
1. Addition von Vektoren:
Der Fußpunkt des einen Repräsentanten wird an die Spitze des
anderen gesetzt. Der Repräsentant der Summe verläuft vom
Fußpunkt des ersten zur Spitze des zweiten Summanden.
Definition:
Statt a + (– b ) schreibt man auch a – b .
Einen Vektor subtrahiert man, indem man seinen Gegenvektor
addiert.
2. Multiplikation mit einer reellen Zahl
Definition:
Multipliziert man einen Vektor c mit einer reellen Zahl ,
so haben die Repräsentanten  c die -fache Länge, die gleiche
Richtung und Orientierung wie c .
2 c
c
Der Vektor – 1 c ist der Gegenvektor von c .
3. Geschlossene Vektorketten
Definition:
Eine geschlosseneVektorkette ist eine mehrgliedrige Summe
mit dem Summenvektor o .
Hier: a + b – 2 c = o
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§04. Spaltenvektoren
1. Koordinatendarstellung
 a1 
 a1 
 
Man schreibt: a =   , falls a in der Ebene bzw. a =  a 2  , falls a im Raum liegt.
 a2 
a 
 3
Rechenregeln:
 a1   b1   a1  b1 
    

 a + b =  a 2    b2    a 2  b2 
a  b  a b 
3
 3  3  3
0
 
 Nullvektor: o =  0 
0
 
 a1   a1 
  

  a =   a2    a2 
 a   a 
 3  3
 1 
 0 
 
 
Beispiel: Berechne 3 a – 2 b mit a =   2  und b =   6 
 5 
 3 
 
 
 1 
 0   3 0   3 
  
  
 
3 a – 2 b =3   2  –2   6  =   6  12    6 
 5   9  10    1
 3 
  
  
 
2. Ortsvektoren
Satz und Definition:
 a1 
 
Jedem Vektor A =  a 2  ist so eindeutig ein Punkt A(a1| a2| a3) mit A = OA (O: Ursprung)
a 
 3
zugeordnet.
a1, a2, a3 heißen die Koordinaten von A bzw. A . Der Vektor A heißt Ortsvektor des Punkts A.
3. Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor zweier Punkte A und B errechnet sich aus AB  B  A
Beispiel: A(1|–2|3) B(–3|0|6)
 3  1   4 

  
AB   0  2    2 
 6  3  3 

  
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§05. Das Skalarprodukt
1. Betrag eines Vektors:
Unter dem Betrag eines Vektors a versteht man die Maßzahl der Länge eines seiner
Repräsentanten. Schreibweise: | a | oder a.
2. Beispiel aus der Physik
F

s
W = Fscos
Verknüpfung der Vektoren F und s führt zum Skalar (Zahl) W
3. Definition
Die Verknüpfung der Vektoren a , b
a o b = abcos (mit 0°   180°),
die jedem Vektorpaar eine reelle Zahl zuordnet, nennt man Skalarprodukt.
4. Skalarprodukt in Koordinatenschreibweise:
 a1   b1 
     a1b1  a 2 b 2
 a 2   b2 
 a1 
 
 a2 
a 
 3
 b1 
 
 b 2   a1b1  a 2 b 2  a 3b3
b 
 3
Beispiele:
 5   2
   
 5    1   10  5  3  12
  1  3 
   
1 1
      1²  2²  5
 2  2
2
1
Es gilt: | a | =
a a
Es gilt für die Länge AB einer Strecke [AB]: AB  B  A 
B  A B  A
Beispiel: A(1|–2|3) B(–3|0|6)
 3  1   4 

  
AB   0  2    2 
 6  3  3 

  
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5. Einheitsvektoren
Gegeben ist ein beliebiger Vektor a .
Ein Vektor mit Länge 1, der dieselbe Richtung und Orientierung wie ein Vektor a besitzt,
heißt Einheitsvektor von a (Schreibweise: a o oder a o ). Statt „Bestimme den Einheitsvektor
von a !“ sagt man auch „Normiere a !“
Es gilt: a  
a
a
Beispiel:
 3
a =  
 4
a  3²  4²  9  16  25  5
3
3
1   5
a       
5  4  4 
 
5
6. Winkel zwischen Vektoren
cos =
a b
ab
  nennt man den Zwischenwinkel der Vektoren a und b .
 Ist  = 90°, so sagt man: „Die Vektoren a und b stehen senkrecht aufeinander“ oder „ a
und b sind orthogonal“
 Für zwei orthogonale Vektoren a und b gilt: a o b = 0
 Schneiden sich 2 Geraden so nennt man den kleinsten Winkel, den sie miteinander bilden
Schnittwinkel der Geraden.
Beispiel
 3
1
a    ; b     cos  =
 4
 2 
 3  1 
    
38
5
1
 4   2



 =116,57°
3²  4²  1²  (2)² 5  5
5 5
5
b
7. Winkelhalbierender Vektor
b
w
w  a  b
a
b
a
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§06. Das Vektorprodukt
1. Berechnung des Vektorprodukts
 a1   b1   a 2 b3  a 3b 2 
    

Das Produkt a  b   a 2    b 2    (a1b3  a 3b1 )  , das 2 Vektoren einen dritten Vektor
a  b   a b a b 
 3  3  1 2 2 1 
zuordnet, heißt Vektorprodukt.
Der Vektor a  b ist orthogonal zu den Vektoren a und b
Es gilt: | a  b | = | a |  | b | sin  ( ist der Zwischenwinkel von a und b )
Die Orientierung des Vektors a  b ermittelt man mit der rechten Hand:
Hand in Orientierung von a , Abknicken in Orientierung von b , abgespreizter Daumen gibt die
Orientierung von a  b an.
Beispiel:
ab
 1   0   0  3  1  (2)   2 
    
  
  0    1     [1  3  0  (2)]     3 
  2   3   11  0  0   1 
    
  
2. Anwendungen
 Flächeninhalt eines Parallelogramms/Dreiecks, das von den Vektoren a; b erzeugt wird:
1
AP  | a  b |
bzw. A   | a  b |
2
a
b
 Volumen eines Spats, der von den Vektoren a; b; c erzeugt wird:
V = (a  b) c
a
b
c
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§07. Die Kugel
Alle Punkte X(x1|x2|x3), die von einem Punkt M(m1|m2|m3) einen festen Abstand r > 0 haben,
liegen auf der Kugeloberfläche (im Raum) bzw. Kreislinie (in der Ebene) um M mit Radius r.
Gleichung: X  M = r
bzw.:
Kugel- bzw. Kreisgleichung (Mittelpunkt M, Radius r):
 X  M  = r²
(vektorielle Form)
(x1 – m1)² + (x2 – m2)² +(x3 – m3)² = r²
(Koordinatenform)
2
Beispiel:
Für welche c liegt der Punkt C(4|2|c) auf der Kugeloberfläche der Kugel um M(2|2|3) mit
Radius 5 ?
 Kugelgleichung
 X  M  = r²
2
2

 2

 
 X   2    5²
 3

 

(Hier nicht gefragt: Kugel in Koordinatenform: (x1 – 2)² + (x2 – 2)² +(x3 – 3)² = 5 )
 Ortsvektor von Punkt C für x einsetzen und vereinfachen:
2
 4  2
 2 
   


 2   2  5² ;  0   5
 c   3
 c  3


   
2
4 + (c – 3)² = 5
4 + c² – 6c + 9 = 5
c² – 6c + 8 = 0
(c – 4)(c – 2)= 0
Für c1 = 4; c2 = 2 liegt C auf der Kugel.
Hinweis:
Für Punkte C außerhalb der Kugel gilt die Ungleichung 4 + (c – 3)² > 5, bzw. (c – 4)(c – 2) > 0
Für Punkte C innerhalb der Kugel gilt die Ungleichung 4 + (c – 3)² < 5, bzw. (c – 4)(c – 2) < 0
Lösen der Ungleichung z. B. mit VZ-Tabelle
2
4
(c – 2)
(c – 4)
–
–
+
–
+
+
(c – 2)(c – 4)
+
–
+
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§08. Lineare Abhängigkeit
Definition:
Den Ausdruck 1  a1   2  a 2  ...   n  a n (mit 1; 2;..., n  IR ) nennt man
Linearkombination der Vektoren a1; a 2 ;...;a n
Beispiel:
Gegeben sind die Vektoren a und b
Der Vektor c lässt sich als Linearkombination
-2 a
a
c
der Vektoren a und b schreiben:
c = -2 a + 2 b
b
2b
Definition:
Gegeben sind n Vektoren a1; a 2 ;...;a n . Lässt sich mindestens einer von ihnen als
Linearkombination der anderen darstellen, so nennt man die Vektoren a1; a 2 ;...;a n linear
abhängig, ansonsten linear unabhängig.
Beispiele:
a) 2 Vektoren a und b :
 Zur Überprüfung verwendet man die Beziehung a =  b
Erhält man in jeder Zeile denselben Wert, so sind die Vektoren linear abhängig,
erhält man in mindestens 2 Zeilen verschiedene Werte oder in einer Zeile eine falsche
Aussage (z.B. 1 = 0), so sind die Vektoren linear unabhängig.
1
 2 
1
 2     0,5
 


 


geg.: a   2  ; b   4  Lösung:  2     4     0,5 also: a ; b lin. abhängig
 3
 3
 6     0,5
 6 
 
 
 
 
1
 2 
1
 2     0,5
 
 
 
 
geg.: a   2  ; b   2  Lösung:  2     2     1 also: a ; b lin. unabhängig
 3
 0   3  0 (f )
 3
 0
 
 
 
 
 Zwei linear abhängige Vektoren besitzen dieselbe Richtung
(sie sind parallel bzw. kollinear)
 Die Repräsentanten zweier (auch unabhängiger) Vektoren kann man immer in eine Ebene
legen (die beiden Vektoren sind stets komplanar)
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b) 3 Vektoren a , b und c :
 Zur Überprüfung verwendet man die Beziehung a =  b +  c
Man erhält ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den zwei Unbekannten  und .
Hierzu löst man zwei Gleichungen und muss die beiden Unbekannten in die 3. Gleichung
einsetzen. Entsteht beim Einsetzen eine wahre Aussage (z.B. 0 = 0), so sind die Vektoren
linear abhängig.
Entsteht beim Lösen an irgendeiner Stelle eine falsche Aussage, so sind die Vektoren linear
unabhängig.
1
1
5
 


a   2  ; b  2 ; c  10 
geg.:
 
 
 3
0
6
 
 
 
1
1
 5  (I) 1    5
 
 
 
Lösung:
 2     2    10  (II) 2  2  10
 3
 0
 6  (III) 3  6
 
 
 
Am einfachsten sind die Gleichungen (I) und (III) zu lösen. (Hier
Einsetzverfahren verwenden)
Aus (III) folgt:   0,5
 in (I)
1 =  +2,5 =>  = –1,5
Nun muss man in die verbleibende Gleichung (II) beide Werte einsetzen:
,  in (II)
2 = 2(–1,5) + 100,5
2 = –3 + 5
2 = 2 (w)
Vektoren linear abhängig.
geg.:
Lösung:
1
1
 0
 


a   2 ; b  2 ; c  1
 
 
 3
0
 6
 
 
 
1
1
 0  (I) 1  
 
 
 
 2     2     1  (II) 2  2  
 3
0
 6  (III) 3  6    0,5
 
 
 
Hier stehen die Lösungen für die Parameter schon da. Also muss man nur noch
in die verbleibende Gleichung (II) beide Werte einsetzen:
,  in (II)
2 = 21 + 0,5
2 = 2,5 (f)
Vektoren linear unabhängig.
 Die Repräsentanten von drei linear abhängigen Vektoren kann man immer in eine Ebene
legen (drei linear abhängige Vektoren sind stets komplanar)
Weitere Eigenschaften:
 In der Ebene gibt es maximal 2 linear unabhängige Vektoren („2-dimensional“)
 Im Raum gibt es maximal 3 linear unabhängige Vektoren („3-dimensional“)
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§09. Die Gerade
1. Parameterform
A
g
X
u
X
(X ist beliebiger Punkt auf g)
A

O
Um eine Gerade festzulegen, benötigt man
 den Ortsvektor A eines festen, beliebigen Punktes der Geraden (Aufhängepunkt) und
 einen Vektor u , der die Richtung der Gerade angibt (Richtungsvektor RV):
Gleichung in Parameterform: g: X = A +  u
Beispiele:
 x1 – Achse des Koordinatensystems der Ebene:
Aufhängepunkt ist hier: O(0|0);
1
Richtungsvektor: u =   ;
0
1
Also:
g: X =    
0
 Gerade g durch die Punkte A(2|5|3) und B(0|1|3)
Aufhängepunkt ist hier: A(2|5|3);
 0  2   2 
1
 

  
Richtungsvektor: AB   1  5    4  => u =  2 
0
 3  3  0 

  
 
Hinweis: Bei einem RV kommt es nur auf die Richtung an, nicht auf Länge oder
Orientierung. Deshalb kann man einen möglichst einfachen Vektor, der die vorgegebene
Richtung hat, verwenden. Hier wird das erreicht, indem der Vektor AB durch den
gemeinsamen Faktor aller Koordinaten, nämlich –2 dividiert wird. Damit erhält man einen
anderen Vektor u , der die gewünschte Eigenschaft hat.
 2
1
 
 
Also: g: X =  5     2 
 3
0
 
 
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2. Gegenseitige Lage zweier Geraden g und h:
g: X = A +  u
h: X = B + µ v
 Sind die RV u , v der beiden Geraden linear abhängig? Ansatz: u =  v
JA
NEIN
Das bedeutet die Richtungen der Geraden Das bedeutet die Geraden haben unterschiedsind gleich.
liche Richtungen.
 Liegt der Aufhängepunkt (z.B. A) der  Haben die Geraden einen gemeinsamen
einen Gerade auch auf der anderen Gerade
Punkt (Ermitteln durch Einsetzen von g in h
(also auf h)?
bzw. Gleichsetzen der Terme)?
Ansatz: A = B + µ v oder A – B = µ v
Ansatz: A +  u = B + µ v
Oder: A – B = µ v –  u
JA
Die Geraden sind
identisch
gh
NEIN .
JA
NEIN .
Die Geraden sind
echt parallel
g || h
Die Geraden haben
einen Schnittpunkt S
g  h = {S}
Die Geraden sind
windschief
S
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§10. Die Ebene
1. Parameterform
E
C
v
X
B
u
X
(X ist beliebiger Punkt auf E)
A
A

O
Um eine Ebene festzulegen, benötigt man
 den Ortsvektor A des Aufhängepunkts und
 zwei linear unabhängige Richtungsvektoren u und v
Gleichung in Parameterform: E: X = A +  u + µ v
Beispiele:
a) x1 – x2 – Ebene des Koordinatensystems im Raum: (Vgl. §02)
Aufhängepunkt ist hier der Ursprung O(0|0|0)
1
0
 
 
Richtungsvektoren:
u =  0  und v =  1 
u und v sind linear unabhängig
0
0
 
 
u verläuft in Richtung der x1-Achse, v in Richtung der x2-Achse
0
1
 0
1
 0
 
 
 
 
 
Also: E: X =  0     0     1  oder vereinfacht: E: X =   0     1 
0
 0
 0
0
 0
 
 
 
 
 
b) Ebene durch die Punkte A(1|2|3) und B(5|–2|–5) C(0|1|1)
Aufhängepunkt ist hier: A(1|2|3)
5 

Richtungsvektoren:  AB   2 
 5 

0 

 AC   1 
1 

1
 1
1
 
 
 
Also: E: X =  2     1     2 
 3
2
1
 
 
 
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1  4 
 1 
  
 
2    4  => u =  1  
2
3   8 
 
2   2 
1
  
 
5    4  => v =  2  u und v sind linear unabh.
1
3   2 
 
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2. Normalenvektor
Ein Vektor n , der auf einer Ebene senkrecht steht, heißt Normalenvektor der Ebene
Bestimmung des Normalenvektors mit Vektorprodukt u  v (vgl. §06)
Beispiel:
0
1
 0
 1   0   0  3  1 (2)   2 
2
 
 
 
    
  
 
E: X   2     0     1  ; u  v   0    1    [1 3  0  (2)]    3  ;
n   3 
 2
 2 
 3
 2   3   11  0  0   1 
1
 
 
 
    
  
 
Hinweis: Auch bei n kommt es nur auf die Richtung, nicht auf Länge und Orientierung an.
Man kann also u  v durch eine beliebige Zahl dividieren/multiplizieren, um den
Vektor n zu erhalten.
3. Normalenform
Eine Ebene E kann (im Raum) durch folgende Gleichung beschrieben werden:
E: n (X  A) = 0 (NF)
dabei ist n der Normalenvektor von E
Benötigt wird hier
– der Ortsvektor A eines beliebigen Punktes A auf E (z.B. Aufhängepunkt)
– ein Normalenvektor n von E
Jeder Gleichung ist eindeutig eine Ebene zugeordnet. Jedoch ist nicht einer Ebene eindeutig
eine Gleichung zugeordnet (Normalenvektor kann in Länge und Orientierung noch variieren.)
Beispiel:
2
 
n   3 
Ebene E aus 2.
1
 
Einsetzen in n (X  A) = 0
2 
 0 
  
 
 3   X   2    0
1 
 2 
  
 
2
 
 3  X  8  0
1
 
2x1 – 3x2 + x3 – 8 = 0 (NF)
und
 0
 
A   2 
 2
 
2
2
 
 
 3  X   3 
1
1
 
 
0
 
 2   0
 2
 
(Normalenform in Koordinatendarstellung)
Besondere Ebenen: (Vgl. §02)
x3 = 0
x1-x2-Ebene (enthält Ursprung)
x2 = 6
Parallel zu x1-x3-Ebene im Abstand 6 | x2-Koordinate eines jeden Punktes ist 6
x1 + x3 + 5= 0
Parallel zu x2-Achse
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 Ebene enthält den Ursprung
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| x3-Koordinate eines jeden Punktes ist 0
| x2-Koordinate fehlt
| Konstante Zahl >0 fehlt
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4. Gegenseitige Lage von 2 Ebenen E und F bzw. einer Gerade g und einer Ebene E
3 Möglichkeiten:
E und F sind identisch
E F
g liegt in E
E und F sind echt parallel
E||F
E und F schneiden in einer Geraden
EF = {g}
E und g sind echt parallel E und g schneiden sich in einem Punkt
Merke:
Die Schnittgeraden einer Ebene E mit den Koordinatenebenen nennt man Spurgeraden, die
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Spurpunkte.
a) Parameterform – Normalenform (Ebene-Ebene bzw. Gerade-Ebene):
Man setzt die Parameterform der einen Ebene (bzw. der Gerade) in die Normalenform der
anderen Ebene ein und löst nach einem der Parameter auf.
Beispiel
1
1
 0
 
 
 
E: X   2     0     1  und F: 2x1 – x2 – 8 = 0
 2
 2 
 3
 
 
 
 E in F: 2(1 +  + 0) – (–2 + 0 + 1) – 8 = 0
2 + 2 + 2 – – 8 = 0
– 4 + 2 = 
Hier 3 Möglichkeiten:
1 Ergebnis
 Ebenen E und F schneiden sich
(z.B. wie oben, oder Zahlenwert für einen Parameter)
(g und E schneiden sich)
2 wahre Aussage
 Ebenen sind identisch
(g liegt in E)
3 falsche Aussage
 Ebenen sind echt parallel
(g und E sind parallel)
1
1
 0
 
 
 
 Einsetzen von µ im E: X   2     0   (4  2)   1 
 2
 2 
 3
 
 
 
 Auflösen der Klammer und sortieren der Vektoren:
1
1
 0
 0
1
 1 0
 0
 
 
 
 
 
   
 
X   2     0   4  1   2  1 
X   2     0    4     2 
=>
 2
 2 
 3
 3
 2
 2  12 
 6
 
 
 
 
 
   
 
 1 0
1
 0
 1 
1
   
 
 


 
X   2    4     0     2  => Schnittgerade s: X   6     2 
 2  12 
 2 
 6
 10 
 4
   
 
 


 
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b) 2 Ebenen in Normalenform (nur Ebene-Ebene):
Man löst das Gleichungssystem (3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen; 1 Variable frei wählbar
z.B.  falls eine Variable in beiden Gleichungen nicht vorkommt, muss diese frei gewählt
werden)
Beispiel:
E: 2x1 – x3 – 4 = 0
2x1
– x3 = 4
2x1 – x2 + 3x3 = 2
F: 2x1 – x2 + 3x3 – 2 = 0
Wähle x3 = 
(I)
2x1
= 4 + 
(II)
2x1 – x2 = 2 – 3
(II)–(II)
x2 = 2 + 4
Einsetzen in (II):
2x1 – (2 + 4) = 2 – 3
2x1 – 2 – 4 = 2 – 3
2x1 = 4 – 
x1 = 2 – 0,5
Hier 3 Möglichkeiten:
Ergebnis für x1 x2 x3
wahre Aussage
falsche Aussage
 Ebenen schneiden sich in einer Geraden
 Ebenen sind identisch
 Ebenen sind echt parallel
Bestimmung der Gleichung der Schnittgeraden s durch zeilenweises Einsetzen:
 2
 0,5 
 


s: X   2     4 
0
 1 
 


5. Die Hessesche Normalenform (HNF)
Die Normalenform einer Ebene E ist nicht eindeutig, da der Normalenvektor beliebige
Orientierung sowie Länge besitzt.
n
Verwendet man den vom Ursprung zur Ebene zeigenden Einheitsvektor n o 
von n , so
|n|
erhält man die Hesseform der Normalengleichung (HNF) (eindeutig!): n o
X  A  0
Anmerkung zur Orientierung:
Zeigt der Normalenvektor vom Ursprung zur Ebene, so
liegt der Winkel  zwischen den Vektoren A und n
no
A
no
zwischen 0° und 90°, der cos ist positiv, also auch das
Skalarprodukt A n > 0.
Da dieses Skalarprodukt die Konstante hinter dem „–“ ergibt,
muss vor der Konstante ein Minus stehen.
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A
O
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Beispiel:
0
1
 0
 
 
 
geg.: E: X   2     0     1  (aus 1.)
 2
 2 
 3
 
 
 
ges.: HNF von E
Lösung:
 Bestimme die NF von E (wie in 1.)
E: 2x1 – 3x2 + x3 – 8 = 0 (NF)
 Bestimme n : n  2²  (3)²  1²  14 
 Teile die Koordinatenform der NF durch diesen Betrag und achte darauf, dass die
Konstante ein – als Vorzeichen hat. (Gegebenenfalls mit –1 multiplizieren)
2
x
3
x
x
8
1
2
3

0(HNF)
14
Anwendung:
Setzt man den Ortsvektor eines Punkts P  E in die linke Seite der HNF:
no
no
P
A
 P  A   n   P  A  cos  
o
 1 AP 
F
P
A
(vgl Skalarprodukt §05 | 3.)
PF
 PF
AP
Ankathete
Hinweise:  cos = Hypothenus
e
 Länge eines Einheitsvektors ist immer 1.
Satz:
Eine Ebene E sei durch ihre HNF
E: n o
X  A  0
gegeben und ein Punkt P (mit Ortsvektor P ) außerhalb der Ebene, so gilt
no
P  A = d
wobei e = |d| der Abstand d(P; E) von P zur Ebene E ist.
Das Vorzeichen von d gibt an, ob P und der Ursprung O auf derselben Seite (d < 0) oder auf
verschiedenen Seiten (d > 0) von E liegen.
Beispiel:
Bestimme den Abstand des Punktes P(1|2|3) von der Ebene E: 2x1 – 3x2 + x3 – 8 = 0
 Bestimme die HNF von E (wie in 1.)
2
x
3
x
x
8
1
2
3

0(HNF)
14
 Setze P in die linke Seite ein:
2

1

3

2

3

8 9 9

  ( P liegt auf derselben Seite von E, wie O)
d(P; E) = e =
14
14
14
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§11. Abstandsprobleme
1. Punkt–Punkt
Bestimme den Verbindungsvektor der beiden Punkte P und Q und berechne seinen Betrag.
d(P;Q) = | Q  P |
2. Punkt–Gerade
 Bestimme die Normalenform einer Hilfsebene H, die P enthält und senkrecht zur Geraden g
steht. (Hier ist der RV der Geraden der Normalenvektor und P der Aufhängepunkt)
 Bestimme durch Einsetzen von g in die Ebene den Schnittpunkt F von Ebene und Gerade
Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lots von P auf g.
 Der Abstand d(P;g) ist dann PF
g
Beispiel:
 3
1
 
 
g: X   2      0 
 3
 2
 
 
1
  
 n  0
 2
 
P(0 | 1 | 2)

1
 
H:  0 
 2
 
P
F

 0 

 
X   1   0
 2 

 
H: x1 + 2x3 – 4 = 0 (NF)

 g in H: 3 + µ + 2(3 + 2µ) – 4 = 0
 3
1  2
 
   
µ in g: F   2   1  0    2 
 3
 2  1
 
   

µ = –1
F(2 | 2 | 1)
20  2 

  
 d(P;g) = PF   2  1    1   6
 1  2   1

  
3. Punkt–Ebene
Einsetzen von P in die linke Seite der HNF der Ebene (vgl. §10 | 5.)
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4. Gerade–Gerade
a) Parallel Wie bei 2.:
g
 Hilfsebene H, die senkrecht auf die Geraden steht (RV ist Normalenvektor)
und den Aufhängepunkt A der einen Geraden g enthält;
 Schnittpunkt F von Hilfsebene und der anderen Geraden h bestimmen.
d(g;h) = AF
h
B
A
F
b) Windschief
 Hilfsebene E in Parameterform, die g enthält und || zu h ist (RV von g und h verwenden)
 HNF von E ermitteln
 Aufhängepunkt von h in linke Seite der HNF einsetzen (denn der Abstand des
Geradenaufhängepunkts und E ist der gesuchte)
Beispiel: Zeige, dass die Geraden
0
 4
 2
 0
 
 
 
 
g: X   2     3 
und h: X   4     1 
 2
 2 
1
 2
 
 
 
 
windschief sind und bestimme dann ihren Abstand.
Lösung:
Teil a) g und h windschief: (vgl. §09 | 2.)
 4 
 0   4  0 ( f )
 
 
RV linear unabhängig
 3    1 
  2
 2
 
 
 0 
 4   2
 0
 
   
 
  2    3    4    1 
 2 
  2  1
 2
 
   
 
 2 
0
 4   I. 2  4    0,5
 
 
 
 6     1     3   II. 6    3  6    1,5   4,5
1
 2
 2   III.1  2  2  1  2  2
 
 
 
 und  in III 1 = 20,5 – 2(–4,5)
1 = 10 (f)
 g und h sind windschief.
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Teil b) Abstand:
0
 4
 0
 
 
 
 E: X   2     3     1 
 2
 2 
 2
 
 
 
 4  0  8 
 2
     
 
  3    1    8   n   2   | n | 3
 2   2   4 
1
     
 
 2
 
 2 
1
 

 0 

 
 X   2    0
 2 

 

2
2
1
x1 – x2 + x3 – 2 = 0
3
3
3
 d (g; h) = |
2x1 – 2x2 + x3 – 6 = 0
(NF)
(HNF)
2
2
1
4 8
1
2 – 4 + 1 – 2 | = | – + – 2| = |–3| = 3
3
3
3
3 3
3
Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt 3.
5. Gerade–Ebene
„Abstand“ macht nur Sinn, wenn man zuvor gezeigt hat, dass Gerade und Ebene parallel sind
Dann bestimmt man den Abstand des Aufhängepunkts der Geraden von der Ebene:
 HNF der Ebene bestimmen
 Aufhängepunkt der Gerade in linke Seite der HNF einsetzen und vereinfachen.
6. Ebene–Ebene
„Abstand“ macht nur Sinn, wenn man zuvor gezeigt hat, dass die Ebenen parallel sind
Dann bestimmt man den Abstand eines beliebigen Punktes der einer der Ebenen von der
anderen Ebene:
 HNF der einen Ebene bestimmen
 Aufhängepunkt der anderen Ebene in linke Seite der HNF einsetzen und vereinfachen.
7. Kugel (im Raum) und Kreis (in der Ebene)
Alle Punkte X, die von einem Punkt M einen festen Abstand r > 0 haben, liegen auf der
Kugeloberfläche bzw. Kreislinie um M mit Radius r. (vgl. §07)
Gleichung: X  M = r
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Beispiel:
Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade
 4
1
g: X       
 2
 1
und des Kreises um M(1|1) mit Radius r = 2 2 .
Lösung:
Kreisgleichung bestimmen:
2

 1 
bzw. k:  X      8
 1 

 1
k: X    = 2 2
 1
Gerade in Kreis einsetzen und vereinfachen:
2
 4 
 1   1 
g in k:            8
 1 1 
 2 
2
 3 
 1 
        8
 1 
 1 
(3 + )² + (1 – )² = 8
9 + 6 + ² + 1 – 2 + ² = 8
2² + 4 +2 = 0
Interpretation::
keine Lösung: Gerade ist Passante (kein Schnittpunkt)
genau 1 Lösung: Gerade ist Tangente (1 Berührpunkt)
genau 2 Lösung: Gerade ist Sekante (2 Schnittpunkte)
2(µ + 1)² = 0 => µ = –1 Gerade ist Tangente an den Kreis,
 4   1   3
Berührpunkt: B     1     =>
 2   1  3 
B(3|3)
8. Einsetzen oder Gleichsetzen?
PF: Parameter-; NF: Normalenform
Gegeben:
NF – PF
PF – PF
NF – NF
Vorgang:
:
PF in NF einsetzen
PF und PF „gleichsetzen“ (bei 2 Ebenen besser: eine Ebene in NF verwandeln)
beide NF als GLS mit 2 Gleichungen lösen (bei 3 Unbekannten: 1 frei wählbar)
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§12. Winkel
1. Wiederholung


Der Zwischenwinkel  zweier Vektoren a und b errechnet sich nach der Formel:
 

ab

cos  
mit a = | a | und b = | b | (vgl. §05 | 6.)
a b
Setzt man die Richtungsvektoren zweier Geraden in diese Formel ein, so erhält man den
Schnittwinkel der beiden Geraden. Dabei ist zu beachten, dass mn immer denjenigen Winkel
verwendet der zwischen 0° und 90° liegt, also für den der cos größer oder gleich Null ist:
cos  
u1 u 2
u1  u 2

mit u1 = | u1 | und u2 = | u 2 |
Mit der NF einer Ebene können nun auch Zwischenwinkel zweier Ebenen oder einer
Ebene/Gerade bestimmt werden.
2. Winkel zwischen zwei Ebenen E und F

 
E: n1  (x  a )  0 (NF)

 
F: n 2  (x  b)  0 (NF)


Der Zwischenwinkel von E und F ist so groß
wie der Zwischenwinkel der beiden Normalen

vektoren n1 und n 2
Also setzt man diese in die Formel ein und erhält für den Zwischenwinkel  zweier Ebenen:
cos  
n1 n 2
n1  n 2


mit n1 = | n1 | und n2 = | n 2 |
3. Winkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene E
  
E: n  (x  a )  0 (NF)
 

g: x  a  u

Verwendet man den Normalenvektor n der Ebene und

den Richtungsvektor u der Gerade, so stellt man fest
dass der Winkel * zwischen diesen n i c h t der
Winkel zwischen Ebene und Gerade ist. Der gesuchte
Winkel  und * ergänzen sich jedoch zu 90°.
*

Also gilt: * = 90°–.
Außerdem ist cos * = cos(90°–) = sin 
und man kann somit den Winkel  zwischen Gerade und Ebene mit folgender Formel bestim–
men:
sin  
n u
nu
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

mit n = | n | und u = | u |
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§13. Weitere Anwendungen
1. Lotfuß- und Spiegelpunkt
Um den Lotfußpunkt F eines Lots von einem Punkt auf eine Ebene zu bestimmen, verfährt man so:
 Stelle die Gleichung der Lotgerade von P auf E (Aufhängepunkt ist P und der RV ist der
Normalenvektor der Ebene).
 Schneide die Gerade mit der Ebene (der gesuchte Fußpunkt ist der Schnittpunkt).
Anmerkung: Fußpunkt eines Lots auf eine Gerade:  Abstand Punkt-Gerade (vgl. §11 | 2.)
P
F
P‘
 Der Spiegelpunkt P‘ ergibt sich (sowohl bei Spiegelung an Gerade, als auch an Ebene) aus:
P '  P  2PF oder P '  F  PF
Dazu muss immer zuerst der Fußpunkt berechnet werden!
Beispiel:
E: 2x1 + x3 – 14 = 0
P(4|2|1)
 4
 2
 
 
 Lotgerade: l : X   2     0 
1
1
 
 
 l in E einsetzen: 2(4 + 2) + (1 + ) – 14 = 0;
 = 1;
 6  6  4  6  2  8
  
      
 Spiegelpunkt: P '  F  PF   2    2  2    2    0    2 
 2  2 1  2  1  3
  
      
F (6|2|2)
P‘ (8|2|3)
2. Geometrische Figuren in der Vektorrechnung
Parallelogramm: Gegenüberliegende Seitenvektoren haben dieselbe Richtung und denselben
Betrag und die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.
Zeige:  AB  DC
 AB und AD sind linear unabhängig
Rechteck:
Parallelogramm, aber ein Eckwinkel ist 90° (damit sind alle 4 Winkel 90°)
Zeige:  AB  DC
 AB AD  0
Quadrat:
Rechteck, 2 nebeneinanderliegende Seiten (damit alle 4) gleichlang
Zeige:  AB  DC
 AB AD  0
 AB  AD
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(rechter Winkel bei A)
(rechter Winkel bei A)
(An A anliegende Seiten gleichlang)
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Geometrie
Oberstufe
Dreieck:
Seite 25
Punkte liegen nicht auf einer Geraden (lineare Unabhängigkeit zweier
Seitenvektoren)
Zeige:  AB und AC sind linear unabhängig
3. Anwendung des Strahlensatzes
b
a
A‘
A
Z
e
f
c B
d B‘
Es gelten die Beziehungen
a c

(ohne parallele Seiten)

b d
a
c
e

(mit parallelen Seiten – Start


a b cd f
bei Z)
Weiter gilt:
 Streckungsfaktor, mit dem der Punkt A auf A‘ (aber auch B auf B‘ oder die Strecke e auf f)
a b cd f 
bei der zentrischen Streckung an Z abgebildet wird: k =
 

a 
c
e
 Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke ZA’B‘ und ZAB:
A ZA'B'
 k²
A ZAB
 Verhältnis der Teilflächen (Dreieck ZAB zu Trapez ABB’A‘):
Bedenken, dass gilt: A ZA'B' = A  ATrapez
 Verhältnis der Volumina zweier Pyramiden (bzw. Kegel), die durch eine Ebene in 2 Teile
V'
geteilt werden, so dass obige Figur ein Schnitt durch die Pyramide/Kegel ist:
 k³
V
 Verhältnis der Teilvolumina (Spitze zu Pyramidenstumpf):
Bedenken, dass gilt: VPyramide  VSpitze  VStumpf
Beispiel:
Eine Pyramide wird durch eine Ebene parallel zur Grundfläche auf einem Drittel der Höhe
geschnitten. Wie verhalten sich die Volumina der beiden entstehenden Teilkörper?
Faktor:
k = 3/2 (Höhe große Pyramide zu Höhe kleiner Pyramide)
Volumenverhältnis: k³ = 27/8
Also ist das Volumen der gesamten Pyramide 27/8 mal so groß
wie das der kleinen Pyramide. Damit ist der Stumpf (27/8 – 1)-mal
so groß wie die kleine Pyramide. Also:
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VPyramide(klein)
VStumpf

1
1
8


27
19 19
1
8
8
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