Konstruktionsprotokolle zu ersten 3D-Konstruktionen

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
3D-Konstruktionsprotokolle
Konstruktionsprotokolle zu ersten 3D-Konstruktionen
1) Konstruktionsprotokoll zu 3D-SchnittGeradeDreieck.ggb:
Die 3 Punkte A, B, C legen die Ebene e und ein Dreieck, das Vieleck1 fest. Die Punkte
können im Bewegungsmodus durch Anklicken wahlweise parallel oder vertikal zur xy-Ebene
verschoben werden oder durch Vorgabe der xyz-Koordinaten positioniert werden.
Durch die Punkte S und R ist der Strahl d festgelegt, der bei geeigneter Wahl von S und R
das Dreieck in D trifft.
Mit der Zahl  ist der Punkt T auf d über die Punkt-Richtungsform definiert und man kann
feststellen, für welches  der Punkt T in der Ebene e liegt. Ändere die Ansicht so, dass e
„projizierend“ als Gerade erscheint bzw. wähle die Ansicht parallel zu d.
Über die Eingabezeile kann man den Kegel mit Basiskreis um S mit Radius 1 und Spitze R
definieren. Im Algebra-Fenster werden das Volumen, die Oberfläche und die Parameterdarstellung des Basiskreises ausgegeben.
Der Punkt E kann direkt in der Ebene e oder auf dem Kegelmantel positioniert werden.
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2) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Ebenendarstellung.ggb
Den 3 Teilen dieser Figur liegt das gemeinsame File 3D-Ebenendarstellungen-Teil0.ggb
mit folgendem Konstruktionsprotokoll zugrunde.
Die 3 Punkte A, B, C legen im 3d-Fenster die Ebene e und die Vektoren a, u und v für die
Punkt-Richtungsform für e fest, wobei im 3D-Fenster auf Vektorpfeile verzichtet wird, da
diese dort (noch) nicht verfügbar sind.
Im Grafik-Fenster 2 legen die xy-Koordinaten eines Punktes mit der Bezeichnung Parameter
den Punkt P im 3D-Fenster auf der Ebene e mittels der Punkt-Richtungsform fest. Mit dem
Text0 werden die Werte für  und  ausgegeben. Dieser ist über Eigenschaften -> Position
an den Punkt Parameter gebunden.
Die Punkte Pu , Pv und die Vektoren pu , puv , pv und pvu visualisieren die Definition von P über
die Punkt-Richtungsform der Ebene e.
Der Text1 gibt im Grafik-Fenster 2 die analytische Darstellung der Punkt-Richtungsform aus.
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Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil1.ggb wird mit den Parametern 1 und 1 ein weiterer Punkt Q in der Ebene e festgelegt und die Frage gestellt, die Parameter ( , ) für den
Punkt P so zu bestimmen, dass P = Q ist, vgl. Text2.
Mit der Schaltfläche1 „Setze Q“ werden über GeoGebra-Skript die Paramater 1 und 1
zufällig im Raster 0.5(n,m) , n, m  Z vorgegeben, siehe Eigenschaften -> Skripting:
SetzeWert[λ1,0.5*Zufallszahl[-1,5]] ; SetzeWert[μ1,0.5*Zufallszahl[-1,5]].
Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil2.ggb werden durch die Punkte S und T die Gerade d
und die Vektoren s, r und rʹ = -r für die Punkt-Richtungsform für d und die analytische
Berechnung des Schnittpunkts D festgelegt.
Die Koeffizientenmatrix M des LGS wird als Liste von Listen definiert und damit das LGS
(vgl. Text3) gelöst als l = (M^(-1)(s-a) (bei nicht invertierbaren Matrizen treten Probleme auf).
Mit der Schaltfläche2 „Setze P = D“ werden die Paramater (, ) (der Punkt Parameter) des
Punktes P auf (x(l), y(l)) über GeoGebra-Skript gesetzt, siehe Eigenschaften -> Skripting:
SetzeWert[Parameter,(x(l),y(l))]
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Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil3.ggb wird der Vektor n als Vektorprodukt von u und
v bestimmt (Das Sonderzeichen  findet man im Tableau, das durch Anklicken des Buttons
in der Eingabezeile erscheint). Er erscheint zunächst als Vektor von O aus.
Durch Verschiebe[A, n] (bzw,. das Werkzeug
oder Aʹ = A + n ) erhält man den Punkt Aʹ
und damit den Vektor nʹ. Text5 gibt die Normale und die Koordinatengleichung von e analytisch aus.
Winkel α gibt den mit dem Werkzeug
gemessenen Winkel aus.
Mit dem Skalarprodukt sp = u v erhält man den Winkel φ mit Hilfe der Formel für cos φ,
wobei man ihn zunächst im Bogenmaß erhält und daher in Gradmaß umrechnen muss.
Unter Eigenschaften -> Erweitert kann man die Winkeleinheit wählen und die Arcusfunktion
direkt im Gradmaß ausgeben lassen.
Im File 3D-Ebenendarstellungen.ggb sind alle drei Teile zusammengefasst und können mit
Hilfe von Kontrollkästchen wechselweise ausgewählt werden, siehe Wahrheitswerte w1, w2,
w3 und die Eintragungen bei den Objekten unter Eigenschaften -> Erweitert.
3) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Schnittgerade-Schnittwinkel.ggb
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Mit dem Aufpunkt A1 und dem Normalenvektor n1 (festgelegt über den Punkt N1) definiert
man die Ebene e1 durch Eingabe der Koordinatengleichung in der Eingabezeile und legt den
Normalenvektor nʹ1 in A1 mit Hilfe des Punktes Nʹ1 fest (Beschriftung mit n1).
Analog legt man eine zweite Ebene e2 fest.
Die Richtung r der Schnittgeraden c, die mit Hilfe des Werkzeugs
erzeugt
wird, erhält man mit dem Vektorprodukt r = n1  n2 und gibt sie nach Wahl eines Punktes G
von g mit Hilfe des Punktes R als Vektor rʹ aus, entsprechend auch die Vektoren nʹʹ1 und nʹʹ2.
Den Schnittwinkel der Ebenen kann man analog zu obigem Beispiel mit dem GeoGebraWerkzeug messen oder mit Hilfe des Skalarprodukt n1n2 analytisch bestimmen.
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Zusatz : Konstruktionsprotokoll zu 3D-Kegelschnitt.ggb
Der Befehl Kegel[A,B,2] erzeugt den Kegel samt Mantel und Basiskreis und gibt das Volumen und den Inhalt der Mantelfläche sowie eine Parameterdarstellung des Basiskreises aus.
Die Schnittkurve des Kegels mit der Ebene e wird als parametrisierte Kurve bestimmt.
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4) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Lage-zweier-Geraden.ggb
ohne Eingabefelder und erklärenden Text.
Die Punkte A und B bestimmen mit den Vektoren u und v und den Punkten Aʹ und Bʹ die
Geraden g und h, wobei man auf die Punkte Aʹ und Bʹ verzichten könnte, indem man z.B.
u_A = Vektor[A, A+u] und g = Gerade[A, u] setzt. Als Bezeichnung von u_A wähle u.
Der Normalenvektor n = u  v wird als Vektor n_B = Vektor[B, B+n] in B angetragen.
Bestimme mit
übereinstimmen.
die Zahlen det und , die wegen det
, ,
∙
Im Fall n  o (Nullvektor) liefert d_0 den Abstand der windschiefen/schneidenden Geraden,
Beachte: Das Skalarprodukt der Vektorkette w =  u +  n +  v mit n liefert w n =  (n n).
Im Fall n = o liefert d_0 = Abstand[A, h] den Abstand der parallelen/identischen Geraden.
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Das Skalarprodukt der Vektorkette w =  u +  n +  v mit u oder v liefert das LGS:
 (u u) +  (v u) = w u und  (u v) +  (v v) = w v mit der Koeffizientenmatrix M in Zeile 18,
die im Fall n  o invertierbar ist. Identität von Lagrange: n2 = (u  v)2 = u2 v2 – (u v)2 = det(M).
Da GeoGebra 5.0.127 im Fall n = o bei der inversen Matrix M^(-1) in einen Bug läuft, wurde
der Vektor l direkt mit det(M)M^(-1) bestimmt und dann die Koeffizienten zur Bestimmung
der Lösungen  und  durch det(M) geteilt.
Diese legen dann (falls definiert, d.h. det(M)  0  n  o) die Punkte E und F und im Fall d_0
 0 das Gemeinlot d =EF fest. Im Fall d_0 = 0 schneiden sich g und h im Punkt S = E = F
und haben das Lot in S auf die Ebene e als Gemeinlot. Im Fall det(M) = 0, sind g und h
parallel oder identisch und jedes Lot auf g auch Lot auf h.
Mit den Wahrheitswerten in Zeile 26 – 31 kann man die vorliegende Lage der Geraden als
Text (vgl. Zeilen 32 – 33) ausgeben und z.B. im Fall, dass die Geraden einander schneiden,
S einblenden (Bedingung „schneidend“ unter Eigenschaften -> Erweitert von S).
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