4. Vektorgeometrie - the-ride-goes-wild

176
Vektorgeometrie
4.1 Der Vektorbegriff
Die Menge aller Pfeile mit derselber
Länge und derselben Richtung bildet
einen (freien) Vektor.
neprasenranr
,
-. ...
. .-
Ein einzelner rreii netsst neprasentanr
(Vertreter) des Vektors.
/
Vektor en werdetimit Kleir
-*-,,
und einem
rreli oaer mirreis finrana
und Eiidpunkt Und einem
bezeic:hnet.
~
~~
Deirag (Länge)
Der Berray aiiias Vektors
entspricht der Pfeillänge.
Gielcnneit von
Vekto
Lwni Vektoren sind gleich, wenn sie in
, und Richtung übereinstimmen
W
LYYIDbI
~ ~ a l und
a r \lekior:
Unter:,Li
,.~.aii
<;.
Physik wc
vor
rlg snaiare
uriu venrorieiie urossen unrerscnieuen.
Skalar
?ratur,Zeii
Energie, Volumen, . . . . . .
Vektoren: Verschiebung, Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, . . . . . .
Skala1re sind Grössen, die nur einen Betrag aber keine Richtung haben.
Vektoren sind E!rst durch ihre Läng(? (Betrag) und ihre FZichtung irn Raum V ollständig
bestinimt.
%
-8,
.C. . , .
. ~ - d
C., . . .
~.~.A-
.-.,L-.,
Ganz besonders liebe ich die Analogien als meine zuverlässigsten Lehrmeister, die um
alle Geheimnisse der Natur wissen.
Johannes Kepler, 1571-1 630, Astronom
178
Vektorgeometrie
4.2 Elementare Vektoroperationen
-
..
--..--.--.-7"-".q--.>-
..
~
Add
'
i
.Y
Der Vektor r nelsst die Summe oder Resultierende von a , b Lind
C:
I
Die Ri.su~~ieri.iiueerrlail riiaii uurtiii den Pfeil vom A n f ~
zum I3dpunkt des letzten, angesetzten Pfeiles.
Rechisngesetze:
E
Subtraktion
des erste
(Komrr
stz)
(Asso;
tz)
I
Unter dem Gegenv
.a von ä versteht man
jenen Vektor, der denselben Be rag, aber die
entgegengesetzte Richtung wie ä hat.
Der Gegenvektor einer Verscl
6
(NuIlvektor)
:/G-äl
179
Vektorgeometrie
,,-Y.
V
. . ...
.~
.~-...~.
~
~~
-.
7
,
,-.' . . 7 : . ~ . :~ ,...-
?.
Mull:iplikation#Skalar mal Vektor,
Wird ein Vektor a mit einer Zahl k multipliziert, so ist k . a ein Vektor mit folgenden
Eigenschaften:
i
i
Richti
ä haberi dieselbe
ä sind E?ntgegeng
Sondi
O,.,.,.,
eare Vektcxen:
Velctoren, die! parallel oder antiparaiiei sina, neissen Koiiinear.
-
a Lind
b
siri d kollinear o
Bestimmen Sie grafisch den Vektor
2.
ä
= k
.8 ,
k ER
k
+0
-
s
C
C
3
?
%
0
2.
m
"F
0
V)
U
E
T
a
!J'
W
C
U 1
i.1
ei
m
a5
C
a
01
a
3
C
?
P
5
N
2
E
-
7
-U
3
m =
g E. ~
u
m
?
"mm
U 1
I1
a
C
I
ll
$1
I
I
F
-0-.ö
..
N
Frn
81
Q
3
EI
C
S
m
3
-
g.
cn.
P.
3
s
P.
0
w1"
I P.
X
O
$1 s s
~
~
rl
0
01
2 s
0
o
U 1
a
3
?
2$Cr&
- ,I+
-.
770,
ulg
$
U
Q
5
3
C
a
3
a
U+
5
5
3
C
U
2.:
1
5
0
L"
+
W1
U]
1
I
+
U
. +
UL 01
U 1
S
+ -
I'
0 1
V
&I
I1
U 1
U1
3-wi
m
,-,i
wl +
+
2
>
C
a
i
3
Q
<D
r&
m
"
= . C 9 2
+
C
C
=,G
FI
I
V)
X
+
EI 51
I
z
3
0:
5'
e
::
X
9
0'
ri 21 21
3 <I
<I 4
I
+
+
01
-
Q
3
C
U 1
3
0
$
0
0
(D
w
+l +
ml <I
0rr 09 .
+ s$
2 - g
2 5 E] SI 21 $
$
$
a N 2
U > $ % ,
3
E
m
3
W
I
I
U 1
+
WI
o i oi
U1
WI
1
0
rn
-'
-'
11
01
V)
C
5
$
T!
a
61
11
0 1
$2
I
m
3-
U Q
w
m
V)
3
Q U
V)
P ,S
3 -eil
Q
5 C
0 s
io
S21
i.:
a,,
23
ms
nW
s.
-
3
0
3.
O;
C 9
2, i . 2
11
3 1
+
-m
p1I
0
n rn
s $1 -
L
2
3
a
m m
3
0
"i 0
" D
0
3
m s
+ ;m 5g
M
+ 2 3.
i.io'
.NO
V>$2l
0
Gon
01 0 1
C O $ =
WI w i
z.5.
on l Oo lDm iol ~ 1
+
W uiu1W3
"0I m 10m 1 32 + + 2 g
[ D < [ ) o ~ . o >
F
nl
$ 2 : ~
"m " 3
(D
ni'
0
m
3
-
~o
3.
~ O
m
2
3
5
I! 2
03 0?I=
0;
2
C%
C
o
8
s
g s a3
7 <
-!
ü g . 3
11Q 0: D
1
Q
'0-: N
2 C. 2 . 2 o o $ !
g
Q a 6'
9 "
m a $u
E g;g
a D w , $1
$0'
m
S
C
0
01
9
W i W D T W O
5 c laI m~ ~u i o o'
5 j o m 3 m
p 1 3 m 1713
3 m ma
Q
r D
n
m
3
2
X.
8
a
S
0
Vektorgeometrie
181
K ist der Schnittpunkt der Körperdiagonalen
des Würfels.
M ist der Mittelpunkt der Kante FG.
~ = E ; ~ = A D ; c = A E
Drücken Sie folgenden Vektor durch
ä , 6 und C aus:
L
+
-
Die Pyramide ABCDE hat eine rechteckige
Grundfläche.
M ist der Mittelpunkt der Kante BE.
ä = A B ; b = E ; G = E
Drücken Sie folgenden Vektor durch
I
D+---
--
/
A
C
a)
EFÄ
b)
E
C)
MD
B
Aufgaben aus der Physik
Vektoren in Polarform
- Bezugsgerade
. .
'icht U bzw. 1öu-]
18.
Geben Sie die gezeichneten Verschiebungsvektoren in der Polarform
Massstab:
1cm=5m
= (X 19)an,
182
Vektorgeometrie
19.
Ein Körper bewegt sich 5 s lang gleichförmig mit
Berechnen Sie 8 = (slq).
20.
Schreiben Sie die Bewegungsgleichungen V =V,
21.
F, = (80 N/Oo), F,
i= (3$/60°),
+ at
und s = vt,
a
+ 2t2
vektoriell.
= (100 N/45"),
= (60 NI140°), F4 = (120 N/2007
Die vier Kräfte greifen in einem Punkt eines Körpers an.
Bestimmen Sie die Resultierende
grafisch.
Die Kraft F sei so gross, dass die Last G
(F, = 800 N) still steht.
Bestimmen Sie grafisch die resultierende
, die im Rollenlager wirkt.
Kraft
23.
Gegeben:
7, =
m
, i,
= (6y /140°) ,
(12;/0")
Bestimmen Sie die Resultierende
24.
-V,
= (V,/- 100")
vR der drei Geschwindigkeiten so, dass gilt:
V,
= V,
Zerlegen Sie die Vektoren (Kräfte) in die Komponenten in U- und V-Richtung.
a)
b)
U
Eine Kugel mit einer Gewichtskraft von
100 N liegt in einer Rinne.
Bestimmen Sie grafisch die
Auflagekräfte auf die beiden
Rinnenflächen.
Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.
Emile Lemoine
Vektorgeometrie
183
Bestimmen Sie die Kräfte in der Kette
und in der Abstützung grafisch oder
rechnerisch, wenn die Gewichtskraft des
Körpers K 620 N beträgt.
Bestimmen Sie den Winkel ß unter
folgender Voraussetzung:
F, = 0.7 F, ; F, = F,
27.
F, :
F, :
28.
Kraft im Stab 1
Kraft im Stab 2
r3
Gegeben: F, = (10 N/O0), F, = (8 N/120°),
= (F3/-150")
Bestimmen Sie grafisch den Wertebereich für F, so, dass gilt:
I F 1 + F,+F,1<
5N
Zwei Walzen sind in einem Spalt
gelagert.
Radius: R = 33 cm
grosse Walze:
Gewichtskraft: 700 N
kleine Walze:
Radius: r = 18 cm
Gewichtskraft: 200 N
Bestimmen Sie grafisch die Auflagekräfte
auf die schiefe Ebene und die senkrechte
Wand.
30.
Ein Fahrzeug hat im Zeitpunkt t, = 6s die Geschwindigkeit i
,
= (20 +/ 0") und
im Zeitpunkt t, = 8s die Geschwindigkeit G, = (30 $/ 30').
Bestimmen Sie die mittlere Beschleunigung
31.
ä.,
-
t2 t l
Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 17:
in eine Kurve (Kreisbahn) vom
Radius r = 40 m.
Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung (nur Betrag) für den Zentriwinkel 'p:
a) <P = 20'
b) <P = 10°
C) ' p = l "
d) allgemein
(Hinweis: Die Momentangeschwindigkeit ist stets tangential zur Bahnkurve
gerichtet.)
Vektorgeometrie
184
4.3 Linearkombination und lineare Abhängigkeit
von Vektoren
-
(1)
Ein Term von der Form
k ä , k ä + k2 i
heisst Liriearkomb
:,
kS5 ,
USW. K,
t lM
Vektoren heissen linear abhängig, falls mindestens einer der Vektoren eine
nbination
L-:..---
.:.
vanrurari iiaissari iiriear uriaurianyiy, iaiis naiiiar uar vaniurari airie Liriear-
ion der ü tbrigen ist.
Ebene gibt es höchstens zwei linear unabhängige Vektoren, im Raum
dens drei.
32.
D
C
Sind die folgenden Vektoren linear
Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine
Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, dass ihr Gegenstand der allerleichteste
gewesen sein müsse.
Rene Descartes, 1596-1 650 , Mathematiker
-Wenn nämlich der Bereich des Verstandes einzig und allein mit dem der Mathematik
zusammenfällt, wie manche behaupten, so ist der Zusammenhang mit dem Bereich der
Sinne nicht sehr klar und scheint auch nicht imstande zu sein. etwas zu bewirken. Denn
die Mathematik ist doch offenbar von uns konstruiert, indem wir Figuren, Formen und
Beziehungen festlegen, die an und für sich nichts mit der Natur zu tun haben. Sie
können daher auch nicht mit den Objekten der Natur zusammenhängen und in ihnen
Leben oder Bewegung erzeugen. Auch die Zahl selbst kann dies nicht bewirken, obwohl manche sie für das erste und herrschende Prinzip halten..
Theophrastus, 372-287
V.
Chr. griech. Philosoph
Vektorgeometrie
185
Gegeben sei der Würfel ABCDEFGH.
Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder
linear unabhängig?
33.
a)AB,Ao,E
t - - - --- C
b)AB,EE,S
I / ' D
A
'
C)
AC, G , A G , AE
B
34.
Wie kann man nachweisen, ob ein Punkt auf einer Geraden AB liegt?
35.
Wie kann man nachweisen, ob vier Punkte in einer Ebene liegen?
Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisce
der wirklichen Welt, also einen sehr realen Stoff. Dass dieser Stoff in einer höchst
abstrakten Form erscheint, kann seinen Ursprung aus der Aussenwelt nur oberflächlich
verdecken.
Friedrich Engels, 1820-1895, Sozialökonom
Bestimmung von Streckenverhältnissen
36.
Eine Strecke AB wird durch einen Punkt U geteilt, so dass gilt:
Äü :
=7:3
a) Drücken Sie
durch
aus.
b) V sei für das gleiche Teilugsverhältnis der äussere Teilungspunkt.
Bestimmen Sie
aus AB.
m
AB
37.
Leiten Sie aufgrund des ersten Strahlensatzes mit Hilfe der Vektorgeometrie den
zweiten Strahlensatz (Parallelenabschnitte) her.
38.
Beweisen Sie, dass im allgemeinen Dreieck ABC der Schwerpunkt S jede Schwerlinie
im Verhältnis 1:2 teilt.
*Die Philosophie steht in diesem grossen Buch geschrieben, dem Universum, das
unserem Blick ständig offenliegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht
zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, in denen
es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren, ohne die es dem
Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen: ohne diese irrt man in
einem dunklen Labyrinth umher..
Galileo Galilei, 1564-1642, Physiker und Astronom
&>m
7
1C.
'
3
I'
~2
a
V)
2.
d
Fj
m
??
3
m
(D
C
0
rn
. n
m r n
a
E
0
E
X 710 E. 0
0
I
I0
-2. 5 4%
1
< a aJ 3a g
= I;-3.a
G , C.C m
1
1
:
0 3 g3
0
.1
.,C 30 2 rnlz
9pI?s;a
g
Vektorgeometrie
187
4.4 Vektoren im Koordinatensystem
4.4.1 Vektoren in der Ebene
~
~
..
. ..
Ortsvektor
F_,<i _/-:-.
_
~
?
-
- -.
. .
~=
..
. , ~ ~
Für jeden Punkt A (a,/a,) eines Koordinatensystems heisst der
vom Ursprung 0 ausgehende Pfeil ÖÄ der Ortsvektor des
Der Ortsvektor ist ein so genannter gebundener Vektor.
Die Menge aller Pfeile, die gleich lang und in
zum Ortsvekior liegen, heisst (freier) Vektor
Ein einzelner Pfeil heisst Repräsentant (Vertreter) des \i
6
Schreit
Koordinaten
Die Zahlen a, und a, heissen Koordinaten des Vektors
Komponenten
Die Vel(toren
des Ve ktors ä
Betrag
Der Vektor
G
.
ä=
(z:)
0
)
a, heisse!n Komponenren
9 - ,
hat den Betrag (Länge) I a I = \'a:
188
Vektorgeometrie
Bei allen Aufgaben sind die Einheiten e, und e, des Koordinatensystemsgleich gross zu
wählen.
42.
Zeichnen Sie je einen Repräsentanten (kein Ortsvektor) der folgenden Vektoren:
Notieren Sie die gezeichneten
Vektoren in Komponentendarstellung.
44.
Notieren Sie zu den Punkten A(21-1) und B(-41-3) die zugeordneten Ortsvektoren.
45.
Welcher Unterschied besteht zwischen einem Ortsvektor und einem Repräsentanten
eines freien Vektors?
46.
Berechnen Sie den Betrag der folgenden Vektoren:
An Archimedes wird man noch denken, wenn Aischylos längst vergessen ist, denn
Sprachen sterben, mathematische Ideen jedoch nicht.
-Unsterblichkeit,, mag ein dummes Wort sein, doch was immer es bedeuten mag, ein
Mathematiker hat wohl die besten Chancen, unsterblich zu werden.
A Mathematicians'sApology, G. H. Hardy
Vektorgeometrie
189
.
. ,. .. ..
entare Ve
ä + b
itionen
=
ä-i
47.
Berechnen Sie den Vektor
ä
=(:),
b
=(:)
und
2+3 b -2 E
C
,
.
.
. .. . ..
~".
C;)+(?)= g;:q
) - (2) g:)
~~
.
e
~
,
=
mit
=(>).
Überprüfen Sie das Resultat grafisch.
48.
Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten so, dass bei Addition der drei Vektoren der
Nullvektor resultiert. Dabei gilt: b, = b,
ä=(;");
4
Gegeben:
b=@J
P = (46)
;
;
-
C=(;)
q
=
G:)
+
; r =
;
S = c32i,5)
Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten unter folgenden Bedingungen:
p ist kollinear zu
und
= 2P - 37
4
5
Gegeben:
ä = (125)
;
b
=
(la) ; - = (1;)
C
; J = (1;:)
Bestimmen Sie die Koeffizienten X und y so, dass gilt:
= xä
- 1.5~;
G
51.
Welche Vektoren sind linear abhängig (kollinear)?
190
Vektorgeometrie
52.
Stellen Sie
53.
Gegeben:
E
ä
als Linearkombination von
=
(:)
und
6
=
ä
und
b
dar.
):(
a) Bestimmen Sie die Vektoren, die senkrecht zu ä stehen und den gleichen Betrag
wie ä haben.
b) Bestimmen Sie alle Vektoren, die senkrecht zu ä stehen.
C) Allgemein: Bestimmen Sie alle Vektoren, die senkrecht zu 6 stehen.
. - . .~-
T
*-~-=*-;-.-
-.-"
1 1 1
~-=--5".'-
. .
~
s~
- .- . . ~
Vektor aus Anfangs- und Endounkt
Für zwei beliebige Punkte A und B gilt:
54.
Die Punkte A(4/2), B(-315) und C(21-1) sind gegeben.
a) Bestimmen Sie die Vektoren OA , AB, BA, CA und
b) Berechnen Sie die Abstände AB, &C und AC.
55.
Welcher Punkt auf der x-Achse ist von den Punkten A(316) und B(10112) gleich weit
entfernt?
56.
Berechnen Sie den Ortsvektor des Mittelpunktes M der Strecke
vektoren ,F und &.
57.
Die Punkte A(-101-8), B(81-2) und C(6118) sind gegeben.
Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden .s,
Rechnen Sie zuerst allgemein, d. h. mit den Ortsvektoren von A, B und C.
L
-
-
-
aus den Orts-
~..<
3
s5
n
a
3
s
6-
a
5'
U
?
'
2
5
G;
C
m
9.
;o:
:
m
3
z.
G
C
3
E!
3
V)'
m
m
3
a
3.
+
g 5
miq
U
-
192
Vektorgeometrie
62.
Gegeben sind die Punkte A(3/-4), B(7/1) und C(2110).
Berechnen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Trapez (AB 11 CD) mit
= 6 cm bildet. (e, = e, = 1 cm)
63.
Die Gerade PQ mit P(5/0), Q(15/20) und ein Punkt A(2)/i
sind gegeben.
Das Lot zur Geraden PQ durch A schneidet PQ in B. (e, = e, = 1 m)
a) Berechnen Sie den Einheitsvektor 6, von
b) Berechnen Sie mit Hilfe von G, den Abstand des Punktes A von der Geraden PQ.
C) A werde an der Geraden PQ gespiegelt; berechnen Sie den Bildpunkt A'.
AB.
Winkelhalbierende
64.
Der Winkel, den der Strahl OP , P(314) , mit der positiven x-Achse bildet, soll durch einen Vektor halbiert werden. Berechnen Sie einen solchen Vektor.
Die Aufgabe ist ohne Trigonometrie zu lösen.
Tipp: Im Rhombus halbieren die Diagonalen die Innenwinkel.
Wählen Sie einen Rhombus mit der Seitenlange 1.
65.
Berechnen Sie einen Vektor, der den Winkel u des Dreiecks ABC halbiert;
A(8/2) , B(16/5) , C(4111).
66.
Berechnen Sie den Mittelpunkt M eines Kreises mit r = 10, der den Strahl OA
A(-2/6), und die x-Achse berührt. Alle Lösungen angeben!
W
Mathematik ist die perfekte Methode, sich selbst an der Nase hemm zu fuhren.
Albert Einstein, 1879-1955, Physiker
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen
sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Blaise Pascal, 1623-1662, Mathematiker und Philosoph
Vektorgeornetrie
193
4.4.2 Vektoren im Raum
Das kartesische Koordinatensystem im Raum
67.
Bestimmen Sie die Koordinaten der
Punkte A, B, . . . , H.
D
'
1
,'-5
A
X
B
68.
Zeichnen Sie folgende Punkte in das Schrägbild eines räumlichen
Koordinatensystems:
A (213/5), B (-312.512), C (-61-113), D (01-51-5), E (6101-4), F (6/-6/0)
69.
Wo liegen alle Punkte, deren
a) y- und z-Koordinate Null ist?
C) X-KoordinateNull ist?
e) X-Koordinate2 ist?
b) z-Koordinate Null ist?
d) y-Koordinate 5 ist?
f) y- und z-Koordinate 3 ist?
70.
Wo liegen die Punkte P, (2kl3kl5k) für positive, reelle Zahlen k?
71.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte P' und A', wenn P(2/3/5) und
A (a,la2/a3)
a) an der y-z-Ebene gespiegelt werden.
b) an der X-y-Ebene gespiegelt werden.
C) an der x-Achse gespiegelt werden.
d) an der z-Achse gespiegelt werden.
e) arn Ursprung gespiegelt werden.
f) am Punkt S (6/616) gespiegelt werden.
Mathematik ist die exakteste Wissenschaft und ihre Schlussfolgerungen sind absolut
beweisbar. Das ist jedoch nur deshalb so, weil die Mathematik nicht versucht, absolute
Schlussfolgerungen zu ziehen. Alle mathematischen Wahrheiten sind relativ, bedingt.
Karl Steinmetz, 1865-1923, Mitarbeiter Edisons
194
Vektorgeometrie
Vektoren im räumlichen Koordinatensystem
-----
.
Ortsvektor
--~-.-~~
-.---.
..,.,.
..-..
~~.
~ ~ . ?."eq7.-yv*,%~~~+%
-+
-
Für jedlen Punkt
,) eines Koordinatensysterns heisst
-L--Jder votn Ursprung v ausgerierlue
rieil ÖÄ der Ortsvektor des
,.
-
YUiiKTE
Schreil
Der Ortsvektor ist ein so gt
venror
Die Menae aller Pfeile, die aieicn iana
- und in aleicher Richtuna
rtcvektor TA liegen,
ier) ~ e k t o
zum 01
Ein ein,zelner Pfeil heisst R
int (Vertre
lai\
Schreit
-
Die Zal
Die Vekioren
und a, he:issen nooroinaren ues veKIors a.
a,
Komponenten
merrag
~ebundenerVektor.
Der Vel
b - 8,~
s
x
.,.
(ai)
8
s
CA.
hat iJen Betra
-.
Vektorgeometrie
.,
~,
den Vektor
im 13
,
und darstell
ey
72.
73.
&
195
ez
man als Linearkombination von
Zeichnen Sie in einem Schrägbild drei Pfeile zum Vektor
A (OIOIO), B (01310) und C (-513/3).
8tZ
1
1
(-2
4
, ausgehend vom Punkt
Bestimmen Sie die folgenden Vektoren:
C)
b) EF,E,i+,
a)
E,
E?,Ei,
AG,Fi,FE
ES
d)
, G ,EÄ
Di, Ai, Bi, E
C
6
X 4~
Y
B
74.
Welcher Vektor
beschreibt die Verschiebung, die den Punkt P auf den Punkt P'
abbildet?
a) P (5121-I),
P' (711013)
b) P (2.8/3.3/6.4), P' (-3.414.111.8)
C) P (-761561-18), P' (241551-2)
d) P (Pi/Pz/P,),
P' (k12kf3k)
75.
Ein schiefes, 3-seitiges Prisma ABCDEF ist gegeben durch A (3/010), B (01510),
C (8/710) und D (5/3/12), wobei AD eine Seitenkante ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken E und F.
76.
Gegeben sind die Punkte A (a,/a,/a,)
D (d,/d,/dJ.
, B (b,/b,/b.j
, C (c,/c,/c3)
Unter welcher Bedingung sind dieVektoren
und
und
gleich?
Die Werke des Mathematikers müssen schön sein wie die des Malers oder Dichters, die
Ideen müssen harmonieren wie die Farben oder Worte. Schönheit ist die erste Prüfung;
es gibt keinen Platz in der Welt für hässliche Mathematik.
G. H. Hardy
196
77.
VeMorgeometrie
Bestimmen Sie den Betrag des VeMorc.
Elementare Vekioroperationen
.-W=--
_?_..T-
r
-
-
,
-
~
~
~
~
,
~
l
)
78.
Gegeben: A (1/2/3),-B +
(21-1/4),
C (-5/6/10)
a) Berechnen Sie: O A , A B , CB
b) Berechnen Sie die Abstände AB, E und
79.
Gegeben: Ü =
Berechnen Sie
80.
E);
Ü
-
-
-
-
.
=[:;I
C=[:];
2 so, dass
_
+
+
Welche VeMoren sind linear abhängig?
+2
=
6
ergibt.
~
L
_
_
l
,
.
.-,
-
-
a
I P I
-'"W
J
(D
2.
-
2
s
<C1
=
C
0
E.g
Q
3
m
(D
'
,
i
;
g m
-
0
3
( D "
2
23
IQ 7
m
e5
3
3
(D
K?
22
0 3
!?.
G 3
oop
G
E.
Zl
Y
5
U-C
(D
-P
N LD P
e
--
2
-
198
Vektorgeometrie
(r )
Berechnen Sie den Ortsvektor
-
a) fi.ir rA =
-
und rB =
TM
des Mittelpunktes M der Strecke
b) allgemein für
,7
und
7,
AB
.
a) Gegeben: A (4/0/0), B (016/0), C (0/0/8)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks ABC und den
Abstand O S .
b) Berechnen Sie den Ortsvektor Fs des Schwerpunktes eines Dreiecks ABC aus den
Ortsvektoren
TB und Tc .
Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes C eines Dreiecks, wenn Folgendes
bekannt ist:
Eckpunkte: A (21-3/1), B (6/10/3), und Schwerpunkt S (114/5)
Sind die folgenden Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Parallelogrammes?
(Müssen die Gleichungen E = E und Ä6 = E erfüllt sein oder genügt eine der
beiden?)
a) A (3/5/-7),
B (-1 /3/9),
C (41-1 2110),
D (O/-9.U-6)
b) A (1/8/-3),
B (31111-2)C (-1/6/9),
D (-3/3/9)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass die Punkte A, B, C und D ein
Parallelogramm bilden. (Alle nicht kongruenten Lösungen angeben!)
a) A (6/1/7),
B (4/-2/5),
C (7/9/4)
b) A (-101-9.6/6),
B (-15.514.5/7),
C (6/2/0)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass die Punkte A, B, C und D
Eckpunkte eines Trapezes mit den Parallelseiten AB und CD sind.
A (-5/-6/7),
B (161-1 2/19),
C (~/Y/z),
D (-3/4/8)
Welche Punkte auf der y-Achse haben vom Punkt A (12/12/-6) doppelte Entfernung
wie vom Punkt B (6/15/3)?
Die drei Punkte A (0/11/7), B (20/10/0) und C (15123116) bilden ein gleichseitiges
Dreieck. Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes D so, dass A, B, C und D ein
reguläres Tetraeder bilden.
a) Zwei Kugeln mit den Radien r = 16 cm und R = 18 cm sollen in eine Schachtel
mit rechteckigem Boden 40 cm X 60 cm verpackt werden.
Wie hoch muss die Schachtel mindestens sein?
b) In einer quaderförmigen Schachtel mit den Massen 5 dm X 8 dm X 6 dm sollen
zwei gleich grosse Kugeln verpackt werden.
Berechnen Sie den grösstmöglichen Radius der Kugeln.
Vektorgeornetrie
199
Aufgaben aus der Physik
96.
Berechnen Sie die Resultierende der folgenden, in einem Punkt angreifenden Kräfte:
-
F, =
97.
[
-4
Welche Kraft
N,
-F2 =
(1
N und
F ist notwendig, um einen Massenpunkt, an dem die Kräfte
N und
F4 =
angreifen, in Ruhe zu halten?
Y
Die Kräfte F, , F, und F, bilden eine
Pyramide mit lauter gleich langen Kanten:
F, = F, = F, = 200 N
a) Berechnen Sie die Kraft von
X
F, .
b) Berechnen Sie die Resultierendevon
F,, F, und F,.
Auch meinte ich in meiner Unschuld, dass es für den Physiker genüge, die elementaren
mathematischen Begriffe klar erfasst und für die Anwendungen bereit zu haben, und
dass der Rest in für den Physiker unfruchtbaren Subtilitäten bestehe- ein Inturn, den
ich erst später mit Bedauern einsah.
Albert Einstein, 1879-1955, Physiker
Wer bekennt nicht, dass die Mathematik, als eins der herrlichsten menschlichen
Organe, der Physik von einer Seite sehr vieles genutzt; dass sie aber durch falsche
Anwendung ihrer Behandlungsweisedieser Wissenschaft gar manches geschadet,
lässt sich auch wohl nicht leugnen, und man findet's. hier und da, notdürftig
eingestanden.
J. W. Goethe, 1749-1832, Dichter
200
Vektorgeometrie
99.
Horizontaler Wurf:
Abwurfhöhe h = 8 m
Anfangsgeschwindigkeit
I V, I = 5
x/m
Fallbeschleunigung
= 10;
a) Bestimmen Sie den OrtsveMor in Funktion der Zeit t.
b) Zeichnen Sie die Bahnkurve im Massstab 1:100.
C) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit G für t = 0.2 s, 0.6 s und 1 s.
Tragen Sie die Geschwindigkeitsvektoren ins Diagramm von Aufgabe b) ein.
Schiefer Wurf:
Anfangsgeschwindigkeit
Fallbeschleunigung
a) Bestimmen Sie den Ortsvektor
in Funktion der Zeit t.
b) Zeichnen Sie die Bahnkurve im Massstab 1 : 500.
C) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit für t = 0.2 s , 1 s , 2 s und 3.6 s.
Tragen Sie die Geschwindigkeitsvektorenins Diagramm von Aufgabe b) ein.
Vektorgeometrie
201
4.5 Das Skalarprodukt
, . :,
..,,
.
.
Winke!I zwischc
zwei \lektoren
Skalarprodukt
Das SkalarproduM von zwi~i Vektore
reelle Z'ahl, kein \Jektor.
Im kartesischen Koordinatensystem gilt:
Sondenaii: a
e
a =caiz= lalz
Rechengesetze
101.
A
pq
20"
B
C
Das Viereck ABCD sei ein Parallelogramm,
Bestimmen Sie den folgenden Winkel:
a)
a (AB,Z)
+ +
C) Q (BC, DA)
+ +
e) <(AB,
DB)
b)
<(AB, E)
d) Q ( E ,E)
9 a(E,Ei)
202
Vektorgeometrie
102. Berechnen Sie den Wert des Skalarproduktes
6 4
bei folgenden Angaben:
a) p = 5.5
q = 7.5
a
(6,i) =
40"
b) p = 3.7
q = 4.6
4
(6,;)
25'
C) p=1.5
q = 12.1
( 6 , Q ) = 450
d) p = 3.2
q = 4.8
e) P = 11.9
q = 26.5
a
a
a
f) p = 34.2
q = 12.6
103. Berechnen Sie den Winkel zwischen
ä ob
C) ä b
e) ä b
a)
(G,$
=
o"
(6,;)
=
90"
(6,;)
= 180"
ä und 6 .
=22;
a=ll;
0
= -14;
a = 6.5 ; b = 3.4
0
= -16.2;
a = 4.5 ; b = 3.6
104. Berechnen Sie
=
b=4
b)
d)
ü G.
105. Bestimmen Sie
1. durch Messung in der grafischen Darstellung
2. rechnerisch
den Winkel zwischen den Vektoren ä und 6 .
106. Berechnen Sie den Winkel zwischen ä und b
-
ä ob
ä 06
=17;
a=12;
b=7.5
=0;
az7.8; b = 2 . 3
Vektorgeometrie
107. Berechnen Sie die Winkel zwischen
108. Berechnen Sie a, so, dass
203
p und den Koordinatenachsen (positive Richtung).
( ] (641)
und
einen Winkel von 135'' einschliessen.
109. Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes den Winkel zwischen der Körperdiagonalen und den Begrenzungsflächeneines Würfels.
110. Berechnen Sie die Winkel zwischen
q
und den Koordinatenebenen
1 1 1 Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes die Winkel des Dreiecks ABC:
a) A (-4-3); B (71-5); C (5/9)
b) A (-21316); B (41519); C (8191-4)
112. Ein Ortsvektor schliesst mit der x-Achse und der y-Achse je einen Winkel von 60"
ein. Bestimmen Sie den Winkel a (a < 90") mit der z-Achse.
113. Berechnen Sie y so, dass die Vektoren
60" einschliessen.
(i) ( Q)
und
einen Winkel von
114. Die Winkel a,ß und y seien je die Winkel zwischen dem Ortsvektor
Koordinatenachsen.
Beweisen Sie
a) mit
=
(i)
,
und den
b) allgemein,
dass die Gleichung cos2 a + cos2 ß + cos2 y = 1 gilt.
115. Welcher Term ist ein Skalar, welcher ein Vektor und welcher ist nicht definiert?
äa(b- c)
C) ( ä + L ) . ( C o d )
a)
b) ( ä o L ) - c
d) ( ( ä o 6 ) o c ) a d
204
Vektorgeometrie
116. Beweisen Sie:
a) ä 0 6 ~ i a b
117. a) Geben Sie drei verschiedene Lösungen der Gleichung
(;I)
0
X
= 10 an.
b) Erklären Sie mit Hilfe von a), warum man den Quotienten k
a
(Skalar : Vektor) nicht sinnvoll definieren kann.
Iä / = 2 ,1 b I = 5
-1
und 9 = Q a , b stellt 9
Zeichnen Sie den Graphen für 0" 5 9 s 180".
Geben Sie den Wertebereich und alle Nullstellen an.
118. Mit
(-
119. Warum gilt das Assoziativgesetz
(ä 6) .
0
=
ä . (6
ä 6
o
E)
eine Funktion dar.
nicht?
120. Ist die Implikation wahr oder falsch?
Begründen Sie die Antwort (Gegenbeispiel).
a
- b) r ( a o b ) = 6 und a o b # O =, r=- 6
ä.6
- =_d
C) ( a o b ) . C = d und a o b # 0 =. C
a0
6
121. Ist die folgende Umformung richtig oder falsch? Begründen Sie die Antwort!
a)
(ä+b)
b)
ti,=W=:
C)
(ä.6)~
d)
äo(2ä-35) =
e)
(äob) . b = ä . ( 5 ) ~
äo5
fl T
:
aoa
-
(ä-5) =1ä)'-1b12
=
b
a
();I. 16))'
2
(ä)~-3ä.b
Vektorgeometrie
205
Orthogonale Vektoren
-.,-
.
..-
~~---L--.
,,
~~
-.
-
~~~
-
~
.
.
-
-
:oren a und b (ä, b t 0) sind genau da'nn
ial, wenn ihr Skalarl:>rodukt dc?nWert NiJII hat.
122. Sind die beiden folgenden Vektoren orthogonal?
123. Berechnen Sie die Zahl k (k # 0) so, dass die beiden Vektoren orthogonal sind.
I .Berechnen Sie alle Vektoren
normal stehen.
n. die sowohl auf 2 =
[: )
als auch auf
4.5
b
=
(a)
125. Gegeben sind die beiden Punkte A(61-214) und B(-11312).
a) Berechnen Sie alle Punkte P auf der y-Achse, für die gilt Q APB = 90".
b) Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes H auf der y-Achse, sodass
HA HB minimal wird. Wie gross ist in diesem Fall der Winkel AHB?
L
-
126. Von einem Quadrat ABCD kennt man die Ecke B(31415) und den Mittelpunkt M(113/2).
Die Ecke A liegt in der X-y-Ebene.
Berechnen Sie die Ecken D und A.
127. Von einem Würfel kennt man die Kante AB: A (11-31-2), B (71-1/73,
Berechnen Sie die Koordinaten aller Nachbarecken von A, die in der X-y-Ebene liegen.
128. Beweisen Sie
b = b, G, +,;b,
ä b=
-
*
-
a, b, + a2b2 mit Hilfe von a = a, e, + a, e,,
und den Rechengesetzen für das Skalarprodukt.
So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir
niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir
sagen, wahr ist.
Bertrand Russell, 1872-1970, Mathematiker und Philosoph
206
Vektorgeometrie
129. Beweisen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes den folgenden Lehrsatz:
a) Satz des Pythagoras
b) Satz von Thales (lhaleskreis)
C) Höhensatz
d) Satz des Euklid (Kathetensatz)
e) Cosinussatz
ematiker !sind die Wahren Diclhter, nur n
loch bewe!isen.
Leopoli
; unsere P
In der Mathematik gibt es keine Meinungsverschiedenheiten;selbst Wahnsinnige,
wenn sie überhaupt noch verstehen, wovon die Rede ist, sehen die mathematischen
Wahrheiten ein.
Arthur Schopenhauer, 1788-1860, Philosoph
Normalprojektion eines Vektors
130. Gegeben sind zwei Vektoren ä und Ü.
Der Vektor ä wird so senkrecht auf Ü
projiziert wie die Figur zeigt.
Bestimmen Sie den projizierten Vektor
a)
I!-( [-I8)
ä=
,
ü=
C) allgemein aus ä und Ü.
3\
-P
6.
b)
ä=
I{-(
, ü=
ii
E]
131. Auf der horizontalen X-y-Ebene steht ein Tetraeder ABCD mit A (01010) , B (51010) ,
C (21310) und D (11514).
Das Tetraeder wird mit einem Faden der Länge 10 cm, welcher an der Ecke D befectigt ist, im Punkt P (010140) aufgehängt.
Berechnen Sie die Höhe der tiefsten Tetraederecke bezüglich der X-y-Ebene.
(e, = e, = e, = 1 cm)
Hinweis:
Der Schwerpunkt des Tetraeders liegt auf der Verlängerung des Fadens,
d. h. auf der z-Achse.
Schwerpunkt S eines Tetraeders:
7,
=1
4
(rA+ TB + rC+ rD)
132. Im Dreieck ABC mit A (21-3/9), B (81-51-I), C (-111 113) wird die Höhe h, = @
gezeichnet. Berechnen Sie h, und den Vektor
E.
133. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (51-11-2) von der Geraden AB mit A (01010)
und B (2/1/-3).
-===
NI-
1
I
0
208
Vektorgeometrie
4.6 Die Gerade
Parametc
g einer Geiraden:
-r :
*Y
Ortsv
,s beliebig
Punkl
Jeraden.
TA: Stützvemor (urtsvektor d
Ausgangspunktes A)
t: Parameter
Ü: Richtungsvektc)r
141. Erklären Sie anhand der Parameterdarstellung
7 = ?A + t . Ü den Unterschied
zwischen einem Ortsvektor und einem freien Vektor.
- -
142. Veranschaulichen Sie an einer Figur, welche Punkte der Geraden r = rA + t . Ü zu
den folgenden Parameterwerten gehören: t = 0; 1; -1 ; 3; 0.5.
-
143. Welche geometrische Figur (Punkt, Strecke, ...) wird durch die Gleichung
r = FA + t . Ü und die folgenden Parameterwerte definiert?
a) t € R t
C) t E [-6; 61
b) t E[O; 11
d) t E Z (ganze Zahlen)
144. Ein Körper bewegt sich geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit
Raum. Zur Zeit t = 0 s befindet er sich im Punkt F!
Wie lautet die Parameterdarstellung der Bahn?
145. a) Notieren Sie die Koordinatengleichungenvon
b) Schreiben Sie die Gerade mit
X
7=
(:1 I:-[
-5
durch den
+t
= 3t - 5, y = 12, z = 10t als Vektorgleichung.
Vektorgeometrie
146. Gegeben ist die Gerade g:
(:I
= -2
+t
i:i
4
209
.
Bestimmen Sie drei Punkte, die auf g liegen, und drei, die nicht auf g liegen.
147. Welche der Punkte A (6/7/4), B (7/10/5), C (-0.51-12.51-9)
148. Gegeben sei die Gerade
7=
+ t .Ü =
(3 (1)
5
+t
-I
liegen auf der Geraden
.
Verändern Sie die Gleichung so, dass sie dieselbe Gerade beschreibt
a) Verändern Sie nur den Richtungsvektor Ü.
Welche Bedingung muss Ü erfüllen?
b) Verändern Sie nur den Stützvektor .F,
Welche Bedingung muss TA erfüllen?
149. Schreiben Sie folgende Parametergleichung so, dass
(1) die Koordinaten des Richtungsvektors möglichst kleine natürliche Zahlen sind und
(2) die z-Koordinate des Stützvektors Null wird.
2
150. a) Im ebenen Koordinatensystem ist eine Gerade durch y = 3 X + 5 gegeben.
Bestimmen Sie eine Parametergleichung dieser Geraden.
b) Lösen Sie dieselbe Aufgabe für den allgemeinen Fall y = ax + b.
151. Schreiben Sie die Parametergleichung
7=
(21) + t
4
.
(3) rn der Form y = ax + b,
152. a) Geben Sie je eine Parametergleichung für die X-, y- und z-Achse eines räumlichen
Koordinatensystems an.
b) Bestimmen Sie eine Parametergleichung für eine Gerade, die durch den Ursprung
und den Punkt A geht.
153. Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Geraden AB.
b) A (4/-3/-9)
a) A (1/2/3) , B (5/2/1)
C) A (-6/5/0), B (0.5/;/0.75)
, B (3/0/-2)
154. Welche spezielle Lage hat die Gerade?
155. Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Geraden, die durch
a) A (2/-1/5) geht und die x-Achse bei X = 5 schneidet.
b) A (4/3/-3) geht und parallel zur x-Achse ist.
C) A (7/5/3) geht und parallel zur y-Achse ist.
d) A (2/1/8) geht und parallel zur X-y-Ebeneist.
Gegeben ist ein Würfel mit der
Kantenlänge 1 wie die Figur zeigt.
Bestimmen Sie eine Parametergleichung
der folgenden Geraden:
a) OQ
b) PQ
C) QR
d) BQ
e) AQ
f) BP
9) PR
h) CP
157. Die Gerade g geht durch P (3/-2/1) und ist parallel zur Geraden durch
A (1/4/-2) und B (3/8/-1).
a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung für g.
b) Liegt Q (-2/-12A1.5) auf g?
158. Berechnen Sie die Spurpunkte Sv, S
, und S
, der folgenden Geraden:
159. Gegeben ist die Gerade g:
7=
-2
+t
n)
2
Die Menge aller Punkie von g mit lauter nicht negativen Koordinaten bildet eine
Strecke. Berechnen Sie die Länge dieser Strecke. (e, = e, = e, = 1 cm)
Vektorgeometrie
Welche Beziehung muss zwischen den Punkten A (a,/adO), B (b,/O/b,)
bestehen, wenn sie die Spurpunkte einer Geraden sein sollen?
(ant 0 , b, t 0 , C, t 0)
Die Gerade
7=
I:] (:I
3
+t
-6
211
und C (O/cJcJ
wird senkrecht auf die X-y-Ebene projiziert.
Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Projektion.
Die Strecke
mit A (-4151-2) und B (501-10140) ist in drei gleiche Teile zu zerlegen.
Berechnen Sie die Koordinaten der Teilungspunkte.
a) Gegeben: A (4101-2), B (2111- 5), C (-811 2/3), D (018115)
(1) Beweisen Sie, dass die vier Punkte A, B, C und D ein Trapez bilden.
(2) Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Mittellinie (Gerade) des Trapezes.
b) Gegeben: A (12115/4), B (-91-42/1), C (- 161-6110), D (5/-4/3)
Beweisen Sie, dass die vier Punkte A, B, C und D kein Trapez bilden.
Vom Dreieck ABC kennt man die Punkte A (41210) und B (0/3/2).
Der Punkt C liegt auf der Geraden g:
=t
. (e, = e, = e, = 1 cm)
a) Welche Koordinaten hat C, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks 20 crn2 beträgt?
b) Berechnen Sie die Koordinaten von C so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks
möglichst klein wird.
Vom Rechteck ABCD ist Folgendes bekannt:
B (-8/7/-1 I), die Seite AB ist 15 cm lang, die Punkte A und C liegen auf der Geraden
g:
i =(-i)+t
(i)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks. (e, = e, = e, = 1 cm)
Die Gerade g :
mit A (101211).
=t
ist Symmetrieachse eines gleichseitigen Dreiecks ABC
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B und C. (Alle Lösungen angeben!)
Vektorgeometrie
213
169. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die drei Geraden g,, g, und
g3 begrenzt wird. (e, = e, = e, = 1 cm)
g,:
C) C)
r = -12
-
+W
-2
170. Die folgenden Geraden schneiden sich in einem Punkt
Welche Geraden stehen senkrecht aufeinander?
g,:
-r = t
[i)
171. Gegeben ist die Gerade g:
):[
=
5
+t
[-i]
sowie der Punkt P (18113117).
Bestimmen Sie eine Parametergleichung
a) der Parallelen zu g durch P.
b) der Senkrechten zu g durch P.
172. Gegeben sind die beiden Punkte A (1010110) und B (10110/10) sowie die Gerade g
durch R (101015) und S (0110115).
Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes P auf g so, dass Q APB = 90" wird.
173. Die Punkte A (81010) , B (01610) und C (01015) bestimmen eine schiefe Ebene;
die X-y-Ebene sei horizontal. Vom Punkt C aus rollt eine Kugel die Ebene hinunter; sie
treffe irn Punkt P auf die X-y-Ebene.
Berechnen Sie die Koordinaten von P.
174. Gegeben sei die Gerade g:
=
[:) [i)
3
+t
undderPunktArnitxA=ll aufg.
Unter allen Geraden, die durch A gehen und zu g senkrecht stehen, ist diejenige auszuwählen, welche die x-Achse schneidet.
Bestimmen Sie eine Parametergleichungdieser Geraden.
214
Vektorgeometrie
Abstandsprobleme (e,
= e, = eJ
175. Welchen Abstand hat die Gerade vom Ursprung?
176. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
177. Ein Körper bewegt sich gradlinig mit konstanter Geschwindigkeit durch den Raum.
Zur Zeit t = 0 s befindet er sich im Punkt A (I/-213) und 10 s später im Punkt
B(11/10/13). (e,=e,=e,=l
m)
a) Geben Sie eine Parameterdarstellungder Bahnkurve an.
b) Wo befindet sich der Körper zur Zeit t = 15 s?
C) Wann hat er vom Ursprung die Entfernung 5 m?
178. Berechnen Sie den Abstand der beiden windschiefen Geraden g und h.
+
-
h: r=r,+t.v=
-
(U) (2)
-so
+ t -7.5
179. Bestimmen Sie den Radius der kleinstmöglichen Kugel, deren Zentrum auf der
z-Achse liegt und die die Gerade
Vektorgeometrie
215
4.7 Das Vektorprodukt
~
lektorprodukt (Krei
,LaA
unablrlartgiger VeKiurern
a
ein Vc
olgenden
L=
1
-
uiiu
*
weier linei
.- ISL
8-.
...
:-2
u uas naurrias
wiauar
-
-
?r Betrag von a X b ist gleich dem Flächeninhalt
e drei Vektoren a , b , a x b bilden in dieser
?ihenfolgeein Recht'ssystem;
h. wird ä auf dem kürzeren LVeg nach 6 gedret
r weist
>:bindieFZichtung, in welche sich
. . .. - .
elne RechtsscnrauDe oei aieser urenung
a
VTRLU1
d X b steht senkrecht auf der L„, „,
in der und b liegen
d. h. ä x b ist orthogonai zu ä Iund zu 6.
(3) Dbi
a
Sind
Rechengesetze:
a und b Iiiiear abhi
äX 6
~x(b+c)=axb+axc
(rnä)x(nb)=mn(äxb), r n , n ~ ~
Im kartesischen Koordinzitensystenn gilt:
L
a
216
Vektorgeometrie
180. Die Vektoren ä ,
6 und
bilden einen Quader
mit 1 ä I = 5 , l 6 1 = 3 und l d = 2 .
Berechnen Sie das folgende Vektorprodukt so,
wie das Beispiel zeigt.
Beispiel:
D
-
6 10
äxc=läxEl.e,=~„„.--~b
-
161a)
äxb
b) b x C
d) E x G
C) ä x z
181. Warum sind die folgenden Terme nicht definiert?
182. Bestimmen Sie die folgenden Vektorprodukte. (Es geht auch ohne Rechnung!)
(1)
(2) X
(3)
(4) G~ X
e, ey
183. Beweisen Sie
ey e,
ä X 6=
6 = b, G,+ b,e,+ ,;b,
e,
eZ
G,
-
-
- + a,e,-
mit Hilfe von a = a, e,+ a, e,
,
und den Rechengesetzen für das Vektorprodukt.
184. Berechnen Sie das Vektorprodukt ohne Rechner.
185. Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren, die auf
I:(
4
und auf
(11
-2
senkrecht stehen.
186. Die drei Punkte A (12/0/0) , B (8/5/1) und C (010/14) bestimmen eine Ebene.
Berechnen Sie die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu dieser Ebene steht und
den Punkt B enthält.
187. Das Parallelogramm ABCD mit A (8/5/3) , B (61211) und C (4/7/1) bildet die
Grundfläche einer geraden Pyramide.
Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze S, wenn die Pyramide 12 cm
hoch ist. (e, = e, = e, = Icm)
Vektorgeometrie
217
188. In einem Koordinatensystem ist ein Quader ABCDEFGH
so gegeben wie die Figur zeigt.
Bestimmen Sie einen Vektor mit möglichst einfachen,
ganzzahligen Koordinaten, der zur folgenden Ebene
orthogonal ist.
a) &(DEO
b) &(BCH)
C) &(ACH)
d) &(ACF)
B
189. Beweisen Sie das folgende Gesetz.
1
Gegeben:
ä
=
)
b
,
=
[-\)
,
=
Berechnen Sie
(ä x 6) x C
und
ä x (b
E]
E) .
X
Was stellen Sie fest?
191. (1) Beweisen Sie:
Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, dann ist das Vektorprodukt der Nullvektor.
(2) Wie lautet die Umkehrung des obigen Satzes? Ist sie wahr? (Beweis!)
192. Vereinfachen Sie ( ä und
b
sind linear unabhängig, Q (ä,
6)
193. Vereinfachen Sie:
d)
(äxb)
*
( ä x b ) + ( ä o 6)'
194. Lösen Sie die folgende Gleichung:
195. Bestimmen Sie X und ä , wenn gilt:
196. Unter welchen Bedingungen gilt
äX
1 ) (81)
-2
=
I ä X 61 = ä
0
3
b (ä, b i Ö)?
):
218
Vektorgeometrie
197. Beweisen Sie: Liegen die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden, so gilt für ihre
Ortsvektoren: FA X
+ X + Tc X TA = 6 .
rB rc
r,
Flächeninhalt eines Dreiecks
198. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (e, = ey = e, = 1 cm)
b) A (2101-1) , B (21416) , C (101-20130)
a) A (01010) , B (11-213) , C (2151-1)
199. Wie gross ist die Oberfläche des Tetraeders ABCD mit A (6141-2) , B (21614) ,
C (21-410) und D (4/018)7 (e, = % = e, = 1 m)
200. Auf den Koordinatenachsensind die Punkte A (a/O/O), B (OIblO) und C (OlOlc)
gegeben (a, b, C t 0).
Beweisen Sie: A
(),„
=
'
+ (bBC)
+ (&Ac)2
Der Punkt 0 ist der Ursprung des Koordinatensystems
Volumen eines Spats
201. Die drei linear unabhängigen Vektoren
a , 6 und C spannen einen Spat auf.
Berechnen Sie das Volumen des Spats.
(Ein Spat ist ein Prisma, das von lauter
Parallelogrammen begrenzt wird.)
b) allgemein aus
a, b und 6 .
202. Berechnen Sie das Volumen eines Tetraeders ABCD mit A (91-114) , B (1161-2) ,
C (-3R/-5) , D (18121-1 8). (e, = ey = e, = 1 m)
Hinweis: Das Volumen eines Tetraeders ist
61
des entsprechenden Spatvolumens.
Vektorgeometrie
219
Abstandsprobleme
203. Der Punkt P hat von der Geraden AB den Abstand d.
a) Beweisen Sie: d =
IG„
F
=t
b) P(51-112) , AB:
x
GI
i-:I
i
, d=?
-
204. a) Gegeben
- - sind zwei windschiefe Geraden:
g : r = r, + t . u
und h : 7 = F H + s . t
Zeigen Sie, dass der Abstand d der beiden Geraden mit
d=
berechnet werden kann.
Iüx;l
b) Berechnen Sie die Abstände der Geraden g :
Koordinatenachsen.
C) Gegeben: g :
7
=
+t
-4
und
-
h:r =
[-\)+I;:[
k
Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind, und berechnen Sie den
Abstand der beiden Geraden.
So seltsam es klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder
unnötigen Annahme und auf ihrer grossartigen Einsparung an Denkarbeit.
E. Mach, 1838-1916, Physiker und Philosoph
220
Vektorgeometrie
4.8 Die Ebene
Die Parametergleichung einer Ebene
, .:.,~ ,.-
~,~
~
--:-.
, -
-
~
-
,
.-.--..
.
-
---"-~
,-
.~
rarametergieichung eir
m
t-i
s, t E
4
-r : Ortsvelktor eines beliebige!
-runKtes
. . - . -.
r aer t tJene.
-ro: Stützvektor
(Ortsivektor de:
Ausgangspunkte
- ?- : Richtungsvektorcs Po)
37 0 ,
(spann'en die Ebc?neauf)
ä und b müsse1Ilinear
unabhlinaia sein
-
205. Durch welche Pararneterdarstellung wird keine Ebene beschrieben?
Begründen Sie Ihre Antwort.
-
Vektorgeometrie
221
206. Welche Bedingungen müssen die Punkte A, B und C (A # B # C L 0) erfüllen,
damit die folgende Gleichung eine Ebene beschreibt?
a) i = s
.AB +
t.
E
b) i = Ö Ä + s . S + t . E
207. Gegeben ist eine Ebene durch eine Parameterdarstellung =
+ s . ä + t .6 .
a) Überlegen Sie allgemein, wie man hieraus eine andere Parameterdarstellung
derselben Ebene gewinnen kann. Ersetzen Sie einen (zwei, drei) der
Vektoren
ä , 6.
b) Führen Sie a) für das folgende Beispiel durch:
208. Gegeben ist die Ebene
F=
[:I
+s
4
.
,
i:iI : [
+t
-1
.
,
.
2
,
Bestimmen Sie zwei Punkte und drei Geraden, die in der Ebene liegen.
209. Gegeben ist die Ebene E:
Bestimmen Sie eine Parameterdarstellungder Ebene E ' , die man erhält durch
Spiegelung von E .
a) am Ursprung
b) am Punkt P (4121-6)
C) an der y-z-Ebene
d) an der x-Achse
210. Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Ebene &(ABC).
a) A (O/O/O) , B (4121-1) , C (11-2/5)
b) A (1/010) , B (0/2/0) , C (01013)
C) A (11213) , B (7101-3) , C (81-1 214)
211. Bestimmen Sie eine Parametergleichungder Ebene, die durch die Gerade g und den
Punkt P geht.
222
Vektorgeometrie
212. Bestimmen Sie eine Parametergleichung
a) der X-y-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems.
b) der y-z-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems.
C) der Ebene, die zur X- und z-Achse parallel ist und durch den Punkt A (4/3/-1) geht.
d) der Ebene, die zur X- und y-Achse parallel ist und die z-Achse bei -5 schneidet.
e) der Ebene, die senkrecht auf der X-y-Ebene steht und die Gerade
g:
9
F
=
'{)
+t
[i)
enthält,
der Ebene, die die x-Achse enthält und mit der y-Achse einen Winkel von
30" bildet.
213. Eine Ebene
gegeben.
F
=p
+ s .ä + t . 6
ist durch
- - - + a, p + 6
Die Ortsvektoren p , p
(I] [i)
6=
und p + ä
-1
,ä =
und
6=
(i]
+ b bestimmen ein Viereck.
(1) Um was für ein Viereck handelt es sich?
(2) Berechnen Sie alle Seiten und Winkel des Vierecks.
214. Welche Punktmenge (geometrische Figur) stellt die Parametergleichung
r =
-
I
2
+s
(11
-1
+t
(:I
o
dar, wenn
a) s = 2 und t = l
C) s r 2 und t n 3
e) s E [-1; 11 und t E [3; 41
b) s = 3 und t E R
d ) l s 1 5 4 und t € R
9 s,t€R~unds+tsl
215. Welche Punkte A (9/2/-2), B (-18/14/23), C (20/8/2) liegen in der Ebene
.
.
.
.
A (014,'-6), B (5/7/3), C (2/8/-7).
Welche der drei Punkte liegen oberhalb der Ebene E?
Charlie Chaplin zu Albert Einstein:
Mir wird applaudiert, weil mich jeder versteht, und Ihnen, weil Sie niemand versteht.
Charlie Chaplin, 1889-1977, Filmschauspieler und Regisseur
224
Vektorgeometrie
223. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (3131-I), B (3/511),C (51-515).
Schneidet die Gerade g das Dreieck ABC?
Wenn ja, bestimmen Sie den Durchstosspunkt.
224. Gegeben sind die Punkte A (-81113), B (41-51-3), C (-8151-4) und D (41218).
Bestimmen Sie einen Punkt P auf der Geraden AB sowie Q auf CD, sodass die
Gerade PQ parallel zu Vektor
[a]
ist.
225. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen e1 und E, durch Bestimmung der
Schnittmenge.
,I:[
A& =
226. Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit A (2/415),
3
-
AD =
[I)
3
und der Punkt P (-2115120).
Denken Sie sich die Parallelogramrnfläche undurchsichtig und klären Sie ab, ob man
den Nullpunk 0 (0/010) von P aus sehen kann.
226
Vektorgeometrie
232. Welche Punkte liegen in der Ebene 3x - y + 52 = 6?
A (01010); B (31310); C (-2/-711); D (1141-1).
233. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung
a)
b)
C)
d)
der X-y-Ebeneeines räumlichen Koordinatensystems.
der Ebene, die zur X-y-Ebene parallel ist und die z-Achse bei 5 schneidet.
der Ebene, die zur X-z-Ebeneparallel ist und durch den PunM A (312/5) geht.
der Ebene, die senkrecht auf der X-y-Ebene steht und die Spurgerade
g : y = 8 - 2x enthält.
234. Die folgenden sechs Ebenen begrenzen ein 4-seitiges Prisma:
x=O ; y=O ; x + y = 5 ; 2 x + y = 2 ; z=O ; z=8.
(1) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas.
(2) Berechnen Sie das Volumen.
235. Bestimmen Sie drei verschiedene Parameterdarstellungen der Ebene
E : X + 2y - 52 = 6, indem Sie die Gleichung nach X, y bzw. z auflösen.
236. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E(ABC).
a) A (0/0/0) ,
B (4121-1) ,
C (11-215)
b) A (11010) ,
B (012/0) ,
C (0/013)
C) A (9121-1 0) , B (5/-21-20) , C 7141-5)
d) A (11213) ,
B (7/0/-3) ,
C (81-1 214)
237. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Gerade g und den
Punkt A geht.
238. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene mit den Achsenabschnitten X„ yo
und z,auf.
a) x o = 5 , y o = 3 , z o = 4
b) allgemein mit X„ yo und z, (xoyozoi0)
Zeigen Sie, dass man die Koordinatengleichung auf die Form
+ 1 + L= 1 bringen kann.
X0
Y0
z,
239. Die Ebene E bildet mit den drei Koordinatenebenenein Tetraeder. Wie gross ist das
Volumen dieses Tetraeders?
b)
a) E: 5x + 8y + z = 80
C) E: ax + by + cz = d (a, b, C, d E W+)
E:
6x-y-32=24
228
Vektorgeometrie
245. Da die Lösungsmenge jeder Gleichung der Form ax + by + cz = d mit a . b . C * 0
eine Ebene darstellt, kann man die Lösungsmenge des Gleichungssystems
a,x + b,y
ax, + by
,
a3x + by
,
+ c,z
+ c,z
+ c,z
= d,
= d,
= d3
als Schnittmenge von drei Ebenen betrachten.
Wie können die drei Ebenen zueinander liegen?
Skizzieren Sie alle möglichen Fälle und geben sie jeweils die Schnittmenge der drei
Ebenen an. Leiten Sie daraus die Anzahl Lösungen des Gleichungssystemsab.
Die Normalen einer Ebene
.
....
..-.
~~~
~
-
.
-
~
~
p
~
Ein V'ektor, der senkrechi! ZU einer Ifbene steht, heisst Normalerivektor.
Der \~ektorfi =:
1;)
ist ein Norm,alenvektoi
ie E: ax + b y + c z =
snd q eine!s Punktes;Q von eil?er Ebene
-
.-
246. Bestimmen Sie einen Normalenvekior der folgenden Ebene und den Abstand der
Ebene vom Ursprung.
a) x + y + z = l
b) 2 x - 3 y - 5 ~ = - 2 0
C) 2 x - 4 z = 7 6
d) y - 2 z = 0
e) x = 1 0
fJ 3y =-7
247. Gegeben sind die Ebene E: 3x - 4y - 22 = 96 und der Punkt P (61121-9).
a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung jener Geraden, die durch P geht und
senkrecht auf E steht.
b) Wie gross ist der Abstand des Punktes P von der Ebene E?
248. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E (ABC) mit Hilfe eines
Normalenvektors, z. B.
= AB X AC.
C (- 21- 414)
a) A (31016) ,
B (61- 61- 4) ,
B (81- 12/4)
C (11213)
b) A (7101- 3) ,
L
.