Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln

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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln –
Entdeckendes Lernen
von Ute Alber
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Stoffverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Themen der Unterrichtsstunden
1
Einstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Winkel bei Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden . . . . . . . . . . . . .
3.2 Schnittwinkel zwischen Ebenen und zwischen Ebenen und Geraden . . . . .
4
Anwendungen und schwerere Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Material
1
Einstieg: Orthogonale Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Winkel und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Einheitsvektoren für MA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Zusammenhang zwischen Winkel und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Übungen: Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Lösungen zu MA 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Schnittwinkel zwischen Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Vorlage zu MA 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Zusammenfassung: Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Übungen: Schnittwinkel zwischen Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Stichpunktartige Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Übungen: Schnittwinkel zwischen Ebenen und
zwischen Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Lösungen zu MA 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Lösungen zu MA 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompetenzprofil
I Niveau: grundlegend
I Fachlicher Bezug: –
I Kommunikation: argumentieren, diskutieren, präsentieren, Vermutungen äußern
I Problemlösen: Probleme erkunden, Probleme zerlegen, Lösungsstrategien entwickeln
I Modellierung: –
I Medien: –
I Methode: Einzelarbeit, Partnerarbeit, Gruppenarbeit
I Inhalt in Stichworten: Vektor, Orthogonalität, Skalarprodukt, Winkel, Kosinusfunktion, Schnittwinkel von zwei Geraden, von zwei Ebenen, von Geraden und Ebenen, Richtungsvektor,
Normalenvektor, Anwendungsaufgabe
Zusätzliche Mediendateien finden Sie auf www.stark-verlag-digital.de
unter „Zu meinen Digitalpaketen“ im digitalen Ordner zu diesem Beitrag.
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Stoffverteilung
Unterrichtsstunde
1. / 2. Stunde
Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf
1
2
3
Unterrichtsmittel
Einstieg
Wiederholung:
• Wie kann man Orthogonalität von Vektoren nachweisen?
(Skalarprodukt ergibt null)
Winkel zwischen Vektoren
Neudurchnahme:
• Erweiterung der Fragestellung: Gibt es allgemein einen Zusammenhang zwischen dem Winkel zwischen Vektoren und ihrem
Skalarprodukt?
• Vorübung: Die Schüler bestimmen den Winkel zwischen vorgegebenen (Einheits-)Vektoren zeichnerisch und vergleichen ihn
mit deren Skalarprodukt. Mindestergebnis: Je größer der Winkel
(zwischen 0° und 180°), umso kleiner das Skalarprodukt.
• Erarbeitung des genauen Zusammenhangs; Beweis der Formel
zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
• Übungen
3.2 Schnittwinkel zwischen Ebenen und zwischen Ebenen und
Geraden
Neudurchnahme:
• Vorübung mit Bierdeckeln: Schüler(-gruppen) versuchen, den
größtmöglichen Winkel zwischen zwei aneinandergestellten
Bierdeckeln zu bestimmen, ohne dass die Deckel ins Rutschen
kommen. Dabei stoßen sie auf das Problem, dass dieser Winkel
gar nicht einfach zu messen ist, es sogar schwierig ist, überhaupt
einen Winkel zwischen Ebenen eindeutig festzulegen.
• Selbstständige Erarbeitung der Formel für den Winkel zwischen
Ebenen mithilfe stichpunktartiger Tipps. Die Erarbeitung des Zusammenhangs beim Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden ist anspruchsvoll und für die Schnellen und Guten vorgesehen.
• Ergebnissicherung
• Übungen
Hausaufgabe: Rest von MA 12
4
MA 5: Arbeitsblatt
MA 7: Arbeitsblatt
MA 8: Vorlage
MA 4
MA 9: Arbeitsblatt
MA 10: Arbeitsblatt
MA 5, MA 10
MA 6: Lösungen
Besprechung der Hausaufgabe
4. Stunde
MA 2: Arbeitsblatt
MA 3: Arbeitsblatt
MA 4: Folienvorlage
Winkel bei Ebenen und Geraden
Neudurchnahme:
• Einführung in das Thema anhand des Bildes eines Sparrendachs
3.1 Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden
Neudurchnahme:
• Mit ihrem Vorwissen über Winkel zwischen Vektoren erarbeiten
sich die Schüler in Gruppen eine Formel, mit der der Schnittwinkel von Geraden berechnet werden kann. Durch eine arbeitsteilige
Aufgabe wird dabei klar, dass der Schnittwinkel noch genauer als
der kleinere der beiden von den Geraden eingeschlossenen Winkel festgelegt werden muss.
• Ergebnissicherung
• Übungen
Hausaufgabe: Rest von MA 5 und 1 b von MA 10
3. Stunde
MA 1: Folienvorlage
MA 11: Arbeitsblatt
MA 9
MA 9
MA 12: Arbeitsblatt
MA 12
Besprechung der Hausaufgabe
MA 13: Lösungen
Anwendungen und schwerere Übungen
Vertiefung / Festigung:
• Wiederholung der Formeln
• Übung anspruchsvoller Aufgaben in Gruppenarbeit
• Präsentation der Lösungen
MA 14: Arbeitsblatt
MA 15: Lösungen
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
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Vorbemerkungen
Unter dem Winkel zwischen zwei Vektoren versteht man den kleineren der beiden
Winkel, die sich ergeben, wenn man Pfeile der Vektoren von einem gemeinsamen
Ausgangspunkt ausgehend zeichnet. Den Kosinus dieses Winkels und somit eine
Berechnungsformel erhält man, wenn man das Skalarprodukt der zugehörigen Einheitsvektoren bildet.
Schneiden sich zwei Geraden, so bilden sich zwei Winkel. In der Regel, außer im
Falle von orthogonalen Geraden, handelt es sich dabei um einen stumpfen und einen
spitzen Winkel. Als Schnittwinkel der beiden Geraden ist der kleinere der beiden
Winkel festgelegt. Um ihn zu berechnen, bildet man das Skalarprodukt der normierten Richtungsvektoren der Geraden. Je nach Ausrichtung dieser Vektoren erhält man
dabei ein positives Ergebnis, das dann zu dem spitzen Winkel zwischen den Geraden
führt, oder ein negatives Ergebnis mit demselben Betrag, das zu dem stumpfen Winkel führt. Um den Kosinus des Schnittwinkels zu erhalten, muss also der Betrag des
Skalarprodukts der normierten Richtungsvektoren berechnet werden.
Unter dem Schnittwinkel zweier Ebenen versteht man den Schnittwinkel der beiden
Geraden, die man erhält, wenn man einen zu beiden Ebenen senkrechten Schnitt
durchführt. Dieser Winkel entspricht je nach Ausrichtung dem Winkel oder dem Nebenwinkel zwischen zwei Normalenvektoren der Ebenen. Um den Schnittwinkel von
zwei Ebenen zu bestimmen, berechnet man also wieder den Betrag des Skalarprodukts
zweier normierter Normalenvektoren. Dies ist dann der Kosinus des Schnittwinkels.
Der Schnittwinkel einer Geraden g und einer Ebene E ist durch den Winkel zwischen
der Geraden und ihrer Projektionsgeraden auf die Ebene definiert. Die Gerade g, ihre
Projektionsgerade und die Gerade senkrecht zur Ebene E, die durch den Schnittpunkt
der Geraden g mit E verläuft und im Folgenden als Normalengerade bezeichnet wird,
liegen wiederum in einer Ebene. Somit bildet der gesuchte Schnittwinkel zusammen
mit dem Schnittwinkel der Normalengeraden und der Geraden g einen rechten Winkel. Um den Schnittwinkel der Geraden g mit der Ebene E zu bestimmen, kann man
zunächst also den Schnittwinkel zwischen der Normalengeraden und der Geraden g
bestimmen und diesen dann von 90° abziehen. Da die Sinusfunktion gegenüber der
Kosinusfunktion um 90° phasenverschoben ist, ergibt sich daraus auch eine direkte
Berechnungsformel: Der Sinus des Schnittwinkels der Geraden g und der Ebene E ist
der Betrag des Skalarprodukts eines normierten Richtungsvektors von g mit einem
normierten Normalenvektor von E.
Fachwissenschaftliche
Einordnung
Für die Unterrichtseinheit sind vier Unterrichtsstunden vorgesehen, wobei die ersten
beiden Stunden als Doppelstunde geplant sind. In der ersten Unterrichtsstunde wird
das Thema Winkel zwischen Vektoren behandelt. Ausgehend vom Vorwissen der
Schüler, dass die Orthogonalität von Vektoren über deren Skalarprodukt überprüft
werden kann, erarbeiten die Schüler selbstständig anhand von Beispielen eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt von Vektoren und
dem Winkel zwischen diesen Vektoren. Die exaktere Formulierung und der für
Schüler anspruchsvolle Beweis dieses Zusammenhangs werden anschließend lehrerzentriert vorgenommen und gemeinsam festgehalten. Die Schüler können dann das
Ergebnis mithilfe von Übungsaufgaben festigen. Dieser Teil wird etwas mehr als
eine Unterrichtsstunde einnehmen.
Methodischdidaktische
Hinweise
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Im zweiten Teil der Doppelstunde geht es um die Schnittwinkel bei Geraden. Aufbauend auf dem Ergebnis des ersten Teils der Stunde können die Schüler in Gruppen
selbst eine Formel für die Berechnung des Schnittwinkels aufstellen. Dazu erhalten
die Schülergruppen unterschiedliche Beispiele. Bei der anschließenden Zusammenführung der Ergebnisse stellt sich heraus, dass für jedes Geradenpaar zwei unterschiedliche Winkel als Schnittwinkel infrage kommen. So kann das Setzen des
Betrags in der Formel leicht motiviert werden. Das Ergebnis wird gemeinsam festgehalten und sowohl von den Schülern eigenständig als auch in einer gemeinsamen
Aufgabe eingeübt.
In der dritten Stunde werden die Formeln für die Schnittwinkel zwischen Ebenen und
zwischen einer Ebene und einer Geraden erarbeitet. Auch dies geschieht weitgehend
schülerorientiert. In einer praktischen Vorübung erkennen die Schüler, dass zunächst
das Problem, wie ein Schnittwinkel der Ebenen eindeutig festgelegt werden kann, geklärt werden muss. Anschließend erarbeiten sie die Ergebnisse selbst. Dazu erhalten
sie ein Arbeitsblatt mit Hinweisen als Hilfestellung. Der Lehrer kann je nach Bedarf
weitere Hilfestellung anbieten. Die Schüler stellen ihre Ergebnisse vor. Diese werden
dann nur noch gemeinsam übertragen und gegebenenfalls ergänzt. Zum Ende der
Stunde erhalten die Schüler die Gelegenheit, die erarbeiteten Ergebnisse einzuüben.
Hierzu steht ein Arbeitsblatt mit einfachen Aufgaben zur Verfügung.
Die vierte Unterrichtsstunde dient der Vertiefung des Stoffes. Die Schüler arbeiten in
dieser Stunde in gemischten Gruppen an verschiedenen, auch anspruchsvollen und
auf Abiturniveau hinführenden Aufgaben. Die Ergebnisse ihrer Arbeit werden am
Ende der Stunde von den einzelnen Gruppen präsentiert. Dies bietet für den Lehrer
eine Möglichkeit, den Lernstand der Schüler festzustellen.
Ist kein Tageslichtprojektor vorhanden, so können Arbeitsblätter statt auf Folie
kopiert auch per Beamer projiziert werden.
Voraussetzungen
•
•
•
•
•
•
•
Rechnen mit Vektoren
Zeichnen von Vektoren, Geraden und Ebenen im Koordinatensystem
Betrag eines Vektors
Skalarprodukt und Bedingung für orthogonale Vektoren
Geraden- und Ebenengleichungen
Normalenvektor einer Ebene
Schnitt von Ebenen, Schnitt von Geraden und Schnitt von Geraden mit Ebenen
Bildnachweis:
S.10: © Sergione - Fotolia.com
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
1. / 2. Unterrichtsstunde
Die Arbeitsblätter MA 2, MA 5, MA 9 und MA 10 für alle Schüler kopieren. Aus MA 1, MA 4, MA 9
und MA 11 jeweils eine Folie herstellen und Folienstifte mit in den Unterricht bringen. MA 3 einmal kopieren und die Karten entlang der Linien auseinanderschneiden. Ein Gefäß (Lostopf) mit in den Unterricht nehmen und die Karten hineingeben. MA 7 in ausreichender Anzahl (etwa fünfmal) kopieren und
entlang der Linien auseinanderschneiden. Das Arbeitsblatt MA 8 oder die farbigen Abbildungen „Schnittwinkel zwischen Geraden“ in Klassenstärke kopieren; zusätzlich vier Folien anfertigen. Aus der farbigen
Abbildung „Geradenpaare“ eine Folie herstellen, das Farbfoto „Sparrendach“ zur Präsentation bereithalten. Ein Tageslichtprojektor steht im Unterrichtsraum bereit.
1
Einstieg
Vorbereitung
Wiederholung
Zum Einstieg wird bisher erlerntes Wissen zum Thema Skalarprodukt reaktiviert. Hierzu wird anhand
8
−1 und v
= 1 zeigt,
der aus MA 1 hergestellten Folie, die die zwei nahezu orthogonalen Vektoren u = 7,5
( )
()
in einem fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch wiederholt, wie die Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch überprüft werden kann. Zunächst wird mit den Schülern diskutiert, welchen speziellen
Zusammenhang sie zwischen den Vektoren vermuten und wie der vermutete Zusammenhang – die Orthogonalität – überprüft werden kann. Dazu wird der obere Teil der Folie verwendet, der untere Teil bleibt
vorerst abgedeckt. Je nach Schülerreaktion ist an dieser Stelle durch einen Schüler eine zeichnerische
Überprüfung mit dem Geodreieck denkbar, wodurch die Vermutung vorerst bestätigt würde. Die Diskussion mündet in die Wiederholung des Vorwissens, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt, und die Folgerung, dass diese Methode exakter, also sicherer ist als die zeichnerische Lösung. Für die rechnerische Überprüfung werden die Koordinaten der beiden Vektoren anhand
des unteren Teils der Folie (Vektoren mit Hintergrundkästchen) abgelesen. Das Verfahren zur Prüfung
der Orthogonalität sowie die Rechnung werden ins Tafelbild übernommen.
Einstiegsfragen
1. Welchen speziellen Zusammenhang vermuten Sie zwischen den Vektoren?
2. Wie kann die Orthogonalität der Vektoren überprüft werden? Was ist das Ergebnis?
Mögliche Schülerantworten:
1. Die beiden Vektoren u und v scheinen orthogonal zu sein.
2. Die Orthogonalität zweier Vektoren kann auf zwei Arten überprüft werden:
• Zeichnerisch mithilfe eines Geodreiecks:
Die beiden Vektoren sind orthogonal, wenn sie einen 90°-Winkel einschließen.
• Durch Rechnung:
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:
u⋅v = 0 ⇒ u ⊥ v
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© Material MA 1
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Ergebnis des Beispiels:
• Mit dem Geodreieck misst man einen Winkel von 90°. Die Vektoren u und v
sind also orthogonal.
• Rechnerische Überprüfung:
−1 ⋅ 8 = −1 ⋅ 8 + 7,5 ⋅ 1 = − 0,5 ≠ 0 ⇒ u
⊥v
7,5 1
( )()
Die Berechnung zeigt, dass die Vektoren trotz vermuteter und durch Messung
mit dem Geodreieck bestätigter Orthogonalität tatsächlich nicht senkrecht zueinander sind.
Neudurchnahme
2
Winkel zwischen Vektoren
Aus den bisherigen Überlegungen resultiert die Leitfrage der Stunde, die der Lehrer den Schülern mitteilt:
Frage
Gibt es allgemein einen Zusammenhang zwischen dem Winkel, den zwei Vektoren
bzw. ihre Richtungen miteinander einschließen, und dem Skalarprodukt der beiden
Vektoren?
© Material MA 3
Um diese Frage zu ergründen, bearbeiten die Schüler das Arbeitsblatt MA 2 in arbeitsteiliger Gruppenarbeit (Kleingruppen von 2 bis 3 Schülern). Zunächst zieht aus jeder Gruppe ein Schüler zwei Karten aus
dem Lostopf (s. Vorbereitung, MA 3). Die Schüler
notieren die Einheitsvektoren, die auf den beiden ge
zogenen Karten stehen, als Vektoren u1 und u 2 auf ihren Arbeitsblättern, zeichnen die Vektoren in das
vorbereitete Koordinatensystem ein und messen jeweils den Winkel zum vorgegebenen
Einheitsvektor v.
Zusätzlich soll das Skalarprodukt jeder der beiden Vektoren mit dem Vektor v berechnet werden. Falls
nötig, gibt der Lehrer Hilfestellung.
Im Folgenden wird exemplarisch die Lösung für die Vektoren u1 = 1 ⋅ 12 und u 2 = 1 ⋅ −21 vorgestellt.
5
()
5
( )
Aufgabe
© Material MA 2
Bearbeiten Sie die Aufgaben von MA 2 mit den gezogenen Einheitsvektoren.
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
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Lösung:
a)
b) Gemessen wird:
α1 = 63,5° ; α 2 = 153,5°
c) Es gilt:
u1 ⋅ v = 1 ⋅ 21 ⋅ 01 = 1 ⋅ (1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0) = 1 ≈ 0, 45
5
5
5
1 −2 1
u2 ⋅ v =
⋅ 1 ⋅ 0 = 1 ⋅ (( −2) ⋅ 1 + 1 ⋅ 0) = − 2 ≈ −0,89
()()
( )()
5
5
5
Anschließend trägt aus jeder Gruppe ein Schüler die Ergebnisse als Messpunkte in das Schaubild auf
der aus MA 4 hergestellten Folie ein. Das Schaubild veranschaulicht den Zusammenhang zwischen dem
Winkel, den zwei Vektoren miteinander einschließen, und dem Skalarprodukt der beiden Vektoren. In
diesem Zusammenhang sollte besprochen werden, dass zwei Vektorpfeile immer zwei Winkel miteinander bilden und unter dem Winkel zwischen Vektoren immer der kleinere der beiden Winkel, also derjenige zwischen 0° und 180°, verstanden wird. Der Lehrer verbindet die Punkte durch eine Kurve und ergänzt den Verlauf der Kosinusfunktion bis 360°.
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© Material MA 4
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Als Ergebnis teilt der Lehrer den Schülern mit:
Das Schaubild veranschaulicht den Zusammenhang zwischen dem Winkel, den zwei
Vektoren bzw. ihre Richtungen miteinander einschließen, und dem Skalarprodukt
der beiden Vektoren. Die eingetragenen Punkte lassen einen kosinusförmigen Verlauf des Schaubilds vermuten. Es sieht also so aus, als ob das Skalarpodukt zweier
Vektoren, die den Winkel α einschließen, cos α beträgt.
Die Notwendigkeit einer genaueren Untersuchung und Herleitung des Zusammenhangs zwischen dem
Winkel, den zwei Vektoren bzw. ihre Richtungen miteinander einschließen, und dem Skalarprodukt der
beiden Vektoren kann dadurch motiviert werden,
dass
an dieser Stelle an der Schmiertafel eine
erste
These formuliert wird: „Für zwei Vektoren u und v, die den Winkel α einschließen, gilt u ⋅ v = cos α.“
Diese These könnte zusätzlich nochmals durch Spezialfälle rechnerisch überprüft werden. Sie müsste
dann aber auch zügig durch ein Gegenbeispiel relativiert werden. Der Lehrer weist die Schüler darauf
hin, dass sie nur aufpassen sollen und nichts abzuschreiben brauchen.
These:
Für zwei Vektoren u und v, die den Winkel α einschließen, gilt u ⋅ v = cos α.
Überprüfung der These durch Spezialfälle:
⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎛ 1 ⎞ = 1 = cos 0°, ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎛ 0 ⎞ = 0 = cos90°, ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎛ −1⎞ = −1 = cos180°
⎜0⎟ ⎜0⎟
⎜0⎟ ⎜1⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Gegenbeispiel:
⎛ 2 ⎞ ⋅ ⎛ 2 ⎞ = 4 ≠ 1 = cos 0°
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Welcher Zusammenhang nun tatsächlich gilt und dann auch allgemein für Vektoren im dreidimensionalen Raum besteht, wird im weiteren Verlauf der Stunde im Unterrichtsgespräch hergeleitet. Um das
Ergebnis nicht vorwegzunehmen, lassen die Schüler in ihrem Aufschrieb einige Zeilen Platz für den
Satz, der dann erst nach der Herleitung ergänzt wird. Die Herleitung und der Satz werden an der Tafel
festgehalten.
Satz
Für zwei Vektoren u und v, die den Winkel α einschließen, gilt: u ⋅ v =⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos α
Herleitung:
u und v seien zwei beliebige Vektoren im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum, die
den Winkel α einschließen. Es gilt (siehe Skizze):
(1) u = u1 + u 2 ,
⏐u ⏐ (2) u1 v und somit u1 = 1 ⋅ v
⏐v⏐
(3) u 2 ⊥ v und somit u 2 ⋅ v = 0
⏐u ⏐
(4) cos α = 1 bzw. ⏐u1⏐=⏐u⏐⋅ cos α
⏐u ⏐
(Winkelbeziehung im rechtwinkligen Dreieck)
Damit folgt:
(1) (3) (2) ⏐u ⏐ ⏐u ⏐ u ⋅ v = (u1 + u 2 ) ⋅ v = u1 ⋅ v + u 2 ⋅ v = u1 ⋅ v = 1 ⋅ v ⋅ v = 1 ⋅⏐v⏐2 =⏐u1⏐⋅⏐v⏐
⏐v⏐
⏐v⏐
(4)
= ⏐u⏐⋅ cos α ⋅⏐v⏐=⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos α
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Dasselbe Ergebnis erhält man mit entsprechenden Überlegungen für Winkel über 90°.
Bemerkung:
Diese Formel gilt für beide Winkel α und β, die durch
zwei Vektoren gebildet werden. Unter dem Winkel
zwischen Vektoren verstehen wir im Folgenden immer den kleineren der beiden Winkel.
Um die hergeleitete Formel zu verdeutlichen, bespricht der Lehrer gemeinsam mit den Schülern in einem
fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch die folgenden beiden Beispiele und hält sie an der Tafel
fest. Der Lehrer gibt bei Beispiel 1 den Hinweis, den GTR ins Gradmaß umzustellen.
Beispiele:
⎛ 1⎞
⎛ 3⎞
1. Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Vektoren u = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ und v = ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ ein⎝ 5⎠
⎝ 1⎠
schließen.
⎛ 1⎞
2. Geben Sie einen Einheitsvektor v an, der mit dem Vektor u = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ einen Winkel
⎝ –1⎠
von 45° einschließt.
Lösung:
1. Es gilt:
u⋅v
cos α = =
⏐u⏐⋅⏐v⏐
⇒ α = cos −1
(
⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ −2 ⎟ ⋅ ⎜ − 4 ⎟
⎜ 5 ⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞
⎛ 3⎞
⎜ −2 ⎟ ⋅ ⎜ − 4 ⎟
⎜ 5⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
16
780
=
3+8+5
12
+
( −2) 2
+ 52
⋅
32
+
( − 4) 2
+12
=
16
30 ⋅ 26
= 16
780
) ≈ 55,05°
2. Aus⏐u⏐= 12 + 0 2 + ( −1) 2 = 2, cos 45° = 1 ⋅ 2 und der Bedingung⏐v⏐= 1 folgt:
u ⋅ v =⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos 45° = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1
2
2
Mit
⎛ v1 ⎞
v = ⎜ v2 ⎟
⎜v ⎟
⎝ 3⎠
gilt somit: u ⋅ v = 1 ⋅ v1 + 0 ⋅ v 2 − 1 ⋅ v 3 = 1
⎛1⎞
⎛ 0⎞
Diese Gleichung ist z. B. für die Einheitsvektoren ⎜⎜ 0 ⎟⎟ und 1 ⋅ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ erfüllt.
10 ⎝ −1⎠
⎝0⎠
An dieser Stelle bietet sich eine Erörterung darüber an, dass bei vorgegebenem Winkel zu einem bestimmten Vektor immer unterschiedliche Richtungen gefunden werden können, die mit dem Vektor den
vorgegebenen Winkel einschließen. Selbst in der Ebene wird die Richtung nur durch weitere Bedingungen eindeutig festgelegt.
Im nächsten Unterrichtsschritt wird das Gelernte durch einfache Übungen gefestigt. Die Schüler bearbeiten (mindestens) die Teilaufgaben 1 a, 2 a und 4 von MA 5 in Partner- oder Einzelarbeit. Die
Sicherung erfolgt im Schülervortrag.
Aufgabe
Bearbeiten Sie die Teilaufgaben 1 a, 2 a und 4 von MA 5.
© Material MA 5
Lösung:
Siehe MA 6
© Material MA 6
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
3
© Sparrendach.jpg
Winkel bei Ebenen und Geraden
Im weiteren Verlauf werden Winkel bei Ebenen und Geraden betrachtet. Zum Einstieg wird anhand des
Bildes eines Sparrendachs motiviert, warum die Betrachtung von Winkeln zwischen Geraden oder Flächen wichtig ist. Hierzu wird die statische Auswirkung der Dachneigung bei solchen Dächern erläutert.
Das Bild steht Ihnen in Farbe zum Download bereit.
Ein Sparrendach wird aus Paaren von hintereinander aufgestellten Sparren (Balken)
gebildet. Je flacher das Dach ist, umso größer sind die Schubkräfte in den Balken.
Daher sollten die Dachflächen bei solchen Dächern nicht in einem zu großen Winkel
(> 120°) zueinander stehen, da diese Kräfte sonst zu groß würden. Der Winkel des
vorliegenden Sparrendachs beträgt etwa 145°. Somit ist dieses Dach wohl instabil.
Dies führt uns zu folgender Problemstellung:
Wie kann man den Schnittwinkel zwischen Geraden, den Schnittwinkel zwischen
Ebenen und den Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnen?
3.1 Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden
Geraden
Anhand der Aufgaben des Arbeitsblattes MA 7 sollen sich die Schüler in arbeitsteiliger Gruppenarbeit
überlegen, wie sie mithilfe des davor Erlernten den Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden
Geraden errechnen können. Der Lehrer teilt dazu die Klasse in vier Gruppen A bis D ein. Die Schüler
bearbeiten in Kleingruppen von zwei Schülern die ihrer Gruppe zugeteilte Variante.
Dabei bekommen, wie sich bei der Besprechung herausstellen wird, je zwei Schülergruppen (die Gruppen A und B sowie die Gruppen C und D) ein gleiches Geradenpaar in unterschiedlicher Darstellung.
Dadurch erhält jeweils eine Schülergruppe den spitzen Winkel, den die beiden Geraden bilden, die
andere Schülergruppe den stumpfen Winkel.
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Für das Zeichnen der Geraden (Einübung von Vorwissen) ist ein leeres dreidimensionales Koordinatensystem als Kopiervorlage MA 8 vorhanden. Bei Zeitmangel steht zusätzlich eine PDF-Datei mit bereits
farbig eingezeichneten Geraden zum Download zur Verfügung.
Jedes Schülerpaar erhält eine Kopie des leeren Koordinatensystems (MA 8) oder eine Kopie des seiner
Gruppe entsprechenden Koordinatensystems mit eingezeichneten Geraden und soll die Überlegungen
mit genauem Rechenweg auf diesem Blatt dokumentieren. Um die Lösungen der Gruppen miteinander
vergleichen zu können, erhält jeweils ein Schülerpaar aus jeder Großgruppe eine Folie statt der Kopie.
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© Schnittwinkel
zwischen
Geraden.pdf
Im Folgenden sind die Ergebnisse der Berechnung der Schnittwinkel angegeben.
Aufgabe
Bearbeiten Sie mit Ihrem Nachbarn die Aufgaben von MA 7 in der Ihnen zugewiesenen Variante. Dokumentieren Sie Ihre Lösungen mit genauem Rechenweg auf dem
Ihnen ausgegebenen Blatt bzw. auf der Ihnen ausgegebenen Folie (MA 8).
Lösung:
Gruppe A
cos α =
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟
⎜ 3⎟
⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Gruppe B
=
−8
cos α =
10 ⋅ 9
⎛ 0 ⎞ ⎛ −1⎞
⎜ 1⎟ ⋅ ⎜ 2⎟
⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ −1⎞
⎜1⎟ ⋅ ⎜ 2⎟
⎜ 3⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⇒ α ≈ 147, 49°
⇒ α ≈ 32,51°
Gruppe C
Gruppe D
cos α =
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1⎟
⎜ 1⎟ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1⎟
⎜1⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
© Material MA 7,
MA 8
=
cos α =
3
2 ⋅ 18
⇒ α ≈ 60°
⎛ 0 ⎞ ⎛ −1 ⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜1⎟ ⎜ −4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ −1⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜1⎟
⎜ −4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
8
10 ⋅ 9
=
−3
2 ⋅ 18
⇒ α ≈ 120°
Anschließend wird die Aufgabe gemeinsam im Unterrichtsgespräch besprochen. Dazu werden immer
die Folien von zwei Gruppen mit den gleichen Geraden (den Gruppen A und B oder den Gruppen C
und D) aufgelegt und verglichen. Festgestellt wird, dass es sich um die gleichen Geraden handelt, sich
aber durch die Berechnung mit den unterschiedlichen Richtungsvektoren verschiedene Winkel ergeben
und dass diese Winkel Nebenwinkel zueinander
sind.
u⋅v
Durch den Vergleich der Ergebnisse für bei den entsprechenden Gruppen stellt sich heraus, dass
⏐u⏐⋅⏐v⏐
sich der kleinere der beiden möglichen Winkel ergibt, wenn man den Zähler in der Berechnungsformel
in Betrag setzt.
Anhand der Folie MA 4, in die das Schaubild der Kosinusfunktion eingezeichnet wurde, kann der Lehrer
verdeutlichen, dass der Kosinus des Nebenwinkels immer denselben Wert mit anderem Betrag hat. Dazu
kann er im Schaubild symmetrisch zu 90° liegende Stellen markieren.
Der Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden kann nicht über den
Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren festgelegt werden, da hierbei
in der Regel je nach Darstellung der Geraden zwei unterschiedliche Winkel erhalten
werden. So kommt man zur Definition, dass der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden immer der kleinere der beiden möglichen Winkel ist. Man erhält
ihn, indem man in der Berechnungsformel den Zähler in Betrag setzt.
Unterrichts-Konzepte Analytische Geometrie Stark Verlag
© Material MA 4
F. 2. 3 ⏐ 12
© Material MA 9
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Die Ergebnisse zu Winkeln bei Ebenen und Geraden werden auf dem vorbereiteten Arbeitsblatt MA 9
nach und nach gesichert. Der erste Teil „Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden“ wird
gemeinsam anhand der aus MA 9 erstellten Folie ausgefüllt.
Ergebnissicherung:
Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden:
⏐u ⋅ u ⏐
cos α = 1 2
⏐u1⏐⋅⏐u 2⏐
Bemerkung:
Der Betrag in der Formel wird gesetzt, um den Schnittwinkel zwischen Geraden
eindeutig zu machen. Man erhält so den kleineren der beiden möglichen Winkel.
Um das soeben Gelernte einzuüben, wird Aufgabe 1 a von MA 10 in Einzel- oder Partnerarbeit
bearbeitet. Die Sicherung erfolgt im Schülervortrag.
Aufgabe
© Material MA 10
Bearbeiten Sie die Teilaufgabe 1 a von MA 10.
Lösung:
1. a) Schnittpunkt:
⎛ 7,5 ⎞
⎛ −3 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ −5 ⎞
⎜ 5 ⎟ + s ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ + t ⋅ ⎜ 1⎟
⎜ −1⎟
⎜ 2⎟ ⎜ 0⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
I 7,5 − 3s = −5t
II
5 + 2s = 3 + t
III −1 + 2s = 2t
III – II ergibt: −6 = −3 + t
t = −3
In II:
5 + 2s = 0
s = −2,5
Probe in I: 7,5 + 7,5 = −5 ⋅ ( −3) +
Somit gibt es einen Schnittpunkt S, er hat die Koordinaten S(15 | 0 | – 6).
Schnittwinkel:
cos α =
© Geradenpaare.pdf
⎛ −3 ⎞ ⎛ −5 ⎞
⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞
⎛ −5 ⎞
⎜ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜ 2⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
21
17 ⋅ 30
⇒ α ≈ 21,58°
Anschließend wird Aufgabe 2 von MA 10 bearbeitet. Sie dient zur Festigung und soll zeigen, dass Winkel im Dreidimensionalen nicht an einer Zeichnung gemessen bzw. verglichen werden können. Zunächst
wird der erste Teil (Einschätzung, welcher Schnittwinkel größer ist) gemeinsam mit den Schülern im
Unterrichtsgespräch besprochen. Dazu legt der Lehrer die aus der PDF-Datei „Geradenpaare“ hergestellte Folie auf. Die PDF-Datei steht zum Download zur Verfügung. Nach der Schätzung berechnen
die Schüler in Arbeitsteilung die tatsächlichen Schnittwinkel. Der Lehrer teilt die Klasse dazu gemäß der
vier Geradenpaare in vier Gruppen ein, innerhalb derer die Schüler in Einzelarbeit arbeiten sollen.
Aufgabe
© Material MA 10
Bearbeiten Sie Aufgabe 2 von MA 10.
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F. 2. 3 ⏐ 13
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Lösung:
2. Mögliche Einschätzungen:
a) Der Schnittwinkel β der beiden Geraden k und ; sieht größer aus als der
Schnittwinkel α der Geraden g und h.
b) Der Schnittwinkel α der beiden Geraden g und h sieht größer aus als der
Schnittwinkel β der Geraden k und ;.
Berechnung der Schnittwinkel:
a) cos α =
cos β =
⎛ −1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟
⎜ 6⎟ ⎜8⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1 ⎞
⎛0⎞
⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟
⎜ 6⎟
⎜8⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ −4⎞ ⎛ 5⎞
⎜ 1⎟ ⋅ ⎜ −1⎟
⎜ 6⎟ ⎜ 7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −4⎞
⎛ 5⎞
⎜ 1⎟ ⋅ ⎜ −1⎟
⎜ 6⎟
⎜ 7⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
42
46 ⋅ 68
⇒ α ≈ 41,33°
=
21
53 ⋅ 75
⇒ β ≈ 70,54°
Wie vermutet, ist der Schnittwinkel der beiden Geraden k und ; größer als der
Schnittwinkel der Geraden g und h.
b) cos α =
⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1⎟
⎜ 2⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
cos β =
⎛ 3 ⎞ ⎛ −2 ⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3⎞
⎛ −2 ⎞
⎜ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1⎟
⎜0⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
5
6 ⋅ 10
| −5 |
10 ⋅ 6
⇒ α ≈ 49,80°
= 5
60
⇒ β ≈ 49,80°
Tatsächlich ist der Schnittwinkel beider Geradenpaare gleich groß.
Bearbeiten Sie die restlichen Aufgaben von MA 5 und die Teilaufgabe 1 b von MA 10.
Hausaufgabe
© Material MA 5,
MA 10
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Tafelbild
Damit folgt:
(1) u ⋅ v = (u1 + u 2 ) ⋅ v = u1 ⋅ v + u 2 ⋅ v
(2) ⏐u ⏐ ⏐u ⏐ = u1 ⋅ v = 1 ⋅ v ⋅ v = 1 ⋅⏐v⏐2 =⏐u1⏐⋅⏐v⏐
(3)
⏐v⏐
⏐v⏐
=⏐u⏐⋅ cos α ⋅⏐v⏐=⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos α
(4)
Dasselbe Ergebnis erhält man mit entsprechenden Überlegungen für Winkel
über 90°.
Bemerkung:
Diese Formel gilt für
beide Winkel α und β,
die durch zwei Vektoren gebildet werden.
Unter dem Winkel zwischen Vektoren
verstehen wir im Folgenden immer den
kleineren der beiden Winkel.
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:
u⋅v=0 ⇒ u ⊥v
Rechnerische Überprüfung:
−1 ⋅ 8 = −1 ⋅ 8 + 7,5 ⋅ 1 = − 0,5 ≠ 0 ⇒ u
⊥v
7,5
1
( ) ()
Satz
Für zwei Vektoren u und v, die den Winkel α einschließen, gilt:
u ⋅ v =⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos α
Herleitung:
u und v seien zwei beliebige Vektoren im zwei- bzw. dreidimensionalen
Raum, die den Winkel α einschließen. Es gilt (siehe Skizze):
(1) u = u1 + u 2 ,
⏐u ⏐ (2) u1 v und somit u1 = 1 ⋅ v
⏐v⏐
(3) u 2 ⊥ v und somit u 2 ⋅ v = 0
⏐u ⏐
(4) cos α = 1 bzw. ⏐u1⏐=⏐u⏐⋅ cos α
⏐u ⏐
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Beispiele:
1. cos α =
u⋅v
=
⏐u⏐⋅⏐v⏐
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜⎜ −2 ⎟⎟
⎝ 5⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜⎜ −2 ⎟⎟
⎝ 5⎠
⎛
3⎞
⋅ ⎜⎜⎜ − 4 ⎟⎟⎟
⎝
⋅
1⎠
⎛ 3⎞
⎜
⎟
⎜⎜ − 4 ⎟⎟
⎝ 1⎠
=
16
30 ⋅ 26
⇒ α ≈ 55,05°
2. Gesucht: Einheitsvektor v, der mit dem
⎛⎜ 1⎞⎟
Vektor u = ⎜ 0 ⎟ einen Winkel von 45°
einschließt. ⎝ –1⎠
Aus ⏐u⏐= 2, cos 45° = 12 ⋅ 2
und ⏐v⏐= 1 folgt:
u ⋅ v =⏐u⏐⋅⏐v⏐⋅ cos 45°= 2 ⋅1 ⋅ 12 ⋅ 2 =1
Somit gilt: 1 ⋅ v1 + 0 ⋅ v 2 − 1 ⋅ v 3 = 1
Ist z. B. für
Hausaufgabe
⎛1⎞
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
und
⎛ ⎞
1 ⎜ 0⎟
⋅ 3
10 ⎜⎝ −1⎟⎠
erfüllt.
F. 2. 3  14
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
3. Unterrichtsstunde
Vorbereitung
Die Arbeitsmaterialien MA 11 und MA 12 für alle Schüler kopieren. MA 11 entlang der Linie auseinanderschneiden. Die aus MA 9 hergestellte Folie mit in den Unterricht nehmen; die Schüler haben
ebenfalls MA 9 dabei. Ein Tageslichtprojektor steht im Unterrichtsraum bereit. Einen Klassensatz runde
Bierdeckel mitnehmen.
Besprechung der
Hausaufgabe
 Material MA 6
Die Lösung der Hausaufgabe von Material MA 5 finden Sie auf dem Lösungsblatt MA 6.
Lösung der Teilaufgabe 1 b von MA 10:
1. b) Schnittpunkt:
 −3 
 1
 −7  + s ⋅  2=

 −3 
 −1
 
 
 −2 
 −1
 −1 + t ⋅  −1
 4
 3
 
 
I
−3 + s =−2 − t
II −7 + 2s =−1 − t
III
−3 − s = 4 + 3t
II – I ergibt: − 4 + s =
1
s=5
In I:
2 =−2 − t
t = −4
Probe in III: −3 − 5 = 4 + 3 ⋅ ( − 4) +
Somit gibt es einen Schnittpunkt S, er hat die Koordinaten S(2 | 3 | – 8).
Schnittwinkel:
=
cos α
Neudurchnahme
 1  −1
 2  ⋅  −1
 −1  3 
   
 1
 −1
 2  ⋅  −1
 −1
 3
 
 
=
| −6 |
=
6 ⋅ 11
6
6 ⋅ 11
⇒ α ≈ 42,39°
3.2 Schnittwinkel zwischen Ebenen und zwischen
Ebenen und Geraden
Ausgehend vom Einstiegsproblem des zweiten Teils der letzten Stunde (maximaler Winkel zwischen
Dachflächen) erhalten die Schüler in Partnerarbeit die Aufgabe, den größtmöglichen Winkel zu bestimmen, mit dem man zwei Bierdeckel aneinanderstellen kann, ohne dass diese ins Rutschen kommen.
Bei der Besprechung der Aufgabe sind die gemessenen Winkel nebensächlich, es geht hauptsächlich
darum, auf welche Weise die Winkel bestimmt wurden. Als Problem bei dieser Aufgabe ergibt sich, wie
der Winkel zwischen den runden Bierdeckeln bestimmt werden kann. Dies ist nicht klar: Wie soll man
das Geodreieck anlegen? Im fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch wird festgestellt, dass bei
der Messung das Geodreieck senkrecht zu beiden Ebenen stehen sollte.
Aufgabe
Versuchen Sie mit Ihrem Nachbarn, zwei Bierdeckel im größtmöglichen Winkel
gegeneinanderzustellen, ohne dass sie ins Rutschen kommen. Messen Sie dann
diesen Winkel.
Unterrichts-Konzepte Analytische Geometrie Stark Verlag
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
F. 2. 3  15
Wie man den Winkel zwischen Flächen bzw. Ebenen festlegen und rechnerisch bestimmen kann, sollen
die Schüler selbstständig in Einzel- oder Partnerarbeit mithilfe der stichpunktartigen Hinweise auf
MA 11 erarbeiten. Der Lehrer teilt den Schülern den oberen Teil von MA 11 aus.
An dieser Stelle ist eine Differenzierung gut möglich: Während für die besseren Schüler diese Aufgabe
leicht und schnell zu bewältigen sein müsste und sie dann mit der deutlich anspruchsvolleren Zusatzaufgabe (Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden; unterer Teil von MA 11) gut gefordert
sind, können die schwächeren Schüler noch einmal das bisher Erlernte und Besprochene nachvollziehen
und in Ruhe die zugehörige Formel aufstellen.
Im Anschluss werden die Ergebnisse vorgestellt und diskutiert sowie gemeinsam auf MA 9 festgehalten.
Es ist davon auszugehen, dass die Schüler beim Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden
nicht auf die Sinusform der Formel kommen. Zu erwarten ist, dass einzelne Schüler erkennen, dass der
Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden berechnet
werden muss und dieser von 90° abgezogen wird, um den Schnittwinkel zu erhalten. Bei der Besprechung muss daher die Sinusform noch erklärt und ergänzt werden.
Aufgabe
Bearbeiten Sie MA 11.
 Material MA 11
Ergebnissicherung
Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen:
 Material MA 9
 
n ⋅ n 
cos α =  1 2
n1⋅n 2
Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
α= 90° − β, wobei cos β=
 
u ⋅ n 
 
u ⋅ n 
 
u⋅n
oder sin α =  
u⋅n
Im nächsten Unterrichtsschritt wird das Ergebnis durch einfache Übungen gefestigt. In Einzel- oder
Partnerarbeit werden die Teilaufgaben 1 a und 2 a von MA 12 bearbeitet. Die Sicherung erfolgt im
Schülervortrag.
Aufgabe
Bearbeiten Sie die Teilaufgaben 1 a und 2 a von MA 12.
 Material MA 12
Lösung:
Siehe MA 13
 Material MA 13
Bearbeiten Sie die restlichen Aufgaben von MA 12.
Hausaufgabe
 Material MA 12
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F. 2. 3  16
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
4. Unterrichtsstunde
Vorbereitung
Die ergänzte Folie MA 9 bereithalten. Das Aufgabenblatt MA 14 für alle Schüler kopieren. Drei leere Folien
mit in den Unterricht nehmen.
Besprechung der
Hausaufgabe
 Material MA 13
Die Lösung der Hausaufgabe von Material MA 12 finden Sie auf dem Lösungsblatt MA 13.
Vertiefung /
Festigung
4
Anwendungen und schwerere Übungen
Zu Beginn der Stunde werden die in der letzten Stunde eingeführten Formeln an anschaulichen Beispielen wiederholt:
 Material MA 9
Zunächst wird besprochen, wie der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen festgelegt ist. Zum Beispiel
kann die Tafel ein Stück aufgeklappt werden, sodass sich ein spitzer Winkel ergibt. Ein Schüler zeigt,
wie der Winkel zwischen den Tafelhälften mit dem Geodreieck gemessen werden kann (Geodreieck
muss senkrecht zu beiden Tafelhälften gehalten werden). Nun wird die Tafel in einem stumpfen Winkel
aufgeklappt. Wieder zeigt ein Schüler den Winkel zwischen den Ebenen, in denen die Tafelhälften liegen (Winkel zwischen aufgeklappter Tafelhälfte und „Wand“). Steht keine aufklappbare Tafel zur Verfügung, kann auch ein aufgeklapptes Buch, ein schräg geknickter Karton oder Ähnliches verwendet
werden. Anschließend wird die Formel mithilfe der Folie MA 9 wiederholt.
In ähnlicher Weise wird die Vorgehensweise beim Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene besprochen. Dazu verwendet man zum Beispiel einen Zeigestab oder Ähnliches, den man an der Tafel
aufsetzt, als Gerade. Ein Schüler zeigt nun mit dem Geodreieck den Winkel zwischen der Geraden und
der Ebene. Die Projektionsgerade, die den Winkel bestimmt, kann an die Tafel gezeichnet werden. Die
Projektionsgerade kann dabei als Schatten durch senkrechte Beleuchtung mit einer starken Lampe oder
Taschenlampe bestimmt werden. Auch hier wird die Formel mithilfe der Folie MA 9 wiederholt.
Ziel der Stunde ist nun, diese Formeln an teilweise auch anspruchsvolleren Aufgaben einzuüben. Hierzu
wird der Kurs in Dreier- bis Vierergruppen eingeteilt (z. B. mittels Losverfahren oder Durchzählen).
Die Schüler bearbeiten zunächst die ihrer Gruppe zugeteilte Aufgabe von MA 14, in der restlichen Bearbeitungszeit lösen sie noch möglichst viele der anderen Aufgaben. An jeweils eine der Gruppen, die dieselbe Aufgabe bearbeiten, wird eine leere Folie ausgegeben, mit dem Auftrag, die Lösungen für die spätere Präsentation darauf zu dokumentieren. Am Schluss der Stunde erläutern diese Gruppen ihre Lösungen am Tageslichtprojektor. Sie werden gemeinsam diskutiert, verbessert und gegebenenfalls ergänzt.
Aufgabe
 Material MA 14
Bearbeiten Sie die Ihrer Gruppe zugewiesene Aufgabe von MA 14.
 Material MA 15
Lösung:
Siehe MA 15
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Material
F. 2. 3  17
MA 1
Folienvorlage
Einstieg: Orthogonale Vektoren
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F. 2. 3  18
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Winkel und Skalarprodukt
MA 2
Kopiervorlage
Gegeben sind folgende Einheitsvektoren:

=
u1

=
, u2

=
,v
(10)
a) Stellen Sie diese Vektoren im Koordinatensystem so dar, dass die Pfeile im
Ursprung beginnen.


b) Messen Sie dann den Winkel α1 zwischen v und u1 bzw. den Winkel α 2


zwischen v und u 2 .
α1 =
α2 =
c) Berechnen Sie nun noch die Skalarprodukte:
 
u1 ⋅ v =
 
u2 ⋅ v =
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Einheitsvektoren für MA 2
F. 2. 3  19
MA 3
Kopiervorlage
1
0
 
0
1
 
 −1
 0
 
 0
 −1
 
1 1
⋅ 
2 1
1  −1
⋅ 
2  1
1  1
⋅ 
2  −1
1  −1
⋅ 
2  −1
1 1
⋅ 
5  2
1  −1
⋅ 
5  2
1  1
⋅ 
5  −2 
1  −1
⋅ 
5  −2 
1  2
⋅ 
5 1
1  −2 
⋅ 
5  1
1  2
⋅ 
5  −1
1  −2 
⋅ 
5  −1
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F. 2. 3  20
MA 4
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Zusammenhang zwischen Winkel und Skalarprodukt
Folienvorlage
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Übungen: Winkel zwischen Vektoren
F. 2. 3  21
MA 5
Kopiervorlage
1. Berechnen Sie jeweils den Winkel zwischen den Vektoren.
  1   3 
a) u  =
=
6; v  0

 2
 −2 
 
  2   4
b) u  =
−1 ; v  5 
=

1
 0
 
  1   −3 
c) u  =
=
3  ; v  −1

 −1
 −3 
 
2. Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten. Gibt es mehrere Möglichkeiten?
 0  1
a) u=  1  ; v=  1  ; α= 45°
0
a
 
 
  3  1
b) u=  0  ; v=  a  ; α= 60°
0
0
 

c) u=
 3
 a ;
 4
 
 
 b
v=  0  ; α= 45°; b > 0
b
 


3. a) Überlegen Sie anhand von Skizzen: Wenn die Vektoren u und v den Winkel α
einschließen, was lässt sich dann über den Winkel β zwischen den Vektoren


• u und − v,


• − u und − v
aussagen?


b) Zwei Vektoren u und v haben denselben Betrag. Untersuchen Sie zeichnerisch
 
 
anhand verschiedener Beispiele den Winkel zwischen u − v und u + v und stellen Sie eine Vermutung auf. Beweisen Sie diese Vermutung rechnerisch.
4. Was kann man über den Winkel zwischen zwei Vektoren aussagen, wenn
• ihr Skalarprodukt positiv ist?
• ihr Skalarprodukt negativ ist?
5. A(0 | 0 | 0) und B(– 4 | 4 | 2) sind die an der Hypotenuse anliegenden Eckpunkte
eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks.
a) Beschreiben Sie die Lage aller Punkte, die als dritte Ecke für dieses Dreieck
infrage kommen.
(Tipp: Nehmen Sie ein Geodreieck und spannen Sie es zwischen zwei Fingern
an den „unteren“ Eckpunkten ein. Lassen Sie das Geodreieck nun kreisen. Auf
welcher Linie bewegt sich der dritte Eckpunkt?)
 
b) Berechnen Sie für einen beliebigen Eckpunkt C das Skalarprodukt AB ⋅ AC.
c) Bestimmen Sie die fehlende Koordinate des Eckpunkts C(–1 | 4 | c).
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F. 2. 3  22
MA 6
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Lösungen zu MA 5
Kopiervorlage
1. a)
 
u⋅v
cos α =   =
u⋅v
 1  3 
 6 ⋅  0
 −2   2 
   
 1
 3
 6 ⋅  0
 −2 
 2
 
 
(
⇒
=
α cos −1 − 1
cos α
b) =
c)
(
 
u⋅v
cos α =   =
u⋅v
3
210
(
=
−1
41 ⋅ 13
=− 1
533
8−5+0
=
4 + 1 + 0 ⋅ 16 + 25 + 1
3
=
5 ⋅ 42
3
210
) ≈ 78,05°
 1  −3 
 3  ⋅  −1
 −3   −1
   
 1
 −3 
 3  ⋅  −1
 −3 
 −1
 
 
⇒
=
α cos −1 − 3
3+0−4
1 + 36 + 4 ⋅ 9 + 0 + 4
) ≈ 92, 48°
 2  4
 −1 ⋅  5 
 0   1
   
=
 2
 4
 −1 ⋅  5 
 0
 1
 
 
 
u⋅v
=
 
u⋅v
=
⇒ α cos −1
533
=
209
=
−3 − 3 + 3
1+ 9 + 9 ⋅ 9 +1+1
=
−3
19 ⋅ 11
=− 3
209
) ≈ 101,98°
   
cos α ⋅u⋅v= u ⋅ v
2. a)
0
1
0 1
1 ⋅ 1
cos 45° ⋅  1  ⋅  1 =

0 a 

   
0 a 
1⋅
2
2 ⋅ 1 ⋅ 2 + a 2 =1
2 + a2 =
2
a=0
b)
   
cos α ⋅u⋅v= u ⋅ v
 3
1
 3 1
0 ⋅ a 
cos 60° ⋅  0  ⋅  a =

0 0

   
0 0
1 ⋅3⋅
2
1+ a2 =
3
1+ a2 =
2
1+ a2 =
4
a2 = 3
a= ± 3
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
   
cos α ⋅u⋅v= u ⋅ v
c)
 3
b
 3  b
a  ⋅ 0
cos 45° ⋅  a  ⋅  0 =

 4  b

   
 4  b
1⋅
2
2 ⋅ 25 + a 2 ⋅ 2b 2 =
7b
1⋅
2
⋅ b 7b
2 ⋅ 25 + a 2 ⋅ 2=
(b > 0)
25 + a 2 =
7
25 + a 2 =
49
a 2 = 24
a = ± 24


3. a) Winkel β zwischen den Vektoren u und − v :
Anhand der Skizze erkennt man, dass
β = 180° – α gilt.


Winkel β zwischen den Vektoren − u und − v :
Anhand der Skizze erkennt man, dass
β = α gilt.
b) Vermutung:
 
Der Winkel zwischen den Vektoren u − v
 
und u + v beträgt 90°.
Beweis der Vermutung:
   
(u − v) ⋅ (u + v)


= u 2 − v2


=u2 −v2 (die Vektoren haben
denselben Betrag)
=0
Also beträgt der Winkel zwischen
den Vektoren 90°.
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F. 2. 3  23
F. 2. 3  24
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
   
4. Betrachtet wird die Formel: cos α ⋅u⋅v= u ⋅ v
• Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren positiv, so muss auch cos α positiv sein.
Der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen, liegt also zwischen 0° und
90°, denn für diese Winkel hat die Kosinusfunktion positive Funktionswerte.
• Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren negativ, so muss auch cos α negativ sein.
Der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen, liegt also zwischen 90° und
180°, denn für diese Winkel hat die Kosinusfunktion negative Funktionswerte.
5. a) M(–2 | 2 | 1) ist der Mittelpunkt der
Strecke [AB]. Es gilt:
CM
= AM
= 3
Alle möglichen Eckpunkte liegen
also auf einem Kreis um M(–2 | 2 | 1)
mit Radius 3. Dieser Kreis liegt in
der Ebene senkrecht zu [AB], die
M enthält.
    
b) AB ⋅ AC = AB ⋅ (AM + MC)
   
= AB ⋅ AM + AB ⋅ MC
 − 4   −2 
=  4  ⋅  2  + 0 = 8 + 8 + 2 = 18
2
1

c)
 
 
AB ⋅ AC =
18

 − 4   −1
 4 ⋅  4 =
18
 2  c
   
4 + 16 + 2c =
18
2c = −2
c = −1
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F. 2. 3  25
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Schnittwinkel zwischen Geraden
MA 7
Kopiervorlage
Gruppe A
Gruppe B
0
 1
g: x=  2  + s ⋅  1 
1
3
0
 1
g: x=  2  + s ⋅  1 
1
3
 1
 1
h: x=  2  + t ⋅  −2 
 −1
 1
h: x=  2  + t ⋅  2 
 
1
 
 
 −2 
• Zeichnen Sie zunächst die beiden
Geraden und ihre Richtungsvektoren in das Schaubild ein.
• Berechnen Sie den Schnittwinkel
zwischen den beiden Geraden;
denken Sie dabei daran, wie in der
letzten Stunde Winkel bestimmt
wurden.
• Schreiben Sie Ihren Rechenweg
genau auf.
• Zeichnen Sie den errechneten
Winkel in das Schaubild ein.
1
 
 2
• Zeichnen Sie zunächst die beiden
Geraden und ihre Richtungsvektoren in das Schaubild ein.
• Berechnen Sie den Schnittwinkel
zwischen den beiden Geraden;
denken Sie dabei daran, wie in der
letzten Stunde Winkel bestimmt
wurden.
• Schreiben Sie Ihren Rechenweg
genau auf.
• Zeichnen Sie den errechneten
Winkel in das Schaubild ein.
Gruppe C
Gruppe D
0
  3
g: x=  3  + s ⋅  1 
0
  3
g: x=  3  + s ⋅  1 
 1
  3
h: x=  3  + t ⋅  −1
1
4
 −1
  3
h: x=  3  + t ⋅  1
−4
1
 1
 
1

 1

• Zeichnen Sie zunächst die beiden
Geraden und ihre Richtungsvektoren in das Schaubild ein.
• Berechnen Sie den Schnittwinkel
zwischen den beiden Geraden;
denken Sie dabei daran, wie in der
letzten Stunde Winkel bestimmt
wurden.
• Schreiben Sie Ihren Rechenweg
genau auf.
• Zeichnen Sie den errechneten
Winkel in das Schaubild ein.
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 
1


• Zeichnen Sie zunächst die beiden
Geraden und ihre Richtungsvektoren in das Schaubild ein.
• Berechnen Sie den Schnittwinkel
zwischen den beiden Geraden;
denken Sie dabei daran, wie in der
letzten Stunde Winkel bestimmt
wurden.
• Schreiben Sie Ihren Rechenweg
genau auf.
• Zeichnen Sie den errechneten
Winkel in das Schaubild ein.
F. 2. 3  26
MA 8
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Vorlage zu MA 7
Kopiervorlage
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Zusammenfassung: Schnittwinkel
F. 2. 3  27
MA 9
Kopiervorlage

 
Im Folgenden werden die Richtungsvektoren der Geraden immer mit u (bzw. u1 , u 2 )

 
und die Normalenvektoren der Ebenen mit n (bzw. n1 , n 2 ) bezeichnet.
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
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F. 2. 3  28
MA 10
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Übungen: Schnittwinkel zwischen Geraden
Kopiervorlage
1. Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden schneiden, und berechnen Sie den
Schnittwinkel:
 −3 
 −5 
  7,5 
  0
a) g: x=  5  + s ⋅  2  ; h: x=  3  + t ⋅  1
−1
2
0
2




 


 1
 −1
  −3 
  −2 
b) g: =
x  −7  + s ⋅  2  ; h: =
x  −1 + t ⋅  −1
−3
−1
4
3








2. Welches Geradenpaar hat Ihrer Einschätzung nach den größeren Schnittwinkel?
Kontrollieren Sie durch Berechnung der Schnittwinkel.
 −1
0
  3
  3
a) g: x=  2  + s ⋅  −3  ; h: x=  2  + t ⋅  2 
0
6
0
8
 


 
 
oder
 −4 
 5
  6
 6
k: x=  7  + s ⋅  1 ; ;: x=  7  + t ⋅  −1
 0
 6
0
 7
 1
 0
  3
  3
b) g: x=  4  + s ⋅  1 ; h: x=  4  + t ⋅  −1
 0
 2
 0
 3
oder
 3
 −2 
  2
  2
k: =
x  −2  + s ⋅  1  ; ;: =
x  −2  + t ⋅  1
0
0
0
1

Skizze zu 2 a:

 




Skizze zu 2 b:
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Stichpunktartige Hinweise
F. 2. 3  29
MA 11
Kopiervorlage
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
• Welcher Vektor legt die Richtung einer Ebene eindeutig fest? Kennzeichnen Sie
diese Vektoren in der ersten Skizze und zeichnen Sie sie für beide Ebenen in die
zweite Skizze ein.
• Wie könnte man mithilfe dieser Vektoren den Schnittwinkel der Ebenen festlegen?
Stellen Sie eine Formel auf!
• Wo taucht der Winkel, für den Sie eine Formel aufgestellt haben, nochmals auf?
Zeichnen Sie auch diesen ein.
Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
• Zeichnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden ein.
• Welche Vektoren legen die Richtungen einer Ebene und einer Geraden eindeutig
fest? Zeichnen Sie auch diese ein.
• Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel zwischen diesen Vektoren
und dem Schnittwinkel der Ebene und der Geraden? Stellen Sie eine Formel für
den Schnittwinkel auf!
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F. 2. 3  30
MA 12
Kopiervorlage
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Übungen: Schnittwinkel zwischen Ebenen und zwischen
Ebenen und Geraden
1. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den folgenden Ebenen.
a) E1: x1 − 3x 2=
+ 4x 3 12; E 2: 2x1=
+ 4x 2 3
 1
 1
  2
b) E1: x1 − x 2 − 3x=
x  −3  + s ⋅  −1 + t ⋅  0 
3 2; E 2: =
−2
0
2






2. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden.
 2
  3
a) E: x1 + x 3= 5; g: x=  0  + s ⋅  3 
1
7
 
 
1
 3
  1

b) E: =
x  1 + r ⋅  0  + s ⋅  1  ; g: =
x
 −2 
 2
1
 1
1
 8 + t ⋅  5
 −3 
1
 
 
3. Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Schnittwinkel zwischen der
Geraden g und der Ebene E 30° beträgt. Gibt es mehrere Möglichkeiten?
1
0
a
 1
  1
E: x=  1  + r ⋅  0  + s ⋅  4  ; g: x=  1 + t ⋅  0 
−1
5
0
3
1
 
 
 


 
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Lösungen zu MA 12
F. 2. 3  31
MA 13
Kopiervorlage

1. a) Normalenvektoren von E1 und=
E2 : n 1
Schnittwinkel:
=
cos α
 1  2 
 −3  ⋅  4 
 4  0
   
=
 1
 2
 −3  ⋅  4 
 4
 0
 
 
| −10 |
=
 1 
=
−3  ; n 2
 4
 
10
26 ⋅ 20
26 ⋅ 20
 2
 4
 0
 
⇒ α ≈ 63,99°
  1
b) Normalenvektor von E1: n1 =  −1
 −3 

Der Normalenvektor n 2 von E2 wird mithilfe eines LGS ermittelt.
Es muss gelten:
 1  n1 
 −1=
⋅n 
 2  n2 
   3
 1  n1 
0 und  0=
 ⋅ n2  0
  
 −2   n 3 
I n1 − n 2 + 2n 3 =
0
II
n1 − 2n 3 =
0
t =1
 2

Es sei n 3 = t; aus II: n1 = 2t; aus I: n 2 = n1 + 2n 3 = 2t + 2t = 4t ⇒ n 2 =  4 
 1
Schnittwinkel:
=
cos α
 1  2 
 −1 ⋅  4 
 −3   1 
   
=
 1
 2
 −1 ⋅  4 
 −3 
1
 
 
| −5 |
=
5
11 ⋅ 21
11 ⋅ 21
⇒ α ≈ 70,79°
 1
  2
2. a) Normalenvektor von E: n =  0  ; Richtungsvektor von g: u =  3 
1
7
Schnittwinkel:
=
sin α
1  2
 0 ⋅  3
1 7
   
=
1
 
 2
0 ⋅  3
1
7
 
 
9
2 ⋅ 62
⇒ α ≈ 53,92°
 1
b) Richtungsvektor von g: u =  5 
1

Der Normalenvektor n von E wird mithilfe eines LGS ermittelt.
Es muss gelten:
 1   n1 
⋅n 
 0=
 2  n2 
   3
 3   n1 
0 und  1  =
⋅ n2  0
 
1  n3 
I
n1 + 2n 3 =
0
II 3n1 + n 2 + n 3 =
0
t =1
  −2 
Es sei n 3 = t; aus I: n1 = −2t; aus II: n 2 =−3n1 − n 3 =6t − t =5t ⇒ n = 5 
 1
Schnittwinkel:
=
sin α
 −2   1 
 5 ⋅  5
 1  1 
   
=
 −2 
1
 5 ⋅  5
 1
1
 
 
24
30 ⋅ 27
⇒ α ≈ 57, 49°
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F. 2. 3  32
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
 a
3. Richtungsvektor von g: u =  0 
1

Der Normalenvektor n von E wird mithilfe eines LGS ermittelt.
Es muss gelten:
 1   n1 
⋅n 
 0 =
 0  n2 
   3
 0   n1 
0 und  4 =
⋅ n2  0
 
 3  n3 
I
n1 = 0
II 4n 2 + 3n 3 =
0
t =1
  0
Es sei n 3 = 4t; aus II: n 2 =
−3t ⇒ n =
 −3 
 4
 
Berechnung des Parameters a:
 
n ⋅ u 
sin 30° =  
n⋅u
 
 
sin 30° ⋅n⋅u=n ⋅ u
 0
a
sin 30° ⋅  −3  ⋅ =
0

 4
1
 0 a 
 −3  ⋅  0 
 4 1
   
(sin=
30° 0,5)
0,5 ⋅ 5 ⋅ a 2 + 1 =
4
8
a2 +1 =
5
a 2 + 1 =64
25
a2 =
39
25
a = ± 39
25
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Anwendungsaufgaben
F. 2. 3  33
MA 14
Kopiervorlage
In Anwendungsaufgaben spielen oft nicht die eigentlichen Schnittwinkel z. B. von
zwei Ebenen eine Rolle, sondern andere Winkel, die sich jedoch mithilfe der Schnittwinkel berechnen lassen.
1. Die Skizze zeigt zwei aneinandergrenzende
Wände eines Gebäudes, die in einem stumpfen Winkel zueinander stehen. Die Wände
liegen in den Ebenen E1 und E2 mit dem
Schnittwinkel α.
a) Wie können der Innen- und der Außenwinkel berechnet werden?
Verbinden Sie!
b) Die zwei Wände liegen in den Ebenen E1: 4x1 + x2 = 6 und E2: –x1 – 5x2 = 8
und bilden einen stumpfen Winkel. Berechnen Sie den Schnittwinkel der
Ebenen sowie den Innen- und den Außenwinkel der Wände.
2. Eine symmetrische Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat Grundkanten der
Länge 2 und die Höhe h.
a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte in einem geeigneten Koordinatensystem an.
b) Welchen Winkel schließen die Ebenen ein, in denen benachbarte Seitenflächen
der Pyramide mit Höhe 2 liegen? Wie lässt sich daraus der Winkel berechnen,
den die beiden Seitenflächen einschließen?
c) Geben Sie eine Formel in Abhängigkeit der Höhe h an, mit der sich der Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen benachbarte Seitenflächen der Pyramide
mit Höhe h liegen, berechnen lässt. Gegen welchen Wert geht dieser Winkel für
h → 0 bzw. h → ∞? Was bedeutet dieses Ergebnis jeweils für die Grenzwerte
der Winkel zwischen zwei Seitenflächen? Machen Sie sich das Ergebnis auch
anschaulich klar.
d) Für welchen Wert von h beträgt der Winkel zwischen zwei Seitenflächen 120°?
3. Auf einem Dach, das in der Ebene E: 2x1 – x2 + x3 = 4 liegt, steht eine senkrecht
zur x1x2-Ebene errichtete Antenne mit der Spitze S(1 | 0 | 4).
a) Welchen Winkel bilden die Dachebene und die Antenne?
b) Die Sonne wirft einen Schatten der Antenne auf die Dachfläche. Wie muss die
Sonne stehen, damit der Winkel zwischen der Antenne und ihrem Schatten
minimal wird? Wie groß ist der Winkel dann?
 0
c) Die Antennenspitze wird von der Sonne aus der Richtung  1 beschienen.
 −1
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Antenne und ihrem Schatten.
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F. 2. 3  34
MA 15
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
Lösungen zu MA 14
Kopiervorlage
1. a) Skizze:
α: Schnittwinkel der Ebenen, in denen die Mauern liegen

b) Normalenvektoren von E1 und=
E2 : n 1
Schnittwinkel:
=
cos α
 4   −1
 1  ⋅  −5 
 0  0
   
=
 4
 −1
 1  ⋅  −5 
0
 0
 
 
| −9 |
=
17 ⋅ 26
 4 
=
1; n 2
0
 
9
17 ⋅ 26
 −1
 −5 
 0
 
⇒ α ≈ 64,65°
Außenwinkel: β ≈ 180° + 64,65
=
° 244,65°
Innenwinkel: γ ≈ 180° − 64,65
=
° 115,35°
2. a) Legt man den Mittelpunkt der Grundfläche
in den Ursprung und die Seiten parallel zu
den Achsen, so haben die Eckpunkte die
Koordinaten A(1 | 1 | 0), B(–1 | 1 | 0),
C(–1 | –1 | 0), D(1 | –1 | 0) und S(0 | 0 | h).
b) Ebene E1, in der die linke Seitenfläche liegt,
die also durch die Punkte C, D und S festgelegt wird:
1
1
  −1
E1: x=  −1 + r ⋅  0  + s ⋅  1 
 0
0
h

Der Normalenvektor n1 von E1 wird mithilfe eines LGS ermittelt.
Es muss gelten:
 1   n1 
⋅n 
 0 =
0  n2 
   3
 1   n1 
0 und  1 =
⋅ n2  0
 
 h   n3 
I
n1 = 0
II n1 + n 2 + hn 3 =
0
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Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
t =1
  0
Es sei n 3 = t; aus II: n 2 =
 −h 
− n1 − hn 3 =
− ht ⇒ n1 =
 
 1
Ebene E2, in der die vordere Seitenfläche liegt, die also durch die Punkte D, A
und S festgelegt wird:
0
 −1
  1
E 2 : x=  −1 + r ⋅  1  + s ⋅  1
 0
0
 h

Der Normalenvektor n 2 von E2 wird mithilfe eines LGS ermittelt.
Es muss gelten:
 −1  n1 
 0   n1 
 1=
⋅n 
   2
 0  n3 
0 und  1=
 ⋅ n2  0
  
 h   n3 
I
n2 = 0
II − n1 + n 2 + hn 3 =
0
t =1
h

Es sei n 3 = t; aus II: n1 =n 2 + hn 3 =ht ⇒ n 2 = 0 
1
 
Für h = 2 erhält man als Schnittwinkel der beiden Ebenen:
 0  2
 −2  ⋅  0 
 1  1
   
=
 0
 2
 −2  ⋅  0 
 1
 1
 
 
cos α=
1 =
5⋅ 5
1
5
⇒ α ≈ 78, 46°
Somit schließen zwei Seitenflächen der Pyramide mit Höhe h = 2 einen Winkel
von etwa 180° – 78,46° = 101,54° ein.
c) Für beliebiges h erhält man:
 0  h 
 −h  ⋅  0
 1  1
   
=
 0
h
 −h  ⋅  0
 1
 1
 
 
=
cos α
1
=
h2 + 1 ⋅ h2 + 1
1
h2 + 1
Es gilt:
• h → 0 ⇒ cos α → 1 ⇒ α → 0°
In diesem Grenzfall nähert sich der Winkel, den benachbarte Seitenflächen
bilden, dem Winkel von 180° an.
• h → ∞ ⇒ cos α → 0 ⇒ α → 90°
Je höher die Pyramide wird, desto mehr nähert sich der Winkel, den benachbarte Seitenflächen bilden, dem Winkel von 90° an.
d) Schließen zwei Seitenflächen einen Winkel von 120° ein, so beträgt der
Schnittwinkel der beiden Ebenen E1 und E2 α = 60°.
cos 60° = 21
h +1
1
2
=
1
h 2 +1
h 2 +1 =2
h =1
Bei der Höhe 1 beträgt der Winkel zwischen zwei Seitenflächen 120°.
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F. 2. 3  35
F. 2. 3  36
Lagebeziehungen: Von Winkeln zwischen Vektoren zu Schnittwinkeln
  2
3. a) Normalenvektor der Ebene E: n =  −1
 1
 0
Richtungsvektor der Geraden g durch die Antenne: u =  0 
1
Schnittwinkel:
sin=
α
 2  0
 −1 ⋅  0 
 1  1 
   
=
 2
 0
 −1 ⋅  0 
 1
1
 
 
1
6
⇒ α ≈ 24,09°
b) Die Sonne muss in der Ebene liegen, die senkrecht auf E steht und die Antenne
enthält. Also in:
0
 2
 1
E: x=  0  + r ⋅  0  + s ⋅  −1
4
1
1
 
 


Begründung: Würde man die Antenne in die Ebene E klappen, dann hätte sie
den kleinsten Winkel zu überstreichen, wenn man sie auf ihre Projektion klappt.
Entsprechend müsste der Schatten genau auf die Projektion der Antenne auf
die Ebene fallen. Daher muss die Ebene, in der die Sonne liegt, senkrecht auf E
stehen und die Antenne enthalten.
Der Winkel entspricht dann dem Winkel zwischen Antenne und Ebene, also
etwa 24,09°.
c) Fußpunkt F der Antenne:
0
 1
g: x=  0  + s ⋅  0  in E:
4
1
 
 
2 − 0 + (4 + s) =
4
s=
−2 ⇒ F(1 | 0 | 2)
Schattenpunkt S' der Antennenspitze S(1 | 0 | 4):
 0
 1
h: x=  0  + s ⋅  1 in E:
−1
4
 


2 − s + (4 − s) =
4
s 1 ⇒ S'(1 | 1 | 3)
=


Winkel zwischen den Vektoren FS' und FS :
cos α=
 0  0
1 ⋅  0
1 1
   
0
 0
1 ⋅ 0
1
1
 
 
=
1
2
⇒ α= 45°
Der Winkel zwischen der Antenne und ihrem Schatten beträgt 45°.
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