Vorlesung 6b Von der Binomial

Vorlesung 6b
Von der Binomial-zur
Normalverteilung
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Binomialverteilungen mit großem n und großer Varianz npq
sehen “glockenförmig” aus,
wenn man sie geeignet “ins Bild holt”.
2
0.03
0.000
0.010
0.020
n = 1000, p = 0.3
0
200
400
600
800
1000
0.030
n = 1000, p = 0.3
0.000
0.010
0.020
270 ≤ k ≤ 330
270
280
290
300
310
320
330
0.000
0.004
0.008
0.012
n = 4000, p = 0.3
0
1000
2000
3000
4000
0.01
n = 4000, p = 0.3
0.000
0.005
0.010
1140 ≤ k ≤ 1260
1140
1160
1180
1200
1220
1240
1260
Bezeichne
1 −x2/2
ϕ(x) := √ e
2π
die Dichte der Standard-Normalverteilung.
Warum und in welchem Sinn lassen sich Binomialgewichte
durch die Normaldichte annähern?
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Für n ∈ N und p ∈ (0, 1) sei
µ := np,
σ :=
√
npq.
Für die Binomialgewichte schreiben wir kurz
n k n−k
p q
.
w(k) :=
k
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Es stellt sich heraus (eine Heuristik dafür folgt gleich):
Für großes σ
und k nicht allzu weit vom Zentrum np ist
1 k − µ
w(k) ≈ ϕ
σ
σ
Zur Erinnerung:
1 x − µ
ϕ
dx
σ
σ
ist die Dichte der Normalverteilung
mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2.
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1 k − µ
w(k) ≈ ϕ
σ
σ
k−µ
Mit zk :=
wird dies zu:
σ
w(k) ≈ (zk − zk−1)ϕ(zk ).
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Daraus bekommt man für Binom(n, p)-verteiltes K
√
mit großem σ = npq:
K−µ
≤ b}
P{a ≤
σ
X
=
w(k)
k:a≤zk ≤b
≈
X
(zk − zk−1)ϕ(zk )
k:a≤zk ≤b
≈
Z b
a
ϕ(z) dz.
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Fazit:
√
Für großes σ = npq ist die Standardisierung
einer binomialverteilten Zufallsvariablen K,
K − np
K −µ
= √
,
σ
npq
approximativ so verteilt
wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z:
K−µ
∈ [a, b] ≈ P{Z ∈ [a, b]}.
P
σ
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Abraham de Moivre
1667-1754
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Jetzt die versprochene Heuristik für
1 k − µ
n k n−k
p q
≈ ϕ
w(k) =
:
k
σ
σ
Idee: Betrachte die “sukzessiven Quotienten”
n−k+1 p
w(k)
=
,
w(k − 1)
k
q
aufmultipliziert beginnend vom “Zentrum”
ℓ := ⌊(n + 1)p⌋.
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Ein paar Zeilen Rechnung (vgl. Skript Wak S. 80) ergeben für
j = 1, 2, , . . . mit j ≪ n:
w(ℓ + j) j
ln
≈ − 2.
w(ℓ + j − 1)
σ
Aufsummiert zwischen j = 1 und j = k − ℓ :
1 (k − ℓ)2
1 k − µ 2
w(k) ≈− 2
≈−
ln
w(ℓ)
σ
2
2
σ
√
1 k − µ
1 k − µ 2
= w(ℓ)σ 2π ϕ
w(k) ≈ w(ℓ) exp −
2
σ
σ
σ
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√
1 k − µ
w(k) ≈ w(ℓ) σ 2π ϕ
σ
σ
Summation über k:
√
1 ≈ w(ℓ)σ 2π
1 k − µ
w(k) ≈ ϕ
σ
σ
So weit die Heuristik.
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Den folgenden “lokalen Grenzwertsatz” bekommt man
mit der (erstmals von de Moivre entdeckten) Stirling-Formel
(vgl. Skript Wa S. 84-85, auf S. 82 ff findet sich dort
auch ein Beweis der Stirling-Formel).
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Satz
Sei p ∈ (0, 1) fest, und kn eine Folge natürlicher Zahlen mit
2
|kn − np|
3
|kn − np| = o(n )
= 0).
(d.h. n→∞
lim
2
n3
Dann gilt für die Binomialgewichte b(n, p; kn) mit n → ∞
2
−np)
1
1
− (kn2npq
√
.
e
b(n, p; kn) ∼ √
npq 2π
bn ∼ an,
dass die Folge der Quotienten bn/an gegen Eins konvergiert.
Dabei bedeutet
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Aus dem lokalen Grenzwertsatz ergibt sich durch Summieren
und Kontrollieren der Fehlerterme (vgl. Skript Wa S. 86) ein
1)
Globaler Grenzwertsatz, von de Moivre (1733, für p = 2
und Laplace (1810, für p allgemein))
Für n = 1, 2, . . . sei Kn eine binomial(n, p)-verteilte
−np
Zufallsvariable, und Kn∗ := K√nnpq
ihre Standardisierung.
Dann gilt für alle a < b ∈ R:
∗
lim
P
({K
n ∈ [a, b]}) =
n→∞
Zb
a
ϕ(z)dz,
1 − z2
mit ϕ(z) = √ e 2 .
2π
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Man sagt dafür auch kurz:
Die Folge der Zufallsvariablen Kn∗
konvergiert in Verteilung
gegen eine standard-normalverteilte Zufallsvariable Z.
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