Musterlösung Probeklausur Physik I, FS 2008

Musterlösung Probeklausur Physik I, FS 2008
May 27, 2008
1
Schaukel
Es soll betont werden, dass wir nur Rotationen der Unterschenkel am Knie betrachten.
Vereinfacht kann man ansetzen, dass es sich um ein gekoppeltes Pendel der folgenden Art
handelt:
wobei S den Schwerpunkt der beiden Massen m1 und m2 bezeichnet. Dabei sei m1 m2 .
Wird das untere Pendel (Beine) genügend schnell ausgelenkt und anschliessend mit θ2 6= 0
festgehalten ist der Schwerpunkt S, welcher auf l2 liegt, nicht mehr im Lot. Dies ist
möglich, weil l1 l2 und m1 m2 dazu führt, dass über die Masse m2 nicht unmittelbar ein
Ausgleich des Schwerpunkts ergibt. Das q
Schwerefeld der Erde mit der Beschleunigung
g bringt das gesamte System mit ωS = lg0 zum Schwingen, wobei l0 die Länge vom
Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt bezeichnet. Durch geschicktes ändern von θ2 kann
die Amplitude gezielt erhöht (oder auch erniedrigt) werden.
Ohne Schwerefeld wirkt keine rücktreibende Kraft und somit entsteht auch keine
Schwingung. Es gibt wegen der Impulserhaltung lediglich eine Rotation des Systems
um den stabilen Schwerpunkt S 0 des Gesamtsystems (Schaukel und Person), solange θ2
geändert wird.
Für eine genauere Behandlung des Problems muss man zusätzlich den Drehimpuls
des Oberkörpers und der Beine betrachten, welche beide im Prinzip keine Massenpunkte,
sondern starre, ausgedehnte Körper sind.
1
2
Drehpendel
Es wirken 3 Kräfte auf die Masse m, deren Summe im stationären Fall (θ = const.) null
ist:
FZ + FG + FS = 0
(1)
Die Kräft sind gegeben durch:
|FZ | = mω 2 r,
r = l sin θ
(2)
|FG | = mg
(3)
wobei FG nach unten und FZ horizontal nach aussen zeigt. Die Komponenten von FZ
und FG parallel zum Stab heben sich mit FS auf. Die senkrechten Komponenten sind
entgegengesetzt und heben sich auf für θ = const.:
FZ⊥ = mω 2 l sin θ cos θ
(4)
FG⊥
(5)
g
= mg sin θ =⇒ l cos θ = 2
ω
Die Höhe h ist gegeben durch h = l cos θ. Einsetzen ergibt:
h=
g
ω2
(6)
Damit ist h nicht von l abhängig, wzbw.
3
Trapezkünstler
Die Winkelgeschwindigkeit muss hoch genug sein, damit sich der Trapezkünstler innerhalb des vorgebenen Zeitraums von 1.87 s viermal um seine Achse drehen kann.
Um die Winkelgeschwindigkeit ω2 soweit wie möglich zu steigern, zieht der Artist die
Arme und Beine eng an den Körper. Während des freien Flugs wirkt kein äusseres
Drehmoment auf den Artisten. Sein Drehimpuls bezüglich des Schwerpunkts ist deshalb
konstant. Aufgrund der Drehimpulserhaltung ergibt sich eine Beziehung zwischen den
Winkelgeschwindigkeiten am Anfang und während der gehockten Phase:
ω1 J1 = ω2 J2 =⇒ ω1 =
J2
ω2
J1
(7)
Das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindigkeiten ist bestimmt durch das Verhältnis
der zu durchlaufenden Drehwinkel und der hierfür zur Verfgung stehenden Zeiten. Es
gilt: ωi = θtii . Zu Beginn und am Ende des vierfachen Saltos fhrt der Artist zwei Vierteldrehungen, somit θ1 = 0.5 × 2π, in gestreckter Haltung aus. Dazu benötigt er die Zeit
t1 . In gehockter Haltung durchläuft er die restlichen θ2 = 3.5 × 2π in der Zeit t2 . Damit
erhalten wir als Ausdruck fr die gesamte Flugzeit des Artisten:
t = t1 + t2 =
θ1
θ2
+
ω1 ω2
(8)
Einsetzen von ω2 ergibt:
θ1 J1
θ2
1
t=
+
=
ω2 J2 ω2
ω2
θ1 J 1
+ θ2
J2
(9)
Daraus ergibt sich:
ω=
1
t
θ1 J1
+ θ2
J2
Dieser Wert entspricht 3.23 Umdrehungen pro Sekunde.
2
(10)
4
Schallwellen
Beweglicher Sender, stehender Empfänger:
f± =
f0
1 ± vc
(11)
wobei ’+’ für einen sich entfernenden und ’-’ für ein sich annähernder Sender steht. Die
Änderung k = (f− − f+ )/f0 sei k = 0.05.
1+
f−
=
f+
1−
v
c
v
c
(12)
Da k 1 kann man schreiben: k = 2(f− − f0 )/f0 sowie k = 2(f0 − f+ )/f0 Daraus ergibt
sich das Verhältnis
f−
f+
2+k
2−k
v
=⇒ k = 2
c
=⇒ v = k/2c = 8.5 m/s = 30.6 km/h
=
(13)
(14)
(15)
Die ungenäherte, analytische Lösung ergibt erwartungsgemäss nur geringfügige Abweichungen für v.
Damit man das Auto erst hört, wenn es schon da ist, bedingt v ≥ c. Natürlich
erreichen nur Flugzeuge solche Geschwindigkeiten. Für v = c würde man einen lauten
Knall zur Zeit der Ankunft hören, vorher ist es still. Beim wegfahren mit c hört man den
Schall mit halber Frequenz, und die Intensität nimmt kontinuierlich ab. Breitet sich der
Schall in 3 Dimensionen aus, nimmt die Schallintensiät ab mit 1/r2 , wenn r der Abstand
zum Fahrzeug bezeichnet.
5
Kondensator
(a) Die elektrischen Felder in dem Dielektrikum (ED ) und in dem Vakuum (EV ) sind
jeweils
Q
0 κA
Q
EV =
0 A
ED =
(16)
(17)
(18)
Die Spannung zwischen den Kondensatorplatten ist
Z d
U=
Z d/2
= E(x)dx =
Z d
EV dx +
0
0
ED dx
(19)
d/2
1
Q d
(1 + )
0 A 2
κ
Q
1 d
1 −1
C=
⇒C={
(1 + )}
U
0 A 2
κ
= 14.85 pF.
=
(20)
(21)
(22)
(b)
w=
1 Q2
2 C
1
Q = V C ⇒ w = CV 2
2
= 1.86 × 10−8 J.
3
(23)
(24)
(25)
(c) Wenn man die Platten auseinanderzieht, bleibt Q erhalten, aber die Kapazität
ändert sich, und deshalb auch die gespeicherte Energie w. Wie bezeichnen den
Abstand zwischen der unteren Platte und dem Dielektrikum als die Variable s. Aus
(a) und (b) folgt:
1
1 d
=
(
+ s)
C(s)
0 A 2κ
1 Q2
w(s) =
2 C(s)
dw
dw d( C1 )
dw = F ds ⇒ F =
= 1
ds
( C ) ds
=
(26)
(27)
(28)
Q2 1
2 0 A
(29)
(30)
Mit Q = C(s = d/2)V finden wir F = 3.11 × 10−6 N.
(d) Am Anfang befindet sich die Ladung Q0 = C(s = d/2)V an den Platten. Nachdem
die Schaltung geschlossen ist, ist die zeitabhängige Ladung gegeben durch
t
Q(t) = Q0 e− RC
Q0 − t
e RC
⇒ i(t) = Q̇(t) =
RC
(31)
(32)
Wo C = C(s = d/2 + ∆s). Die Wärmeleistung ist:
P (t) = iUR = i2 R =
Q20 − 2t
e RC
RC 2
(33)
− 2.77t µs
= 17.9 mW e
6
(34)
Strom und Magnetfeld
(a) Die gesamte Kraft
Man kann sich die gebeugte Schleife als zwei rechtförmige Schleifen abef und bcde
vorstellen, durch die jeweils der Strom I fliesst. Da die beiden Ströme durch eb dann
gegenseitig gerichtet sind, fliesst kein Strom durch eb. Die Kraft auf die Schleifen
abef und bcde ist jeweils Null, da die Richtungen der Kräfte auf gegenüberliegende
Seiten der Schleifen etngegengesetzt sind und deren Beträge gleich sind. Es folgt,
dass die gesamte Kraft auf die Schleife Null ist.
(b) Das magnetische Dipolmoment p~
Man stelle sich die Schleife wieder als zwei Schleifen abef und bcde vor. Das gesamte
magnetische Moment p~ ist die Summe von den Dipolmomenten p~1 und p~2 der beiden
Schleifen.
p~ = p~1 + p~2 = sLI ẑ + hLI (−ŷ sin α + ẑ cos α)
(35)
LI((s + h cos α) ẑ − h sin α ŷ)
(36)
2
2
= 4.92 Am ẑ − 1.8 Am ŷ.
~
(c) Das Drehmoment D
Das Drehmoment ist gegeben durch
4
(37)
~ = p~ × B
~
D


(38)


0
0

 

= LI  −h sin α  ×  −0.6  T
0.4
s + h cos α
(39)


(s + h cos α)0.6 − h(sin α) 0.4


0
= LI 
T
0

(40)

2.23


=  0  A T m2 .
0
(41)
(d) Das Gleichgewicht p~
Das Drehmoment wegen der Gravitationskraft ist gegeben durch:
2
2
~ G = gρ(2 s + Ls − 2 h cos α − Lh cos α)x̂
D
2
2
(42)
Im Gleichgewicht ist die Summe der magnetischen und gravitationalen Drehmomente gleich Null:
⇒ρ=
~ G = −D
~M
D
LI((s + h cos α)0.6 T − h sin α0.4 T )
2
2
g(2 s2 + Ls − 2 h2 cos α − Lh cos α)
g
= 15.9
.
cm
5
(43)
(44)
(45)