GDE 2 - Universität der Bundeswehr München

Universität der Bundeswehr München
Fakultät für Elektrotechnik
und Informationstechnik
Skriptum
in Ergänzung zur Vorlesung
Grundlagen der Elektrotechnik II
K. Landes
Alle Rechte vorbehalten
Herstellung des Skriptums: Andreas Kraft, Björn Marlow, Rainer Graf
Grundlagen der Elektrotechnik II
Inhaltsverzeichnis
Wechselstromlehre
1 Reelle Behandlung sinusförmiger Vorgänge ____________ 1
1.1 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung ____________________ 1
1.2 Darstellung sinusförmiger Wechselspannungen und Wechselströme _ 2
1.3 Lineare Einzelschaltelemente R, L, C __________________________ 3
1.4 Kombination der Schaltelemente R, L, C _______________________ 5
1.5 Mittelwerte und Leistungen __________________________________ 8
2 Komplexe Behandlung sinusförmiger Vorgänge ________ 16
2.1 Einführung der komplexen Rechnung_________________________ 16
2.2 Anwendung der komplexen Rechnung in der Wechselstromlehre ___ 18
2.3 Komplexe Eingangswiderstände Z von Schaltungen,
die aus R, L und C aufgebaut sind____________________________ 25
2.4 Behandlung linearer Netzwerke in der Wechselstromlehre
mittels komplexer Rechnung________________________________ 27
2.5 Komplexe Leistungsberechnung_____________________________ 31
2.6 Schaltungsbeispiele (Schwingkreise, Resonanzverhalten u.a.) _____ 34
2.7 Anpassung bei Wechselstrom_______________________________ 44
2.8 Ersatzschaltungen für Lineare Netzwerke______________________ 48
3 Ortskurven _______________________________________ 49
3.1 Begriffsbestimmung ______________________________________ 49
3.2 Einführendes Beispiel _____________________________________ 50
3.3 Diagramme für Transformation von Z in Y (Kreisdiagramme) ______ 54
3.4 Anwendung der Transformationsdiagramme ___________________ 58
4 Drehstrom ________________________________________ 67
4.1 Grundbegriffe ___________________________________________ 67
4.2 Generator- und Verbraucherschaltungen ______________________ 73
5 Transformator_____________________________________ 79
Grundlagen der Elektrotechnik II
1. Sinusförmige Vorgänge in reeller Darstellung
1.1 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannungen (Generator,
Dynamo)
Eine Spule mit der Fläche A und der Windungszahl w wird mit konstanter
r
2π
Winkelgeschwindigkeit ω = 2π ⋅ f =
im homogenen Magnetfeld B gedreht.
T
B-Feld
ULS
Projektion von Fläche A
a
Uab
b
Fläche A
Fläche A
A
B − Feld
r r
Von Fläche A umschlossener Fluß Φ = A • B = A ⋅ B ⋅ cosα ( t ) ;
Verketteter Fluß Ψ = w ⋅ A ⋅ B ⋅ cos α ( t ) ;
r
Für den Winkel α gilt: α ( t ) = α0 + ω ⋅ t mit dem Winkel α0 zwischen den Vektoren A
r
und B zum Zeitpunkt t = 0;
Induzierte, zeitabhängige Spannung uab ( t ) =
dΨ
d cos α ( t )
= w⋅ A⋅ B⋅
;
dt
dt
d cos (ω ⋅ t + α 0 )
= w ⋅ A ⋅ B ⋅ ( − sin(ω ⋅ t + α 0 ) ⋅ ω );
dt
Mit − sin α = sin(α ± π ) ergibt sich für die induzierte Spannung uab ( t ) :
uab (t ) = w ⋅ A ⋅ B ⋅
wobei die Scheitelspannung




$
uab ( t ) = ω
w2
⋅A
B ⋅ sin ω ⋅ t + α0 ± π ; U = ω ⋅ w ⋅ A ⋅ B;
1⋅4
4⋅3
123

$
U
und die Phasenverschiebung


ϕu
ϕu = α0 ± π
definiert werden.
Mit dieser Definition lautet die induzierte Wechselspannung allgemein:
u12 ( t ) = u( t ) = U$ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ u )
1
Grundlagen der Elektrotechnik II
1.2
Darstellung sinusförmiger Wechselspannungen und -ströme
Wechselspannung:
u (t ) = Û sin(ω t + ϕ u )
Wechselstrom:
i (t ) = Î sin(ωt + ϕ i )
Begriffe:
u (t ), i (t )
Momentanwerte
Û,Î
Amplituden
Dimensionsloser Bogenwinkel
=
= Kreisfrequenz
Zeit
Periodendauer
„normale“ Frequenz
Phasenwinkel
Absolutwerte (abhängig vom gewählten
Zeitnullpunkt)
Differenzwerte (ϕ u − ϕ i )
ω = 2π f =
T
f
ϕu , ϕi
2π
T
Zeigerdarstellung
Sinuskurvendarstellung
Û
Û sin(ωt + 0)
Û
ϕu
0
2
ϕu
3
2
2π
Û sin(ωt + ϕ u )
Gestrichelte Kurve eilt der durchgezogenen voraus
2
Grundlagen der Elektrotechnik II
1.3. Lineare Schaltelemente R, L, C
a) Ohmscher Widerstand R
Einheit: Ω
i (t)
u(t)
R
Allg: u (t ) = R ⋅ i (t )
W’Spg: Û sin(ωt + ϕ u ) = R sin(ωt + ϕ i ) ⋅ Î
Aus trigonometr. Gleichungen: Û = R ⋅ Î ; ϕ u = ϕ i
d.h. Strom und Spannung sind in Phase
ϕ ui = ϕ u − ϕ i = 0
b) Selbstinduktion L:
Einheit: Henry = Ω s
Blindelement, da im Mittel keine Leistung umgesetzt wird.
i (t)
u(t)
L
Allg:
Hier:
u (t ) = L
di (t )
dt
Û sin(ω t + ϕ u ) = L
dÎ sin(ω t + ϕ i )
dt
π
⇒ LÎ cos(ω t + ϕ i ) ⋅ ω = ωLÎ sin(ω t + ϕ i + )
2
Aus trigonometrischer Gleichung:
Û = ωL Î und ϕ u = ϕ i +
π
2
Spannung (mit Phasenwinkel ϕ u ) eilt Strom um
„reininduktives Verhalten“
ϕ ui = +
3
π
2
π
2
voraus
Grundlagen der Elektrotechnik II
c) Kapazität C:
Einheit: Farad =
s
Ω
Blindelement, da im Mittel keine Leistung umgesetzt wird.
i (t)
u(t)
C
Allg:
q(t ) = C ⋅ u (t )
d
d
q (t ) = C u (t )
dt
dt
d (sin(ω t + ϕ u ))
π

== ωCUˆ sin  ω t + ϕ u + 
Î sin(ω t + ϕ i ) = CÛ
2
dt

i (t ) =
Aus trigonometrischer Gleichung:
Î = ωCÛ und ϕ i = ϕ u +
π
2
Strom mit Phasenwinkel ϕ ui eilt Spg. um
„reinkapazitives Verhalten“
ϕ ui = −
π
π
2
voraus
2
Für Phasendifferenz ϕ ui an Einzelelement ( R, L, C ) gilt: −
4
π
2
≤ ϕ ui ≤ +
π
2
Grundlagen der Elektrotechnik II
1.4. Kombination von Schaltelementen R, L, C
Bsp: R und L in Serie:
i (t)
R
L
uR(t)
uL(t)
u(t)
Serie:
u (t ) = u R (t ) + u L (t )
i (t ) = i R (t ) = i L (t )
di (t )
u (t ) = Ri
(t ) + L
{
dt3
12
u R (t )
ul ( t )
Die Phasenlage einer Größe ( u (t ) oder i (t ) ) in der Schaltung ist frei wählbar
hier ist zweckmäßiger: ϕ i = 0 setzen
dÎ sin(ω t + ϕ/ i=0 )
dt
Mit sin(α + β ) = sin α cos β + cosα sin β gilt:
Û sin(ω t + ϕ u ) = RÎ sin(ω t + ϕ/ i=0 ) + L
Û sin ω t cos ϕ u + Û cos ω t sin ϕ u = RÎ sin ω t + ωLÎ cos ω t
mit: a sin x + b cos x = A sin x + B cos x ⇒ a = A und b = B ergibt sich:
5
Grundlagen der Elektrotechnik II
1.Û cos ϕ u = RÎ
2.Û sin ϕ u = ωLÎ
[
]
⇒ (1.2 + 2.2 ) = Û 2 = R 2 + ω 2 L2 Î 2 ⇒ Û = R 2 + (ω L) 2 Î = Z ⋅ Î
= f ( R, ω , L)
Scheinwiderstand Z
 2.  Û sin ϕ u ωLÎ
⇒ =
=
RÎ
 1.  Û cos ϕ u
ωL
tan ϕ u =
≥0
R
(Amplitudenverknüpfung)
hier: ϕ ui = ϕ u − ϕ i = ϕ u
damit gilt: tan ϕ u = tan ϕ ui =
ωL
R
 ωL  π
0 < ϕ ui = arctan
 ≤ (induktives Verhalten)
 R  2
64Momentanwe
4
474rte!
44
8
Aus: u (t ) = u R (t ) + u L (t )
Momentanwerte algebraisch addieren
Û sin(ω t + ϕ u ) = RÎ sin(ω t ) + ωLÎ cos(ω t )
Amplituden vektoriell addieren
am einfachen Beispiel gezeigt:
R → ZR =
ÛR
= R → ϕ ui = 0
ÎR
L → ZL =
π
ÛL
= ω L → ϕ ui =
2
ÎL
C → ZC =
ÛC
π
1
=
→ ϕ ui = −
ÎC ω C
2
6
Grundlagen der Elektrotechnik II
Beispiel:
uR(t)
uL(t)
R
L
i RL(t)
i(t)
C
iC(t)
uC(t)
u(t) = U sin ( t + 0)
Geg: R, L, C, u (t ) = Uˆ sin (ω t + 0)
Ges: i (t ) = Î sin(ωt + ϕ i )
Skizze des Lösungsweges:
i (t ) = iC (t ) + i RL (t )
π
sofort: iC (t ) = Ûω C sin(ω t + ) ;
2
Ansatz: iRL (t ) = Î RL sin(ω t + ϕ RL )
Mit u (t ) = RÎ sin(ωt + ϕ ) .
R
RL
RL
Aus
π
u (t ) = u L (t ) + u R (t ) = ω LÎ RL sin(ωt + ϕ RL + ) + RÎ RL sin(ω t + ϕ RL ) = Û sin(ωt + 0) .
2
Mit Additionstheoremen und dann Vergleich der cos(ωt ) und der
sin(ωt ) Glieder:
2 Gleichungen: ⇒ Î RL und ϕ RL
Zum Schluß: i (t ) = i RL (t ) + iC (t ) . Mit Ansatz: i (t ) = sin(ωt + ϕ i )
Additionstheorem
2 Gleichungen
7
Î und ϕ i .
Grundlagen der Elektrotechnik II
Allgemeiner Fall:
i (t )
R, L, C
u (t )
Netzwerk
Gegeben: u (t ) d .h. Uˆ und ϕ u
Uˆ
Gesucht: i (t ) d .h. Iˆ und ϕ i b.z.w. Z = und ϕ ui
Iˆ
+ Maschen- und Knotenpunktsgleichungen für Momentanwerte
+ Additionstheoreme
1 Trigon. Gleichung= 2 Algebraische Gleichungen
2 Unbekannte
+ Beliebig rechenaufwendig
1.5. Mittelwerte und Leistungen
a) Linearer Mittelwert
Mittelwert über Zeitintervall TB:
T
1 B
< U >=
u (t )dt
TB ∫0
1
< I >=
TB
TB
∫ i(t )dt
0
bei Wechselspannung:
< u >=
t 2 =T
1
T
∫ Û sin(ωt + ϕ
u
)dt
Perioden − t1 = 0
dauer
mit Substitution: α = ω t , α1 = ω t1 = 0, α 2 = ω t 2 = ω T = 2π
⇒< u >=
1
T
2π
1
∫ω
Û sin(α + ϕ u )dα =
0
1Û
Tω
2π
∫ sin(α + ϕ
u
) dα = 0
0
d.h. für Mittelwerte sin -förmiger Wechselspannungen b.z.w.
Wechselströme gilt:
< u >= 0
< i >= 0
8
Grundlagen der Elektrotechnik II
b) Quadratischer Mittelwert
Mittelwert über Zeitintervall TB:
T
1 B 2
2
2
< u >= U eff =
u (t )dt
TB ∫0
< i 2 >= I eff2 =
1
TB
TB
∫i
2
(t )dt
0
bei Wechselspannung:
t =T
U
2
eff
2
1
1 2
Û
= Û 2 ∫ sin 2 (ω t + ϕ u )dt =
ωt =α ωT
T
t1 =0
mit sin 2 β =
α 2 =2π
∫
α
1 =0
1
ω
sin 2 (α + ϕ u )dα =
1 − cos(2 β )
2
→0
2π
Û 2 1 − cos(2α + 2ϕ u )
Û2
Û2
2
→
α
=
π
=
d
2π ∫0
2
2⋅2π
2
Effektivwerte bei sinusförmigen Wechselspannungen und Wechselströmen
→ U eff =
→ I eff =
Û
2
Î
2
c) Momentane Leistung:
i (t )
Generator
u (t )
Verbraucher
p (t )
Allg: p(t ) = u (t ) ⋅ i (t )
Mit ϕ i = 0 (erlaubt) bzw. ϕ u = ϕ ui + ϕ i = ϕ ui ergibt sich:
p (t ) = ÛÎ sin(ωt + ϕ u ) = ÛÎ sin(ωt + ϕ ui ) .
9
Grundlagen der Elektrotechnik II
d) Mittlere Leistung („Wirkleistung“)
1
PW = < p (t ) > =
TB
Allg.:
TB
T
Wechselspg: PW =
T
1 B
p
(
t
)
dt
=
u (t )i (t )dt
∫0
TB ∫0
T
ϕ i =0
1
1 

u
(
t
)
i
(
t
)
dt
=
Û
sin(
ω
t
+
ϕ
)
⋅
Î
sin(
ω
t
+
0 )  dt =

ui
∫
∫
T0
T 0

mit Substitution α = ω t
2π
ÛÎ
1
Û sin(α + ϕ ui ) ⋅ Î sin(α )dα =
=
∫
T 0
2π
ω
{
= 2π
=
ÛÎ
2π
2π
2π
∫ (sin α cos ϕ
0
ui
+ sin ϕ cos α )sin α dα =
ui
AddTheorem!
2π
2
cos
α cos ϕ ui dα + ∫ sin ϕ ui sin
α2
α dα =
123
14
43
∫ sin
0 1−cos 2α
2
0
1
= sin 2α
1444224443
=0
2π
=
ÛÎ cos ϕ ui
ÛÎ
cos ϕ ui ÛÎ cos ϕ ui
1 − cos 2αdα =
2π
=
∫
2π 2 0
2π
2
2
144244
3
2π
Wirkleistung:
Die im Mittel vom Verbraucher aufgenommene Leistung bei
der Phasenverschiebung ϕ ui zwischen Spannung und Strom
⇒ PW = < p (t ) > = U eff I eff cos ϕ ui ,
mit
Û
2
Î
2
= U eff I eff .
In die Wirkleistung gehen Effektivwerte und Phasenverschiebungen ein.
e) Blindleistung, Scheinleistung
Als Blindleistung wird definiert:
PB = U eff I eff sin ϕ u
Mit der Definition PS2 = PW2 + PB2 ergibt sich für die Scheinleistung PS:
PS = U eff I eff
Nur für den Spezialfall ϕ ui = 0 (keine Blindleistung) sind Scheinleistung PS und
Wirkleistung PW identisch: PS=PW.
10
Grundlagen der Elektrotechnik II
Anwendung auf Schaltungen
Ohmscher Widerstand R
An R gilt: ϕ ui = 0 damit ergibt sich:
PW = U eff I eff cos ϕ ui = U eff I eff
PB = U eff I eff sin ϕ ui = 0 ; und PS = PW
d.h.
U eff2
PWR = U eff I eff = I R =
{
R
>0
2
eff
; (mit U eff = RI eff )
I eff kann als leistungsäquivalenten Gleichstrom verstanden werden, der an
R dieselbe mittlere Leistung umsetzt, wie der Wechselstrom Î sin ωt .
Analog kann U eff als leistungsäquivalente Gleichspannung verstanden
werden, die an R die selbe mittlere Leistung umsetzt wie die
Wechselspannung Û sin ω t .
1
0
p (t )
PS
2π
i(t )
Î
11
3π
Grundlagen der Elektrotechnik II
Selbstinduktion L
Mit i L (t ) = Î sin(ωt ) und u L (t ) = Î ω
L sin(ωt +
{
ZL
Momentane Leistung:
π
2
), ϕ ui =
π
2
.
π

p ( t ) = u L ( t )iL ( t ) = ÎωL sin( ωt + )Î sin( ωt ) =
 L
2

1
>

= ωLÎ 2 sin( ωt ) cos( ωt ) = ωLÎ 2 sin( 2ωt )
0

2
<
pL (t ) > 0 ⇒ Leistung nach L
pL (t ) < 0 ⇒ Leistung aus L
1 2
1
Li (t ) = LÎ 2 sin 2 (ωt )
2
2
dWL (t ) 1 2
= LÎ 2 sin(ωt ) cos(ωt )ω = p L (t )
dt
2
vgl. magnet. Energie der Spule: WL (t ) =
1
u (t )
Uˆ
2π
0
3π
i(t )
Î
p (t )
PS
2π
1 1
ωLÎ 2 sin( 2ωt )dωt = 0 .
Tω ∫0 2
Keine Wirkleistung an L! Pulsierender Energiefluß in und aus der Spule.
Mittlere Leistung = Wirkleistung: PWL =
Scheinleistung
PS L = U eff I eff = ωLI eff2
Blindleistung
PBL = U eff I eff sin ϕ ui = U eff I eff = PS L
123
π
sin =1
2
12
Grundlagen der Elektrotechnik II
Kapazität C
π

Mit u C (t ) = Û sin(ωt ) und iC (t ) = Û ω
C sin  ω t + 
{
2

1
ZC
Momentane Leistung:

π

 pC (t ) = uC (t )iC (t ) = Û sin ωt ÛωC sin  ω t + 2  =



1
>

= Û 2ωC sin ω t cos ωt = ωCÛ 2 sin( 2ω t ) 0

2
<
pC (t ) > 0 ⇒ Leistung nach C
pC (t ) < 0 ⇒ Leistung aus C
vgl. El. Energie der Kapazität:
1 2
1

2
2
WC (t ) = 2 Cu (t ) = 2 CÛ sin ωt

 dWC (t ) = 1 CÛ 2 2 sin ωt cos ωt ⋅ ω = pC (t )
 dt
2
p (t )
PS
1
u (t )
Uˆ
2π
0
3π
i(t )
Î
2π
1 1
ωCÛ 2 sin( 2ωt )dωt = 0 .
∫
Tω 0 2
Keine Wirkleistung an C! Pulsierender Energiefluß
Mittlere Leistung = Wirkleistung: PWC =
1 2
I eff
ωC
sin ϕ ui = −U eff I eff = − PSC
123
Scheinleistung
PSC = U eff I eff =
Blindleistung
PBC = U eff I eff
 π
sin  − =−1
 2
13
Grundlagen der Elektrotechnik II
Kombinierte Schaltungen
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spg:
π

→ rein kapazitiv
ϕ ui = − 2


 π
− ≤ ϕ ui ≤ 0 → " kapazitiv − ohmisches" Verhalten
 2

ϕ ui = ϕ u − ϕ i ,

wobei
→ rein ohmisch
ϕ ui = 0

π
 π

− 2 ≤ ϕ ui ≤ + 2. 
π



→ "induktiv − ohmisches" Verhalten
0 ≤ ϕ ui ≤ 2



π
→ rein induktiv
ϕ ui =
2

mit i (t ) = Î sin(ωt + 0) und u (t ) = Û sin(ωt + ϕ u ) hier ϕ u = ϕ ui (wegen ϕ i = 0 )
und damit −
π
2
≤ ϕu ≤
π
2
.
Momentane Leistung:
β
α 8
67
}
p(t ) = u (t )i (t ) = Û sin(ωt + ϕ u ) ⋅ Î sin(ωt )
1
mit AddTheorem: sin α sin β = {cos(α − β ) − cos(α + β )}
2
1
⇒ p(t ) = ÛÎ {cos ϕ u − cos(2ωt + ϕ u )} = U eff I eff {cos ϕ u − cos(2ωt + ϕ u )}
2
p (t )
PS
u (t )
Uˆ
1
2π
0
3π
i(t )
Î
14
Grundlagen der Elektrotechnik II
Zusammenfassung
i (t )
R,L,C
Netzwerk
Verbraucher
⇒ Z =
u (t )
Û
Î
⇒ ϕ ui
Î
Û
und I eff =
2
2
EFFEKTIVWERTE
U eff =
SCHEINLEISTUNG
PS = U eff I eff > 0
WIRKLEISTUNG
PW =< p (t ) >= U eff I eff cos ϕ ui = PS cos ϕ ui ≥ 0
> 0 → induktiv
BLINDLEISTUNG
PB = U eff I eff sin ϕ ui = PS sin ϕ ui = 0 → ohmisch
< 0 → kapazitiv
FOLGLICH:
PS2 = PW2 + PB2
15
Grundlagen der Elektrotechnik II
2. Sinusförmig-zeitabhängige Vorgänge in komplexer
Darstellung
2.1. Einführung der komplexen Rechnung in die Wechselstromlehre
Bisher reelle Darstellung von sinusförmigen Wechselspannungen und
Wechselströmen
•
•
entweder als Sinusfunktionen mit Phasenlagen
oder mit rotierendem Zeigerdiagramm.
Jetzt Übergang zur Darstellung von Wechselspannungen und Wechselströmen mit
Zeigern in der komplexen Gauß`schen Zahlenebene. Die Elektrotechnik
verwendet also die komplexe Rechnung (Funktionentheorie), weil diese sich für
die Wechselstromlehre als geeignet erweist.
Zunächst Einführung / Wiederholung elementarer Rechenregeln der komplexen
Rechnung, soweit als benötigt.
Wiederholung von Regeln aus der komplexen Rechnung
2 Schreibweisen einer komplexen Größe Z
Z
Betrag und Argument
Real- und Imaginärteil
Z = Re{Z }+ j Im{Z } =
= R + jX
Z = Ze jϕ Z
Z = Re 2 {Z } + Im 2 {Z }
Im{Z }
Re{Z }
! arctan − Fkt nicht eindeutig !
Re{Z } = Z cos ϕ Z
ϕ Z = arctan
Umrechnung
16
Im{Z } = Z sin ϕ Z
Grundlagen der Elektrotechnik II
Z
X
SATZ VON EULER:
Z
e jα = cosα + j sin α
ϕZ
R
Rechenregeln:
mit Real- und Imaginärteil
Operation
mit Betrag und Argument
R1 = R2 ; X 1 = X 2
Z1 = Z 2
Z 1 = Z 2 ; ϕ1 = ϕ 2
Z 3 = Z1 + Z 2
entfällt
R3 + jX 3 = R1 + jX 1 + R2 + jX 2
→ R3 = R2 + R1 ; X 3 = X 2 + X 1
Z 3 = (R1 + jX 1 )(R2 + jX 2 ) =
= (R1R2 − X 1 X 2 ) + j (R1 X 2 + R2 X 1 )
Z3 =
R1 + jX 1
R2 + jX 2
∗
Z = R + jX → Z = R − jX
Z 3 = Z1 ⋅ Z 2
„Drehstreckung“
Z3 =
Z1
Z2
„Drehschrumpfung“
Z →Z
∗
2
Z 3 = Z 1e
jϕ Z1
Z 3 = Z 3e
jϕ Z 3
Z 2e
jϕ Z 2
= Z1 Z 2 e
jϕ
Z1e Z1
Z j (ϕ −ϕ )
= Z 3 = 1 e Z1 Z 2
jϕ Z 2
Z2
Z 2e
∗
Z⋅Z = Z ≠ Z⋅Z
∗
Z = Ze jϕ Z → Z = Ze − jϕ Z
zu beachten: ! 1 komplexe Gleichung = 2 reelle Gleichungen !
17
(
j ϕ Z1 +ϕ Z 2
)
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.2 Anwendung der komplexen Rechnung in der Wechselstromlehre
Übergang vom „mechanisch“ gedrehten Zeigerdiagramm ( mit Zeitwert der
Wechselspannung/des Wechselstromes als Projektion des rotierenden
Spannungs/Stromzeigers auf die Vertikale) zu dem „automatisch“ rotierenden
komplexen Zeiger u (t) für die Wechselspannung und i (t) für den Wechselstrom.
Gauss`sche Zahlenebene
!
Drehung der komplexen Amplitude Û = Ûe jϕ u durch Multiplikation mit
Zeitfaktor e jω t ergibt den rotierenden komplexen Spannungszeiger
u ( t ) = Û e jω t = Ûe j( ω t + ϕ u ) . Mit Satz von Euler gilt:
u ( t ) = Ûe j( ω t + ϕ u ) = Û cos( ω t + ϕ u ) + jÛ sin( ω t + ϕ u )
ur(t)
Wobei u i ( t ) = Û sin( ω t + ϕu ) = u( t )
u r ( t ) = Û cos( ω t + ϕ u )
ui(t)
Imaginärteil = horizontale Projektion =
Zeitwert u(t) (vgl. reeles Zeigerdiagramm)
Realteil = vertikale Projektion (ohne Entsprechung zum Zeitwert der Wechselspannung)
Die komplexen Amplituden Û und Î können als Zeiger u(t=0) und i(t=0), also als
„Momentaufnahmen“ bei t = 0 aufgefasst werden.
18
Grundlagen der Elektrotechnik II
Zusammenhang von komplexem Wechselspannungszeiger u(t) und
komplexer Widerstand Z
komplexem Wechselstromzeiger i(t)
Beide Zeiger u( t ) und i( t ) rotieren. Als Widerstand Z wird (wie in der
Gleichstromlehre) definiert:
Z=
jϕ u
jω t
Z
ϕz
u( t ) Û e
Û Ûe
Û
=
= =
= e j( ϕ u −ϕ i )
ϕ
ω
j
t
j
i( t ) Î e
Î
Î
Îe i
Z =Z=
Û
Î
d.h. Z=Verhältnis der reellen Amplituden Û und Î
ϕ z = ϕu − ϕi
d.h. Argument ϕ z = Differenz der Argumente ϕu und ϕi
Keine Zeitabhängigkeit des komplexen Widerstandes ( e jω t - Terme kürzen sich).
Einheit [Z ] = Ω ;
Resümee:
Z=
Komplexer Widerstand Z bestimmt Zusammenhang der komplexen
Amplituden Û und Î (wie auch der zeitabhängigen Zeiger u(t) und
i(t).
Û
Î
oder
Û = Z Î
oder
Î =
Zusammenhänge: Z = Re 2 {Z } + Im 2 {Z } ; ϕ z = arc tg
19
Û
Z
Im{Z }
mit − π ≤ ϕ z ≤ π
2
2
Re{Z }
Grundlagen der Elektrotechnik II
Komplexer Leitwert Y:
Y =
Î
1
Û Z
ϕ y = ϕ i − ϕ u = −ϕ z
Y =Y =
Î
i( t ) Î
Def.: Y =
= = e j( ϕ i − ϕ u )
u( t ) Û Û
=
1
Z
Zusammenhänge: Y =
Re 2 {Y } + Im 2 {Y } ; ϕ y = arc tg
Im{Y }
mit − π ≤ ϕ y ≤ π
2
2
Re{Y }
Komplexe Widerstände ZR, ZL, Zc der Einzelschaltelemente R, L, C
reell: uR ( t ) = R iR( t ) ;
Û R = R Î R
ϕ u R = ϕ iR
Û R = Z R Î R = R Î R
ZR = R =
Û R
Î R
es gilt auch:
u (t )
u R ( t ) = Û R e jω t = Z R i R ( t ) = Z R Î R e jω t ; Z R = R = R
und u R ( t ) = R i R ( t )
i R( t )
20
Grundlagen der Elektrotechnik II
Komplexer Widerstand ZR eines Ohmschen Widerstandes R:
ZR = R =
ZR = R e
Û R
Î R
j ( ϕ Z R =0 )
ϕ Z R = 0 = ϕ u R − ϕ iR
⇒ ϕ u R = ϕ iR
Weder Betrag R noch Argument ϕ Z R sind von Kreisfrequenz ω abhängig!
Komplexe Spannungsamplitude Û R und komplexe Stromamplitude Î R sind
phasengleich.
Komplexer Leitwert YR:
YR =
YR =
1
1 − j ( ϕ Z R =0 ) 1 j ( ϕ Y R = 0 )
= e
= e
ZR R
R
Z-Ebene
i.A
1
R
ϕYR = −ϕ Z R = 0 = ϕ iR − ϕ u R
Y-Ebene
i.A
1 Î R
=
R Û R
R
r.A.
r.A.
21
Grundlagen der Elektrotechnik II
uL ( t ) = L
Û L = ω L Î L
ϕu L = ϕiL +
Û L = ω L e
π
jπ
2 ⋅ Î = jω L Î
L
L
d iL ( t )
dt
Z L = jω L =
2
es gilt auch: u L ( t ) = Û L e jω t = Z L i L ( t ) = jω L Î L e jω t ;
und u L ( t ) = L
Û L
Î L
u (t )
Z L = jω L = L
iL( t )
di L( t )
dt
Komplexer Widerstand ZL einer Induktivität L:
ZL =ω L =
Z L = jω L = ω L e
jπ
Û L
Î L
2
ϕ Z L = π 2 = ϕu L − ϕiL
⇒ ϕu L = ϕiL + π
2
Der Betrag Z L = ω L ist von der Kreisfrequenz ω abhängig, nicht jedoch das
Argument ϕ Z L = π .
2
Komplexe Spannungsamplitude Û L und komplexe Stromamplitude Î L schließen
rechten Winkel ein (
u L ( t ) eilt i L ( t ) um π vor).
2
22
Grundlagen der Elektrotechnik II
Komplexer Leitwert YL:
YL =
YL =
1
1 − jπ 2
1
1
=
e
=−j
=
ZL ωL
ω L jω L
Î
1
= L
ω L Û L
ϕ YL = −ϕ Z L = − π 2
Y-Ebene
Z-Ebene
i.A
i.A
Z L = jω L
r.A.
r.A.
YL =−j
1
1
=
ωL j ωL
qC ( t ) = CuC ( t )
reell:
Û C =
1
Î
ωC C
ϕuC = ϕiC −
π
Û C =
1 − jπ 2
1
e
⋅ Î C =
Î
ωC
jω C C
iC ( t ) = C
ZC =
duC ( t )
dt
1
jω C
2
1
es gilt auch: u C ( t ) = Û C e jω t = Z C i C ( t ) =
Î C e jω t ;
jω C
du ( t )
und i C ( t ) = C C
dt
23
ZC =
u (t )
= C
jω C i C ( t )
1
Grundlagen der Elektrotechnik II
Komplexer Widerstand ZC einer Kapazität C:
ZC =
ZC =
1
jω C
=
1 − jπ 2
e
ωC
Û
1
= C
ω C Î C
ϕ Z C = − π 2 = ϕuC − ϕiC ⇒ ϕuC = ϕiC − π 2
Der Betrag ZC =
1
ist von der Kreisfrequenz ω abhängig, nicht jedoch das
ωC
Argument ϕ Z C = − π .
2
Komplexe Spannungsamplitude Û C und komplexe Stromamplitude Î C schließen
rechten Winkel ein (
uC ( t ) eilt iC ( t ) um π nach).
2
Komplexer Leitwert YC:
Î
YC = ω C = C
Û C
YC =
jπ
1
= jω C = ω C e 2
ZC
ϕYC = −ϕ Z C = + π 2
Y-Ebene
Z-Ebene
i.A
i.A
Y C = jω C
r.A.
ZC = − j
r.A.
1
1
=
ω C jω C
24
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.3 Komplexe Eingangswiderstände Z von Schaltungen, die aus R, L, und C
(lineare Elemente, d.h. Stromamplitude proportional Spannungsamplitude)
aufgebaut sind
Z=
Û
= f ( R , L ,C ,ω )
Î
Anwendungsbeispiel:
u( t ) = u R ( t ) + u L ( t )
reell:
= i( t ) ⋅ R + L
di( t )
dt
Einzelelemente:
Û R = R Î R = R Î
Û L = jω L Î L = jω L Î
Wie für die Imaginärteile u i ( t ) = u( t ) = u Ri ( t ) + u Li ( t ) = u R ( t ) + u L ( t )
(Imaginärteile = Projektionen auf vertikale, imaginäre Achse = Zeitwerte(s. früher))
und Realteile u r ( t ) = u R r ( t ) + u Lr ( t )
(Realteile = Projektionen auf horizontale, reelle Achse
Zeitwerten)
25
kein Bezug zu
Grundlagen der Elektrotechnik II
gilt auch für komplexe, zeitabhängige Zeiger:
u( t ) = u R ( t ) + u L ( t )
Û e jω t = Û R e jω t + Û L e jω t
Es ergibt sich:
Û = Û R + Û L = Z R Î + Z L Î = R Î + jω L Î = (R + jω L )Î
Z " R + L" = (R + jω L ) = Z R + Z L
!
d.h. Hier dürfen -wie in Gleichstromlehre- die komplexen Widerstände
algebraisch addiert werden. Es gelten die gleichen Gesetze wie in der
Gleichstromlehre, wobei jetzt jedoch komplexe Widerstände Z R , L ,C für die
Elemente R , L ,C , aus denen die Schaltung aufgebaut ist (anstatt nur R`s in
der Gleichstromlehre), zu nehmen sind.
Die Behandlung von Wechselspannungsschaltungen mit den
linearen Elementen R, L und C ist dadurch sehr einfach geworden.
26
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.4. Behandlung linearer Netzwerke in der Wechselstromlehre
mittels komplexer Rechnung
Netzwerke sind komplexe Schaltungen, die aus aktiven Elementen
(Spannungsquellen U 0 und Stromquellen I 0 ) und passiven Elementen ( R, L, C )
aufgebaut sind.
(vgl. I. Trimester: Netzwerke mit U 0 , I 0 und R )
Für diese Netzwerke gelten die Kirchhoffgleichungen:
Die KIRCHHOFF – GLEICHUNGEN gelten wegen ihrer Linearität nicht nur für die
Horizontalprojektionen (Realteile) u r (t ), ir (t ) und für die Vertikalprojektionen
(Imaginärteile) ui (t ), ii (t ) der Wechselspannungen und Wechselströme sondern
auch für deren Summen u (t ) = u r (t ) + jui (t ); i (t ) = ir (t ) + jii (t ) d.h. DIE KIRCHHOFF –
GLEICHUNGEN GELTEN FÜR KOMPLEXE MOMENTANWERTE u( t ), i ( t ) UND KOMPLEXE
AMPLITUDEN Û , Î DER WECHSELSPANNUNGEN UND WECHSELSTRÖME.
Knotenpunktgleichungen:
n
Iν ≡ 0
∑
ν
=0
Konvention:
Ströme zum Knotenpunkt werden positiv, Ströme vom
Knotenpunkt weg negativ genommen.
Maschengleichungen:
m
Uµ ≡0
∑
µ
=0
Konvention:
Spannungspfeile in Richtung des Umlaufsinnes (ULS)
werden positiv, Spannungspfeile entgegen der
Richtung des ULS werden negativ genommen.
27
Grundlagen der Elektrotechnik II
Bemerkung:
!
- Der für alle Spannungen und Ströme identische Zeitfaktor e jωt
kann weggelassen werden.
- Die Gültigkeit der Kirchhoff – Gleichungen in komplexer Form
bedeutet den immensen Vorteil, dass auch komplizierte
Schaltungen (aus vielen R, L, C ) in der Wechselstromlehre nach
den Regeln der Netzwerkberechnung (vgl. Gleichstromlehre:
Zweigstrom-, Superpos.-, Maschenstrom-, Knotenpunktverfahren)
behandelt werden können!
!
Auswahl der Gleichungen:
Knotenpunktgleichungen:
k Knotenpunkte ⇒ k − 1 Knotenpunktgleichungen
Maschengleichungen:
Mit Verfahren Vollständiger Baum:
alle Knotenpunkte verbinden ohne geschlossenen Umlauf zu
erzeugen
m nicht den Baum angehörige Zweige
→ m unabhängige Zweige
m Gleichungen für Maschen mit einem und nur einem
unabhängigen Zweig
oder In der Praxis: Möglichst kleine Maschen mit jeweils 1 noch nicht
„verbrauchten“ Zweig
Mögliche Berechnungsverfahren:
Zweigstromverfahren:
k − 1 Knotenpunktgleichungen 
für z = m + k − 1 unbekannte Zweigströme bzw.
m Maschengleichungen

Ströme durch Spannungsquellen oder Spannungen
an Stromquellen.
Superpositionsverfahren:
= Zweigstromverfahren nach einander für jede aktive Quelle
Maschenstromverfahren:
m Maschengleichungen
(Knotenpunktgleichungen implizit enthalten,
weil Zweigströme = Summe von Maschenströmen)
Knotenpunktspotentialverfahren:
k − 1 Knotenpunktgleichungen,
(Maschengleichungen implizit enthalten, weil Zweigströme aus
Differenz von Knotenpunktspotentialen resultieren)
28
Grundlagen der Elektrotechnik II
Anwendungsbeispiel
Serienschaltung
Î
Z1
Z2
ZN
Û1
Û2
Û
N
Û
Momentanwerte:
mit
i1 (t ) = i γ (t ) = Î e jωt
N
 N
u (t ) = Û e jωt = ∑Û γ e jωt =  ∑Û γ
γ =1
 γ =1
Ûγ = Zγ Îγ = Zγ Î
 j ωt
e


⇒ Û e jωt = ∑ (Z γ Î )e jωt
N
γ =1
N
⇒ Û = Î ∑ Z γ = Î Z res ⇒ Z res =
γ =1
N
Zγ
∑
γ
=1
Serienschaltung: Komplexer Gesamtwiderstand =
Summe der komplexen Einzelwiderstände
29
Grundlagen der Elektrotechnik II
Parallelschaltung
(= „Duale“ Schaltung zur Serienschaltung u ↔ i, Z ↔ Y )
Y1
Î1
Û
Momentanwerte:
mit
Î
Y
N
N
u 1 (t ) = u γ (t ) = Û e jωt
N
N
 N
i (t ) = Î e jωt = ∑ i γ = ∑ Î γ e jωt =  ∑ Î γ
γ =1
γ =1
 γ =1
Îγ =YγÛγ =YγÛ
 jωt
e


⇒ Î e jωt = ∑ (Y γ Û )e jωt
N
γ =1
N
N
⇒ Î = Û ∑ Y γ = Û Y res
⇒ Y res = ∑ Y γ
γ =1
γ =1
Parallelschaltung: Komplexer Gesamtleitwert =
Summe der komplexen Einzelleitwerte
Kleine Hilfe (vgl. Gleichstromlehre)
Z2
Z1
Z?

Z +Z2  ⇒
1
1
 Y = Y 1 + Y 2 =

+
= 1
Z1 Z 2
Z 1 Z 2 

Y?
Z=
Z1Z 2
Z1 + Z 2
Y1
Y2
Y=
30
Y 1Y 2
Y1 + Y 2
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.5. Komplexe Leistungsberechnung
i (t ), i(t ), Î
Verbraucher
Generator
u (t ), u (t ), Û
R, L, C
⇒ Z,Y
Aus der reellen Rechnung sind 3 Typen von Leistung in der Wechselstromlehre
bereits bekannt.
WIRKLEISTUNG
(real verbrauchte
Leistung)
PW = U eff I eff

mit

Û

cos ϕ ui U eff =
=
2

Î

I
=
=
 eff
2
PW ≥ 0
BLINDLEISTUNG
(„pendelnde
Leistung“)
PB = U eff I eff sin ϕ ui
SCHEINLEISTUNG
PS = U eff I eff ( ≥ ) 0
> 0 induktives Verhalten

PB = 0 ohmisches Verhalten
< 0 kapazitive s Verhalten

⇒ Berechnung der 3 Leistungsarten in komplexer Rechnung.
31
u 2 (t )
i 2 (t )
Grundlagen der Elektrotechnik II
Definitionen: (die sich als brauchbar erweisen)
(1) Komplexe Effektivwerte:
(2) Komplexe Leistung:
U eff = U =
Û
Î
; I eff = I =
2
2
P = U ⋅ I∗
!
damit ergibt sich:
U eff
I eff
}
}
Û Î
Û jϕu Î − jϕi
P=
e ⋅
e
⋅
=
=
2 2
2
2
∗
= U eff I eff e
j (ϕ u −ϕ i )



= U eff I eff  cos(ϕ u − ϕ i ) + j sin (ϕ u − ϕ i )
424
3
1
424
3
 1
ϕ ui
ϕ ui


P = Ueff I eff cos(ϕui ) + jUeff I eff sin(ϕui ) = PW + jPB
144244
3 144244
3
PW
PB
also:
∗
P = U ⋅ I = PW + jPB
P= P =PS
PW
oder:
PW = Re{P} ≥ 0 und
Weiterhin gilt:
und damit
> 0 ⇒ induktives Verhalten
PB = Im{P} = 0 ⇒ ohmsches Verhalten
< 0 ⇒ kapazitives Verhalten
2
P = PW2 + PB2 = U eff2 I eff2 = PS2
PS = P
32
P
PB
Grundlagen der Elektrotechnik II
Schreibweisen der komplexen Leistung P (vgl. Gleichstromlehre)
∗
∗
P =U I = Z I I = Z I2 =
U =Z I
1 2
I
Y
oder
∗
∗
∗
∗
P =U I =UU Y =Y U 2 =
I ∗ =U ∗ Y ∗
1 2
U
∗
Z
Mit Z = R + jX und Y = G + jB gilt auch:
PW = RI 2 = GU2 ≥ 0
 > 0 → induktiv

PB = XI 2 = − BU 2  = 0 → ohmisch
< 0 → kapazitiv

∗
P = Pe jϕ P = Z I 2 = ZI 2 e jϕ Z = Y U 2 = YU 2 e − jϕY
P = ZI 2 = YU 2 und ϕ P = ϕ Z = ϕ ui = −ϕ Y = −ϕ iu
Ob induktives, ohmsches oder kapazitives Verhalten vorliegt, kann durch
Betrachten von Z , Y oder P entschieden werden.
33
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.6.
Schaltungsbeispiele
(Beschränkung auf technisch wichtige Anwendungen)
Resonanzkreise
a) Serienresonanzkreise:
C
I
C
L
R
U = U R +U C +U L
UC
UR
I = IR = IC = IL
UL
U
Im Z
(
ωC ) = Ze
+ (ωL − 1 )
ωC
komplexer Widerstand: Z = R + j ωL − 1
wobei Z = R 2
ϕ Z = arctan
2
Im{Z }
= arctan
Re{Z }
Z
jϕ Z
ZL = jωL
Z = Z e jϕ Z
ωL − 1ωC
R
ϕZ
ZC = − j
1
ωC
ZR = R
Def: RESONANZ ⇔ Strom und Spannung in Phase: ϕ i = ϕ u
⇒ d.h. ϕ Z = ϕ u − ϕ i = 0
⇒ Im{Z } = 0; Im{Y } = 0
Z = rein reell (ohmisch); Z = Z = R
⇒ 
Y = rein reell (ohmisch); Y = Y = G
Im vorliegenden Beispiel ergibt sich:
(
ωC ) = 0 bei Resonanzfrequenz
Im{Z } = ωL − 1
ω0 = 1
LC
1 
 s 
Bei Resonanz kompensieren sich die Blindanteile von Z (hier von L und C
verursacht)
Die Einzelanteile Z L = jω 0 L und Z C = − j
Es gilt:
1
verschwinden natürlich nicht.
ω 0C
 L

L
1 
 = 0;
 = I j 
U L + U C = I  jω 0 L − j
−
 C

C
ω
C
0




U R = U − U L − U C = U − (U L + U C ) = U = I R ⇒ Z = R
34
Re Z
Grundlagen der Elektrotechnik II
Zeigerdiagramm:
(ϕ i = 0 gesetzt )
I
U
UL
UC
UL
U
UC
I
ϕui = ϕZ
UC
I
U
I
UR
UC
UR U
Eine Größe (egal ob Spannung oder Strom) darf reell angenommen werden
die Argumente (Phasen) aller anderen Größen sind dann davon abhängig.
Frequenzabhängigkeit von Z und ϕ Z = ϕ ui :
2
1 

Z = R +  ωL −
 >0
ωC 

ϕ Z = arctan
2
ωL − 1ωC <
=0
>
R
ϕZ
Z
ωL
R
π
2
1
ωC
ω0
induktiv
0
ω0
π
2
kapazitiv
Beim Serienresonanzkreis gilt für:
ω > ω 0 ⇒ Im{Z } = X > 0
⇒ induktives Verhalten
ω < ω 0 ⇒ Im{Z } = X < 0
⇒ kapazitives Verhalten
ω = ω 0 ⇒ Im{Z } = 0 ⇒ Z = 0 ⇒ ohmsches Verhalten (Resonanzfall)
Einführung der VERSTIMMUNG: v = v (ω ) =
Transformation 0 < ω < ∞ auf − ∞ < v < ∞
Wertetabelle:
ω
v
0
−∞
ω0
0
∞
∞
35
ω ω0
−
ω0 ω
[1]
Grundlagen der Elektrotechnik II
Kreisfrequenz ω in Abhängigkeit von der Verstimmung v:
v
=
vωω 0
=
ω ω0
ωω 0
−
ω0 ω
ω 2 − ω 02
vω 0 ±
(vω 0 )2 + 4ω 02
vω 0
 vω 
=
± ω 02 +  0 
ω1, 2 =
2
2
 2 
Wegen 0 ≤ ω ≤ ∞ verbleibt als einzige Lösung:
ω=
vω 0
 vω 
+ ω 02 +  0 
2
 2 
2
2
Komplexer Widerstand in Darstellung mit Verstimmung v: Z (ω ) → Z (v )
(
Z = R + j ωL − 1
Z = R+ j
ωC
)
L
 = R + j L  ω − ω 0 
C = R + j L  ω LC − 1


ω LC 
C
C  ω 0 ω 
L
C
L
v
C
L
v
C
ϕ Z = arctan
R
L
Z = R + v2
C
2
ϕZ
Z
G
π
2
L
⋅v
C
0
v
kapazitiv
induktiv
0
v
π
2
Beim Serienresonanzkreis gilt für:
v > 0 ⇒ Im{Z } = X > 0
v < 0 ⇒ Im{Z } = X < 0
⇒ induktives Verhalten
⇒ kapazitives Verhalten
v = 0 ⇒ Im{Z } = 0 ⇒ Z = R ⇒ ohmsches Verhalten (Resonanzfall)
36
Grundlagen der Elektrotechnik II
Berechnung der Leistung P , die der Serienresonanzkreis bei Anlegen einer
eingeprägten Spannung U in Abhängigkeit von (deren) Kreisfrequenz ω bzw. von
der Verstimmung v aufnimmt (Bei eingeprägtem Strom durch einen
Serienresonanzkreis würde keine Frequenzabhängigkeit der Leistung in R
auftreten PR = RI 2 ):
∗
∗
P =U I =U
U
U2
2 1 Z
U
=
=
Z
∗
∗
2
Z
Z Z Z
L
v
C
2
P =U
 2 L 2
R + v 
C 

R+ j
R
PW = U
 2 L 2
R + v 
C 

2
PWmax
L
v
C
2
PB = U
 2 L 2
R + v 
C 

U2
= PW (v = 0) =
R
PB (v = 0) = 0
Bei zunehmender Verstimmung v nimmt die aufgenommene Wirkleistung ab. Der
Grad der Abnahme ist ein Maß für die Qualität („Güte“) des Serienkreises.
Definition:
Bei der Halbwertsverstimmung v = ± v H ist die aufgenommene Wirkleistung
PW gegenüber ihrem Maximum bei v = 0 auf die Hälfte gesunken:
PW (v = v H ) =
1
PW (v = 0)
2 max
Für den Serienresonanzkreis gilt damit:
1 2 R
R
→U2 2
=
; 2{
U 2
R 2 = R 2 + L v 2H S ;
2
L
R + 0 2 Z ( v=0) 2 142
2
4 C43
4
v
R +
C HS
2
Z ( v=v )
HS
v HS = R
L
C
37
Grundlagen der Elektrotechnik II
Mit Z ( v = v H S ) = 2 Z ( v = 0) = 2 R sind in Z (v ) - Kurven die v H S - Positionen
bestimmbar:
Z (v )
Z (v )
1
“guter
Serienkreis”
2R
2R
2
“schlechter
Serienkreis”
R
R
- vHS
- vHS,2
v HS
0
←ω = 0
- vHS,10
vHS,1
vHS,2
ω0
Als Güte Q wird generell der Kehrwert der Halbwertverstimmung v H bezeichnet:
Güte des Serienkreises:
L
1
QS =
=
vHS
Güte
↑

" Kreis gut" 
Halbwertverstimmung ↓
C
R
Güte
↓

" Kreis schlecht" 
Halbwertve rstimmung ↑
Mit QS gilt auch:
L
Z (v )
Z (v ) R + j C v
=
=
= 1 + jQS v
Z (v = 0 )
R
R
Die absolute Bandbreite babs wird folgendermaßen angegeben:
babs = ω (+ v H ) − ω (− v H ) :
babs
2
2
v ω
 v H ω 0    - v H ω 0
 - v H ω 0  
2
2

H 0
= ω (+ v H ) − ω (- v H ) =
+ ω0 + 
+ ω0 + 
 −

 2
2    2
2  



 

babs = v H ω 0
Wichtiger als die absolute Bandbreite babs ist die auf die Resonanzfrequenz ω 0
bezogene relative Bandbreite brel :
brel =
babs
ω0 = v H
38
Grundlagen der Elektrotechnik II
b) Parallelschwingkreis:
Der Parallelschwingkreis ist die duale Schaltung zum Serienschwingkreis!
R
R
Leitwert Y des Parallelschwingkreises in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω
bzw. der Verstimmung v:
1 

Y (ω ) = G + j  ωC +

ωL 

1 

Y = G 2 +  ωC +

ωL 

2
ϕY = arctan
G
ϕY
Y
G
ωC − 1ωL
1
π
2
ωC
ωL
ω0
kapazitiv
induktiv
π
2
Y =G+ j C
L
ω0
C ⋅v
L
ϕY = arctan
G
v
Y = G2 + C v2
L
ϕY
Y
G
π
2
C
⋅v
L
0
v
induktiv
39
kapazitiv
v
π
2
Grundlagen der Elektrotechnik II
Mit Def: „RESONANZ = Strom und Spannung in Phase“
gilt für Parallelschwingkreis:
⇒ d.h. ϕ Y = ϕ i − ϕ u = −ϕ Z = 0
⇒ Im{Y } = 0; Im{Z } = 0
Y = rein reell (ohmisch); Y = Y = G

⇒ 
1
Z = rein reell (ohmisch); Z = Z = G
Im vorliegenden Fall ergibt sich:
⇒ Im{Y } = ω 0 C − 1
ω = 1
ω 0 L = 0 bei Kreisfrequenz 0
LC
(Übereinstimmende Formel für Resonanzfrequenz ω 0 bei Serienresonanzkreis und
Parallelresonanzkreis)
Leistung P , die der Parallelschwingkreis bei eingeprägtem Strom I in
Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω bzw. von der Verstimmung v aufnimmt
(Eingeprägte Spannung bei Parallelschwingkreis wäre sinnlos, weil dann keine
U2
)
Frequenzabhängigkeit z.B. der Leistung in R auftreten würde PR =
R
(
(
)
)
∗
∗
G− j C v
G − j ωC − 1
I ∗ Y
I 2Y
2
2
L
ω
L
= 2 =I
=I
=
P =U I = I
∗
2
2
Y
Y
Y
G 2 + ωC − 1
C
G+ j
v
ωL
L
∗
C v
G
2
=I 2
− jI 2 L 2
2
C
G +
G +C v
v
L4
14424L4
3 144
4244
3
2
PW
jPB
Halbwertverstimmung v H mit PW (v = v H ) =
⇒ I2
1
PW (v = 0)
2 max
G
1 I2
2
=
⇒ G 2 + C v 2H = 2 G
{
2
2
L
C
2
G
1
42
43
2
G +
v
Y ( v =0 )
2
L H
Y ( v =v H )
v HP =
40
G
C
L
Grundlagen der Elektrotechnik II
Parallelschwingkreise unterschiedlicher Güte:
Güte QP , absolute bzw. relative Bandbreite babs bzw. brel beim
Parallelschwingkreis
→ siehe Zusammenfassung
Y (v)
1
“guter
Parallelkreis”
1
- v H2,P
→
→
→
- v H1,P
2
“schlechter
Parallelkreis”
R
v H1,P
v H2,P
Bei Parallelkreis wird Leitwert Y im Resonanzfall ein Minimum
belastet als Verbraucher die Spannungsquelle minimal
Maximale Spannungsamplitude an L bzw. C
Z i = Ri + jX i
R
I ⋅Zi
R
Y (v = 0) = Minimal = G
Z ( v = 0) = 1
→
G
Eingang des Parallelschwingkreises als Eingangskreis bei Radio - Empfang
Antenne
R
R
41
SERIENSCHWINGKREIS
PARALLELSCHWINGKREIS
Grundlagen der Elektrotechnik II
KIRCHHOFFGLEICHUNG
U = UR+UC+UL ;
WIDERSTAND
bzw.
LEITWERT
1 
Z = R + j ωL −


ωC 
RESONANZ
FREQUENZ
VERHALTEN
I = IR = I C = IL ;
 Leitwert rein reell 
Y = G; B = 0 
 ; ω0 =
 Leitwertsbetrag min imal
1
LC
1 
Y = G 2 +  ωC −


ωL 
2
2
vω
ω ω0
 vω 
− ;ω = 0 + ω 02 +  0  ;
v=
2
ω0 ω
 2 
VERSTIMMUNG v
Z ( ω ) ⇒ Z( v ) = R + j
I = IR + I C + IL ;
1 
Y = G + j ωC −


ωL 
 Widers tan d rein reell 
Z = R; X = 0 
 ; ω0 =
 Widers tan dsbetrag min imal
1 
Z = R 2 +  ωL −


ωC 
U = UR = UC = UL ;
ω
0
ω0
v
−∞
0
L
v;
C
1
LC
2
 Transformation des

0<ω<∞
Bereiches
∞
auf Bereich − ∞ < v < ∞

∞
Y ( ω ) ⇒ Y( v ) = G + j
C
v;
L
WIDERSTAND
bzw.
LEITWERT
abhängig von
VERSTIMMUNG v
LEISTUNG
v L
v C
L 2
C 2
C
2
L
Z = R + v ; ϕ ui = ϕ z = arctg
Y = G + v ; ϕ iu = ϕ Y = arctg
C
L
R
G
∗
Parallel
Serie
U eingeprägt
I eingeprägt
P = U⋅I
2
U∗
P = U⋅ ∗
Z
R + j LC v
Z
Z
= U2 2 = U2 2
;
Z
R + L C v2
Z
R
U2
(
)
Pw = U 2
; Pwmax = Pw v=0 =
;
R + L C v2
R
HALBWERTS1 U2
R
2
=
;
U
VERSTIMR 2 + L C v2H 2 R
MUNG vH
R 2 + L C v2H = 2 R 2 oder Z( v H ) = 2 Z( v=0 )
v =±R
;
HS
abs. und rel.
BANDBREITE
Qs =
∗
C v
Y∗
2 Y
2 G+ j
L
;
2 =I
∗ =I
2
C
Y
G + L v2
Y
G
I2
(
)
Pw = I 2
; Pwmax = Pw v=0 = ;
G + C L v2
G
1
1 I2
G
Def .: Pw ( vH ) = Pwmax ( v=0 )
=
;
I2 2
2
G + C L v2 2 G
2
GÜTE
I
P = ⋅ I∗
Y
L
C
2
H
2
G +
C v2
L H
v HP = ± G
= 2G oder Y( vH ) = 2 Y( v=0)
2
C
;
L
C
Y( v )
Y( v )
Z( v )
Z( v )
Q = 1v
L
Q
=
;
=
= 1 + jQ p v ;
jQ
v
;
=
=
1
+
;
H
p
s
G
R Z( v = 0 )
Y( v = 0 )
G
R
babs = ω (v H > 0) − ω (vH < 0) = vH ω 0
babs = R L
babs = G C
L
C
42
b rel = babs ω 0 = v H
39
Grundlagen der Elektrotechnik II
Technischer Schwingkreis
R
Bemerkung:
R
reale Spule ( L und R)
realer Kondensator ( C und G
{)
≈0
Y=


R
ωL
1

+ jωC = 2
+ j  ωC − 2
2
2 
R + jωL
R + (ωL )
R + (ωL ) 

Resonanz: ω R C −


ωRL
L
=0
= 0 ; ω R  C − 2
2
2 
R + (ω R L )
R + (ω R L ) 

2
Lösungen:
1. ω R = 0 (Gleichstrom)
L
L
2
2. C = 2
; R 2 + (ω R L ) =
2
C
R + (ω R L )
ω0 = 1
LC
1
L


damit ω R2 = 2  − R 2  = ω 02 {1 − d } mit
C
L C

d = R2
L
also ω R < ω 0 .
43
Grundlagen der Elektrotechnik II
2.7. Anpassung bei Wechselstrom
Gegeben: Generator (aktiver Zweipol) mit idealer Spannungsquelle
U0 (Leerlaufspannung) und Innenwiderstand Zi.
Gesucht: Mit welchem (komplexen) Verbraucherwiderstand Za ist der Generator
zu beschalten, damit in diesem maximale Wirkleistung PWa umgesetzt
wird?
Bemerkung: Im Gleichstromfall wurde ANPASSUNG erreicht mit Ra = Ri; die
U2
maximale Leistung in Ra betrug dann Pmax = 0 .
4 Ri
Lösungsweg:
I
Z i = Ri + jX i
U0
Ra
~
U
gesucht:
Z a = Ra + jX a
Xa
Komplexe Leistung P = U I * = Z a I I * = I 2 Z a ;
mit I =
U0
=
U0
(Ri + jX i ) + (Ra + jX a ) (Ri + Ra ) + j ( X i + X a )
ergibt sich P =
U 02
(R + jX a ) = PWa + jPBa ;
(Ri + Ra )2 + ( X i + X a )2 a
Wirkleistung PWa =
U 02 Ra
=
2
2
(1R4
i + Ra ) + ( X i + X a )
44
424444
3
N
Verkürzt: PWa = f (Ra , X a )
44


f U 0 , Ri , X i , Ra , X a 
3 123 
 1424
variabel 
 fest
Grundlagen der Elektrotechnik II
Auffinden des Maximums von PWa mit:
∂PWa
1)
Zu 1)
∂PWa
∂Ra
=
∂Ra
=0
und
2)
∂PWa
∂X a
=0;
U 02
{N − Ra 2(Ri + Ra )} = 0
N2
Wegen N2 > 0 und U02 > 0 ergibt sich daraus
N − Ra 2(Ri + Ra ) = (Ri + Ra ) + ( X i + X a ) − 2 Ra Ri − 2 Ra2 = 0
2
(R
2
i
)
2
+ 2 Ri Ra + Ra2 + ( X i + X a ) − 2 Ra Ri − 2 Ra2 = 0
2
Ra2 = Ri2 + ( X i + X a ) (Gleichung 1)
2
Zu 2)
∂PWa
∂X a
=
U 02
{− Ra 2( X i + X a )} = 0 ;
N2
Hieraus − Ra2 2( X i + X a ) = 0
bzw.
Xi + Xa = 0
X a = − X i (Gleichung 2)
Gleichung 2 in Gleichung 1 eingesetzt ergibt:
Ra2 = Ri2 + 0
=>
Ra = Ri
Hiermit gilt demnach als Voraussetzung für maximale Wirkleistung PWa in Z a :
Ra = Ri und
bzw.
X a = −Xi
Z a = Ra + jX a = Ri − jX i = Z *i
Z a = Z i*
Bedingung für ANPASSUNG


Bemerkung: In der Serienschaltung Z i + Z a = Ri + Ra + j  X i + X a  entfällt damit der
424
3
1
 =0 
Imaginärteil und der Gesamtwiderstand Z i + Z a = Ri + Ra wird rein reell.
Maximale Leistung ergibt sich dann mit Ri = Ra
(Analog wie im Gleichstromfall).
45
Grundlagen der Elektrotechnik II
Für die maximale Wirkleistung gilt:
PWa ,max =
PWa , max
U 02
2
= Ri
}
Ra
 


 


R
R
X
X
+
+
+
i
a
 i {a   1
3 
  424

=
R
 =0 
i

=
U 02 Ri
4 Ri2
;
U 02
=
;
4 Ri
Fehlanpassung:
Maximale Wirkleistung PWa , max in „Widerstand“ Za ergibt sich nur für den konkreten
*
Fall Z a = Z i . Welche Wirkleistung PWa bzw. welcher Anteil p < 1 der maximalen
*
Wirkleistung PWa , max ergibt sich für den Fall Z a ≠ Z i ?
Vorgehen:
p=
PWa
PWa ,max
=
U 02 Ra
4 Ri
2
(1
Ri + Ra ) + ( X i + X a ) U
444
424444
3 {0
2
2
1
PWa
PWa , max
das bedeutet allgemein: p = f (Ra , X a ) mit Ri , Xi fest, d.h. für bestimmtes p < 1
ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Ra und Xa , der als Kurve in der Za
Ebene dargestellt werden kann.
Als „Kurven“ ergeben sich Kreise mit der Formel:
(Ra − RM )2 + ( X a − X M )2 = r 2
2 
wobei Mittelpunktskoordinate RM = Ri  − 1 und X M = − X i und
p 
1 1
Kreisradius r = 2 Ri
− .
p2 p
46
Grundlagen der Elektrotechnik II
Zugehöriges Diagramm:
Za
Xa
Xi
Zi
Ri
-Xi
Ra
Kreise = Kurven
konstanter
Fehlanpassungen
p=1
Verkürzte Herleitung der Kreisgleichung
p=
4 Ri Ra
(Ri + Ra )2 + ( X i + X a )2
Ri2 + 2 Ri Ra + Ra2 + X i2 + 2 X i X a + X a2 =
4 Ri Ra
p

4R 
Ra2 +  2 Ri − i  Ra + X a2 + 2 X i X a + X i2 = − Ri2
p 

Mit quadratischer Ergänzung:
2

 1 1
 2 
 Ra + Ri 1 −   + ( X a + X i )2 = 4 Ri2  2 − 

p  
p

p

2


2




 1 1
2 
Kreisgleichung:  Ra − Ri  − 1 +  X a − (− X i ) = 4 Ri2  2 − 
1
2
3
p  
p
p


2
2
XM
14
4
3
144
44
3




RM
r2

47
2.8 ERSATZSCHALTUNGEN FÜR LINEARE NETZWERKE
Wechselstrom
Gleichstrom
Vielteiliges Netzwerk ( R, L, C, U e , I e )
Vielteiliges Netzwerk ( R, Ue, Ie )
klemmenäquivalent ersetzt durch:
klemmenäquivalent ersetzt durch:
U Kl = U 0 − I Kl R i = I Kl R a
I Kl
U Kl = U 0 − I Kl Z i = I Kl Z a
U0
=
Ri + Ra
I Kl =
U0
Zi + Za
oder
oder
I Kl = I 0 − U Kl G i = U Kl G a
U Kl
U Kl =
1
mit Kochrezept:
Yi
( s. Gleichstrom )
=
mit Kochrezept:
Stromquellen ⇒ Leerlauf
Spg.quellen ⇒ Kurzschluß
ideale Spg.quelle =$ Leerlaufspg. UL
U0 = UL = UKl ( IKl = 0 )
ideale Stromquelle =$ Kurzschlußstrom IK
I0 = IK = IKl ( UKl = 0 )
Zusammenhang:
U0 = RiI0 =
ideale Spg.quelle =$ Leerlaufspg. U L
U 0 = U L = U Kl (I Kl = 0)
ideale
Stromquelle =$ Kurzschlußstrom I K
I 0 = I K = I Kl ( U Kl = 0)
Zusammenhang:
I0
Gi
2
2
 I0 
 U0 
=
 Ga
 Ra = 
 Gi + Ga 
 Ri + Ra 
P = U Kl I Kl ∗ =
Pw =
Leistungsanpassung ( max. Leistung in Ra )
Ra = Ri
Ga = Gi
U0 = Zi I0 =
I0
Yi
Leistung:
Leistung:
P = U Kl I Kl
I0
Yi + Ya
Kenngrößen:
Kenngrößen:
1
=
Gi
I Kl = I 0 − U Kl Y i = U Kl Y a
I0
=
Gi + Ga
Pmax =
U02
I 2
= 0
4 R a 4G a
U0
Zi + Za
U0
2
2
I0
Za =
Yi + Ya
Ya∗
2
(R i + Ra )2 + (X i + Xa )2
Ra
Leistungsanpassung ( max. Wirkleistung Pw )
Z
a
= Z
Y
a
= Y
48
i
∗
i
∗
Pw max =
U0
2
4R a
=
I0
2
4G a
Grundlagen der Elektrotechnik II
3. Ortskurven
„Bilder informieren schneller und anschaulicher als Formeln!“
3.1 Begriffsbestimmung
Eine komplexe Größe K in einer Schaltung (z.B. ein Widerstand, ein
Leitwert, ein Spannungs- oder Stromverhältnis) sei Funktion eines
veränderlichen Parameters p (z.B. der Betriebsfrequenz) d.h. Realteil Re{K}
und Imaginärteil Im{K} hängen von diesem Parameter p ab:
Änderung von p
Æ Ortsänderung des Punktes K in komplexer Ebene
Æ Abfahren einer „Ortskurve“
(vgl. Parameterdarstellung x(t) und y(t) einer
Bahnkurve in xy- Ebene. „Bewegter Punkt auf
Radarschirm“)
Bsp.: Eingangswiderstand Z eines linearen Netzwerkes
Lineares
Netzwerk
(R, L, C)
Z = Z (ω , R, L, C )
Eine Größe (= Parameter p) der unabhängigen
Variablen ω, R, L, C werde verändert.
Dann ergibt sich Z = R( p ) + jX ( p )
Z
X
Ortskurve
R
Die Geschlossene Darstellung der Ortskurve in der Form X=X(R) ergibt sich durch
Elimination von p aus X(p) und R(p) (vgl. Bahnkurve y=y(x) der
Punktbewegung x(t) und y(t) durch Elimination von t.)
Die Punkteweise Darstellung der Ortskurve erfolgt durch Eintragen der Punkte
Z(p) für diskrete Werte von p (Wertetabelle).
p
R
X
p1
R1
X1
p2
R2
X2
49
p3
R3
X3
...
...
...
Grundlagen der Elektrotechnik II
3.2 Einführendes Beispiel
Das Beispiel dient zur Verdeutlichung des Begriffes „Ortskurve“, führt dann aber
weiter zum Widerstand- Leitwert- Transformations- Diagramm.
L
ωL = const

 Z = p + jω L
R = p = variabel
R=p
Z(p)
Ortskurve von Z(p) in Z- Ebene:
Z
X i.A.
p=R=0
ωL
ZL
p= R>0
p=R
ZK
Z(p)
r.A.
Z
R
Allgemeine Definitionen:
„Kurzschlußpunkt ( Z = ZK )“: Betragsmäßiger Widerstand des variablen
Schaltelements ( L, C oder R) ist null.
„Leerlaufpunkt ( Z = ZL)“: Betragsmäßiger Widerstand des variablen
Schaltelements ( L, C oder R) ist ∞.
(Kompliziertere) Ortskurve des Leitwertes Y(p) in der Y- Ebene
Y ( p) =
1
1
p − jω L
=
= 2
Z ( p ) p + jωL p + (ωL) 2
Y ( p ) = G ( p ) + jB ( p ) =
− ωL
p
+j 2
2
p + (ωL)
p + (ωL) 2
14243 14243
2
G( p)
B( p)
Die Ortskurve Y(p) in Y- Ebene wird erhalten
entweder
1) durch punkteweise Konstruktion: Y(p1), Y(p2), ...
oder
2) in geschlossener Darstellung B = B(G) durch Elimination
(vgl.: y(x) aus x(t) und y(t)).
von p aus B(p) und G(p)
50
Grundlagen der Elektrotechnik II
Zu 1) Entweder Wertetabelle aufstellen (wenn Zahlenwerte ωL usw. gegeben)
und dann Y(p) zeichnen
p1 p2 p3 ...
p
G1
B1
G
B
G2
B2
G3
B3
...
...
oder punkteweise „Inversion“ der Ortskurve Z(p),
Y ( p ) = Ye
jϕ y
p
Y=
1
Z
ϕ Y = -ϕ Z
1
1
= e − jϕ Z
Z ( p) Z
p1
p2
p3
=
−> Y =
1
Z
und ϕ y = −ϕ Z
...
Y1
Y2
Y3
...
ϕ Y,1
ϕ Y,2
ϕ Y,3
...
d.h. „Inversion = Kehrwert des Betrages und Spiegelung an reeller
Achse“
X
Y
B
Z
Ortskurve von Z
ZK
p=0
p1
R wächst
p2
p
(ind.)
Z1
0
Ortskurve von Y
YL
0
-1
Y1
1
R
G
p2
(ind.)
p1
(kap.)
(kap.)
R wächst
p=0
Damit ist ersichtlich, daß die Ortskurve Y(p) ein Halbkreis im IV. Quadranten der
Y- Ebene ist.
Zu 2) Geschlossene Darstellung B = B(G) durch Elimination von p aus
G ( p) =
p
p + (ωL )
2
2
und B( p) =
51
− ωL
2
p + (ωL )
2
Grundlagen der Elektrotechnik II
N.R.: Zunächst B(p) verwenden, da einfacherer Weg:
B=
− ωL
;
2
p + (ωL )
p 2 + (ωL ) = −
2
2
ωL
B
;
ωL
2
p= −
− (ωL )
B
{
>0 , da B <0
( induktiv )
−
p -> G ( p) =
−
ωL
B
ωL
B
− (ωL )
2
− (ωL ) + (ωL )
2
G2 =
;
2
−
ωL
− (ωL )
2
B
2
 ωL 


 B 
=−
B
− B2
ωL
2
B  1   1 
Quadratische Ergänzung: G + B +
+

 =
ωL  2ωL   2ωL 
2
2
1   1 

2
Ergebnis: Kreisgleichung (G + 0) +  B +

 =
2ωL   2ωL 

Mittelpunktskoordinaten GM = 0 und
Kreisradius r =
2
2
BM = −
2
1
2ωL
1
2ωL
B
Y
G
0
1
−
2ω L
p
≥ 0 , da p ≥ 0 ;
2
p + (ωL )
Damit ist auf beiden Wegen („Punkteweise Inversion“, „geschlossene Darstellung“)
gezeigt, daß die Ortskurve Y(p) ein Halbkreis im IV. Quadranten der Y- Ebene ist.
Halbkreis (- - - - -) entfällt wegen G ( p) =
52
2
Grundlagen der Elektrotechnik II
L=p
Weiteres Beispiel:
R
Zp
R = const.

Z = R + jp
ωL = p = variabel
Einfache „Ortskurve von Z(p) in Z- Ebene:
X
ωL = p → ∞
Z
ZL
(ind.)
ωL = p = 0
0
R
ZK
Gewinnung der „Ortskurve“ Yp analog zu vorhergehendem Beispiel mit
„Inversions“- Methode
B
Z
X
p
Y=
p2
Z2
2
p1
L wächst
(ind.)
Y
1
Z
p=0
p
p=0
2
Y2
R
(kap.)
p2
p1
G
L wächst
Ortskurve Z(p) ist senkrechte Gerade.
Ortskurve Y(p) ist Halbkreis im IV. Quadranten der Y- Ebene.
Zusammenfassung:
Die Abhängigkeit einer komplexen Größe K von einer Variablen p ist in
Ortskurvendarstellung K(p) meist einfacher und anschaulicher zu überblicken als
in der entsprechenden Formel K = K(p).
Im {K}
K
p1
p2
Re {K}
p=0
53
Grundlagen der Elektrotechnik II
3.3 Kreisdiagramm für Umrechnung (Transformation) von Z in Y
(und umgekehrt)
Das Verhalten einer Schaltung am Eingang wird durch ihren Widerstand Z oder
ihren Leitwert Y beschrieben. Der Übergang von Z nach Y bzw. von Y nach Z ist
durch die Beziehung Y = 1 bzw. Z = 1 festgelegt und damit „berechenbar“.
Z
Y
Gesucht wird jetzt ein grafischer Übergang Z -> Y bzw. Y -> Z d.h. bei einem
Punkt Z = R + jX in der Z- Ebene soll der dazugehörige Leitwert Y = G + jB
abzulesen sein.
Das erfordert, daß die Koordinaten G = const und B = const in die Z- Ebene
eingetragen werden. (Analog sind in die Y- Ebene die Koordinaten R = const und
X = const einzutragen)
G = const- und B = const- Koordinaten (Kurven) in der Z- Ebene:
(R − jX ) = R − jX
1
1
Es gilt Y = G + jB = =
⋅
Z (R + jX ) (R − jX ) R 2 + X 2
R
−X
Î G= 2
und B = 2
2
R +X
R +X2
G = const ergibt eine Beziehung (Kurve) zwischen R und X in der Z- Ebene und
analog ergibt B = const eine (andere) Beziehung (Kurve) zwischen R und X in der
Z- Ebene. Die G = const- Kurven bzw. die B = const- Kurven sollen jetzt
aufgefunden werden:
G = const =
1)
R2 + X 2 =
R
;
G
R
;
R + X2
2
2
Es gilt immer: G ≥ 0 (analog auch: R ≥ 0 )
2
R  1 
 1 
2
R − +
 (quadratische Ergänzung)
 + X =
G  2G 
 2G 
2
2
1 
 1 

2

 + ( X − 0) = 
Î R−
2G 
 2G 

2
„G = const- Geraden in der Y- Ebene transformieren sich in „G = const- Kreise“ in
1
der Z- Ebene mit den Mittelpunktskoordinaten RM =
; XM = 0 ,
2G
1
sowie dem Radius: r =
X
B
2G
G= const.
Y
Z
G wächst
0
G
h
G wäc
0
G
R
1
2G
G= const.
54
st
Grundlagen der Elektrotechnik II
Mit der G = const- Kurvenschar kann zu jedem Widerstand Z (= Punkt in
der Z- Ebene) der dazugehörige G- Wert aufgefunden werden.
2)
B = const =
−X
R + X2
2
Bemerkung: Aus Formel ist zu ersehen: Signum (B) = -Signum (X)
Es gilt allgemein:
induktiv ohmisch kapazitiv
Im{Z} = X
>0
0
<0
Im{Y} = B
<0
0
>0
R2 + X 2 = −
X
;
B
2
R2 + X 2 +
2
X  1   1 
+
 (quadratische Ergänzung)
 =
B  2B   2B 
2
(R + 0 ) +  X + 1  =  1 
2B   2B 

2
2
„B = const- Geraden“ in der Y- Ebene transformieren sich in
„B = const- Kreise“ in der Z- Ebene mit den
1
1
Mittelpunktskoordinaten RM = 0; X M = −
, sowie dem Radius: r =
2B
2B
X
B
Y
B = const
B
0
-B
g
c
d
e
f
g
h
i
(kap.)
G
(ind.)
h
t
ächs
Bw
i
10
−
2B c
(ind.)
f
d
Bw
ächst
B = const > 0
e
Mit der B = const- Kurvenschar kann zu jedem Widerstand Z (= Punkt in der
Z- Ebene) der dazugehörige B- Wert aufgefunden werden.
Um einem Punkt Z = R + jX sowohl den dazugehörigen G- Wert als auch den
1
1
dazugehörigen B- Wert (entsprechend der Beziehung Z = R + jX = =
)
Y G + jB
zuordnen zu können, müssen beide Kurvenscharen (G = const und B = const)
gemeinsam in die Z- Ebene eingezeichnet sein.
55
Z
B = const < 0
R
(kap.)
Grundlagen der Elektrotechnik II
B
X
Y
Z
B>0
G wächst
0
X >0
(ind.)
R
G
(kap.)
B<0
X <0
B wächst
G = const - Kreise
B = const - Kreise
G = const - Geraden
56
Grundlagen der Elektrotechnik II
Mit der Kombination der G = const – und der B = const – Kurven in der Z - Ebene
lassen sich zu jedem Widerstand Z = R + jX sowohl der dazugehörige G - Wert als
auch der dazugehörige B - Wert und damit insgesamt der dazugehörige Leitwert
Y = G + jB auffinden (ggf. durch Interpolation).
Wenn statt der Z - Ebene die Y - Ebene zugrunde liegt, können durch Einzeichnen
der R = const – und der X = const – Kurven ebenfalls die Transformationen
Z → Y und Y → Z durchgeführt werden.
Z = R + jX =
⇒R =
G − jB G − jB
1
1
=
=
Y G + jB G − jB G 2 + B 2
G2
G2 + B2
und
X=
−B
G + B2
2
Die R = const – und die X = const – Kurvengleichungen der Y - Ebene sind formal
den G = const – und B = const – Kurvengleichungen der Z - Ebene identisch, so
dass sich übereinstimmende Bilder ergeben, bei denen nur G → R und B → X
vertauscht werden.
B
Y
X <0
R wächst
R = const - Kreise
0
(kap.)
G (ind.)
X >0
X wächst
X = const - Kreise
Bis jetzt nur Inversion achsenparalleler Geraden (z.B. G = const – und B = const –
Geraden in der Y -Ebene) in Kreise ( G = const – und B = const – Kreise) in der
Z -Ebene).
1
Mit der Relation A = gelten für die Inversion aus der A - Ebene in die B - Ebene
B
und umgekehrt folgende Entsprechungen (ohne Ableitung):
57
Grundlagen der Elektrotechnik II
⇔
1) Kreis nicht durch Nullpunkt
Kreis nicht durch Nullpunkt
A
B
⇔
2) Kreis durch Nullpunkt
Gerade nicht durch Nullpunkt
A
B
⇔
3) Gerade durch Nullpunkt
Gerade durch Nullpunkt
B
A
n
x
p
x
n
p
x
Bemerkung: Gerade = Kreis mit r → ∞ , damit generell:
Bei Inversion gehen Kreise in Kreise über.
3.4. Anwendung der Transformationsdiagramme:
In der nachfolgend dargestellten „komplexen Widerstandsebene“ mit den
Koordinatenachsen R Ω und X Ω sowie den G S - und B S - Kreisen sind
folgende Z bzw. Y Werte einzutragen und die dazugehörigen inversen Größen zu
bestimmen.
⇒
Z1 =
6Ω
Y1 =
Z 2 = (4 + j 2)Ω Y 2 =
Z 3 = (2 − j 4)Ω Y 3 =
Z
Y
0,17 S
Y
Y4 =
0,25S
Y 5 = (0,1 − j 0,1) S
Y 6 = (0,111 + j 0,1) S
58
⇒
Z4 =
Z5 =
Z6 =
Z
4Ω
Grundlagen der Elektrotechnik II
59
Grundlagen der Elektrotechnik II
Ein Problem tritt auf, wenn Widerstände Z bzw. Leitwerte Y nicht mehr in die
jeweiligen Transformationsdiagramme eingetragen werden können, weil sie
betragsmäßig entweder zu groß oder zu klein sind.
In diesem Fall wird das nachfolgende dargestellte, nicht skalierte Widerstand –
Leitwert Diagramm (von Meinke) verwendet.
Dieses Diagramm enthält die Zuordnung zunächst dimensionsloser und
~ ~
~
einheitenloser komplexer Zahlen („Darstellungsgrößen“): Z = R + jX und
~ ~ ~
~
Y = G + jB gemäß der Relation Z = 1 ~ .
Y
~
~
Um das Diagramm der dimensionslosen Zahlen Z und Y für die Transformation
eines Widerstandes Z in einen Leitwert Y und umgekehrt verwenden zu können
müssen Maßstäbe mZ und mY eingeführt werden zur Verknüpfung der
~
~
Darstellungsgröße Z bzw. Y mit dem Widerstand Z bzw. dem Leitwert Y :
~
Z = mZ ⋅ Z mit [mZ ] = 1 und
Ω
~
1
Y = mY ⋅ Y mit [mY ] =
= Ω.
S
~
Da gilt Z = 1 ~ (Diagramm) und Z = 1 (Definition) ergibt sich
Y
Y
mZ Z =
1
mY Y
1
⇒ mZ =
mY
d.h. wenn ein Maßstab (sinnvoll und frei) gewählt ist, dann liegt der andere
Maßstab fest.
60
Grundlagen der Elektrotechnik II
61
Grundlagen der Elektrotechnik II
Beispiel für die Anwendung des nicht skalierten Z − Y − Diagramms:
Wahl des Maßstabes und Zuordnungen:
Gegeben
Gesucht
Zunächst
damit folgt
Realer Widerstand Z = (20 + j10)Ω
Entsprechender Leitwert Y
Sinnvoller Maßstab: mZ = 1 Ω −1
10
[ ]
mY = 1
mZ
1
= 10  
S 
1
~
Darstellungsgröße Z = mZ Z =
(20 + j10)Ω = (2 + j )
10Ω
Aus dem Diagramm wird abgelesen:
~
Darstellungsgröße Y = (0,4 − j 0,2)
~
(0,4 − j 0,2) 100
Realer Leitwert
Y =Y
=
S = (40 − j 20)[mS ]
mY
10
100
Ergebnis:
Z = (20 + j10)Ω ⇒ Y = (40 − j 20)[mS ]
Das Widerstand – Leitwerts – Transformations - Diagramm ermöglicht nicht nur
eine schnelle Z ↔ Y Umrechnung, sondern vor allem den Aufbau von
kombinierten Serien – und Parallelschaltungen bestehend aus R, L, C .
62
Grundlagen der Elektrotechnik II
Hierzu folgende Vorüberlegung:
Serienschaltung von RS , LS , C S in Serie ( → Index s) zu einem vorhandenen
komplexen Widerstand Z 0 und entsprechende „Bewegung“ in der Z – Ebene.
Z
RS
Z0
Z = Z 0 + Z R = R0 + jX 0 + RS = ( R0 + RS ) + j X 0
{
1424
3
const
Zunahme
Z
X
Z
LS
Z0
Z = Z 0 + Z L = R0 + jX 0 + jωLS = R0 + j ( X 0 + ωLS )
{
14243
const
Zunahme
Z
Z0
Z = Z 0 + Z C = R0 + jX 0 − j
LS
X0
RS
Z0
0
R
CS
CS
1
= R0 +
{
ωC S const
.

1 

j  X 0 −
ωC S 
142
4 43
4
Abnahme
Serienschaltung von RS , LS , C S
→
→
achsenparallele Bewegung in der Z - Ebene
Bewegung auf Kreisen in Y - Ebene
63
Grundlagen der Elektrotechnik II
Schaltung von RP , LP , C P parallel ( → Index p) zu einem vorhandenen komplexen
Widerstand Z 0 bzw. Leitwert Y 0 und entsprechende „Bewegung“ in der Z –
Ebene.
Y
Z0
Rp
Z 0 → Y 0 : Y = Y 0 + Y R = G0 + jB0 +
1
Rp

1 
Y =  G0 +
+ j B0
{

R p  const
1424
3
1Zunahme
44
42444
3
auf B =const - Kreis zu höherem G
X
Y
B
wächst
Z
G wächst
Lp
Z0
Cp
Z0
Rp
0
L
1
Y = Y 0 + Y L p= G0 + jB0 − j
ωL p
R
G = const - Kreis

1 
Y = G0 + j  B0 −
{

L p 
142ω43
const
14442Abnahme
444
3
B = const - Kreis
auf G =const - Kreis zu kleinerem B
Y
Parallelschaltung von RP , LP , C P
Z0
⇓
Bewegung auf G = const – Kreisen bzw.
B = const – Kreisen in Z - Ebene
Cp
Y = Y 0 + Y C = G0 + jX 0 + jωC p
Y=
( → auf Geraden in Y - Ebene)
G0 + j (X 0 + ωC p )
{
14243
const
144
42Zunahme
444
3
auf G = const - Kreis zu höherem B
64
Grundlagen der Elektrotechnik II
Anwendung des nicht skalierten Z − Y − Diagramms für Schaltungsberechnung:
ZGesamt
Gegeben:
Z1
Z 0 = (20 + j10)Ω
ωC p = 45mS
ωLS = 22Ω
L
Z0
C
Gesucht:
Z Gesamt
S
p
1. Maßstäbe:
mZ =
1 1
1
1
1 1
= 10 =
; mY =
mZ
S 100 mS
10 Ω
2. Einzelschritte:
~
~
(vgl. Bsp. S. 56; Reale Größen Z 0 , Y 0 usw. / Darstellungsgrößen Z 0 , Y 0 usw.)
~
Z0 → Z0
~
~
Z 0 →Y 0
~
ωC p → ωC p
~
~
Y 0 →Y1
~
ωLS → ωLS
~
~
Z 1 → Z Gesamt
1 1
~
(20 + j10)Ω = (2 + j )
Z 0 = mZ Z 0 =
10 Ω
~
Y 0 = (0,4 − j 0,2)
~
1
ωC p = mY ωC p =
45mS = 0,45
100mS
~
~ ~
Y 1 = Y 0 + jωC p ⇒ G = const Kreis zu höherem B
~
Y 1 = 0,4 − j 0,2 + j 0,45 = 0,4 + j 0,25
1
~
ωLS = mZ ωLS =
22Ω = 2,2
10Ω
~
~
~ ~
Z Gesamt = Z 1 + jωL S = Z 1 + j 2,2 ⇒ auf R = const - Gerade zu höherem X
~
Z Gesamt
~
= 10Ω(1,8 + j1,1)
Z Gesamt → Z Gesamt Z Gesamt =
mZ
Ergebnis : Z Gesamt = (18 + j11)Ω
Bemerkung:
Bisher wurden nur Diagramme für die Z - Ebene verwendet.
Eine Anwendung für die Y - Ebene ist analog.
65
Grundlagen der Elektrotechnik II
ZUSAMMENFASSUNG:
WIDERSTAND – LEITWERT – TRANSFORMATION
R
Z = R + jX
1
=
G + jB
Z=
Z= 1
X
G
2
G +B
Y
− j
2
B
2
G + B2
G
Y = G + jB
1
=
R + jX
Y=
B
R
2
R +X
− j
2
X
2
R + X2
Kurven G = const und B = const in der Z-Ebene:
R
G = const = 2
=ˆ F(R,X,G) = 0
R + X2
−X
B = const = 2
=ˆ F(R,X,B) = 0
R + X2
2
2
⇒
1 

 1 
2
R −
 +X =
 ; (G ≥ 0)
2G 

 2G 
⇒
1 

 1 
R + X +
 =
 ; (B <> 0)
2
B
2
B




2
2
2
Kurven R = const und X = const in der Y-Ebene:
R = const =
2
G
2
G + B2
=ˆ F(G, B, R) =
−B
X = const = 2
=ˆ F(G, B, X) = 0
G + B2
Schaltungsmaßnahmen:
_ 1
B
_ 1
2B
X
2
⇒
2
1 

 1 
G + B +
 =
 ; (X <> 0)
2
X
2
X




2
B nimmt zu
(B < 0)
Z-Ebene
Lp
Cp
G nimmt zu
Rp
(G > 0)
1
G
1
2G
Ls
1
2B
R
Rs → R wächst, X bleibt
Rp → G wächst, B bleibt
Ls → R bleibt, X wächst
Lp → G bleibt, B nimmt ab
Cs → R bleibt, X nimmt ab
Cp → G bleibt, B wächst
(Index s → seriell, Index p → parallel )
G-Kreis
Rs
Cs
1
B
2
1 

 1 
2
⇒ G −
 +B =
 ; (R ≥ 0)
2R 

 2R 
0
B nimmt zu
(B > 0)
66
Grundlagen der Elektrotechnik II
4. Drehstrom:
-
Behandlung nur des technisch wichtigsten „Dreiphasen – Systems“ als
Spezialfall eines n – Phasensystems.
Keine neuen Elemente, nur Verschaltung von 3 Wechselspannungsquellen.
4.1. Grundbegriffe:
Erzeugung der 3 Wechselspannungen eines symmetrischen Drehstrom –
Generators:
1
3'
2'
N
S
2
3
3 Wicklungen, identisch aber um
2π
je 120° =
gegeneinander
3
gedreht
Folge: 1 – 2 – 3 bei Drehung
 dΦ 
⇒ ui (t ) = ω 

 dt i
1'
u u(t( )t )
û
u1 (t )
1
0
Reelle Darstellung:
der sinusförmigen
zeitabhängigen
u 2 (t ) Teilspannungen)
π
3
2π
3
4π
3
3π
2π
u 3 (t )
u S 1( t ) = Û sin( ω t )
(Zeitnullpunkt entsprechend gewählt)
2π 

u S 2 ( t ) = Û sin ω t −

3 

4π 
2π 


u S 3 ( t ) = Û sin ω t −
 = Û sin ω t +

3 
3 


67
Grundlagen der Elektrotechnik II
Komplexe Darstellung im symmetrischen 3 – Phasensystem
(Verwendung der Effektivwert-Zeiger U , I statt der Amplituden-Zeiger Û , Î )
U
1 U
S3 2
3
U
2
U
U S 2 = Ue
120° =
2π
3
−j
2π
3
NR : U S 2
U S1
U S 3 = Ue
2π
120° =
3
3
U
2
US2
U S1 = Ue j 0 = U
−j
2
4π
3
1 
 1
3
= U − − j
2 
 2
1 3
=U 2 +  =U 2
 4 4
= Ue
j
2π
3
1 
 1
3
= U − + j
2 
 2
1 U
2
Es gilt also (bei Symmetrie):
U S1 = U S 2 = U S 3 = U
ϕ1 − ϕ 2 = ϕ 2 − ϕ 3 = ϕ 3 − ϕ 1
und daraus:
U S1 + U S 2 + U S 3 = 0 wie auch u1 (t ) + u 2 (t ) + u3 (t ) = 0
Schaltungsmöglichkeiten des Generators:
(Bisher 6 freie Wicklungsenden 1-1’,2-2’,3-3’
Îsinnvolle Zusammenschaltung:
a) Sternschaltung: alle gestrichenen Enden als „Sternpunkt“ vereinigt.
I
3
I
I
S0
I
US3
I
S3
S2
2
L3
US2
3
U23
S1
U31
1
I
US1
I
I
L1
U12
21
12
L2
00
L0
Bezeichnungen:
U S 1 ,U S 2 ,U S 3
΄Strangspannungen“
I S1 , I S 2 , I S 3
Î „Strangströme“
U 12 ,U 23 ,U 31
Î „Leiterspannungen“ / „verkettete Spannungen“
I L1 , I L 2 , I L 3
Î „Leiterströme“
Bei Sternschaltung gilt: I L1 = I S 1 ; I L 2 = I S 2 ; I L 3 = I S 3 ; I L 0 = I S 0 ;
68
Grundlagen der Elektrotechnik II
Es gelten für alle (auch unsymmetrische) Sternschaltungen:
a) 1 Knotenpunktgleichung (für Sternpunkt)
3
3
i =0
i =0
I S1 + I S 2 + I S 3 + I So = I L1 + I L 2 + I L 3 + I Lo = ∑ I Si = ∑ I Li = 0
Die Summe aller Ströme inklusive Nullleiterstrom I 0 = I L 0 ist null.
b) 3 Maschengleichungen
U 12 = U S 1 − U S 2 

U 23 = U S 2 − U S 3  ⇒ U 12 + U 23 + U 31 = 0
U 31 = U S 3 − U S 1 
Bei Symmetrie ergibt sich z.B. für U 12 :
1 
1 
 1
 1
3  = U S + 1 + j
3
U 12 = U S 1 − U S 2 = U S − U S − − j
2 
2 
 2
 2
US3
U
S2
U 12
U S1
3
U
2
US2
12
2
9 3 
U 12 = U S2  +  = U S2 = 3U S2
4
4 4
U 12 = 3 U S
bei
und Symmetrie
69
Grundlagen der Elektrotechnik II
b) Dreieck - Schaltung: (kein Nullleiter)
I L3
2'
3
3
US3
US2
I
3'
1
U23
I
I
S3
I
S1
1
U12
L1
US1
S2
2
U31
I
1'
2
L2
0
Bei der Dreieckschaltung sind die Strangspannungen gleich den
Leiterspannungen („verkettete Spannungen“)
U S1 = U 12 
3
U S 2 = U 23 ∑U Si = ∑U ik = 0
i =1
U S 3 = U 31 
Bei der Dreieckschaltung muß
∑U
Si
in jedem Fall =0 sein. Sollte
dies nicht von vornherein schon für die Spannungen U S1 ,U S 2 ,U S 3 im
Leerlauf gelten, so fließen nach Zusammenschalten
Ausgleichströme, so dass für die Klemmenspannungen U S1 ,U S 2 ,U S 3
gilt:
∑U
Si
=0.
Knotenpunktsgleichungen:
I L1 = I S 1 − I S 3  3

I L 2 = I S 2 − I S 1 ∑ I Li = 0
i =1
I L 3 = I S 3 − I S 2 
Das Generator – Dreieck kann von der Leitung her als 1 Knoten
betrachtet werden.
70
Grundlagen der Elektrotechnik II
Speziell: Bei Symmetrie von Generator und Verbraucher: I S 1 = I S 2 = I S 3 = I S
IS3
I L1 = I S 1 − I S 3 (s.o.)
Î I L1 = I L 2 = I L 3 = I S 3 = I L
Lineare ∆- Symmetrie
IS1
IS2
-IS3
IL1
c) Zusammenfassung und Verallgemeinerung
1)
Strangströme = Leiterströme
Bei Symmetrie „ U L =
2)
3 U S “;
Strangspannungen = Leiterspannungen (verkettete
Spannungen)
Bei Symmetrie „ I L =
3 I S “;
Für Leiterspannungen gilt immer:
3) ∑U ik = 0
Für Leiterströme gilt immer:
4) ∑ I L = 0 (incl. I0, falls vorhanden)
5) „Fiktiver Sternpunkt“
Wenn bei Generator in
die Strangspannungen US1, US2, US3
gegeben, dann Leiterspannungen U1 2, U2 3, U3 1 eindeutig festgelegt:
U3 1
U1 2= US1 – US2
U2 3= US2 – US3
US3
U2 3
US1
US2
U3 1= US3 – US1
U1 2
71
∑U
ik
=0
Grundlagen der Elektrotechnik II
Wenn umgekehrt die Leiterspannungen U1 2, U2 3, U3 1 gegeben sind, kann kein
eindeutiger Sternpunkt daraus bestimmt werden. Es gibt beliebig viele mögliche
Sternpunkte, von denen einer gewählt werden kann („fiktiver Sternpunkt“)
Beispiele:
oder
U3 1
US3
U2 3
U3 1
U’S3
U2 3
US1
US2
U1 2
U‘S2
Es gilt in beiden Fällen: U1 2= US1 – US2= U’S1 – U‘S2
+ zyklisch
Bemerkung: Phasenfolge U1-> U2-> U3 soll beibehalten werden.
72
U'S1
U1 2
Grundlagen der Elektrotechnik II
4.2 Generator und Verbraucher
Es gibt (nur) 4 Kombinationen:
Generator
Verbraucher
a)
b)
c)
d)
Gegeben:
Gesucht:
Generator – Strangspannungen US1, US2, US3
Verbraucher – Strangspannungen Uν1, Uν2, Uν3
Fälle a und b einfach (Verbraucher
)
Von Generator aus sind Leiterspannungen U1 2, U2 3, U3 1 aus
Strangspannungen US1, US2, US3 des Generators sofort zu berechnen.
Fall a) Generator
Æ U1 2 = US1 – US2 und zyklisch
Fall b) Generator
Æ U1 2 = US1 und zyklisch
Daraus
U ν 1 = U 12 und zyklisch
U
I 12 = 12 und zyklisch
Z 12
3
3
U2 3
Uν3
U3 1
Z3 1
1
1
I3 1
Z2 3
Uν2
Z1 2
U1 2
Uν1
2
I1 2
I2 3
2
73
Grundlagen der Elektrotechnik II
Generator
Fall c:
⇔
Verbraucher
I
3
3
US3
US1
I
1
UV1
L1
Y1
M1
U0
L2
UV3
Y2
UV2
M3
I
Y3
1
U0
US2
2
L3
2
M2
I
0
Y0
Gegeben:
Gesucht:
U S 1 ,U S 2 ,U S 3
Y 0 ,Y 1 ,Y 2 ,Y 3
I L1 , I L 2 , I L 3 , I 0
bzw. U V 1 ,U V 2 ,U V 3 ,U 0
(Lösung mit 3 Maschengleichungen und 1 Knotenpunktsgleichung)
I L1
Y1
I
= U S 2 − U 0 = L2
Y2
I
= U S 3 − U 0 = L3
Y3
M1)
U V 1 + U 0 − U S1 = 0
⇒ U V 1 = U S1 − U 0 =
M2)
U V 2 +U 0 −U S2 = 0
⇒UV2
M3)
U V 3 +U 0 −U S3 = 0
⇒UV3
Kpkt)
I 0 + I L1 + I L 2 + I L 3 = 0
⇒ − U 0 Y 0 + (U S1 − U 0 )Y 1 + (U S 2 − U 0 )Y 2 + (U S 3 − U 0 )Y 3 = 0
1
424
3 142
4 43
4 14
4244
3 14
4244
3
I0
I L1
I L2
I L3
3
U Y + U S 2Y 2 + U S3Y 3
U 0 = S1 1
=
Y 0 +Y1 +Y 2 +Y 3
∑U
i =1
Si
Yi
3
Y 0 + ∑Y i
i =1
Vorgehen: Bei gegebenem U Si , Y i , Y 0
1) U 0 ausrechnen
2) U Vi = U Si − U 0
3) I Li = U Vi ⋅ Y i
74
Grundlagen der Elektrotechnik II
Spezialfälle:
1) kein Null – Leiter: Y 0 = 0
3
⇒U 0 =
∑U
i =1
Si
Yi
3
∑Y
i
i =1
2) sehr niederohmiger („guter“) Null – Leiter: Y 0 = ∞
⇒ U 0 = 0; ⇒ U Vi = U Si
3) Symmetrie:
a. Verbraucher symmetrisch: Y 1 = Y 2 = Y 3 = Y
b. Generator symmetrisch ( geschlossenes gleichseitiges Dreieck):
3
∑U
Si
=0
i =1
3
⇒U 0 =
⇒ I Li
Y ∑U Si
= 0; ⇒ U Si = U Vi
3Y + Y 0
= U Vi Y i = U Vi Y
i =1
75
Grundlagen der Elektrotechnik II
Generator
Fall d:
⇔
Verbraucher
3
3
US3
1
US2
U31 M1
U23
UV1
Y1
U12 M2
US1
Y3
1
UV3
Y2
UV2
2
2
Zur Bestimmung von Uν1, Uν2 und Uν3 stehen 2 Maschen- und 1
Knotenpunktsgleichung zur Verfügung, wobei statt der Strangspannungen US1,
US2 und US3 sofort die Leiterspannungen (verketteten Spannungen) U1 2 (= US1),
U2 3 (= US2) und U3 1 (= US3) verwendet werden:
M1)
(I)
M2)
(II)
U 31 = U ν 3 − U ν 1 ;
U 12 = U ν 1 − U ν 2
U
ν 1Y 1 + U ν 2 Y 2 + U ν 3 Y 3 = 0 ;
12
3 123 123
Kpkt) (III)
I1
U ν1
I2
I3
Gleichungen (II) und (III) (d.h. U ν 1 eliminieren)
U 12 = U ν 3 − U 31 − U ν 2
(II)
(U ν
(III)
Uν2
U ν 1 = U ν 3 − U 31 ;
3
U ν 2 = U ν 3 − U 31 − U 12 = U ν 3 + U 23
14243
− U 31 )Y 1 + U ν 2 Y 2 + U ν 3 Y 3 = 0 ;
U 23 ( s . a . Bild )
Gleichung (III) (d.h. U ν 2 eliminieren)
(U
v3
− U 31 )Y 1 + (U v 3 + U 23 )Y 2 + U v 3 Y 3 = 0 ;
142
4 43
4
Uv2Y2
Uν3 =
U 31 Y 1 + U 23 Y 2
3
∑Y
i =1
und zyklisch;
i
Spezialfall: Verbraucher symmetrisch Y 1 = Y 2 = Y 3 = Y
U ν1 =
1
(U 12 + U 23 ) und zyklisch
3
76
Grundlagen der Elektrotechnik II
4.3 Umrechnung
beim Verbraucher („Transfiguration“)
Während die Kombination Generator
und Verbraucher
sehr einfach ist
(Kap 4.2 Fall a), sind bei folgender Schaltung (mit Leitungswiderständen) z.B. die
Leitungsströme IL1,2,3 schwieriger zu bestimmen.
I
L3
3
3
1
I
Z L3
Z 31
L1
1
Z L1
Z 23
Z 12
2
2
I
Z L2
L2
Dieser Fall ist zu behandeln wie Fall c in Kap 4.2 wenn die
- Schaltung des
Verbrauchers in eine äquivalente
- Schaltung des Verbrauchers an den
Klemmen („Blackbox mit
oder
“).
3
3
Z3
Z3 1
1
1
Z2 3
Z1
Z2
Z1 2
2
2
Gegeben: Z1 2, Z2 3, Z3 1 => Gesucht: Z1, Z2, Z3
77
Grundlagen der Elektrotechnik II
Klemmenäquivalenz:
1 – 2 => Z 1 + Z 2 =
Z 12 (Z 23 + Z 31 )
;
Z 12 + Z 23 + Z 31
2 – 3 => Z 2 + Z 3 = ... zyklisch
3 – 1 => Z 3 + Z 1 = ... zyklisch
x1
x1
x(-1)
x(-1) x1
x1
x1
x(-1) x1
∑
∑
∑
Z1
Z2
Z3
Z Z
Z 1 = 12 31 und zyklisch
" ∑ Z ik "
Ergebnis:
4.4 Leistungsberechnung bei Drehstrom
a)
Wechselstrom (2 Leiter):
I
Generator
b)
U
P = U I = PW + jPB
*
Verbraucher
Mehrleiter (n Leiter):
1 Leiter als Bezugsleiter (hier 0)
n
-> In
Pν = U ν I ν
*
...
Un
n
1
-> I1
P = ∑U ν I ν
*
1
0
c)
U1
-> I0
(n+1 Leitungen, n Wattmeter)
Drehstrom (3 Leiter):
1 Leiter als Bezugsleiter (hier 2)
3
-> I3
P = U 12 I 1 + U 32 I 3 = U 12 I 1 − U 23 I 3
*
U3 2
2
1
U1 2
-> I2
-> I1
78
*
*
(3 Leitungen, 2 Wattmeter)
*
Grundlagen der Elektrotechnik II
5. Transformator
Der Transformator dient zur nichtgalvanischen Verkopplung von Stromkreisen
durch magnetische Wechselwirkung (Induktion).
5.1 Ableitung der Transformatorgleichungen
Transformator Schema:
otenpk
Kn
Φ2
t
Φ1
I1
I2
u~1 (t )
u~2 (t )
Φ3
Rm3
Rm1
v
Rm2
v
Mit Durchflutungsgesetz ∫ H • dr = wI und Quellenfreiheit des B- Feldes
v
v
∫ H • dA = 0 (Å Knotenpunktgleichung der magnetischen Flüsse) hatte sich
H .F .
ergeben (vgl. Skriptum 1. Trimester Kap. 5.8.2):
114444
64444Ψ7
8 644Ψ7
12448
w ⋅ (R + Rm3 )
w ⋅R
Ψ1 = w1 ⋅Φ1 = w1 ⋅ 1 m 2
⋅ I1 + w1 ⋅ 2 m3 ⋅ I 2 ;
14442N
4443
142
4 N
43
4
L11 = L1
L12 = M
Ψ 22
8
21448 6444474444
644Ψ7
w ⋅ (R + R )
w ⋅R
Ψ 2 = w2 ⋅Φ 2 = w2 ⋅ 1 m3 ⋅ I1 + w2 ⋅ 2 m1 m3 ⋅ I 2 ;
N4
N 443
142
4 43
144424
L21 = M
L22 = L2
N = Rm1 Rm2 + Rm2 Rm3 + Rm3 Rm1
Festlegung: Da wegen L12 = L21 nur 3 verschiedene Induktionskoeffizienten
existieren, wird vereinfachend gesetzt:
L11 = L1, L22 = L2 und L21 = L12 = M
79
1.Index =ˆ Ort der Wirkung;
2.Index =ˆ Ort der Ursache
Grundlagen der Elektrotechnik II
Mit den Selbstinduktionskoeffizienten L1, L2 und dem
Gegeninduktionskoeffizienten M ergibt sich:
ψ 1 = w1φ1 = L1 I1 + M I 2 ;
ψ 2 = w2φ2 = M I1 + L2 I 2 ;
dφ
verknüpft die Spannung an einer Spule mit der
dt
zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses Φ, der die
w Windungen der Spule durchsetzt. Für die Spule 1 mit u~1 (t ) und i1 (t ) bzw. für die
Spule 2 mit u~2 (t ) und i2 (t ) gilt:
Das Induktionsgesetz U = w
dφ (t ) dψ 1 (t )
di (t )
di (t )
u~1 (t ) = w1 1 =
= L11 1 + L12 2 ;
dt
dt
dt
dt
dφ (t ) dψ 2 (t )
di (t )
di (t )
u~2 (t ) = w2 2 =
= L21 1 + L22 2 ;
dt
dt
dt
dt
Hierbei sind die von Geometrie und Material abhängigen Induktionskoeffizienten L
zeitlich konstant und unabhängig vom Strom angenommen (Keine
Sättigungseffekte des Transformators (keine Hysterese) berücksichtigt).
80
Grundlagen der Elektrotechnik II
Die Widerstände R1 und R2 der Wicklungen werden in folgender Ersatzschaltung
erfaßt:
i1(t)
u1(t)
R1
R2
u~1 (t )
L1
i2(t)
u~1 (t )
L2
u2(t)
M
An den Widerständen R1 und R2 fallen die Teilspannungen R1 i1(t) und R2 i2(t) ab.
Damit ergibt sich für die Gesamtspannungen u1(t) und u2(t) an den Eingängen der
Spule (mit vereinfachter Schreibweise u(t) Æ u, i(t) Æ i ):
di
di
u1 = R1i1 + u~1 = R1i1 + L1 1 + M 2 ;
dt
dt
di
di
u2 = R2i2 + u~2 = R2i2 + M 1 + L2 2 ;
dt
dt
Trafogleichungen reell, für
verlustbehafteten Trafo
Übergang zur komplexen Rechnung (Effektivwerte, sinusförmige Zeitabhängigkeit)
u1 → u 1 = U 1e jω t
und
i1 → i1 = I 1e jω t
damit:
U 1e jω t = R1 I 1e jω t + jωL1 I 1e jω t + jωM I 2e jω t ;
U 2e jω t = R2 I 2 e jω t + jωM I 1e jω t + jωL2 I 2e jω t ;
U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2
U 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2
81
Trafogleichungen komplex
für verlustbehafteten Trafo
Grundlagen der Elektrotechnik II
Kopplungsfaktor k
Der Kopplungsfaktor k wird als Maß für die gegenseitige „Verkopplung“ der
Spulen über ihre magnetischen Flüsse definiert:
k=
Φ12 Φ 21
⋅
=
Φ 22 Φ11
Ψ12 Ψ21
⋅
w1 w2
=
Ψ22 Ψ11
⋅
w2 w1
L12i2 L21i1
⋅
w1 w2
L22i2 L11i1
⋅
w2 w1
⇒k =
1
21
12
mit L12 = L21 = M und
L12 ⋅ L21
L22 ⋅ L11
Spule 1
2
Spule 2
L22 = L2 sowie L11 = L1
ergibt sich:
k=
M
≤1
L1 ⋅ L2
22
11
Def. Streukoeffizient:
σ = 1− k 2 ≤ 1
Messung von R1 , R2 , L1 , L2 , M :
a) R1 , R2 aus Gleichstrommessung (Induktivitäten L spielen dabei keine Rolle)
b) Sekundärseite Leerlauf → I 2 = 0 → U 1 = ( R1 + jωL1 ) I 1

U 
j  U 
⇒ jωL1 =  1 
− R1 ⇒ L1 = −  1 
− R1 
ω  I 1  I =0

 I 1  I 2 =0
2

Primärseite Leerlauf → I 1 = 0 → U 2 = ( R2 + jωL2 ) I 2
c)

U 
j  U 
⇒ jωL2 =  2  − R2 ⇒ L2 = −  2  − R2 
ω  I 2  I =0

 I 2  I 1 =0
1

U 
U 
j U 
j U 
jωM =  2 
=  1 
⇒ M = −  2 
= −  1 
ω  I 1  I =0
ω  I 2  I =0
 I 1  I =0  I 2  I = 0
2
1
2
oder mit bekanntem R1 und L1 :
U1 
R + jωL1
j U 


= 1
⇒ M = −  2  (R1 + jωL1 )
jωM
ω  U 1  I =0
 U 2  I 2 =0
2
82
1
Grundlagen der Elektrotechnik II
5.2 Anwendungen der Trafogleichungen, Trafo- Varianten
a) Verlustbehafteter, nicht fest gekoppelter Trafo (allgemeiner Fall)
I1
R1
U1
R1
L1
L2
I2
U2
Z2
M
Zur Verfügung stehende Gleichungen:
1)
U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 ;
2)
U 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2 ;
3)
U 2 = −Z 2 I 2 ;
Trafogleichungen
(Minuszeichen wegen entgegengesetzter Zählrichtung
von U2 und I2 )
Klassischer Anwendungsfall:
Gegeben:
Trafodaten (R1, R2, L1, L2, M bzw. k), Primärspannung U1,
sekundärer Belastungswiderstand Z2.
Gesucht:
U2, I1 und I2 (sowie davon abhängige Größen wie z.B. Leistung an
Z2).
Situation:
3 unabhängige Gleichungen ( 1), 2) und 3) ) für
3 unbekannte Größen.
Berechnung (prinzipiell):
U2 aus 3) Æ2) =
ˆ U2 eliminieren
daraus dann I2 Æ 1) =
ˆ I2 eliminieren
hieraus I1 usw.
Statt einzeln U2, I1 und I2 zu berechnen, ist es häufig auch interessant, das
I2
, die Widerstandstransformation Z2 Æ Z1 und das
I1
U
Spannungsverhältnis 1 zu bestimmen:
U2
Stromverhältnis
83
Grundlagen der Elektrotechnik II
Stromverhältnis
3) Æ 1)
I2
:
I1
− Z 2 I 2 = jωM I 1 + (R2 + jωL2 )I 2 ;
− (R2 + jωL2 + Z 2 )I 2 = jωM I 1 ;
Abkürzung: ZS = Gesamtwiderstand auf Sekundärseite = R2 + jωL2 + Z 2
I2
jωM
=−
I1
ZS
Widerstandstransformation Z2 Æ Z1:
Aus 1) und mit
1
I2
Æ U 1 = (R1 + jωL1 )I 1 + jωM I 2 ⋅
I2
I1
U 1 Z = (R + jωL ) + (ωM )
= 1
1
1
ZS
I1
2
U1
:
U2
U
I1
I2
I2
1)
+ jωM
und mit
Æ 1 = (R1 + jωL1 )
Aus
U2
−
−
I2
I2
3)
I1
1Z223
1Z223
Spannungsverhältnis
U2
U 1 R1 + jωL1  Z S   jωM  jωM
=

−

U2
− Z 2  − jωM   Z 2  jωM
1424
3
I1
I2
{
1
U1
(R1 + jωL1 )Z S + (ωM )2
=
U 2 jω M Z 2
84
}
U2
Grundlagen der Elektrotechnik II
b) Verlustloser, nichtfestgekoppelter Trafo
R1 = R2 = 0; Î Berücksichtigen in bisherigen Gleichungen.
Spezialfälle:
⇒
Spannungsverhältnis
U1
U2
I2
U1
im Leerlauf ( Z 2 = ∞; I 2 = 0 ):
U2
=0
6
47
4
8
jωL1 I 1 + jωM I 2 L1
L1
1 L1
=
=
=
=
;
=0
jωM I 1 + jωM I 2 M k L1 L2 k L2
1
424
3
=0
w1φ11
;
I1
wφ
und ψ 21 = w2φ 21 = L21 I1 = M I1 Æ M = 2 21 ;
I1
Mit ψ 11 = w1φ11 = L11 I1 = L1 I1 Æ L1 =
ergibt sich:
Wegen
⇒
U1
U2
=
I 2 =0
L1 w1φ11 I1
w φ
=
= 1 11
M
I1 w2φ 21 w2 φ 21
φ11 > φ 21 gilt damit
Stromverhältnis
U1
U2
>
I 2 =0
U1
w1
bzw.
U2
w2
>
I 2 =0
w1
w2
I2
im Kurzschluß ( Z 2 = 0;U 2 = 0 ):
I1
2) U 2 = jωM I 1 + jωL2 I 2 = 0 Î
I1
L
L2
1 L2
=− 2 =−
=−
;
I2
M
k L1
k L1 L2
w2φ 22
;
I2
wφ
und ψ 12 = w1φ12 = L12 I 2 = M I 2 Æ M = 1 12 ;
I2
Mit ψ 22 = w2φ 22 = L22 I 2 = L2 I 2 Æ L2 =
ergibt sich:
Wegen
I1
I2
=−
U 2 =0
L2 w2φ 22 I 2
w φ
=
= − 2 22
M
I 2 w1φ12
w1 φ12
φ 22 > φ12 gilt damit
I1
I2
U 2 =0
 w 
I
<  − 2  bzw. 1
I2
 w1 
85
>
U 2 =0
w2
w1
Grundlagen der Elektrotechnik II
c) Verlustloser, festgekoppelter Trafo:
R1 = R2 = 0 und k = 1
Mit k = 1 gilt M = 1 L1 L2 und damit auch
Außerdem bedeutet k = 1 =
L1
=
M
L1
=
L2
M
.
L2
(*)
Φ 21 Φ12
Φ
Φ
⋅
auch 21 = 1 und 12 = 1 bzw. Φ 21 = Φ11
Φ11
Φ 22
Φ11 Φ 22
und Φ12 = Φ 22 .
Hieraus folgt mit Φ1 = Φ11 + Φ12 und Φ 2 = Φ 22 + Φ 21 :
{
{
Φ 22
Î
Φ11
Φ1 = Φ 2
Identische Flüsse Φ1 und Φ 2 in den Spulen 1 und 2 bedeuten auch
dΦ1 dΦ 2
übereinstimmende Änderungen
=
, so dass sich ergibt:
dt
dt
dΦ1
U
dt = w1 (für jeden Belastungsfall)
Spannungsverhältnis 1 =
dΦ 2 w2
U2
w2
dt
w1
Für den verlustlosen festgekoppelten Trafo gilt also bereits, dass das
Spannungsverhältnis gleich ist den Verhältnis der Windungszahlen der
Wicklungen.
Dies lässt sich auch folgendermaßen ableiten:
Φ1 = Φ 2 ⇒ Φ 3 = 0 ⇔ Rm3 = ∞
(Herzuleiten aus Gleichungen des magnetischen Kreises; siehe
Zusammenfassung „Formelsammlung Trafo“)
Mit Rm 3 ≈ ∞
ergibt sich aus L1 = L11 =
(Rm 2 + Rm3 ) w12
Rm1 Rm 2 + Rm 2 Rm 3 + Rm1 Rm 3
(siehe „Formelsammlung Trafo“)
w22
und analog L2 = L22 =≈
;
Rm 2 + Rm1
⇒
L1 w12
=
bzw. mit Gl (*)
L2 w22
w1
=
w2
L1 L1 M
=
=
L2 M L2
86
≈
w12
;
Rm 2 + Rm1
(**)
(***)
Grundlagen der Elektrotechnik II
Damit gilt für das Spannungsverhältnis
jωL1 I 1 + jωM I 2
U1
=
=
U 2 jωM I 1 + jωL2 I 2
Stromverhältnis
U1
in jedem Belastungsfall:
U2
L1 L1 I 1 + L1 L2 I 2
L1 L2 I 1 + L2 L2 I 2
=
L1
L2
=
w1
(s.o.)
w2
I1
:
I2
Gl.1) U 1 = jωL1 I 1 + jω L1 L2 I 2
1
424
3
M
I1 =
L
w
U1
− 1 I 2 = I 10 − 2 I 2
jωL
L2
w1
{1
I 10
Def.: I 10 = Magnetisierungsstrom = Strom, der Magnetfeld (-änderung) für die
Induktion der Primärspannung U 1 aufbaut, auch wenn vom Strom I 2 im
Sekundärkreis kein Magnetfeld dazukommt:
I 10 = I 1 I
2 =0
=
U1
jωL1
Damit ergibt sich das
w
w
I
I
Stromverhältnis 1 = 10 − 2 (also ≠ 2 wegen des Magnetisierungsstromes I 10 )
I 2 I 2 w1
w1
d) Idealer Übertrager:
R1 = R2 = 0; k = 1; Magnetisierungsstrom I 10 = 0 . Aus I 10 = 0 folgt wegen I 10 =
U1
jωL1
auch: L1 → ∞
dies bedeutet mit Gl (**) ⇒ Rm 2 + Rm1 → 0 und daraus mit Gl (***) auch ⇒ L2 → ∞
und M = L1 L2 → ∞
Spannungsverhältnis: (vgl. verlustlosen, festgekoppelten Trafo)
U 1 w1
=
=Ü
U 2 w2
Stromverhältnis: (vgl. verlustlosen, festgekoppelten Trafo)
=0
}
I 1 I 10 w2
w
1
=
−
=− 2 =−
I 2 I 2 w1
w1
Ü
87
Grundlagen der Elektrotechnik II
Widerstandstransformation:
U1
Z1
U1 I 2
w12
I1
2
=
=−
⋅ = −Ü (−Ü ) = Ü = 2
Z 2 −U 2
U 2 I1
w2
I2
Kurz: Verhältnis der Spannungen wie das Verhältnis der Windungszahlen
Verhältnis der Ströme umgekehrt dem Verhältnis der Windungszahlen
Widerstandstransformation mit Quadrat der Windungszahlen.
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Zusammenfassung: TRANSFORMATOR
1. Index: Ort der Wirkung
2. Index: Ort der Ursache
1. Herleitung der Trafogleichung, Definitionen:
Spule 1: Φ1 = Φ11 + Φ12 ;
Magnetische Flüsse:
Spule 2: Φ2 = Φ21 + Φ22 ;
Physikalische Gesetze:
− Durchflutungsgesetz
r r
 r
r
 ∫ H • ds = ∫ j • dA →


A
 1) R m1Φ1 + R m 3 Φ3 = I1w1 ,

 2) R m 2 Φ 2 − R m 3 Φ3 = I 2 w 2 ;
− Quellenfreiheit
r
r
∫ B • dA = 0
 3) Φ1= Φ 2 + Φ3 ;

 üblich ; Φ3 ≈ 0 wegen R m 3 >> R m1 ; R m 2 ;
(
)
→
3 Gleichungen ↔ 3 Unbekannte (Φ1 , Φ2 , Φ3)
R m 2 + R m3
R
I1w1 + m 3 I 2 w2 = Φ11+ Φ12 ;
( R m1R m 2 + R m 2 R m 3 + R m 3 R m1) = N
N
→
Φ1=
→
Φ2 =
Verkettete Flüsse Ψ :
(Definition)
R m1+ R m 3
R
I 2 w2 + m 3 I1w1 = Φ 22 + Φ 21;
N
N
Ψ1 = w1 Φ1 = w1 Φ11 + w1 Φ12 = Ψ11 + Ψ12 ;
Ψ2 = w2 Φ2 = w2 Φ21 + w2 Φ22 = Ψ21 + Ψ22 ;
Induktionskoeffizienten L:
(Definition)
Ψ11 =
R m 2 + R m3 2
w1 I1 = L11I1 ;
N
L11 =
R m2 + R m3 2
w1 = L1 ;
N
Ψ 22 =
R m1+ R m 3 2
w 2 I 2 = L 22 I 2 ;
N
L 22 =
R m1+ R m 3 2
w2 = L 2 ;
N
Ψ12 =
R m3
w1 w2 I 2 = L12 I 2 ;
N
L12 =
R m3
w1 w2 ;
N
Ψ 21 =
R m3
w 2 w1 I1 = L 21I1;
N
L 21 =
R m3
w 2 w1 = L12 = M;
N
Φ 21 Φ 12 w 2 Φ 21 w 1 Φ 12 L 21 I 1 L 12 I 2
M2
;
⋅
=
⋅
=
⋅
=
Φ 11 Φ 22 w 1 Φ 11 w 2 Φ 22 L 11 I 1 L 22 I 2 L 1 L 2
Kopplungsfaktor k:
k2 =
Induktionsgesetz:
 U = w dΦ = dΨ 
 ind
dt
dt 
→Spule 1: U1 = w1
dI
dI
dΦ1
dΨ1
dΨ11 dΨ12
+ R1 I1 =
+ R1 I1 =
+
+ R1 I1 = L1 1 + M 2 + R1 I1 ;
dt
dt
dt
dt
dt
dt
→Spule 2: U 2 = w 2
dΦ 2
dΨ 2
dΨ 21 dΨ 22
dI
dI
+ R2 I2 =
+ R2 I2 =
+
R2 I2 = M 1 + L2 2 + R2 I2 ;
dt
dt
dt
dt
dt
dt
In komplexer Schreibweise (für sinusförmige Spannungen und Ströme):
U1 = ( R1 + jωL1 )I1 + jωMI 2 ;
U 2 = jωMI1 + ( R 2 + jωL 2 )I 2 ;
89
Trafogleichungen
2. Anwendung der Trafogleichungen, Trafoeigenschaften:
Verlustbehafteter, nicht festgekoppelter Trafo ( Allgemeiner. Fall ):
1)
2)
3)
U1 = (R1 + jωL1) I1 + jωM I2 ;
U2 = jωM I1 + (R2 + jωL2) I2 ;
U2 = £ Z2 I2 („£“ wegen Zählpfeile U2 und I2)
I2
jωM
jωM
;
=£
=£
I1
R 2 + jωL 2 + Z 2
Zs
1442443
Zs
U
(ωM )2
Z1 = 1 = (R1 + jωL1) +
;
I1
Zs
U1
1
=
Z s ( R1 + jωL1 ) + ( ωM) 2
U 2 jωM ⋅ Z 2
Hieraus: → Stromverhältnis
→ Widerstandstransformation:
{
→ Spannungsverhältnis:
R1 = R2 = 0 ; ( ansonsten Gleichungen wie oben )
Verlustloser Trafo:
M
;
L1L 2
R1 = R2 = 0 ; k = 1 =
Verlustloser, festgekoppelter Trafo:
k2 =1=
}
Φ 21 Φ12
⋅
→Φ21 = Φ11 und Φ12 = Φ22→Φ3 = Φ1 -Φ2 = 0→(kein Streufluß)→Rm3 = ∞
Φ11 Φ 22
1
1
L
w2
w12 und L 2 =
w 22 → 1 = 12 ;
R m 2 + R m1
R m1 + R m 2
L 2 w2
mit Rm3 = ∞ gilt:
L1 =
Spannungsverhältnis:
U1 L1 I1 + MI 2
=
=
U 2 MI1 + L 2 I 2
L1 L1 I1 + L1 L 2 I 2
L1 L 2 I1 + L 2 L 2 I 2
=
L1
L2
=
w1  bei jeder 

;
w 2  Belastung 
•
oder kurz:
U1 w1 Φ1 w1
=
=
•
U2 w Φ
w2
2
2
wegen Φ1 = Φ 2 ;
Strom I1 aus U1 = jωL1 I1 + jω L1 L 2 I 2

 I10 = I1

I2 =0
=
⇒ I1 =
U1 

jωL1 
U1
−
j{
ωL1
I10
L2
w
I 2 = I10 − 2 I 2 ;
L1
w1
Magnetisierungsstrom


w
 ≠ − 2 wg Magnetisierungsstrom I10 
w1


Stromverhältnis:
I1 I10 w 2
=
−
I 2 I 2 w1
Idealer Übertrager:
R1 = R2 = 0 ; k = 1 =
M
; I10 = 0
L1L 2
mit
L1 = ∞ ;
w 22
= ∞ ; daraus M = ∞ ; )
R m1 + R m 2
I
w
1
;
Stromverhältnis: 1 = − 2 = −
I2
w1
Ü
(L1 = ∞ heißt, daß Rm2 + Rm1 = 0; dann auch L 2 =
Spannungsverhältnis (s.o.):
U1 w1
=
=Ü ;
U 2 w2
2
2
U
ÜU
U2
(− I 2 Z 2 ) =Ü 2 Z
Widerstandstransformation: Z 1 = 1 = 1 2 = −Ü
= −Ü
2
I1 − / Ü ⋅ I 2
I2
I2
90