Übungen Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel

MK 21.2.2005 BedWahrschVierFelderT_Ueb.mcd
Übungen Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel
Auf den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit kann nach Lehrplan verzichtet werden.
Aufgabe (1)
Ein Mensch, der seinen Lebenswandel moralisch nicht so einwandfrei gestaltet, sollte sich eventuell mit unserer
Beispielrechnung über einen Aids-Test anfreunden.
Unser fiktiver HIV-Test stellt sich folgendermaßen dar:
T+ = Test zeigt HIV-Infektion
T- = Test zeigt keine Infektion
HIV+ = Person hat Aids
HIV- = alles in Ordnung
HIV+
HIV-
Summe
T+
0.00095
?
?
T-
0.0000025
0.996
?
Summe
0.0009525
?
?
(1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Aids hat?
(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv getestet wird?
(3) Berechnen Sie die Sensivität des Tests: P HIV+(T+)
(4) Berechnen Sie die Spezivität des Tests: P HIV-(T-)
(5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv getestet wird, obwohl sie gesund ist?
(6) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person gesund ist, obwohl sie positiv getestet wurde?
(7) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbreitet eine Person die HIV-Infektion, obwohl der Test sie als gesund
einstuft?
Aufgabe (2)
Sie sind als Qualitätsprüfer in einem Betrieb für das Testen einer Serie eines Gerätes verantwortlich.
Das Gerät kann elektrisch funktionsfähig (E) oder defekt (nE) sein. Außerdem kann sich die Form
innerhalb der Toleranz (T) bewegen, oder die Form eben nicht mehr toleriert (nT) werden.
Von 10000 Stück der Serie sind 520 elektrisch defekt (nE). 370 Stück haben eine unbrauchbare Form (nT).
9305 Geräte verlassen das Werk sofort ohne Beanstandung. Nur elektrisch defekte Geräte werden zur Reparatur in
die Produktion zurückgeführt.
(1) Wieviele Geräte (von 10000) haben beide Fehler?
(2) Wieviele Geräte werden repariert?
(3) Wieviele Geräte werden wahrscheinlich zweimal repariert?
(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffenes Gerät bestens funktioniert?
(5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffenes Gerät einen Formfehler aufweist?
(6) Sie haben ein Gerät mit einem elektrischen Fehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch einen
Formfehler aufweist?
(7) Sie haben ein Gerät mit einem Formfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch einen
elektrischen Fehler aufweist?
(8) Nehmen Sie an, dass mechanischer und elektrischer Test gleich aufwendig sind. Testen Sie zuerst auf den
elektrischen Fehler oder zuerst auf den Formfehler?
Lösungen:
Aufgabe (1)
Ein Mensch, der seinen Lebenswandel moralisch nicht so einwandfrei gestaltet, sollte sich eventuell mit unserer
Beispielrechnung über einen Aids-Test anfreunden.
Unser fiktiver HIV-Test stellt sich folgendermaßen dar:
T+ = Test zeigt HIV-Infektion
T- = Test zeigt keine Infektion
HIV+ = Person hat Aids
HIV- = alles in Ordnung
HIV+
HIV-
Summe
T+
0.00095
?
?
T-
0.0000025
0.996
?
Summe
0.0009525
?
?
Vierfeldertafel ergänzen:
HIV+
HIV-
Summe
T+
0.00095
0.9990475 − 0.996 = 0.0030475
1 − 0.9960025 = 0.0039975
T-
0.0000025
0.996
0.0000025 + 0.996 = 0.9960025
Summe
0.0009525
1 − 0.0009525 = 0.9990475
1
HIV+
HIV-
Summe
T+
0.00095
0.0030475
0.0039975
T-
0.0000025
0.996
0.9960025
Summe
0.0009525
0.9990475
1
(1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Aids hat?
<---Hier sollte immer zu 1
aufsummiert sein!
P(HIV+) = 0.0009525
(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv getestet wird?
(3) Berechnen Sie die Sensivität des Tests: P HIV+(T+) =
(4) Berechnen Sie die Spezivität des Tests: P HIV-(T-) =
0.00095
0.0009525
0.996
0.9990475
P(T+) =
0.0039975
= 0.99738
= 0.99695
(5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv getestet wird, obwohl sie gesund ist?
PHIV-(T+) =
0.0030475
0.9990475
= 0.00305
(6) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person gesund ist, obwohl sie positiv getestet wurde?
PT+(HIV-) =
0.0030475
0.0039975
= 0.76235
(7) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbreitet eine Person die HIV-Infektion, obwohl der Test sie als gesund einstuft?
PT-(HIV+) =
0.0000025
0.9960025
= 0.00000251
Aufgabe (2)
Sie sind als Qualitätsprüfer in einem Betrieb für das Testen einer Serie eines Gerätes verantwortlich.
Das Gerät kann elektrisch funktionsfähig (E) oder defekt (nE) sein. Außerdem kann sich die Form
innerhalb der Toleranz (T) bewegen, oder die Form eben nicht mehr toleriert (nT) werden.
Von 10000 Stück der Serie sind 520 elektrisch defekt (nE). 370 Stück haben eine unbrauchbare Form (nT).
9305 Geräte verlassen das Werk sofort ohne Beanstandung. Nur elektrisch defekte Geräte werden zur Reparatur in
die Produktion zurückgeführt.
Die Vierfeldertafel:
E
nE
T
9005
?
?
nT
?
?
370
?
520
10000
Ergänze die Vierfeldertafel:
E
nE
T
9305
9630 − 9305 = 325
10000 − 370 = 9630
nT
370 − 195 = 175
520 − 325 = 195
370
10000 − 520 = 9480
520
10000
(1) Wieviele Geräte (von 10000) haben beide Fehler?
195
(2) Wieviele Geräte werden repariert? 325
(3) Wieviele Geräte werden wahrscheinlich zweimal repariert?
325 ⋅
520
10000
= 16.9
(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffenes Gerät bestens funktioniert?
9305
10000
= 0.9305
(5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffenes Gerät einen Formfehler aufweist?
370
10000
= 0.037
(6) Sie haben ein Gerät mit einem elektrischen Fehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch einen
Formfehler aufweist?
PnE(nT) =
195
520
= 0.375
(7) Sie haben ein Gerät mit einem Formfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch einen
elektrischen Fehler aufweist?
PnT(nE) =
195
370
= 0.52703
(8) Nehmen Sie an, dass mechanischer und elektrischer Test gleich aufwendig sind. Testen Sie zuerst auf den
elektrischen Fehler oder zuerst auf den Formfehler?
Sie testen zuerst auf Formfehler.
Ein Gerät mit einem Formfehler ist Ausschuss und braucht nicht weiter getestet zu werden.