Mathematik an Höheren Technischen Lehranstalten

1
E. Frühwirth
Mathematik an
Höheren Technischen Lehranstalten
Skriptum zur Vorlesung
TU Wien
2
3
Vorwort
5
1.
7
MECHANIK
1.1. Statik
1.1.1. Zusammengesetzte Kräfte ohne Berücksichtigung der Drehmomente
1.1.2. Zusammengesetzte Kräfte mit Berücksichtigung der Drehmomente
1.2. Festigkeitslehre
1.3. Bewegte Koordinatensysteme
1.4. Starrer Körper
2.
Analyse elektrischer Netzwerke
7
7
12
25
33
37
41
2.1. Begriffe der Elektrizität
2.2. Elementare Berechnungsmethoden für Strom und Spannung
2.3. Gleichungssysteme für Maschen und Knoten
2.4. Ersatzschaltungen
2.5. Vierpole
2.6. Wechselstrom
Nullstellen und Pole
41
41
43
49
54
60
65
3.
71
Integraltransformation
3.1. Fourierreihe
3.1.1. Sinus- und Cosinusfunktionen als Basis
3.1.2. Cosinusfunktionen als Basis
3.1.3. Exponentialfunktionen als Basis
3.2. Fouriertransformation
3.3. Laplacetransformation
3.3.1. Elektrische Netzwerke im Frequenzbereich
3.3.2. Übertragungsfunktion
3.4. z - Transformation
4.
Regelungstechnik
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Index
Zeitinvariante lineare Systeme
Hauptachsentransformation
Zusammenschaltung linearer Systeme
Grundschaltung der Regelungstechnik:
Lehrbuchempfehlungen
71
71
71
71
72
72
73
74
75
79
80
82
96
97
107
109
5
Vorwort
Die Vorlesung soll Studentinnen und Studenten des Lehramtes Mathematik die Verbindung zwischen physikalischen Gesetzen, deren technischer Ausnutzung und
Mathematik erkennen lassen. Die Weitergabe dieser Einsichten an HTL-Schüler hilft
diesen beim Erlernen ihrer beruflichen Aufgaben.
Technische Entwicklung erfordert, dass die physikalischen Abhängigkeiten in einer
technischen Konstruktion erkannt und rechnerisch beschrieben werden, und dass
man jene Parameter findet, deren Variation die technische Erfindung letztlich den
gewünschten Zweck ausführen lässt.
In ihrer Ausbildung lernen die Ingenieure diese Zusammenhänge durch Lehrer
verschiedener Fächer kennen, die auch verschiedene Arbeitsstile praktizieren. Diese
unterschiedlichen Zugänge ergeben sich durch Vorteile in der jeweiligen
Berufspraxis.
Techniker schätzen in jeder Rechnung die vorstellungsfördernde Nähe des realen
Objekts. Im Vordergrund stehen Ökonomie und physikalisches Grundlagenwissen.
Über die Lösungsvarianten vieler Probleme muss rasch entschieden werden. Als
zeitsparende Hilfsmittel sind Computerprogramme willkommen. Es genügt, dass sich
der Softwareentwickler über die Aufgabe den Kopf zerbrochen hat. Händisch durchzuführende Methoden müssen rasch Ergebnisse liefern. Die Schüler lernen das
zügige Entwickeln einer technischen Anlage.
Die Mathematik hingegen erleichtert sich die Strukturaufklärung durch Entfernung
störender Zusatzkonstruktionen, wodurch der Sachverhalt überschaubarer und die
Kreativität erleichtert werden sollen. Großer Zeitaufwand und mathematische Strenge
sind der Preis für die Qualität der Ergebnisse. Das Erlebnis der eigenen Vernunft soll
die Freude an selbstständiger Denkleistung fördern. Die Mathematik beschreibt
Naturgesetze korrekt. Sie ordnet übersichtlich und erweitert dadurch den
Vorstellungshorizont. Sie stellt wirkungsvolle Rechenmethoden zur Verfügung, die
unter Anwendung kluger Einfälle entwickelt wurden.
Mathematik- und Techniklehrer befähigen die Schüler zur Verbindung der Disziplinen. Dieser Brückenschlag erfordert fachübergreifenden Unterricht, weil den
Schülern dieser Schritt ohne Hilfe ihrer Lehrer nicht gelingt. Die Schüler empfinden
die ihnen gezeigten neuen Begriffe noch zu sehr als isoliert, als dass sie allein
Zusammenhänge entdecken könnten. So ist manchen Rechenmethoden der Zweck,
dem sie dienen, kaum mehr anzusehen. Die Nachempfindung der Entwicklung
solcher Algorithmen im Mathematikunterricht ist für die Techniker wertvoll, weil sie
Ideen anderer kennen lernen und die Kraft der eigenen logischen Schlussfähigkeit
erfahren.
Die Gliederung der Vorlesung richtet sich nach der Vorbildung der Mathematik-Studierenden. Die ausgewählten Kapitel der Mechanik, Elektrizität und Regelungstechnik sind logisch aufbauend dargestellt. Hingegen wird erwartet, dass der gleichzeitige
Einsatz unterschiedlicher mathematischer Fertigkeiten verstanden wird. Dieses
Skriptum enthält Übungsaufgaben, bei deren Ausführung man auf so manche Probleme erst stoßen wird. Der richtige Umgang mit physikalischen Einheiten wird geübt.
Wien, am 1. Februar 2010
Ernst Frühwirth
7
1. MECHANIK
1.1. Statik
befasst sich mit den auftretenden Kräften von Konstruktionen,
die nicht beschleunigt
r
r r
r
r
r
r r
dp
dL
werden, z. B. Fachwerke.
= 0 ⇒ ∑ F = 0 und
= 0 ⇒ ∑ M = 0 , d.h. Summe
dt
dt
der Kräfte ist Null, und Summe der Momente ist Null.
1.1.1. Zusammengesetzte Kräfte ohne Berücksichtigung der
Drehmomente
ist eine Addition von Vektoren mit der Einheit einer Kraft. Man betrachtet einen
geometrischen Knoten einer statischen Konstruktion, auf den mehrere Kräfte wirken.
Klassenvertreter der Kräfte werden zu einer geschlossenen Masche
aneinadergereiht. Man achte auf die Korrespondenz zwischen Knoten und Maschen!
Beispiel: Scherenkran
Gesucht sind zeichnerisch und rechnerisch:
•
Druckkraft in der Strebe
•
Zugkraft in der Schließe
•
Waagrechte Zugkraft in der Bewegungsschraube
•
Senkrechte Normalkraft FN zwischen Schraubenmutter und ihren Führungen
Hier wird nach Kräften gefragt, die auf zwei verschiedene Knoten wirken!
Auf den höchsten Punkt des Auslegers wirken die Last und die Kräfte in Schließe
und Strebe. Dass die Schließe am Knoten zieht und die Strebe in den Knoten drückt,
ergibt sich nicht nur aus der unmittelbaren Einsicht, sondern auch zwangsläufig
daraus, dass die Wirkungsrichtungen der Kräfte vorgegeben sind und der Umlaufsinn
bei der Kräfteaddition beibehalten werden muss.
Auf die Schraubenmutter der Transportspindel wirkt die Schließenkraft in der
Gegenrichtung von vorhin, was in der Zeichnung durch einen entgegengesetzten
Pfeil ausgedrückt wird. Die Führung soll die Schraube vor Querkräften schützen. Sie
kann keine Längskräfte aufnehmen. Deswegen zeichnet man die möglichen
Kraftaufnahmerichtungen von Führung und Schraube ein. Der Schnittpunkt
beantwortet die Frage nach der Größe der beiden an der Schraubenmutter
8
angreifenden Kräfte. Die beiden Richtungen folgen aus dem von der Schließenkraft
vorgegebenen Umlaufsinn. Die Summe aller drei Kräfte ist Null.
Die Berechnung kann mit dem Sinussatz
600 ⋅ kN
erfolgen: 2r =
= 1754 ⋅ kN
sin( 20°)
FSchließe = 2r ⋅ sin(30°) = 877kN
FStrebe = 2r ⋅ sin(130°) = 1344kN
FW = 877kN ⋅ cos(40°) = 672kN
FN = 877kN ⋅ sin(40°) = 564kN
Alternativ dazu hätte man mit den
Kartesischen Koordinaten der Kräfte auf
dieselben Resultate schließen können.
Cremonaplan
In Fachwerken kann zu jedem Knoten
eine Kraftmasche gezeichnet werden.
Jede innere Kraft kommt in zwei Maschen
vor. Die Verbindung der Maschen der Art,
dass die inneren Kräfte zur Deckung
kommen, nennt man Cremonaplan.
Antonio Cremona, 1830-1903, geboren in
Pavia. Er wurde im Jahr 1860 Professor
an der Universität von Bologna, wechselte
1866 an das Polytechnische Institut in
Milano. 1877 ging er an die Universität
nach Rom. 1879 wandte er sich von der
Mathematik ab und wurde
Erziehungsminister, später Vizepräsident
des Parlaments.
Aufgaben:
1. In Richtung eines Dachstuhles, der einen Winkel α = 45° besitzt, wirkt die Kraft Q
= 2500 N. Wie hoch ist die Kraft S, die dabei im waagerechten Zugbalken entsteht,
und wie hoch ist die Kraft N, die auf die Wand in senkrechter Richtung wirkt?
Lösung: S = N = 1770 N.
2. Zwei Traktoren, die an den beiden Ufern eines geraden Kanals mit gleichförmiger
Geschwindigkeit entlang fahren, ziehen an je einem Seil einen Kahn. Die
Spannkräfte der Seile betragen 800 N und 960 N; der Winkel zwischen ihnen beträgt
60°. Es ist der Wasserwiderstand P beim Schwimmen des Kahnes zu bestimmen
und die Winkel α und β, die die Seile mit dem Ufer des Kanales bilden, wenn der
9
Kahn parallel zum Ufer schwimmt.
Lösung: P = 1530 N; α = 33°; β = 27°.
3. Die Ringe A, B und C von drei Federwaagen sind fest an einem waagerechten
Brett befestigt. Im Punkte D sind die gespannten Federwaagen verbunden; sie
zeigen dabei 80 N, 70 N und 130 N an. Es sind die Winkel α und β gemäß der
nebenstehenden Skizze zu bestimmen.
Lösung: α = 27,8°; β = 32,2°.
4. Die Stäbe AC und BC sind miteinander im Punkte C und an der senkrechten Wand
durch Gelenke A und B verbunden. Auf den Gelenkbolzen C wirkt eine senkrechte
Kraft P = 10 kN. Es sind die Stabreaktionen auf den Gelenkbolzen C zu bestimmen,
wobei die Winkel zwischen den Stangen und der Wand α = 30° und β = 60°
betragen.
Lösung: Stabreaktion BC = 5 kN; Stabreaktion AC = 8,66 kN.
5. Die Skizzen a, b und c zeigen drei Stabverbandsschemata. Die Stäbe sind
miteinander sowie mit der Decke und den Wänden durch Gelenke verbunden. An
den Gelenkbolzen B, F und K ist eine Last Q = 10 kN angebracht. Es sind die
Stabkräfte für folgende Winkel zu bestimmen:
a) α = β =45°;
b) α =30°
β =60°;
c) α = 60°
β = 30°.
Als Stabkraft wird hier die innere Kraft bezeichnet, die längs des Stabes wirkt, d. h.
die Zug- oder Druckkraft. Zum Unterschied wird die Druckkraft mit einer negativen
Zahl ausgedrückt.
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Lösung:
a) S1 = S2 = +7,07 kN;
b) S1 = + 5,77 kN, S2 = - 11,54 kN;
c) S1 = - 5,77 kN, S2= + 11,54 kN.
6. Ein Mastkran besteht aus dem Pfeiler AB, der mit dem Gelenk A am Mast befestigt
ist und der Kette CB. Am Ende des Pfeilers hängt im Punkt B eine Last P, mP= 200
kg; die Winkel betragen BAC = 15°, ACB = 135°.
Es sind die Kraft T der Kette CB und die Kraft Q im Pfeiler AB festzustellen.
Lösung: T = 1,04kN; Q = 2,83kN.
7. Bei einer in den Bergen verlegten Eisenbahn ist ein Abschnitt derselben in einer
Schlucht so aufgehängt, wie die Skizze es angibt. Die Abmessungen sind aus der
Skizze ersichtlich. Für die Annahme, dass die Aufhängung AB mit einer Kraft von P =
500 kN belastet wird, sind die Kräfte AC und AD festzustellen.
Lösung: Die Stangen AC und AD werden mit gleichen Kräften 539kN
zusammengedrückt.
8. Über zwei sehr kleine Rollen A und B, die auf einer horizontalen Geraden AB = l
liegen, läuft eine Schnur CAEBD. An den beiden Enden C und D der Schnur ist ein
Gewicht p angebracht und in dem Punkt E ein Gewicht P. Es ist, unter
Vernachlässigung der Reibung an den Scheiben, der Abstand x des Punktes E von
der Geraden AB in der Gleichgewichtslage festzustellen. Das Gewicht der Schnur
11
wird vernachlässigt.
Lösung: x =
P ⋅l
2 4 p2 − P2
9. Eine Last mit der Masse 25kg werde von zwei Seilen im Gleichgewicht gehalten.
Die Seile laufen über Rollen und werden von zwei Gewichten gespannt. Eines der
beiden Gewichte hat die Masse 20kg; der Sinus des Winkels, der vom
entsprechenden Seil mit der Senkrechten gebildet wird, ist 0,6. unter
Vernachlässigung der Rollenreibung sind die Masse der zweiten Last und der Winkel
α, den das zweite Seil mit der Senkrechten bildet, festzustellen. Das Gewicht der
Seile ist zu vernachlässigen.
Lösung: α = 53° 10'; m = 15 kg.
10. Eine Last P hängt an den beiden Seilen AB und BCD. Das Seil BCD läuft über
eine Rolle und trägt am Ende D ein Gewicht Q, mQ = 10 kg. AB ist in A an der Wand
befestigt. Es sind unter Vernachlässigung der Reibung die Belastung T des Seiles
AB und das Gewicht der Last P festzustellen, wobei die Winkel, die die Seile mit der
Senkrechten BE in der Gleichgewichtslage bilden, α = 45°; ß = 60° betragen.
Lösung: T = g.12,2 kg; P = g.13,7 kg.
11. Ein Magazinkran trägt eine Last von P = 20 kN, die mit Hilfe der zwei Rollen .A
und D gehoben werden kann. Der Winkel CAD beträgt 30°; die Winkel zwischen den
Kranstäben sind: ABC = 60°, ACB = 30°. Die Stabkräfte Q1 und Q2 in den Stangen
AB und AC sind zu ermitteln.
12
Lösung: Q1 = 0kN; Q2 = - 34,6 kN
12. Auf zwei rechtwinklig aufeinanderstehenden glatten Flächen AB und BC liegt
eine Kugel von 6 kg Masse. Es ist die Auflagekraft der Kugel auf jede Fläche
festzustellen. Die Fläche BC bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 60°.
Lösung: NE = 30 N; ND = 52 N.
13. An einer senkrechten glatten Wand AB hängt an einem Seil AC eine Kugel. Das
Seil bildet mit der Wand den Winkel α, das Gewicht der Kugel ist P.
Es ist die Seilkraft T und die Kraft Q der Kugel auf die Wand festzustellen.
Lösung: T =
P
cos(α )
Q = P ⋅ tan(α )
1.1.2. Zusammengesetzte Kräfte mit Berücksichtigung der Drehmomente
Drehmoment=Normalabstand × Kraft, Verschiebung entlang der Wirkungslinie
verändert das Moment nicht. Es bietet sich das äußere Produkt an:
r
r r r
r
r r r
r r r r dL r&
r
r
=L
M = r × F = (r + λ ⋅ F ) × F = r × ( F + µ ⋅ r )
L=r×p M =
dt
r
r r
M , F , r sind Vektoren, λ und µ sind Skalare. Für Beträge von Vektoren werden
r
Betragsstriche verwendet, oder der Pfeil wird weggelassen, z. B. M = M . Die
r
r
r r
r
Gleichung r × F = (r + λ ⋅ F ) × F drückt aus, dass die Verschiebung einer Kraft
entlang ihrer „Wirkungslinie“ das Drehmoment unverändert lässt.
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Bei der graphischen Kräfte- und Momentenaddition kann man zwei Kräfte entlang
der Wirkungslinien bis zu deren Schnittpunkt verschieben und dort addieren. Die
Summenkraft liegt in der neuen Wirkungslinie. Dadurch ergibt sich auch das richtige
Summendrehmoment für einen beliebigen Bezugspunkt. Die Wirkungslinie der
Summenkraft kann auf diese Art nicht gefunden werden, wenn die gegebenen
Wirkungslinien parallel sind. Unpraktikabel wird das Verfahren auch, wenn der
Schnittpunkt weit entfernt liegt oder schleifend ist. Ein eleganter Lösungsweg für
diese Fälle stammt von
Culmann - Methode
r
r
Gegeben seien zwei Kräfte F1 und F2 mit deren Wirkungslinien. Die Summe der
Kräfte zeichnet man in einem zweiten Diagramm. Das Verfahren zielt darauf ab,
einen Schnittpunkt zweier Wirkungslinien zu bekommen, der auf der Wirkungslinie
der Summenkraft liegt.
r
r
Man bringt zwei Hilfskräfte G1 und − G1 ins Spiel, die in derselben Linie wirken und
r r
r
r
r
r
daher für das Gesamtergebnis ohne Einfluss sind. F1 =: G1 − G0 , F2 =: G2 − G1
r
r
r
r r
F1 + F2 = −G0 + G2 Die Wirkungslinien der Kräfte Gk heißen Seilstrahlen oder
Culmannsche Geraden. Die linke graphische Konstruktion heißt Seileck. Die Kräfte
Gk im rechten Diagramm treffen einander im „Pol“ und heißen deswegen Polstrahlen.
Die rechte graphische Konstruktion heißt Poldiagramm.
Im Poldiagramm erkennt man die Schnittwinkel der Wirkungslinien. Daher ist der
erste Schritt die Festlegung des Pols. Man achtet dabei auf hinreichende Größe der
Schnittwinkel, um die zeichnerische Genauigkeit bei der Konstruktion von
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Schnittpunkten im Seileck zu gewährleisten. Durch Parallelverschiebung konstruiert
man das Seileck.
Das Verfahren kann auf mehrere Kräfte angewandt werden. Der Pol kann beliebig
r
gewählt werden, alle Gk sind davon abhängig. Benachbarte Seilstrahlen treffen
n r
r
r
r
r
r
einander auf der entsprechenden Wirkungslinie. ∑ Fk = −G0 + Gn , Fk = Gk − Gk −1
k =1
Es seien vier Kräfte und deren Wirkungslinien gegeben.
15
Der Pol wird gewählt, die Polstrahlen werden gezeichnet, und das Seileck wird durch
r
r
Parallelverschieben der Polstrahlen gezeichnet. Der Schnittpunkt der zu G0 und G4
gehörenden Seilstrahlen liegt auf der Wirkungslinie der Summenkraft.
Nun sei ein zweifach gelagerter Träger mit drei parallel ansetzenden Kräften
gegeben. Die vier Polstrahlen werden parallel verschoben, um die Seilstrahlen zu
r r
r
bekommen. Der Schnittpunkt von a und d liegt auf der Wirkungslinie von F1 + F2 + F3 .
16
Mehr interessieren aber die Reaktionskräfte in den Auflagern. Dazu schließt man das
r
Seileck durch e. Der entsprechende Polstrahl e’ teilt die Reaktionskraft auf FA und
r
FB auf.
Das Integral des sogenannten Querkraftverlaufes ist das Drehmoment, das den
Träger auf Biegung beansprucht. An den Stellen, wo F(x) das Vorzeichen wechselt,
ist daher das Drehmoment lokal maximal. Die Höhe im geschlossenen Seileckzug ist
auch zum Drehmoment proportional.
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Rechnerische Lösung
Die Summe der Drehmomente ist um jeden Punkt Null. Wenn man als Bezugspunkt
eines der Auflager wählt, gibt es in der Gleichung nur eine Unbekannte. Hier wird
Auflager B gewählt. FA ⋅10m − 6000 N ⋅ 8m − 5000 N ⋅ 6m − 9000 N ⋅ 3m = 0 FA=10500N,
die Summe der Kräfte ist Null, folglich FB=9500N.
Abstand der Wirkungslinie von F1+F2+F3 vom Auflager B:
105000 Nm
= 5,25m .
20000 N
Biegemomentenverlauf: die Summe ist zwar Null, der Querschnitt muss aber die
linksseitigen und rechtsseitigen Momente ausgleichen. Für ein x ∈]x2 , x3 ] ist
x
ML=FA(x-xA)-F1(x-x1)-F2(x-x2). Bei kontinuierlich verteilter Last: M L = ∫ F (ξ ) ⋅ dξ . Für
xA
die Trägerauslegung muss der Biegemomentenverlauf bekannt sein.
Der Massenmittelpunkt
Der Massenmittelpunkt einer Menge von Objekten mit den Massen {mi | i ∈ I } ist jener
r
r
r
Punkt rm , für den gilt: rm ⋅ ∑ mi = ∑ mi ⋅ ri .
i∈I
i∈I
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Der Nutzen dieses Begriffes liegt in der Beschreibung der Wechselwirkung dieser
Objekte. Wegen des Impulserhaltungssatzes bewegt sich der Massenmittelpunkt mit
konstanter Geschwindigkeit, unbeeinflusst von Stößen elastischer und auch
r
r
dri
drm
r
d
⋅ ∑ mi = ∑ mi ⋅ ri = ∑ mi ⋅
= ∑ pi = konstant. Dabei ist
inelastischer Art:
dt i∈I
dt i∈I
dt i∈I
i∈I
allerdings das Fehlen äußerer Einflüsse vorausgesetzt. Ein Koordinatensystem mit
dem Massenmittelpunkt als Koordinatenursprung ist also ein Inertialsystem. Ferner
ist im Massenmittelpunktssystem die Summe der Impulse gleich Null:
r r
r r
d r r
d
wegen 0 = ∑ mi ⋅ (ri − rm ) gilt auch 0 = ∑ mi ⋅ (ri − rm ) = ∑ mi ⋅ (ri − rm ) = ∑ MMS pi .
dt
dt i∈I
i∈ I
i∈ I
i∈ I
Schon an der Darstellung des Stoßes zwischen zwei Teilchen im
Massenmittelpunktssystem wird deutlich, wie übersichtlich die möglichen Impulse
nach dem Stoß beschrieben werden können. Auf sehr einfache Weise geht jener
Anteil der mechanischen Energie in die Rechnung ein, welcher beim Stoß in Wärme
umgewandelt wird.
Neben der Verwendung des Massenmittelpunktes als Ursprung eines Inertialsystems
ist er auch von Nutzen bei der Untersuchung beschleunigter starrer Körper. Ein
starrer Körper möge an einem Punkt P so ergriffen werden, dass eine Drehung um
diesen Punkt unmöglich ist. Der Körper werde in eine Richtung geradlinig
beschleunigt. Wir wählen ein bewegtes Koordinatensystem, dessen Ursprung mit
dem Punkt P und dessen eine Achse mit der Beschleunigungsrichtung
zusammenfällt. Aus der Sicht des bewegten Systems greift an jedem Teilchen des
⎛ 0⎞
⎛0⎞
r
⎜ ⎟
r r
r ⎜ ⎟
Körpers eine Scheinkraft Fi = −mi ⋅ ⎜ 0 ⎟ , die das Drehmoment ri × Fi = −(mi ⋅ ri ) × ⎜ 0 ⎟
⎜a⎟
⎜a⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛0⎞
⎛ 0⎞
r ⎜ ⎟
⎛
⎞ r ⎜ ⎟
verursacht. Das ganze Drehmoment − ∑ (mi ⋅ ri ) × ⎜ 0 ⎟ = −⎜ ∑ mi ⎟ ⋅ rm × ⎜ 0 ⎟ ist also
i∈ I
⎝ i∈ I ⎠
⎜a⎟
⎜a⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
genauso groß, als wäre die ganze Masse im Massenmittelpunkt konzentriert. Wenn a
die Schwerebeschleunigung ist, beschreibt der Formalismus einen im Punkt P
montierten starren Körper. Dieser Umstand rechtfertigt die Bezeichnung
Schwerpunkt für den Massenmittelpunkt.
Wählt man den Massenmittelpunkt als Angriffspunkt für die Beschleunigung und
gleichzeitig als Koordinatenursprung, dann ist das Drehmoment gleich Null, weil
r r
∑ mi ⋅ (ri − rm ) = 0 .
i∈I
r
r
r
Für den Fall einer kontinuierlichen Masseverteilung ist rm ⋅ m = rm ⋅ ∫ dm = ∫ dm ⋅ r .
Ist weiters die Massedichte über das ganze Volumen V konstant, dann gilt für den
⎛ x⎞
⎜ ⎟
r
r
Massenmittelpunkt rm ⋅V = ∫ r ⋅ dV = ∫ ⎜ y ⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎞
⎜ ⎟ ⎛
⎜ ⎟ ⎛
⎜ ⎟ ⎛
⎞
⎞
r
rm ⋅ V = ⎜ 0 ⎟ ⋅ ∫ ⎜⎜ ∫∫ dy ⋅ dz ⎟⎟ ⋅ x ⋅ dx + ⎜ 1 ⎟ ⋅ ∫ ⎜ ∫∫ dz ⋅ dx ⎟ ⋅ y ⋅ dy + ⎜ 0 ⎟ ⋅ ∫ ⎜⎜ ∫∫ dx ⋅ dy ⎟⎟ ⋅ z ⋅ dz
⎟
⎜
⎠
⎠
⎜1⎟ ⎝ z
⎜ 0⎟ ⎝ y
⎜ 0⎟ ⎝ x
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
. Die
19
Doppelintegrale sind Querschnittsgrößen. So ist
∫∫ dy ⋅ dz
die Größe des
x
Querschnittes durch den Körper für festes x, also parallel zur y-z- Ebene.
Für einen ebenen Körper mit konstanter Dichte, dessen Dicke vernachlässigbar klein
⎞
⎞
⎛ 1⎞ ⎛
⎛ 0⎞ ⎛
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
ist, gilt: rrm ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ∫ ⎜ ∫ dy ⎟ ⋅ x ⋅ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ∫ ⎜ ∫ dx ⎟ ⋅ y ⋅ dy = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ∫ y ( x ) ⋅ x ⋅ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ∫ x ( y ) ⋅ y ⋅ dy .
⎟
⎜
⎝ 0⎠
⎝x
⎠
⎝ 1⎠
⎜
⎝y
⎟
⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
Das Integral ∫ dy ist das Maß der Menge der Punkte des Körpers für festes x, also
x
das Maß der im Körper verlaufenden Teile der Geraden parallel zur y - Achse. Für
dieses Maß wird hier und auch bei der Festigkeitslehre y (x ) geschrieben. Das
Integral ∫ dx = x ( y ) ist das Maß der Menge der Punkte des Körpers für festes y.
y
Aufgaben:
1. Eine Stange AB mit der Länge 1m und der Masse 2kg hängt waagerecht an zwei
parallelen Seilen AC und BD. An der Stange hängt im Abstand AE = 0,25m eine Last
m
P mit der Masse m = 12kg. g = 9,81 ⋅ 2 . Es sind die Seilkräfte TC und TD zu
s
bestimmen.
Lösung: TC =90N; TD =.30N.
2. Es sind die Schienendrücke eines Brückenkrans in Abhängigkeit von der Stellung
der Laufkatze C, auf der sich eine Kranwinde befindet, zu bestimmen. Die Stellung
der Laufkatze soll durch ihren Abstand von der Mitte der linken Schiene aus
bezeichnet werden. Der Abstand ist in Bruchteilen der Gesamtlänge der Brücke
anzugeben. Das Gewicht der Brücke beträgt P = 60kN. Das Gewicht der Laufkatze
mit der Hebelast P1 = 40kN.
20
Lösung: n :=
AC
, RA = (70-40n).kN, RB = (30+40n).kN
AB
3. Ein 10m langer Träger A B mit einem Gewicht von 2000N liegt in zwei Punkten C
und D auf. Das Ende A steht von der Stütze C um 2 m ab, das Ende B ist von der
Stütze D um 3 m entfernt.
Am Trägerende A greift ein Seil an, welches über eine Rolle läuft und an seinem
Ende die Last Q = 3000 N trägt. Weiterhin hängt an dem Träger im Abstand 3 m vom
Ende A eine Last P = 8000 N.
Es sind die Auflagerreaktionen bei Außerachtlassung der Scheibenreibung zu
bestimmen.
Lösung: Rc = 3000N; RD = 4000N.
4. Eine waagrechte Stange AB, die 1N wiegt, kann sich um einen festen Punkt A
drehen. Das Ende B wird durch ein Gewicht von P = 1,5N, welches an einem über
eine Rolle geführten Seil hängt, nach oben gezogen. In einem Punkt, der vom Ende
B den Abstand von 20 cm hat, hängt eine Last Q = 5N.
Wie groß muss die Länge x der Stange AB sein, damit sie sich im Gleichgewicht
befindet?
Lösung: x = 25 cm.
5. Das Ende A einer waagrechten Stange AB mit einer Masse von 20 kg und einer
Länge von 5 m wird durch eine Last mit der Masse 10 kg, die an einem über eine
Rolle geführten Seil hängt, nach oben gezogen. Das Ende B wird auf die gleiche
Weise durch 20kg belastet. In den Punkten C, D, E und F hängen Lasten, deren
Massen entsprechend 5, 10, 15 und 20kg sind. Die Abstände zwischen A, C, D, E, F,
21
B betragen jeweils 1 m. An welchem Punkt muss die Stange gestützt werden, damit
sie sich im Gleichgewicht befindet?
Lösung: In der Mitte.
6. An einer 3 m langen Stange, die 60 N wiegt, sind in gleichen Abständen
voneinander vier Lasten angebracht, die beiden, äußersten befinden sich an den
Stangenenden. Die erste Last von links wiegt 20 N, jede darauf folgende Last ist um
10 N schwerer als die vorhergehende.
In welchem Abstand x vom linken Ende muss die Stange gestützt werden, damit sie
in der Waage bleibt?
Lösung: x = 1,75m.
7. Ein waagrechter Träger ist an einer Mauer gelenkig befestigt (Punkt A) und wird in
einem Abstand von 160 cm von der Mauer gestützt (Punkt B). Der Träger ist 400 cm
lang und wiegt 3200 N. In Abständen von 120 cm und 180 cm von der Mauer entfernt
ruhen auf dem Träger zwei Lasten von 1600 und 2400 N Gewicht. Es sind die
Auflagerreaktionen zu bestimmen.
Lösung: RB = 7900 N nach oben; RA = 700 N nach unten.
8. Ein waagrechter Träger von 4 m Länge und einer Masse von 0,5 t ist so in eine
Mauer eingelassen, dass sich der Träger in den Punkten A und B der Wand stützt.
Die Mauerstärke beträgt 0,5 m.
Es sind die Reaktionen in den Punkten A und B festzustellen, wenn am freien Ende
des Trägers eine Last F mit der Masse 4t angebracht ist.
Lösung: RA = 340 kN nach oben; RB = 295 kN nach unten.
9. Ein waagrechter Träger ist mit einem Ende in die Wand eingemauert. Am anderen
Ende trägt er ein Transmissionslager. Durch das Gewicht der Welle, der Scheiben
und des Lagers erhält der Träger eine senkrechte Belastung von
Q = 1200 N. Bei Außerachtlassung des Trägergewichtes und unter der Annahme,
dass die Belastung Q in einem Abstand a = 750 mm von der Wand wirkt, sind die
Einspannreaktionen zu ermitteln.
22
Lösung:
Auflagerkraft: R = 1200 N; Auflagermoment: M = 900 Nm.
10. Ein waagrechter Träger, der einen Balkon stützt, steht unter der Einwirkung einer
gleichmäßig verteilten Streckenmasse ρ = 200 kg/m. Auf das freie Ende des Trägers
wirkt die Belastung P einer Säule mit mP= 200 kg. Der Abstand der Säulenachse
von der Wand betragt l = 1,5 m.
Es sind die Auflagerreaktionen der Einspannung zu ermitteln
Lösung: R = 5000 N, M = 5250 Nm
11. Der Fahrdraht einer elektrischen Straßenbahn ist alle 40m an Querdrähten
aufgehängt. Sie haben bei 14m Spannweite einen Durchhang von 0,9m. Die Masse
des Fahrdrahtes beträgt 0,56kg/m. Das Eigengewicht des Querdrahtes wird
vernachlässigt.
Welche senkrechte Belastung übt das Gewicht des Fahrdrahtes in einem
Aufhängepunkt aus?
Welche Spannkraft tritt im Querdraht auf?
23
12. Kniehebelpresse
Ges.: zeichnerisch und rechnerisch:
Druckkraft FS in den Spreizen
Presskraft FQ
Normalkraft FN an den Führungen
13. Die Kippbühne für Eisenbahnwagen ruht bei A auf Laufrädern, bei B auf zwei
gespreizten Druckstreben BC und BD. Die Druckstreben stützen sich bei C und D auf
Muttern, die durch eine waagrechte Schraubenspindel mit Rechts- und Linksgewinde
in entgegengesetzte Richtung verschoben werden. Der Antrieb der Spindel erfolgt
mit einem Elektromotor mit Vorgelege. Die senkrechten Seitenkräfte FN werden
durch Stützrollen aufgenommen, die auf waagrechten Schienen laufen. Dadurch
treten an der Zugspindel nur Zugkräfte auf.
Ges.: zeichnerisch und rechnerisch:
Druckkräfte FS, die die Streben in ihrer Ausrichtung ausüben müssen, um die
Bühne bei B mit einer senkrechten Gesamtkraft F=154 kN zu heben
Axiale Zugkraft in der Schraubenspindel
Normalkraft FN an den Muttern der Tragrollen auf ihre Laufschienen
14. Ges.: rechnerisch die Massenmittelpunktsabstände
15. Brückenpfeiler
Ges.: rechnerisch die Massenmittelpunktsabstände
24
16. Bremse
Ges.:
•
Anpresskraft FA
•
Kraft in der Zugstange, die als annähernd waagrecht angenommen werden
kann.
•
Abstand x, damit FA=FB
17. Bandbremse
Ges.:
•
Hebelarm des Bremsbandes in Bezug auf den Hebeldrehpunkt
•
Spannkraft im Bremsband
25
18. Ges.: rechnerisch und zeichnerisch die Auflagereaktionen
19. Fahrbarer Drehkran
Ges.: rechnerisch und zeichnerisch die Auflagereaktionen
1.2. Festigkeitslehre
Zugbeanspruchung
Je größer ein Querschnitt ist, desto mehr Kraft kann er übertragen:
F
[F ] N
A ~ F , σ ⋅ A = F , Zugspannung σ = , [σ ] =
=
= empfohlene SI-Einheit wie
A
[ A] m 2
N
N
kp
für den Druck. Meistens aber
,
, vereinzelt noch
, 1kp=1kg.g,
2
2
mm
cm
cm 2
g=Erdbeschleunigung.
1Pfund=1lb=0,454kg, 1 psi =
1lb ⋅ g
= 6,895 ⋅ 103 Pa
2
inch
Beispiel: eine Schraube wird auf Zug beansprucht. F=3400 N, σ z zul = 60
3400 N
= 56,67mm 2
N
σ z zul 60
mm 2
Aus der Schraubentabelle entnimmt man die Querschnittsflächen:
M10 A=50,9mm2
M12 A=74,3mm2 gewählt
A≥
F
=
Druckbeanspruchung ähnlich wie Zugbeanspruchung
Biegebeanspruchung
N
mm 2
26
Der Übergang von der Zugspannung zur Druckbeanspruchung wird linear
angenähert: σ=k.x
dA=y.dx,
dF=σ.dA=k.x.y.dx
b
dM=dF.x=k.x2.y.dx, k ∈ ℜ
b
b
b
b
a
a
a
a
A = ∫ y ⋅ dx , F = ∫ σ ⋅ dA = k ∫ x ⋅ y ⋅ dx , M = ∫ x ⋅ dF = k ∫ x 2 ⋅ y ⋅ dx .
a
b
Die Integrale
∫x
n
⋅ y ⋅ dx heißen axiale Flächenmomente n-ten Grades.
a
Bemerkungen zum Schwerpunkt,
auch Massenmittelpunkt genannt.
Das für die Kraft F angeführte Integral ist identisch mit jenem, das bei der
Flächenschwerpunktsberechnung vorkam. Die Zugänge sind zwar begrifflich wohl
unterscheidbar,
aber trotzdem ist auch hier das Konzept des Massenmittelpunktes nützlich.
b
Aus
b
∫ x ⋅ y ⋅ dx = x ⋅ ∫ y ⋅ dx = x
m
a
m
⋅ A lässt sich xm berechnen.
a
Unter Benutzung der Koordinate ξ, die vom Massenmittelpunkt wegmisst, gilt für das
Axiales Flächenmomente zweiten Grades:
b
I := ∫ x 2 ⋅ y ⋅ dx =
a
b − xm
2
∫ ( xm + ξ ) ⋅ y ⋅ dξ = xm ⋅
2
a − xm
b − xm
∫ y ⋅ dξ + 2 ⋅ xm ⋅
a − xm
b − xm
∫ ξ ⋅ y ⋅ dξ +
a − xm
b − xm
∫ξ
a − xm
2
⋅ y ⋅ dξ
27
Das zweite Integral verschwindet, weil
I 0 :=
b − xm
∫ξ
2
b − xm
b − xm
a − xm
a − xm
∫ ξ ⋅ y ⋅ dξ = ∫ (x − x )⋅ y ⋅ dx = 0
m
⋅ y ⋅ dξ sei das Flächenmoment zweiten Grades bezogen auf die
a − xm
Schwerlinie. Es gilt der Steinersche Verschiebungssatz: I = xm ⋅ A + I 0
Zurück zur Biegespannung.
2
Bei bekannter Querschnittgestalt berechnet man A, die Lage der Schwerlinie und I0.
Mit bekannten Belastungen F und M erhält man für die Unbekannten k und die
Versetzung xm der neutralen Faser gegenüber der Schwerlinie die beiden
2
M = k ⋅ ( xm ⋅ A + I 0 ) . Sie haben zwei Lösungspaare
Gleichungen F = k ⋅ xm ⋅ A
(k, x m ) .
Wir begnügen uns mit dem einfachen Fall, dass keine Längskraft übertragen wird.
Dann fällt die neutrale Faser mit der Schwerlinie zusammen,
M
. Die größte auftretende Druckspannung ist –k.b, die größte auftretende
xm=0, k =
I0
Zugspannung ist k.a. Das negative Vorzeichen von k ergibt sich aus der gewählten
Lage der linearen Funktion zu Beginn. Auf diese maximalen Beanspruchungen hin
b
a
muss ein Träger ausgelegt werden. σ Druck max = − M ⋅ , σ Zug max = M ⋅
I0
I0
F
, jener für ZugA
und Druckbeanspruchung, bereitgestellt. So wie A allein aus der Querschnittsgestalt
I
berechnet werden kann, kann das Widerstandsmoment W := 0 allein aus der
e
Querschnittsgestalt berechnet werden. e steht für eine der beiden größten Abstände
der Querschnittsränder von der Schwerelinie. In guten Tabellenwerken für
Profilbaustoffe werden I0, e1 und e2 angegeben, W bezieht sich auf den kritischeren
Randpunkt, also
I0
W=
, um Sicherheit bei wechselnder Beanspruchung zu geben. Zumeist
max(e1 , e2 )
sind die Werkstoffe auf Druck stärker beanspruchbar als auf Zug, weshalb man das
Profil so legen sollte, dass die gefährdetere Stelle gedrückt wird. I und W erhalten
noch Indices für die Achsenrichtung, um die die Flächenmomente berechnet wurden:
Wx, Wy, Ix, Iy.
Für den praktischen Gebrauch hat man eine Formel ähnlich σ =
M
ist damit die maximale Spannung, sei es Druck oder Zug. σ ist vom Ort im
W
Material abhängig und stellt einen stärkeren Stress als Zug dar. Deswegen ist die
maximal zulässige Biegespannung σ B, zul unabhängig von den anderen
σ max =
Zulässigkeiten tabelliert.
Beispiele zum axialen Flächenmoment zweiten Grades
28
1.
η ist die Breite des Flächenstreifens, also 2x+ η =2R in der oberen Hälfte. Wegen der
R
Symmetrie ist nicht nur Ix0=Iy0, sondern auch I y 0 = 2 ⋅ ∫ x 2 ⋅ 2 ⋅ ( R − x) ⋅ dx .
0
⎛R
R3
R ⎞ R
⎟⎟ =
Wy =
−
I y 0 = 4 ⋅ ( R ⋅ ∫ x 2 ⋅ dx − ∫ x 3 ⋅ dx) = 4 ⋅ ⎜⎜
3
4 ⎠ 3
⎝ 3
0
0
Im früheren Beispiel von drei Einzellasten auf dem Träger ist die maximale
N
Biegebeanspruchung 30kNm. Bei σ b zul = 60
berechnet man
mm 2
Mb
30 ⋅ kNm
Wy =
=
= 0,5 ⋅ 103 ⋅ m ⋅ 10 −6 ⋅ m 2 = 0,5 ⋅ dm 3
R = 3 1,5 ⋅ dm = 1,145 ⋅ dm
σ z zul 60 ⋅ N
mm 2
Die Kantenlänge des Querschnittes ist 1,619.dm.
R
R
4
4
4
2. Der Rechteckquerschnitt habe die Breite x und die Höhe y. Als
Bezeichnungen beider Achsen seien auch x und y gewählt. So erkennt man
unmittelbar, dass I0 mit der dritten Potenz der Ausdehnung des Querschnitts
senkrecht zur Biegeachse anwächst. η ist die Integrationsvariable in Richtung
y.
y
2
I x 0 = x ⋅ ∫ η 2 ⋅ dη =
−
y
2
1
⋅ x ⋅ y3 ,
12
I y0 =
1 3
⋅x ⋅y
12
Wx =
1
⋅ x ⋅ y2 ,
6
Wy =
1 2
⋅x ⋅y.
6
Die hochkantige Verwendung erhöht die Festigkeit: bei vorgegebenem Querschnitt
x.y wächst Wx linear mit y, bzw. mit der Wurzel des Seitenverhältnisses:
29
1
1
⎛ y ⎞2
Wx = ⋅ A 2 ⋅ ⎜ ⎟ . Das führt auf die Idee, das achsennahe Material einzusparen. Die
6
⎝ x⎠
Belastung wird von den achsenfernen Teilen übernommen.
3
Mit vier Blechplatten konstruiert man ein mechanisch stabiles Rohr mit relativ wenig
Rohstoffverbrauch. Die senkrechten Wände sind für die Erhaltung der Form des
rechteckigen Querschnittes notwendig. Die Verbindung in den Kanten ist durch
Schweißen möglich. Ebenso durch Vernietung oder Verschraubung, wenn man
vorher für Überlappung sorgt: man kann die Bleche an den Rändern biegen oder
vorgefertigte Winkelbleche verwenden.
Das erklärt, warum es genormte Winkelstähle gibt, die ihrerseits beachtlichen
Querschnitt aufweisen. Fixiert man vier dieser Winkelstähle mit senkrechten und
verstärkten waagrechten Blechen, erhält man ein ebensolch stabiles Rohr.
Eine weitere Variation zur Konstruktion desselben Querschnitts benutzt je einen UStahl oben und unten mit senkrechten Verbindungsblechen.
Schließlich sei auf I-Träger verwiesen, deren beide spannungsaufnehmenden Teile
durch einen Steg verbunden sind.
3. Unsymmetrischer I-Träger. Ges.: Lage der Schwerlinie x, Ix, Wx.
Ein Blechstreifen mit dem Querschnitt a.b wird in Streifen geschnitten und auf obige
Weise zu einem Träger verschweißt.
Die Flächenmomente jedes Teilquerschnittes bezogen auf den jeweiligen
Schwerpunkt sind mit der Formel aus Beispiel 2 berechenbar. Mit dem Steinerschen
Verschiebungssatz schließt man auf die einzelnen Flächenmomente bezüglich des
Gesamtschwerpunktes. Abschließend addiert man die Teilflächenmomente.
Schwerlinie: ym ⋅ A =
ym ⋅ 4 ⋅ a ⋅ b =
2 a +b
a
a +b
2 a +b
0
0
a
a +b
∫ Breite ⋅η ⋅ dη = ∫ L + ∫ L + ∫ L = y
a
b⎞
a⎞
⎛
⎛
⋅ a ⋅b + ⎜a + ⎟⋅a ⋅b + ⎜a + b + ⎟⋅2⋅ a ⋅b,
2
2⎠
2⎠
⎝
⎝
m1
⋅ A1 + y m 2 ⋅ A2 + ym3 ⋅ A3
ym =
9
5
⋅a + ⋅b
8
8
30
Teilfläche
Oben
ym ⋅ A
9⋅
2
I x0
( a + b) 2
⋅2⋅a ⋅b
64
2 3
⋅a ⋅b
12
Mitte
( a + b) 2
⋅a ⋅b
64
1
⋅ a ⋅ b3
12
Unten
( a + b) 2
25 ⋅
⋅a ⋅b
64
1 3
⋅a ⋅b
12
Summe
11
⋅ ( a + b) 2 ⋅ a ⋅ b
16
⎛1 2 1 2⎞
⎜ ⋅a + ⋅b ⎟⋅a ⋅b
12
⎝4
⎠
Der Hauptanteil im Flächenmoment, in der Größenordnung etwa das Zehnfache,
1
⋅ (45 ⋅ a 2 + 66 ⋅ a ⋅ b + 37 ⋅ b 2 ) ⋅ a ⋅ b .
kommt durch die Verschiebung der Randteile. I x =
48
Empfohlen werden die Übungsaufgaben zu den Momenten vorgegebener Flächen,
zu den Biegemomenten auf Trägern, sowie die Auslegung dieser Träger in Form und
Querschnittsgröße, sodass sie den berechneten Biegemomenten standhalten.
Drehbeanspruchung
Der Zuwachs der Scherbeanspruchung wird linear angenähert: τ=k.r
31
dA=(r.ϕ1+ r.ϕ2).dr, dF=τ.dA=k.r. r.ϕ.dr dM=r.dF=k.r3.ϕ.dr, k ∈ ℜ
ϕ ist die Summe der Winkel, für die der Kreisring im Werkstoffquerschnitt verläuft.
e
e
e
e
e
0
0
0
0
A = ∫ ϕ ⋅ r ⋅ dr , F = ∫ τ ⋅ dA = k ∫ ϕ ⋅ r 2 ⋅ dr , M = ∫ r ⋅ dF = k ∫ r 3 ⋅ ϕ ⋅ dr .
0
e
Ein Integral
∫r
n +1
⋅ ϕ ⋅ dr heißt polares Flächenmoment n-ten Grades.
0
Zusammenhang zwischen axialen und polaren Flächenmomenten
Für diesen Zweck schreiben wir das polares Flächenmoment zweiten Grades als
Integral I p := ∫∫ r 3 ⋅ dϕ ⋅ dr über alle Punkte des Querschnitts. Nun ist Substitution
⎛ dx ⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞ ⎛ dr ⎞
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
durch kartesische Koordinaten möglich: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ dy ⎠ ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ r ⋅ dϕ ⎠
I p := ∫∫ r 2 ⋅ dx ⋅ dy = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ⋅ dx ⋅ dy = ∫∫ x 2 ⋅ dx ⋅ dy + ∫∫ y 2 ⋅ dx ⋅ dy = I y + I x Die Gültigkeit
des Steinerschen Verschiebungssatzes überträgt sich:
I p = I x + I y = ym2 ⋅ A + I x 0 + xm2 ⋅ A + I y 0 = rm2 ⋅ A + I p 0
M = k ⋅ Ip
, τ max = M ⋅
I
e
, das polare Widerstandsmoment W p = p
e
Ip
Beispiel zum polaren Widerstandsmoment:
Eine Welle(=eine Drehmoment-übertragende Achse) mit Kreisquerschnitt überträgt
N
bei n=4000U/min die Leistung P=85kW. Ihr τ zul = 100 ⋅
. Welchen
mm 2
Mindestdurchmesser muss die Welle haben?
dW F ⋅ ds
=
= F ⋅ v Drehbewegung: s = r ⋅ ϕ , v = r ⋅ ω ⇒
dt
dt
P
85 ⋅ 103 ⋅ N ⋅ m ⋅ s −1
P = F ⋅ r ⋅ω = M ⋅ω
M = =
= 203 ⋅ Nm
ω 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 103 ⋅ (60 ⋅ s) −1
π 3
M
203 ⋅ N ⋅ m
⋅ d = Wp = T = 2
= 203 ⋅ 10 −2 ⋅ m ⋅ mm 2 = 2,03 ⋅ cm3
τ zul 10 ⋅ N ⋅ mm −2
16
dW = F ⋅ ds,
d =3
16
π
P=
⋅ 2,03 ⋅ cm = 2,18 ⋅ cm
Aufgaben:
Berechnen Sie die auf den Schwerpunkt bezogenen axialen und polaren Flächenmomente
zweiten Grades und die Widerstandsmomente! Vergleichen Sie die Lösungen mit der
Tabelle!
Querschnitt
Flächenmoment
Widerstandsmoment
32
Ix = Iy =
Ip =
π
2
e=R
π
4
⋅ R4
⋅ R4
Ix = Iy =
π
Wx = W y =
Wp =
π
2
4
⋅ R3
⋅ R3
5
⋅ 3 ⋅ R4
16
5
Wx = ⋅ R 3
8
5
3
e y = e p = R Wy = ⋅ 3 ⋅ R
16
5
Wp = ⋅ 3 ⋅ R3
8
3
⋅R
2
5
I p = ⋅ 3 ⋅ R4
8
ex =
x ⋅ y3
x ⋅ y2
2
e x = ⋅ y Wx =
3
36
24
3
x ⋅y
x2 ⋅ y
x
Iy =
Wy =
ey =
48
2
24
x⋅ y
Ip =
⋅ 4 y 2 + 3x 2
I
144
Wp = p
ep
⎛ 2 y ⎛ y ⎞2 ⎛ x ⎞2 ⎞
e p = max⎜ , ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜ 3 ⎝ 3⎠ ⎝2⎠
⎠
⎝
Ix =
(
)
(
y 3 ⋅ x22 + 4 x2 x1 + x12
36 ⋅ (x2 + x1 )
2 x2 + x1
ex = y ⋅
3 ⋅ ( x2 + x1 )
Ix =
(
)
y ⋅ x24 − x14
48 ⋅ ( x2 − x1 )
x
ey = 2
2
Iy =
)
(
Wx =
y 2 ⋅ x22 + 4 x2 x1 + x12
12 ⋅ (2 x2 + x1 )
Wy =
y ⋅ x24 − x14
24 ⋅ x2 ⋅ ( x2 − x1 )
(
)
)
Zum Abschluss die nach Guldin benannten Methoden zur Berechnung von Volumen
und Oberfläche von Rotationskörpern:
Guldin – Regeln
Paul Guldin ca. 1600 Mönch Mathematikprofessor in Rom, Graz, Wien
Guldin – Regel für Rotationskörper: das Volumen eines Rotationskörpers ist das
Produkt aus der erzeugenden Fläche und dem Weg des Schwerpunktes eben dieser
Fläche bei einer Umdrehung.
33
Die erzeugende Fläche möge um die x-Achse rotieren. V = π ⋅ ∫ y 2 ⋅ dx
für den Flächenschwerpunktsabstand gilt:
⇒ V = 2 ⋅ π ⋅F ym ⋅ A
F
ym ⋅ A = ∫
y
⋅ y ⋅ dx
2
Guldin – Regel für Umdrehungsflächen: die Größe einer Umdrehungsfläche ist das
Produkt aus Länge der erzeugenden Kurve und dem Weg des Schwerpunktes eben
dieser Kurve bei einer Umdrehung.
Die erzeugende Kurve möge um die x-Achse rotieren. Ob = 2π ⋅ ∫ y ⋅ ds
für den Linienschwerpunktsabstand gilt:
⇒ Ob = 2 ⋅ π ⋅L ym ⋅ l
L
ym ⋅ l = ∫ y ⋅ ds
1.3. Bewegte Koordinatensysteme
r
r
Systeme, in denen gilt F = m ⋅ &r& , heißen Inertialsysteme. Das Grundgesetz der
r
r
Dynamik F = m ⋅ &r& gilt für jede Bewegungskurve. Dabei sind die kartesischen
Koordinaten zu differenzieren. Ein einfach zu verstehendes
Beispiel ist die Bewegung auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit. Der
Körper muss mit der „Zentripetalkraft“ auf seiner Bahn gehalten werden. Die
messbare Kraft fällt mit der Berechneten zusammen.
1)
rechnerischer Zugang
⎛ cos ϕ ⎞ r&
⎛ − sin ϕ ⎞
r
⎟⎟, r = ω ⋅ r ⋅ ⎜⎜
⎟⎟,
r ist konstant, ϕ=ω.t. In kartesischen Koordinaten: r = r ⋅ ⎜⎜
⎝ sin ϕ ⎠
⎝ cos ϕ ⎠
&rr& = −ω 2 ⋅ r ⋅ ⎛⎜ cos ϕ ⎞⎟ = −ω 2 ⋅ rr . Der bewegte Beobachter misst eine Scheinkraft ohne
⎜ sin ϕ ⎟
⎝
⎠
Wechselwirkung irgendwelcher Art, die sogenannte „Zentrifugalkraft“.
2)
einfacher geometrischer Zugang
v2
∆v ∆r v ⋅ ∆t
=
=
⇒ a=
=ω2 ⋅r
r
v
r
r
r r r
Beliebige Bewegungskurve: Sei ( f1 , f 2 , f 3 ) eine Orthonormalbasis eines
r r r
r r r
Inertialsystems, und sei (b1 , b2 , b3 ) eine Orthonormalbasis eines gegen ( f1 , f 2 , f 3 )
bewegten Systems. Die orthogonale Matrix Q verbindet die beidenrBasen:
r r r
r r r
r r
b1 b2 b3 = f1 f 2 f 3 ⋅ Q Die zeitliche Veränderung von (b1 , b2 , b3 ) gegenüber
(
) (
)
34
r r r
( f1 , f 2 , f 3 ) ist
r r r
r r r
r
⎛⎜ b& b& b& ⎞⎟ = f f
f 3 ⋅ Q& = f1
1
2
3
1
2
⎝
⎠
Ω ist schiefsymmetrisch, weil
(
(
)
(
r
f2
)
(
)
r
r r
f 3 ⋅ Q ⋅ Q T ⋅ Q& = b1 b2
− ω3
⎛ 0
⎜
⎜ ω3
⎜−ω
2
⎝
)
d T
0 = E& =
Q ⋅ Q = Q& T ⋅ Q + Q T ⋅ Q& = ΩT + Ω
dt
0
ω1
r
b3 ⋅ Ω, Ω := Q T ⋅ Q& .
ω2 ⎞
⎟
− ω1 ⎟ := Ω
0 ⎟⎠
⎛β ⎞
r ⎜ 1⎟
b3 ⋅ ⎜ β 2 ⎟ werde in dieser Basis dargestellt. Die
⎜β ⎟
⎝ 3⎠
folgenden Umformungen benutzen die Produktregel, das äußere Produkt als
Darstellung der Multiplikation mit einer schiefsymmetrischen Matrix und
⎛ω ⎞
r r r ⎜ 1⎟
r
ω := b1 b2 b3 ⋅ ⎜ ω2 ⎟ .
⎜ω ⎟
⎝ 3⎠
⎛ β& ⎞
⎛ β& ⎞
⎛ β1 ⎞
⎜ ⎟ r r r ⎜ 1⎟ r r r r r ⎜ 1⎟
r& r r r
r = b1 b2 b3 ⋅ Ω ⋅ ⎜ β 2 ⎟ + b1 b2 b3 ⋅ ⎜ β& 2 ⎟ = ω × r + b1 b2 b3 ⋅ ⎜ β& 2 ⎟ .
⎜ & ⎟
⎜ & ⎟
⎜β ⎟
⎝ 3⎠
⎝ β3 ⎠
⎝ β3 ⎠
(
)
r r r
Irgendein Punkt r = b1 b2
(
)
(
)
(
)
(
r r
&rr& = ωr& × rr + ωr × (ωr × rr ) + 2ωr × b b
1
2
(
)
⎛ β& ⎞
r ⎜ 1⎟ r r
b3 ⋅ ⎜ β& 2 ⎟ + b1 b2
⎜ & ⎟
⎝ β3 ⎠
⎛ β&& ⎞
r ⎜ 1⎟
b3 ⋅ ⎜ β&&2 ⎟
⎜ && ⎟
⎝ β3 ⎠
)
(
)
Im bewegten Koordinatensystem seien
⎛ β&1 ⎞
⎜ ⎟
r
r
r
r r r
r
r
Geschwindigkeit v := b1 b2 b3 ⋅ ⎜ β& 2 ⎟ und Beschleunigung a := b1 b2 b3
⎜ & ⎟
⎝ β3 ⎠
r r r r
&rr& = ωr& × rr + ωr × (ωr × rr ) + 2ωr × vr + ar
r& = ω × r + v
r r r
Spezielle Namen tragen ω × (ω × r ) : Zentripetalbeschleunigung,
r r
r r
2ω × v : Coriolisbeschleunigung. Keinen Namen hat ω& × r . Die
r
r r r
Zentripetalbeschleunigung lässt sich auch so schreiben: − ω 2 ⋅ r + (ω , r )ω .
(
)
(
)
⎛ β&&1 ⎞
⎜ ⎟
⋅ ⎜ β&&2 ⎟
⎜ && ⎟
⎝ β3 ⎠
Bemerkenswert ist, dass im festen und bewegten System die Ableitungen der lokalen
r
Koordinaten von ω denselben Vektor im Raum ergeben:
⎛ ω& ⎞
⎛ ω& ⎞
⎛ b ω& 1 ⎞
r r r ⎜b 1⎟ r r r ⎜ f 1⎟
⎟
r& r r r r r ⎜
ω = ω × ω + b1 b2 b3 ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ ⇒ b1 b2 b3 ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ = f1 f 2 f 3 ⋅ ⎜ f ω& 2 ⎟ .
⎜ ω& ⎟
⎜ ω& ⎟
⎜ ω& ⎟
⎝b 3⎠
⎝b 3⎠
⎝ f 3⎠
(
)
(
)
(
)
Beispiele:
1. Ein Flugzeug fliegt entlang eines Meridians in Richtung Norden. v=1080km/h. Wie
groß ist die Coriolisbeschleunigung in Abhängigkeit des Breitengrades β?
35
2π ⋅ 366,2425
= 72,92 ⋅ 10 −6 ⋅ s −1
365,2425 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⋅ s
r r
cm
ac = 2ω × v = 4,375 ⋅ 2 ⋅ sin( β )
s
Ausarbeitung: ω =
v = 300
m
s
2. Eine Scheibe dreht sich um eine Achse, die senkrecht zur Scheibenfläche steht.
Die Drehung erfolgt im Uhrzeigersinn mit gleichförmiger Winkelbeschleunigung 1.s-2.
Im Zeitpunkt t = 0 befindet sie sich in Ruhe. Auf einem der Scheibendurchmesser
π
schwingt der Punkt M nach ξ = 0,1 ⋅ m ⋅ sin( ⋅ t ) .
s
Es sind im Zeitpunkt t = 1,667 sec die ξ-η-Komponenten der absoluten
Beschleunigung des Punktes M zu ermitteln.
1
t
, ω= 2
2
s
s
r r
1
m
⎛π ⎞
(ω& × r )η = − 2 ⋅ 0,1m ⋅ sin ⎜ ⋅ t ⎟ = 0,0866 ⋅ 2
s
s
⎝s ⎠
2
r
t
m
⎛π ⎞
(−ω 2 ⋅ r )ξ = − 4 ⋅ 0,1m ⋅ sin ⎜ ⋅ t ⎟ = 0,2406 ⋅ 2
s
s
⎝s ⎠
r r
t
m
π
⎛π ⎞
(2ω × v )η = −2 2 ⋅ 0,1m ⋅ ⋅ cos⎜ ⋅ t ⎟ = −0,5236 ⋅ 2
s
s
s
⎝s ⎠
2
r
m
π
⎛π ⎞
(a )ξ = −0,1m ⋅ 2 ⋅ sin ⎜ ⋅ t ⎟ = 0,8547 ⋅ 2
s
s
⎝s ⎠
Ausarbeitung: ω& =
Lösung: bξ = 10,95 dm/s2; bη = - 4,37dm/s2.
Aufgaben:
1. In einem Regulator, der sich um eine vertikale Achse mit konstanter Drehzahl
n = 180 U/min dreht, sind Gewichte A angebracht, die von Stahlfedern gehalten
werden. Die Gewichte führen harmonische Schwingungen entlang der Nut MN so
aus, dass sich der Abstand ihrer Schwerpunkte von der Drehachse nach dem Gesetz
x = (10 + 5.sin(8πt/s)) cm verändert.
Es ist die Schwerpunktsbeschleunigung der Gewichte in dem Augenblick zu
ermitteln, in dem die Coriolisbeschleunigung ihren maximalen Wert erreicht.
Gleichzeitig ist der Wert der Coriolisbeschleunigung für die äußerste Lage der
Gewichte zu berechnen.
36
Lösung: ba= 600 π2 cm/sec2; bc = 0.
2. In einem waagerechten Rohr OA, das sich gleichmäßig um eine vertikale Achse
mit n = 60 U/min dreht, fließt Wasser. Es ist die Coriolisbeschleunigung bC in einem
21 m
Punkt zu ermitteln, wenn die relative Geschwindigkeit des Wassers vr = ⋅
11 s
beträgt. Für π ist der angenäherte Wert 22/7 zu nehmen.
Lösung: bC = 24 m/sec2.
3. Ein zu einem Ring gebogenes Rohr vom Radius R = 1 m dreht sich im
Uhrzeigersinn um die vertikale Achse O mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω = 1 s-1. Im Rohr schwingt um den Punkt A eine Kugel M nach der Gleichung
ϕ = sin π t/s. Es sind die Tangential- und die Normalbeschleunigung nach
t = 13/6 s zu ermitteln.
Lösung: bt = - 4,93 m/sec2; bn = 13,84 m/sec2.
4. Ein Fluss von 1 km Breite fließt von Süden nach Norden. Seine Geschwindigkeit
beträgt 5km/h. Es ist die Coriolisbeschleunigung bC der Wasserteilchen in 60°
nördlicher Breite zu bestimmen. Außerdem ist zu bestimmen, an welchem Ufer das
Wasser um wieviel höher steigt, wenn die Wasseroberfläche senkrecht zur Richtung
des Vektors steht, der sich aus der Beschleunigung der Schwerkraft g und dem
Vektor der Coriolisbeschleunigung zusammensetzt.
Lösung: Die Coriolisbeschleunigung beträgt bC = 0,0175 cm/s2 und ist nach Westen
gerichtet. Das Wasser steht am rechten Ufer um 1,782 cm höher als am linken.
5. Die Hauptstrecke der Südeisenbahn nördlich von Melitopol (Sowjetunion) verläuft
längs eines Meridians. Die Eisenbahnlokomotive fährt mit einer Geschwindigkeit von
Vr = 90 km/h in nördlicher Richtung. Am Breitengrad ϕ = 47° ist die
Coriolisbeschleunigung der Lokomotive zu ermitteln.
Lösung: bC = 0,266 cm/s2.
6. Auf einer Eisenbahnstrecke, die auf einem Kreis nördlicher Breite verläuft, fährt
eine Lokomotive mit einer Geschwindigkeit vr = 20 m/s von West nach Ost. Es ist die
Coriolisbeschleunigung bC der Lokomotive zu ermitteln.
Lösung: bC = 0,291 cm/s2.
7. Die Newa fließt von Osten nach Westen entlang des 60. nördlichen Breitengrades
mit einer Geschwindigkeit von vr = 4km/h.
Es ist die Projektion der Coriolisbeschleunigung der Wasserteilchen auf die Tangente
BC des entsprechenden Meridians zu ermitteln. Erdradius R = 64 • 105 m.
37
Lösung: bBC = 1,396 • 10-2 cm/sec2.
8. Die Newa fließt von Osten nach Westen entlang des 60. nördlichen Breitengrades
mit einer Geschwindigkeit von vr = 4 km/h. Es sind die Komponenten der absoluten
Beschleunigung der Wasserteilchen zu ermitteln. Erdradius R = 64 • 105 m.
Lösung: be = 1,692 cm/s2; br = 3,86 • 10-5 cm/s2; bc = 1,616 • 10-2 cm/s2.
1.4. Starrer Körper
r r
Eine Punktmasse ruhe im bewegten System, d. h. v = 0 . Für diese Punktmasse ist
der Drehimpuls
⎛ b ω1 ⎞
r r r
r r r
⎜
⎟
r r&
r r r
r r r
2 r
L = r × p = m ⋅ r × r = m ⋅ r × (ω × r ) = m ⋅ (r ⋅ ω − (ω , r ) ⋅ r ) = b1 b2 b3 ⋅ J ⋅ ⎜ b ω 2 ⎟
⎜ ω ⎟
⎝b 3⎠
⎡
⎤
⎛ r1 ⎞
⎛ r1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
J = m ⋅ ⎢(r1 r2 r3 ) ⋅ ⎜ r2 ⎟ ⋅ E − ⎜ r2 ⎟ ⋅ (r1 r2 r3 )⎥ , J heißt das Trägheitsmoment für die
⎜r ⎟
⎜r ⎟
⎢⎣
⎥⎦
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
Punktmasse. Die Koordinaten von r beziehen sich auf die bewegte Basis. J ist
konstant. Die Ableitung des Drehimpulses erfolgt wieder nach der Produktregel:
⎛ b ω&1 ⎞
⎛ b ω1 ⎞
r r r
r&
⎜
⎟ r r r
⎜
⎟
L = b1 b2 b3 ⋅ J ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ + b1 b2 b3 ⋅ Ω ⋅ J ⋅ ⎜ b ω2 ⎟
⎜ ω& ⎟
⎜ ω ⎟
⎝b 3⎠
⎝b 3⎠
(
(
(
r& r r
L = b1 b2
)
(
)
⎛ b ω&1 ⎞
r
⎜
⎟ r r r
b3 ⋅ J ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ + ω × b1 b2
⎜ ω& ⎟
⎝b 3⎠
)
⎛ b ω1 ⎞
r
⎜
⎟
b3 ⋅ J ⋅ ⎜ b ω2 ⎟
⎜ ω ⎟
⎝b 3⎠
(
)
(
⎛ b ω1 ⎞
r
⎟
⎜
b3 ⋅ I ⋅ ⎜ b ω 2 ⎟ und seine
⎜ ω ⎟
⎝b 3⎠
⎛ b ω1 ⎞
r
⎜
⎟
b3 ⋅ I ⋅ ⎜ b ω 2 ⎟ mit dem
⎜ ω ⎟
⎝b 3⎠
)
r r r
Für eine verteilte Masse sind der Drehimpuls L = b1 b2
(
r r r
zeitliche Ableitung L& = b1 b2
)
⎛ b ω& 1 ⎞
r
r r
⎜
⎟
b3 ⋅ I ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ + ω × b1 b2
⎜ ω& ⎟
⎝b 3⎠
)
(
)
Trägheitsmoment für die verteilte Masse
⎡
⎤
⎛ r1 ⎞
⎛ r1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
I = ∫ ⎢(r1 r2 r3 ) ⋅ ⎜ r2 ⎟ ⋅ E − ⎜ r2 ⎟ ⋅ (r1 r2 r3 )⎥ ⋅ dm
⎜r ⎟
⎜r ⎟
⎢⎣
⎥⎦
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
I ist eine symmetrische Matrix. Es gibt daher eine orthogonale Matrix U, sodass
38
⎛ I1
⎜
U ⋅ I ⋅ U T =: ⎜ 0
⎜0
⎝
(
1
I2
0
0⎞
⎟
0 ⎟ diagonal ist. Die Eigenwerte Ij sind reell.
I 3 ⎟⎠
⎛ b ω& 1 ⎞
r
⎜
⎟
b3 ⋅ U T ⋅ U ⋅ I ⋅ U T ⋅ U ⋅ ⎜ b ω& 2 ⎟ entspricht einem Übergang zur Basis
⎜ ω& ⎟
⎝b 3⎠
r
T
b3 ⋅ U .
)
r r r
L = b1 b2
(br
0
)
r
b2
⎡
⎤
⎛ r1 ⎞
⎛ r1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
T
T⎥
U ⋅ I ⋅ U = ∫ ⎢(r1 r2 r3 ) ⋅ U ⋅ U ⋅ ⎜ r2 ⎟ ⋅ E − U ⋅ ⎜ r2 ⎟ ⋅ (r1 r2 r3 ) ⋅ U ⎥ ⋅ dm
⎜r ⎟
⎜r ⎟
⎢⎣
⎥⎦
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
Um neue Bezeichnungen zu vermeiden, sei angenommen, dass
r reinrderartiger
Basiswechsel vorgenommen wurde. Die neue Basis heiße b1 b2 b3 . Die
Richtungen der Basisvektoren heißen Hauptträgheitsachsen. Alle Koordinaten
⎛ L1 ⎞ ⎛ I1 ⋅ ω1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
mögen sich auf diese neue Basis beziehen. ⎜ L2 ⎟ = ⎜ I 2 ⋅ ω 2 ⎟
⎜ L ⎟ ⎜ I ⋅ω ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠
&
⎛ L1 ⎞ ⎛ I1 ⋅ ω& 1 ⎞ ⎛ ω1 ⎞ ⎛ I1 ⋅ ω1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
r r&
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
r r r
⎜ L&2 ⎟ = ⎜ I 2 ⋅ ω& 2 ⎟ + ⎜ ω 2 ⎟ × ⎜ I 2 ⋅ ω 2 ⎟ oder M = L = I ⋅ ω& + ω × L
⎜ L& ⎟ ⎜ I ⋅ ω& ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜ I ⋅ ω ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠
Letzteres nennt man die Eulerschen Kreiselgleichungen, die sich auf die
r
körperfesten Hauptträgheitsachsen beziehen. M ist das von außen angreifende
r
r
Drehmoment. Ist es 0 , dann ist L eine Erhaltungsgröße.
T
(
)
Das Trägheitsmoment spielt auch bei der Energie von rotierenden starren Körpen
eine Rolle:
r r
r r
(ω , ω ) (ω , r )
r& 2
r r 2
2 ⋅ E = ∫ (r ) ⋅ dm = ∫ (ω × r ) ⋅ dm = ∫ r r
r r ⋅ dm =
(ω , r ) (r , r )
⎡
⎛ ω1 ⎞
⎜ ⎟
⎢
= ∫ ⎢(ω1 ω 2 ω 3 ) ⋅ ⎜ ω 2 ⎟ ⋅ (r1
⎜ω ⎟
⎢⎣
⎝ 3⎠
= (ω1 ω 2
r2
⎛ r1 ⎞
⎛ r1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
r3 ) ⋅ ⎜ r2 ⎟ − (ω1 ω 2 ω 3 ) ⋅ ⎜ r2 ⎟ ⋅ (r1
⎜r ⎟
⎜r ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
r2
⎛ ω1 ⎞ ⎤
⎜ ⎟⎥
r3 ) ⋅ ⎜ ω 2 ⎟⎥ ⋅ dm =
⎜ ω ⎟⎥
⎝ 3 ⎠⎦
⎛ ω1 ⎞
⎜ ⎟
ω3 ) ⋅ I ⋅ ⎜ω 2 ⎟
⎜ω ⎟
⎝ 3⎠
In Hauptträgheitsachsen: E =
(
1
⋅ I1 ⋅ ω12 + I 2 ⋅ ω 22 + I 3 ⋅ ω 32
2
)
Trägheitsmomente
Zum Beispiel ist I 33 = ∫ (r12 + r22 ) ⋅ dm . Der Integrand ist das Abstandsquadrat der
Masseteilchen von der Achse 3.
Trägheitsmomente spezieller Körper:
39
Rechteckiges Plättchen,
zuerst differentielles Trägheitsmoment bezogen auf den Massenmittelpunkt:
dI 330 = ρ ⋅ l3 ⋅ dr1 ⋅
l2 / 2
2
∫ r2 ⋅ dr2 =
−l 2 / 2
l2
1
⋅ ρ ⋅ l3 ⋅ dr1 ⋅ l 23 = 2 ⋅ dm ,
12
12
sodann verschiebt man das Plättchen in Richtung der Achse 1 um r1. Auch hier gilt
nämlich der Steinersche Verschiebungssatz
I = ∫ r 2 ⋅ dm = ∫ (rm + ξ ) 2 ⋅ dm = rm2 ⋅ m + 2rm ⋅ ∫ ξ ⋅ dm + ∫ ξ 2 ⋅ dm = rm2 ⋅ m + I 0 .
1
⋅ ρ ⋅ l3 ⋅ dr1 ⋅ l 23 Integration ergibt das Trägheitsmoment eines
12
1
1
Quaders: I 33 = ⋅ ρ ⋅ l1 ⋅ l 2 ⋅ l3 ⋅ (l12 + l 22 ) = ⋅ (l12 + l 22 ) ⋅ m
12
12
dI 33 = r12 ⋅ ρ ⋅ l3 ⋅ dr1 ⋅ l 2 +
Kreisförmiges Plättchen,
zuerst differentielles Trägheitsmoment bezogen auf den Massenmittelpunkt:
Übergang von kartesischen zu Polarkoordinaten:
r2 = r ⋅ cos(ϕ ), r3 = r ⋅ sin(ϕ ), dr2 ⋅ dr3 = dr ⋅ r ⋅ dϕ ,
dI 330 = ρ ⋅ dr1 ⋅ ∫∫ r ⋅ dr2 ⋅ dr3 = ρ ⋅ dr1 ⋅
2
2
R
π
∫ ϕ ∫ πr
2
⋅ cos 2 (ϕ ) ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ =
r =0 = −
π
4
⋅ ρ ⋅ dr1 ⋅ R 4 ,
sodann verschiebt man das Plättchen in Richtung der Achse 1 um r1.
dI 33 = r12 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dr1 ⋅ R 2 +
π
4
⋅ ρ ⋅ dr1 ⋅ R 4 Integration ergibt das Trägheitsmoment eines
⎛ H 2 R2 ⎞
⎛ H 2 R2 ⎞
⎟⎟ = m ⋅ ⎜⎜
⎟
Kreiszylinders: I 22 = I 33 = ρ ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ H ⋅ ⎜⎜
+
+
4 ⎠
4 ⎟⎠
⎝ 12
⎝ 12
R
dI11 = ρ ⋅ dr1 ⋅ 2π ⋅ ∫ r 2 ⋅ r ⋅ dr =
r =0
π
2
⋅ ρ ⋅ dr1 ⋅ R 4
I11 =
π
2
⋅ ρ ⋅ H ⋅ R4 = m ⋅
R2
2
40
Kugel: dI11 =
π
2
⋅ ρ ⋅ dr1 ⋅ P 4 ,
I11 = I 22 = I 33 = ρ ⋅
π
2
P2 + r 2 = R2
R
(
)
⋅ ∫ R 2 − r12 ⋅ dr1 =
−R
2
8
2
⋅π ⋅ ρ ⋅ R5 = ⋅ R 2 ⋅ m
15
5
41
2. Analyse elektrischer Netzwerke
2.1. Begriffe der Elektrizität
Physikalische Größen sind das Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit. Im derzeit
bevorzugten Einheitensystem gibt es die sieben Grundeinheiten m, kg, s, A, K, kmol,
cd. Jede Einheit besitzt die Darstellung m r1 ⋅ kg r2 ⋅ s r3 ⋅ Ar4 ⋅ K r5 ⋅ kmol r6 ⋅ cd r7 mit
ganzzahligen Exponenten rk. Man nennt das SI ein rationales Einheitensystem im
Gegensatz zu solchen mit gebrochenen Exponenten. Die Exponenten ergeben sich
m
zwangsläufig aus den physikalischen Gesetzen. So folgen [a ] = 2 aus a = &s& ,
s
m
m2
[ F ] = kg ⋅ 2 mit der Kurzbezeichnung Newton aus F = m ⋅ a , [W ] = kg ⋅ 2 mit der
s
s
2
m
Kurzbezeichnung Joule aus W = F ⋅ s , [ P] = kg ⋅ 3 mit der Kurzbezeichnung Watt
s
&
aus P = W .
Die Wechselwirkung zwischen elektrischen Ladungen wird mit dem Begriff des
elektrischen Feldes beschrieben. Für die Bewegung einer Ladung im Feld zwischen
zwei Punkten wird Arbeit aufgewendet. Diese ist der bewegten Ladung direkt
proportional. Den Quotienten aus Arbeit und Ladung zwischen diesen zwei Punkten
∆W
nennt man Potentialdifferenz oder Spannungsdifferenz. ∆U =
Bemerkung:
q
∆W
ähnlich denkt man bei Gravitationsfeldern. ∆U =
Ein Querschnitt werde von
m
Ladungen durchflossen. Die durchströmende Ladung pro Zeit heißt elektrischer
dq
Strom I =
= q& mit der Grundeinheit Ampere. [q] = A ⋅ s =: Cb mit der
dt
m2
=: V mit der Kurzbezeichnung
Kurzbezeichnung Coulomb. Für U folgt [U ] = kg ⋅
A ⋅ s3
Volt.
In Metallen sind die beweglichen Elektronen Träger der bewegten Ladungen. In
Lösungen und Schmelzen erfolgt Ionentransport.
Spannungsquellen sind Energielieferanten mit bekannter Spannung.
Stromquellen sind Energielieferanten mit bekanntem Strom.
Das Ohmsche Gesetz ist eine Näherung durch direkte Proportionalität für gewisse
Leiter: U=R.I, G.U=I. R heißt Widerstand, G heißt Leitwert. Man benutzt manchmal
dU
auch eine lineare Näherung durch eine Tangente. Deren Steigung r =
heißt
dI
m2
differenzieller Widerstand. Für R folgt [ R] = kg ⋅ 2 3 =: Ω mit der Kurzbezeichnung
A ⋅s
Ohm.
2.2. Elementare Berechnungsmethoden für Strom und Spannung
42
Serienschaltung
I
U
R1
G1
U1
R2
G2
U2
Beide Widerstände werden vom selben Strom durchflossen.
U
1
1
1
U 1 = I ⋅ R1 U 2 = I ⋅ R2 ⇒ U = U 1 + U 2 = I ⋅ ( R1 + R2 ) ⇒ R = = R1 + R2
=
+
I
G G1 G2
Division liefert die Spannungsteilerregel: Die Spannungen verhalten sich wie die
Widerstände, wenn die Widerstände vom selben Strom durchflossen werden.
U 2 R2
U
R
=
Addition von 1 ergibt
=
U1 R1
U1 R1
Parallelschaltung
I
I1
U
I2
R1
G1
R2
G2
Beide Widerstände liegen an der selben Spannung.
I
1 1
1
I1 = U ⋅ G1 I 2 = U ⋅ G2 ⇒ I = I1 + I 2 = U ⋅ (G1 + G2 ) ⇒ G = = G1 + G2
=
+
U
R R1 R2
Division liefert die Stromteilerregel: Die Ströme verhalten sich wie die Leitwerte,
I
G
I
G
=
wenn die Leitwerte an der selben Spannung liegen. 2 = 2
+1
I1 G1
I1 G1
Manche umfangreichere Schaltungen lassen sich aus den elementaren Schaltungen
zusammensetzen. Einfach berechnet man Spannungen und Ströme.
Folgende Schaltung lässt sich nicht durch Serien- und Parallelschaltungen
zusammensetzen:
R4
R5
r3
r1
r2
Stern- Dreieck- Äquivalenz
Durch Umwandlung von Schaltungsteilen mit Dreiecksgestalt in äquivalente
Sternschaltungen lässt sich jede Schaltung so aufbereiten, dass sie anschließend
43
aus Serien- und Parallelschaltungen aufgebaut erscheint.
R4
R5
R2
R1
R3
Spannungen und Ströme in einer Sternschaltung oder T-Schaltung
R2
I1
R1
U1
I2
U2
R3
D := R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R3 ⎞ ⎛ I1 ⎞
⎛ U 1 ⎞ ⎛ R2 + R3
⎟⋅⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
R1 + R3 ⎟⎠ ⎜⎝ I 2 ⎟⎠
⎝U 2 ⎠ ⎝ R3
− R3 ⎞ ⎛ U 1 ⎞
⎛ I1 ⎞ 1 ⎛ R1 + R3
⎟⋅⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜
R2 + R3 ⎟⎠ ⎜⎝U 2 ⎟⎠
⎝ I 2 ⎠ D ⎝ − R3
(2a)
(1a)
Spannungen und Ströme in einer Dreieckschaltung oder Π-Schaltung
g3
I1
U1
g1
I2
g2
U2
d := g1 g 2 + g 2 g 3 + g 3 g1
− g 3 ⎞ ⎛ U1 ⎞
⎛ I 1 ⎞ ⎛ g1 + g 3
⎟⋅⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
g 2 + g 3 ⎟⎠ ⎜⎝U 2 ⎟⎠
⎝ I 2 ⎠ ⎝ − g3
g 3 ⎞ ⎛ I1 ⎞
⎛ U1 ⎞ 1 ⎛ g 2 + g 3
⎟⋅⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜
g1 + g 3 ⎟⎠ ⎜⎝ I 2 ⎟⎠
⎝U 2 ⎠ d ⎝ g 3
(1b)
(2b)
Das Strom- Spannungsverhalten ist gleich, wenn die Matrizen gleich sind:
G2 ⋅ G3
1
R
⇒ = g1 = 1 =
,
ähnlich für g2 und g3,
(1a und 1b)
r1
D G1 + G2 + G3
r2 ⋅ r3
1
g
(2 a und 2b)
⇒
= R1 = 1 =
,
ähnlich für R2 und R3.
G1
d r1 + r2 + r3
2.3. Gleichungssysteme für Maschen und Knoten
Kirchhoffsche Gesetze
Es gibt zwei Kirchhoffsche Gesetze in elektrischen Netzwerken:
1. Maschenregel: die Summe der Spannungsgewinne entlang eines
geschlossenen Weges ist gleich Null. Spannungsgewinne und
Spannungsverluste heben einander auf.
2. Knotenregel: die Summe der in einen Teilbereich zufließenden Ströme ist
gleich Null Zu- und abfließende Ströme heben einander auf. Insbesondere trifft
diese Regel für jeden Knoten zu.
Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze zur Berechnung der Spannungen und
Ströme in elektrischen Netzwerken
44
Die Gesetze sind für Gleich- und Wechselstrom anwendbar. Man muss sich zuerst
für eine Frequenz entscheiden, für die man die Stromflüsse und die Spannungen
berechnen will. Die Superposition der Teillösungen für verschiedene Frequenzen
ergibt die Gesamtlösung.
Löst man die lineare inhomogene Differentialgleichung, dann beschreibt die
homogene Lösung Einschwingvorgänge, und die partikuläre Lösung beschreibt den
erzwungenen Schwingungszustand.
Sehr einfach ist die Untersuchung des erzwungenen Schwingungszustandes.
Amplitudenverhältnis von Spannung und Strom und deren Phasendifferenz werden
als Polarkoordinaten des komlexen Widerstandes, der sogenannten Impedanz,
verwendet. Die Netzwerkberechnung erfolgt bei Wechsel- und Gleichstrom nach
denselben Methoden. Die Impedanzen werden für ω → 0 reell.
Beispiel: In die Zweige einer gegebenen Schaltung
trägt man Ströme ein. Dabei kann man so verfahren, dass man die Knotenregel
durch die Art der Strombenennung erfüllt und dadurch überflüssige Variablen und
Gleichungen einspart. Die hier dargestellte Maxwellsche Zykelmethode erfüllt die
Knotenregel elegant. Dieselben Maschen, die für die geschlossenen Teilströme
gewählt wurden, dienen der Aufstellung von Gleichungen zur Erfüllung der
Maschengleichungen.
Stromrichtungen und Vorzeichen
Man wählt eine Richtung, in der man die Masche durchläuft und die Spannungen
aufaddiert. Die Summe muss Null sein. Spannungsabfälle werden positiv gerechnet.
Ein negatives Vorzeichen ist zu nehmen, wenn der angenommene Strom der
gewählten Maschendurchlaufrichtung entgegen kommt. Spannungspfeile an
Spannungsquellen sind deswegen von + nach – orientiert, dass der negativ zu
rechnende Spannungsgewinn sich von selbst dadurch ergibt, dass man ein
negatives Vorzeichen dann nimmt, wenn der Spannungspfeil der gewählten
Maschendurchlaufrichtung entgegen kommt. Man rechnet so, als würde der Strom
aus dem Pluspol einer Spannungsquelle treten, ungeachtet des
Leitungsmechanismus durch Elektronen in Festkörpern.
Aufstellung der Maschengleichungen
45
− U 1 + R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ ( I1 − I 2 ) = 0
U 2 − R2 ⋅ ( I1 − I 2 ) + R3 ⋅ ( I 2 − I 3 ) = 0
(1)
− U 2 − R3 ⋅ ( I 2 − I 3 ) + R ⋅ I 3 = 0
Der Übersicht wegen werden die Gleichungen zuerst umgeordnet. Die
Spannungsquelle U2 und die Stromquelle I1 sind vorgegeben. Gesucht sind U1, I2, I3.
R2
⎛1
⎜
⎜ 0 R2 + R3
⎜0
− R3
⎝
⎞ ⎛U 1 ⎞ ⎛ 0 R1 + R2 ⎞
⎟ ⎛U ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
− R3 ⎟ ⋅ ⎜ I 2 ⎟ = ⎜ − 1 R2 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
I
0 ⎟⎠ ⎝ 1 ⎠
R3 + R ⎟⎠ ⎜⎝ I 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
0
⎛U 1 ⎞
⎛ ∆ − R2 ( R3 + R) − R2 R3 ⎞ ⎛ 0 R1 + R2 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎛U ⎞
−1
R3 + R
R3 ⎟ ⋅ ⎜ − 1 R2 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎜ I2 ⎟ = ∆ ⋅ ⎜ 0
I
⎜I ⎟
⎜0
R3
R2 + R3 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
0 ⎟⎠ ⎝ 1 ⎠
⎝ 3⎠
⎝
∆ := R2 R3 + R3 R + RR2 = R2 R3 R(G2 + G3 + G )
⎛ R2 R
⎛U 1 ⎞
⎜
⎜ ⎟
−1
⎜ I2 ⎟ = ∆ ⋅ ⎜ − R
⎜ R
⎜I ⎟
⎝ 2
⎝ 3⎠
So ist etwa I 3 =
R1 R2 R3 R(G1 + G2 + G3 + G ) ⎞
⎟ ⎛U 2 ⎞
R2 ( R3 + R)
⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟ ⎝ I1 ⎠
R2 R3
⎠
G
⋅ (G3 ⋅ U 2 + I1 )
G2 + G3 + G
(2)
(3)
Aufgaben:
In den folgenden Aufgaben sind Schaltungen gegeben. Berechnen Sie die Ströme in
den Zweigen durch Lösung des nach der Maxwell- schen Zykelmethode aufgestellten
Gleichungssystems!
R2
2,7kOhm
+
+
24V
R2
68kOhm
1)
R6
100kOhm
+
18V
17mA
-
8V
-
R3
56kOhm
R1
1,2kOhm
2)
R4
1kOhm
46
R2
5,6kOhm
R3
4,7kOhm
+
R3
390 Ohm
10mA
10V
R4
3,9kOhm
R1
3,3kOhm
-
+
8mA
R2
470 Ohm
10V
-
-
3)
15V
+
R1
680 Ohm
4)
+
R2
3,9kOhm
R3
5,6kOhm
+
R6
10kOhm
12V
R2
5,6kOhm
R5
1,2kOhm
R4
4,7kOhm
R4
6,8kOhm
R1
8,2kOhm
15V
R3
8,2kOhm
R1
6,8kOhm
2mA
2mA
R5
4,7kOhm
5)
6)
Stelle in den folgenden beiden Aufgaben die Ströme mit der inversen Matrix für die
variablen Spannungen dar!
R-1: I=R-1.U
+
R2
5,6kOhm
R3
4,7kOhm
+
R1
3,3kOhm
+
-
R4
6,8kOhm
R1
8,2kOhm
U1
R3
8,2kOhm
I1
U1
7)
R6
10kOhm
R2
5,6kOhm
U2
-
R4
3,9kOhm
+
U2
8)
R5
4,7kOhm
Überlagerungsmethode nach Helmholtz
In Gleichung (2) fällt auf, dass die beiden Spaltenvektoren der Matrix einer
bestimmten Strom- oder Spannungsquelle zugeordnet sind. Die Lösung
⎛U 1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ I 2 ⎟ kann als Superposition von Teillösungen betrachtet werden, die durch
⎜I ⎟
⎝ 3⎠
⎛0⎞
und ⎜⎜ ⎟⎟ verursacht werden:
⎝ I1 ⎠
⎛U 2 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0 ⎠
47
⎛U 12 ⎞
⎛ R2 R
⎜
⎟
⎜
−1
⎜ I 22 ⎟ = ∆ ⋅ ⎜ − R
⎜I ⎟
⎜ R
⎝ 32 ⎠
⎝ 2
R1 R2 R3 R(G1 + G2 + G3 + G ) ⎞
⎟ ⎛U 2 ⎞
R2 ( R3 + R)
⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟ ⎝ 0 ⎠
R2 R3
⎠
⎛ R2 R
⎛U 11 ⎞
⎜
⎜
⎟
−1
⎜ I 21 ⎟ = ∆ ⋅ ⎜ − R
⎜ R
⎜I ⎟
⎝ 2
⎝ 31 ⎠
R1 R2 R3 R(G1 + G2 + G3 + G ) ⎞
⎟ ⎛0⎞
R2 ( R3 + R)
⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟ ⎝ I1 ⎠
R2 R3
⎠
⎛U 1 ⎞ ⎛U 11 ⎞ ⎛U 12 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ I 2 ⎟ = ⎜ I 21 ⎟ + ⎜ I 22 ⎟
⎜I ⎟ ⎜I ⎟ ⎜I ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 ⎠ ⎝ 32 ⎠
⎛U 2 ⎞ ⎛U 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ I 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ I1 ⎠
Für die Ausdrucksmittel der Schaltungsanalyse ist
1. ein verschwindender Strom mit der Auftrennung einer Leitungsverbindung
identisch.
2. eine verschwindende Spannung mit einem Kurzschluss identisch.
Die graphische Illustration der Teillösungen hat in neuen Schaltbildern zu erfolgen, in
denen eine der gegebenen Spannungs- oder Stromquellen aufscheint. Die anderen
Spannungsquellen werden durch Kurzschlüsse ersetzt, die anderen Stromquellen
werden durch offene Verbindungen ersetzt. Die Gesamtlösung erhält man durch
Addition aller Ströme und Spannungen in den entsprechenden Zweigen.
Insbesondere dann, wenn nur einzelne Größen gesucht sind, zeigt sich die Eleganz
der Methode in der Kombination mit Formeln für Parallel- und Serienschaltung,
Stern- Dreieck- Umwandlung, Strom- und Spannungsteilerregel. Schließlich leiten
sich diese rasch anzuwendenden Methoden von Gleichungssystemen her.
Wir betrachten im Folgenden die Superposition in der Schaltungsdarstellung.
Die drei Widerstände liegen an derselben Spannung, weshalb sich der Strom I1 direkt
G
⋅ I1
proportional ( I = G ⋅ U ) zu den Leitwerten aufteilt. I 31 =
G2 + G3 + G
48
Der Gesamtleitwert ist
am Strom I 22
1
=
(G2 + G ) ⋅ G3
G
. Der Strom I32 ist der Anteil
G2 + G3 + G
G2 + G
1
+ R3
G2 + G
G ⋅ G3
(G + G ) ⋅ G3
⋅U 2 .
= 2
⋅ U 2 , also I 32 =
G2 + G3 + G
G2 + G3 + G
Der gesuchte Strom I 3 = I 31 + I 32 =
G
⋅ ( I1 + G3 ⋅U 2 ) in Übereinstimmung mit
G2 + G3 + G
Gleichung (3).
Das Strom- Spannungsverhalten des aktiven Zweipols
Das Interesse galt dem konstanten passiven Bauteil R. Der Schaltungsrest links
davon ist mit R über zwei Pole verbunden. Er versorgt R mit Spannung U, Strom I
und Energie E. Deswegen bezeichnet man ihn als aktiven Zweipol. U und I erweisen
sich als abhängig voneinander. Um diese Abhängigkeit zu untersuchen, kann man R
als Parameter heranziehen und daraus auf U ↔ I schließen.
Hier aber wird der Überlagerungsansatz zur Aufklärung der gegenseitigen
Abhängigkeit angewandt. Man kann R entweder durch eine Spannungsquelle oder
durch eine Stromquelle ersetzen und den sich einstellenden Strom, bzw. die sich
einstellende Spannung ausrechnen. Die Lösungsmenge muss in beiden Fällen
dieselbe sein.
1. Externe Spannungsquelle vorgegeben
Die Summe der vom Pluspol der Spannungsquelle U in die Schaltung fließenden
Ströme ist
49
I = − I1 − G3 ⋅ U 2 + (G2 + G3 ) ⋅ U
(4a)
die Summe der Spannungen ist U.
2. Externe Stromquelle vorgegeben
Die Summe der Ströme ist I, die Summe der Spannungen ist
U=
I1
R ⋅U
I
+ 2 2 +
G2 + G3 R2 + R3 G2 + G3
(4b)
Wie zu erwarten war, haben (4a) und (4b) dieselbe Lösungsmenge, denn
R2 ⋅ R3 ⋅ (G2 + G3 ) = R2 + R3 .
I + I1 + G3 ⋅ U 2 = (G2 + G3 ) ⋅ U
(4c)
Kehren wir wieder zum Anfang zurück, um die Probe
durchzuführen! Dort war ein Widerstand gegeben, der ein
festes Verhältnis von U und I bedeutet. Man substituiert U
durch R.I und erhält wieder Glg. (3), jedoch mit negativem
Vorzeichen vor I, weil zuletzt die Stromrichtung anders
gewählt wurde.
2.4. Ersatzschaltungen
Die Helmholtzsche Überlagerungsmethode wurde auf zwei
Arten angewandt:
50
a) die Kombination Zweipol mit externer Spannungsquelle. Zunächst berücksichtigt
man alle inneren Strom- und Spannungsquellen des Zweipols, ersetzt die äußere
Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und berechnet den Kurzschlussstrom I0,
danach entfernt man alle inneren Stromquellen des Zweipols und ersetzt alle inneren
Spannungsquellen des Zweipols durch Kurzschlüsse. Übrig bleibt ein
Widerstandsnetzwerk mit dem Gesamtwiderstand Ri zwischen den Ausgangspolen.
Die äußere Spannungsquelle U treibt durch Ri den Strom U/Ri. Die Summe der
U
Spannungen ist U. Die Summe der Ströme ist I = I 0 − .
Ri
b) die Kombination Zweipol mit externer Stromquelle. Zunächst berücksichtigt man
alle inneren Strom- und Spannungsquellen des Zweipols, entfernt die äußere
Stromquelle und berechnet die Leerlaufspannung U0,
danach entfernt man alle inneren Stromquellen des
Zweipols und ersetzt alle inneren Spannungsquellen des
Zweipols durch Kurzschlüsse. Übrig bleibt ein
Widerstandsnetzwerk mit dem Gesamtwiderstand Ri
zwischen den Ausgangspolen. Die äußere Stromquelle I
erzeugt an Ri die Spannung I.Ri. Die Summe der Ströme
ist I. Die Summe der Spannungen ist U = U 0 − I ⋅ Ri .
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Abhängigkeit
zwischen I und U. Es gilt U 0 = I 0 ⋅ Ri , Ri ist der Quotient von Leerlaufspannung und
Kurzschlussstrom. Die direkte Berechnung von Ri ist meistens schneller.
Im Zuge der Herleitung der Gleichungen (4a), (4b), (4c) wurden drei Kenngrößen des
gegebenen Netzwerkes ausgerechnet:
1
,
der „Innenleitwert“ Gi := G2 + G3 , bzw. der „Innenwiderstand“ Ri :=
G2 + G3
der Kurzschlussstrom I 0 := I1 + G3 ⋅ U 2
I1
R ⋅U
und die Leerlaufspannung U 0 :=
+ 2 2 .
G2 + G3 R2 + R3
Die folgenden beiden Schaltungen zeigen dasselbe I-U-Verhalten wie die gegebene
Schaltung:
Ri
+
U0
-
Spannungsquellenersatzschaltung
I0
Ri
Stromquellenersatzschaltung
für einen gegebenen aktiven Zweipol.
Aufgaben:
51
In den folgenden Aufgaben sind Schaltungen gegeben. Berechnen Sie Ri, U0, I0 für
die beiden Ersatzschaltungen mit der Helmholtzschen Überlagerungsmethode!
Ri
+
U0
I0
Ri
R2
2,2kOhm
R3
3,3kOhm
R3
1,8kOhm
+
R1
2,7kOhm
10V
R1
1,8kOhm
4mA
R2
1,5kOhm
-
2)
1)
R2
680 Ohm
+
R3
1,2kOhm
R2
3,9kOhm
R3
1,5kOhm
+
+
9V
-
2mA
6V
R4
820 Ohm
R4
1,2kOhm
10V
-
R1
1kOhm
R1
2,2kOhm
3)
4)
R2
5,6kOhm
5mA
R3
4,7kOhm
R3
820 Ohm
R4
3,9kOhm
-
R2
1kOhm
15V
+
R1
1,5kOhm
3mA
R1
3,3kOhm
6)
5)
+
R2
3,3kOhm
R3
4,7kOhm
+
12V
15V
R2
5,6kOhm
R4
3,9kOhm
-
R4
6,8kOhm
R1
8,2kOhm
R3
8,2kOhm
R1
5,6kOhm
2mA
2mA
7)
9) Aufgabe mit Ausarbeitung:
Die Brückenschaltung
Pol 1
Gb1
Rb1
Pol 2
Ga1
Ra1
Gb2
Rb2
8)
R5
4,7kOhm
Pol a
Ga2
Ra2
Pol b
ist mit der Überlagerungsmethode nach Helmholtz auf drei
Arten zu untersuchen!
52
Ga1
Ra1
Pol 1
Gb1
Rb1
I1
Gb2
Rb2
Pol a
Ga2
Ra2
Pol 2
Ia
Pol b
1. mit zwei Stromquellen
dass u ab , u12 , ia und ib der Gleichung
Weise nach,
⎞
⎛
Rb1 Ra1
⎟
⎜ ( Ra1 + Rb1 ) ⋅ ( Ra 2 + Rb 2 )
Rb 2 Ra 2
⎛ u ab ⎞
1
⎟ ⎛ ia ⎞
⎜
⎜⎜ ⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜ i ⎟⎟
Rb1 Ra1
⎝ u12 ⎠ Ra1 + Ra 2 + Rb1 + Rb 2 ⎜
( Ra1 + Ra 2 ) ⋅ ( Rb1 + Rb 2 ) ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠
⎜
Rb 2 Ra 2
⎠
⎝
genügen!
2. mit einer Strom- und einer Spannungsquelle
Pol 1
I1
Gb1
Rb1
Ga1
Ra1
Gb2
Rb2
Pol a
Ga2
Ra2
Uab
+
-
Pol 2
Pol b
Weise nach, dass u ab , u12 , ia und ib den
⎞ ⎛ Ra1 1 ⎞ ⎛ i1 ⎞
0
⎛ ia ⎞ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛ ( Ra1 + Rb1 ) −1
⎟⋅⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
Gleichungen ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
−1 ⎟ ⎜
R
R
u
0
(
R
R
)
+
b2 ⎠ ⎝
⎝ 12 ⎠ ⎝ b1
a2
b2
⎠ ⎝ Ra 2 − 1⎠ ⎝ u ab ⎠
− 1 ⎞ ⎛ ( Ra1 + Ra 2 ) −1
⎞ ⎛ Ra1 1 ⎞ ⎛ ia ⎞
0
⎛ i ⎞ ⎛ 1
⎟⋅⎜
⎟ ⋅ ⎜ ⎟ genügen!
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
und ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜
−1 ⎟ ⎜
0
( Rb1 + Rb 2 ) ⎠ ⎝ Rb1 − 1⎟⎠ ⎜⎝ u12 ⎟⎠
⎝ u ab ⎠ ⎝ Ra 2 Rb 2 ⎠ ⎝
Pol 1
+ U12
Gb1
Rb1
Ga1
Ra1
Gb2
Rb2
Pol a
Ga2
Ra2
-
Uab
+
-
Pol 2
3. mit zwei Spannungsquellen
nach, dass u ab , u12 , ia und ib der Gleichung
Pol b
Weise
⎛
⎞
Gb1 Ga1
⎜ (Ga1 + Ga 2 ) ⋅ (Gb1 + Gb 2 )
⎟
⎛ ia ⎞
Gb 2 Ga 2
1
⎜
⎟ ⎛ u ab ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜ u ⎟⎟
Gb1 Ga1
⎝ i1 ⎠ Ga1 + Ga 2 + Gb1 + Gb 2 ⎜
(Ga1 + Gb1 ) ⋅ (Ga 2 + Gb 2 ) ⎟⎟ ⎝ 12 ⎠
⎜
Gb 2 Ga 2
⎝
⎠
genügen!
Ferner ist
4. die Äquivalenz der drei Gleichungen nachzuweisen!
Lösung:
53
1. Entfernen der Stromquelle i1 liefert die Spannungen
⎛ ( Ra1 + Rb1 ) ⋅ ( Ra 2 + Rb 2 ) ⎞
⎜
⎟
⎛ a uab ⎞
1
Rb1 Ra1
⎜⎜
⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ ⋅ ia .
⎝ a u12 ⎠ Ra1 + Ra 2 + Rb1 + Rb 2 ⎜
⎟
Rb 2 Ra 2
⎝
⎠
Entfernen der Stromquelle ia liefert die Spannungen
⎛
⎞
Rb1 Ra1
⎜
⎟
⎛ 1 u ab ⎞
1
⎜⎜
⎟⎟ =
⋅⎜
Rb 2 Ra 2
⎟ ⋅ i1 .
⎝ 1 u12 ⎠ Ra1 + Ra 2 + Rb1 + Rb 2 ⎜ ( R + R ) ⋅ ( R + R ) ⎟
a2
b1
b2 ⎠
⎝ a1
Durch Addition folgt die Behauptung.
2. Entfernen der Stromquelle i1 liefert den Strom
i = u ab ⋅ (
ab a
1
1
)
+
Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2
Rb1
Rb 2
) , entfernen der
−
Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2
Spannungsquelle uab liefert den Strom
Gb1
Gb 2
Ra1
Ra 2
) = i1 ⋅ (
) und die Spannung
−
−
1 ia = i1 ⋅ (
Ga1 + Gb1 Ga 2 + Gb 2
Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2
R ⋅R
R ⋅R
1
1
+
) = i1 ⋅ ( a1 b1 + a 2 b 2 ) . Durch Addition und
1 u12 = i1 ⋅ (
Ga1 + Gb1 Ga 2 + Gb 2
Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2
Faktorisieren folgt die erste Gleichung. Durch Inversion und Entwicklung der
ersten Glg. und Vergleich mit der entwickelten zweiten Gleichung folgt der
Rest der Behauptung.
3. Entfernen der Spannungsquelle u12 liefert die Ströme
⎛ (Ga1 + Ga 2 ) ⋅ (Gb1 + Gb 2 ) ⎞
⎜
⎟
⎛ ab ia ⎞
1
Gb1 Ga1
⎜⎜
⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ ⋅ u ab .
⎝ ab i1 ⎠ Ga1 + Ga 2 + Gb1 + Gb 2 ⎜
⎟
Gb 2 Ga 2
⎝
⎠
und die Spannung
u = uab ⋅ (
ab 12
Entfernen der Spannungsquelle uab liefert die Ströme
⎛
⎞
Gb1 Ga1
⎜
⎟
⎛ 12 ia ⎞
1
⎜⎜
⎟⎟ =
⋅⎜
Gb 2 Ga 2
⎟ ⋅ u12 .
⎝ 12 i1 ⎠ Ga1 + Ga 2 + Gb1 + Gb 2 ⎜ (G + G ) ⋅ (G + G ) ⎟
b1
a2
b2 ⎠
⎝ a1
Durch Addition folgt die Behauptung.
4. Die Matrix der unter „3.“ angeführten Gleichung kann man mit Ra1 ⋅ Ra 2 ⋅ Rb1 ⋅ Rb 2
multiplizieren und im Gegenzug Ga1 ⋅ Ga 2 ⋅ Gb1 ⋅ Gb 2 davor schreiben:
⎛
⎞
R
Ra1
⎜ ( Ra1 + Ra 2 ) ⋅ ( Rb1 + Rb 2 )
⎟
− b1
⎛ ia ⎞
Rb 2 Ra 2
Ga1 ⋅ Ga 2 ⋅ Gb1 ⋅ Gb 2 ⎜
⎟ ⎛ u ab ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜ u ⎟⎟
Rb1 Ra1
⎝ i1 ⎠ Ga1 + Ga 2 + Gb1 + Gb 2 ⎜
−
( Ra1 + Rb1 ) ⋅ ( Ra 2 + Rb 2 ) ⎟⎟ ⎝ 12 ⎠
⎜
R
R
b2
a2
⎝
⎠
Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit jener unter „1.“ Angeführten, denn
R
Ra1
− b1
( Ra1 + Ra 2 ) ⋅ ( Rb1 + Rb 2 )
Rb 2 Ra 2
Ga1 ⋅ Ga 2 ⋅ Gb1 ⋅ Gb 2 ⋅
=
Rb1 Ra1
,wie man
−
( Ra1 + Rb1 ) ⋅ ( Ra 2 + Rb 2 )
Rb 2 Ra 2
= (Ga1 + Ga 2 + Gb1 + Gb 2 ) ⋅ ( Ra1 + Ra 2 + Rb1 + Rb 2 )
54
etwas mühevoll nachrechnen kann. Glg. „2“ stellt man zunächst um zu
Ra1
Ra 2 ⎞
1
1
⎛
⎞
⎛
0⎟
−
−
⎜−
⎜ −1
⎟
Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2 ⎟ ⎛ ia ⎞
⎜ Ra1 + Rb1 Ra 2 + Rb 2
⎟ ⋅ ⎛⎜ u ab ⎞⎟ = ⎜
⋅⎜ ⎟ .
Rb1
Rb 2
Ra1 ⋅ Rb1
Ra 2 ⋅ Rb 2 ⎟ ⎜⎝ i1 ⎟⎠
⎜
⎟ ⎜⎝ u12 ⎟⎠ ⎜
1⎟
⎜− R + R + R + R
⎜ 0 R +R + R +R ⎟
a1
b1
a2
b2 ⎠
a1
b1
a2
b2
⎝
⎠
⎝
Anschließend multipliziert man mit der Inversen und führt die Gleichung in
jene der Behauptung „1“ über.
2.5. Vierpole
Elektronische Schaltungen sind derart umfangreich, dass man bemüht ist,
Teilschaltungen zu überschaubaren Blöcken zusammenfassen, die einen
Signaleingang und einen Signalausgang mit je zwei Polen besitzen, sogenannte
Vierpole. I1 sei der Eingangsstrom, U1 sei die
Eingangsspannung, I2 sei der Ausgangsstrom, und
U2 sei die Ausgangsspannung. Zunächst erkennt
man, dass von außen etwa die beiden Spannungen
vorgegeben werden können. Die Ströme stellen sich
zwangsläufig ein. Man studiert die Abhängigkeiten der vier Größen unter folgender
vereinfachenden Annahme.
Die Ströme und Spannungen mögen von gewissen Ruhewerten I10, U10, I20, U20 nur
so wenig abweichen, dass die Abhängigkeiten zwischen den Änderungen
∆I1 := I1- I10, ∆U1, ∆I2, ∆U2 näherungsweise durch partielle Ableitungen beschrieben
werden können. Die Änderungen ∆I1, ∆U1, ∆I2, ∆U2 nennt man Kleinsignalparameter
∂I1 ⎞
⎛ ∂I1
⎜
⎟
⎛ i1 ⎞ ⎜ ∂U 1 ∂U 2 ⎟ ⎛ u1 ⎞
und schreibt dafür i1:=∆I1, bzw. u1, i2, u2. ⎜⎜ ⎟⎟ ≈
⋅ ⎜ ⎟ Die Jakobimatrix
∂I 2 ⎟ ⎜⎝ u 2 ⎟⎠
⎝ i2 ⎠ ⎜ ∂I 2
⎜ ∂U
⎟
⎝ 1 ∂U 2 ⎠
bezeichnet man mit y, ihre vier partiellen Ableitungen heißen
Leitwertparameter.
⎛ ∂I1
⎜
⎜ ∂U 1
⎜ ∂I 2
⎜ ∂U
⎝ 1
∂I1 ⎞
⎟
∂U 2 ⎟ ⎛ y11
=: ⎜
∂I 2 ⎟ ⎜⎝ y 21
∂U 2 ⎟⎠
y12 ⎞ ⎛ Eingangsleitwert
⎟=⎜
y 22 ⎟⎠ ⎜⎝ Vorwärtssteilheit
Rückwärtssteilheit ⎞
⎛i ⎞
⎛u ⎞
⎟⎟ = y ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = y ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
Ausgangsleitwert ⎠
⎝ i2 ⎠
⎝ u2 ⎠
Im weiteren Umgang mit den Vierpolmatrizen ist von partiellen Ableitungen keine
Rede mehr. Es handelt sich nur mehr um ausgedehnte Koordinatentransformationen
in zweidimensionalen Vektorräumen. In die Vierpolzeichnungen werden ab nun nur
die Änderungen elektrischer Größen vermerkt.
55
Unter den zwei Strömen und zwei Spannungen können auf sechs Arten zwei freie
Variable gewählt werden. Außer der bereits angeführten Möglichkeit werden in der
Elektronik noch weitere drei Ansätze benutzt, die sich bei der Analyse von
Vierpolnetzwerken als nützlich
erwiesen hatten. Der Vorteil der
Leitwertparameter zeigt sich bei der
Parallelschaltung sowohl der
Eingänge als auch Ausgänge zweier
oder mehrerer Vierpole. Dann ersetzt
ein Gesamtvierpol die Einzelvierpole,
dessen y-Matrix die Summe der Teil-yMatrizen ist.
⎛ i11 ⎞
⎛u ⎞ ⎛i ⎞
⎛u ⎞ ⎛i ⎞ ⎛i ⎞ ⎛i ⎞
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟=1 y ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 12 ⎟⎟= 2 y ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 11 ⎟⎟ + ⎜⎜ 12 ⎟⎟ =(1 y + 2 y ) ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ i21 ⎠
⎝ u 2 ⎠ ⎝ i22 ⎠
⎝ u 2 ⎠ ⎝ i2 ⎠ ⎝ i21 ⎠ ⎝ i22 ⎠
⎝ u2 ⎠
Elektroniker benutzen gerne den
i1
Vierpolparametern angepasste
y11
u1
Ersatzschaltungen. Im Falle der
y12xu2
Leitwertparameter sieht diese so aus:
i2
y21xu1
y22
u2
Die Wahl der Ströme als freie Variable zeigt ihre Vorzüge bei der Serienschaltung
sowohl der Eingänge als auch Ausgänge zweier oder mehrerer Vierpole. Die
Elemente von z heißen
Widerstandsparameter.
z12 ⎞ ⎛ Eingangswiderstand
Kernwiderstand rückwärts ⎞
⎛z
⎛ u1 ⎞
⎛i ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟ = z ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ z = ⎜⎜ 11
⎟
Ausgangswiderstand ⎟⎠
⎝ z 21 z 22 ⎠ ⎝ Kernwiderstand vorwärts
⎝ u2 ⎠
⎝ i2 ⎠
Dann ersetzt ein Gesamtvierpol die Einzelvierpole, dessen z-Matrix die Summe der
⎛u ⎞
⎛i ⎞ ⎛u ⎞
⎛i ⎞ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞
⎛i ⎞
Teil-z-Matrizen ist. ⎜⎜ 11 ⎟⎟=1 z ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 12 ⎟⎟= 2 z ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 11 ⎟⎟ + ⎜⎜ 12 ⎟⎟ =(1 z + 2 z ) ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ u 21 ⎠
⎝ i2 ⎠ ⎝ u 22 ⎠
⎝ i2 ⎠ ⎝ u 2 ⎠ ⎝ u 21 ⎠ ⎝ u 22 ⎠
⎝ i2 ⎠
Vierpolersatzschaltung für Widerstandsparameter:
i1
z11
z22
+
+
-
-z21xi1
u1
i2
u2
z12xi2
Die Wahl des Eingangsstromes und der Ausgangsspannung als freie Variable zeigt
ihre Vorzüge bei der Serienschaltung des Einganges und Parallelschaltung des
Ausganges zweier oder mehrerer Vierpole. Die Elemente von h heißen
56
Hybridparameter.
⎛h
⎛ u1 ⎞
⎛i ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = h ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ h = ⎜⎜ 11
⎝ h21
⎝ i2 ⎠
⎝ u2 ⎠
h12 ⎞ ⎛ Eingangswiderstand
⎟=⎜
h22 ⎟⎠ ⎜⎝ Stromverstärkung
Spannungsrückwirkung ⎞
⎟
Ausgangsleitwert ⎟⎠
Dann ersetzt ein Gesamtvierpol die Einzelvierpole, dessen h-Matrix die Summe der
⎛u ⎞
⎛ i ⎞ ⎛u ⎞
⎛ i ⎞ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞
⎛i ⎞
Teil-h-Matrizen ist. ⎜⎜ 11 ⎟⎟=1 h ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 12 ⎟⎟= 2 h ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 11 ⎟⎟ + ⎜⎜ 12 ⎟⎟ =(1 h + 2 h) ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ i21 ⎠
⎝ u 2 ⎠ ⎝ i22 ⎠
⎝ u 2 ⎠ ⎝ i2 ⎠ ⎝ i21 ⎠ ⎝ i22 ⎠
⎝ u2 ⎠
Vierpolersatzschaltung für Hybridparameter:
i1
u1
h11
h12xu2 +
h21xi1
i2
u2
h22
Die Wahl der Ausgangsgrößen als freie Variablen ist bei der Serienschaltung zweier
oder mehrerer Vierpole vorteilhaft. Die Elemente von h heißen
Kettenparameter.
⎛ u1 ⎞
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = a ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ i1 ⎠
⎝ − i2 ⎠
⎛a
a = ⎜⎜ 11
⎝ a21
a12 ⎞ ⎛ reziproke Spannungsverstärkung
negative reziproke Steilheit ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
a22 ⎠ ⎝ reziproker Kernwiderstand vorwärts reziproke Stromverstärkung ⎟⎠
Dann ersetzt ein Gesamtvierpol die Einzelvierpole, dessen a-Matrix das Produkt der
Teil-a-Matrizen ist.
⎛ u11 ⎞
⎛ u ⎞ ⎛u ⎞
⎛ u ⎞ ⎛u ⎞ ⎛u ⎞
⎛u ⎞
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟=1 a ⋅ ⎜⎜ 21 ⎟⎟, ⎜⎜ 12 ⎟⎟= 2 a ⋅ ⎜⎜ 22 ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 11 ⎟⎟=1 a⋅2 a ⋅ ⎜⎜ 22 ⎟⎟=1 a⋅2 a ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ i11 ⎠
⎝ − i21 ⎠ ⎝ i12 ⎠
⎝ − i22 ⎠ ⎝ i1 ⎠ ⎝ i11 ⎠
⎝ − i22 ⎠
⎝ − i2 ⎠
Offensichtlich wurde eine der Stromrichtungen umgedreht, um Verkettung durch
Multiplikation zu ermöglichen.
Leider widerspricht das hier benutzte Kriterium zur Benutzung von Groß- und
Kleinbuchstaben einem anderen, sehr viel bedeutenderen Kriterium. Zeitabhängige
elektrische Größen können nämlich der Laplace-Transformation unterworfen werden.
57
Zeitabhängige elektrische Größen werden mit Kleinbuchstaben geschrieben, ihre
Laplace-Transformierten mit Großbuchstaben.
Zwischen den Vierpolparametern kann umgerechnet werden. Dabei lässt sich der
Umgang mit Gleichungssystemen üben. Am Beispiel der Hybridparameter sei
gezeigt, wie man auf die y-, z- und a-Parameter schließen kann. Zweckmäßigerweise
ordnet man alle vier Variablen auf die rechte Seite. Danach stellt man wieder nach
Bedarf für y und a um und löst die Matrizengleichungen. z=y-1.
⎛ 0 ⎞ ⎛ h11
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ 0 ⎠ ⎝ h21
⎛ i1 ⎞
⎜ ⎟
h12 − 1 0 ⎞ ⎜ u 2 ⎟
⎟⋅
h22 0 − 1⎟⎠ ⎜ u1 ⎟
⎜ ⎟
⎜i ⎟
⎝ 2⎠
⎛ − h11
⎜⎜
⎝ − h21
⎛ 1 − h11 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ h12 0 ⎞ ⎛ u 2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 − h21 ⎠ ⎝ i1 ⎠ ⎝ h22 1 ⎠ ⎝ − i2 ⎠
1 ⎛ − h21 h11 ⎞ ⎛ h12 0 ⎞
⎟
⎜
⎟⋅⎜
a=−
1 ⎟⎠ ⎜⎝ h22 1 ⎟⎠
h21 ⎜⎝ 0
0 ⎞ ⎛ i1 ⎞ ⎛ − 1 h12 ⎞ ⎛ u1 ⎞
⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎜
⎟⋅⎜ ⎟
1 ⎟⎠ ⎜⎝ i2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 h22 ⎟⎠ ⎜⎝ u 2 ⎟⎠
0 ⎞ ⎛ − 1 h12 ⎞
1 ⎛ 1
⎟ ⋅⎜
⎟
y = − ⎜⎜
h11 ⎝ h21 − h11 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 h22 ⎟⎠
h12 ⎞
1 ⎛ 1 − h12 ⎞
1 ⎛ h
⎜
⎟ z = y −1 =
⎜⎜
⎟
⎜
⎟
h ⎠
h11 ⎝ h21
h22 ⎝ − h21 1 ⎟⎠
Nach diesem Muster berechne man y → z , a, h
Ergebnisse sind hier zusammengestellt:
y=
1 ⎛ 1
⋅⎜
h11 ⎜⎝ h21
y=
− h12 ⎞
⎟=
h ⎟⎠
− y12 ⎞
⎟=
y ⎟⎠
h=
1 ⎛ 1
⋅⎜
y11 ⎜⎝ y 21
a=
−
1 ⎛ y 22
⋅⎜
y 21 ⎜⎝ y
1 ⎞
⎟=
y11 ⎟⎠
z=
1
y
⎛ y
⋅ ⎜⎜ 22
⎝ − y 21
− y12 ⎞
⎟=
y11 ⎟⎠
−
1 ⎛ h
⋅⎜
h21 ⎜⎝ h22
h11 ⎞
⎟=
1 ⎟⎠
⎛ h
⋅ ⎜⎜
⎝ − h21
h12 ⎞
⎟=
1 ⎟⎠
1
h22
1 ⎛ h h11 ⎞
⎜
⎟
h21 ⎜⎝ h22 1 ⎟⎠
z → a, h, y a → h, y, z ! Die
a=−
1
a12
⎛a
−a⎞
⎟⎟ =
⋅ ⎜⎜ 22
−
1
a
11 ⎠
⎝
1
z
1
a 22
⎛a
a ⎞
⎟⎟ =
⋅ ⎜⎜ 12
−
1
a
21 ⎠
⎝
1
z 22
⎛ z
⋅ ⎜⎜ 22
⎝ − z 21
⎛ z
⋅ ⎜⎜
⎝ − z 21
1 ⎛ z11
⋅⎜
z 21 ⎜⎝ 1
1 ⎛ a11
⋅⎜
a21 ⎜⎝ 1
− z12 ⎞
⎟
z11 ⎟⎠
z12 ⎞
⎟
1 ⎟⎠
z ⎞
⎟
z 22 ⎟⎠
a ⎞
⎟=
a 22 ⎟⎠
Irreführend ist die Wahl desselben Wortes Ausgangsleitwert für die verschiedenen
Vierpolparameter h22 und y22. Die beiden Größen unterscheiden sich um
h ⋅h
y ⋅y
h22 − y 22 = 12 21 = − 12 21 . Diese Vierpolparameter mit demselben Namen sind
h11
y11
zwar ähnliche partielle Ableitungen, jedoch unter Konstanthaltung verschiedener
∂i
∂i2
Variablen: 2 = h22
= y 22 . Genauso unglücklich ist die Wahl des Wortes
∂u 2 i
∂u 2 u
1
1
Eingangswiderstand für die verschiedenen Vierpolparameter h11 und z11. Die beiden
z ⋅z
h ⋅h
∂u
∂u
Größen unterscheiden sich um 1 − 1 = z11 − h11 = 12 21 = − 12 21 . In weiteren
z 22
h22
∂i1 i ∂i1 u
2
2
58
drei Fällen unterscheiden sich Vierpolparameter auch nur um die konstant gehaltene
Variable. Allerdings werden auch verschiedene Namen dafür verwendet.
∂u1
∂u
∂u1
∂u
z ⋅z
a ⋅a
h ⋅h
a ⋅a
− 1 = z12 − (−a12 ) = 11 22 = 11 22
− 1 = h12 − a11 = 11 22 = − 12 21
∂i2 i ∂i2 u
∂u 2 i ∂u 2 i
z 21
a21
h21
a22
1
∂i1
∂u 2
2
−
i2
∂i1
∂u 2
1
= a21 − y12 =
u1
2
a11 ⋅ a22
y ⋅y
= − 11 22
a12
y 21
Widerstandstransformationen
Das Anbringen einer Last an einem Polpaar zeigt Auswirkungen am anderen
Polpaar. Betrachten wir zuerst die Last RL am Ausgang. Das bedeutet direkte
Proportionalität zwischen u2 und i2: u 2 = −i2 ⋅ RL .
u
a ⋅u − a ⋅i
Eingesetzt in z1 := 1 = 11 2 12 2 und auf die
i1 a21 ⋅ u 2 − a22 ⋅ i2
anderen Vierpolparameter umgerechnet erhält
h + h ⋅ RL 1 + y 22 ⋅ RL
z + z11 ⋅ RL
a +a ⋅R
=
=
.
man z1 = 12 11 L = 11
a22 + a21 ⋅ RL 1 + h22 ⋅ RL
y11 + y ⋅ RL
z 22 + RL
1
. Für einen Leerlauf des
y11
Ausganges, GL=0, ist z1 = z11 . Das gibt zu folgenden Wortschöpfungen Anlass:
h11=Kurzschlusseingangswiderstand vorwärts, y11=Kurzschlusseingangsleitwert,
z11=Leerlaufeingangswiderstand.
Für einen Kurzschluss des Ausganges, RL=0, ist z1 = h11 =
Betrachten wir jetzt die Last RL am Eingang. Das bedeutet direkte Proportionalität
zwischen u1 und i1: u1 = −i1 ⋅ RL . Durch Inversion der
Kettenparameter erhält man
⎛ u 2 ⎞ 1 ⎛ a 22 a12 ⎞ ⎛ u1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . Eingesetzt in
⎝ i2 ⎠ a ⎝ a 21 a11 ⎠ ⎝ − i1 ⎠
u 2 a22 ⋅ u1 − a12 ⋅ i1
=
und umgerechnet auf die anderen Vierpolparameter wird
i2 a21 ⋅ u1 − a11 ⋅ i1
z + z 22 ⋅ RL
a + a22 ⋅ RL
h11 + RL
1 + y11 ⋅ RL
=
=
=
.
z 2 = 12
a11 + a21 ⋅ RL h ⋅ + h22 ⋅ RL y 22 + y ⋅ RL
z11 + RL
z 2 :=
Für einen Kurzschluss des Einganges, RL=0, ist z 2 =
1
. Für einen Leerlauf des
y 22
1
. Bezeichnungen: h22=Leerlaufleitwert vorwärts,
h22
y22=Kurzschlussausgangsleitwert, z22=Leerlaufausgangswiderstand.
Einganges, GL=0, ist z 2 = z 22 =
Stromverstärkung
⎛u ⎞
⎛u ⎞
⎛R ⎞
wieder mit dem Lastwiderstand RL. ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = a ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = a ⋅ ⎜⎜ L ⎟⎟ ⋅ (−i2 ) ⇒
⎝ 1 ⎠
⎝ i1 ⎠
⎝ − i2 ⎠
i
h21
y 21
z 21
1
vi = 2 = −
=
=
=−
i1
a21 ⋅ RL + a22 h22 ⋅ RL + 1 y ⋅ RL + y11
RL + z 22
59
⎛u ⎞
⎛ 1 ⎞
Spannungsverstärkung ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = a ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ u 2 ⇒
⎝ i1 ⎠
⎝ GL ⎠
u
RL
h ⋅R
y ⋅R
z 21 ⋅ RL
= − 21 L = − 21 L =
vu = 2 =
u1 a11 ⋅ RL + a12
h ⋅ RL + h11
y 22 ⋅ RL + 1 z11 ⋅ RL + z
Leistungsverstärkung
vu =
u 2 i2
⋅
u1 i1
Der Transistor als Vierpol
Der Transistor verstärkt Ströme. Das Bild soll an einer mechanischen Konstruktion
zur Steuerung eines großen durch einen kleinen Wasserstrom die Wirkungsweise
veranschaulichen.
Collect
Basis
Emitter
In elektronischen Schaltungen gibt es fast immer ein Bezugspotential,
ground, Masse, Erde genannt. p0 sei dieses Bezugspotential.
GND
Man unterscheidet drei Transistor-Grundschaltungen: namensgebend ist der am
Bezugspotential liegende Transistorpol. Man wählt die Schaltung in Hinblick auf die
Erfordernisse der Anwendung: kleiner oder großer Innenwiderstand, große
Stromverstärkung oder große Spannungsverstärkung, Kapazität zwischen den Polen,
und anderes mehr. Unter den sechs Permutationen der drei Pole sind elektrisch
folgende drei von Bedeutung.
p0
p1
p2
u1
I1
u2
i2
Emitterschaltung
E
B
C
uBE
iB
uCE
iC
Collectorschaltung
C
B
E
-uCB
iB
-uCE
iE
Basisschaltung
B
E
C
-uBE
iE
uCB
iC
Früher hatten wir uns mit Parameterumrechnungen fester Vierpole befasst, um das
Zusammenspiel zwischen kombinierten Vierpolen besser zu überblicken. Nun sei
vorgezeigt, wie man aus bekannten h-Parametern für die Emitterschaltung (hE) auf hParameter für die Basisschaltung (hB) schließt. Es handelt sich jetzt also um
verschiedene Vierpole. Die ersten beiden Zeilen stammen vom gegebenen Vierpol,
die beiden letzten Zeilen schließen über die Kirchhoff-Regeln auf jene Spannung uCB
und jenen Strom iE, die in den anderen Grundschaltungen benutzt werden.
60
⎛1
⎜
⎜0
⎜1
⎜
⎜0
⎝
0 − hE12
− hE11
0
1 − hE 22
− hE 21
0
0
−1
0
1
1
0
1
0
⎛ u BE ⎞
⎜
⎟
0 ⎞ ⎜ iC ⎟ ⎛ 0 ⎞
⎟
⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ uCE ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟=
⋅⎜
0 ⎟ ⎜ iB ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟⎠ ⎜ uCB ⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜i ⎟
⎝ E ⎠
An dieser Stelle könnten wir uBE und iC eliminieren, um hC zu erhalten. Wir
entschieden uns aber für den Fall hB, der gleichartig behandelt wird. uCE und iB
werden eliminiert.
⎛ u BE ⎞
⎜
⎟
hE11
0 0 − hE12 hE11 ⎞ ⎜ iC ⎟ ⎛ 0 ⎞
⎛1 − hE12
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ − hE 22 1 + hE 21 0 0 − hE 22 hE 21 ⎟ ⎜ uCE ⎟ ⎜ 0 ⎟
⋅
=
⎜ 1
0
−1 0
1
0 ⎟ ⎜ iB ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0
1
0 1
0
1 ⎟⎠ ⎜ uCB ⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝
⎜i ⎟
⎝ E ⎠
⎞ ⎛ − u BE ⎞ ⎛ hE11 − hE12 ⎞ ⎛ iE ⎞
⎟⇒
⎟=⎜
⎟⋅⎜
⎟⋅⎜
− (1 + hE 21 ) ⎟⎠ ⎜⎝ iC ⎟⎠ ⎜⎝ hE 21 − hE 22 ⎟⎠ ⎜⎝ u CB ⎟⎠
⎛
hE11
− hE12 + hE ⎞
1
⎟
hB =
⋅ ⎜⎜
⎟
hE 22
1 − hE12 + hE 21 + hE ⎝ − hE 21 − hE
⎠
⎛1 − hE12
⎜⎜
⎝ − hE 22
− hE11
Am gebräuchlichsten für Transistoren sind y- und h- Parameter. Zur Übung sei eine
der Umrechnungen empfohlen.
hE → hC , hB → hC , hE , hC → hB , hE , y E → y B , yC , y B → yC , y E , yC → y B , y E
Zur Kontrolle sind zwei Ergebnisse angeführt:
⎛ y + y B12 + y B 21 + y B 22 − y B12 − y B 22 ⎞
⎛ y + y E12 + y E 21 + y E 22 − y E12 − y E 22 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ y E = ⎜⎜ B11
y B = ⎜⎜ E11
y B 22
y E 22
− y B 21 − y B 22
− y E 21 − y E 22
⎠
⎝
⎠
⎝
2.6. Wechselstrom
Das Verhalten von L, C, R
Ein einfacher Zugang in der zehnten Schulstufe ist erforderlich. Die komplexen
Zahlen werden erst eingeführt. j wird als imaginäre Einheit verwendet, weil i(t) den
Strom im Zeitbereich symbolisiert. I(s) symbolisiert den Strom im Frequenzbereich.
Man betrachtet die Realteile von U 0 ⋅ e jωt , I 0 ⋅ e j (ωt −ϕ ) als Wechselspannung, bzw.
Wechselstrom mit Phasenverschiebung. U 0 ⋅ e jωt , I 0 ⋅ e j (ωt −ϕ ) als Zeiger gezeichnet,
lassen Amplituden und Phasenverschiebung leicht erkennen. Die Benutzung der
komplexen Zahlen erleichtert die Handhabung der Phasenverschiebungen
wesentlich.
a) Addition
A1 ⋅ cos(ωt − ϕ1 ) + A2 ⋅ cos(ωt − ϕ 2 ) lässt sich zwar mit Summensätzen auf A ⋅ cos(ωt − ϕ )
umformen, eleganter erhält man das Ergebnis aber durch
A1 ⋅ e j (ωt −ϕ1 ) + A2 ⋅ e j (ωt −ϕ2 ) = e jωt ( A1 ⋅ e − jϕ1 + A2 ⋅ e − jϕ2 ) , also durch komplexe Addition
konstanter Zahlen A1 ⋅ e − jϕ1 + A2 ⋅ e − jϕ2 = A ⋅ e − jϕ , und Verwertung der Realteile. Die
61
Realteile werden sogar nur selten benötigt. Der Anwender bewegt sich vornehmlich
in C.
b) Bildung des Differentialquotienten
Sei f : t a w(t ) ∈ C , t ∈ R eine Funktion, sodass der Realteil (w(t)) eine elektrische
Größe ist. f möge sich auf C analytisch fortsetzen lassen, die Cauchy-Riemannschen
d Re( w)
⎛ dw ⎞ d Re( w) d Im(w)
⎛ dw ⎞ d Im(w)
, Im⎜
Differentialgleichungen Re⎜
=
=−
⎟=
⎟=
d Im( z )
⎝ dz ⎠ d Re( z ) d Im( z )
⎝ dz ⎠ d Re( z )
d Re( w)
⎛ dw ⎞
= Re⎜
sind erfüllt. Speziell auf der reellen Geraden gilt daher
⎟.
dt
⎝ dz ⎠
Differenzieren ist also mit der Bildung des Realteiles vertauschbar. Für w = e j (ωt −ϕ )
erkennt man die Vertauschbarkeit für beliebiges ϕ:
Re alteil
cos(ωt − ϕ ) = Re(e j (ωt −ϕ ) )
←⎯
⎯⎯ e j (ωt −ϕ )
↓ Differenzieren
↓ Differenzieren
− ω ⋅ sin(ωt − ϕ ) = ω ⋅ Re(e
j (ωt −ϕ +π / 2 )
) ←⎯ ⎯⎯ j ⋅ ω ⋅ e
Re alteil
j (ωt −ϕ )
=e
j
π
2
⋅ ω ⋅ e j (ωt −ϕ )
Jede Ableitung bedeutet Multiplikation mit jω, das heißt, zum Winkel werden π/2
addiert, der Betrag wird mit ω multipliziert.
i(t)
u(t)
L
di (t )
dt
Sei i (t ) = I A ⋅ cos(ωt − ϕ ) = Re( I A ⋅ e j (ωt −ϕ ) ) ⇒ u (t ) = Re( j ⋅ ωL ⋅ I A ⋅ e j (ωt −ϕ ) ) .
i (t ) = Re( I ( jωt )) , u (t ) = Re(U ( jωt )) , I ( jωt ) := I A ⋅ e j (ωt −ϕ ) U ( jωt ) := j ⋅ ωL ⋅ I A ⋅ e j (ωt −ϕ ) .
Die Eleganz der komplexen Rechnung besteht darin, dass die durch das Ohmsche
Gesetz ausgedrückte direkte Proportionalität auch auf I ( jωt ) und U ( jωt )
U ( jωt )
= j ⋅ ωL . Die Spannung eilt dem Strom um π/2 vor. L heißt
anwendbar ist:
I ( jωt )
Induktivität, X L := ωL heißt ein induktiver Blindwiderstand. Der Name ergibt sich aus
dem ständigen Wechsel der Energieflussrichtung P(t ) = U (t ) ⋅ I (t ) . Man zeige zur
Übung, dass in jeder Schwingungsperiode die zugeführte Energie gleich groß wie die
abgeführte Energie ist!
u (t ) = L ⋅
i(t)
C
u(t)
du
dt
j (ωt −ϕ )
Sei U ( jωt ) = U A ⋅ e
⇒ I ( jωt ) = j ⋅ ωC ⋅ U A ⋅ e j (ωt −ϕ ) ,
1
U ( jωt )
i (t ) = Re( I ( jωt )) , u (t ) = Re(U ( jωt )) ,
=
=: − j ⋅ X C , X C heißt ein
I ( jωt )
j ⋅ ωC
kapazitiver Blindwiderstand, C heißt Kapazität.
i (t ) = C ⋅
Sogenannte Ohmsche Widerstände zeigen das Verhalten
Schaltungen
U ( jωt )
= R ∈ℜ⋅Ω .
I ( jωt )
62
Schaltungen werden aus den Elementen L, C, R zusammengesetzt. Wegen der
Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für jedes Element bei fester Frequenz sind alle
bei Gleichstrom behandelten Methoden auch hier anwendbar: Spannungsteilerregel,
Stromteilerregel, Stern- Dreieck- Äquivalenz, Maxwell- Zyklen, HelmholtzÜberlagerung, Ersatzspannungsquellen, Ersatzstromquellen, Formeln für Serien- und
Parallelschaltung.
Erwähnte Methoden führen auf rationale Funktionen in jω für komplexe Widerstände
Z (ω ) = R(ω ) + j ⋅ X (ω ) und komplexe Leitwerte Y (ω ) = G (ω ) + j ⋅ B(ω ) . R, X, G und B
sind reell, Z und Y sind im Allgemeinen komplex. G und R sind zudem positiv, als
Konsequenz des Nettoenergiekonsums.
R
X
Z
Wirkwiderstand
Blindwiderstand
Scheinwiderstand
Resistanz
Reaktanz
Impedanz
G
B
Y
Wirkleitwert
Blindleitwert
Scheinleitwert
Konduktanz
Suszeptanz
Admittanz
Das arg(Z) heißt Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Zu R, X, G, B
gelangt man durch Auflösung der Potenzen von jω nach j 2 + 1 = 0 . Gerade davon sei
aber dringend abzuraten, weil sich die Potenzen von ω mitsamt verschiedenster
Koeffizienten unübersichtlich durchmischen. Man bewahre vielmehr die am Beginn
der Schaltungsanalyse vorgegebene Ordnung! Es ist üblich, für jω eine freie
komplexe Variable s (in der deutschen Literatur auch p) einzuführen, deren
Bewegungsfreiheit auf Im+ eingeschränkt ist, weil die Schaltung nur sinusförmigen
Strömen und Spannungen unterworfen wird. Gesucht sind nur die stationären
Schwingungen. Die Einschwingvorgänge bleiben unberücksichtigt. Diese sind
Lösungen von gekoppelten homogenen Differentialgleichungen.
Als rationale Funktionen haben Z(s) und Y(s) Pole und Nullstellen in C. Die Sätze der
Funktionentheorie sind anwendbar.
Analyse gegebener Schaltungen
Beispiel 1
1
25Ω +
1
1
s ⋅10 −6 F
Admittanz Y ( s ) =
+
=
1
1
15Ω 10Ω +
⎛
⎞
15Ω ⋅ ⎜10Ω +
⎟
−6
−6
s ⋅10 F
s ⋅10 F ⎠
⎝
10 −5 ⋅ sec⋅ s + 1
s − (− 10 5 ⋅ sec −1 )
=
6
Ω
⋅
2,5 ⋅10 −5 ⋅ sec⋅ s + 1
s − (− 0,4 ⋅10 5 ⋅ sec −1 )
− 105 ⋅ sec −1 ist die Nullstelle der Impedanz, und − 0,4 ⋅10 5 ⋅ sec −1 der Pol der Impedanz.
Die Variable s nimmt nur Werte jω auf der imaginären Achse an. Die Spitzen der
beiden, Zähler und Nenner darstellenden, Zeiger in C wandern gemeinsam von 0
nach j∞ . Die Schafte bleiben in Nullstelle und Pol fixiert. Das Argument, also der
Winkel von z(s) ist in den Randpunkten Null, sonst überall negativ. Der Quotient geht
dabei von 2,5 auf 1 zurück.
Impedanz Z ( s ) = 15Ω ⋅
63
bis 105 ⋅ sec −1 ⋅ ω −1
Um den Verlauf des Rückganges besser abschätzen
zu können, nähert man die Längen der beiden
Zeiger jeweils durch die längere rechtwinkelige
Koordinate an. Für ω ≤ 0,4 ⋅ 105 ⋅ sec −1 wird der Betrag
des Nenners durch 0,4 ⋅ 105 ⋅ sec −1 ersetzt, für
ω > 0,4 ⋅105 ⋅ sec −1 wird der Betrag des Nenners durch
ω ersetzt. Für ω ≤ 105 ⋅ sec −1 wird der Betrag des
Zählers durch 105 ⋅ sec −1 ersetzt, für ω > 105 ⋅ sec −1 wird
der Betrag des Zählers durch ω ersetzt. Also bleibt
der Quotient=2,5 bis ω ≤ 0,4 ⋅ 105 ⋅ sec −1 , geht dann wie
bis ω ≤ 105 ⋅ sec −1 und bleibt dann gleich 1 für ω > 105 ⋅ sec −1 .
Beispiel 2
R
R
C
C
Z(s) ist der Kettenbruch
2CRs + 3 + 5 ⋅ 2CRs + 3 − 5
s 2C 2 R 2 + 3sCR + 1
1
z ( s) = R +
=
= R⋅
2 2
1
s C R + s 2C
2CRs ⋅ (2CRs + 4)
sC +
1
R+
sC
3± 5
CRs hat die physikalische Einheit 1, die Nullstellen sind n1, 2 = −
, die Pole sind
2CR
0
2
.
p1 =
, p2 = −
CR
sec
(
)(
)
Sehr störend ist die gleichzeitige Verwendung des Buchstaben s für die komplexe
1
die Einheit
Variable und für die Einheit der Zeit, die Sekunde. Noch dazu ist
Sekunde
der komplexen Variablen s. Zur Unterscheidung schreiben wir sec für die Sekunde.
Wir wollen zuerst den Betrag y des Linearfaktors 2CRs + 3 + 5 für imaginäres
s =: j ⋅ ω im doppellogarithmischen Maßstab darstellen.
X := log(2CRω ) sei der metrische Abstand vom Ursprung auf der Abszisse, ω sei die
zugehörige Beschriftung.
Y := log( y ) = log 2CRs + 3 + 5 sei der metrische Abstand vom Ursprung auf der
Ordinate, y sei die zugehörige Beschriftung.
Die Basis b des Logarithmus spielt die Rolle des Maßstabes.
⎧log(2CRω ) = X für 2CRω > 3 + 5
Y = log( y ) ≈ ⎨
für 2CRω ≤ 3 + 5
⎩ log(3 + 5 )
Die Funktion j ⋅ 2CRω + 3 + 5 wird also durch zwei Geradenstücke in
doppellogarithmischer Skalierung angenähert:
3+ 5
- links der Grenzfrequenz
durch eine Gerade mit der Steigung Null und der
2CR
Beschriftung 3 + 5 für den Achsenabschnitt
64
- rechts der Grenzfrequenz durch die durch den Ursprung verlaufende Gerade mit
der Steigung 1.
Auch 2CRs + 3 − 5 wird durch zwei solche Geraden angenähert Die Grenzfrequenz
ist
3− 5
.
2CR
Ähnlich verhält es sich mit den Linearfaktoren im Nenner:
⎧− log(2CRω ) = − X für 2CRω > 4
1
⎪
Y := log
= − log 2CRs + 4 ≈ ⎨
⎛1⎞
für 2CRω ≤ 4
log⎜ ⎟
2CRs + 4
⎪⎩
⎝4⎠
1
Die Funktion
wird also durch zwei Geradenstücke in
j ⋅ 2CRω + 4
doppellogarithmischer Skalierung angenähert:
4
durch eine Gerade mit der Steigung Null und der
- links der Grenzfrequenz
2CR
Beschriftung 0,25 für den Achsenabschnitt
- rechts der Grenzfrequenz durch die durch den Ursprung verlaufende Gerade mit
der Steigung -1.
1
durch die durch den Ursprung
j ⋅ 2CRω
verlaufende Gerade mit der Steigung -1 exakt dargestellt.
Schließlich wird der Linearfaktor
Die Addition der metrischen Ordinatenwerte der vier Näherungskurven und von R/Ω
führt zur Darstellung der Impedanz:
Z ( jω )
R
= log( ) +
log
Ω
Ω
+ log j ⋅ 2CRω + 3 + 5 + log j ⋅ 2CRω + 3 − 5 − log j ⋅ 2CRω + 4 − log j ⋅ 2CRω
65
Nullstellen und Pole
Obiges Beispiel soll zeigen, dass die Kenntnis der Lage der Nullstellen und Pole das
Frequenzverhalten einer Schaltung erkennen hilft. Das gilt zum Einen bei der
Analyse, zum Anderen aber umso effektiver beim Schaltungsentwurf. Aus einem
gewünschten Frequenzverhalten schließt man auf eine günstige PolNullstellenverteilung. Daraus wiederum berechnet man eine Schaltung.
z ( s ) ⋅ Ω −1 = k ⋅
( s − n1 ) ⋅ ( s − n2 ) ⋅ K ⋅ ( s − n p )
⋅ sec p −q Die Elemente L, C, R sind reell und
( s − p1 ) ⋅ ( s − p2 ) ⋅ K ⋅ ( s − pq )
führen auf rationale Funktionen mit reellen Koeffizienten. Daher treten Pole und
Nullstellen paarweise komplex konjugiert auf. Wegen eines tiefer liegenden Satzes
haben weder Nullstellen noch Pole passiver Zweipole positive Realteile.
Um |z(jω)| für den einfachen Fall abzuschätzen, für den alle Pole und Nullstellen reell
⎧ ω für pk < ω ⎫
⎧ ω für nl < ω ⎫
sind, nähert man s − pk ≈ ⎨
⎬ und s − nl ≈ ⎨
⎬ an. Wegen
p
für
p
ω
n
für
n
ω
≥
≥
k
k
l
l
⎭
⎭
⎩
⎩
log z ( s ) ⋅ Ω
−1
p
q
l =1
l =1
= log | k | + ∑ log ( s − nl ) ⋅ sec − ∑ log ( s − pl ) ⋅ sec addieren sich bei
doppellogarithmischer Skalierung die Näherungsfunktionen. Bei den
Grenzfrequenzen pl und nl wechseln die ganzzahligen Steigungen der
Näherungsfunktionen.
Nun wenden wir uns dem Phasenverlauf über der Frequenz zu, wobei vorerst nur ein
einziger Pol betrachtet werde. ln(s − p ) = ln ( s − p ⋅ e jϕ ) = ln s − p + jϕ Wie auch beim
Amplitudengang trägt man auf der Abszisse log(ω ) auf, nicht nur dafür, dass die
66
Diagramme dann untereinander passen. Darüber hinaus zeigt sich der Phasengang
bei dieser Skalierung zentralsymmetrisch mit dem Symmetriemittelpunkt
(ω ,ϕ ) = ⎛⎜ p , π ⎞⎟ . Für zueinander symmetrische Punkte (ω1 ,ϕ1 ) , (ω 2 ,ϕ 2 ) gilt nämlich
4⎠
⎝
ϕ1 + ϕ 2 =
ω1 ω 2
p
⋅
p
π
2
und log p − log(ω1 ) = log(ω 2 ) − log p , folglich tan (ϕ1 ) ⋅ tan (ϕ 2 ) = 1 und
= 1 . Erfüllt einer der beiden Punkte die Gleichung tan(ϕ ) =
ω
p
, dann auch der zweite. Die Wendetangente im
Symmetriemittelpunkt soll das Abschätzen des Phasenganges ω a ϕ erleichtern.
ln(b)
ln(2CRω )
Sie hat die Steigung
. Begründung: X = log(2CRω ) =
ln(b)
2
Aus
1
dX
dϕ
und
=
=
dω ln(b) ⋅ ω
dω
1
folgt
ln(b)
dϕ
ln(b)
dϕ
=
,
.
=
p dX ω = p
dX ω
2
+
p ω
p⎞
⎟
⎟
ω
p
⎠
⎝
Die Wendetangente erfüllt die Gleichung ln(b) ⋅ ∆X = 2 ⋅ ∆ϕ . Die linke Seite der
⎛ω
ω ⋅ ⎜⎜
⎛ω
Gleichung ist ∆ ln(2CRω ) = ln⎜⎜
⎝ p
+
⎛
⎞
⎟ ⇒ ln⎜ ω
⎟
⎜ p
⎠
⎝
⎞
⎟ = 2∆ϕ . Die Wendetangente schneidet
⎟
⎠
die beiden Asymptoten ϕ = 0 und ϕ = π 2 an den Stellen p ⋅ e
±
π
2
. An diesen beiden
Stellen weicht die Ordinate der Wendetangente um 0,2050 rad vom Winkel ϕ ab:
π
π
− ⎞
⎞
⎛
⎛
2
ϕ ⎜⎜ p ⋅ e ⎟⎟ = 0,2050 rad , ϕ ⎜⎜ p ⋅ e 2 ⎟⎟ = 1,366 rad = 78,26° . Zu Beispiel 2 kann man jetzt zu
⎠
⎠
⎝
⎝
jedem Pol und jeder Nullstelle eine Rampenfunktion, bestehend aus zwei
Asymptoten und einer Wendetangente, zeichnen. Die Summe der vier
Rampenfunktionen nähert den Phasenverlauf an.
67
Amplituden- und Phasenverlauf zusammen nennt man ein Bodediagramm. In der
Software Matlab kann man die Nullstellen, Pole und Amplitude des Beispiels 1
eingeben. 2CR wird 1 gesetzt, R=2.
z = {[-5.236 -0.764]};
p = {[0 -4]};
k = [2];
H = zpk(z,p,k)
figure(1)
bode(H,{0.1 , 10})
figure(2)
nyquist(H,{1 , 100})
Nullstellen
Pole
Amplitude
Definition einer Übertragungsfunktion
Bodediagramm
Nyquist-Ortskurve
Ausgegeben werden die beiden Diagramme
Nyquist Diagram
Magnitude (dB)
Bode Diagram
30
2.5
25
2
20
1.5
1
15
0.5
Imaginary Axis
10
Phase (deg)
5
0
0
-0.5
-1
-45
-1.5
-2
-90
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
-2.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Axis
Die Nyquist – Ortskurve ist das Bild der imaginären Achse unter der Abbildung
s a Z (s ) . Auch die negative imaginäre Achse wird abgebildet. Bei der
Laplacetransformation wird sich zeigen, dass das sinnvoll ist.
Synthese einer Schaltung
68
In Beispiel 2 hatten wir bei der Analyse einer Schaltung die rationale Funktion z(s)
erhalten. Wir wollen nun aus der Funktion z(s) eine Schaltung konstruieren. Die
Kettenbruchzerlegung führt wegen der Eindeutigkeit wieder auf dieselbe Schaltung.
Wir versuchen eine andere Methode zur Vereinfachung des Bruches. Da wir die Pole
schon kennen, zerlegen wir z(s) in Partialbrüche.
⎞
⎛
sCR + 1
1
1
⎟⎟ = R +
Dazu gehört die Schaltung
z ( s ) = R ⋅ ⎜⎜1 +
+
s ⋅ 2C s ⋅ 2C + 4
⎝ sCR ⋅ (sCR + 2) ⎠
R
R
2C
2C
R/4
Ein weiteres Beispiel mit mehr Synthesemethoden:
Beispiel 2
Analyse einer gegebenen Schaltung
C1
2uF
L1
2H
C2
16uF
L2
1H
In jedem Zweig ist die Impedanz
Der Gesamtleitwert Y ( s ) =
1
+
1
=
1
+ s ⋅ Lk , 1 ≤ k ≤ 2 .
s ⋅ Ck
s ⋅ (C1 + C 2 ) + s 3 ⋅ C1 ⋅ C 2 ⋅ ( L1 + L2 )
(1 + s 2 ⋅ C1 ⋅ L1 ) ⋅ (1 + s 2 ⋅ C 2 ⋅ L2 )
1
1
+ s ⋅ L1
+ s ⋅ L2
s ⋅ C1
s ⋅ C2
als Funktion der komplexen Variablen s. Einsetzen der Bauteilgrößen:
1 64 ⋅10 −12 ⋅ sec 4 ⋅ s 4 + 20 ⋅10 −6 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 1
Z= =
Y 6 ⋅ F ⋅ sec⋅ s ⋅ 16 ⋅10 −12 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 3 ⋅10 −6
sec
6
8 ⋅10 −6 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 1
⋅ Z = 4 ⋅ sec⋅ s +
Ω
sec⋅ s ⋅ (16 ⋅10 −12 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 3 ⋅10 −6 )
(
)
Es handelt sich um eine Schaltung ohne jegliche Dämpfung, deren Impedanz bei den
Resonanzfrequenzen Null oder unendlich wird. Die Anweisungen:
z = [64e-12 0 20e-6 0 1];
Zähler
n = [96e-12 0 18e-6 0];
Nenner
H = tf(z,n)
Übertragungsfunktion
figure(1)
nyquist(H,{100 , 1000})
figure(2)
bode(H,{100 , 1000})
69
4
3
Nyquist Diagram
x 10
Bode Diagram
100
50
Magnitude (dB)
2
1
0
Imaginary Axis
-50
0
-100
315
270
Phase (deg)
-1
-2
225
180
135
90
-3
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
4
45
2
3
10
x 10
10
Frequency (rad/sec)
Ausgehend von dieser rationalen Funktion werden nun drei Schaltungen entworfen,
die zwar verschieden ausschauen, aber elektrisch dasselbe Verhalten wie die
ursprüngliche Schaltung zeigen.
1. Synthese einer Schaltung mit einer Mischung aus Ketten- und
Partialbruchentwicklung
Z 2
1
1
8 ⋅ sec⋅ s
= ⋅ sec⋅ s +
+ ⋅
−6
−6
18 ⋅10 ⋅ sec⋅ s 6 48 ⋅10 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 9
Ω 3
2
1
1
1
Z = ⋅H ⋅s +
+ ⋅
−6
3
18 ⋅10 ⋅ F ⋅ s 9 4 ⋅10 −6 ⋅ F ⋅ s + 3
4⋅ H ⋅ s
2
1
1
Z = ⋅H ⋅s +
+
1
3
18 ⋅10 −6 ⋅ F ⋅ s 36 ⋅10 −6 ⋅ F ⋅ s +
4
⋅H ⋅s
27
Ω ⋅ sec = H ,
sec
=F
Ω
0.148H
0.667H 18uF
36uF
2. Synthese einer Schaltung mit Kettenbruchentwicklung nach s
Z 2
1
1
2
= ⋅ sec⋅ s +
= ⋅ sec⋅ s +
−12
3
3
−6
1
Ω 3
96 ⋅10 ⋅ sec ⋅ s + 18 ⋅10 ⋅ sec⋅ s 3
12 ⋅10 −6 ⋅ sec⋅ s +
−6
−6
2
2
8 ⋅10 ⋅ sec 2 ⋅ s 2 + 1
8 ⋅10 ⋅ sec ⋅ s + 1
6 ⋅10 −6 ⋅ sec⋅ s
12uF
2
1
Z = ⋅H ⋅s +
1
3
12 ⋅ µF ⋅ s +
0.6667H
4
1
⋅H ⋅s +
1.333H 6uF
3
6 ⋅ µF ⋅ s
3. Synthese einer Schaltung mit Kettenbruchentwicklung nach s-1
70
Wir bedienen uns der Hilfsvariablen u:
1
1
u
1
1
Z
u :=
, Ω⋅u =
,
=
=
⋅u +
27
sec⋅ s
F ⋅s Ω H ⋅s
Ω 18 ⋅10 −6
⋅u +
22
1
1
121
1
⋅u +
−6
6
144 ⋅10
⋅u
22
0.815H
18uF
1.190uF 3.667H
Z=
1
+
18 ⋅ µF ⋅ s
1
1
22
⋅H ⋅s
27
1
+
1
144
⋅ µF ⋅ s
121
+
22
⋅H ⋅s
6
Leider führen diese Methoden nicht automatisch zu positiv reellen R, L, C. Die
L
R
C
rationale Funktion z =
1
1
sC +
sL + R
des Parallelschwingkreises
besitzt die Kettenbruchentwicklung z = R +
1
1
1
1
+
+
1
sL2 R2
+ R3
sC 2
mit der zugehörigen
L2
R
R2
C2
R3
. Für die Werte der Bauelemente ergeben sich:
⎛
R ⋅C ⎛
L
⎞⎞
L ⋅ C ⋅ ⎜⎜1 +
+
1
⎜
⎟ ⎟⎟
2
2
L
−
R
⋅
C
L
−
R
⋅
C
L − R2 ⋅C
⎝
⎠⎠
⎝
2
C2 =
L
L
R
C
R
=
−
⋅
=
2
2
L
L − R2 ⋅C
⎛
⎞
R ⋅ C ⋅ ⎜1 +
⎟
2
⎝ L − R ⋅C ⎠
R
R3 = −
2
R ⋅C ⎛
L
⎞
1+
⎜1 +
⎟
2
2
L − R ⋅C ⎝ L − R ⋅C ⎠
Schaltung
2
Man muss L2>0 verlangen. Dann wird aber R3 negativ. Also ist die Schaltung nicht
ausführbar.
71
3. Integraltransformation
Es werden nun Fourierreihe, Fouriertransformation und Laplacetransformation
vorgestellt. In dieser Reihenfolge wegen der Verwandtschaften zwischen diesen
Transformationen. In der Schule ist das ein möglicher Zugang. Die Schritte sind
plausibel, Beweisstrenge in der Schule ist nicht durchführbar. Auch hier erfolgt eine
knappe Darstellung, weil den Anwendungen mehr Zeit geschenkt werden soll.
3.1. Fourierreihe
Entwicklungssatz für trigonometrische Reihen: jede auf einem endlichen Intervall der
Länge 2l definierte stückweise stetige und beschränkte Funktion lässt sich in eine
π
π
⎛
⎞
trigonometrische Reihe f ( x) = A0 + ∑ ⎜ Ak ⋅ cos(k ⋅ ⋅ x) + Bk ⋅ sin( k ⋅ ⋅ x) ⎟ entwickeln.
l
l
⎠
k∈N ⎝
Die Reihe setzt f außerhalb des Intervalls periodisch fort. Man kann sich die Arbeit
erleichtern, indem man die auf einem Intervall der Länge 2π definierte Funktion
l
f1 ( x) := f ( ⋅ x) = A0 + ∑ ( Ak ⋅ cos(k ⋅ x) + Bk ⋅ sin(k ⋅ x) ) entwickelt, um sich beim
π
k∈N
Integrieren nicht um den Maßstabsfaktor
π
kümmern zu müssen. Vorteilhaft erweist
l
sich ferner eine Verschiebung f 2 ( x) := y0 + f1 ( x − x0 ) , wenn die Funktion f2 dadurch
gerade oder ungerade wird. Dann ist ein Koeffizientensatz, Ak oder Bk, gleich 0, weil
cos gerade und sin ungerade ist. Zuletzt erst schließt man auf die Reihe von f.
3.1.1. Sinus- und Cosinusfunktionen als Basis
Orthogonalität der Basisfunktionen 1, cos( j ⋅ x), sin(k ⋅ x),
j, k ∈ N :
π
Durch ( f , g ) :=
∫ f ( x) ⋅ g ( x) ⋅ dx
ist ein inneres Produkt zwischen Funktionen f und g
−π
auf [−π , π ] erklärt. f und g heißen orthogonal, in Zeichen f ⊥ g , wenn ( f , g ) = 0 . Die
Funktionen 1, cos( j ⋅ x), sin(k ⋅ x) , j , k ∈ N sind paarweise orthogonal. Sehr einfach
gestaltet sich damit die
Koeffizientenberechnung
(1, f1 ( x) ) = (1, A0 ) = A0 ⋅ 2π ,
(cos(k ⋅ x), f1 ( x) ) = Ak ⋅ (cos(k ⋅ x), cos(k ⋅ x) ) = Ak ⋅ π
(sin(k ⋅ x), f1 ( x) ) = Bk ⋅ (sin(k ⋅ x), sin(k ⋅ x) ) = Bk ⋅ π
3.1.2. Cosinusfunktionen als Basis
cos(k ⋅ x − ϕ k ), ϕ k ∈ R, k ∈ N 0 Der Entwicklungssatz lässt sich unter Anwendung der
Definition Ak =: C k ⋅ cos(ϕ k ) Bk =: C k ⋅ sin(ϕ k ) und des ersten Summensatzes
∑C
π
⋅ x − ϕ k ) . Vorteilhaft an dieser Darstellung ist der
l
anschauliche Wert einer einzigen Amplitude pro Frequenz und einer zugehörigen
Phasendrehung. Die Koeffizienten gewinnt man trotzdem über Ak und Bk.
umformen zu f ( x) =
k∈N 0
k
⋅ cos(k ⋅
3.1.3. Exponentialfunktionen als Basis
72
e i⋅k ⋅x , k ∈ Z Der Entwicklungssatz lässt sich unter Anwendung der Eulerschen
~
~
~
~
Formel und der Definition Ak =: F (k ) + F (−k ) − i ⋅ Bk =: F (k ) − F (− k ) umformen zu
~
f ( x) = ∑ F (k ) ⋅ e ikx . Diese Darstellung zeichnet sich durch Einheitlichkeit aus. Die
k∈Z
π
1
~
Koeffizienten gewinnt man durch F (k ) =
⋅ ∫ f ( x) ⋅ e −ikx ⋅ dx , wie man entweder aus
2π −π
den Formeln für Ak und Bk ausrechnen kann oder aus der Orthogonalität der
e ikx , k ∈ Z herleitet.
3.2. Fouriertransformation
Die in 3.1.3 angegebene Darstellung lässt den Entwicklungssatz für nichtperiodische
Funktionen, die auf R definiert sind, plausibel erscheinen. Die Umrechnungsformeln
∞
∞
1
~
~
⋅ ∫ f ( x) ⋅ e −ikx ⋅ dx .
zwischen f und F sind: f ( x) = ∫ F (k ) ⋅ e ikx ⋅ dk F (k ) =
2π −∞
−∞
k und x durchlaufen nun alle reellen Zahlen, das Integral tritt an die Stelle der
Summe. k und x sind die Argumente der durch die Fourierintegrale verknüpften
Funktionen. k und x bezeichnet man als konjugierte Variablen. Versteht man x als
x
Ortskoordinate, dann hat k die Bedeutung der Wellenzahl. cos(kx) = cos(2π ) kλ=2π
λ
. Bedeutet das Argument von f die Zeit, dann schreibt man t an Stelle von x und ω an
Stelle von k. ω heißt Schwingungszahl oder Kreisfrequenz. Die Menge der
Funktionen f mit der Zeit als Argument heißt Zeitbereich, die Menge der Funktionen F
mit der Schwingungszahl als Argument heißt Frequenzbereich.
3.3. Laplacetransformation
An den Fourierintegralen werden Änderungen vorgenommen. Zuerst transformiert
man auf eine Funktion F, deren imaginäre Argumente Wellenzahlen sind.
i∞
∞
1
~
ikx
∀k ∈ R : F (ik ) := 2π ⋅ F (k ) ⇒ f ( x) =
⋅ F (ik ) ⋅ e ⋅ dik F (ik ) = ∫ f ( x) ⋅ e −ikx ⋅ dx
2πi −∫i∞
−∞
Die Unterbringung des Faktors 2π bei einer der beiden reziproken Formeln ist
notwendig. Manche Autoren schreiben beiden Formeln 2π voran.
Dämpfung der Funktion f
Funktionen f, deren Fourierintegral nicht existiert, unterwirft man einer
Vorbehandlung. Man dämpft sie für positive x mit der Exponentialfunktion. Für
negative x setzt man die Werte überhaupt Null. Nach der Rücktransformation kann
man f für positive x wieder herstellen, für negative x nicht mehr. Diese
Vorgangsweise ist für physikalische Sachverhalte zugeschnitten, die dem
Kausalitätsprinzip genügen: in der Gegenwart können sich nur Ereignisse der
Vergangenheit auswirken. Positive Argumente von Funktionen f beziehen sich auf
die Vergangenheit, der Rest ist bedeutungslos.
i∞
∞
1
−σx
ikx
f ( x) ⋅ e =
⋅ ∫ F (σ + ik ) ⋅ e ⋅ dik F (σ + ik ) = ∫ f ( x) ⋅ e −σx ⋅ e −ikx ⋅ dx Man verbindet die
2πi −i∞
0
Dämpfung mit den beiden reziproken Formeln und erhält die Laplacetransformation.
σ + i∞
∞
1
sx
s := σ + ik f ( x) =
⋅ ∫ F ( s ) ⋅ e ⋅ ds F ( s ) = ∫ f ( x) ⋅ e − sx ⋅ dx Die Verlagerung der
2πi σ + − i∞
0
73
Frequenz auf die imaginäre Achse hat der Dämpfung auf der reellen Achse Platz
gemacht. Anstelle von Zeit- und Frequenzbereich spricht man bei der
Laplacetransformation von Ober- und Unterbereich. Das Infimum aller σ, für die das
Laplaceintegral existiert, heißt Konvergenzabszisse.
Zur Übung werden die Beweise folgender Eigenschaften der Laplacetransformation
empfohlen. Der Doppelpfeil stellt die LT und deren Umkehrung dar. Die
Kleinbuchstaben sind Funktionen des Oberbereichs.
Linearität a ⋅ f + b ⋅ g ←
⎯→ a ⋅ F + b ⋅ G
−α x
Dämpfungssatz e ⋅ f ( x) ←
⎯→ F ( s + α )
1 ⎛s⎞
⎯→ ⋅ F ⎜ ⎟
Ähnlichkeitssatz f (αx) ←
α ⎝α ⎠
Verschiebungssatz f ( x − α ) ←
⎯→ e −αs ⋅ F ( s ) , wobei f (ξ ) = 0 für ξ < 0
n −1
⎯→ s n ⋅ F ( s ) − ∑ s n−1−l ⋅ f ( l ) (+0)
Differentiationssatz f ( n ) ( x) ←
l =0
x
Integrationssatz
1
∫ f (ξ ) ⋅ dξ ←⎯→ s ⋅ F (s)
0
Multiplikationssatz x n ⋅ f ( x) ←
⎯→(−1) n ⋅ F ( n ) ( s )
Faltungssatz f ⊗ g ←
⎯→ F ⋅ G , wobei ( f ⊗ g )( x) :=
x
∫ f (τ ) ⋅ g ( x − τ ) ⋅ dτ
die Faltung der
τ =0
beiden Funktionen f und g genannt wird. Die Summe der Argumente von f und g im
Integranden ist x. Durch Substitution erkennt man: ( f ⊗ g )( x) =
x
∫ f ( x − τ ) ⋅ g (τ ) ⋅ dτ
.
τ =0
Beweis des Faltungssatzes:
∞
∞
0
0
F ( s ) ⋅ G ( s ) = ∫ f (τ ) ⋅ e − sτ ⋅ dτ ⋅ ∫ g (r ) ⋅ e − sr ⋅ dr = ∫∫ f (τ ) ⋅ g (r ) ⋅ e − s (τ + r ) ⋅ dτ ⋅ dr
⎛ x ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ r ⎞
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ mit der Funktionaldeterminante 1 und 0 ≤ τ ≤ x < ∞
Die Substitution ⎜⎜ ⎟⎟ := ⎜⎜
⎝τ ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝τ ⎠
∞
⎛ x
⎞
ergibt die Behauptung F ( s ) ⋅ G ( s ) = ∫ ⎜⎜ ∫ f (τ ) ⋅ g ( x − τ ) ⋅ dτ ⎟⎟ ⋅ e − sx ⋅ dx
x =0 ⎝ τ =0
⎠
3.3.1. Elektrische Netzwerke im Frequenzbereich
Wir betrachten wieder Kapazität, Widerstand und Induktivität.
−1
U ⎛
C ⋅ u (+0) ⎞
⎟
= ⎜⎜ sC −
←
⎯→ I = C ⋅ ( s ⋅U − u (+0))
I ⎝
U ( s ) ⎟⎠
U
←
⎯→U = R ⋅ I
=R
Widerstand: u = R ⋅ i
I
di
U
L ⋅ i (+0)
Induktivität: u = L ⋅
←
⎯→U = L ⋅ ( s ⋅ I − i (+0))
= sL −
I
I (s)
dt
Die Quotienten von U(s) und I(s) sind uns schon seit dem Ansatz mit einer
vorgegebenen Frequenz vertraut. Diesmal gelten sie aber für jeden zeitlichen Verlauf
von u und i. Man erkennt, dass eine Differentialgleichung in eine algebraische
dq
du
Kapazität: i =
=C⋅
dt
dt
74
Gleichung übergeht. Die gesuchte Funktion, z. B. I(s), ist rational in s und beinhaltet
Anfangswerte. Nach Partialbruchzerlegung kann auf i(t) rückgeschlossen werden.
Der übliche Umgang mit Einheiten führt leider dazu, dass die elektrischen Größen
durch die Integration nach dt im Unterbereich die Einheiten Vs, As, Ωs, … tragen. Die
Addition s ⋅ U − u (+0) ist also formal konsistent. Trotzdem rechnet jeder sowohl in
Ober- als auch Unterbereich mit denselben elektrischen Einheiten.
3.3.2. Übertragungsfunktion
Neben Differentiationssatz und Integrationssatz hat der Faltungssatz große
Bedeutung in der Signalverarbeitung.
u und y seien kontinuierliche Nachrichtensignale, d. h. .
Funktionen der Zeit: t → u (t ), t → y (t ) . Verarbeitung kann bedeuten:
frequenzabhängige Verstärkung, Qualitätsverbesserung, Filterung. Die gängigste
Beschreibung erfolgt mit der Näherung, dass das Signal y(t) zum Zeitpunkt t linear
von den Signalen u der Vergangenheit abhängen möge. Für τ>0 werden die
vergangenen Signale u(t-τ) mit einer Funktion g(τ) gewichtet. Mit g wird deswegen
t
die Signalverarbeitungseinrichtung gekennzeichnet. y (t ) =
∫τ u (t − τ ) ⋅ g (τ ) ⋅ dτ
Das
=0
bedeutet y = u ⊗ g . Das Kausalprinzip ist der Grund, warum g nur für positive τ
erklärt wird. u (t ) = 0, y (t ) = 0 für t < 0 ist nicht mit dem Kausalprinzip begründbar,
wird aber verlangt, um die LT anwenden zu können. Y = U ⋅ G .
Die Funktion G des Unterbereiches heißt Übertragungsfunktion,
die Funktion g des Oberbereiches heißt Impulsantwort.
Ist die Eingangsfunktion nämlich die δ-Funktion, dann ist die Ausgangsfunktion
t
y (t ) = ∫ δ (t − τ ) ⋅ g (τ ) ⋅ dτ = g (t ) für jedes t. Ist ferner die Eingangsfunktion ein Sprung
τ =0
t
von 0 auf 1 an der Stelle t=0, dann ist die Ausgangsfunktion y (t ) =
∫τ g (τ ) ⋅ dτ , die
=0
sogenannte Sprungantwort. Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist nach
1
dem Integrationssatz ⋅ G ( s ) . Praktische Bedeutung hat noch die Rampe u (t ) = t für
s
differenzierende Signalverarbeitungen. Das zugehörige y heißt Rampenantwort mit
1
der Laplace-Transformierten 2 ⋅ G ( s ) .
s
Eigenfunktionen
Die Idee, aus der Reaktion einer Signalverarbeitung auf spezielle
Eingangsfunktionen wie Impuls, Sprünge und Rampen auf das allgemeine
Übertragungsverhalten zu schließen, ist ein möglicher Zugang.
Eine andere Möglichkeit ist die Suche nach Funktionen u (t ) , auf welche die
Signalverarbeitung mit einer Funktion y (t ) = L(u (t ) ) reagiert, die die gleiche Form wie
u (t ) besitzt. Zeitverschiebung, Verstärkung und Abschwächung seien zulässig. L
75
symbolisiert jene Funktion der Signalverarbeitung, mit der sie einer Eingangsfunktion
u (t ) eine Ausgangsfunktion y (t ) zuordnet. y (t ) = L(u (t ) ) = µ ⋅ u (t − τ ) .
Für den in der Praxis bedeutsamen Fall, dass L ein linearer Differentialoperator mit
konstanten Koeffizienten ist, haben Sinusfunktionen und Exponentialfunktionen die
angeführte Eigenschaft. Exponentialfunktionen haben den Vorteil, dass ein
geeignetes komplexes λ die Zeitverschiebung τ entbehrlich macht:
L e iωt = µ ⋅ e iω ( t −τ ) = µ ⋅ e −iωτ ⋅ e iωt = λ ⋅ e iωt mit λ := µ ⋅ e −iωτ . Es handelt sich hier um eine
Eigenwertgleichung L(b(t ) ) = λ ⋅ b(t ) mit der Eigenfunktion b(t ) und dem Eigenwert λ .
Betrachten wir den Fall eines Kontinuums von Eigenwerten und die Möglichkeit, jede
Eingangsfunktion u (t ) nach den Eigenfunktionen b(λ , t ) zu entwickeln, wie das bei
( )
Fourier- und Laplacetransformation geschieht. u (t ) = ∫ U ( s ) ⋅ b( s, t ) ⋅ ds
s ist der
Parameter für Eigenwerte und Eigenfunktionen. Das Ausgangssignal ergibt sich
dann durch y (t ) = L(u (t ) ) = ∫ U ( s ) ⋅ L(b( s, t ) ) ⋅ ds = ∫ (U ( s ) ⋅ λ ( s ) ) ⋅ b( s, t ) ⋅ ds .
Die
Entwicklungskoeffizienten von u (t ) und y (t ) unterscheiden sich also um den
Eigenwert als Faktor: U ( s ) ⋅ λ ( s ) = Y ( s ) . Im Fall der Fouriertransformation ist s die
Frequenz ω . Man nennt die Funktion λ ( s ) das Spektrum oder den Frequenzgang
der Signalverarbeitung. Der Betrag von λ ( s ) heißt Amplitudengang, die Phase von
λ ( s) heißt Phasengang.
3.4. z - Transformation
Die Laplacetransformation bewährt sich bei der Anwendung auf Funktionen, die für
jedes positive reelle Argument definiert sind.
Gewinnt man hingegen nur eine Folge von Funktionswerten für eine diskrete
Verarbeitung, dann ist die Laplacetransformation zu modifizieren. Solche Folgen
erhält man etwa als Helligkeitswerte in den Gitterpunkten einer Fläche im Abstand τ
oder als Spannungswerte in regelmäßigen Zeitabständen τ.
Die Folge des Oberbereiches ist daher l ∈ N 0 a f (l ⋅τ ) . Der Transformationskern
wird zu e − slτ in den Abtastpunkten, also zu Potenzen z − l von z := e sτ . Anstelle des
Integrals bietet sich die Summe über jene l ∈ N 0 an. Man gelangt so zu einer
Laurentreihe
∞
∑ f (lτ ) ⋅ z
−l
=: F ( z ), z ∈ C .
l =0
Umgekehrt erhält man die Laurentkoeffizienten von F ( z ) durch
f (lτ ) =
1
F (ς ) ⋅ ς l −1 ⋅ dς , l ∈ N 0 .
∫
2πi
Der Integrationsweg ist gegen den Uhrzeigersinn um 0 zu legen. Die erste der beiden
Formeln heißt „z - Transformation“, die zweite ist deren Umkehrung. F ist die „z Transformierte“ von f. Der Buchstabe z steht für die freie Variable des
„Unterbereiches“. Auch hier wird die übersichtliche Vereinbarung benutzt, dass
korrespondierende Funktionen durch denselben Buchstaben ausgedrückt werden;
jene des Oberbereiches durch Kleinbuchstaben, jene des Unterbereiches mit
Großbuchstaben.
76
Als Integrationsweg für die Berechnung von f (l ⋅ τ ) werde der Kreis
ς = eτs | s = σ + iω , − π ≤ ωτ < π gewählt. Mit L( s) := τ ⋅ F eτs und dς = τ ⋅ ς ⋅ ds wird
{
( )
}
σ +i
f (lτ ) =
1
2πi
π
τ
∫ πL(s) ⋅ e
σ −i
slτ
⋅ ds, l ∈ N 0 und
τ
∞
τ ⋅ ∑ f (lτ ) ⋅ e − slτ = L( s), s ∈ C
l =0
Folgende Schreibart macht die Beziehung zwischen der z - Transformation und der
Laplacetransformation besonders deutlich.
σ +i
f (t ) =
1
2πi
π
τ
∫ πL(s) ⋅ e
σ −i
st
⋅ ds, t = lτ , l ∈ N 0 und
τ
∞
τ ⋅ ∑ f (t ) ⋅ e −st = L( s ), s ∈ C
l =0
t =lτ
L( s) ist die Laplace – Transformierte von
∞
∑ [τ ⋅ δ (t − l ⋅ τ ) ⋅ f (t )] , t ∈ R
+
. Dabei sind
l =0
δ ( x ) die Funktionale mit der Eigenschaft ∫ δ (ξ − x ) ⋅ g (ξ ) = g ( x )
2π ⎞
⎛
Leicht zeigt man die Periodizität der Funktion L⎜ s + i
⎟ = L(s ), s ∈ C
τ ⎠
⎝
Nun befassen wir uns mit der durch die Abtastung verloren gegangenen Information.
Verschiedene Exponentialfunktionen führen zu denselben Abtastfolgen und können
2π ⎞
⎛
⎜ s +i
⎟ lτ
τ ⎠
⎝
= e slτ . Im Sinne der richtigen
nicht unterschieden werden: e
Frequenzzuordnung, wie auch für eine Signalrekonstruktion muss vor der Abtastung
die Bandbreite ωGrenz entsprechend dem Abtastintervall τ begrenzt werden.
π
2π
= ωGrenz =
Die Periodendauer T muss größer als das doppelte Abtastintervall
TGrenz
τ
1
2τ bleiben! Anders ausgedrückt: Die Abtastfrequenz
muss mindestens die
τ
doppelte Signalfrequenz 2 ⋅
1
sein! Diese Forderung nennt man Abtasttheorem.
T
Wir stellen z – Transformierte und Laplace – Transformierten einander für den Fall
der Exponentialfunktion gegenüber. f (t ) := e at , a ∈ C .
z
1
eτs
τs
,
z
∈
C
.
τ
τ
. Mit der
(
)
L
s
=
⋅
F
e
=
⋅
=τ ⋅
aτ
τs
τa
z−e
e −e
1 − eτ ( a − s )
l =0
1
groben Näherung eτ ( a − s ) ≈ 1 + τ (a − s ) für kleine Differenzen a − s wird L( s ) ≈
.
s−a
1
ist aber die Laplace – Transformierte der Exponentialfunktion f (t ) := e at .
s−a
∞
F ( z ) = ∑ e alτ ⋅ z − l =
( )
77
Zur Übung werden die Beweise folgender Eigenschaften der z - Transformation
empfohlen. Der Doppelpfeil stellt die z - Transformation und deren Umkehrung dar.
Die Kleinbuchstaben sind Funktionen des Oberbereichs. Die freie Variable des
Oberbereiches ist k ∈ N 0 , die freie Variable des Unterbereiches ist z ∈ C .
Linearität a ⋅ f + b ⋅ g ←
⎯→ a ⋅ F + b ⋅ G
− α kτ
Dämpfungssatz e
⋅ f (kτ ) ←
⎯→ F eατ ⋅ z
Verschiebungssatz
f ((k − n)τ ) ←
⎯→ z − n ⋅ F ( z ) , wobei f (ξ ) = 0 für ξ < 0
(
)
n −1
f ((k + n)τ ) ←
⎯→ z ⋅ F (z ) − ∑ z n −l ⋅ f (lτ )
n
l =0
Summationssatz
k
∑ f (lτ ) ←⎯→ z − 1 ⋅ F (z )
z
l =0
Multiplikationssatz k ⋅ (k + 1) L (k + n − 1) ⋅ f (kτ ) ←
⎯→(− 1) ⋅ z n ⋅ F ( n ) ( z )
n
k
Faltungssatz f ⊗ g ←
⎯→ F ⋅ G , wobei ( f ⊗ g )(kτ ) := ∑ f (lτ ) ⋅ g ((k − l )τ ) die Faltung
l =0
der beiden Funktionen f und g genannt wird.
79
4. Regelungstechnik
Kontinuierliche Systembeschreibung
Zu regelnde Systeme gehorchen Naturgesetzen. Seit Newton werden diese mit
Differentialgleichungen in Phasenräumen beschrieben. Die Regelungstechnik
verwendet auch diese effektive Systembeschreibung. Darüber zerlegt sie ein System
in überschaubare Teile mit Eingang, Innenleben und Ausgang. „Strecke“ und
„Regler“ sind solche Teile. Die Regelstrecke ist ein vorgegebenes physikalisches
System, wie z. B. ein Motor mit seinem Verhalten elektrischer und mechanischer Art.
Der Regler wird vom Ingenieur entworfen, um das Motorverhalten den Bedürfnissen
anzupassen. Sowohl Strecke als auch Regler werden meistens weiter unterteilt.
Jeder Systemteil hat Eingang, Innenleben und Ausgang. Umgekehrt werden Teile zu
umfassenden Systemen verschaltet, wieder mit Eingang, Innenleben und Ausgang.
Die folgende Systembeschreibung handelt von einer solchen Struktur, gleichgültig,
ob kleiner Teil oder umfassender Teil.
Neben den Eingangsgrößen (u1, u2, ... up)=u und Ausgangsgrößen (y1, y2, ... yq)=y
eines Systems gibt es auch interne Zustandsgrößen (x1, x2, ... xn)=x. Das System ist
von n-ter Ordnung. Die Eingangsgrößen beeinflussen die weitere Entwicklung des
Zustandes. In der Regelungstechnik bewährt sich folgende übersichtliche
x& (t ) = f ( x(t ), u (t ))
Beschreibung:
. Abhängigkeiten in Form höherer Ableitungen
y (t ) = g ( x(t ), u (t ))
ersetzt man durch mehrere Koordinaten, die aber dann nur mehr einmal abgeleitet
werden. Diese Methode hat sich schon in der klassischen Mechanik bewährt. In
dieser Form sind die Sätze der Matrizenrechnung leichter anwendbar.
x& (t ) = A(t ) ⋅ x(t ) + B(t ) ⋅ u (t )
. Techniker
y (t ) = C (t ) ⋅ x(t ) + D(t ) ⋅ u (t )
verwenden gerne Blockdiagramme, weil diese Diagramme den realen Fluss von
Messwerten und Steuerwerten auf einer Zeichenfläche eindrucksvoll widergeben.
Folgendes Diagramm ist die zeichnerische Darstellung der soeben gegebenen
formalen Systembeschreibung.
Lineare Systeme werden beschrieben durch
Häufig sind aber die Koordinaten, insbesondere jene des Zustandes, abstrakt.
Bestenfalls sind sie physikalische Größen mit Namen wie Drehimpuls, magnetischer
Fluss, Enthalpie. Der anschauliche Vorteil des Flussdiagrammes ist dann nicht mehr
gegeben. Vordergründiges Ziel ist die Entkopplung von Systemvariablen. Dazu
bedient man sich aber der formalen Betrachtung.
Gerne greift man auf lineare Näherungen zurück. Man linearisiert um einen
Arbeitspunkt, d.h. man verwendet für A, B, C, D Jacobi-Matrizen.
Lösung der Differentialgleichung für die Zustandsentwicklung:
80
Lösung der homogenen Gleichung x& (t ) = A(t ) ⋅ x(t ) :
Durch einen Punkt ( x(t1 )) gibt es nur eine Lösung. Mit anderen Worten, die
Trajektorien schneiden einander nicht. Die durch x(t 2 ) =: Φ (t 2 , t1 ) ⋅ x(t1 ) definierte
Übergangs- oder Transitionsmatrix Φ (t 2 , t1 ) ist regulär. Man erhält sie iterativ nach
Picard-Lindelöf als konvergente Matrizenreihe:
τ1
t
Φ (t , t0 ) = E + ∑ ∫ A(τ 1 ) ∫ A(τ 2 ) L
n∈N t0
t0
τ n −1
∫ A(τ
n
) ⋅ dτ n L ⋅ dτ 2 ⋅ dτ 1
t0
Φ (t3 , t1 ) = Φ (t3 , t 2 ) ⋅ Φ (t 2 , t1 ) ,
E = Φ (t , t )
E = Φ (t1 , t 2 ) ⋅ Φ (t 2 , t1 )
Lösung der inhomogenen Gleichung: x& (t ) = A(t ) ⋅ x(t ) + B(t ) ⋅ u (t )
Variation der Konstanten nach Lagrange führt auf:
t
x(t ) =: Φ (t , t 0 ) ⋅ x(t 0 ) + ∫ Φ (t , τ ) ⋅ B(τ ) ⋅ u (τ ) ⋅ dτ
t0
4.1. Zeitinvariante lineare Systeme
Sie werden beschrieben durch
x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )
y (t ) = C ⋅ x(t ) + D ⋅ u (t )
Lösung der homogenen Gleichung x& (t ) = A ⋅ x(t ) :
.
tn
Φ (t ) = ∑ A ⋅ =: e A⋅t
n!
n∈N 0
n
t
Lösung der inhomogenen Gleichung: x(t ) =: Φ (t ) ⋅ x(t0 ) + ∫ Φ (t − τ ) ⋅ B(τ ) ⋅ u (τ ) ⋅ dτ
t0
Laplace-Transformation der Systemgleichungen:
( s ⋅ E − A) X ( s ) = B ⋅ U ( s )
X ( s ) = ( s ⋅ E − A) −1 ⋅ B ⋅ U ( s )
Y ( s) = C ⋅ X ( s) + D ⋅ U ( s)
−1
Y ( s ) = (C ⋅ ( s ⋅ E − A) ⋅ B + D) ⋅ U ( s )
Erzwungene Antwort:
g (t ) := C ⋅ e At ⋅ B + D ↔ G ( s ) := C ⋅ ( s ⋅ E − A) −1 ⋅ B + D
g: Impulsantwort, Gewichtsfunktion, Impulsmatrix
e At ↔ ( s ⋅ E − A) −1
G: Übertragungsfunktion
t
y (t ) = ∫ g (t − τ ) ⋅ u (τ ) ⋅ dτ
Faltungsintegral
0
Für u (t ) = δ (t ) wird y (t ) = g (t ) , daher der Name Impulsantwort.
t
Für u (t ) = σ (t ) wird y (t ) = ∫ g (τ ) ⋅ dτ , daher der Name Sprungantwort.
0
t
1
y (t ) = ∫ g (τ ) ⋅ dτ ↔ ⋅ G ( s )
s
0
t
Für u (t ) = ρ (t ) wird y (t ) = ∫ g (τ ) ⋅ (t − τ ) ⋅ dτ , daher der Name Rampenantwort.
0
t
y (t ) = ∫ g (τ ) ⋅ (t − τ ) ⋅ dτ ↔
0
1
⋅ G ( s)
s2
81
Die Blockdiagramme in folgendem Beispiel zeigen, wie Analogrechner auf elektrische
Art die Lösung einer Differentialgleichung für x(t ) erzeugen. Geeignet beschaltete
Operationsverstärker dienen als Integratoren und gewichtete Addierer. Das Beispiel
soll also einerseits den Grund für die Verwendung von Blockdiagrammen zur
Darstellung einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung zeigen.
Andererseits sind im Diagramm jene Hilfsvariablen eingetragen, die es ermöglichen,
mit ersten Ableitungen auszukommen. Das Ausgangssignal ist eine
Linearkombination von x(t ) und seinen Ableitungen. Über die Matrizen des
Zustandsraumes wird die Äquivalenz beider Blockdiagramme gezeigt.
Beispiel: Beschreibe die beiden folgenden Einfachsysteme im Zustandsraum! Zeige,
dass die beiden Systeme dieselbe Übertragungsfunktion besitzen!
1)
2)
r
r
Lösung: 1) Der Anfangszustand sei x (0) = 0 .
x ( n ) + a n −1 ⋅ x ( n −1) + a n − 2 ⋅ x ( n − 2) + L a1 ⋅ x& + a 0 ⋅ x = u (t )
Als zwei Differentialgleichungen
bn −1 ⋅ x ( n −1) + bn − 2 ⋅ x ( n − 2 ) + L b1 ⋅ x& + b0 ⋅ x = y (t )
n
X ( s ) ⋅ ∑ ak ⋅ s k = U ( s )
betrachtet, kann man sofort Laplace-transformieren und erhält
k =0
n −1
X ( s ) ⋅ ∑ bk ⋅ s = Y ( s )
k
k =0
.
82
n −1
Y ( s)
=
Die Übertragungsfunktion ist G ( s ) =
U ( s)
∑b
⋅ sk
∑a
⋅s
k =0
n
k =0
k
k
, in der der Nenner maßgeblich
k
die Zustandsentwicklung beeinflusst. Der Zähler leitet die Ausgangsgröße aus dem
Zustand ab. Für die Zustandsraumdarstellung benötigt man
0
−1
s −1
0 −1
s −1
0 O
s O
=
=
−1
O
O −1
0
−1
s
−1
n
2
k
a0 a1 a2 L an− 2 s + an−1 ∑ ak ⋅ s L L L an−2 + an−1 ⋅ s + s s + an−1
k =0
n
= ∑ ak ⋅ s k
k =0
, an := 1
Das System wird durch die Matrizen
1
⎞
⎛ 0
⎟
⎜
0
1
⎛0⎞
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜
0 O
M
⎟, B1 = ⎜ ⎟, C1 = (b0
A1 = ⎜
⎜0⎟
O
1
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜1⎟
0
1
⎝ ⎠
⎟
⎜
⎟
⎜− a − a − a L − a
− an −1 ⎠
1
2
n−2
⎝ 0
b1 L bn −1 ), D = 0
beschrieben. Wegen der Gestalt von B wird nur die letzte Spalte von ( sE − A) −1
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
−
1
⎛ n
⎜ s ⎟
k ⎞
benötigt. Sie ist ⎜ ∑ ak ⋅ s ⎟ ⋅ ⎜
⎟.
⎝ k =0
⎠ ⎜ M ⎟
⎜ s n−1 ⎟
⎠
⎝
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
−
1
⎛ n
⎜ s ⎟
−1
k ⎞
G ( s ) = C1 ⋅ (sE − A1 ) ⋅ B1 = (b0 b1 L bn−1 ) ⋅ ⎜ ∑ ak ⋅ s ⎟ ⋅ ⎜
⎟ , also dasselbe
⎝ k =0
⎠ ⎜ M ⎟
⎜ s n−1 ⎟
⎠
⎝
Resultat wie oben.
2)
Das zweite System ist gewissermaßen zum ersten System adjungiert oder
transponiert, weil die Matrizen adjungiert zueinander sind: A2 = A1T , B2 = C1T , C2 = B1T
Damit ist G(s) identisch mit jenem der ersten Schaltung.
4.2. Hauptachsentransformation
Die vorgestellte Systembeschreibung trennt übersichtlich zwischen Eingang u,
Systemzustand x und Ausgang y. Es kommen nur erste Ableitungen vor. Das
Interesse gilt vor allem der zeitlichen Entwicklung des Zustandes x. Die Koppelung
der Zustandskoordinaten untereinander kommt durch die außerdiagonalen
Matrixelemente von A zum Ausdruck. Durch Übergang auf andere Koordinaten
83
T −1 ⋅ x(t ) des Zustandsraumes kann man die Koppelung auf ein Minimum reduzieren.
Vollständige Entkopplung ist möglich, wenn die Eigenvektoren von A den ganzen
Zustandsraum erzeugen. Man schreibt die Koordinaten dieser Eigenvektoren als
Spaltenvektoren und fasst sie zur Matrix T zusammen. T −1 ⋅ A ⋅ T ist Diagonalmatrix.
Die beiden Systemgleichungen gehen über in
(T −1 ⋅ x& (t )) = (T −1 ⋅ A ⋅ T ) ⋅ (T −1 ⋅ x(t )) + (T −1 ⋅ B) ⋅ u (t )
, Impulsmatrix und
y (t ) = (C ⋅ T ) ⋅ (T −1 ⋅ x(t )) + D ⋅ u (t )
Übertragungsfunktion erhalten. G ( s ) := C ⋅ T ⋅ ( s ⋅ E − T −1 ⋅ A ⋅ T ) −1 ⋅ T −1 ⋅ B + D
Auf Jordan-Normalform kann man immer transformieren wenn schon nicht
diagonalisiert werden kann. Die Lösung dieser Jordan – gekoppelten
Differentialgleichungen ist relativ einfach. Im Schulbereich wird man kleine
Dimension des Zustandsraumes und diagonalisierbare Matrizen wählen.
Die folgenden beiden Beispiele zeigen, wie man Differentialgleichungssysteme in die
Zustandsraumdarstellung bringt.
Beispiel 2: Es handelt sich um gekoppelte mechanische Schwingungen. Es wird
nach den Lösungen der homogenen Gleichung gefragt. Die Ausarbeitung
berücksichtigt besonders die physikalischen Einheiten und die Transformation
zwischen den Polarkoordinaten und den abstrakten Hauptachsenkoordinaten. Die
Berücksichtigung der Einheiten in jedem formalen Schritt gewährleistet den
Überblick.
Zwei gleiche Pendel von der Länge l=4m und der Masse m=1kg sind durch eine
elastische Feder mit der Federkonstanten c=12N/m im Abstand h=1m vom
Aufhängepunkt verbunden (vgl. Zeichnung). Man bestimme die kleinen
Schwingungen des Systems um die Gleichgewichtslage der Pendel, nachdem einem
der Pendel der Ausschlag um den Winkel φ1(0)=α=0,1rad gegen die
Gleichgewichtslage erteilt wurde; die Anfangsgeschwindigkeiten der Pendel betragen
v(0)=0. Man vernachlässige die Massen der Stäbe und die Masse der Feder!
Benutzen Sie die für kleine Winkel zulässige Näherung sin(ϕ ) ≈ ϕ ! Reduzieren Sie
die Ordnung des Differentialgleichungssystems durch Einführung zweier
Hilfskoordinaten, sodass das System in einem Zustandsraum beschreibbar wird!
Entkoppeln und lösen Sie das Differentialgleichungssystem, und berechnen Sie vier
unabhängige reelle Eigenfunktionen! In allen Fällen ist die Funktion sowohl formal
anzuschreiben als auch zu zeichnen!
Die beiden gekoppelten Differentialgleichungen sind
m ⋅ l ⋅ ϕ&&1 + m ⋅ g ⋅ ϕ1 + c ⋅ h ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0
.
m ⋅ l ⋅ ϕ&&2 + m ⋅ g ⋅ ϕ 2 − c ⋅ h ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0
84
0
1
0
0⎞
⎛
0
1
0
⎟ ⎛ ϕ1 ⎞ ⎛
⎛ ϕ&1 ⎞ ⎜ ⎛ g c h ⎞
c
h
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜−⎜ + ⋅ ⎟ 0
0
⋅
⎟
−2
0
6 ⋅ s −2
⎜ ϕ&&1 ⎟ ⎜ ⎝ l m l ⎠
m l
⎟ ⋅ ⎜ ϕ&1 ⎟ = ⎜ − 10,905 ⋅ s
=
⎜ ϕ& ⎟ ⎜
0
0
0
1 ⎟ ⎜ϕ 2 ⎟ ⎜
0
0
0
⎜ 2⎟ ⎜
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
c h
⎛ g c h⎞
−2
⎜ ϕ&& ⎟
0 − ⎜ + ⋅ ⎟ 0 ⎟ ⎝ ϕ& 2 ⎠ ⎝
⋅
6⋅s
0 − 10,905 ⋅ s −2
⎝ 2⎠ ⎜
m
l
l
m
l
⎝
⎠
⎠
⎝
Die Beschreibung des homogenen Systems mit Zustandskoordinaten xi :
⎛ ϕ1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ϕ&1 ⎟ ⎜ x 2 ⎟
⎜ ϕ ⎟ =: ⎜ x ⎟ =: x, x& = A ⋅ x
⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟
⎜ ϕ& ⎟ ⎜ x ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠
0 ⎞ ⎛ ϕ1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ ϕ&1 ⎟
⋅
1 ⎟ ⎜ϕ 2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟⎠ ⎜⎝ ϕ& 2 ⎟⎠
0⎞
0
1
0
0⎞
⎟ ⎛
⎟
0⎟ ⎜
−2
−2
10
,
905
0
6
0
−
⋅
⋅
s
s
⎟
⎜
⎟=
= T ⋅ E ⋅ T −1
⎜
1⎟
0
0
0
1⎟
⎟
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜⎝
6 ⋅ s −2
0 − 10,905 ⋅ s − 2 0 ⎟⎠
⎠
T transformiert auf Hauptkoordinaten y := T −1 ⋅ x, y& = E ⋅ y, [ y ] = 1
⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 0.1542 + 0.1542i - 0.1542 - 0.1542i - 0.2686 - 0.2686i 0.2686 + 0.2686i ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎜
−1
0 0 ⎟ ⎜ - 0.6342 + 0.6342i - 0.6342 + 0.6342i 0.5948 - 0.5948i 0.5948 - 0.5948i ⎟
⎜0 s
T =⎜
⋅
0 0 1 0 ⎟ ⎜ - 0.1542 - 0.1542i 0.1542 + 0.1542i - 0.2686 - 0.2686i 0.2686 + 0.2686i ⎟
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎜ 0 0 0 s −1 ⎟ ⎜ 0.6342 - 0.6342i 0.6342 - 0.6342i 0.5948 - 0.5948i 0.5948 - 0.5948i ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
0
0
0
⎞
⎛ 4.1116i
⎟
⎜
0
- 4.1116i
0
0
⎟ −1
⎜
Eigenwertmatrix E = ⎜
⎟⋅s
0
0
2.2147i
0
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
0
- 2.2147i
⎠
⎝
Das entkoppelte Differentialgleichungssystem hat die Lösung
0
⎛
⎜ ⎛ g c h⎞
⎜−⎜ + ⋅ ⎟
l m l⎠
A=⎜ ⎝
0
⎜
⎜
c h
⋅
⎜
m l
⎝
i⋅4 ,1116⋅
1
0
c h
0
⋅
m l
0
0
⎛ g c h⎞
0 −⎜ + ⋅ ⎟
⎝l m l⎠
t
s
−i⋅4 ,1116⋅
t
s
i⋅2 , 2147⋅
t
s
−i⋅2 , 2147⋅
t
s
y1 (t ) = y1 (0) ⋅ e
y 2 (t ) = y 2 (0) ⋅ e
y3 (t ) = y3 (0) ⋅ e
y 4 (t ) = y 4 (0) ⋅ e
Die beiden Resonanzfrequenzen des Systems sind 0,655 Hz und 0,353 Hz.
Die Koordinaten yi(0) der Anfangswertaufgabe erhält man aus
⎛ 0.0810 - 0.0810i ⎞
⎟
⎜
0.0810
+
0.0810i
⎟
⎜
y (0) = T −1 ⋅ x(0) = ⎜
. Einsetzen in x(t ) = T ⋅ y (t ) liefert für die Winkel
- 0.0465 + 0.0465i ⎟
⎟
⎜
⎜ 0.0465 - 0.0465i ⎟
⎠
⎝
85
t
s
t
s
t
s
t
s
ϕ1 (t ) = 0,5 ⋅ (cos(4,1116 ⋅ ) + cos(2,2147 ⋅ )), ϕ 2 (t ) = 0,5 ⋅ (− cos(4,1116 ⋅ ) + cos(2,2147 ⋅ ))
Anfangswertaufgabe
1. Pendelausschlag/rad
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0
5
10
15
Zeit/Sekunden
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
2. Pendelausschlag/rad
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
Für die Eigenschwingungen braucht man Anfangswerte, die reelle Winkel ergeben.
′
Die ersten beiden Koordinaten von y (0) = 1,621⋅ (1 − i − 1 + i 0 0) sind zu (T11 T12 )
wie auch zu (T31 T32 ) proportional. x(t ) = T ⋅ y (t ) ergibt also in Kombination mit der
Eulerschen Formel einen Kosinus mit reellem Koeffizienten. 1,621 wurde willkürlich
vorangestellt, dass dieser Koeffizient gleich 1 wird.
ϕ1 (t ) = (0,1542 + 0,1542 ⋅ i ) ⋅1,621⋅ (1 − i ) ⋅ e
i⋅4 ,1116⋅
ϕ 2 (t ) = (−0,1542 − 0,1542 ⋅ i ) ⋅1,621⋅ (1 − i ) ⋅ e
t
s
+ (−0,1542 − 0,1542 ⋅ i ) ⋅1,621 ⋅ (−1 + i ) ⋅ e
i⋅4 ,1116⋅
t
s
−i⋅4 ,1116⋅
−i⋅4 ,1116⋅
+ (0,1542 + 0,1542 ⋅ i ) ⋅1,621 ⋅ (−1 + i ) ⋅ e
t
t
Damit ist die erste Eigenschwingung ϕ1 (t ) = cos(4,1116 ⋅ ) ϕ 2 (t ) = − cos(4,1116 ⋅ )
s
s
′
Für den zweiten Eigenzustand führt y (0) = 1,621⋅ (1 + i 1 + i 0 0) zum Ergebnis
t
t
ϕ1 (t ) = − sin( 4,1116 ⋅ ) ϕ 2 (t ) = sin(4,1116 ⋅ )
s
s
2. Eigenfunktion
1. Pendelausschlag/rad
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
Zeit/Sekunden
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
2. Pendelausschlag/rad
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
t
s
t
s
86
′
Für den dritten Eigenzustand führt y (0) = 0,9308 ⋅ (0 0 − 1 + i 1 − i ) zum Ergebnis
t
t
ϕ1 (t ) = cos(2,2147 ⋅ ) ϕ 2 (t ) = cos(2,2147 ⋅ )
s
s
′
Für den vierten Eigenzustand führt y (0) = 0,9308 ⋅ (0 0 − 1 − i − 1 − i ) zum Ergebnis
t
t
ϕ1 (t ) = − sin( 2,2147 ⋅ ) ϕ 2 (t ) = − sin(2,2147 ⋅ )
s
s
Die Ergebnisse wurden mit diesem Programm erhalten:
clear all
% Parameter
c=12; %N/m
m=1; %kg
h=1; %m
l=2; %m
g=9.81;%m/s^2
% Systemmatrix A
p=c/m*h/l;
q=-(g/l+p);
A=[0 1 0 0;q 0 p 0;0 0 0 1;p 0 q 0];
% Diagonalisierung, T^-1*A*T=E
[T,E]=eig(A);
T=T/det(T)^.25;
disp('Zustandsraumbeschreibung mit Hauptachsenkoordinaten');
D=eig(A);
% Anfangswerte
x0=[.1 0 0 0]';
y0=(T^-1)*x0;
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-1:3e1];
% Eigenfunktionen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Winkel und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
xlabel('Zeit/Sekunden','FontSize',10)
ylabel('1. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
title('\it{Anfangswertaufgabe}','FontSize',14)
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
ylabel('2. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
% 1. Eigenfunktion
y0=1.621*[1-i -1+i 0 0];
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-1:3e1];
% Funktionen der Hauptachsen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Winkel und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(2)
87
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
xlabel('Zeit/Sekunden','FontSize',10)
ylabel('1. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
title('\it{1. Eigenfunktion}','FontSize',14)
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
ylabel('2. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
% 2. Eigenfunktion
y0=1.621*[1+i 1+i 0 0];
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-1:3e1];
% Funktionen der Hauptachsen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Ströme und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(3)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
xlabel('Zeit/Sekunden','FontSize',10)
ylabel('1. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
title('\it{2. Eigenfunktion}','FontSize',14)
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
ylabel('2. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
% 3. Eigenfunktion
y0=0.9308*[0 0 -1+i 1-i];
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-1:3e1];
% Funktionen der Hauptachsen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Winkel und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(4)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
xlabel('Zeit/Sekunden','FontSize',10)
ylabel('1. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
title('\it{3. Eigenfunktion}','FontSize',14)
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
ylabel('2. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
% 4. Eigenfunktion
y0=0.9308*[0 0 -1-i -1-i];
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-1:3e1];
% Funktionen der Hauptachsen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Winkel und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(5)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
88
xlabel('Zeit/Sekunden','FontSize',10)
ylabel('1. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
title('\it{4. Eigenfunktion}','FontSize',14)
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
ylabel('2. Pendelausschlag/rad','FontSize',10)
Beispiel 3:
Gegeben seien die beiden mittels der Kapazität C3 gekoppelten elektrischen
Schwingkreise:
R1 = 0,5Ω L1 = 1,1mH C1 = 1µF R2 = 0,5Ω L2 = 1,1mH C 2 = 1µF C3 = 250nF
Stellen Sie ein Differentialgleichungssystem für i1 (t ) und i2 (t ) auf! Das System hat
als Eingang den Strom i0 (t ) , der im inhomogenen Differentialgleichungssystem die
Störfunktion ist. u 2 (t ) , i2 (t ) und i1 (t ) seien die interessierenden Ausgangsgrößen!
Reduzieren Sie die Ordnung des Differentialgleichungssystems durch Einführung
zweier Hilfskoordinaten, sodass das System in einem Zustandsraum beschreibbar
wird!
a)
Analyse des homogenen Systems durch Hauptachsentransformation
Es ist auf einen Koordinatensatz überzugehen, für den das System durch vier
entkoppelte lineare Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben wird! Die
Lösungen der Differentialgleichungen werden Eigenfunktionen genannt. Lösen Sie
diese vier Differentialgleichungen, und stellen Sie eine Eigenfunktion für das
Strompaar (i1 (t ) i2 (t ) ) dar! Die Funktion t a (i1 (t ) i2 (t ) ) ist sowohl formal
anzuschreiben als auch zu zeichnen!
Lösen Sie die Anfangswertaufgabe
di1
A
di2
A
i1 (0 s) = 0 A
(0 s ) = 1
i2 ( 0 s ) = 0 A
(0 s) = 0 für (i1 (t ) i2 (t ) ) ebenfalls durch
dt
s
dt
s
Hauptachsentransformation! Die Funktion t a (i1 (t ) i2 (t ) ) ist sowohl formal
anzuschreiben als auch zu zeichnen! Die Skalierung ist so zu wählen, dass das
Pendeln der Schwingungsenergie zwischen beiden Schwingkreisen gut erkennbar
ist!
b)
Analyse des inhomogenen Systems
89
Die Systembeschreibung im Zustandsraum ist wieder auf Hauptachsen zu beziehen!
Zum Zeitpunkt t = 0 s verschwinden die Ströme i2 und i1 sowie deren zeitliche
Ableitungen.
Berechnen Sie die rationalen Übertragungsfunktionen! Zähler- und Nennerpolynome
sind zuerst in Summendarstellung zu schreiben, anschließend als Produkt von
Linearfaktoren! Die Verteilung der Pole und Nullstellen sind zu zeichnen!
Für I 0 a I 2 sind im Frequenzbereich das Bodediagramm und die Nyquist-Ortskurve
zu zeichnen! Im Bodediagramm werden Betrag und Phase der Übertragungsfunktion
über der Frequenz doppelt logarithmisch gezeichnet. Die Übertragungsfunktion bildet
die imaginäre Achse auf die sogenannte Nyquist – Ortskurve ab. Ebenfalls für i0 a i2
sind im Zeitbereich die Sprungantwort und die Impulsantwort zu zeichnen!
Lösung:
In die gegebene Schaltung zeichnet man Kreisströme nach Maxwell ein. So ergibt
sich beispielsweise durch Überlagerung in jenem Zweig, durch den auch i0 fließt, der
Strom i0 − i1 + i3 .Damit ist die Knotenregel erfüllt. Die Maschenregel gilt auch für die
zeitlichen Ableitungen der Spannungen. In dieser Form kommen wir an den
Kapazitäten ohne Integral aus.
L1 ⋅ &i&1 + R1 ⋅ i&1 +
1
⋅ (i1 − i3 − i0 )
C1
1
⋅ (i2 − i3 )
L2 ⋅ &i&2 + R2 ⋅ i&2 +
C2
i3 i0
i
i
1
1
1
1
+
− 1 − 2 = 0, wobei
+
+
:=
C C1 C1 C2
C C1 C2 C3
Die letzte Gleichung verknüpft die vier Ströme linear ohne Ableitung. Man kann daher
einen der Ströme eliminieren ohne sich eine weitere Ableitung einzuwirtschaften:
C
C
C
i3 = ⋅ i1 +
⋅ i2 − ⋅ i0 .
Die Zustandskordinaten seien:
C1
C2
C1
i1
=: x1
i&1
=: x2
= x&1
&i&1
i2
=: x3
= x&2
i&2
=: x4
= x&3
&i&2
= x&4
90
Das sich ergebende gekoppelte Differentialgleichungssystem
⎛ 1
⎛1
C ⎞
C
C ⎞
⋅ x3 + ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⋅ I 0
L1 ⋅ x&2 = − R1 ⋅ x2 + ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ ⋅ x1 +
C1C2
⎝ C1 C1 ⎠
⎝ C1 C1 ⎠
besitzt die Zustandsmatrizen
⎛ 1
C ⎞
C
C
+ 2 ⎟⎟ ⋅ x3 +
L2 ⋅ x&4 = − R2 ⋅ x4 + ⎜⎜ −
⋅ x1 −
⋅ I0
C1C2
C1C2
⎝ C 2 C2 ⎠
0
⎛
⎜
1 ⎛
C⎞
⎜−
⎜⎜1 − ⎟⎟
C1 ⎠
⎜ LC
A=⎜ 1 1⎝
0
⎜
1
C
⎜
⎜ LC ⋅C
2 2
1
⎝
⎛ 0 0 − R2
⎜
1
C =⎜ 0 0
⎜R L
0
⎝ 1 1
1
R
− 1
L1
0
0
0
0 ⎞
⎟
1 C
⋅
0 ⎟
L1C1 C2
⎟
0
1 ⎟
1 ⎛
C⎞
R2 ⎟
⎜
⎟
−
− ⎟⎟
1−
L2C2 ⎜⎝ C2 ⎟⎠
L2 ⎠
− L2 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟⎠
0
⎞
⎛
⎜ 1 ⎛
C ⎞⎟
⎜
⋅ ⎜1 − ⎟ ⎟
L1C1 ⎜⎝ C1 ⎟⎠ ⎟
⎜
B=
⎜
⎟
0
⎜
C ⎟
1
⋅
⎜ −
⎟
L2C2 C1 ⎠
⎝
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
D = ⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
und die Zustandsgleichungen
x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ i0 (t )
im Oberbereich (=Zeitbereich)
y (t ) = C ⋅ x(t ) + D ⋅ i0 (t )
s ⋅ X ( s ) − x(0) = A ⋅ X ( s ) + B ⋅ I 0 ( s )
−1
und
im Unterbereich. X = (s ⋅ E − A) ⋅ ( x(0) + B ⋅ I 0 )
Y ( s) = C ⋅ X ( s) + D ⋅ I 0 ( s)
(
)
Y ( s ) = C ⋅ (s ⋅ E − A) ⋅ x(0) + C ⋅ (s ⋅ E − A) ⋅ B + D ⋅ I 0 ( s ) Die Übertragungsmatrix ist
−1
G ( s ) = C ⋅ (s ⋅ E − A ) ⋅ B + D .
−1
−1
Unter der Beschreibung mit den Koordinaten i1, i1', i2, i2' und den gegebenen
Zahlenwerten werden die Zustandsmatrizen
0
1
0
0 ⎞
⎛
⎜
⎟
0 ⎟
⎜ - 7.576e + 008 - 454.5 1.515e + 008
A=⎜
0
0
0
1 ⎟
⎜
⎟
⎜ 1.515e + 008
0
- 7.576e + 008 - 454.5 ⎟⎠
⎝
0
- 0.5 - 0.0011⎞
⎛ 0
⎜
⎟
C =⎜ 0
0
1
0 ⎟
⎜ 0.5 0.0011 0
0 ⎟⎠
⎝
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ 7.576e + 008 ⎟
B=⎜
⎟
0
⎜
⎟
⎜ - 1.515e + 008 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
D = ⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
Zustandsraumbeschreibung mit Hauptachsenkoordinaten
91
0
0
0
⎛ - 227 + 30150i
⎞
⎜
⎟
0
227
30150i
0
0
⎜
⎟
AD = T −1 AT = ⎜
⎟
0
0
- 227 + 24617i
0
⎜
⎟
⎜
0
0
0
- 227 - 24617i ⎟⎠
⎝
⎛1.96e + 006 - 1.93e + 006i ⎞
⎜
⎟
⎛0⎞
⎜ ⎟
1.93e
+
006
1.96e
+
006i
⎜
⎟
B D = T −1B = ⎜
C D = CT
DT = D = ⎜ 0 ⎟
⎟
1.31e + 006 - 1.29e + 006i
⎜0⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎜1.29e + 006 - 1.31e + 006i ⎟
⎝
⎠
0.0632 + 0.0652i
- 0.0654 - 0.063i
- 0.063 - 0.0654i ⎞
⎛ 0.0652 + 0.0632i
⎜
⎟
C D = ⎜ - 0.00192 + 0.00195i 0.00195 - 0.00192i 0.00235 - 0.00239i - 0.00239 + 0.00235i ⎟
⎜ 0.0652 + 0.0632i
0.0632 + 0.0652i
0.0654 + 0.063i
0.063 + 0.0654i ⎟⎠
⎝
- 0.0020 + 0.0019i
0.0023 - 0.0024i
- 0.0024 + 0.0023i ⎞
⎛ 0.0019 - 0.0020i
⎜
⎟
⎜ 58.3584 + 58.3584i 58.3584 + 58.3584i 58.3584 + 58.3584i 58.3584 + 58.3584i ⎟
T =⎜
- 0.0019 + 0.0020i
0.0020 - 0.0019i
0.0023 - 0.0024i
- 0.0024 + 0.0023i ⎟
⎜
⎟
⎜ - 58.3584 - 58.3584i - 58.3584 - 58.3584i 58.3584 + 58.3584i 58.3584 + 58.3584i ⎟
⎝
⎠
Zunächst die Diagramme im Zeitbereich: die vier Eigenfunktionen haben die Gestalt
227
30150
24617
, ω2 =
f k (t ) = f k (0) ⋅ e (−σ ±iω )t mit σ =
und ω1 =
. x = Tf ,
s
s
s
f1 (0) = f 2 (0) = 1, f 3 (0) = f 4 (0) = 0 führt zu den zeitlichen Verläufen der Ströme i1 und
i2 = - i1
-3
4
x 10
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
-3
4
x 10
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
die Anfangswertaufgabe zeigt schön das Pendeln der Energie zwischen den beiden
Schwingkreisen.
92
-5
4
x 10
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
-5
4
x 10
2
0
-2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
Die Reaktion des Stromes i2(t) auf einen Sprung von i0(t) zeigt
Step Response
1
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Time (sec)
Die Reaktion des Stromes i2(t) auf einen Nadelimpuls von i0(t) zeigt
4
2.5
Impulse Response
x 10
2
1.5
1
Amplitude
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Time (sec)
Nun zu den Ergebnissen im Unterbereich. Die Übertragungsfunktion vom Strom i0
zum Strom i1 in der faktorisierten Darstellung ist
I1 ( s )
833333 ⋅ (s + 454.5) ⋅ (s + (227.3 - 26970 i)) ⋅ (s + (227.3 + 26970 i))
=
I 0 ( s) (s + (227.3 - 24620 i)) ⋅ (s + (227.3 + 24620 i)) ⋅ (s + (227.3 - 30150 i)) ⋅ (s + (227.3 + 30150 i))
der zugehörige Pol- und Nullstellenplan:
93
Pole-Zero Map
4
4
x 10
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Real Axis
die Abhängigkeit I2(I0) wird sowohl durch das Bodediagramm gezeigt:
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
-50
-100
-150
360
Phase (deg)
270
180
90
0
1
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
10
Frequency (rad/sec)
als auch durch das Nyquistdiagramm:
Nyquist Diagram
1000
To: Out(1)
500
0
-500
-1000
To: Out(2)
0
-50
1000
500
To: Out(3)
Imaginary Axis
50
0
-500
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
Real Axis
400
600
800
1000
1200
94
Hier ist das zur das zur Berechnung verwendete Matlab – Programm wiedergegeben.
clear all
% Parameter
R1=0.5;
L1=1.1e-3;
C1=1e-6;
R2=.5;
L2=1.1e-3;
C2=1e-6;
C3=250e-9;
% Systemmatrix A
p=-1/L1/C1;
q=-1/L2/C2;
r=-R1/L1;
s=-R2/L2;
u=1/(1/C1+1/C2+1/C3);
A=[0 1 0 0;p*(1-u/C1) r -p*u/C2 0;0 0 0 1;-q*u/C1 0 q*(1-u/C2) s];
B=[0 p*(u/C1-1) 0 q*u/C1]'; % Fremdstrom
C=[0 0 -R2 -L2;0 0 1 0;R1 L1 0 0];
D=[0;0;0];
% y=(u2;i2;u1) Ausgangsspannung; Ausgangsstrom; Eingangsstrom
disp('Zustandsraumbeschreibung mit den Koordinaten i1, i1'', i2, i2''');
netz=ss(A,B,C,D) % Beschreibung im Zustandsraum
pause
% Hauptachsen
[T,E]=eig(A);
T=T/det(T)^.25;
D=eig(A);
disp('Zustandsraumbeschreibung mit Hauptachsenkoordinaten');
netz_dia=ss2ss(netz,T^-1) % Beschreibung im Zustandsraum auf Hauptachsen bezogen
pause
% Anfangswerte
x0=[0 1 0 0]';
y0=(T^-1)*x0;
% Zeitpunkte festlegen
t=[0:1e-5:5e-3];
% Eigenfunktionen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Ströme und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
% 1. Eigenfunktion
y0=[1 1 0 0];
% Zeitpunkte festlegen
95
t=[0:1e-5:5e-3];
% Funktionen der Hauptachsen
for K=1:4
y(K,:)=y0(K)*exp(D(K)*t);
end
% Ströme und deren Ableitungen
x=T*y;
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(t,real(x(1,:)))
subplot(2,1,2)
plot(t,real(x(3,:)))
pause
disp('Die drei Übertragungsfunktionen');
disp('in Summendarstellung:');
tf(netz_dia)
disp('und faktorisiert:');
zpk(netz_dia)
disp('mit der Lage der Nullstellen und Pole:');
figure(1)
disp('in figure(1) für u2(i0)');
pzmap(netz_dia(1))
figure(2)
disp('in figure(2) für i2(i0)');
pzmap(netz_dia(2))
figure(3)
disp('in figure(3) für i1(i0)');
pzmap(netz_dia(3))
pause
figure(1)
disp('Bodediagramm für I2(I0)');
bode(netz_dia(2))
pause
figure(2)
disp('Sprungantwort für I2(I0)');
step(netz(2))
pause
figure(3)
disp('Impulsantwort für I2(I0)');
impulse(netz(2))
pause
figure(1)
disp('Nyquist - Ortskurven');
nyquist(netz_dia)
96
4.3. Zusammenschaltung linearer Systeme
Hintereinanderschaltung
Aufgabe: Zeige:
B1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
0
⎛ x&1 ⎞ ⎛ A1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
0⎞
⎛ A1
⎛ B ⎞
⎟⎟, B = ⎜⎜ 1 ⎟⎟, C = (D2C1 C2 ), D = D2 D1
⎜ x& 2 ⎟ = ⎜ B2C1 A2 B2 D1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ , A = ⎜⎜
⎝ B2C1 A2 ⎠
⎝ B2 D1 ⎠
⎜ y ⎟ ⎜D C C D D ⎟ ⎜ u ⎟
2
2 1⎠ ⎝
⎝ ⎠ ⎝ 2 1
⎠
0 ⎞ ⎛ x&1 ⎞ ⎛ x&1 ⎞ ⎛ A1 0 B1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ x&1 ⎞ ⎛ 1 0
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
Lösungsweg: ⎜ x& 2 ⎟ = ⎜ 0 A2 B2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟, ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟
⎜ y ⎟ ⎜0 C D ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜C 0 D ⎟ ⎜ u ⎟
2
2⎠ ⎝ 1⎠
1⎠ ⎝
⎝ ⎠ ⎝
⎝ 1⎠ ⎝ 1
⎠
Aufgabe: G(s) lässt sich auf zwei Arten berechnen:
- G ( s ) = G2 ( s ) ⋅ G1 ( s )
Gk ( s ) = Ck ⋅ ( s ⋅ E − Ak ) −1 ⋅ Bk + Dk , k ∈ {1,2}
- G ( s ) = C ⋅ ( s ⋅ E − A) −1 ⋅ B + D Zeige, dass beide Berechnungsarten zur selben Matrix
führen G(s)!
Lösungsweg: G2 ( s ) ⋅ G1 ( s ) multipliziert man leicht aus. Im zweiten Fall ist zu
⎛
⎞
( s ⋅ E − A1 ) −1
0
⎟ . Der
beachten, dass ( s ⋅ E − A) −1 = ⎜⎜
−1
−1
−1 ⎟
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
(
s
E
A
)
B
C
(
s
E
A
)
(
s
E
A
)
2
2
1
1
2
⎝
⎠
Vergleich ist einfach.
Parallelschaltung
⎛ x&1 ⎞ ⎛ A1 0
⎜ ⎟ ⎜
Aufgabe: Zeige, dass G ( s ) = G2 ( s ) + G1 ( s ) und dass ⎜ x& 2 ⎟ = ⎜ 0 A2
⎜ y ⎟ ⎜C C
2
⎝ ⎠ ⎝ 1
⎞ ⎛ x1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
B2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟
D1 + D2 ⎟⎠ ⎜⎝ u ⎟⎠
B1
Störung:
Aufgabe: Zeige, dass y ( s ) = G2 ( s ) ⋅ (v( s ) + G1 ( s ) ⋅ u ( s )) im Unterbereich und dass
0 ⎞ ⎛ A1 0 B1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ x&1 ⎞ ⎛ 1 0
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x& 2 ⎟ = ⎜ 0 A2 B2 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ + ⎜ B2 ⎟ ⋅ v im Zustandsraum = Oberbereich!
⎜ y ⎟ ⎜0 C D ⎟ ⎜C 0 D ⎟ ⎜ u ⎟ ⎜ D ⎟
2
2⎠ ⎝ 1
1⎠ ⎝
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ 2⎠
Rückkopplung:
97
Aufgabe: Zeige, dass G = ( E + G1 ⋅ G2 ) −1 ⋅ G1 im Unterbereich und dass
0
⎞ ⎛ A1 − B1C2 B1 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ x&1 ⎞ ⎛ 1 0 − B1 D2 ⎞ ⎛ 1 0
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
B2 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1
A2
0
0 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ im
⎟⋅⎜ 0
⎜ x& 2 ⎟ = ⎜ 0 1
⎜ y ⎟ ⎜0 0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ( E + D1 ⋅ D2 ) −1 ⎟⎠ ⎜⎝ C1 − D1C2 D1 ⎟⎠ ⎜⎝ w ⎟⎠
⎝ ⎠ ⎝
Zustandsraum = Oberbereich!
4.4. Grundschaltung der Regelungstechnik:
e = w − y, y = G ⋅ R ⋅ e ⇒ e = ( E + GR) −1 ⋅ w, u = R ⋅ ( E + GR) −1 ⋅ w, y = GR ⋅ ( E + GR) −1 ⋅ w
Aufgabe: Zeige, dass y = ( E + GR) −1 ⋅ GR ⋅ w !
F := ( E + GR) −1 GR heißt die
Übertragungsmatrix = Führungsübertragungsfunktion des Regelsystems.
Stabilität von Regelsystemen:
Gerade diese zentrale Aufgabe ist schwierig in den Griff zu bekommen.
Dementsprechend gibt es verschiedene Ansätze, um die Stabilität von
Regelsystemen zu beherrschen. Daran knüpfen sich anspruchsvolle Theorien, auf
die hier nicht eingegangen wird. Hier seien drei gängige Stabilitätsbegriffe erwähnt.
1. Ljapunov – Stabilität: St. Unter der Variation der Anfangskoordinaten x(0s) im
Zustandsraum.
2. Bounded Input Bounded State – Stabilität
3. Bounded Input Bounded Output – Stabilität
Wir benötigen ein Ergebnis der Theoretischen Regelungstechnik:
Satz o. B.: Ein lineares zeitinvariantes System ist genau dann BIBO – stabil, wenn
G(s) nur Pole mit negativem Realteil hat.
Wahl der Führungsübertragungsfunktion einfacher Regelsysteme
Für realisierbare Systeme ist Grad(Zähler) ≤ Grad(Nenner).
Z F ⋅ NG
ZR
F
RG
, R=
,
=
G (1 − F )
N R ZG (N F − Z F )
1 + RG
Polüberschuss(F) ≥ Polüberschuss(G)
F=
⇒
Verzögerungsglied zweiter Ordnung als Führungsübertragungsfunktion:
F ( s ) :=
1
,
( s − p) ⋅ ( s − p )
p =: p ⋅ e i⋅χ
98
Die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion σ(t) ist 1/s:
.
Sprungantwort
1
( s − p) ⋅ ( s − p ) ⋅ s
1
1 1
1 1
1 1
( ⋅
− ⋅
)+
⋅ . Bei der
Partialbruchzerlegung führt auf YS ( s ) =
p− p p s− p p s− p
p⋅ p s
1
−1
−1
Rücktransformation benötigt man ⋅ e pt = p ⋅ e pt −iχ = p ⋅ e Re( p )⋅t ⋅ e i⋅(Im( p )⋅t − χ ) .
p
1 ⎛ 1 pt 1 pt ⎞
1
1
1
⋅ ⎜⎜ ⋅ e − ⋅ e ⎟⎟ +
y s (t ) =
=
⋅ e Re( p )⋅t ⋅ sin(Im( p) ⋅ t − χ ) + 2
p− p ⎝ p
p
p
⎠ p ⋅ p p ⋅ Im( p)
YS ( s ) :=
p⋅ p
als Führungsübertragungsfunktion, dann hätte die
( s − p) ⋅ ( s − p )
Sprungantwort die Höhe 1.
Wählte man
Zeit und Höhe des Überschwingens der Sprungantwort
Um relative Maximalwerte zu finden, setzt man y& S (t ) = 0 .
1
1
1
( p − p ) ⋅ ( y S (t ) −
) = ⋅ e pt − ⋅ e pt lässt sich elegant differenzieren:
p⋅ p
p
p
pT
pT
Re( p )⋅T
0=e −e =e
⋅ 2i ⋅ sin(Im( p) ⋅ T ) ⇒
Zeiten: Im( p) ⋅ T = k ⋅ π , k ∈ Z
π
) = (−1) k +1 ⋅ (e cot( χ )⋅π ) k + 1
Im( p)
Relative Überschwingweite e cot( χ )⋅π =: ü . Für k=1 schwingt yS am meisten über, falls
ü<1. für die Reaktionszeit T gilt: p ⋅ sin( χ ) ⋅ T = Im( p ) ⋅ T = π
Höhen: p ⋅ y S (k ⋅
2
cos( χ )
⋅ p ⋅ sin( χ ) ⋅ T ⇒
sin( χ )
− ln(ü ) soll groß sein, T soll klein sein!
π ⋅ ln(ü ) = π ⋅
p=
π
1
ln ü
⋅ (ln ü + iπ ), Re( p) =
, Im( p) =
T
T
T
− ln(ü ) = − Re( p) ⋅ T
99
Aus den Forderungen
1) ü ≤ ümax berechnet man χ: χ ≥ arc cot(
2) T ≤ Tmax berechnet man Im( p) ≥
π
ln(ümax )
π
)
Tmax
p darf in dem von den fett gezeichneten Geraden eingegrenzten Bereich mit dem
1
⋅ (ln(ümax ) + i ⋅ π ) liegen.
Eckpunkt
Tmax
Entlang der Geraden für konstantes χ ist die relative Überschwingweite konstant.
Entlang der Geraden für konstanten Imaginärteil von p ist die Reaktionszeit konstant.
Gerne nimmt man χ max = 135° . ⇒ ümax = 0,0432
Die Laplace-Transformierte der Impulsfunktion δ(t) ist 1:
.
YI ( s ) :=
Impulsantwort
Partialbruchzerlegung führt auf YI ( s ) =
y I (t ) =
(
1
= G ( s)
( s − p) ⋅ ( s − p )
1
1
1
(
).
−
p− p s− p s− p
)
1
1
⋅ e pt − e pt =
⋅ e Re( p )⋅t ⋅ sin(Im( p ) ⋅ t )
p− p
Im( p)
Zeiten und Höhen des Überschwingens sind bei der Impulsantwort anders als bei der
Sprungantwort: 0 = p ⋅ e pt − p ⋅ e pt ⇒ e i ( χ + Im( p )⋅T ) = e − i ( χ + Im( p )⋅T ) ⇒ χ + Im( p) ⋅ T = k ⋅ π . Die
100
weitere Rechnung verläuft langwierig. Wir verfolgen die Zusammenhänge nicht
weiter, weil die Sprungantwort bei Nachführregelungen größere Bedeutung hat.
Beispiel 4: Entwurf einer Regelung für eine Raumheizung
Regelstrecke:
Ein elektrischer Heizkörper mit Speichersteinen der Masse mH, der spezifischen
Wärmekapazität cH und der Temperatur TH befindet sich in einem Raum mit dem
Volumen V, dessen Luft die Stoffmenge nL, die spezifische Wärmekapazität cL und
die Temperatur TL habe! Den Heizkörper umgibt eine Grenzschicht mit der
Oberfläche AH und dem Wärmedurchgangskoeffizienten kH. Die Außenwand des
Raumes hat die Gesamtfläche AW und den Wärmedurchgangskoeffizienten kW. Die
Außentemperatur sei TA. Die Solltemperatur der Luft sei TS.
Heizkörperbreite bH=2m und Raumlänge lR=6m.
kg
. Dieser ist 0,3m
m3
hoch und 0,4 m tief. Die spezifische Wärmekapazität des Speichersteines beträgt
J
cH = 820 ⋅
. Seine vier Mantelflächen und seine Deckfläche geben die Wärme mit
kg ⋅ K
W
dem Wärmedurchgangskoeffizienten k H = 10 ⋅ 2
ab. Die spezifische
m ⋅K
7
Wärmekapazität für Luft bei konstantem Druck beträgt c L = ⋅ R . Der Raum ist 6 m
2
breit und 2,6 m hoch. Auf die Stoffmenge der Luft schließe man mit der Gleichung
des Idealen Gases p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T ! Dabei lasse man den Umstand, dass
Temperaturänderung bei konstantem Druck Luftaustausch mit der Umgebung nach
sich zieht, unberücksichtigt! TL bewege sich um 300 K. Der Luftdruck sei 105 Pa.
J
R = 8314 ⋅
ist die Universelle Gaskonstante. Zwei Wände des Raumes, eine
kmol ⋅ K
längsseitige und eine breitseitige, grenzen ans Freie mit dem
W
Wärmedurchgangskoeffizienten kW = 0,5 ⋅ 2
. Durch Boden, Decke und die
m ⋅K
anderen zwei Wände erfolgt kein Wärmeaustausch.
Die Dichte des quaderförmigen Speichersteines beträgt ρ = 2500 ⋅
Folgende Aufgaben sind zu lösen:
Das Differentialgleichungssystem der Regelstrecke ist mit Zustandsmatrizen
aufzustellen. TH und TL sind Koordinaten des Zustandsraumes, Pel und TA sind die
Eingangsgrößen, und TL ist die Ausgangsgröße. Durch Laplacetransformation sind
die beiden Übertragungsfunktionen Pel→TL und TA→TL zu berechnen.
Regler:
Ein Regler habe TS - TL als Eingangsgröße und die elektrische Heizleistung Pel als
Ausgangsgröße! TA werde bloß durchgeschliffen.
Geschlossener Regelkreis:
Der geschlossene Regelkreis habe das Verhalten eines Verzögerungsgliedes zweiter
Ordnung. Im geschlossenen Regelkreis sind TS und TA die Eingangsgrößen, TL die
101
Ausgangsgröße. Das Verhalten des geschlossenen Regelkreises ist folgendermaßen
zu dokumentieren:
a)
durch das mit Zustandsmatrizen dargestellte Differentialgleichungssystem im
Zeitbereich
b)
durch die beiden Sprungantworten TS →TL und TA →TL im Zeitbereich
c)
durch die beiden Impulsantworten TS →TL und TA →TL im Zeitbereich
d)
durch die beiden rationalen Übertragungsfunktionen TS →TL und TA →TL im
Spektralbereich. Die Nenner sind zu faktorisieren, sodass die Pole direkt sichtbar
sind.
e)
durch die beiden Bodediagramme TS →TL und TA →TL im Spektralbereich
f)
durch die beiden Nyquistdiagramme TS →TL und TA →TL im Spektralbereich
Ausarbeitung
Man stellt für die in den Steinen und in der Luft gespeicherte Wärme
Q& = Pel − I1
Bilanzgleichungen auf: H
. Man drückt Q H , Q L , I 1 , I 2 durch die gegebenen
Q& = I − I
L
1
2
Parameter aus und ordnet für die Zustandsdarstellung um.
k H ⋅ AH
⎛ k H ⋅ AH
⎜−
&
⎛ TH ⎞ ⎜ mH ⋅ c H
mH ⋅ c H
⎜ ⎟=
⎜ T& ⎟ ⎜ k H ⋅ AH
k ⋅ A + kW ⋅ AW
⎝ L⎠
− H H
⎜ n ⋅c
nL ⋅ cL
⎝ L L
⎛T ⎞
⎛P ⎞
TL = (0 1) ⋅ ⎜⎜ H ⎟⎟ + (0 0) ⋅ ⎜⎜ el ⎟⎟
⎝ TL ⎠
⎝ TA ⎠
⎞
⎛ 1
⎟
⎜
⎟ ⋅ ⎛⎜ TH ⎞⎟ + ⎜ mH ⋅ c H
⎟ ⎜⎝ TL ⎟⎠ ⎜
⎟
⎜ 0
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟ ⋅ ⎛⎜ Pel ⎞⎟
kW ⋅ AW ⎟ ⎜⎝ TA ⎟⎠
nL ⋅ c L ⎟⎠
0
Die Regelstrecke wird beschrieben durch die Zustandsmatrizen
0
⎛ - 4.553e - 005 4.553e - 005 ⎞
⎛ 2.033e - 006
⎞
⎟⎟ B = ⎜⎜
⎟
A = ⎜⎜
- 0.000348 ⎠
0
0.0001429 ⎟⎠
⎝ 0.0002051
⎝
C = (0 1) D = (0 0)
Die Übertragungsfunktion von der elektrischen Leistung zur Lufttemperatur ist
4.1693e - 010
V
G (Pel a TL ) =
, mit ihr befassen wir
=:
(s + 1.729e - 005) ⋅ (s + 0.0003762) ( s − q 2 ) ⋅ ( s − q1 )
102
uns hauptsächlich. Die Übertragungsfunktion von der Außentemperatur zur
0.00014286 (s + 4.553e - 005)
Lufttemperatur ist G (TA a TL ) =
.
(s + 1.729e - 005) ⋅ (s + 0.0003762)
Wir wählen als Führungsübertragungsfunktion ein Verzögerungsglied zweiter
1
Ordnung. Zunächst ist die Lage des Poles p zu wählen. q1 := −37,62 ⋅ 10 −5 ⋅
ist der
sec
betragsgrößere Pol der Übertragungsfunktionen G (Pel a TL ) . e q1t ist also die rascher
abklingende Exponentialfunktion im Zeitbereich. Nach der Zeit T := −
π
ist der
q1
Funktionswert auf 1/23 gesunken. Deswegen richten wir p nach q1 aus: Das
Überschwingungsmaximum von F soll in einem Zehntel dieser Zeit, das sind 14
1
π
Minuten, erreicht werden, also Im( p) = 10 ⋅ = −10 ⋅ q1 = 37,62 ⋅ 10 − 4 ⋅
. Der
T
sec
Lagewinkel von p soll χ = 3π / 4 sein: Re( p ) = 10 ⋅ q1 . Die Sprungantwort soll die Höhe
p⋅ p
1 haben, deswegen wählen wir p ⋅ p als Amplitude. F ( s ) :=
. Der Regler
( s − p)( s − p )
kann jetzt berechnet werden:
p ⋅ p ⋅ ( s − q1 ) ⋅ ( s − q 2 ) p ⋅ p ⎛ (2 Re( p ) − (q1 + q 2 )) ⋅ s + q1 ⋅ q 2 ⎞
F ( s)
⎟⎟
=
=
⋅ ⎜1 +
R( s) =
G ( s ) ⋅ (1 − F ( s ))
V ⋅ ( s − 2 Re( p )) ⋅ s
V ⎜⎝
s 2 − 2 Re( p ) ⋅ s
⎠
Die letzte Umformung war notwendig, weil die Zustandsbeschreibung im Zähler
einen kleinerem Grad als der Nenner benötigt. Dem Nenner entspricht im Zeitbereich
die Differentialgleichung &x&(t ) − 2 Re( p) ⋅ x& (t ) = e(t ) mit der Eingangsfunktion e(t). Der
Zähler leitet das Ausgangssignal Pel aus den Zustandskoordinaten ab:
pp
p⋅ p
2
⋅ (e(t ) + (2 Re( p) − (q1 + q 2 )) ⋅ x& + q1 ⋅ q 2 ⋅ x ) = Pel pp = 2(Re( p ) ) , c :=
V
V
Die vier Zustandsgleichungen allgemein:
1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ e ⎞
⎛ x& ⎞ ⎛ 0
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ &x&⎠ ⎝ 0 2 Re( p) ⎠ ⎝ x& ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ T A ⎠
⎛ Pel ⎞ ⎛ c ⋅ q1 ⋅ q 2 c ⋅ (2 Re( p) − (q1 + q 2 )) ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ c 0 ⎞ ⎛ e ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
0
0
⎠ ⎝ x& ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ T A ⎠
⎝ TA ⎠ ⎝
1
⎛ x& ⎞ ⎛ 0
⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ e ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ &x&⎠ ⎝ 0 - 0.0075245 ⎠ ⎝ x& ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ T A ⎠
und mit den Zahlen:
⎛ Pel ⎞ ⎛ 4.4162e - 4 - 484.1932 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 67900 0 ⎞ ⎛ e ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⋅⎜ ⎟
0
0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ T A ⎟⎠
⎠ ⎝ x& ⎠ ⎝ 0
⎝ TA ⎠ ⎝
Der Regler wird mit der Strecke in Reihe geschaltet. Die Rückkopplung der
Lufttemperatur schließt den Regelkreis. Dieser hat die Zustandsmatrizen
103
- 0.138
8.976e - 010 - 0.0009841⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0.138
0
⎛ x1 ⎞ ⎛ - 4.553e - 005
⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
0
0
0.0001429 ⎟ ⎛ TS ⎞
d ⎜ x 2 ⎟ ⎜ 0.0002051 - 0.000348
⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0
=
⎟⋅⎜ x ⎟ + ⎜ 0
⎟ ⋅ ⎜⎜ T ⎟⎟
0
0
0
1
0
dt ⎜ x3 ⎟ ⎜
3
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎝ A⎠
⎟
⎜
⎟
⎜x ⎟ ⎜
⎜
⎟
−1
0
0
- 0.007525 ⎠ ⎝ x 4 ⎠ ⎝ 1
0
⎠
⎝ 4⎠ ⎝
⎛T ⎞
⎛ x⎞
TL = (0 1 0 0) ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + (0 0) ⋅ ⎜⎜ S ⎟⎟
⎝ x& ⎠
⎝ TA ⎠
2.8309e - 5
. Das ist die
s + 0.007525 ⋅ s + 2.831e - 5
Führungsübertragungsfunktion, die wir für den geschlossenen Regelkreis angesetzt
haben. Aus dem Spektralbereich das Bodediagramm und das Nyquistdiagramm:
Seine Übertragungsfunktion ist
2
Bode Diagram
From: In(1)
From: In(2)
0
Magnitude (dB) ; Phase (deg)
To: Out(1)
-20
-40
-60
-80
-100
90
To: Out(1)
0
-90
-180
-6
-4
10
-2
10
0
10
-6
10 10
-4
-2
10
0
10
10
0
0.5
Frequency (rad/sec)
Nyquist Diagram
From: In(1)
From: In(2)
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
Real Axis
Aus dem Zeitbereich die Sprungantwort und die Impulsantwort:
104
Antw ort auf Temperatursprung
From: In(1)
From: In(2)
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1000
2000
3000
4000
5000 0
1000
2000
3000
4000
5000
Time (sec)
Antw ort auf Temperaturimpuls
-3
2.5
From: In(1)
x 10
From: In(2)
2
Amplitude
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
500
1000
1500 0
500
1000
1500
Time (sec)
Das Matlab – Programm für die Berechnungen und Zeichnungen:
%Entwurf einer Regelung für eine Raumheizung
clc
% Stoffparameter:
rho=2500;
%kg/m^3
bh=2;
%m
Vh=bh*.4*.3;
%m^3
mh=rho*Vh;
%kg
ch=820;
%J/kg/K
Ah=2*(bh+.4)*.3+bh*.4; %m^2
kh=10;
%W/m^2/K
lr=6;
%m
Vl=2.6*lr*6;
%m^3
R=8314;
%J/kmol/K
nl=1e5/R*Vl/300; %kmol
105
cl=7/2*R;
%J/kmol/K
Aw=(6+lr)*2.6;
%m^2
kw=.5;
%W/m^2/K
% Die Wärmeströme
% I1=kh.Ah.(Th-Tl)
% I2=kw.Aw.(Tl-Ta)
% bewirken die Temperaturänderungen
% mh.ch.Th'=Pel-I1
% nl.cl.Tl'=I1-I2
% Man eliminiert die Wärmeströme und erhält die beiden Differentialgleichungen
% mh.ch.Th'=-kh.Ah.Th+kh.Ah.Tl+Pel
% nl.cl.Tl'=kh.Ah.Th-(kh.Ah+kw.Aw).Tl+kw.Aw.Ta
% Daraus berechnet man die Zustandsmatrizen
A12=kh*Ah/mh/ch; %Hilfsgröße
A21=kh*Ah/nl/cl; %Hilfsgröße
B22=kw*Aw/nl/cl; %Hilfsgröße
A=[-A12 A12;A21 -(A21+B22)];
B=[1/mh/ch 0;0 B22];
C=[0 1];
D=[0 0];
% für die Regelstrecke.
% (Th Tl)'T=A.(Th Tl)T+B.(Pel Ta)T
% (Tl 0)=C.(Th Tl)T+D.(Pel Ta)T
Strecke=ss(A,B,C,D);
[z,p,k]=zpkdata(Strecke);
V=k(1); %Verstärkung
q1=min(p{1}(1),p{1}(2));
q2=max(p{1}(1),p{1}(2));
% Zustandsmatrizen für den Regler:
Rep=10*q1; %Nachstellzeit=-pi/Rep
c=2*Rep^2/V;
AR=[0 1;0 2*Rep];
BR=[0 0;1 0];
CR=[c*q1*q2 c*(2*Rep-q1-q2);0 0];
DR=[c 0;0 1];
% x'=AR.x+BR.(u Ta)
% (Pel Ta)T=CR.x+DR.(u Ta)
Regler=ss(AR,BR,CR,DR);
Reihe=series(Regler,Strecke);
Kreis=feedback(Reihe,ss([],[],[],[1;0]));
figure(1)
STEP(Kreis)
title('Antwort auf Temperatursprung')
figure(2)
impulse(Kreis)
title('Antwort auf Temperaturimpuls')
figure(3)
bode(Kreis)
figure(4)
nyquist(Kreis)
zpk(Kreis)
107
Index
Blindleistung 61
Kettenbruchentwicklung 69
Spannungsverstärkung 59
Bodediagramm 67
Kettenparameter 56
Sprungantwort 74
Coriolisbeschleunigung 34
Kirchhoffsche Gesetze 43
Steinersche
Cremonaplan 8
Kleinsignalparameter 54
Culmann 13
Knotenregel 43
Stromquelle 46
Drehimpuls 37
Konvergenzabszisse 73
Stromverstärkung 58
Drehmoment 12
Kreiselgleichungen 38
Superposition 44
erzwungener
Kurzschlussstrom 50
Trägheitsmoment 37
Laplacetransformation 71
Trajektorien 80
Faltungssatz 73, 77
Leerlaufspannung 50
Transistor 59
Flächenmoment 26
Leitwertparameter 54
Transitionsmatrix 80
Frequenzbereich 60
Maschenregel 43
Überlagerungsmethode 46
Führungsübertragungsfunkti
Nyquist-Ortskurve 67
Übertragungsfunktion 74
Oberbereich 74
Unterbereich 74
Guldin 32
Orthogonalität 71
Vierpole 54
Hauptachsentransformation
Partialbruchentwicklung 69
Wechselspannung 60
Phasenverschiebung 60
Wellenzahl 72
Hauptträgheitsachsen 38
Poldiagramm 13
Widerstandsmoment 27
Helmholtzsche
Polstrahlen 13
Widerstandsparameter 55
Überlagerungsmethode
Potential 41
Widerstandstransformation
49
Querkraftverlauf 16
Schwingungszustand 44
on 97
82
Verschiebungssatz 27
58
Hybridparameter 56
Rampenantwort 74
Wirkungslinie 13
Impedanz 44
rationales Einheitensystem
Zeitbereich 60
Impulsantwort 74
41
Zentrifugalkraft 33
Innenleitwert 50
Regelstrecke 79
Zentripetalkraft 33
Innenwiderstand 50
Regler 79
Zustandsraum 81
Jakobimatrix 54
Schwingungszahl 72
Zweipol 48
Jordan-Normalform 83
Seileck 13
Zykelmethode 44
Kausalitätsprinzip 72
Spannungsquelle 46
109
Lehrbuchempfehlungen
Laplacetransformation
Author
Titel
Verlag
Erschei
nungsjahr
2003
1989
1989
ISBN
Föllinger, O.
Doetsch, G.
Schüring, K.
z- & Laplacetransf.
z- & Laplacetransf.
Laplacetr. für elektr.
Schaltungen
Hüthig
Oldenbourg
Vauk
Author
Titel
Verlag
ISBN
Aula
Springer
Erschei
nungsjahr
1991
2005
Goldstein, H.
Dubbel
Klassische Mechanik
Taschenbuch für den
Maschinenbau
Kreisel
Festigkeitslehre
Bd. 1: Mechanik,
Akustik, Wärmelehre
Baustatik
Maschinenelemente
Übungen
Springer
Springer
Teubner
1971
2004
1991
0-387-05198-8
3-211-21208-6
3-322-00812-6
VDI
Vieweg
Vieweg
1984
2005
2005
3-18-400630-1
3-528-17028-X
3-528-17015-8
Erschei
nungsjahr
2004
ISBN
2001
3-446-21915-3
2001
3-446-21705-3
2001
3-446-21706-1
3-7785-2911-0
3-486-21310-5
3-8175-0064-5
Mechanik
Magnus, K.
Mang, H.
Grimsehl
Bötzl, J.
Roloff, H.
Roloff, H.
3-89104-514-X
3-540-22142-5
Elektrizität
Author
Titel
Verlag
Lindner, H.
Taschenbuch der
Elektrotechnik
Aufgaben 1:
Gleichstrom
Aufgaben 2:
Wechselstrom
Aufgaben 3:
Vierpole, Fourier- &
Laplacetransf.
Grundlagen der
Elektrotechnik
Elektronik für Ing.
Theoretische
Elektrotechnik
Elektrotechnik für
Maschinenbauer
Bd. 2: Elektrizität
Grundlagen der
Fachbuchverl. Leipzig
Fachbuchverl. Leipzig
Fachbuchverl. Leipzig
Fachbuchverl. Leipzig
Lindner, H.
Lindner, H.
Lindner, H.
Albach, M.
Hering, E.
Küpfmüller, K.
Linse, H.
Grimsehl
Philippow, E.
3-446-22546-3
Pearson
Studium
Springer
Springer
2004
3-8273-7106-6
2005
2005
3-540-24309-7
3-540-20792-9
Teubner
2005
3-519-46325-3
Teubner
Verlag
1988
2000
3-322-00756-1
3-341-01241-9
110
Elektrotechnik
Technik
Regelungstechnik
Author
Titel
Verlag
Mann, H.
Philippsen,
H.W.
Samal, E.
Geering
Ludyk, G.
Regelungstechnik
Einstieg in die
Regelungstechnik
Regelungstechnik
Regelungstechnik
Theoretische
Regelungstechnik 1
Theoretische
Regelungstechnik 2
Regelungstechnik 1
Regelungstechnik
Übungsaufgaben zur
Regelungstechnik
Hanser
HanserFachverlag
Oldenbourg
Springer
Springer
Ludyk, G.
Lunze, J.
Leonhard, W.
Leonhard, W.
Erschei
nungsjahr
2005
ISBN
2000
2004
1995
3-486-25504-5
3-540-40507-0
3-540-55041-0
Springer
1995
3-540-58675-X
Springer
Vieweg
Vieweg
2006
1992
1987
3-540-28326-9
3-528-53584-9
3-528-13037-7
3-446-40303-5
3-446-22377-0