Übungen zur Kombinatorik

Werner Kratz
Markus Wahrheit
Sommersemester 2004
13.05.2004
Blatt 3
Übungen zur Kombinatorik
Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 27.05.2004
10. (a) Bestimme die Anzahl ganzer Zahlen zwischen 1 und 10.000, die nicht durch 2,
3, 5 oder 7 teilbar sind.
(b) Es seien a1 , . . . , ak paarweise teilerfremde natürliche Zahlen, k ∈ N. M sei
die Menge aller natürlichen Zahlen ≤ n, die durch kein aν teilbar sind,
ν ∈ {1, . . . , k}. Zeige die Identität
|M | = n +
k
X
X
r
(−1)
r=1
1≤ν1 <···<νr ≤k
n
.
aν 1 · · · aν r
(4)
11. Um einen Tisch sind 2n Stühle im Kreis angeordnet. n Ehepaare betreten den Raum,
und die n Damen nehmen so Platz, dass zwischen je zwei Damen genau ein Stuhl frei
bleibt. Die n-te Ménage-Zahl U (n) sei die Anzahl der Möglichkeiten, bei gegebener
Sitzordnung der Damen, die Herren auf den n freien Stühlen so zu platzieren, dass
kein Herr neben seiner Ehefrau sitzt. Zeige:
n
X
(−1)k 2n − k
(n − k)!
U (n) = 2n
2n − k
k
k=0
(8)
12. Die sogenannte Von-Mangoldt-Funktion Λ(n) sei definiert durch
(
log p, falls n = pα , α ∈ N, p Primzahl,
Λ(n) :=
0,
sonst.
P
Zeige, dass Λ(n) =
µ(d) log( nd ) für n ∈ N gilt, wobei µ(d) die Möbiusfunktion
d|n
bezeichnet.
(3)
13. Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Zahlentheorie. Sie ist für alle komplexen Zahlen s mit Realteil Re s > 1 definiert durch
ζ(s) :=
∞
X
n=1
n−s .
Zeige, dass für s ∈ C mit Re s > 1 gilt:
(a)
∞
ζ(s) 6= 0 und
X
1
=
µ(n)n−s ,
ζ(s) n=1
wobei µ(n) die Möbiusfunktion bezeichnet.
(b)
∞
X
ζ 0 (s)
=−
Λ(n)n−s ,
ζ(s)
n=1
wobei Λ(n) die Von-Mangoldt-Funktion bezeichnet.
(5)
Hinweise zu diesen Aufgaben wird es ab Montag auf der Homepage der Vorlesung geben.
URL: http://www.mathematik.uni-ulm.de/m5/wahrheit/kombinatorik/