Spiel, Satz und Sieg!

Spiel, Satz und Sieg!
Italian Boy with Racket.
Master Painting (Cremona, 1570)
Stochastische Untersuchungen zum
Tennisspiel mit Derive
Benno Grabinger, Neustadt/Weinstraße, www.bennograbinger.de
Inhalt
•
•
•
•
Warum gerade Tennis?
Historische Bemerkungen
Konkrete Daten
Ein Tennisspiel
(Modellierung, Simulation, Theorie)
• Ein Match
• Folgerungen
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Warum gerade Tennis?
Tennis ist,
„wenn schon zur
Leibesübung nützlich,
ganz hervorragend
fähig und auch würdig,
den Geist zu fesseln
und das Nachdenken
anzuregen.“
aus dem Brief an einen Freund
über das Ballspiel Jeu de Paume
Jakob Bernoulli 1654-1705
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Warum gerade Tennis?
• Weil es mir Spaß macht.
• Weil viele Schüler diesen
Sport betreiben.
• Weil viele Schüler
Tennis im Fernsehen
betrachten.
• Weil ein Algebrasystem
zur Analyse
unverzichtbar ist.
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Historische Bemerkungen
• Jeu de Paume ist der
Vorgänger von Tennis,
Badminton und Squash
• seit dem 13. Jahrhundert
• ursprünglich im Freien
• vom 14. Jahrhundert an
in Ballhäusern
Italienisches Gemälde (Anonymus, 1570/80).
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Historische Bemerkungen
Ballhaus in Tübingen (1610)
• Jakob Bernoulli:
Bei Glücksspielen kann man Gewinnhoffnungen aus den
günstigen und ungünstigen Fällen berechnen.
Aber auch bei Spielen welche von dem Verstand und der
Gewandtheit der Spieler abhängen kann man
Gewinnhoffnungen berechnen.
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Historische Bemerkungen
•Ich sehe z.B. 2 Personen Ball spielen und beobachte
sie lange Zeit; dabei nehme ich wahr, dass der eine
Spieler 200 Schläge gewinnt, während der andere nur
100 gewinnt und urteile infolgedessen, dass der erste
doppelt so gut wie der andere spielt. (Bernoulli)
Students of Leyden
University playing tennis
(1610).
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Konkrete Daten
(300 Jahre nach Bernoulli)
Alle Begegnungen von Agassi gegen Sampras
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Andre Agassi
9
Pete Sampras
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Konkrete Daten
Agassi gegen Sampras
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Konkrete Daten
Gewonnene Spiele von 1989 bis 2003
Agassi: 428
Sampras: 447
(ohne Tiebreaks)
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Konkrete Daten
Schätzwert:
P(S gewinnt ein Spiel gegen A)
=447/875 = 0,51 = 51%
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Ein Tennisspiel: Modellierung
• Spieler A gewinnt einen Ballwechsel
mit der Wahrscheinlichkeit p,
Spieler B mit q=1-p.
• p ist konstant, d.h. unabhängig vom
Zeitpunkt im Match und
unabhängig vom Aufschlag.
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Grenzen der Modellierung
• Spitzenspieler sind relativ konstant
• Hobbyspieler hängen dagegen von vielen Einflüssen ab:
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•
Kondition
Tagesform
Hustende Zuschauer
Bellende Hunde
Schreiende Kinder
Unfairer Gegner
Blendende Sonne
Zustand des Platzes
Wettkampfsituation
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Ein Tennisspiel
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Ein Tennisspiel: Simulation
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit p
gewinnt Sampras einen Ballwechsel
wenn er ein Spiel mit 51% gewinnt?
• Abschätzung durch
Simulation
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Ein Tennisspiel: Theorie
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit
eines Pfades ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs
dieses Pfades.
Beispiel
Aufschlag beim Tennis
E : Erfolg
F: Fehler
DF: Doppelfehler
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Ein Tennisspiel: Theorie
2. Pfadregel
Man erhält die
Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses, das
sich aus verschiedenen
Pfaden zusammensetzt,
indem man die Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Pfade addiert.
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P(A gewinnt das Spiel)
Weg nach
SA über:
Wahrschein
-lichkeit:
40:0
p4
40:15
4
4p q
40:30
Einstand
 5 4 2
  p q
 2
 6 3 3
  p q w
 3
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P(von E nach SA)
w=pp+pqw+qpw
w = p2 / (1 – 2pq)
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Ein Tennisspiel: Zusammenfassung
Weg über:
40:0
Wahrschein- 4
p
lichkeit:
40:15
4 p 4q
40:30
Einstand
 5 4 2
 p q
 2
 6  3 3 p2
  p q
1 − 2pq
 3
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Ein Tennisspiel
Gewinnwahrscheinlichkeit
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Ein Match
Wahrscheinlichkeit p, dass Sampras einen
Ballwechsel gegen Agassi gewinnt:
Datei
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Ein Tie-break
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Ein Match
Wahrscheinlichkeit ein Tie-break
zu gewinnen
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Ein Match
Ein einzelner Satz
27
Ein Match
Wahrscheinlichkeit einen Satz zu
gewinnen
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Ein Zweisatz-Match
29
Ein Match
Gewinnwahrscheinlichkeit
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Wahrscheinlichkeit für Sampras ein
Zweisatz-Match gegen Agassi zu
gewinnen
Datei
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Vergleich mit der Praxis
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von
Sampras über Agassi in 2 Sätzen ist:
0,54
Von 1989 bis 2003 fanden 15
Zweisatzbegegnungen statt, von
denen Sampras 8 gewann:
8/15 =
0,53
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Begegnungen über 3 Gewinnsätze
• Die Wahrscheinlichkeit für einen
Sieg von Sampras über Agassi bei 3
Gewinnsätzen ist 0,55
• Von 1989 bis 2003 fanden 18
Begegnungen über 3 Gewinnsätze
statt, von denen Sampras 11
gewann: 11/18 = 0,61
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Folgerungen
p als Variable
• In welcher Weise hängen die
Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn
von Spiel, Tie-Break, Satz und Match von
der Wahrscheinlichkeit p ab?
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Spiel-, Tie-Break-, Satz-, ZweisatzGewinn als Funktion von p
Datei
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Folgerung
Wer nur ein klein wenig besser als sein
Gegner ist, der erhält durch die Form
der Tennisspielregeln einen riesigen
Vorteil geschenkt
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Matthäus, Kap.13
Denn wer da hat,
dem wird gegeben,
dass er die Fülle
habe, wer aber
nicht hat, von dem
wird auch
genommen, was er
hat. (Vers 12)
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Übersicht
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Zufallszahlengenerator
definiert durch
• eine endliche Zustandsmenge S
• eine Funktion f:S→S
• einen Anfangszustand so (seed genannt).
Die Zufallszahlen werden durch die
Iteration si = f(si-1 ), i=1,2,3,... erzeugt.
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GLV- Zufallszahlen auf [0,1]
der Zustand si wird durch eine Funktion
g:S→]0;1[
auf eine Zahl zwischen 0 und 1 abgebildet
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Linearer Kongruenzgenerator
LKG
f(s) = (a s + c) mod m, 0 < a,c < m
S={0,1,2,...,m-1}
g(s) = s / m
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Beispiele
s0 = a = c = 7 ; m = 10
f(s) = (7 s + 7) mod 10 ergibt
7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, ...
f(s)= ( s + 3 ) mod 10 mit s0=0, liefert
0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, 3 (max. Periode)
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Maximale Periodenlänge des
LKG
hinreichend und notwendig sind:
• c und m sind teilerfremd.
• a-1 ist Vielfaches von p, für jeden
Primfaktor p von m.
• a-1 ist Vielfaches von 4, falls m ein
Vielfaches von 4 ist.
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Derive Generator
f(s) = (2654435721 s +1) mod 232
Derive Datei
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Schlusswort
• Eine mathematische Aufgabe kann manchmal
genauso unterhaltsam sein wie ein
Kreuzworträtsel und angespannte geistige Arbeit
kann eine ebenso wünschenswerte Übung sein
wie ein schnelles Tennisspiel.
(Polya)
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