Grundlagen Einteilung der Dreiecke Besondere Punkte des Dreiecks

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Trigonometrie
Der Name Trigonometrie leitet sich von den griechischen Begriffen Tirgonon „Dreieck“ und
Metron „Maß“ ab. Trigonometrie ist also die Lehre vom Dreieck, d.h. die Grundaufgabe der
Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seiten, Winkel, etc.)
andere Größen zu berechnen.
Grundlagen
In einem Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben, die Seiten mit Kleinbuchstaben und
die Winkel (Innenwinkel) mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
Die Winkelsumme beträgt in einem Dreieck immer 180° (      = 180° ).
Der Umfang U eines Dreiecks ist die Summe der Seitenlängen ( U = a  b  c ).
Einteilung der Dreiecke
Es gibt
•
allgemeine Dreiecke mit den Seiten a, b und c,
•
gleichschenkelige Dreiecke, die Seiten a und b sind gleich lang,
•
gleichseitige Dreiecke, all drei Seiten sind gleich lang, daher sind auch alle drei Winkel
gleich groß (60°)
•
rechtwinkelige Dreiecke, ein Winkel des Dreiecks beträgt 90°, zwei Seiten stehen somit
senkrecht aufeinander
•
spitzwinkelige Dreiecke, alle drei Winkel des Dreiecks sind kleiner als 90°
•
stumpfwinkelige Dreiecke, ein Winkel muss ein stumpfer (> 90°) sein
Besondere Punkte des Dreiecks
In einem Dreieck gibt es vier besondere Punkte
•
der Höhenschnittpunkt H :
ist der Schnittpunkt der drei
Höhenlinien ha , hb und
hc , die vom jeweiligen
Eckpunkt
ausgehen
und
senkrecht
auf
die
gegenüberliegende
Seite
stehen.
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•
der
Umkreismittelpunkt
U : ist der Schnittpunkt der
ma ,
Seitensymmetralen
mb und mc , die durch
die jeweiligen Mittelpunkte der
Seiten gehen und im rechten
Winkel zur dazugehörigen
Seite stehen.
•
der Inkreismittelpunkt I :
ist der Schnittpunkt der
w ,
Winkelsymmetralen
w  und
w  , die vom
jeweiligen
Eckpunkt
ausgehend
den
Winkel
halbieren.
•
der Schwerlpunkt I : ist der
Schnittpunkt der drei
Schwerlinien s a , s b und
s c , die vom jeweiligen
Eckpunkt zum Mittelpunkt der
gegenüberliegenden Seite
verlaufen.
Trigonometrie
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Trigonometrie
Der Umkreismittelpunkt
H
Höhenschnittpunkt
Schwerpunkt S liegen
Geraden, der Euler-Geraden
U , der
und der
auf einer
e .
Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken
Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der euklidischen Geometrie Aussagen, anhand derer sich
einfach die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Dreiecken nachweisen lässt.
Kongruenzsatz: zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie
SSS-Satz:
in
übereinstimmen
allen
drei
Seiten
SWS-Satz: in zwei Seiten und dem von
ihnen
eingeschlossenen
Winkel
übereinstimmen
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Trigonometrie
SSW-Satz: in zwei Seiten und dem der
längeren
Seite
gegenüberliegenden
Winkel übereinstimmen
WSW-Satz: in einer Seiten und den
dieser Seite anliegenden Winkeln
übereinstimmen
Stimmen zwei Dreiecke in den drei Innenwinkeln überein, so sind sie nicht notwendigerweise
kongruent. Sie sind jedoch ähnlich.
Ähnlichkeitssätze des Dreiecks: zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn
a) sie in zwei (und damit automatisch in allen drei) Winkeln übereinstimmen.
b) Ihre Seitenlängen proportional sind, d.h.:
a
b
c
a1 : b 1 : c1 = a2 : b2 : c 2 oder 1 = 1 = 1
a2
b2
c2
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Trigonometrie
Peripher- Zentriwinkel
Umfangswinkel oder Peripherwinkel nennt man einen Winkel ∢ ACB dessen Scheitel auf dem
Umkreis des Dreiecks ABC liegt.
Ist M der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC , dann ist der Winkel ∢ A M B der
zum Winkel ∢ ACB gehörige Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.
Peripherwinkelsatz:
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)
eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie
der
zugehörige
Umfangswinkel
(Peripherwinkel)
Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken
Die Satzgruppe von Pythagoras
Satzgruppe des Pythagoras:
In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:
a2  b2
h2
a2
b2
=
=
=
=
c2
Hauptsatz
p ⋅ q Höhensatz
p ⋅ c Kathetensätze
q ⋅c
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Trigonometrie
Beweis des Hauptsatzes:
Für den Beweis des Hauptsatzes
zeichnen wir ein Quadrat, indem
wir
die
Katheten
eines
rechtwinkeligen Dreiecks ABC
um a bzw. b so wie in der
obigen
Abbildung
gezeigt,
verlängern. Damit erhalten wir ein
Quadrat mit der Seitenlänge
ab .
Die
Fläche
des
Quadrates über der Hypotenuse
c berechnet sich nun aus der
Fläche des Quadrates mit der
Seitenlänge a  b minus der
Fläche der vier Dreiecke mit den
a
b .
Kathetenlängen
und
Wir können also schreiben:
c2
=
2

a  b
− 4⋅
Fläche des großen Quadrates

a⋅b
2
=
Dreieckflächen
c2
=
=
a 2  2ab  b2 − 2ab
a2  b2
=
a2  b2
=
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Trigonometrie
Beweis des Höhensatzes:
In der obigen Abbildung drei
rechtwinkelige
Dreiecke
zu
erkennen. Ein Dreieck hat die
Seitenlängen a, b, c. Die beiden
restlichen Dreiecke haben jeweils
die Seitenlängen h, p, a und h, q, b.
Für jedes dieser Dreiecke gilt der
Hauptsatz des Pythagoras:
a2  b2
= c2
h2  p2
= a2
h 2  q2
= b2
2
2
2
2
h  p 
h q

=a
2
2
2
2h  p  q
=b
2
=
c2
=
c
2
2
Andererseits gilt c = p  q ⇒ c2 = p2  2pq  q 2
Setzen wir nun für c 2 ein, erhalten wir:
2h 2  p2  q2
2h 2
=
=
p 2  2pq  q2 | − p2 − q 2
2pq
|÷2
h2
=
pq
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Trigonometrie
Beweis der Kathetensätze:
Wegen des Hauptsatzes des Pythagoras
gilt: a2 = c 2 − b2 .
Außerdem
gilt
c = p  q ⇒ c2 = p2  2pq  q 2
. Aus dem rechtwinkeligen Dreieck mit
den Seiten h, q, b erhalten wir:
b2 = h2  q 2 . Wir setzen nun für
c 2 und h2 ein und erhalten:
a2 = c2 − b2
=
2
2
2
2
= p  2pq  q −  h  q  =
= p 2  2pq  q2 − h 2 − q2
=
2
2
= p  2pq − h
Wir nutzen nun den Höhensatz h2 = pq :
a2
=
=
=
=
p 2  2pq − h2
p 2  2pq − pq
p 2  pq
p ⋅ 
p  q
=
p ⋅c
=c
=
=
=
=
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Trigonometrie
Fläche im rechtwinkeligen Dreieck
Die Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks
errechnet sich über die beiden Katheten
a und b oder über die Hypotenuse
c und der Höhe h :
A=
1
 a⋅ b  = 1 ⋅  c ⋅h 
2
2
Umkreisradius des rechtwinkeligen Dreiecks
Der Umkreisradius R errechnet sich
mit Hilfe des Hauptsatzes
des
Pythagoras aus dem rechtwinkeligen
a
Dreieck mit den Seitenlängen
,
2
b
und R :
2
R
=
=
=
=
=
 
a
2



2
2
=
2
a
b

4
4
2
a  b2
4
2
c
4
c
2
2

b

2
=
=
=
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Trigonometrie
Inkreisradius
Der Inkreisradius kann aus den
Dreiecken BCI , CAI und ABI
bestimmt werden. Wir berechnen die
Fläche jedes dieser Dreiecke und
verwenden dazu die Flächenformel für
das Dreieck:
A =
a ⋅h a
b ⋅h b
c ⋅ hc
=
=
2
2
2
Der Inkreisradius stellt für jedes der
Dreiecke BCI , CAI und ABI die
Höhe dar. Damit erhalten wir für deren
Flächen:
a ⋅r
A BCI =
2
b ⋅r
ACAI =
2
c⋅r
A ABI =
2
Summiert man die Flächen der Dreiecke
des Dreiecks ABC :
A
=
=
=
BCI , CAI und
A BCI  A CAI  A ABI
a ⋅r
b⋅ r c ⋅r


2
2
2
r
⋅ a  b  c 
2
ABI erhält man die Gesamtfläche
=
=
Durch Umformung dieses Ausdrucks erhält man:
r=
2A
a bc
Festlegung von Winkeln durch rechtwinkelige Dreiecke
In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Längenverhältnisse der drei Seiten nur vom Maß der
beiden spitzen Winkel  und  abhängig. Aus dem Umstand, dass    = 90 ° ist folgt,
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Trigonometrie
dass durch einen der beiden spitzen Winkel bereits der andere Winkel festgelegt wird. Damit
hängen die Längenverhältnisse in einem rechtwinkeligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden
spitzen Winkel ab. Deshalb definiert man die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden
spitzen Winkel:
Sinus eines Winkels:
sin  =
Gegenkathete
Hypothenuse
Kosinus eines Winkels:
cos  =
Ankathete
Hypothenuse
Tangens eines Winkels:
tan  =
Gegenkathete
Ankathete
Winkelfunktionen und Kreisfunktionen
Zu einem bestimmten Winkel
gibt es unendlich viele rechtwinkelige Dreiecke ABC, deren
Gegenkathete
Ankathete
Seiten alle in den selben Verhältnissen sin  =
, cos  =
und
Hypothenuse
Hypothenuse
Gegenkathete
tan  =
stehen, d.h. durch den Winkel  sind die Seitenverhältnisse dieser
Ankathete
Dreiecke eindeutig festgelegt. Betrachtet man nun den Winkel  als unabhängige Variable und
die Werte der jeweiligen Seitenverhältnisse als abhängige Variable, dann erhält man die
sogenannten trigonometrischen Funktionen oder die Winkelfunktionen.

Fasst man nun umgekehrt die Werte der Seitenverhältnisse als unabhängige Variablen auf und den
zugehörigen Winkel  als abhängige Variable auf, so nennt man die so entstehenden Funktionen
zyklometrische Funktionen oder Kreisfunktionen.
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Trigonometrie
Winkelfunktionen
Kreisfunktionen
Sinus:
sin  =
Gegenkathete
Hypotenuse
Arcus-Sinus:
Cosinus:
cos  =
Ankathete
Hypotenuse
Arcus-Cosinus:
Tangens:
tan  =
Gegenkathete
Ankathete
Arcus-Tangens:
Cotangens:
cot  =
Ankathete
Gegenkathete
Arcus-Cotangens:
Secans:
sec  =
Hypotenuse
Ankathete
Arcus-Secans:
Cosecans:
cosec  =
Hypotenuse
Gegenkathete
Arcus-Cosecans:
 = arcsin
Gegenkathete
Hypotenuse
 = arccos
Ankathete
Hypotenuse
 = arcsin
Gegenkathete
Ankathete
 = arccot
Ankathete
Gegenkathete
 = arcsec
Hypotenuse
Ankathete
 = arccosec
Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen
Trigonometrische Grundbeziehungen:
1.) sin2   cos 2  = 1
sin 
= tan 
cos 
2.)
Beweis:
Es bezeichne G die Gegenkathete, A die Ankathete und H die Hypotenuse.
ad 1)
Aus den Definitionen sin  =
A
G
und cos  =
erhalten wir:
H
H
2
2
sin   cos  =
2
=H
A

H
=
=
=
2

G A
2
=
2
   
G
H
2
H2
H2
H2
1
=
=
Hypotenuse
Gegenkathete
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Trigonometrie
ad 2)
Aus den Definitionen sin  =
A
G
G
, cos  =
und tan  =
erhalten wir:
H
H
A
sin 
cos 
G
H
A
H
=
=
=
=
G H
⋅
H A
G
A
tan 
=
=
=
Umrechnungstabelle für Winkelfunktionen:
sin 
cos 
tan 
sin 
1
1 − cos2 
tan 
1  tan2 
cos 
1 − sin2 
1
1
1  tan2 
tan 
sin 
1 − sin 2 
1 − cos 2 
1
cos 
Zusammenhänge zwischen Winkel- und Kreisfunktionen
Arcustangensregel:
1.) arcsin y = arctan
y
1 − y 2
1 − y2
2.) arccos y = arctan 
y
Spezielle Werte der Winkelfunktionen
sin 
0°
30°
45°
60°
90°
0 = 0
1 = 1
2 = 1
2
2
3
4 = 1
2
2
2
2
2
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Trigonometrie
cos 
4 = 1
3
tan 
0
1
3
2
2
2 = 1
2
2
1 = 1
0 = 0
1
3
∞
2
2
2
Komplementärwinkelsatz
Komplementärwinkelsatz: Der Wert einer Winkelfunktion eines Winkels 
ist gleich dem Wert der Co-Funktion für den komplementären Winkel
90 ° − 
1.) sin 90° −  = cos 
cos 90 ° −   = sin 
 ∈ [ 0° , 90 ° ]
2.) tan 90 ° −  = cot 
cot 90 ° −  = tan 
 ∈ [ 0° , 90 ° ]
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Trigonometrie
Berechnungen in beliebigen Dreiecken
Die trigonometrische Flächeninhaltsformel für Dreiecke
Das Dreieck ABC lässt sich, wie in der
Abbildung gezeigt zu einem Rechteck
vervollständigen. Die Fläche des
Dreiecks entspricht dann der halben
Fläche des Rechtecks:
A=
c ⋅h c
2
Die Höhe hc ist eine Kathete im rechtwinkeligen Dreieck APC und errechnet sich aus:
sin  =
hc
b
⇒
h c = b ⋅sin 
Setzen wir nun für hc in die Flächenformel ein, erhalten wir:
A=
c ⋅h c
b⋅ c
=
⋅sin 
2
2
Auf die gleiche Weise lassen sich die folgenden Beziehungen zeigen:
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A=
Trigonometrie
a⋅ ha
2
sin  =
ha
c
⇒
ha = c ⋅ sin 
A=
a⋅ ha
a⋅ c
=
⋅ sin 
2
2
A=
b⋅ hb
2
sin  =
A=
ha
b
⇒
ha = b ⋅sin 
a⋅ ha
a⋅ b
=
⋅sin 
2
2
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Trigonometrie
Der Sinussatz
hc
Die Höhe
teilt das Dreieck
ABC
in
zwei
rechtwinkelige
APC und
PBC . Die
Dreiecke
Höhe hc lässt sich über die Winkel
 und  wie folgt berechnen:
sin 
=
sin 
=
hc
b
hc
a
⇒
hc
=
b⋅ sin 
⇒
hc
=
a ⋅sin 
a ⋅sin 
a
⋅ sin 
sin 
a
sin 
=
b ⋅sin  | ÷ sin 
=
b
=
b
sin 
| ÷ sin 
Unter Verwendung der Höhe ha lässt sich die Gültigkeit von
b
c
=
sin 
sin 
zeigen. Damit gilt der Sinussatz in der allgemeinen Form:
a
b
c
=
=
sin 
sin 
sin 
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Trigonometrie
Der Cosinussatz
Im Dreieck ABC werden durch die
Höhe hc die beiden rechtwinkeligen
Dreiecke APC und PBC gebildet.
Für den Winkel  gelten die folgenden
Zusammenhänge:
sin 
=
cos 
=
hc
b
u
b
⇒
hc
=
b ⋅sin 
⇒
u
=
b ⋅cos 
Für das Dreieck PBC gilt der Zusammenhang:
a2
=
=
=
=
=
h2c   c − u 
2
2
=
2
2
b ⋅ sin    c − b⋅ cos  
b2 ⋅ sin2   c 2 − 2bc⋅ cos   b2 ⋅cos 2 
b2 ⋅ 
sin2   cos2   c 2 − 2bc⋅ cos 

2
=1

=
=
=
2
b  c − 2bc ⋅cos 
Auf gleiche Weise lassen sich unter Verwendung der Höhen
Aussagen des Cosinussatzes ableiten. Zusammenfassend gilt:
a2
b2
c2
=
=
=
ha
und
hb
die restlichen
b2  c 2 − 2bc ⋅ cos 
a2  c 2 − 2ac ⋅ cos 
a2  b2 − 2ab⋅ cos 
Trigonometrische Monotoniesatz
Trigonometrischer Monotoniesatz: In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der
größten Seite, der kleinste Winkel der kleinsten Seite gegenüber. D.h.:
a≤b≤ c
⇔
 ≤ ≤ 
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Trigonometrie
Additionstheoreme
sin      = sin ⋅cos   cos ⋅sin 
cos      = cos  ⋅cos  − sin  ⋅sin 
sin   −   = sin ⋅cos  − cos ⋅ sin 
cos   −   = cos  ⋅cos   sin  ⋅sin 
tan 2  =
cos
2
sin2
2 tan 
1 − tan2 
 1  cos 
=
2
2
 1 − cos 
=
2
2
sin   sin  = 2⋅sin

 −
⋅cos
2
2
tan      =
tan   tan 
1 − tan ⋅ tan 
cos   cos  = 2 ⋅cos
tan   −   =
tan  − tan 
1  tan ⋅ tan 
sin  − sin  = 2⋅cos
 
 −
⋅sin
2
2
cos  − cos  = 2 ⋅sin

−
⋅ sin
2
2
sin 2  = 2 ⋅sin ⋅ cos 
2
2
cos2  = cos  − sin 
 
−
⋅cos
2
2