Dawoon: Exponentialverteilung Jonas: Geometrische Verteilung I

Dawoon:
Exponentialverteilung
1. Stellen Sie die Exponentialverteilung, ihre Dichtefunktion, den Erwartungswert und die Varianz vor!
2. Für Leuchtmittel werden in der Regel Brenndauern angegeben. Ein Hersteller gibt an, dass die von ihm
eingeführte Halogenleuchte mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 200 Stunden brennt.
(a) Erläutern Sie, weshalb es sinnvoll ist für die Brenndauer eine Exponentialverteilung anzunehmen!
(b) Wie groÿ ist die mittlere Brenndauer der Halogenleuchte?
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der sie auch nach 500 Stunden noch brennt!
(d) Wie lange kann die Halogenleuchte in 95% der Fälle genutzt werden?
Jonas:
Geometrische Verteilung I
1. Erläutern Sie die geometrische Verteilung vor dem Hintergrund des Wartens auf den ersten Erfolg! Stellen
Sie auch die Berechnung des Erwartungswerts einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen dar!
2. 43% aller Deutschen haben Blutgruppe A. Nacheinander kommen Personen zufällig zur Blutspende im
Universitätsklinikum der CAU.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Blutgruppe A
(1) der erste Spender,
(2) erst der dritte Spender,
(3) est der fünfte Spender?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat spätestens der 6. Spender Blutgruppe A?
Isabell:
Geometrische Verteilung II
1. Erläutern Sie die geometrische Verteilung vor dem Hintergrund des Wartens auf den ersten Erfolg! Stellen
Sie auch die Berechnung des Erwartungswerts einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen dar!
2. Gehen Sie in einem einfachen Modell davon aus, dass eine zwei Jahre alte Halogenlampe mit einer
Wahrscheinlichkeit von p = 0, 25 im nächsten Monat kaputt geht. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die Halogenlampe noch 1, 2, 3, . . . Monate funktioniert, mit Hilfe einer Tabellenkalkulation
graphisch dar!
3. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der geometrischen Verteilung und der sogenannten WeibullVerteilung!
Torben:
Der Exakte Test von Fisher I
1. Erläutern Sie das Verfahren des exakten Test von Fisher!
2. In einem Universitätskrankenhaus wurden 64 schwangeren Frauen, die unter Neurodermitis litten, täglich
zwei Kapseln Milchsäurebakterien verabreicht; eine Vergleichsgruppe von 68 anderen Schwangeren, die an
Neurodermitis litten, erhielt ein Keimfreies Scheinpräparat. Zwei Jahre nach der Geburt litten 31 Kinder
der zum Schein behandelten Mütter unter Neurodermitis, jedoch nur 15 Kinder der mit Milchsäurebakterien behandelten Mütter.
Beurteilen Sie die Testergebnisse mit Hilfe des Exakten Tests von Fisher!
Flitz:
Der Exakte Test von Fisher II
1. Erläutern Sie das Verfahren des exakten Test von Fisher!
2.
ährend einer Computer-Messe in Kiel wurden die Vertreter kleinerer Unternehmen befragt, ob sich die
Geschäftssituation in Kiel für sie verbessert hat. Dabei unterschieden sich die Antworten, je nachdem, ob
die Firmen ihren Sitz in Kiel haben oder nicht.
W
Verschlechterung
Verbesserung
Summe
1
4
5
Firmensitz auÿerhalb Kiels
5
1
6
6
5
11
Prüfen sie, ob die Unterschiede in den Antworten zufällig sind oder nicht!
Firmensitz Kiel
Philipp:
Poisson-Verteilung
1. Geben Sie die Denition der Poisson-Verteilung an und erläutern sie diese!
2. Man beobachtet pro Jahr im Mittel ein Erdbeben der Mindeststärke 8 auf der Richter-Skala. Nehmen Sie
an, dass die Anzahl solcher Erdbeben pro Jahr näherungsweise poissonverteiilt ist und die entsprechenden
Anzahlen in unterschiedlichen Jahren stochastisch unabhängig sind.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im nächsten Jahr mehr als ein solches Erdbeben
gibt!
(b) Welche Verteilung besitzt die Anzahl X derjenigen unter den nächsten 100 Jahren, in denen mehr als
zwei solcher Erdbeben stattnden?
Anna Clara
Stochastische Matrizen I
1. Erläutern Sie den Begri der stochastischen Matrix anhand eines selbstgewählten Beispiels!
2. In einem Land hat man folgende Beobachtung bzgl. des Wetters gemacht: Auf einen Tag ohne Niederschlag
folgt in 70% der Fälle wieder ein Tag ohne Niederschlag. Auf einen Tag mit niederschlag folgt in 50% der
Fälle wieder ein Tag mit Niederschlag.
(a) Bestimmen Sie die zugehörige Übergangsmatrix!
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es übermorgen Niederschlag gibt, wenn es heute
Niederschlag gibt?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es am 5. Tag keine Niederschläge, wenn es heute regnet?
Nikolas:
Stochastische Matrizen II
1. Erläutern Sie den Begri der stochastischen Matrix anhand eines selbstgewählten Beispiels!
2. In einem Stadtteil konkurrieren zwei Fitness-Studios (A und B), die beide 1-Jahres-Abos verkaufen. Nun
wird der Wechsel der Kunden von einem zum anderen Studio untersucht. 10% der Kunden wechselt jeweils
zum Jahresende von Studio A zu Studio B, während 30% von Studio B zu Studio A wechseln. Die Kunden,
die kein Anschlussabo erstehen und diejenigen, die neu hinzu kommen, halten sich in beiden Studios die
Waage. Untersuchen Sie die Entwicklung der Kundenzahl in beiden Fitness-Studios!
Shaban:
Stochastische Matrizen III
1. Erläutern Sie den Begri der stochastischen Matrix anhand eines selbstgewählten Beispiels!
2. Ein Autovermieter hat Niederlassungen in den Städten A, B und C. Gemietete Autos können ohne Aufpreis
bei einer der drei Niederlassungen wieder abgegeben werden. Der Vermieter macht folgende Beobachtungen:
80% der Fahrzeuge, die am Morgen in Niederlassung A stehen, stehen dort auch am nächsten Morgen
wieder. Nach Niederlassung B kehren 60% der Fahrzeuge zurück; je 20% wechseln nach A bzw. C. Von
Niederlassung C wechseln 20% nach Niederlassung A und 10% nach Niederlassung B.
(a) Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm!
(b) Bestimmen sie die Übergangsmatrix!
(c) Berechnen Sie, wie sich die Verteilung der Fahrzeuge entwickelt, wenn der Vermieter nicht eingreift!
Gehen Sie von einer Gleichverteilung zu Beginn des Beobachtungszeitraums aus!