Zufallsvariablen recap
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Zufallsvariablen rekapituliert Wolfgang Konen TH Köln, Campus Gummersbach April 2016 Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 1 / 11 1 Einleitung 2 Zufallsvariablen 3 Linearität und Varianz 4 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 2 / 11 Einleitung Einleitung Kombinatorik: muss Wahrscheinlichkeit P für jedes Ereignis neu rechnen z.B. 6 Richtige, 5 Richtige, 4 . . . im Lotto → mühsam Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 3 / 11 Einleitung Einleitung Kombinatorik: muss Wahrscheinlichkeit P für jedes Ereignis neu rechnen z.B. 6 Richtige, 5 Richtige, 4 . . . im Lotto → mühsam Zufallsvariablen: Über viele Ereignisse gemeinsam nachdenken Voraussetzung: Es gibt einen Zahlenwert, den man jedem Ereignis zuordnen kann z.B. xm = 6, 5, 4, . . . beim Lotto → einfacher zu rechnen → geht auch für unendlich viele xm (Z: abzählbar oder R: überabzählbar viele) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 3 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 4 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig (o.B.d.A. xm ∈ Z) (xm ∈ R) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 4 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig (o.B.d.A. xm ∈ Z) (xm ∈ R) wm = P(X = xm ) w (t)∆t = = P(xm−1 < X ≤ xm ) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen P(t − ∆t < X ≤ t) April 2016 4 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig (o.B.d.A. xm ∈ Z) (xm ∈ R) wm = P(X = xm ) w (t)∆t = = P(xm−1 < X ≤ xm ) ∞ X wm = 1 (1) m=−∞ P(t − ∆t < X ≤ t) lim X ∆t→0 Z w (t)∆t = t ∞ w (t)dt = 1 (2) −∞ Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 4 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 5 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig Verteilungsfunktion F Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 5 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (xm ) = P(X ≤ xm ) m X = F (t) = P(X ≤ t) Z t wm 0 (3) m=−∞ Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen = w (t 0 )dt 0 (4) −∞ April 2016 5 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (xm ) = P(X ≤ xm ) m X = F (t) = P(X ≤ t) Z t wm 0 (3) m=−∞ = w (t 0 )dt 0 (4) −∞ Erwartungswert E (X ) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 5 / 11 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω → R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (xm ) = P(X ≤ xm ) m X = F (t) = P(X ≤ t) Z t wm 0 w (t 0 )dt 0 = (3) (4) −∞ m=−∞ Erwartungswert E (X ) E (X ) = ∞ X Z ∞ xm wm (5) m=−∞ Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen E (X ) = t w (t)dt (6) −∞ April 2016 5 / 11 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E (X ). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 6 / 11 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E (X ). P Der diskrete Erwartungswert E (X ) = m xm wm nach Gl. (5) wichtet jeden Wert xm von X mit seiner Wahrscheinlichkeit wm . Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 6 / 11 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E (X ). P Der diskrete Erwartungswert E (X ) = m xm wm nach Gl. (5) wichtet jeden Wert xm von X mit seiner Wahrscheinlichkeit wm . Beispiel: Hat X die Werte xm = 0 und 10 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 95% und P(X = 10) = 5%, so ist der Erwartungswert E (X ) = 0 · 95% + 10 · 5% = 0.5 BEACHTE: Auch wenn alle xm ∈ Z, so ist i.allg. E (X ) ∈ / Z. Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 6 / 11 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E (X ). P Der diskrete Erwartungswert E (X ) = m xm wm nach Gl. (5) wichtet jeden Wert xm von X mit seiner Wahrscheinlichkeit wm . Beispiel: Hat X die Werte xm = 0 und 10 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 95% und P(X = 10) = 5%, so ist der Erwartungswert E (X ) = 0 · 95% + 10 · 5% = 0.5 BEACHTE: Auch wenn alle xm ∈ Z, so ist i.allg. E (X ) ∈ / Z. Der stetige Erwartungswert nach Gl. (6) benutzt das Integral, das der Grenzwert einer Summe mit ∆t → 0 ist (siehe Gl. (2)). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 6 / 11 Linearität und Varianz Linearität Erwartungswert Folgende Sätze und Definitionen gelten gleichartig für diskrete und stetige Zufallsvariablen: Satz 10-6 Linearität Erwartungswert Seien X , Y Zufallsvariablen und a, b ∈ R. Dann gilt: 1 E (aX + b) = aE (X ) + b 2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) Beweis diskret Beweis stetig Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 7 / 11 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def 10-15 Hat X den Erwartungswert E (X ) = µ so ist die Varianz von X : σ 2 = Var (X ) = E (X − µ)2 Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen p Var (X ). April 2016 8 / 11 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def 10-15 Hat X den Erwartungswert E (X ) = µ so ist die Varianz von X : σ 2 = Var (X ) = E (X − µ)2 Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = p Var (X ). Die Varianz gibt an, wie sehr die Ergebnisse für X um den Wert E (X ) herum streuen: gar nicht (Varianz Null), wenig (Varianz klein) oder viel (Varianz groß). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 8 / 11 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def 10-15 Hat X den Erwartungswert E (X ) = µ so ist die Varianz von X : σ 2 = Var (X ) = E (X − µ)2 Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = p Var (X ). Die Varianz gibt an, wie sehr die Ergebnisse für X um den Wert E (X ) herum streuen: gar nicht (Varianz Null), wenig (Varianz klein) oder viel (Varianz groß). diskret Var (X ) = ∞ X stetig Z ∞ 2 (xm − µ) wm Var (X ) = m=−∞ Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen (t − µ)2 w (t)dt −∞ April 2016 8 / 11 Anhang Anhang Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 9 / 11 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Seien X , Y diskrete Zufallsvariablen mit Werten xm , yn und (X ) (Y ) Wahrscheinlichkeiten wm , wn : 1 E (aX + b) = X (X ) (axm + b)wm m ! = a X (X ) xm wm m ! +b X (X ) wm m = aE (X ) + b Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 10 / 11 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Seien X , Y diskrete Zufallsvariablen mit Werten xm , yn und (X ) (Y ) Wahrscheinlichkeiten wm , wn : X E (aX + b) = 1 (X ) (axm + b)wm m ! = a X (X ) xm wm ! +b m X (X ) wm m = aE (X ) + b 2 E (X + Y ) = XX n (X ) (Y ) (xm + yn )wm wn m ! = X m (X ) xm wm ! X wn(Y ) n ! + X m (X ) wm ! X yn wn(Y ) n = E (X ) · 1 + 1 · E (Y ) Zurück Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 10 / 11 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Seien X , Y stetige Zufallsvariablen mit Werten t, u und Wahrscheinlichkeiten wX (t), wY (u): 1 . . . (als Übung) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 11 / 11 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Seien X , Y stetige Zufallsvariablen mit Werten t, u und Wahrscheinlichkeiten wX (t), wY (u): 1 2 . . . (als Übung) E (X + Y ) Z∞ Z∞ = (t + u)wX (t)wY (u)dtdu −∞ −∞ ∞ Z = ∞ ∞ ∞ Z Z Z twX (t) wY (u) + wX (t) uwY (u) −∞ −∞ −∞ −∞ = E (X ) · 1 + 1 · E (Y ) Zurück Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 11 / 11
