Diploma 4 - Relativityhair

4.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
nach Padmanabhan:
Seien q1,...,qN N Gausssche Zufallsfelder mit Mittelwert 0 und einer Korrelationsfunktion
<qiqj> = Fij (die qi sind keine unabhängigen Zufallsvariablen).
P[q1,...,qN] ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese Zufallsvariablen simultan die Werte
{q1,...,qN} annehmen.
1
1 T 1
Dann gilt P[q1,...,qN] =
q F q)
N /2
1/ 2 exp( 
( 2 ) (det F )
2
mit q = (q1,...,qN), dabei ist F-1 die inverse Matrix der Korrelationsmatrix F, F = (Fij)
Für eine Zufallsvariable q mit der Dichtefunktion fq und der Verteilungsfunktion F
ist der Erwartungswert <q> definiert als
 q   xdF ( x )   x f q ( x )d 3x
Die Korrelationskoeffizienten der normalisierten Zufallsvariablen qi, qj sind definiert als
<(qi - <qi>)(qj - <qj>)> = <qiqj> mit qi = qi - <qi> and qj = qj - <qj>
Varianz: V(qi) = <(qi - <qi>)2> Standardabweichung: (qi) = V ( qi )
Diese Definition einer n - dimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung findet man auch im
Bronnstein, sie hat also noch keine spezifische astrophysikalische Bedeutung, die erhält man
durch geeignete Definition der Zufallsfelder und Korrelationsfunktionen.
4.1
Spezialisierungen
In dieser Arbeit wird eine zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt
 11
Die Korrelationsmatrix Fik hat dann die Gestalt F  
 21
mit i = <12> => detF = 1 - i2
12   1

22   i
i 

1
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung P[1,2] nimmt die Form an:
1
1 T 1
P[1,2] =
q F q ) mit qT = (1,2),
1/ 2 exp( 
( 2 )(det F )
2
F-1 inverse Matrix zur Korrelationsmatrix F
1
1 12  212 i  22
Sei Q = q T F 1q , dann folgt Q = Q(1 , 2 ) 
2
1  i2
2
Bedingte Wahrscheinlichkeit : die bedingte Wahrscheinlichkeit P(2 | 1) ist
P(1 , 2 )
P(1 , 2 )
d1
folgendermaßen definiert: P(2 |1 ) 
bzw. P(2 |1 )d1 
P(1 )
P(1 )
Um den Größen i eine astrophysikalische (kosmologische) Bedeutung geben zu können,
müssen zunächst einige Überlegungen über das Energiespektrum der
1
Dichtefluktuationen angestellt werden. Die i ergeben sich dann als Standard
normalverteilte Zufallsvariable.
5.
Das Energiespektrum der Dichtefluktuationen
5.1
Überblick
In dieser Arbeit wird eine initiale Dichteverteilung mit statistischen Methoden berechnet.
Daher ist zunächst zu definieren, was unter einer Dichtefluktuation zu verstehen ist.
Unter einer Dichtefluktuation zum Zeitpunkt t wird folgende Größe verstanden:
 ( x, t )  b ( t )
 ( x, t ) 
b ( t )
dabei bezeichnet (x,t) die Massendichte einer Massenverteilung zum Zeitpunkt t und b(t)
die Hintergrunddichte zum Zeitpunkt t, hinsichtlich der diese Massenverteilung betrachtet
wird. In der Regel wird unter Hintergrunddichte die mittlere Massendichte des Universums
zur Zeit t verstanden. Man kann die angegebene Gleichung folgendermaßen umschreiben:
(x,t) = b(1 + (x,t))
Die Dichtefluktuation (x,t) läßt sich als Integral über ihre Fouriertransformierte
darstellen:
 ( x, t )   d 3 ke ikx ( k , t )
3
Warum, bzw. unter welchen Bedingungen eine solche Zerlegung existiert, wird in Anhang A
beschrieben.
Wesentlich für das weitere Vorgehen ist der Begriff des Potenzspektrums
(engl. power spectrum). Das Potenzspektrum ist folgendermaßen definiert:
P( k , t )   ( k , t )
2
Die Klammern < > bezeichnen den Erwartungswert der darin eingeschlossenen Größe.
Erwartungswerte werden hinsichtlich geeigneter Zufallsvariablen berechnet, in diesem Sinne
wird (x,t) als Gaussverteilte Zufallsvariable vorausgesetzt.
Unter Verwendung der Eigenschaften von Fouriertransformierten kann man zeigen:
<|(k,t)|2> = <(x,t)2>
(vgl. Anhang A)
(x,t) bezeichnet eine reelle Größe, während (k,t) als Fouriertransformierte komplexwertig ist
Das Potenzspektrum ist damit der Erwartungswert des Quadrates der
Dichtefluktuation.
Die mittlere Dichtefluktuation Fs innerhalb eines Volumens V wird folgendermaßen
berechnet:
1
Fs :   d 3 x
V V
Über den Begriff des Potenzspektrums wird die Standdardabweichung  definiert:
2
 := <FsFs> . Die Definition und Bedeutung der Klammern < > ist kontextabhängig, an dieser
Stelle ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen Fs2 gemeint. Die konkrete
Berechnungsvorschrift für  wird weiter unten angegeben.
Fs wird als Gaussverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 vorausgesetzt. Mit
dieser Definition kann man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable s definieren:
F
s := s . Die Interpretation von < > als lineares Funktional liefert dann

<ss> = 1
Benötigt werden darüberhinaus Korrelationsfunktionen, die es ermöglichen, bedingte
Wahrscheinlichkeiten von Massenverteilungen zu berechnen, sowie Korrelationsfunktionen,
die Aussagen über Strukturbildung ermöglichen.
Um dies zu ermöglichen, wird zunächst noch einmal präzisiert, was unter einer mittleren
Dichtefluktuation zu verstehen ist.
Nach Padmanabhan wird die mittlere Dichtefluktuation m am Ort x folgendermaßen
definiert:
m( x )    ( x  y )W ( x )d 3 y
W(x) beschränkt den wesentlichen Beitrag zur Integration auf einen endlichen Bereich
um x herum.
W(x) wird auch als Fensterfunktion bezeichnet, sie sichert die Existenz des Integrals.
Bei geeigneter Wahl der Fensterfunktion reduziert sich die Integration auf ein endliches
Volumen V.
m entspricht der bereits eingeführten Größe Fs. Für Fensterfunktion wird i.A. per Definition
festgesetzt:  W ( x )d 3 x  1 => m ist ein Mittelwert:
3
  ( x  y )W ( y )d
m( x ) 
3
 W ( y )d
3
3
y
y
3
Interpretiert man W als Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (z.B.
Gaussverteilte Fensterfunktion), und  als Zufallsvariable hinsichtlich dieser Verteilung, so ist
m gleichzeitig der Erwartungswert der Zufallsvariablen .
Die 2 Punkte Korrelationsfunktion  für die Variable m(x) ist folgendermaßen definiert:
2
 R ( x ):  m( x  y )m( y ) :   d 3k PkWk eikx
R ist ein Parameter, der in die Definition von Wk eingeht, Wk ist die Fouriertransformierte
einer Fensterfunktion. R wird auch als Skalierungsfaktor bezeichnet, die Größe schränkt
den Bereich ein, der einen wesentlichen Beitrag für das Integral liefert.
Pk ist des Potenzspektrum (power spectrum) [Padmanabhan S. 193]
3
Die 2 Punkte Korrelationsfunktion ist hiernach die Fouriertransformierte des
Potenzspektrums. Das Potenzspektrum wurde weiter oben bereits eingeführt.
Die Klammer < > ist über das Potenzspektrum definiert. Wk ist eine Fensterfunktion, die die
Existenz des Integrals garantiert.
2
Es folgt <m(x)2> = R(0) =  d 3 k PkWk
Zur Motivation für diese Arten der Begriffsbildung wird i.A. die Fourierzerlegung von  :
(x) =   ( k )e ikx d 3 k angegeben. Hieraus folgert man <2> =   k d 3 k
(k := (k)) und man kann Pk mit |k|2 identifizieren. In Anhang A wird gezeigt, unter
welchen Bedingungen von der Existenz der Integrale ausgegangen werden kann. Für
komplexwertige Funktionen f, g ist die Klammer < > in diesem Zusammenhang definiert als
<f,g> =  f ( x )  g * ( x )d 3 x
2
Die Standardabweichung  ist bzgl. m(x) formal definiert als  := (<m(x)2> - <m(x)>2)1/2
 reduziert sich zu  = (<m(x)2>)1/2 falls gilt : <m(x)> = 0.
Das ist im Einklang mit der weiter oben bereits angegebenen Definition für , falls man Fs mit
m(x) identifiziert und <Fs> = 0 annimmt.
In dieser Arbeit übernimmt die mittlere Dichtefluktuation Fs die Rolle von m(x).
1
Um auf die übliche Definition von  zu kommen benötigt man den Faktor
:
( 2 )3
1
2 ikx
3
 R (x) 
3  d k PkWk e
( 2 )
Unter Voraussetzung der Kugelsymmetrie ersetzt man formal die Integrationsvariable d3k
durch 4 k2 dk und den Parameter k durch |k|. Es folgt dann
 R ( 0) 
5.2
1
2
2


0
| PkWk |2 k 2 dk
Standardabweichung 
Unter 2 versteht man die Größe
2 
1
2
 P( k , t )W

2
0
2
( k  R)k 2 dk
mit der Fensterfuntion W(x) und dem Potenzspektrum P(k,t).
Nach dem Vorangehenden entspricht 2 die Größe <FsFs> = <Fs2>.
 wird allgemein als Standardabweichung bezeichnet. Der in der Definition vorkommende
Radius R wird als mitbewegt vorausgesetzt.
Im folgenden Abschnitt wird eine spezielle Fensterfunktion eingeführt, die Top Hat
Fensterfunktion und ihre Fouriertransformierte.
4
Die Fouriertransformierte der Top Hat Fensterfunktion wird in der Definition
von  verwendet.
5.3
Die "Top Hat" Fensterfunktion und ihre Fouriertransformierte
Definition
Für eine Kugel mit Radius r ist die Top Hat Fensterfunktion
 1, s  r
4
dabei ist V    r 3 das Kugelvolumen
( s ):  
3
 0, s  r
Definition
Die Fouriertransformierte der Top Hat Fensterfunktion ist folgendermaßen definiert:
1
 d 3s( s)eiks mit s = |s| und k = |k|
V V
Die Integration von - bis + reduziert sich auf das Kugelvolumen,
da nur für s  3 mit |s|  r (s) von Null verschieden ist.
W ( k ): 
d
W (k ) 
V
r
3
d
3
x
2
1
 r dr  d (cos  )  d  e
x(| x| )e  i kx
2

1
0
 ikr cos
0
4 3
r
3
V
2 r 2 1

r dr  d (cos  ) cos kr cos   i sin kr cos  
4 3 0
1
r
3
r
3 r 2  sin kr 
r sin kr
  3
 3  r dr
dr
es gilt (sinx - xcosx)' = xsinx
 kr 
r 0
k
0
r
=>
3
0
r
 sin kr - kr cos kr 
r sin kr
rk  sin kr
dr = 3
dr = 3
2
k
k
k3
0
zusammen ergibt sich:
d
3
x(| x| )e  ikx
d
3
x
3
W(x) := 3
 sin kr - kr cos kr 
 kr  3
sin x  x cos x
x3
x
W(x) ist die Fouriertransformierte von (s)
Man benötigt diese Darstellung für W in der Berechnungsformel für .
5.4
Die 2 Punkte Korrelationsfunktion
Die Korrelationsfunktion (x,t) ist die Fouriertransformierte von P(k,t).
5
 ( x, t ) 
Behauptung: für |x| = r gilt  ( r ) 
Beweis:
 ( x )   d 3 kP( k , t )e i kx
( 2 )
3
2
ikx
d 3k
3

1
2
 P( k , t )e
1
 dk k
2
P( k , t )
0
sin kr
kr
ei - e-i
= (cos + isin) - (cos - isin)
= 2isin
d 3 k  k 2 dk sin   d  d  k 2 dk  d (cos  )  d
substituiere das Integral nach  durch d(cos )
  0  cos   1  = 2 => cos = -1
1
für x  r

e
1
 2

ikr cos
d (cos  )  d  2  e
 e ikry 
dy  2 

 ikr 1
1
1
ikry
1
2 ( 2i sin kr )
sin kr
 4
ikr
kr

1
sin kr
2
 (r) =
2  dk k P( k , t )
2 0
kr
e
ikr
e
ikr
 ikr

6
1

sin( kR)
2 0
kR
mit dem CDM Potenzspektrum P(k,t). R ist ein mitbewegter Radius.
In /AA/ ist  folgendermaßen definiert:  ( R): 
2

P( k , t )k 2