Wahrscheinlichkeitsmaß und

Übungsmaterial
4
1
Wahrscheinlichkeitsmaÿ und Wahrscheinlichkeitsverteilung
4.1 Grundbegrie
Denition
Eine Funktion P, die jedem Ereignis
A ∈ P(Ω) eine
reelle Zahl zuordnet, heiÿt
Wahrscheinlichkeits-
maÿ, wenn folgende Eigenschaften gelten:
(P1)
P (A) ≥ 0
(Nicht-Negativität)
(P2)
P (Ω) = 1
(Normiertheit)
(P3) Für Ereignisse A, B aus
Ω
gilt:
A ∩ B = { } ⇔ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Aus diesen drei Axiomen lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über
Ω
angeben.
Denition
Eine auf dem Ereignisraum
P(Ω)
denierte Funktion
Wahrscheinlichkeitsverteilung über
Ω,
P : A 7→ P (A)
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1) Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses
0 ≤ P ({ω}) ≤ 1
für
(wobei A ein Ereignis ist) heiÿt
ω
ist eine Zahl aus
[0; 1]:
ω∈Ω
2) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1:
X
P ({ω}) = 1
ω∈Ω
3) Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0:
P ({ }) = 0
4) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner
Elementarereignisse:
P (A) =
X
p({ω})
ω∈A
Mit der Denition einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf
Es besteht aus
Ω
und P. Das Paar
(Ω; P )
heiÿt
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
1)
P (A) = 1 − P (A); P (A) = 1 − P (A)
2)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Ω hat man nun ein stochastisches Modell.
Wahrscheinlichkeitsraum.
Übungsmaterial
2
4.2 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1) Würfeln:
Ω = {ωi | i = 1, 2, ...6}
P (ωi ) = 61 für alle ωi .
2) Münzwurf:
Ω = {k, z} (Kopf P (k) = P (z) = 12
und Zahl)
3) Glücksrad:
Der Sektor S eines Glücksrades habe den Winkel
α.
Dann ist
P (S) =
α
360◦ .
4) Urne (9 Kugeln: 3 rote, 5 schwarze, 1 weiÿe):
Ω = {r, s, w}
(wenn man eine Kugel zieht)
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
ω
r
s
w
P (ω)
3
9
5
9
1
9
4.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei mehrstugen Zufallsexperimenten
Beispiel
In einer Urne benden sich 9 Kugeln: 3 rote, 5 schwarze und 1 weiÿe. Wir ziehen zweimal ohne
Zurücklegen.
Wir erstellen ein Baumdiagramm und schreiben die Wahrscheinlichkeiten an die einzelnen Äste:
2
8
rot
3
9
5
8
1
8
3
8
Start
5
9
schwarz
1
9
4
8
1
8
3
8
weiß
5
8
rot
rr
schwarz
rs
weiß
rw
rot
sr
schwarz
ss
weiß
sw
rot
wr
schwarz
ws
Die Wahrscheinlichkeiten erhalten wir, wenn wir die Wahrscheinlichktein entlang der Äste multiplizieren. Es ist beispielsweise
P (rr) =
3
9
·
2
8
=
6
72 .
Übungsmaterial
Die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist
3
ωi
rr
rs
rw
sr
ss
sw
wr
ws
P (ωi )
6
72
15
72
3
72
15
72
20
72
5
72
3
72
5
72
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis S: Die erste Kugel ist schwarz ist
P (S) =
15
72
+
20
72
+
.
5
72
=
40
72 .
Wir erkennen folgende Eigenschaften des Baumdiagramms:
1) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigunspunkt ausgehen,
ist stets 1.
2) Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstugen Zufallsexperiment ist
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Elementarereignis
führt.
(1. Pfadregel)
3) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jener
Elementarereignisse, die dieses Ereignis bilden.
(2. Pfadregel)
4.4 Aufgabe 1
1) Ein Würfel wird zweimal gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
a) A: Bei beiden Wüfen das selbe Ergebnis
b) B: Die Summe der beiden Augenzahlen beträgt 4
2) Ein Skatspiel hat 32 Karten.
a) Es wird eine Karte gezogen. Betrachtet werden die Ereignisse A: Die gezogene Karte ist
ein König und B: Die gezogene Karte ist von der Farbe
♦.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten diese Ereignisse auf ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Ereignisse
(1)
(2)
(3)
A∪B
A∪B
A∪B
auf ?
Lösung
1a)
P (A) = 6 ·
1
6
b)
B = {1+3,
2+2, 3+1}
·
1
6
=
1
6
⇒ P (B) =
3
36
=
1
12
Übungsmaterial
2a)
P (A) =
P (B) =
4
32
8
32
=
=
4
1
8 (Es gibt vier Könige in 32 Karten)
1
4 = 0, 25 = 25% (Es gibt 8 ♦-Karten in 32 Karten)
b) Die Wahrscheinlichkeiten sind:
(1)
A ∪ B : Entweder König oder ♦ oder beides;
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 18 +
1
4
−
1
32
=
11
32
(2)
A ∪ B = A ∩ B : Nicht sowohl König als auch ♦;
1
31
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 − 32
= 32
(Gegenereignis!)
(3)
A ∪ B : Weder König noch ♦;
P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 −
11
32
=
21
32 (Gegenereignis!)
4.5 Aufgabe 2
1) Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) der zweite Wurf Zahl ergibt?
b) drei Mal die selbe Seite geworfen wird?
2) Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren. Wie groÿ muss der Winkel
α
gewählt werden, damit
beim zweimaligen Drehen des Glücksrades die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: Beide Male
gleicher Sektor den Wert
P (E) =
5
8 hat?
Lösung
1a) P(Der zweite Wurf ergibt Zahl)
b) P(Dreimal selbe Seite)
2)
=
P(Ein einzelner Wurf ergibt Zahl)
= P (kkk) + P (zzz) =
1
2
·
1
2
·
1
2
+
1
2
·
1
2
·
1
2
=2·
1
8
=
=
1
2
1
4
= 50%
= 25%
Beim Drehen des Glücksrads sind die Wahrscheinlichkeiten, den gepunkteten Sektor
telpunktswinkel
P (S1 ) =
α
bzw. den nicht gepunkteten Sektor
S2
α
,
360◦
P (S2 ) = 1 −
α
360◦ − α
=
.
360◦
360◦
α
S1
zu erhalten, gegeben durch
mit Mit-
Übungsmaterial
5
Es gilt also:
α 2 360◦ − α 2 5
+
=
360◦
360◦
8
⇔ α2 + 129600 − 720α + α2 = 81000
⇔ α2 − 360α + 24300 = 0
Einsetzen in die Mitternachtsformel liefert
α = 90◦
bzw.
α = 270◦ .