Übungsblatt 2

Timischl/Womastek: Angewandte Statistik WS 2009/10
Übungsblatt 2
Beispiel 1
Ein einfacher Prüfplan besteht darin, dass 55 Einheiten aus einem Los zufällig
ausgewählt und auf Fehlerhaftigkeit überprüft werden. Das Los wird zurückgewiesen,
wenn eine Einheit oder mehrere Einheiten fehlerhaft sind. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für die Annahme des Loses, wenn der Anteil p von fehlerhaften
Einheiten (Ausschussanteil) gleich po=0,5% ist? (Für die Rechnung nehme man an,
dass der Umfang des Prüfloses sehr groß ist, so dass sich der Ausschussanteil
während der Entnahme der Prüfstichprobe nicht ändert.)
Gesucht: P(Los fehlerfrei)= P(X=0)
Aus der Angabe wissen wir:
Die Stichprobengröße n = 55, der Anteil p (fehlerhaft) = 0.005. Es wird angenommen, dass
der Umfang des Prüfloses sehr groß ist und sich der Ausschussanteil während der
Entnahme nicht ändert, es handelt sich also um ein Experiment, bei dem der
Auswahlvorgang „mit Zurücklegen“ modelliert wird. Die Zufallsvariable X (= Anzahl der
fehlerhaften Einheiten im Los) ist also binomialverteilt mit n=55 und p=0.005.
Zur Erinnerung:
X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p, wenn ein n-stufiges
Bernoulli-Experiment vorliegt, das aus n unabhängigen Wiederholungen von einfachen
Bernoulli-Experimenten besteht. Jedes dieser Experimente hat zwei Ausgänge: E und Ec. E
tritt mit einer Wahrscheinlichkeit p ein und Ec mit einer Wahrscheinlichkeit q=1-p. Die
Zufallsvariable X mit den Realisationen k=0, 1,…, n gibt die Anzahl der Wiederholungen mit
dem Ausgang E an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass k Wiederholungen mit dem Ergebnis E auftreten, ist:
Lösungsweg:
Wir setzen in die Formel für die Binomialverteilung ein:
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Los angenommen wird, beträgt 5.95%
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Beispiel 2
Bei einem Patienten stehen drei Diagnosen A, B oder C zur Wahl. Es wird ein
diagnostischer Test angewendet, der bei Vorliegen von A mit 90%iger
Wahrscheinlichkeit positiv ausfällt, bei Vorliegen von B mit 20%iger
Wahrscheinlichkeit und bei Vorliegen von C mit 10%iger Wahrscheinlichkeit.
Das Testresultat für den Patienten ist positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass A vorliegt, wenn alle drei Krankheiten als gleichwahrscheinlich angesehen
werden?
Aus der Angabe wissen wir:
P(Diagnose A) = P(Diagnose B) = P(Diagnose C) = 1/3
P(Test positiv| Diagnose A) = 0,9;
P(Test positiv| Diagnose B) = 0,2;
P(Test positiv| Diagnose C) = 0,1
Gesucht: P(Diagnose A| Test positiv)
Lösungsweg:
Wir setzen in die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ein:
Aus der Angabe wissen wir bereits: P(Test positiv| Diagnose A) = 0.9 und P(Diagnose A) =
1/3.
Um in die Formel einsetzen zu können, muss also nur noch P(Test positiv) berechnet
werden. Dazu wenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit an.
Zur Erinnerung:
Wir gehen von einem Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω aus. Ist B ein beliebiges
Ereignis mit P(B)>0 und sind A1, …, An eine (endliche) Folge von Ereignissen mit den
Eigenschaften
1)
2)
(Die Ereignisse A1, …, An sind paarweise disjunkt),
(Die Ereignisse A1, …, An bilden die Ergebnismenge Ω),
3) P(Ai ) > 0 für i= 1, …, n.
Dann gilt der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
P(B) = P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + … + P(B|An) P(An)
P(Test positiv) wird also folgendermaßen berechnet:
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Timischl/Womastek: Angewandte Statistik WS 2009/10
P(Test positiv) = P(Test positiv| Diagnose A) P(Diagnose A) + P(Test positiv| Diagnose B)
P(Diagnose B) + P(Test positiv| Diagnose C) P(Diagnose C) = 0,9 (1/3) + 0,2 (1/3) + 0,1 (1/3)
= 0,4
Somit ist
P(Diagnose A| Test positiv) = 0.9 (1/3)/0.4 = 0.75
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient an Krankheit A leidet, wenn ein positives
Testergebnis vorliegt, beträgt also 75%.
Lösung mit Excel: Erstellen eines Entscheidungsbaumes
Beispiel 3
Bei einem Test werden 3 Aufgaben derart gestellt, dass es bei jeder Aufgabe 4
Antwortmöglichkeiten gibt, von denen genau eine die richtige ist. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als die Hälfte der Aufgaben richtig löst, wenn die
Lösungsauswahl aufs Geratewohl erfolgt, d.h., jeder Lösungsvorschlag mit der
Wahrscheinlichkeit 1/4 gewählt wird?
Aus der Angabe wissen wir:
X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n=3 und p=0.25, d.h. X ~ B3,0.25
Gesucht: P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)]
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Timischl/Womastek: Angewandte Statistik WS 2009/10
Lösungsweg:
Wir setzen in die Formel für Binomialverteilung ein:
P(X ≥ 2)= 1 – P(X <2) = 1 – [0.422 + 0.422) = 0.157
Kontrolle: P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.141 + 0.016 = 0.157
Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der Aufgaben richtig gelöst wird, beträgt
15.7%.
Lösung mit Excel:
Lösung mit R:
> n <- 3
> p <- 0.25
> Pgesucht <- 1-pbinom(1,3,0.25)
> print(Pgesucht)
[1] 0.15625
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